第五章 动态电路的瞬态分析
5.1 电容元件与电感元件
5.2 换路定理与初始值的计算
5.3 直流一阶电路的时域经典求解法
5.4 直流一阶电路的三要素法
5.5 阶跃函数与阶跃响应
5.6 正弦信号作用下的一阶电路
5.7 RC微分电路和积分电路
5.8 二阶电路时域经典分析法
5.1 电容元件与电感元件
一,电容元件 (capacitor)
电路符号
C
+ + + +
– – – –
+q
–q
电容器
即时性元件 与 动态元件
按介质材料分为,
云母电容、瓷介电容、纸介电容、有机薄膜电容、电解电容
1,电容及其伏安关系特性,
d e f
c
qC
u
?
C 称为电容器的电容
单位,F (法 ) (Farad，法拉 )
F= C/V
常用 ?F,nF,pF等表示。
C
ic
uc
+
–
+q
电容积累的电荷量,
q=Cuc
–q
q
uc O
C= q/u ?tg? ?
线性电容的 VAR,(设 uc,ic 取关联参考方向 )
C
ic
uc
+
–
+
–
即,
c
c
dudqiC
dt dt??
q
uc O
线性电容 q~uc 特性 非线性电容 q~uc 特性
c
c
duiC
dt?
说明,
(1) ic的大小取决与 uc 的变化率，与 uc 的大小无关；
(微分形式 )
(3) 若 uc,ic非关联取向, 则 ic= –Cduc/dt 。
(2) 电容元件是动态元件。
c
c
duiC
dt?
特例：如右图 C uc + – E
uc=E (直流） ic=0
电容元件具有 隔直流通交流 的特点。
直流电路中电容相当于开路。
ic=0
电容充放电形成电流,
(1) uc>0,duc/dt>0，则 ic>0,q ?，正向充电
(电流流向正极板 )；
(2) uc>0,duc/dt<0，则 ic<0,q ?，正向放电
(电流由正极板流出 )；
(3) uc<0,duc/dt<0，则 ic<0,q?，反向充电
(电流流向负极板 )；
(4) uc<0,duc/dt>0，则 ic>0,q ?，反向放电
(电流由负极板流出 )；
C
ic
uc
+
–
+
–
例,如图 (a)电路,u(t)波形如图 (b)，求电流 ic的波形。
C u(t)
+
– 2F
ic
(a) (b)
u(t)V
t(s) 0 1 2 3 4
0.5
-0.5
(b)
u(t)V
t(s) 0 1 2 3 4
0.5
-0.5
(c)
i(t)A
t(s) 0 1 2 3 4
1
-1
解,
d
d cc
uiCV
tAR ?由电容的,
d2
d
c
c
ui
t?有：
d2 2 0,5 1
d
c
c
uiA
t
? ? ? ?
:在0 1s 内：
d2 2 ( 0.5 ) 1
d
c
c
uiA
t
? ? ? ? ? ?
:在1 3s 内：
d
2 2 0,5 1
d
c
c
u
iA
t
? ? ? ?
:在3 5s 内：
2,电容的记忆性,
cc duiC dt?
0
0
0
0
0
0
()
111 ( ) d d
1 d
11 dd
c c c c
c c
cc
t t t
t
t
t
t
t
u t i i i d
CCC
ui
C
ii
CC
? ? ?
?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
??
?
??
??
0
0
() 1 d
c c
t
ui
C
???
?
1( ) dc ctu t iC ???? ?
微分形式 VAR
积分形式 VAR
0 0() 1 d
c cui C ???? ? 称为电容电压的 。 初始值
其中,
u
+
-
ic
C
(a)
具有初始电压的电容
1 01 dc
tuiC ?? ?C
uc(0) + -
+
-
u
+
-
(b)
相应的等效电路
例,如图 (a)电路,uc(0)= -1V,C=0.5F,is(t)波形如图 (b)，
t=0时电流源开始对电容充电，求电容电压 uc(t) ～ t 波形。
ic
0.5F uc(t)
+
-
is(t)
(a)
is(t)(A)
t(s) 0
0.5
-1
1 2 3
(b)
uc(t)(V)
t(s) 1 2 3
-1
-2
(c)
1( ) dc ctu t iC ???? ?由V A解 R:,
( ) ( 0 ) 1ccu t u V? ? ? ?( 1 ) t 1 s 时,
1
1
1( ) ( 1 ) d
11 0,5 d
0,5
2
( 2 ) 2 2 0
cc c
c
t
t
u t u i
C
t
uV
?
?
??
?? ?
? ? ? ?
??
???
( 2 ) 1 t 2 s 时:
2
2
1( ) ( 2 ) d
10 ( 1 ) d
0,5
42
( 3 ) 4 2 3 2
cc c
c
t
t
u t u i
C
t
uV
?
?
??
?? ?
? ? ??
??
? ? ? ? ?
( 3 ) 2 t 3 s 时:
(4) t>3s时,uc(t)= -2V
3,电容的惯性（电容电压的连续性）
如前例，当充电电流 ic(t)为有限大（非无穷大）时，
尽管 ic(t)在某些时刻不连续，但 uc(t)却连续。即电容电压
不能突变，称为电容的 惯性 。
＊ t=0,0-,0+的意义 0 t
0- 0+
0
0
1( 0 ) ( 0 ) d
( 0 ) 0 ( 0 )
cc c
cc
u u i
C
uu
????
?
???
?? ?
??当i 有限大时 c
即,uc(0+)= uc(0-)
可推广到,uc(t0+)= uc(t0-)
4,电容的储能
故电容是非耗能元件，它本身不消耗能量，起
存储、转化电场能的作用。
( ) ( ) ( )ccp t u t i t?吸
2
( ) 0
2 2 2
d 1
( ) d d ( )
d2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
c
t
tt
c
C c c c c
u
c c c
u
W t u i Cu Cu
Cu t Cu Cu t
? ? ?
?? ? ? ? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
若
〉 0，表吸收功率，转化
为电场能储存
〈 0，表释放所存储的电场能
电容储能,
21( ) ( )
2CcW t Cu t?
即,
从 t0到 t 电容储能的变化量,
22
0
11 ( ) ( )
22C c cW Cu t Cu t? ? ?
可见电容储能只与该时刻电压有关，而与 ic 无关。
故电容电压 uc(t)————表征电容储能状态的物理量
称为电容的 状态变量 。
二,电感元件 (inductor)
线性电感元件,电感元件的磁链 ?与电流 iL成正比。
（如：空心线圈）
1,电感元件 及其 VAR
? i
L
N匝 如右图电感线圈，当线圈中通
以电流 iL时，建立起磁通 ?。
定义,?=N? ——磁链，单位：韦伯（ Wb)
定义,L=?/iL ——线圈的电感，单位：亨利（ H)
电感的大小由线圈的匝数、几何形状、尺寸及其
芯材料的磁导率等因素决定。
非线性电感元件：电感元件的磁链 ? 与电流 iL不 成正比。
（如：铁芯线圈）
?
–
uL
+
iL
N匝
?
iL O
L= ? / iL ?tg? ?
?
iL O
线性电感 ? ~ iL 特性 非线性电感 ? ~ iL 特性
当 iL变化时,?,?相应变化，由焦耳 ——楞次定
律，必产生感生电压 uL，试图抑制 ?的变化。
电路符号
L
iL
uL
+
–
对于线性电感，设 uL,i L取关联参考方向,
L
iL
uL
+
–
或
1 ( ) d
L L
ti t u
L ???? ?
d d( ) d
d d d
LL
L
ψ L i iuL
t t t? ? ?
自感电压,
注, (1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。
当 i L为常数 (直流 )时,diL/dt =0 ? uL=0。
电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL,iL为非关联方向时,uL= –LdiL/dt 。
2,电感元件是一种记忆元件。
0
0
0
0
0
0
0
( 0 )
()
111 ( ) d d
1 d
11 d
1
L L L L
L L
LL
L L
t t t
t
t
t
t
t
t
i t u u u d
LLL
iu
L
u u d
LL
i u d
L
? ? ?
?
??
?
?? ??
??
?
? ? ?? ? ?
?? ?
????
? ?
0( 0 ) 1 d
L LiuL ???? ?
其中,称为电感的 初始电流
L
iL
uL
+
–
L
iL
uL
+
– iL(0)
1 () 01 d
t
LtiuL ?? ?
(b)相应的等效电路 (a)具有初始电流的电感
3,电感的惯性 （ 电感电流的连续性 ）
iL(0+)=iL(0-)
即：电感的电流不能突变。
0
0
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 d u LL L LLi i u iL ??? ? ?
?
? ?? ?Q 当 有限时
4,电感的储能
d( ) ( ) ( )
d
L
L L L
ip t u t i t i L
t? ? ?吸
功率,>0,表吸收功率,转化为磁场
能储存起来。
<0,表产生功率,即释放所储
存的磁场能。
注, 电感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存储转换磁场能
的作用。
电感的储能只与其电流 iL有关，与其电压无关。 故电感电流 iL(t)
是表征电感储能状态的物理量，称为电感的 状态变量 。
从 t0 到 t 电感储能的变化量,
2 2 2 2
00
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2L L LW L i t L i t t tLL??? ? ? ? ?
2 2 2
( ) 0
22
d 1 1 1
( ) d ( ) ( ) ( )
d 2 2 2
11
( ) ( ) 0
22
L
t
t
L
L L L L L
i
L
i
W t Li Li Li t Li
Li t t
L
??
?
?
??
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
若
某时刻 t 电感的储能,
即,
21( ) ( )
2LLW t L i t?
电容元件与电感元件的比较,
电容 C 电感 L
变量
电流 i
磁链 ?
关系式
电压 u
电荷 q
结论, (1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i,q-?, C-L,i-u互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件,?, q等称为对偶物理量。
* 显然,R,G也是一对对偶元素,
I=U/R ? U=I/G
U=RI ? I=GU
22
2
1
2
1
d
d
ψ
L
LiW
t
i
Lu
Liψ
L ??
?
?
22
2
1
2
1
d
d
q
C
CuW
t
u
Ci
Cuq
C ??
?
?
对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路,
例 1,
网孔电流方程,
(R1 + R2)il = us
节点电压方程,
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is,
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
2,对偶元素,
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KC
L
KV
L
L
C
R
G is
us 串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
5.2 换路定理与初始值的计算
换路
信号突然接入或改变
电路的通断
电路参数的改变
电路换路后必然引起过渡过程。
过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。
E R C u
c
ic
K
稳态 稳态 过渡过程
E
E/R
t t1
ic
uc
过渡过程（瞬态过程）
1,换路及过渡过程的产生
① 持续时间一般很短（ ?s—ms)
② 其间电压电流与稳态时变化规律不同，常出现高电
压、大电流（可能损坏设备）。如：高压开关断闸产
生火花。
瞬态过程的分析方法
经典法,由 VAR,KVL,KCL建
微分方程并求解。
变换域分析法,如拉普拉斯变换
（复频域分析法）
过渡过程（瞬态过程）的特点,
电阻,纯耗能元件，无过渡过程。 （即时性元件）
电感与电容,储能元件，有过渡过程。 （动态元件）
2,换路定理
21( ) ( )
2CcW t Cu t?
21( ) ( )
2LLW t L i t?
电路的状态量 （储能状态）：电容电压和电感电流
通常设电路换路发生在 t=0时刻，则,
原始状态（ t=0-时的状态）
初始状态（ t=0+时的状态）
* 零状态电容（ uc=0)与零状态电感（ iL=0)
换路定理,
① 在电容支路电流 ic为有限值的情况下，换路瞬间,
电容端电压 uc保持不变。
② 在电感支路电压 uL为有限值的情况下，换路瞬间,
电感中电流 iL保持不变。
数学形式,
uc(0+)=uc(0-)
iL(0+)=iL(0-)
实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能
不能突变。即电路的储能状态不能突变。
3,初始值的计算
0 0 1 ( 0 ) ( 0 )
( 2 ) ( ( )
L
L L t
LL
diR L t K i u
dt
iu
?? ? ?
?
??
例：如图 电路,时刻 闭合，（）求,,
求 ）,。解,
① t<0时，电路处于稳态
iL(0-) =0 A
② t=0+时，由换路定理
iL(0+) =iL(0-) =0 A
③ 作 t=0+时刻等效图（图 b)
uL(0+)=Us-RiL(0+)
=6- 2× 0=6V
-
+
iL(0+) 2?
uL(0+)
+
-
6V Us
(b) 0+等效图
R
K
-
+
iL(t) 2?
L=3H uL(t) +
-
6V Us
(a)
K
0
0
( 0 )
( 0 ) 6
2 ( / )
3
L
Lt
LL
t
di
u
dt
d i u
As
d t L
?
?
??
?
? ? ? ?
又因 = L
故
④ t= ∞时（图 c），电路重新达到稳态,L相当于短路线。
iL(∞)=6/2=3A
uL(∞)=0
电感电流 iL不能突变，即 iL(0+)= iL(0-),但电
感电压 uL可能突变。本例中 uL(0+) 不等于 uL(0-)
同理，电容电压 uc不能突变，即 uc(0+)= uc(0-),
但电容电流 ic可能突变。
注,
-
+
iL(∞) 2?
uL(∞)
+
-
6V Us
(c) t= ∞时等效图
R
L
K
例, 如图 (a)，电路原处于稳态,K于 t=0时刻闭合，①求初
始值 ic(0+),uL(0+)及 i(0+) 。 ②求 ic(∞), uL(∞)及 i(∞) 。
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
解,
① 求原始状态 uc(0-)及 iL(0-)
t<0时（直流稳态），故,
电容视为开路，电感视为短路。
即,ic(0-)=0 uL(0-)=0
故,
iL(0-)=Us/（ R2+R3)=12/（ 4+2） =2A
uc(0-)=R2iL(0-)=4× 2=8V
② 由换路定理有,
iL(0+)= iL(0-) =2A uc(0+)= uc(0-) =8V
作 0+等效图（图 b）
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
ic(0+) u
L(0+)
+
-
i(0+)
-
+
-
+
12V Us
R1
R2
4? 5?
uc(0+)
iL(0+)=2A
(b) 0+等效图
8V
在 0+等效图中,
电容元件用 uc(0+)电压源代替
电感元件用 iL(0+)电流源代替
激励源取 t=0+时 Us(0+)
③ 由 0+等效图有,
s + c +
1
s + 2
u ( 0 ) - u ( 0 ) 12 8
( 0 ) 0.8
R5
( 0 ) u ( 0 ) - R ( 0 ) 12 4 2 4
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0.8 2 2.8
c
LL
cL
iA
u i V
i i i A
?
??
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
+
- -
+
12V Us
R1
R2
4? 5?
(c) t=∞等效图
uL(?)
i(?)
ic(?)
故 ic(?)=0 uL(?)=0
i (?)=12/4=3A
④ t=? 时作等效图 c
此时电路重新达到直流稳态
电容视为开路，电感视为短路。
例：如图 (a)零状态电路,K于 t=0时刻闭合，作 0+图
并求 ic(0+)和 uL(0+)。
Us
K
C
R1
R2
L
(a)
uL
+
-
ic
Us
K
C
R1
R2
L
(b) 0+图
uL(0+)
+
-
ic(0+)
① t<0时，零状态 → uc(0-)=0 iL(0-)=0 解,
② 由换路定理有,uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
作 0+图,零状态电容 → 零值电压源 → 短路线
零状态电感 → 零值电流源 → 开路
③ 由 0+图有,ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us
注,ic与 uL在 t=0时刻有突变。
5A
is 10?
5? 5?
C1 C2
i(t)
i1(t)
i2(t) K
uc1 +
-
uc2 +
-
+
-
5A
is 10?
5? 5? i(0+)
i1(0+)
i2(0+)
50V
a
0+等效图
练习, 如图电路原处于稳态,uc2(0-)=0,t=0时刻 K闭合，作
0+图并求 i(0+),i1(0+)及 i2(0+)。
解,(1) u
c1(0-)=5× 10 =50V uc2(0-)=0
(2) 由换路定理,uc1(0+)= uc1(0-) =50V uc2(0+)= uc2(0-) =0
(3) 由 0+图用节点分析法,
501 1 11 0 5 5 55? ? ? ?a（ ）u
得,ua=30V
进一步可得,i(0+)=3A i1(0+)= -4A i2(0+)=6A
思考,
电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作
电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），
为什么？
5.3 直流一阶电路的时域经典求解法
☆ 电路的阶数
☆ 一阶电路（ First Order Circuit)
☆ 零输入响应和零状态响应
一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内
部储能元件初始储能共同作用产生。
零输入响应 yzi(t),仅由电路初始储能引起的响应。
（输入激励为零）
零状态响应 yzs(t),仅由输入激励引起的响应。
（初始储能为零）
一、一阶电路的零输入响应
1,RC电路的放电过程,
uc(t) +
-
uR(t) R
+
-
i(t)
K
(a)
如右图，已知 uc(0-)=U0,K
于 t=0时刻闭合，分析 t≧ 0
时 uc(t), i(t)的变化规律。
① 各变量参考方向如图,t≧ 0时，由 KVL有,
Ri(t)= uc(t)
( ) (cdui t C dt?? 非关联）
又有 VAR,()c
c
duR C u t
dt??
整理有,
1 ( ) 0c
c
du ut
d t R C??
一阶常系数齐次微分方程
1 ( ) 0c
c
du ut
d t R C??
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程,
1 0S
RC??特征根
1S
RC??
1
( ) ( 0 )tst RCcu t A e A e t?? ? ? ?
又有初始条件,uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1
0( ) ( 0 )
tRC
cu t U e t
?? ? ?
1
0( ) ( 0 )tc RCd u Ui t C e t
d t R
?? ? ? ?
uc(t) +
-
uR(t) R
+
-
i(t)
K
(a)
② 作 uc(t)和 i(t)波形如图（ b）
③ 时间常数 ?=RC 量纲：时间量纲 (s)
④ 电路的固有频率（ natural frequency）
⑤ 能量去向
它决定了电路的响应模式
（衰减、发散、振荡）
uc(t)
i(t)
t 0
U0
U0/R
(b)
??，衰减越慢
? ?，衰减越快 极限情况
R→0,则 ? → 0
R→∞,则 ? → ∞
?
11S
RC? ? ? ?
2,RL电路的放电过程,
(a)
E R0 R K
L uL
iL
+
-
如图电路原处于稳态,t=0时 K断
开，分析电感放电过程中 iL (t)和
uL(t)的变化规律。
分析,t<0时已达稳态,L中电流为 I0=E/R0
t≧ 0时，电感以初始储能来维持电流 iL (t)（放电）
① 换路后（ t≧ 0），由 KVL有,
( ) 0L LdiL R i tdt ??即,
( ) 0L Ld i R itd t L??
特征根,
RS
L??
( ) ( 0 )R tLLi t A e t???
故,
由初始条件,iL(0+)= iL(0-)=I0=E/R0 (换路定理 )
?
?
00()
L
tR Rt
L
Li t I e I e
?
??
?? ?
令
00()
tR t
L L
L
diu t L R I e R I e
dt
??? ? ? ? ? ?
（ t≧ 0）
② 作 iL(t)和 uL(t)波形如图（ b）
iL(t)
uL(t)
t 0
I0
-RI0
(b)
可见 iL(t)连续,uL(t)不连续
③ ?=L/R 也称为 时间常数
④ 时间常数 ?与过渡过程长短的关系
(a)
E R0 R K
L uL
iL
+
-
极限情况,R→0,则 ? →∞
R→∞,则 ? → 0 此时 uL(0) → ∞ （瞬间高压）
时间常数 ?=RC或 L/R，表征电路固有性质，反映
过渡过程长短。
iL(t)
uL(t)
t 0
I0
-RI0
(b)
以前例 RL电路放电过程为例,
?
0()
t
Li t I e
??
t= ?时,iL(?)/I0=e-1=36.8%
t= 2?时,iL(2?)/I0=e-2=13.5%
t= 3?时,iL(3?)/I0=e-3=5%
… …
t= 5?时,iL(5?)/I0=e-5=0.7%
一般认为经过 3-5 ?时间后瞬态过程已经结束。
练习,
如图，电路原处于稳态,t=0时
K由 1转向 2，求 t>0时 i(t)=?
3A 1?
1?
2? 1F
i(t) 1 2
2( ) 1, 5 ( ) ( 0 )
t
i t e A t???答案：
2
2
( ) 3 ( )
( ) 1,5 ( ) ( 0 )
t
c
t
c
u t e V
du
i t C e A t
dt
?
?
?
? ? ? ?
Q
二、一阶电路的零状态响应
1,RC电路的充电过程,
已知 uc(0-)=0,t=0时刻 K
闭合，分析充电过程中 i(t)和 uc(t)。
（ 1）由 KVL及 VAR写电路方程（ t>0)
( ) ( )cR i t u t E??
() cdui t C dt?
()c cduR C u t Edt ??
标准形式,
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
一阶常系数非齐次方程
E R C u
c
i
K
+
-
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
（ 2）解如上非齐次微分方程,
先求齐次通解 uch，即相应齐次方程,
1 ( ) 0c
c
du ut
dt RC??
的解
1
() tRCchu t A e ??显然,
再求特解 ucp （可设为与输入激励相同的形
式，或用稳态解作为特解） u
cp=E
全解 uc(t)=齐次通解 uch(t)+任意特解 ucp
1
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u =
tRCA e E? ?故
1
c (t)=
tRCu A e E? ?
（ 3） 由初始条件定系数
uc(0+)= uc(0-)=0 → A= -E
11
c ( t ) = ( 1 ) ( )
ttR C R Cu E E e E e V??? ? ? ?
1
( t ) = C ( ) ( 0 )tc RCdu Ei e A td t R ???
（ 4） 作波形曲线。
E
E/R
t
ic
uc
0
即,
强制响应
固有响应
（自由响应）
2,RL电路的充电过程,
-
+
Us
R1
R2
K
L uL=？
+
-
iL=？
(a)已知 iL(0-)=0
t=0时 K闭合
-
+
E
R
K
L uL=？
+
-
iL=？
(b) t>0时 Thevenin等效
（ 1） 对 (b)图,t≧ 0时由 KVL有,
()( t ) + L L
L
d i tR i E
dt ?
() + ( t )L
L
d i t R Ei
d t L L?即,
() + ( t )L
L
d i t R Ei
d t L L?即,
h (t)
R t
LLi Ae ??( 2 ) 齐次通解,
p (t)L
Ei
R?特解（用稳态解）
hp( t ) = ( t ) +
L L L
R
t
L
i i i
E
Ae
R
?
??
故全解,
初始条件 iL(0+)= iL(0-)=0 → A= -E/R
(t)
R t
L
L
EEi
RR e
?? ? ?
( t ) ( t 0 )
R t
L
L
EEi
RR e
?? ? ? ?
( t ) ( t 0 )
R t
L L
L
diu L E
dt e
?? ? ?
（ 3）作波形曲线。
E
E/R
t
iL(t) uL(t)
0
-
+
E
R
K
L uL=？
+
-
iL=？
(b) t>0时 Thevenin等效
强制响应 固有响应
小结,
对于 直流 一阶 电路，其响应一般都可表为如下形式,
( ) ( 0 )
t
y t y e ????
( ) ( ) ( 1 )
t
y t y e ??? ? ?
零输入响应,
零状态响应,
三、一阶电路的全响应
已知 uc(0-)=U0,t=0时刻 K
闭合，分析 t≧ 0时 uc(t)=? E
R
C uc
i
K
+
-
分析：电路方程与零状态响应情况相同，仅初始条件不同。
( ) ( )cR i t u t E??
() cdui t C dt?
()c cduR C u t Edt ??
标准形式,
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
1
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u =
tRCA e E? ?全解
由初始条件 uc(0+)= uc(0-)=U0 → A+E=U 0
得,A= -(E - U0)
故全响应,
1
c0u ( t ) = ( )
tRCE E U e ???
E
U0
t
uc(t)
0
1
c0u ( t ) = ( )
tRCE E U e ???
四、响应的分解
E R C u
c
i
K
+
- 如前 RC电路的全响应,
全响应 = 强制响应 + 固有 （自由） 响应
（ 即特解 ） + （ 即齐次通解 ）
11
c0u ( t ) = ( 1 )
ttR C R CE e U e????
稳态响应 + 暂态响应
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应
零状态响应
零输入响应
自由响应分量
强制响应
自由响应
稳态响应
暂态响应
等幅部分
减幅部分
响应的分解
0.5F uc
K
+
-
+
-
1?
us
如图电路,uc(0-)= -1V,
tsu e V??
K于 t=0时刻闭合，求,
① t≧ 0时 uc(t)=?
2 0 ( )?tscu e V t u t?? ? ?若,重求 时
②
例,
解,（ 1） t≧ 0时电路方程为,
代入 R,C值有,
2() tchu t A e ??齐次通解
()1 ()cs
c
du u tut
dt R C R C??
2 ( ) 2 tc cdu u t edt ???
①
强制响应
固有响应
（自由响应）
() tcpu t B e ??特解设为
（形式与输入激励相似）
将特解代入①式有,
t t t22Be Be e? ? ?? ? ?
2 ( ) 2 tc cdu u t edt ???
①
B=2
c c h c p
- 2 t - t
( t ) = ( t ) + ( t )
= 2
u u u
A e e?
全解
代初值 uc(0+)= uc(0-)= -1V，有,A=-3
暂态响应
（无稳态）
- t - 2 t( ) 2 3 ( V ) ( 0)cu t e e t? ? ? ?
2 tsu e V??若,则方程为：
②
22 ( ) 2 tc
c
du u t e
dt
???
②
2() tchu t Ae ??
齐次通解,
因输入函数为 2e-2t，其指数因子 -2 刚好为特征
方程的单根，故特解应设为,
-2cp () tu t B t e?
代入②中,
- 2 - 2 - 2 - 22 2 2t t t tB e B te B te e? ? ?
得,B=2
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0 )u A e t e V t??全解
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0 )u A e t e V t??全解
代初值 uc(0+)= uc(0-)= -1V，有,A= -1
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0)u t e e V t? ? ?
5.4 直流一阶电路的三要素法
一、三要素法的推证
对直流一阶电路全解 y(t)=齐次通解 yh(t)+特解 (稳态解） yp
0-
++( 0 ) = ( ) ( 0 ) - ( )y Ae y A y y? ? ? ? ? ?
令 t=0+，则,
-( t ) = ( ) ( 0 )ty Ae y t? ? ? ?
即,
故,
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
三要素法公式
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
三要素,
① 初始值 y(0+)
② 终值 y(?)
③ 时间常数 ?=RC或 L
R二、三要素法的应用
3V 3V
1? 1?
2? 5H a b
i(t)
iL(t)
(a)
K 例,如图电路原处于稳态，
t=0时刻 K由 a转向 b，用三要
素法求 t≧ 0时 i(t)及 iL(t)，并
作出其波形。
3V 3V
1? 1?
2? 5H a b
i(t)
iL(t)
(a)
K
3V
1? 1?
2? -1.2A b
i(0+)
iL(0+)
(b) 0+等效图
解, （ 1）求初始值 iL(0+)和 i(0+)
-
3 2 6( 0 ) = -
1 + ( 2 //1 ) 2 1 5LiA ? ? ??
+-
6( 0 ) = ( 0 ) =
5LLi i A??
作 0+等效图（ b)
1× i(0+)+2 × [i(0+)-(-1.2)]=3 → i(0+) =1/5 A
（ 2） 求终值 iL(?)和 i(?) （图 c）
3V
1? 1?
2? b
i(?)
iL(?)
(c) t= ?等效图
26( ) = ( )
1 + 2 5Li i A? ? ? ?
1? 1?
2?
(d) 求 ?时 等效图
R0
0
L
R? ?
（ 3） 时间常数 （图 d）
0
5= 1 ( 2 / / 1 )
3R ? ? ?
等效内阻，从动态元件两端看出去
0
5= 3 ( )
5 / 3
L s
R? ??
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
（ 4） 由
Ai 59)1//2(1 3)( ????
336 6 6 6 1 2( ) = ( ) ( ) ( 0 )
5 5 5 5 5
tt
Li t e e A t
??? ? ? ? ? ?
339 1 9 9 8( ) = ( ) ( ) ( 0 )
5 5 5 5 5
tt
i t e e A t??? ? ? ? ?
（ 5） 波形（图 e）
t
i(t)
0
9/5
6/5
1/5
-6/5
(A)
iL(t)
例：如图 (a)电路,uc(0-)=2V,t=0时 K闭合，试用
三要素法求 t≧ 0时 uc(t)及 i1(t)。
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2?
1F
i1(t)
uc(t) +
-
(a)
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2? i1(0+)
(b) 0+图
+
-
2V
解, （ 1）求初始值 uc(0+)及 i1(0+)
uc(0+)= uc(0-)=2V，作 0+图 (b)有,
6i1(0+)-2i1(0+)=12 → i1 (0+)=3A
（ 2） 求终值 uc(?)及 i1(?)
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2? i1(?)
(c) t=?等效图
uc(?)
+
-
6i1(?)-2i1(?)=12 → i1 (?)=3A
uc (?)= -2 i1 (?)= -6V
6?
2i1
+
-
2? i1
(d) 求 ? 时等效图
+
-
U0
I0
（ 3）求时间常数 ? =R0C
设用外加电源法（图 d）
U0=2I0-2i1
6i1=2i1 → i1 =0
U0=2I0
故,等效内阻 R0=U0/I0=2 ?
时间常数 ? =R0C=2× 1=2(s)
（ 4） uc (t)= -6+[2-(-6)]e-t/2= -6+8e-t/2 (V) t≧ 0
i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A) t≧ 0
例,如图电路,K1,K2原处于断开状态,t=0时刻 K1闭
合，（ 1）求 K1闭合后 i1的变化规律。（ 2）若 K1闭合 1
秒后 K2也闭合，求 i1,i2及 i 的变化规律。
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i
分析,第一次换路后，是
一阶电路。第二次换路后
为二阶电路，但此二阶电
路可看作两个独立的一阶
电路，可借助一阶电路的
三要素法求解 。
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i （ 1） K1于 t=0时刻
闭合,K2断开
解,
i1(0+)=i1(0-)=0
i1(?)=Us/(R1+R2)=6/(2+1)=2A (稳态值）
? =（ L1+L2） /（ R1+R2） =（ 1+2） /（ 2+1） =1(s)
1 ( ) = 2 ( 0 2 ) 2 ( 1 ) ( A )tti t e e??? ? ? ?
（ 0≦ t ≦ 1s）
（ 2） 当 t=1s时,K2也闭合
i1(1+)=i1(1-)=2(1-e-1)=1.264 (A) i1(?)=Us/R1=6/2=3 (A)
时间常数 ?1=L1/R1=1/2 (s)
1
(t-1)
1 1 1 1( ) = ( ) + [ ( 1 ) - ( ) ] ei t i i i
??
???
2 ( 1 )
2 ( 1 )
3 ( 1.26 4 3 )
3 1.73 6 ( ) ( 1 )
t
t
e
e A t s
??
??
? ? ?
? ? ?
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i
i2(1+)=i2(1-)= i1(1-) =1.264 (A) i2(?)=0 (A)
时间常数 ?2=L2/R2=2/1 =2(s)
( t - 1 )
2
2
( t - 1 )
2
( ) = 0 + ( 1, 2 6 4 0 ) e
= 1,2 6 4 e ( A ) ( t 1 s)
it
?
?
?
?
故
三要素
法推广
i (t)= i1(t)- i2(t)
( t - 1 )
2 ( 1 ) 23 1, 7 3 6 1, 2 6 4 e ( A ) te ???? ? ?
i1(t) i2(t)
注,本例中 i1(t),i2(t)分别只有一个固有频率，
但 i (t)有两个固有频率（此二阶电路可看作两个
独立的一阶电路）
i1 i2
-
+
us 10V
100? 100?
R1 R2
L
C
10mH 1?F
K
iK
如图电路原处于稳态,t=0时刻 K闭合，求 K闭合后电
流 iK=?
思考,
参考答案,
410
2 ( ) = 0.1 e ( A ) ( t 0)tit ? ?
410
1 ( ) = 0.1 0.1 e ( A) ( t 0)tit ???
K 1 2( ) = ( ) + ( ) = 0, 1 ( A ) ( t 0 )i t i t i t ?
5.5 阶跃函数与阶跃响应
一,单位阶跃函数 （ unit step function）
1
U(t)
0 t
定义,U(t)=
0 t<0
1 t>0
t=0时刻不定义
显然,U(0-)=0 U(0+)=1
1
U(t-t0)
0 t t0
延时单位阶跃函数,
定义,U(t-t0)=
0 t<t0
1 t>t0
t=t0 时刻不定义 注,阶跃信号可用来表示特定时刻开始起作用的激励信号。
-
+ 动态
网络
K1 K2
2U(t) 5U(t-3) a
b
t=0时 K1由 1转向 2,
t=3s时 K2由 a转向 b
相当于一个 2U(t)电压源和 一个 5U(t-3)电流源
从 t= -?时 就接在电路中。
-
+ 动态
网络
K1 K2
2V 5A
b
a
2
1
二、分段直流信号的阶跃函数表示
2
f1(t)
0 t(s) 2
1,
f1(t)=2U(t) -2U(t-2)
2
f3(t)
0 t(s) 2
3,
3
-1
f3(t)= -1+3U(t)-3U(t-2)+U(t-3)
2
f2(t)
0 t(s) 2
2,
3 1
f2(t)=U(t-1)+U(t-2)-2U(t-3)
三、阶跃响应及其应用
单位阶跃响应,电路在 零状态 条件下，由单位阶跃信
号 U(t)作用下引起的响应。记为 rU(t)
线性时不变
零状态电路
单位阶跃
信号 U(t)
单位阶跃
响应 rU(t)
线性时不变
零状态电路
rU(t-t0) U(t-t0) K K
例：求如图 RL电路在矩形脉冲 us(t)作用下的响应
电流 i(t)，并作其波形。
1
us(t)
0 t(s) t0
R=1?
-
+
us(t) L=1H
i(t)
法一：分区间应用三要素法
?=L/R=1/1=1(s)
i(0-)=0 i(0+)= i(0-)=0
0≦ t ≦ t0时,
i稳态 =1/R=1(A)
故 i(t)=1+(0-1)e-t=1- e-t (A) 0≦ t ≦ t0
00( ) = 1 ( A )ti t e ??
t0 <t <? 时是以 i(t0)为初值的放电过程
0()
0( ) = ( ) + [ ( ) - ( ) ]
tt
i t i i t i e ?
??
???
0()
0= 0 + [ ( ) - 0 ) ]
tt
i t e ?
??
?
00
0
( ) ( )
0= ( ) = ( 1 ) ( A )
t t t t
ti t e e e??
????
?
? ?
1
i(t)
0 t(s)
01 te??
t0
0()
0()
tt
i t e ?
??
1- e-t
法二,利用阶跃响应
1
U(t)
0 t(s)
R=1?
-
+
us(t) L=1H
i(t)
（ 1）电路的单位阶跃响应
rU(t)=
1- e-t t≧ 0
0 t<0 = (1- e-t )U(t)
（ 2）输入信号 us(t)=U(t)-U(t-t0)
U(t) → r U(t)
i(t)= rU(t) -rU(t-t0)
-U(t-t0) → -rU(t-t0)
（ 3） 故 us(t)作用下零状态响应,
0- ( t - t )-t 0= ( 1- e ) U ( t ) - [ 1- e ] U ( t - t ) ( A )
i(t)= rU(t) -rU(t-t0)
()t? ? ? ? ?
1
i(t)
0 t(s)
01 te??
t0
rU(t)
-rU(t-t0)
i(t)
注 （ 1） 注意各阶跃响应的时间区间。
（ 2）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总
响应应加上零输入响应。
5.6 正弦信号作用下的一阶电路
一,正弦信号作用下的一阶 RC电路
C uc
K
+
-
+
-
R
us(t)
c o s ( )1 ()c m u
c
d u U tut
d t R C R C
?? ???
已知 us(t)=Umcos(?t+?u)
uc(0-)=0,t=0时 K闭合，求
t≧ 0时 uc(t)=?
电路方程,
( ) ( )c csduR C u t u tdt ??
即,
1
ch ( ) K
tRCu t e ??齐次通解,
特解形式设为,
ucp(t)=Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u)
将特解代入方程并比较系数定 A和 B,
- ?RCA sin (?t+?u) + ?RCB cos(?t+?u) +
Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u)= Um cos(?t+?u)
故,?RCB + A= Um
-?RCA + B= 0
m
2
m
2
U
A=
1 + ( R C )
RCU
B=
1 + ( R C )
?
?
?特解也可设为,
ucp(t)=Ucm cos(?t+?u+?u)
其中,
22 m
cm 2
UU = A
1+ ( R C )
= - ar c t g R Cu
B
?
??
??
代初值条件 uc(0+)= uc(0-)=0得,
c c h c p
1
t
RC
cm
u ( t ) = u ( t ) + u ( t )
= K e U c o s( )uut? ? ?
?
? ? ?
全解
K= -Ucm cos(?u+?u)
1 t
RC
c c m c mu ( t ) = U c o s ( ) - U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ?
?? ? ? ?
稳态响应 暂态响应
0 t(s)
1 t
RC
c c m c mu ( t ) = U c o s ( ) - U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ?
?? ? ? ?
稳态响应 暂态响应
cmU c o s ( )uu???
cm- U c o s ( )uu???
稳态（强制 ）
暂态
uc(t)
（ 1）稳态响应和暂态响应之和在 t=0时满足初值条件 uc(0)=0
（ 2）当 ?u+?u=± ?/2 时 无暂态过程，电路直接进入稳态。
5.7 RC微分电路和积分电路
一,RC 微分电路 (differentiating circuit)
1,原理
C R +
-
+
-
u1 u2
+ - uc 如左图：分析 u
2~u1关系
条件,选择 R很小,
故 ?=RC很小，冲放电很快。
且 uc远大于 u2
由 KVL,uc+u2= u1 有 uc≈ u2
1
2u =
cdu duR i R C R C
d t d t? ? ?
1
2u
duRC
dt??
（微分关系）
2,利用微分电路获得尖顶脉冲
A
u1(t)
0 t(s) T 2T 3T
如前微分电路，输入为矩形脉冲序列
条件,?=RC很小，冲放电很快。
可以求得电路的单位阶跃响应,rU(t)=e-t/RC
= Ae-t/RCU(t) -Ae-(t-T)/RCU(t-T)
+Ae-(t-2T)/RCU(t-2T) -Ae-(t-3T)/RCU(t-3T)
而 u1(t)=AU(t)-AU(t-T)+AU(t-2T)-AU(t-3T)
故,u2(t)= ArU(t) -ArU(t-T) +ArU(t-2T) -ArU(t-3T)
u2(t)
时域看：突出输入信号中突变部分，抑制恒定部分。
频域看：是高通网络，通高频，阻低频。
二、积分电路
C
R
+
-
u1 u2
+ - uR +
-
i
1,原理
条件,(1)与微分电路不同，
选择 RC都很大，则 ?=RC很
大，冲放电缓慢。
(2)输出取自电容电压
因 R很大，使得 uR远大于 u2
而 u1=uR+u2 故 u1≈uR
1
2 0 0 0
1 1 1u ( ) t t tRuut i d d d
C C R C R? ? ?? ? ? ?? ? ?
（积分关系）
21 0
1 u ( ) tt u d
CR ?? ?即：
进入稳态
2,有始周期矩形脉冲作用下的 RC积分电路
u1
0 T 2T KT (K+1)T t(s)
U
―冲多放少” ―冲多少放多少
”
C
R
+
-
u1 u2
+ - uR +
-
i
u2
近似三角波
条件,? >>T, 冲放电缓慢
，在脉冲作用周期 T内，冲
放电过程远未结束
RC积分电路的特点,
与微分电路相反，经积分后输入信号的突变消失。
从时域看：突出了输入信号的恒定部分，抑制突变部分
从频域看：是低通网络，通低频，阻高频。
5.8 二阶电路时域经典分析法
二阶电路方程的建立
例,如图电路,两个动态元件
-
+
us(t)
8? 2H
4? 1H i2 i1
写网孔电流方程,
1 122 1 2 4 ( )sdi i i u t
dt ? ? ?
2
124 4 0
diii
dt? ? ? ?
---- ①
---- ②
由 ②得,
2
12
1 ( 4 )
4
diii
dt??
2
2
122
1 ( 4 )
4
diii
dt????
----③
----④
将③ ④代入①消去 i1有,
2
22
22 1 0 1 9 2 ( )s
d i d i i u t
d t d t? ? ?———— 二阶非齐次微分方程
一般形式,
2
102 ()
d y d ya a y f t
d t d t? ? ?
当电路没有输入激励时有 f(t)=0，方程变为齐次方程,
2
102 0
d y d ya a y
d t d t? ? ?
相应的解为零输入响应。
一,RLC串联电路的零输入响应
R K
L uL
+
-
i(t)
RLC串联电路
+ - uR
uc
+
-
C
已知 uc(0-)=U0,iL(0-)=0,
K于 t=0时刻闭合，分析 t>0
时放电过程中 i(t),uc(t)
由 KVL,uc=uR+uL （ t>0)
即,1 ( )( ) ( )t d i ti d R i t L
C d t????? ? ??
两边对 t 微分,1 ( ) ( )i t R i t L i
C ? ??? ? ?
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
整理为,
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
整理为,
2 1 0Rss
L L C? ? ?
特征方程,
其中,s——特征根，又称为电路的 固有频率 。
2
1,2
1()
22
RRs
L L L C? ? ? ?
2
R
L? ?令
衰减系数 （决定响应的衰减特性）
2
1,2
1()
22
RRs
L L L C? ? ? ?
0
1
LC
? ?
谐振角频率
22
0? ? ?? ? ? ?1,2则,s
根据 ? 和 ?0 的相对大小不同，特征根 s1,2不同,
对应的解的形式不同，有三种情况,
0 1,2( 2 ),s
LR
C?? ??( a ) 当 为相异二负实根：
1212() s t s ti t A e A e??
0 1 2( 2 ),s = s,
LR
C? ? ???( b ) 当 = - 为二重实根：
( ) ( ) ti t A B t e ????
22
0 1,2 0( 2 ),s d
LRj
C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?( c ) 当 = - - = -
12( ) ( c o s s i n )t ddi t e K t K t? ?????
220 d? ? ?其中 = - 称为 衰减振荡角频率
过阻尼
临界阻尼
欠阻尼
22
0? ? ?? ? ? ?1,2s
两个待定系数，两个初始条件
uc(0+)= uc(0-)=U0
i (0+)= i(0-)=0
可定得系数
0 ( 2 ),
LR
C?? ??( 1 ) 当 时 属过阻尼情况:
1212() s t s ti t A e A e??
由 i(0+)=0得,
A1+A2=0 ————①
又由 uL(0+)= uc(0+) -Ri(0+)=U0 - R× 0= U0得,
将 i(t)表达式代入并令 t=0+ 有,
00( 0 )Lt
diu L U
dt ?????
0
0t
Udi
d t L?? ?
L(A1S1+A2S2)=U0 ————②
由①②联立得,
0
12
12()
UAA
L s s? ? ? ?
120
12
( ) ( )() s t s tUi t e eL s s???故
0 0
1( ) ( )t
cu t U i dC ???? ?
120
0 0
12
()() t ssUU e e dC L s s ?? ?? ? ?? ?
12
12
1
0
21
21
( ) ( t 0 )
ss
LC
s t s tU s e s e
ss
?
??
??
120
12
( ) ( )() s t s tUi t e eL s s???
120
21
21
( ) ( ) ( t 0)s t s tc Uu t s e s ess? ? ??
U0
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
过阻尼情况
非振荡过程
2 LR C?原因：,能量消耗太快。
电容一直放电（电容功率
pc= -uc(t)i(t)≦ 0)，不能产生振荡。
电流极大值时刻在 t=tm处。
m
() 0 td i t
dt ?令 可求出
0 ( 2 )
LR
C?? ??( 2 ) 当 时，临界阻尼
-( ) ( ) ti t A B t e ???
s1=s2= -?
可定得系数,
0UA = 0 B =
L
0U( )=
L
ti t t e ??
0 0
0
1
( ) U - ( )
C
= U ( 1 ) ( t 0 )
t
c
t
u t i d
te ?
??
? ?
?
??
?
故,
由初始条件
i (0+)= 0
uc(0+) =U0 uL(0+) =U0
00Ut
diL
dt ?? ?
0U( )=
L
ti t t e ??
0 0
0
1
( ) U - ( )
C
= U ( 1 ) ( t 0 )
t
c
t
u t i d
te ?
??
? ?
?
??
?
U0
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
临界阻尼情况
波形与过阻尼情况相似,uc
单调衰减，无振荡（处于振
荡与非振荡的临界状态）。
0 ( 2 ),
LR
C?? ??( 3 ) 当 欠阻尼情况
12( ) ( c o s s i n )t ddi t e K t K t? ?????
220 d? ? ?其中 = - 称为 衰减振荡角频率
22
1,2 0s dj? ? ? ? ???= - - = -
（共轭复根）
由初始条件
i (0+)= 0
uc(0+) =U0 uL(0+) =U0
00Ut
diL
dt ?? ?
0
12
U K 0 K
d L?
??得：
0( ) s i nt
d
d
Ui t e t
L
? ?
?
??
0 0
1
( ) U - ( ) V A R
C
()
= ( ) KV L
t
cu t i d
di t
Ri t L
dt
???
?
? （）
（ ）
0( ) ( c os s i n )t
c d d d
d
Uu t e t t? ? ? ? ?
?
???
欠阻尼情况
0 t(s)
包络线 U0e-?t U0 uc(t)
i(t)
2
d
?
?
减幅振荡
欠阻尼情况
0 t(s)
包络线 U0e-?t U0 uc(t)
i(t)
2
d
?
?
物理解释,
R较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（ pc有正
有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，
如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。
特例：当 R=0时,?=R/2L=0,无损耗，响应为等幅振荡。
S1,2=± j?0 (虚数），称为 LC自由振荡 （正弦波发生器）
例：如图 RLC电路,R= 4?,L=1H,uc(0)=4V,i(0)=2A,
t=0时刻 K闭合，试分别计算（ 1） C=1/20F（ 2）
C=1/4F（ 3） C=1/3F 时电流 i(t)。 R K
L uL
+
-
i(t)
RLC串联电路
+ - uR
uc
+
-
C
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
解,电路方程为,
22
0? ? ?? ? ? ?1,2 s
特征方程特征根,
0
412
2 2 1
R
L LC??? ? ? ??其中
0
111 F 20 / )
11
20
rad s
LC
? ? ? ?
?
1（）当C = 时,（
20
02 < 2 0 ????故 （欠阻尼）
21,2 2 2 2 0 2 4sj? ? ? ? ? ? ?
2 12( ) ( c o s 4 s i n 4 )ti t e K t K t???
初始条件 i(0)=2A →K 1=2 ——（ 1）
uc(0+)=4V → uL(0+)= uc(0+)-R i(0+) = -4V
0
( 0 ) 4 ( A / )L
t
d i u s
d t L?
?
? ? ? ?
故 -2K1+4K2=-4 ———（ 2）
由 (1)(2)联立得,K1=2 K2=0
2( ) 2 c o s 4 ( A ) t 0ti t e t?? ? ?
0
112 F 2 / )
11
4
ra d s
LC
? ? ? ?
?
1（ ）当C = 时,（
4
12 2ss? ? ?
2( ) ( ) ti t A B t e ???
由初始条件 i(0)=2A
0 4 ( A / )t
di s
dt ?? ??
可得,A=2 B=0
2( ) 2 ( A ) t 0ti t e ?? ? ?
0 2 ????
（临界阻尼） 故,
0
113 F 3 / )
11
3
rad s
LC
? ? ? ?
?
1（ ）当C = 时,（
3
312() tti t A e A e????
0??? （过阻尼）
故,
22 2 3 2 1 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,2 s 或
由初始条件 i(0)=2A
0 4 ( A / )t
di s
dt ?? ??
A1=A2=1
3( ) ( A ) t 0tti t e e??? ? ? ?
二,RLC串联电路的零状态响应
如图 RLC 零状态 电路,t=0时 K
闭合，分析 t>0时 uc(t)=?
( ) ( )csdiR i t L u t Udt? ? ?
由 KVL及 VAR,
2
2
() ()cc
Cs
d u t d uL C R C u t U
d t d t? ? ?
() cdui t C dt?
R K
L uL
+
-
i(t)
+ - uR
uc - +
C
+
-
Us
整理得,
2
2
1 ()c c s
C
d u d u UR ut
d t L d t L C L C? ? ?
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u
全解
1212() s t s tchu t A e A e??
csPuU?
（用稳态解作特解）
1212() s t s tcsu t A e A e U? ? ? ?
初始条件 uc(0+)=0 → A 1+A2+Us=0 ——(1)
i(0+)=0 →
0
( 0 ) 0c
t
du i
d t C?
?
? ??
→ A 1S1+A2S2=0 ——(2)
（设 s1,2为相异单根）
由 (1)(2)有,
2
1s
21
-sA = U
s - s
1
2s
21
sA = U
s -s
12
21
21
( ) ( ) t 0s t s tscs Uu t U s e s ess? ? ? ??
故,
12
12
( ) ( ) t 0() s t s tcsdu Ui t C e edt L s s? ? ? ??
强制响应 固有 （自由） 响应
12
21
21
( ) ( ) t 0s t s tscs Uu t U s e s ess? ? ? ??
12
12
( ) ( ) t 0() s t s tcsdu Ui t C e edt L s s? ? ? ??
2,LR C?( 1 ) 当 时 过阻尼（非振荡充电）
Us
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
过阻尼情况 (非振荡充电）
( ) 1 t 0tc s su t U U t e ?? ?? ? ? ?（）
( ) t 0tsUi t t eL ????
2,LR C?( 2 ) 当 时 临界阻尼（非振荡充电）
波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。
2,LR C?( 3 ) 当 时 欠阻尼（振荡充电）
( ) tsc s d d d
d
Uu t U e ? ? ? ? ?
?
??? （ c o s t + s i n t ）
( ) si n t t 0ts d
d
Ui t e
L
? ?
?
???
欠阻尼情况（振荡充电）
0 t(s)
Us
i(t)
uc(t)
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
5.1 电容元件与电感元件
5.2 换路定理与初始值的计算
5.3 直流一阶电路的时域经典求解法
5.4 直流一阶电路的三要素法
5.5 阶跃函数与阶跃响应
5.6 正弦信号作用下的一阶电路
5.7 RC微分电路和积分电路
5.8 二阶电路时域经典分析法
5.1 电容元件与电感元件
一,电容元件 (capacitor)
电路符号
C
+ + + +
– – – –
+q
–q
电容器
即时性元件 与 动态元件
按介质材料分为,
云母电容、瓷介电容、纸介电容、有机薄膜电容、电解电容
1,电容及其伏安关系特性,
d e f
c
qC
u
?
C 称为电容器的电容
单位,F (法 ) (Farad，法拉 )
F= C/V
常用 ?F,nF,pF等表示。
C
ic
uc
+
–
+q
电容积累的电荷量,
q=Cuc
–q
q
uc O
C= q/u ?tg? ?
线性电容的 VAR,(设 uc,ic 取关联参考方向 )
C
ic
uc
+
–
+
–
即,
c
c
dudqiC
dt dt??
q
uc O
线性电容 q~uc 特性 非线性电容 q~uc 特性
c
c
duiC
dt?
说明,
(1) ic的大小取决与 uc 的变化率，与 uc 的大小无关；
(微分形式 )
(3) 若 uc,ic非关联取向, 则 ic= –Cduc/dt 。
(2) 电容元件是动态元件。
c
c
duiC
dt?
特例：如右图 C uc + – E
uc=E (直流） ic=0
电容元件具有 隔直流通交流 的特点。
直流电路中电容相当于开路。
ic=0
电容充放电形成电流,
(1) uc>0,duc/dt>0，则 ic>0,q ?，正向充电
(电流流向正极板 )；
(2) uc>0,duc/dt<0，则 ic<0,q ?，正向放电
(电流由正极板流出 )；
(3) uc<0,duc/dt<0，则 ic<0,q?，反向充电
(电流流向负极板 )；
(4) uc<0,duc/dt>0，则 ic>0,q ?，反向放电
(电流由负极板流出 )；
C
ic
uc
+
–
+
–
例,如图 (a)电路,u(t)波形如图 (b)，求电流 ic的波形。
C u(t)
+
– 2F
ic
(a) (b)
u(t)V
t(s) 0 1 2 3 4
0.5
-0.5
(b)
u(t)V
t(s) 0 1 2 3 4
0.5
-0.5
(c)
i(t)A
t(s) 0 1 2 3 4
1
-1
解,
d
d cc
uiCV
tAR ?由电容的,
d2
d
c
c
ui
t?有：
d2 2 0,5 1
d
c
c
uiA
t
? ? ? ?
:在0 1s 内：
d2 2 ( 0.5 ) 1
d
c
c
uiA
t
? ? ? ? ? ?
:在1 3s 内：
d
2 2 0,5 1
d
c
c
u
iA
t
? ? ? ?
:在3 5s 内：
2,电容的记忆性,
cc duiC dt?
0
0
0
0
0
0
()
111 ( ) d d
1 d
11 dd
c c c c
c c
cc
t t t
t
t
t
t
t
u t i i i d
CCC
ui
C
ii
CC
? ? ?
?
??
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
??
?
??
??
0
0
() 1 d
c c
t
ui
C
???
?
1( ) dc ctu t iC ???? ?
微分形式 VAR
积分形式 VAR
0 0() 1 d
c cui C ???? ? 称为电容电压的 。 初始值
其中,
u
+
-
ic
C
(a)
具有初始电压的电容
1 01 dc
tuiC ?? ?C
uc(0) + -
+
-
u
+
-
(b)
相应的等效电路
例,如图 (a)电路,uc(0)= -1V,C=0.5F,is(t)波形如图 (b)，
t=0时电流源开始对电容充电，求电容电压 uc(t) ～ t 波形。
ic
0.5F uc(t)
+
-
is(t)
(a)
is(t)(A)
t(s) 0
0.5
-1
1 2 3
(b)
uc(t)(V)
t(s) 1 2 3
-1
-2
(c)
1( ) dc ctu t iC ???? ?由V A解 R:,
( ) ( 0 ) 1ccu t u V? ? ? ?( 1 ) t 1 s 时,
1
1
1( ) ( 1 ) d
11 0,5 d
0,5
2
( 2 ) 2 2 0
cc c
c
t
t
u t u i
C
t
uV
?
?
??
?? ?
? ? ? ?
??
???
( 2 ) 1 t 2 s 时:
2
2
1( ) ( 2 ) d
10 ( 1 ) d
0,5
42
( 3 ) 4 2 3 2
cc c
c
t
t
u t u i
C
t
uV
?
?
??
?? ?
? ? ??
??
? ? ? ? ?
( 3 ) 2 t 3 s 时:
(4) t>3s时,uc(t)= -2V
3,电容的惯性（电容电压的连续性）
如前例，当充电电流 ic(t)为有限大（非无穷大）时，
尽管 ic(t)在某些时刻不连续，但 uc(t)却连续。即电容电压
不能突变，称为电容的 惯性 。
＊ t=0,0-,0+的意义 0 t
0- 0+
0
0
1( 0 ) ( 0 ) d
( 0 ) 0 ( 0 )
cc c
cc
u u i
C
uu
????
?
???
?? ?
??当i 有限大时 c
即,uc(0+)= uc(0-)
可推广到,uc(t0+)= uc(t0-)
4,电容的储能
故电容是非耗能元件，它本身不消耗能量，起
存储、转化电场能的作用。
( ) ( ) ( )ccp t u t i t?吸
2
( ) 0
2 2 2
d 1
( ) d d ( )
d2
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
c
t
tt
c
C c c c c
u
c c c
u
W t u i Cu Cu
Cu t Cu Cu t
? ? ?
?? ? ? ? ??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
若
〉 0，表吸收功率，转化
为电场能储存
〈 0，表释放所存储的电场能
电容储能,
21( ) ( )
2CcW t Cu t?
即,
从 t0到 t 电容储能的变化量,
22
0
11 ( ) ( )
22C c cW Cu t Cu t? ? ?
可见电容储能只与该时刻电压有关，而与 ic 无关。
故电容电压 uc(t)————表征电容储能状态的物理量
称为电容的 状态变量 。
二,电感元件 (inductor)
线性电感元件,电感元件的磁链 ?与电流 iL成正比。
（如：空心线圈）
1,电感元件 及其 VAR
? i
L
N匝 如右图电感线圈，当线圈中通
以电流 iL时，建立起磁通 ?。
定义,?=N? ——磁链，单位：韦伯（ Wb)
定义,L=?/iL ——线圈的电感，单位：亨利（ H)
电感的大小由线圈的匝数、几何形状、尺寸及其
芯材料的磁导率等因素决定。
非线性电感元件：电感元件的磁链 ? 与电流 iL不 成正比。
（如：铁芯线圈）
?
–
uL
+
iL
N匝
?
iL O
L= ? / iL ?tg? ?
?
iL O
线性电感 ? ~ iL 特性 非线性电感 ? ~ iL 特性
当 iL变化时,?,?相应变化，由焦耳 ——楞次定
律，必产生感生电压 uL，试图抑制 ?的变化。
电路符号
L
iL
uL
+
–
对于线性电感，设 uL,i L取关联参考方向,
L
iL
uL
+
–
或
1 ( ) d
L L
ti t u
L ???? ?
d d( ) d
d d d
LL
L
ψ L i iuL
t t t? ? ?
自感电压,
注, (1) uL的大小取决与 i L的变化率，与 i L的大小无关。
(2) 电感元件是动态元件。
当 i L为常数 (直流 )时,diL/dt =0 ? uL=0。
电感在直流电路中相当于短路线。
(3)uL,iL为非关联方向时,uL= –LdiL/dt 。
2,电感元件是一种记忆元件。
0
0
0
0
0
0
0
( 0 )
()
111 ( ) d d
1 d
11 d
1
L L L L
L L
LL
L L
t t t
t
t
t
t
t
t
i t u u u d
LLL
iu
L
u u d
LL
i u d
L
? ? ?
?
??
?
?? ??
??
?
? ? ?? ? ?
?? ?
????
? ?
0( 0 ) 1 d
L LiuL ???? ?
其中,称为电感的 初始电流
L
iL
uL
+
–
L
iL
uL
+
– iL(0)
1 () 01 d
t
LtiuL ?? ?
(b)相应的等效电路 (a)具有初始电流的电感
3,电感的惯性 （ 电感电流的连续性 ）
iL(0+)=iL(0-)
即：电感的电流不能突变。
0
0
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 d u LL L LLi i u iL ??? ? ?
?
? ?? ?Q 当 有限时
4,电感的储能
d( ) ( ) ( )
d
L
L L L
ip t u t i t i L
t? ? ?吸
功率,>0,表吸收功率,转化为磁场
能储存起来。
<0,表产生功率,即释放所储
存的磁场能。
注, 电感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存储转换磁场能
的作用。
电感的储能只与其电流 iL有关，与其电压无关。 故电感电流 iL(t)
是表征电感储能状态的物理量，称为电感的 状态变量 。
从 t0 到 t 电感储能的变化量,
2 2 2 2
00
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2L L LW L i t L i t t tLL??? ? ? ? ?
2 2 2
( ) 0
22
d 1 1 1
( ) d ( ) ( ) ( )
d 2 2 2
11
( ) ( ) 0
22
L
t
t
L
L L L L L
i
L
i
W t Li Li Li t Li
Li t t
L
??
?
?
??
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
若
某时刻 t 电感的储能,
即,
21( ) ( )
2LLW t L i t?
电容元件与电感元件的比较,
电容 C 电感 L
变量
电流 i
磁链 ?
关系式
电压 u
电荷 q
结论, (1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i,q-?, C-L,i-u互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件,?, q等称为对偶物理量。
* 显然,R,G也是一对对偶元素,
I=U/R ? U=I/G
U=RI ? I=GU
22
2
1
2
1
d
d
ψ
L
LiW
t
i
Lu
Liψ
L ??
?
?
22
2
1
2
1
d
d
q
C
CuW
t
u
Ci
Cuq
C ??
?
?
对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路,
例 1,
网孔电流方程,
(R1 + R2)il = us
节点电压方程,
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is,
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
2,对偶元素,
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KC
L
KV
L
L
C
R
G is
us 串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
5.2 换路定理与初始值的计算
换路
信号突然接入或改变
电路的通断
电路参数的改变
电路换路后必然引起过渡过程。
过渡过程是一种稳态到另一种新的稳态之间的过程。
E R C u
c
ic
K
稳态 稳态 过渡过程
E
E/R
t t1
ic
uc
过渡过程（瞬态过程）
1,换路及过渡过程的产生
① 持续时间一般很短（ ?s—ms)
② 其间电压电流与稳态时变化规律不同，常出现高电
压、大电流（可能损坏设备）。如：高压开关断闸产
生火花。
瞬态过程的分析方法
经典法,由 VAR,KVL,KCL建
微分方程并求解。
变换域分析法,如拉普拉斯变换
（复频域分析法）
过渡过程（瞬态过程）的特点,
电阻,纯耗能元件，无过渡过程。 （即时性元件）
电感与电容,储能元件，有过渡过程。 （动态元件）
2,换路定理
21( ) ( )
2CcW t Cu t?
21( ) ( )
2LLW t L i t?
电路的状态量 （储能状态）：电容电压和电感电流
通常设电路换路发生在 t=0时刻，则,
原始状态（ t=0-时的状态）
初始状态（ t=0+时的状态）
* 零状态电容（ uc=0)与零状态电感（ iL=0)
换路定理,
① 在电容支路电流 ic为有限值的情况下，换路瞬间,
电容端电压 uc保持不变。
② 在电感支路电压 uL为有限值的情况下，换路瞬间,
电感中电流 iL保持不变。
数学形式,
uc(0+)=uc(0-)
iL(0+)=iL(0-)
实质：电容所储存的电场能和电感所储存的磁场能
不能突变。即电路的储能状态不能突变。
3,初始值的计算
0 0 1 ( 0 ) ( 0 )
( 2 ) ( ( )
L
L L t
LL
diR L t K i u
dt
iu
?? ? ?
?
??
例：如图 电路,时刻 闭合，（）求,,
求 ）,。解,
① t<0时，电路处于稳态
iL(0-) =0 A
② t=0+时，由换路定理
iL(0+) =iL(0-) =0 A
③ 作 t=0+时刻等效图（图 b)
uL(0+)=Us-RiL(0+)
=6- 2× 0=6V
-
+
iL(0+) 2?
uL(0+)
+
-
6V Us
(b) 0+等效图
R
K
-
+
iL(t) 2?
L=3H uL(t) +
-
6V Us
(a)
K
0
0
( 0 )
( 0 ) 6
2 ( / )
3
L
Lt
LL
t
di
u
dt
d i u
As
d t L
?
?
??
?
? ? ? ?
又因 = L
故
④ t= ∞时（图 c），电路重新达到稳态,L相当于短路线。
iL(∞)=6/2=3A
uL(∞)=0
电感电流 iL不能突变，即 iL(0+)= iL(0-),但电
感电压 uL可能突变。本例中 uL(0+) 不等于 uL(0-)
同理，电容电压 uc不能突变，即 uc(0+)= uc(0-),
但电容电流 ic可能突变。
注,
-
+
iL(∞) 2?
uL(∞)
+
-
6V Us
(c) t= ∞时等效图
R
L
K
例, 如图 (a)，电路原处于稳态,K于 t=0时刻闭合，①求初
始值 ic(0+),uL(0+)及 i(0+) 。 ②求 ic(∞), uL(∞)及 i(∞) 。
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
解,
① 求原始状态 uc(0-)及 iL(0-)
t<0时（直流稳态），故,
电容视为开路，电感视为短路。
即,ic(0-)=0 uL(0-)=0
故,
iL(0-)=Us/（ R2+R3)=12/（ 4+2） =2A
uc(0-)=R2iL(0-)=4× 2=8V
② 由换路定理有,
iL(0+)= iL(0-) =2A uc(0+)= uc(0-) =8V
作 0+等效图（图 b）
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
ic(0+) u
L(0+)
+
-
i(0+)
-
+
-
+
12V Us
R1
R2
4? 5?
uc(0+)
iL(0+)=2A
(b) 0+等效图
8V
在 0+等效图中,
电容元件用 uc(0+)电压源代替
电感元件用 iL(0+)电流源代替
激励源取 t=0+时 Us(0+)
③ 由 0+等效图有,
s + c +
1
s + 2
u ( 0 ) - u ( 0 ) 12 8
( 0 ) 0.8
R5
( 0 ) u ( 0 ) - R ( 0 ) 12 4 2 4
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0.8 2 2.8
c
LL
cL
iA
u i V
i i i A
?
??
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
-
+
12V Us
R1
R2 R3
K
2?
4?
5?
uc +
-
ic u
L
+
-
iL
i
(a)
+
- -
+
12V Us
R1
R2
4? 5?
(c) t=∞等效图
uL(?)
i(?)
ic(?)
故 ic(?)=0 uL(?)=0
i (?)=12/4=3A
④ t=? 时作等效图 c
此时电路重新达到直流稳态
电容视为开路，电感视为短路。
例：如图 (a)零状态电路,K于 t=0时刻闭合，作 0+图
并求 ic(0+)和 uL(0+)。
Us
K
C
R1
R2
L
(a)
uL
+
-
ic
Us
K
C
R1
R2
L
(b) 0+图
uL(0+)
+
-
ic(0+)
① t<0时，零状态 → uc(0-)=0 iL(0-)=0 解,
② 由换路定理有,uc(0+)= uc(0-) =0 iL(0+)= iL(0-) =0
作 0+图,零状态电容 → 零值电压源 → 短路线
零状态电感 → 零值电流源 → 开路
③ 由 0+图有,ic(0+)=Us/R1 uL(0+)=uR(0+)=Us
注,ic与 uL在 t=0时刻有突变。
5A
is 10?
5? 5?
C1 C2
i(t)
i1(t)
i2(t) K
uc1 +
-
uc2 +
-
+
-
5A
is 10?
5? 5? i(0+)
i1(0+)
i2(0+)
50V
a
0+等效图
练习, 如图电路原处于稳态,uc2(0-)=0,t=0时刻 K闭合，作
0+图并求 i(0+),i1(0+)及 i2(0+)。
解,(1) u
c1(0-)=5× 10 =50V uc2(0-)=0
(2) 由换路定理,uc1(0+)= uc1(0-) =50V uc2(0+)= uc2(0-) =0
(3) 由 0+图用节点分析法,
501 1 11 0 5 5 55? ? ? ?a（ ）u
得,ua=30V
进一步可得,i(0+)=3A i1(0+)= -4A i2(0+)=6A
思考,
电容、电感有时看作开路，有时看作短路，有时看作
电压源（对电容），有时又看作电流源（对电感），
为什么？
5.3 直流一阶电路的时域经典求解法
☆ 电路的阶数
☆ 一阶电路（ First Order Circuit)
☆ 零输入响应和零状态响应
一般情况下，电路的响应是由输入激励信号和内
部储能元件初始储能共同作用产生。
零输入响应 yzi(t),仅由电路初始储能引起的响应。
（输入激励为零）
零状态响应 yzs(t),仅由输入激励引起的响应。
（初始储能为零）
一、一阶电路的零输入响应
1,RC电路的放电过程,
uc(t) +
-
uR(t) R
+
-
i(t)
K
(a)
如右图，已知 uc(0-)=U0,K
于 t=0时刻闭合，分析 t≧ 0
时 uc(t), i(t)的变化规律。
① 各变量参考方向如图,t≧ 0时，由 KVL有,
Ri(t)= uc(t)
( ) (cdui t C dt?? 非关联）
又有 VAR,()c
c
duR C u t
dt??
整理有,
1 ( ) 0c
c
du ut
d t R C??
一阶常系数齐次微分方程
1 ( ) 0c
c
du ut
d t R C??
一阶常系数齐次微分方程
其特征根方程,
1 0S
RC??特征根
1S
RC??
1
( ) ( 0 )tst RCcu t A e A e t?? ? ? ?
又有初始条件,uc(0+) = uc(0-) =U0 （换路定理）
1
0( ) ( 0 )
tRC
cu t U e t
?? ? ?
1
0( ) ( 0 )tc RCd u Ui t C e t
d t R
?? ? ? ?
uc(t) +
-
uR(t) R
+
-
i(t)
K
(a)
② 作 uc(t)和 i(t)波形如图（ b）
③ 时间常数 ?=RC 量纲：时间量纲 (s)
④ 电路的固有频率（ natural frequency）
⑤ 能量去向
它决定了电路的响应模式
（衰减、发散、振荡）
uc(t)
i(t)
t 0
U0
U0/R
(b)
??，衰减越慢
? ?，衰减越快 极限情况
R→0,则 ? → 0
R→∞,则 ? → ∞
?
11S
RC? ? ? ?
2,RL电路的放电过程,
(a)
E R0 R K
L uL
iL
+
-
如图电路原处于稳态,t=0时 K断
开，分析电感放电过程中 iL (t)和
uL(t)的变化规律。
分析,t<0时已达稳态,L中电流为 I0=E/R0
t≧ 0时，电感以初始储能来维持电流 iL (t)（放电）
① 换路后（ t≧ 0），由 KVL有,
( ) 0L LdiL R i tdt ??即,
( ) 0L Ld i R itd t L??
特征根,
RS
L??
( ) ( 0 )R tLLi t A e t???
故,
由初始条件,iL(0+)= iL(0-)=I0=E/R0 (换路定理 )
?
?
00()
L
tR Rt
L
Li t I e I e
?
??
?? ?
令
00()
tR t
L L
L
diu t L R I e R I e
dt
??? ? ? ? ? ?
（ t≧ 0）
② 作 iL(t)和 uL(t)波形如图（ b）
iL(t)
uL(t)
t 0
I0
-RI0
(b)
可见 iL(t)连续,uL(t)不连续
③ ?=L/R 也称为 时间常数
④ 时间常数 ?与过渡过程长短的关系
(a)
E R0 R K
L uL
iL
+
-
极限情况,R→0,则 ? →∞
R→∞,则 ? → 0 此时 uL(0) → ∞ （瞬间高压）
时间常数 ?=RC或 L/R，表征电路固有性质，反映
过渡过程长短。
iL(t)
uL(t)
t 0
I0
-RI0
(b)
以前例 RL电路放电过程为例,
?
0()
t
Li t I e
??
t= ?时,iL(?)/I0=e-1=36.8%
t= 2?时,iL(2?)/I0=e-2=13.5%
t= 3?时,iL(3?)/I0=e-3=5%
… …
t= 5?时,iL(5?)/I0=e-5=0.7%
一般认为经过 3-5 ?时间后瞬态过程已经结束。
练习,
如图，电路原处于稳态,t=0时
K由 1转向 2，求 t>0时 i(t)=?
3A 1?
1?
2? 1F
i(t) 1 2
2( ) 1, 5 ( ) ( 0 )
t
i t e A t???答案：
2
2
( ) 3 ( )
( ) 1,5 ( ) ( 0 )
t
c
t
c
u t e V
du
i t C e A t
dt
?
?
?
? ? ? ?
Q
二、一阶电路的零状态响应
1,RC电路的充电过程,
已知 uc(0-)=0,t=0时刻 K
闭合，分析充电过程中 i(t)和 uc(t)。
（ 1）由 KVL及 VAR写电路方程（ t>0)
( ) ( )cR i t u t E??
() cdui t C dt?
()c cduR C u t Edt ??
标准形式,
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
一阶常系数非齐次方程
E R C u
c
i
K
+
-
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
（ 2）解如上非齐次微分方程,
先求齐次通解 uch，即相应齐次方程,
1 ( ) 0c
c
du ut
dt RC??
的解
1
() tRCchu t A e ??显然,
再求特解 ucp （可设为与输入激励相同的形
式，或用稳态解作为特解） u
cp=E
全解 uc(t)=齐次通解 uch(t)+任意特解 ucp
1
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u =
tRCA e E? ?故
1
c (t)=
tRCu A e E? ?
（ 3） 由初始条件定系数
uc(0+)= uc(0-)=0 → A= -E
11
c ( t ) = ( 1 ) ( )
ttR C R Cu E E e E e V??? ? ? ?
1
( t ) = C ( ) ( 0 )tc RCdu Ei e A td t R ???
（ 4） 作波形曲线。
E
E/R
t
ic
uc
0
即,
强制响应
固有响应
（自由响应）
2,RL电路的充电过程,
-
+
Us
R1
R2
K
L uL=？
+
-
iL=？
(a)已知 iL(0-)=0
t=0时 K闭合
-
+
E
R
K
L uL=？
+
-
iL=？
(b) t>0时 Thevenin等效
（ 1） 对 (b)图,t≧ 0时由 KVL有,
()( t ) + L L
L
d i tR i E
dt ?
() + ( t )L
L
d i t R Ei
d t L L?即,
() + ( t )L
L
d i t R Ei
d t L L?即,
h (t)
R t
LLi Ae ??( 2 ) 齐次通解,
p (t)L
Ei
R?特解（用稳态解）
hp( t ) = ( t ) +
L L L
R
t
L
i i i
E
Ae
R
?
??
故全解,
初始条件 iL(0+)= iL(0-)=0 → A= -E/R
(t)
R t
L
L
EEi
RR e
?? ? ?
( t ) ( t 0 )
R t
L
L
EEi
RR e
?? ? ? ?
( t ) ( t 0 )
R t
L L
L
diu L E
dt e
?? ? ?
（ 3）作波形曲线。
E
E/R
t
iL(t) uL(t)
0
-
+
E
R
K
L uL=？
+
-
iL=？
(b) t>0时 Thevenin等效
强制响应 固有响应
小结,
对于 直流 一阶 电路，其响应一般都可表为如下形式,
( ) ( 0 )
t
y t y e ????
( ) ( ) ( 1 )
t
y t y e ??? ? ?
零输入响应,
零状态响应,
三、一阶电路的全响应
已知 uc(0-)=U0,t=0时刻 K
闭合，分析 t≧ 0时 uc(t)=? E
R
C uc
i
K
+
-
分析：电路方程与零状态响应情况相同，仅初始条件不同。
( ) ( )cR i t u t E??
() cdui t C dt?
()c cduR C u t Edt ??
标准形式,
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
1 ()c
c
du Eut
d t RC RC??
1
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u =
tRCA e E? ?全解
由初始条件 uc(0+)= uc(0-)=U0 → A+E=U 0
得,A= -(E - U0)
故全响应,
1
c0u ( t ) = ( )
tRCE E U e ???
E
U0
t
uc(t)
0
1
c0u ( t ) = ( )
tRCE E U e ???
四、响应的分解
E R C u
c
i
K
+
- 如前 RC电路的全响应,
全响应 = 强制响应 + 固有 （自由） 响应
（ 即特解 ） + （ 即齐次通解 ）
11
c0u ( t ) = ( 1 )
ttR C R CE e U e????
稳态响应 + 暂态响应
全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
全响应
零状态响应
零输入响应
自由响应分量
强制响应
自由响应
稳态响应
暂态响应
等幅部分
减幅部分
响应的分解
0.5F uc
K
+
-
+
-
1?
us
如图电路,uc(0-)= -1V,
tsu e V??
K于 t=0时刻闭合，求,
① t≧ 0时 uc(t)=?
2 0 ( )?tscu e V t u t?? ? ?若,重求 时
②
例,
解,（ 1） t≧ 0时电路方程为,
代入 R,C值有,
2() tchu t A e ??齐次通解
()1 ()cs
c
du u tut
dt R C R C??
2 ( ) 2 tc cdu u t edt ???
①
强制响应
固有响应
（自由响应）
() tcpu t B e ??特解设为
（形式与输入激励相似）
将特解代入①式有,
t t t22Be Be e? ? ?? ? ?
2 ( ) 2 tc cdu u t edt ???
①
B=2
c c h c p
- 2 t - t
( t ) = ( t ) + ( t )
= 2
u u u
A e e?
全解
代初值 uc(0+)= uc(0-)= -1V，有,A=-3
暂态响应
（无稳态）
- t - 2 t( ) 2 3 ( V ) ( 0)cu t e e t? ? ? ?
2 tsu e V??若,则方程为：
②
22 ( ) 2 tc
c
du u t e
dt
???
②
2() tchu t Ae ??
齐次通解,
因输入函数为 2e-2t，其指数因子 -2 刚好为特征
方程的单根，故特解应设为,
-2cp () tu t B t e?
代入②中,
- 2 - 2 - 2 - 22 2 2t t t tB e B te B te e? ? ?
得,B=2
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0 )u A e t e V t??全解
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0 )u A e t e V t??全解
代初值 uc(0+)= uc(0-)= -1V，有,A= -1
- 2 t - 2 tc ( t ) = 2 ( ) ( 0)u t e e V t? ? ?
5.4 直流一阶电路的三要素法
一、三要素法的推证
对直流一阶电路全解 y(t)=齐次通解 yh(t)+特解 (稳态解） yp
0-
++( 0 ) = ( ) ( 0 ) - ( )y Ae y A y y? ? ? ? ? ?
令 t=0+，则,
-( t ) = ( ) ( 0 )ty Ae y t? ? ? ?
即,
故,
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
三要素法公式
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
三要素,
① 初始值 y(0+)
② 终值 y(?)
③ 时间常数 ?=RC或 L
R二、三要素法的应用
3V 3V
1? 1?
2? 5H a b
i(t)
iL(t)
(a)
K 例,如图电路原处于稳态，
t=0时刻 K由 a转向 b，用三要
素法求 t≧ 0时 i(t)及 iL(t)，并
作出其波形。
3V 3V
1? 1?
2? 5H a b
i(t)
iL(t)
(a)
K
3V
1? 1?
2? -1.2A b
i(0+)
iL(0+)
(b) 0+等效图
解, （ 1）求初始值 iL(0+)和 i(0+)
-
3 2 6( 0 ) = -
1 + ( 2 //1 ) 2 1 5LiA ? ? ??
+-
6( 0 ) = ( 0 ) =
5LLi i A??
作 0+等效图（ b)
1× i(0+)+2 × [i(0+)-(-1.2)]=3 → i(0+) =1/5 A
（ 2） 求终值 iL(?)和 i(?) （图 c）
3V
1? 1?
2? b
i(?)
iL(?)
(c) t= ?等效图
26( ) = ( )
1 + 2 5Li i A? ? ? ?
1? 1?
2?
(d) 求 ?时 等效图
R0
0
L
R? ?
（ 3） 时间常数 （图 d）
0
5= 1 ( 2 / / 1 )
3R ? ? ?
等效内阻，从动态元件两端看出去
0
5= 3 ( )
5 / 3
L s
R? ??
-( t ) = ( ) [ ( 0 ) ( ) ] ty y y y e ?
?? ? ? ?
（ 4） 由
Ai 59)1//2(1 3)( ????
336 6 6 6 1 2( ) = ( ) ( ) ( 0 )
5 5 5 5 5
tt
Li t e e A t
??? ? ? ? ? ?
339 1 9 9 8( ) = ( ) ( ) ( 0 )
5 5 5 5 5
tt
i t e e A t??? ? ? ? ?
（ 5） 波形（图 e）
t
i(t)
0
9/5
6/5
1/5
-6/5
(A)
iL(t)
例：如图 (a)电路,uc(0-)=2V,t=0时 K闭合，试用
三要素法求 t≧ 0时 uc(t)及 i1(t)。
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2?
1F
i1(t)
uc(t) +
-
(a)
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2? i1(0+)
(b) 0+图
+
-
2V
解, （ 1）求初始值 uc(0+)及 i1(0+)
uc(0+)= uc(0-)=2V，作 0+图 (b)有,
6i1(0+)-2i1(0+)=12 → i1 (0+)=3A
（ 2） 求终值 uc(?)及 i1(?)
-
+ 6?
12V Us
K
2i1
+
-
2? i1(?)
(c) t=?等效图
uc(?)
+
-
6i1(?)-2i1(?)=12 → i1 (?)=3A
uc (?)= -2 i1 (?)= -6V
6?
2i1
+
-
2? i1
(d) 求 ? 时等效图
+
-
U0
I0
（ 3）求时间常数 ? =R0C
设用外加电源法（图 d）
U0=2I0-2i1
6i1=2i1 → i1 =0
U0=2I0
故,等效内阻 R0=U0/I0=2 ?
时间常数 ? =R0C=2× 1=2(s)
（ 4） uc (t)= -6+[2-(-6)]e-t/2= -6+8e-t/2 (V) t≧ 0
i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A) t≧ 0
例,如图电路,K1,K2原处于断开状态,t=0时刻 K1闭
合，（ 1）求 K1闭合后 i1的变化规律。（ 2）若 K1闭合 1
秒后 K2也闭合，求 i1,i2及 i 的变化规律。
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i
分析,第一次换路后，是
一阶电路。第二次换路后
为二阶电路，但此二阶电
路可看作两个独立的一阶
电路，可借助一阶电路的
三要素法求解 。
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i （ 1） K1于 t=0时刻
闭合,K2断开
解,
i1(0+)=i1(0-)=0
i1(?)=Us/(R1+R2)=6/(2+1)=2A (稳态值）
? =（ L1+L2） /（ R1+R2） =（ 1+2） /（ 2+1） =1(s)
1 ( ) = 2 ( 0 2 ) 2 ( 1 ) ( A )tti t e e??? ? ? ?
（ 0≦ t ≦ 1s）
（ 2） 当 t=1s时,K2也闭合
i1(1+)=i1(1-)=2(1-e-1)=1.264 (A) i1(?)=Us/R1=6/2=3 (A)
时间常数 ?1=L1/R1=1/2 (s)
1
(t-1)
1 1 1 1( ) = ( ) + [ ( 1 ) - ( ) ] ei t i i i
??
???
2 ( 1 )
2 ( 1 )
3 ( 1.26 4 3 )
3 1.73 6 ( ) ( 1 )
t
t
e
e A t s
??
??
? ? ?
? ? ?
-
+
6V Us
K1 R1
2?
L1
1H
K2
R2
L2
1?
2H
i1 i2
i
i2(1+)=i2(1-)= i1(1-) =1.264 (A) i2(?)=0 (A)
时间常数 ?2=L2/R2=2/1 =2(s)
( t - 1 )
2
2
( t - 1 )
2
( ) = 0 + ( 1, 2 6 4 0 ) e
= 1,2 6 4 e ( A ) ( t 1 s)
it
?
?
?
?
故
三要素
法推广
i (t)= i1(t)- i2(t)
( t - 1 )
2 ( 1 ) 23 1, 7 3 6 1, 2 6 4 e ( A ) te ???? ? ?
i1(t) i2(t)
注,本例中 i1(t),i2(t)分别只有一个固有频率，
但 i (t)有两个固有频率（此二阶电路可看作两个
独立的一阶电路）
i1 i2
-
+
us 10V
100? 100?
R1 R2
L
C
10mH 1?F
K
iK
如图电路原处于稳态,t=0时刻 K闭合，求 K闭合后电
流 iK=?
思考,
参考答案,
410
2 ( ) = 0.1 e ( A ) ( t 0)tit ? ?
410
1 ( ) = 0.1 0.1 e ( A) ( t 0)tit ???
K 1 2( ) = ( ) + ( ) = 0, 1 ( A ) ( t 0 )i t i t i t ?
5.5 阶跃函数与阶跃响应
一,单位阶跃函数 （ unit step function）
1
U(t)
0 t
定义,U(t)=
0 t<0
1 t>0
t=0时刻不定义
显然,U(0-)=0 U(0+)=1
1
U(t-t0)
0 t t0
延时单位阶跃函数,
定义,U(t-t0)=
0 t<t0
1 t>t0
t=t0 时刻不定义 注,阶跃信号可用来表示特定时刻开始起作用的激励信号。
-
+ 动态
网络
K1 K2
2U(t) 5U(t-3) a
b
t=0时 K1由 1转向 2,
t=3s时 K2由 a转向 b
相当于一个 2U(t)电压源和 一个 5U(t-3)电流源
从 t= -?时 就接在电路中。
-
+ 动态
网络
K1 K2
2V 5A
b
a
2
1
二、分段直流信号的阶跃函数表示
2
f1(t)
0 t(s) 2
1,
f1(t)=2U(t) -2U(t-2)
2
f3(t)
0 t(s) 2
3,
3
-1
f3(t)= -1+3U(t)-3U(t-2)+U(t-3)
2
f2(t)
0 t(s) 2
2,
3 1
f2(t)=U(t-1)+U(t-2)-2U(t-3)
三、阶跃响应及其应用
单位阶跃响应,电路在 零状态 条件下，由单位阶跃信
号 U(t)作用下引起的响应。记为 rU(t)
线性时不变
零状态电路
单位阶跃
信号 U(t)
单位阶跃
响应 rU(t)
线性时不变
零状态电路
rU(t-t0) U(t-t0) K K
例：求如图 RL电路在矩形脉冲 us(t)作用下的响应
电流 i(t)，并作其波形。
1
us(t)
0 t(s) t0
R=1?
-
+
us(t) L=1H
i(t)
法一：分区间应用三要素法
?=L/R=1/1=1(s)
i(0-)=0 i(0+)= i(0-)=0
0≦ t ≦ t0时,
i稳态 =1/R=1(A)
故 i(t)=1+(0-1)e-t=1- e-t (A) 0≦ t ≦ t0
00( ) = 1 ( A )ti t e ??
t0 <t <? 时是以 i(t0)为初值的放电过程
0()
0( ) = ( ) + [ ( ) - ( ) ]
tt
i t i i t i e ?
??
???
0()
0= 0 + [ ( ) - 0 ) ]
tt
i t e ?
??
?
00
0
( ) ( )
0= ( ) = ( 1 ) ( A )
t t t t
ti t e e e??
????
?
? ?
1
i(t)
0 t(s)
01 te??
t0
0()
0()
tt
i t e ?
??
1- e-t
法二,利用阶跃响应
1
U(t)
0 t(s)
R=1?
-
+
us(t) L=1H
i(t)
（ 1）电路的单位阶跃响应
rU(t)=
1- e-t t≧ 0
0 t<0 = (1- e-t )U(t)
（ 2）输入信号 us(t)=U(t)-U(t-t0)
U(t) → r U(t)
i(t)= rU(t) -rU(t-t0)
-U(t-t0) → -rU(t-t0)
（ 3） 故 us(t)作用下零状态响应,
0- ( t - t )-t 0= ( 1- e ) U ( t ) - [ 1- e ] U ( t - t ) ( A )
i(t)= rU(t) -rU(t-t0)
()t? ? ? ? ?
1
i(t)
0 t(s)
01 te??
t0
rU(t)
-rU(t-t0)
i(t)
注 （ 1） 注意各阶跃响应的时间区间。
（ 2）方法二只适合于零状态时，若有初始储能，总
响应应加上零输入响应。
5.6 正弦信号作用下的一阶电路
一,正弦信号作用下的一阶 RC电路
C uc
K
+
-
+
-
R
us(t)
c o s ( )1 ()c m u
c
d u U tut
d t R C R C
?? ???
已知 us(t)=Umcos(?t+?u)
uc(0-)=0,t=0时 K闭合，求
t≧ 0时 uc(t)=?
电路方程,
( ) ( )c csduR C u t u tdt ??
即,
1
ch ( ) K
tRCu t e ??齐次通解,
特解形式设为,
ucp(t)=Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u)
将特解代入方程并比较系数定 A和 B,
- ?RCA sin (?t+?u) + ?RCB cos(?t+?u) +
Acos(?t+?u) +Bsin (?t+?u)= Um cos(?t+?u)
故,?RCB + A= Um
-?RCA + B= 0
m
2
m
2
U
A=
1 + ( R C )
RCU
B=
1 + ( R C )
?
?
?特解也可设为,
ucp(t)=Ucm cos(?t+?u+?u)
其中,
22 m
cm 2
UU = A
1+ ( R C )
= - ar c t g R Cu
B
?
??
??
代初值条件 uc(0+)= uc(0-)=0得,
c c h c p
1
t
RC
cm
u ( t ) = u ( t ) + u ( t )
= K e U c o s( )uut? ? ?
?
? ? ?
全解
K= -Ucm cos(?u+?u)
1 t
RC
c c m c mu ( t ) = U c o s ( ) - U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ?
?? ? ? ?
稳态响应 暂态响应
0 t(s)
1 t
RC
c c m c mu ( t ) = U c o s ( ) - U c o s ( ) eu u u ut? ? ? ? ?
?? ? ? ?
稳态响应 暂态响应
cmU c o s ( )uu???
cm- U c o s ( )uu???
稳态（强制 ）
暂态
uc(t)
（ 1）稳态响应和暂态响应之和在 t=0时满足初值条件 uc(0)=0
（ 2）当 ?u+?u=± ?/2 时 无暂态过程，电路直接进入稳态。
5.7 RC微分电路和积分电路
一,RC 微分电路 (differentiating circuit)
1,原理
C R +
-
+
-
u1 u2
+ - uc 如左图：分析 u
2~u1关系
条件,选择 R很小,
故 ?=RC很小，冲放电很快。
且 uc远大于 u2
由 KVL,uc+u2= u1 有 uc≈ u2
1
2u =
cdu duR i R C R C
d t d t? ? ?
1
2u
duRC
dt??
（微分关系）
2,利用微分电路获得尖顶脉冲
A
u1(t)
0 t(s) T 2T 3T
如前微分电路，输入为矩形脉冲序列
条件,?=RC很小，冲放电很快。
可以求得电路的单位阶跃响应,rU(t)=e-t/RC
= Ae-t/RCU(t) -Ae-(t-T)/RCU(t-T)
+Ae-(t-2T)/RCU(t-2T) -Ae-(t-3T)/RCU(t-3T)
而 u1(t)=AU(t)-AU(t-T)+AU(t-2T)-AU(t-3T)
故,u2(t)= ArU(t) -ArU(t-T) +ArU(t-2T) -ArU(t-3T)
u2(t)
时域看：突出输入信号中突变部分，抑制恒定部分。
频域看：是高通网络，通高频，阻低频。
二、积分电路
C
R
+
-
u1 u2
+ - uR +
-
i
1,原理
条件,(1)与微分电路不同，
选择 RC都很大，则 ?=RC很
大，冲放电缓慢。
(2)输出取自电容电压
因 R很大，使得 uR远大于 u2
而 u1=uR+u2 故 u1≈uR
1
2 0 0 0
1 1 1u ( ) t t tRuut i d d d
C C R C R? ? ?? ? ? ?? ? ?
（积分关系）
21 0
1 u ( ) tt u d
CR ?? ?即：
进入稳态
2,有始周期矩形脉冲作用下的 RC积分电路
u1
0 T 2T KT (K+1)T t(s)
U
―冲多放少” ―冲多少放多少
”
C
R
+
-
u1 u2
+ - uR +
-
i
u2
近似三角波
条件,? >>T, 冲放电缓慢
，在脉冲作用周期 T内，冲
放电过程远未结束
RC积分电路的特点,
与微分电路相反，经积分后输入信号的突变消失。
从时域看：突出了输入信号的恒定部分，抑制突变部分
从频域看：是低通网络，通低频，阻高频。
5.8 二阶电路时域经典分析法
二阶电路方程的建立
例,如图电路,两个动态元件
-
+
us(t)
8? 2H
4? 1H i2 i1
写网孔电流方程,
1 122 1 2 4 ( )sdi i i u t
dt ? ? ?
2
124 4 0
diii
dt? ? ? ?
---- ①
---- ②
由 ②得,
2
12
1 ( 4 )
4
diii
dt??
2
2
122
1 ( 4 )
4
diii
dt????
----③
----④
将③ ④代入①消去 i1有,
2
22
22 1 0 1 9 2 ( )s
d i d i i u t
d t d t? ? ?———— 二阶非齐次微分方程
一般形式,
2
102 ()
d y d ya a y f t
d t d t? ? ?
当电路没有输入激励时有 f(t)=0，方程变为齐次方程,
2
102 0
d y d ya a y
d t d t? ? ?
相应的解为零输入响应。
一,RLC串联电路的零输入响应
R K
L uL
+
-
i(t)
RLC串联电路
+ - uR
uc
+
-
C
已知 uc(0-)=U0,iL(0-)=0,
K于 t=0时刻闭合，分析 t>0
时放电过程中 i(t),uc(t)
由 KVL,uc=uR+uL （ t>0)
即,1 ( )( ) ( )t d i ti d R i t L
C d t????? ? ??
两边对 t 微分,1 ( ) ( )i t R i t L i
C ? ??? ? ?
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
整理为,
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
整理为,
2 1 0Rss
L L C? ? ?
特征方程,
其中,s——特征根，又称为电路的 固有频率 。
2
1,2
1()
22
RRs
L L L C? ? ? ?
2
R
L? ?令
衰减系数 （决定响应的衰减特性）
2
1,2
1()
22
RRs
L L L C? ? ? ?
0
1
LC
? ?
谐振角频率
22
0? ? ?? ? ? ?1,2则,s
根据 ? 和 ?0 的相对大小不同，特征根 s1,2不同,
对应的解的形式不同，有三种情况,
0 1,2( 2 ),s
LR
C?? ??( a ) 当 为相异二负实根：
1212() s t s ti t A e A e??
0 1 2( 2 ),s = s,
LR
C? ? ???( b ) 当 = - 为二重实根：
( ) ( ) ti t A B t e ????
22
0 1,2 0( 2 ),s d
LRj
C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?( c ) 当 = - - = -
12( ) ( c o s s i n )t ddi t e K t K t? ?????
220 d? ? ?其中 = - 称为 衰减振荡角频率
过阻尼
临界阻尼
欠阻尼
22
0? ? ?? ? ? ?1,2s
两个待定系数，两个初始条件
uc(0+)= uc(0-)=U0
i (0+)= i(0-)=0
可定得系数
0 ( 2 ),
LR
C?? ??( 1 ) 当 时 属过阻尼情况:
1212() s t s ti t A e A e??
由 i(0+)=0得,
A1+A2=0 ————①
又由 uL(0+)= uc(0+) -Ri(0+)=U0 - R× 0= U0得,
将 i(t)表达式代入并令 t=0+ 有,
00( 0 )Lt
diu L U
dt ?????
0
0t
Udi
d t L?? ?
L(A1S1+A2S2)=U0 ————②
由①②联立得,
0
12
12()
UAA
L s s? ? ? ?
120
12
( ) ( )() s t s tUi t e eL s s???故
0 0
1( ) ( )t
cu t U i dC ???? ?
120
0 0
12
()() t ssUU e e dC L s s ?? ?? ? ?? ?
12
12
1
0
21
21
( ) ( t 0 )
ss
LC
s t s tU s e s e
ss
?
??
??
120
12
( ) ( )() s t s tUi t e eL s s???
120
21
21
( ) ( ) ( t 0)s t s tc Uu t s e s ess? ? ??
U0
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
过阻尼情况
非振荡过程
2 LR C?原因：,能量消耗太快。
电容一直放电（电容功率
pc= -uc(t)i(t)≦ 0)，不能产生振荡。
电流极大值时刻在 t=tm处。
m
() 0 td i t
dt ?令 可求出
0 ( 2 )
LR
C?? ??( 2 ) 当 时，临界阻尼
-( ) ( ) ti t A B t e ???
s1=s2= -?
可定得系数,
0UA = 0 B =
L
0U( )=
L
ti t t e ??
0 0
0
1
( ) U - ( )
C
= U ( 1 ) ( t 0 )
t
c
t
u t i d
te ?
??
? ?
?
??
?
故,
由初始条件
i (0+)= 0
uc(0+) =U0 uL(0+) =U0
00Ut
diL
dt ?? ?
0U( )=
L
ti t t e ??
0 0
0
1
( ) U - ( )
C
= U ( 1 ) ( t 0 )
t
c
t
u t i d
te ?
??
? ?
?
??
?
U0
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
临界阻尼情况
波形与过阻尼情况相似,uc
单调衰减，无振荡（处于振
荡与非振荡的临界状态）。
0 ( 2 ),
LR
C?? ??( 3 ) 当 欠阻尼情况
12( ) ( c o s s i n )t ddi t e K t K t? ?????
220 d? ? ?其中 = - 称为 衰减振荡角频率
22
1,2 0s dj? ? ? ? ???= - - = -
（共轭复根）
由初始条件
i (0+)= 0
uc(0+) =U0 uL(0+) =U0
00Ut
diL
dt ?? ?
0
12
U K 0 K
d L?
??得：
0( ) s i nt
d
d
Ui t e t
L
? ?
?
??
0 0
1
( ) U - ( ) V A R
C
()
= ( ) KV L
t
cu t i d
di t
Ri t L
dt
???
?
? （）
（ ）
0( ) ( c os s i n )t
c d d d
d
Uu t e t t? ? ? ? ?
?
???
欠阻尼情况
0 t(s)
包络线 U0e-?t U0 uc(t)
i(t)
2
d
?
?
减幅振荡
欠阻尼情况
0 t(s)
包络线 U0e-?t U0 uc(t)
i(t)
2
d
?
?
物理解释,
R较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（ pc有正
有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，
如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。
特例：当 R=0时,?=R/2L=0,无损耗，响应为等幅振荡。
S1,2=± j?0 (虚数），称为 LC自由振荡 （正弦波发生器）
例：如图 RLC电路,R= 4?,L=1H,uc(0)=4V,i(0)=2A,
t=0时刻 K闭合，试分别计算（ 1） C=1/20F（ 2）
C=1/4F（ 3） C=1/3F 时电流 i(t)。 R K
L uL
+
-
i(t)
RLC串联电路
+ - uR
uc
+
-
C
2
2
( ) 1 ( ) 0d i t R d i it
d t L d t L C? ? ?
解,电路方程为,
22
0? ? ?? ? ? ?1,2 s
特征方程特征根,
0
412
2 2 1
R
L LC??? ? ? ??其中
0
111 F 20 / )
11
20
rad s
LC
? ? ? ?
?
1（）当C = 时,（
20
02 < 2 0 ????故 （欠阻尼）
21,2 2 2 2 0 2 4sj? ? ? ? ? ? ?
2 12( ) ( c o s 4 s i n 4 )ti t e K t K t???
初始条件 i(0)=2A →K 1=2 ——（ 1）
uc(0+)=4V → uL(0+)= uc(0+)-R i(0+) = -4V
0
( 0 ) 4 ( A / )L
t
d i u s
d t L?
?
? ? ? ?
故 -2K1+4K2=-4 ———（ 2）
由 (1)(2)联立得,K1=2 K2=0
2( ) 2 c o s 4 ( A ) t 0ti t e t?? ? ?
0
112 F 2 / )
11
4
ra d s
LC
? ? ? ?
?
1（ ）当C = 时,（
4
12 2ss? ? ?
2( ) ( ) ti t A B t e ???
由初始条件 i(0)=2A
0 4 ( A / )t
di s
dt ?? ??
可得,A=2 B=0
2( ) 2 ( A ) t 0ti t e ?? ? ?
0 2 ????
（临界阻尼） 故,
0
113 F 3 / )
11
3
rad s
LC
? ? ? ?
?
1（ ）当C = 时,（
3
312() tti t A e A e????
0??? （过阻尼）
故,
22 2 3 2 1 3 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,2 s 或
由初始条件 i(0)=2A
0 4 ( A / )t
di s
dt ?? ??
A1=A2=1
3( ) ( A ) t 0tti t e e??? ? ? ?
二,RLC串联电路的零状态响应
如图 RLC 零状态 电路,t=0时 K
闭合，分析 t>0时 uc(t)=?
( ) ( )csdiR i t L u t Udt? ? ?
由 KVL及 VAR,
2
2
() ()cc
Cs
d u t d uL C R C u t U
d t d t? ? ?
() cdui t C dt?
R K
L uL
+
-
i(t)
+ - uR
uc - +
C
+
-
Us
整理得,
2
2
1 ()c c s
C
d u d u UR ut
d t L d t L C L C? ? ?
c c h c pu ( t ) = u ( t ) + u
全解
1212() s t s tchu t A e A e??
csPuU?
（用稳态解作特解）
1212() s t s tcsu t A e A e U? ? ? ?
初始条件 uc(0+)=0 → A 1+A2+Us=0 ——(1)
i(0+)=0 →
0
( 0 ) 0c
t
du i
d t C?
?
? ??
→ A 1S1+A2S2=0 ——(2)
（设 s1,2为相异单根）
由 (1)(2)有,
2
1s
21
-sA = U
s - s
1
2s
21
sA = U
s -s
12
21
21
( ) ( ) t 0s t s tscs Uu t U s e s ess? ? ? ??
故,
12
12
( ) ( ) t 0() s t s tcsdu Ui t C e edt L s s? ? ? ??
强制响应 固有 （自由） 响应
12
21
21
( ) ( ) t 0s t s tscs Uu t U s e s ess? ? ? ??
12
12
( ) ( ) t 0() s t s tcsdu Ui t C e edt L s s? ? ? ??
2,LR C?( 1 ) 当 时 过阻尼（非振荡充电）
Us
波形
0 t
uc(t)
i(t)
tm
过阻尼情况 (非振荡充电）
( ) 1 t 0tc s su t U U t e ?? ?? ? ? ?（）
( ) t 0tsUi t t eL ????
2,LR C?( 2 ) 当 时 临界阻尼（非振荡充电）
波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。
2,LR C?( 3 ) 当 时 欠阻尼（振荡充电）
( ) tsc s d d d
d
Uu t U e ? ? ? ? ?
?
??? （ c o s t + s i n t ）
( ) si n t t 0ts d
d
Ui t e
L
? ?
?
???
欠阻尼情况（振荡充电）
0 t(s)
Us
i(t)
uc(t)
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
