第 08章 线性电路的频率特性
8,3 RLC串联谐振电路
8,4 GCL并联谐振电路
8,5 串并联电路的谐振 *
8,1 网络函数与频率特性
8,2 RC电路的频率特性
8,1 网络函数与频率特性
* 电路 (网络 )的频率响应特性 (网络函数 )
* 为什么要研究电路的频率响应特性
() YHj
F
FY
? ?
&
&
&&
定义网络函数,
其中,——激励信号相量 ——响应信号相量
H为 ? 的函数,反映了网络的频率特性,它由其内
部结构和元件参数决定,
() ( ) | ( ) |
| ( ) |
()
jH j H j e
Hj
????
??
? ? ?
?
:
:
其中,——幅频特性
——相频特性
网络函数
策动点函数（当激励与响应位于同一端口）
（ driving point function）
转移函数（当激励与响应位于不同端口）
（ transfer function）
N
I&
U&-
+
( ) ( ) Ua H j I? ? && ——策动点阻抗
N
I&
U& -
+
( ) ( ) Ib H j U? ? && ——策动点导纳
N
1U& -
+
2
1
( ) ( ) Uc H j U? ? && ——转移电压比
+
-
2U& N 1I&
2
1
( ) ( ) Id H j I? ? && ——转移电流比
2I&
N
1I&
2
1
( ) ( ) Ue H j I? ? && ——转移阻抗
2U&
+
-
1U& N
-
+
2
1
( ) ( ) If H j U? ? && ——转移导纳
2I&
8,2 RC电路的频率特性
一,RC低通滤波电路
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
RC低通滤波电路
1 / 1
1 / 1
jC
R j C j C R
?
??????
21
2
2
1
1
| ( ) |
1 ( )
( ) uu
U
Hj
U CR
a r c t g C R
?
?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
幅频特性：
相频特性：
2
1
() UHj U? ? &&
| ( ) |Hj?
1
1/ 2
?0 ?
c=1/RC
幅频特性
()??
?0
-?/4
-?/2
相频特性
?c=1/RC
① 通频带 ②阻频带 ③高通 ④低通
⑤滤波 ⑥截止角频率 ⑦半功率点
概念,
1
2
工程上定义最大幅值的 倍处对应的频率为截止频率,
此时功率衰减刚好为一半，称为半功率点。
0
|H(j?)|
? ?
c
(a)理想低通
0
|H(j?)|
? ?
c
(b)理想高通
0
|H(j?)|
? ?
c1
(c)理想带通
?c2 0
|H(j?)|
? ?
c1
(d)理想带阻
?c2
二,RC高通滤波电路
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
RC高通滤波电路
1 / 1
R j C R
R j C j C R
?
??????
21
2
2
1
| ( ) |
1 ( )
( )
2
uu
U C R
Hj
U CR
a rc tg C R
?
?
?
?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
幅频特性：
相频特性：
2
1
() UHj U? ? &&
()??
?0
?/4
?/2
相频特性
?c=1/RC
| ( ) |Hj?
1
1/ 2
?0 ?
c=1/RC
幅频特性
三,RC选频电路（文氏电路）
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
文氏电路
R
1
jC?
2
1
1
//
()
11
( // )
R
U jC
Hj
U RR
j C j C
?
?
??
??
??
&
&
2
1
| ( ) |
1
9 ( )
11
( ) ( )
3
Hj
CR
CR
arc t g C R
CR
?
?
?
? ? ?
?
?
??
? ? ?
幅频特性：
相频特性：
| ( ) |Hj?
1/3
1/3 2
?0 ?0 ?c1 ?c2
()??
?0
-?/2
?/2
?0
1
RC? ?0带通，中心角频率
一级 RC电路移相 |?(?)|< ?/2
四,RC移相电路
1U&
+
-
R
1
jC? 2U&
+
-
1U&
+
-
R
1
jC?
R
1
jC?
……
R
1
jC? 2U&
+
-
多级 RC电路可实现移相 |?(?)|>?/2
8,3 RLC串联谐振电路
当满足一定条件 (对 RLC串联电路, 使 ? L=1/? C),电
路呈纯电阻性, 端电压, 电流同相, 电路的这种状态
称为谐振 。
1j ( )Z R L C? ?? ? ?
1,L
C? ??当 感性
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
1,L
C? ??当 容性
谐振,
一,谐振 (resonance)的定义
串联谐振,
二、使 RLC串联电路发生谐振的条件
1,L C 不变，改变 ? 。
2,电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency)
LCf π2
1
0 ?
通常收音机选台, 即选择不同频率的信号, 就采用改变 C
使电路达到谐振 (调谐 )。
0 01I m[ ] 0,,:ZL C? ???令 即 有
三,RLC串联电路谐振时的特点
1,,UI??与 同相
根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。
2,输 入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。电路中阻抗值 |Z|最小。
3,电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。 ? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
0 0 0,0R L CU U U U
? ? ? ?? ? ?
4,电阻上的电压等于电源电压,
LC上串联总电压为零, 即
串联谐振时, 电感上的电压和
电容上的电压大小相等, 方向相反,
相互抵消, 因此串联谐振又称 电压
谐振 。
LU
?
CU
?
RU
? ? I
谐振时的相量图 5,功率
P=RI02=U2/R,电阻功率最大。
即 L与 C交换能量，与电源间无能量交换。
0,L C L CQ Q Q Q Q? ? ? ? ?
+
_ P
Q
L C
R
四、特性阻抗和品质因数
1,特性阻抗 (characteristic impedance)
单位,?
与电源频率无关，仅由 L,C参数决定。
C
L
CL ??? 00
1
???
2,品质因数 (quality factor)Q
它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路
的参数决定。
无量纲
C
L
RRCωR
Lω
RQ
11
0
0 ???? ?
(a) 电压
0 0RU U I IR
???? &
0 00
00
jjj
L
LU L I R I Q U
R
??? ? ?? ? ? ?&
0 00
00
1jj
jC
IU R I Q U
C C R??
? ? ?? ? ? ? ? ?&
品质因数的意义,
即 UL0 = UC0=QU
谐振时电感电压 UL0(或电容电压 UC0)为电源电压的 Q倍。
当 Q 很高,L 和 C 上出现高电压,这一方面可以利用，
另一方面要加以避免。
例,某收音机 C=150pF,L=250mH,R=20?
但是在电力系统中, 由于电源电压本身比较高, 一旦
发生谐振, 会因过电压而击穿绝缘损坏设备 。 应尽量避免 。
如信号电压 10mV,电感上电压 650mV, 这是所要的。
6 5 Q R???Ω 1 2 9 0?? CL?
(b) 能量
2 2 2m011 si n 22CCw C u L I t???
o m0
0 m 0 m 0
0
( ) c o s ( 9 0 ) s i n s i n CC I Lu t U t t I tCC? ? ??? ? ? ?
2 2 2
m011 c os 22Lw L i L I t???
0 m 0 0( ) c o s i t I t??
设
电场能量
磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。
总储能是常量，不随时间变化,
22
m 0 m 0
11 ()22
L C Cw w w L I CU K? ? ? ? ?总 常数
由 Q 的定义,
耗的能量谐振时一周期内电路消
储能谐振时电路中电磁场总
π2
2
1
2
2
1
2
1
0
2
2
0m
2
0m
2
0m
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
ω
R
Lω
Q π
Q 值越大，维持一定量的电磁振荡所消耗的能量
愈小，则振荡电路的“品质”愈好。
五,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1,阻抗的频率特性
1
1
( ) t g
L C
R
? ?
?? ?
?
?
1j ( )Z R L C? ?? ? ?
22 1| ( ) | ( )Z R L C?? ?? ? ?
|Z(? )|
R ?
0 ? O
阻抗幅频特性
? (? )
? 0 ? O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
电流谐振曲线
? 0 ? O
|Y(? )|
I(? )
U/R
2,电流谐振曲线
谐振曲线：表明电压、电流与频率的关系。
幅值关系,
可见 I(? )与 |Y(? )|相似。
22
( ) | ( ) |
1()
UI Y U
RL C
??
? ?
??
??
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 换句话说, 串联谐振
电路对不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出
(表现为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电
流小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
3,频率选择性与通用谐振曲线
(a)选择性 (selectivity)
? 0 ? O
I(? )
为了方便与不同谐振回路之间进行比较, 令,
0 0 0
( ) ( )( ),( )
()
III ?????
??? ? ?相 （对角频率 归一化 ）
(b) 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
0 22 0
0
( ) 1
1 ( )
I
I
Q
?
??
??
?
??
Q=100
Q=1
通用谐振曲线,
Q=10
1
0( ) /II?
0.707
0
1
0
c?
?
2
0
c?
?
0
?
?
1
（ 1）标准化：最大值为 1，且总出现在 ? /?0=1处，便于比较。
（ 2） Q越大，谐振曲线越尖，选频性能越好。 Q是反映谐振
电路选频性能的一个重要指标。
Q=100
Q=1
Q=10
1
0( ) /II?
0.707
0
1
0
c?
?
2
0
c?
?
0
?
?
1
0
12
/ 1 / 2 0, 7 0 7
,
,
/ cc
II
? ? ? ?
??
00
在处
作一水平线 与每一谐振
曲线交于两点 对应横坐
标分别为 / 和
21,cc?? 上—,下截止角频率
21ccB ? ???? 称为 通频带 (Band Width)
可以证明,
21
0
0
0
1,cc
Q B Q?
?
??
???? ?即
若 Bf＝ fc2－ fc1,则,
0
f
fB
Q?
例,如图电路工作在谐振状态，求（ 1）谐振角频率 ?0
（ 2）品质因数 Q、特性阻抗 ?及谐振时 UL0 和 Uc0
（ 3）电路总的储能 W （ 4）通频带 B?
5
0
37
53
0
0
00
11
( 1 ) 1 0 /
1 0 1 0
1
( 2 ) = 1 0 1 0 1 0 0
100
1 0 0 1 0 0 0,2 2 0
1
LC
ra d s
LC
L
L
CC
Q U U Q U V
R
?
??
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
R=1?
L=1mH +
_ C=0.1?F
us
解,
( ) 2 0 0 2 c o s ( )su t t m V??其中
2 3 2
0
5
30
1 1 2 0 0 2
( 3 ) 1 0 ( ) 4 0
2 2 1
10
( 4 ) 1 0 /
100
L C mW W W L I J
B ra d s
Q
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
0
0
4
00
1
= 1000
100 0 1
0.1 0.1
10
20
L
C
L H C F
QR
RQ
??
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
解,已知
又 由
例,RLC串联谐振电路，若已知谐振角频率 ?0 =104rad/s,
特性阻抗 ?=1000?,Q=50，求 R,L,C。
*4,UL(? )与 UC(? )的频率特性 (不讲 ）
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
Cω
LωR
LUω
Z
U
LωLIωωU
L
??
?
??
????
0/? ? ??其中,
UL(? ),
当 ? =0,UL(? )=0； 0<?<?0,UL(? )增大； ? =?0,
UL(? )= QU； ? >? 0,电流开始减小, 但速度不快,
XL继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(? )
达到最大值, 然后减小 。 ? ??,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(? )。
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ? 0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1
根据数学分析，当 ? =? Cm时,UC(?)获最大值； 当 ? =? Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(? Cm)=UL(? Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0。
? Lm?? Cm =? 0。 020m 2
11 ω
Qωω c ???
02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
上面得到的都是由改变频率而获得的, 如改变电路
参数, 则变化规律就不完全与上相似 。
上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振
电路中去, 但不同形式的谐振电路有其不同的特征, 要
进行具体分析, 不能简单搬用 。
由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，
因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的
电压，即对电压也具有选择性。
8,4 GCL并联电路的谐振
R
L
C
+
_ ()sut
R0
如图串联谐振电路的品质因数,
1 LQ
CR?
RLC串联谐振电路的局限,
R一般很小,Q可以做到很大。
当接入信号源时,
0
1 LQ
CRR? ? ?
当信号源内阻 R0很大时，会使得回路的实际品质因数 Q’大
大降低，选频性能变得很差。
一、简单 GCL 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
+
_ S
?I G C L ?U
LCω
1
0 ?
故 RLC串联谐振电路只适合于低内阻电源。当电源内
阻抗很大时（如理想电流源），需采用并联谐振电路。
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
? ?0 O
R
? 0 ? O
I(? )
U/R
? 0 ? O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
? ?0 O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL0 =UC0=QU IL0=IC0=QIS
0
0
11C CQ
G L G G L
?
?? ? ?
0
0
11L LQ
R C R R C
?
?? ? ?
0
0
1 LL CC?? ?? ? ? 0
0
1 LL CC?? ?? ? ?
0B
Q?
?? 0B
Q?
??
二,电感线圈与电容并联
上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为
电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现
象也就较为复杂。
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即
0)( 2
0
2
0
0 ??? LωR
LωCω
由电路参数决定。 求得 2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不
会发生谐振。
当电路满足 ① R 很小 （电感线圈损耗很小） ②工作
在谐振角频率 ?0附近 时,
可以发生谐振时即当,,)(1 2 CLRLRLC ??
.,,0 是虚数因不会发生谐振时当 ωCLR ?
0
1
LC? ?
2
1j ( )
()
RYC
LL ? ??? ? ?
0 1j ( )RC C
LL
??
? ?
?
???
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻,
工作在 ?0附近
R 很小
C L
R
(a)
C L 0 LR RC?
(b) 图 (a)的近似等效
00
LZR RC??
0
00 0 0
11 C CQ
G L G G L
?
?? ? ? （图(b )）
0
0
0
11 ( )
LR
RC L L
R C R R C
?
?
?
??? 图( a )
注意两个
表达式的
区别
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路,
(a)
L
C
(b)
L C
图 (a)发生串联谐振时 Z=0（ 短路 ）, 图 (b)发生并联谐振
时 Z=?（ 开路 ） 。
例,激励 u1(t)，包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2),
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。
u1(t) =u11cos(?1t +?1) +u12cos(?2t+?2)
如何实现？
LC串并联电路的应用,
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
可由下列滤波电路实现,
C R 2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
21?? 12分析,成分引起L,C 并联谐振（开路）,成分
引起整个电路串联谐振（短路）
R
+
_
+
_
u2(t) U11cos(?1t+?1)
?1 成分单独作用
R
C3
+
_
+
_
u2(t) U12cos(?2t+?2)
?2 成分单独作用
21
2
1
CLω ?
11
1 1 23
11 / / 0jL
j C j C?????（）
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载 R上。
该电路 ?2 >?1,滤去高频，得到低频。
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路,
(a) (b)
8,5 * 串并联电路的谐振（ 不讲 ）
L1
L3
C2 L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ? >?1时, 并联
部分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路可作类似定性分析 。 L1,C2并联, 在低频时
呈感性 。 在某一角频率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ? >?1
时, 随着频率增加, 并联部分可由感性变为容性, 在 某一
角频率 ?2下发生并联谐振 。
定量分析,
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
当 Z(? )=0，即分子为零，有,
0)( 31223132 ??? LLωCLLω
可解得,
)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(? )=0，即分母为零，有,
012121 ??CLω
)( 1
21
1 并联谐振CLω ?
可见,? 1<? 2。
21 ωω ?
1
21
1 2
33 12
1
2
2
1 2 3
2
3 1 2
1
j
j j 11
()
j 1 j 1
j
j
1 ( )
j
( 1 )
L
CL
Z
CC LC
L
C
L C C
C L C
?
??
?
?? ?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
??
??
??
?
(b)
分别令分子、分母为零，可得,
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CLω ?
阻抗的频率特性,
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
? 1 ?
X(? )
O ? 2
(a)
(b)
其它形式的滤波电路,
L2
L1
C2
L3 C1 C3
L2
L1
C2
C1
L3
C3
带通滤波器 (band-pass filter)
带阻滤波器 (band elimination filter)
静止无功补偿装置 (SVC)中的谐振型滤波器,
T S C T C R f i l t e r
3 r d 5 t h
c o n t r o l l e r
8,6 非正弦周期信号激励下的稳态分析
f(t)
t 0 T
A …
(a) 方波
-A
f(t)
t 0 T
A
…
(b) 锯齿波
…
f(t)
t T
A …
(c) 三角波
…
-A -
-
f(t)
t T
A
…
(d) 全波整流
…
-
f(t)
t T
A …
(e) 半波整流
… -
典型非正弦
周期信号
一、非正弦周期信号表为傅立叶级数
周期信号 f(t)（满足 狄里赫利条件 时）一般可表为傅立叶
级数，即,
0
1
( ) ( c o s sin )kk
k
f t a a k t b k t??
?
?
? ? ??
0
0
0
0
1
( ) ( )
2
( ) c o s
2
( ) sin
T
T
k
T
k
a f t d t
T
a f t k td t
T
b f t k td t
T
?
?
?
?
?
?
?
?
直流成分
其中,
2()T f t
T
kk
??
?
?—— 的周期 ——基波角频率
—— 次谐波角频率
f(t) 也可展为,
0
1
( ) c o s ( )kk
k
f t a A k t??
?
?
? ? ??
其中,
22
k k k
k
k
k
A a b k
b
a r c t g k
a
?
??
?
?
——第 次谐波的振幅
——第 次谐波的初相位
周期信号一般都可以展为如上傅立叶级数，但不同
的周期信号其傅立叶展开式中所含谐波成分不同，且各
次谐波的幅度和相位也不同。
f1(t)
t T
A …
三角波
…
-A -
- f2(t)
全波整流
t T
A
… -
1 2
8 1 1( ) ( s i n s i n 3 s i n 5 )
9 2 5
Af t t t t? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ??
2
4 1 1 1 1( ) ( c o s 2 c o s 4 c o s 6 )
2 3 1 5 3 5
Af t t t t? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2
T
?? ?其中 ——基波角频率
(a) 周期矩形脉冲
us(t)(v)
t(s) 0 T
20 …
…
4 0 4 0 4 0( ) 1 0 s i n s i n 3 s i n 5
35su t t t t? ? ?? ? ? ? ? L
115
+
-
us(t) 5?
F
uR(t)
+
-
(b)
例,如图 (a)所示周期矩形脉冲作用与图 (b)电路，周期
T=6.28 s，求 uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波）
解,将 us(t)作傅氏展开,
基波角频率
1
22 1/
6, 2 8 r a d sT
??? ? ? ?
us5 us0 us1 us3
115
us0
5?
F
uR(t)
+
- us3 u
s5 +
+
+
-
-
- us1
① 当直流成分 us0=10V单独作用时，电容视为开路,uR0=0
② 基波成分（ ?=1rad/s)单独作用时如图 (c)
(c) ?=1
+
-
5?
+
- 1sU& 1RU&
-j15?
1 ( ) 4, 0 3 c o s ( 1 8, 4 )R tu t V??? o
11
5 4 0 59 0 4, 0 3 1 8, 4
1 5 1 55
1
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&&
③ 三次谐波成分（ ?=3rad/s)单独作用时如图 (d)
(d) ?=3
+
-
5?
+
- 3sU& 3RU&
-j5?
3 ( ) 3 c o 3s ( 4 5 )R tu t V?? oB
33
5 4 0 59 0 3 4 5
1 3 5 55
3
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&& B
④ 五次谐波成分（ ?=5rad/s)单独作用时如图 (e)
(d) ?=5
+
-
5?
+
- 5sU& 5RU&
-j3?
5 ( ) 2, 1 8 c 5o s ( 5 9 )Ru t Vt ?? oB
55
5 4 0 59 0 2, 1 8 5 9
1 5 5 35
5
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&& B
0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( )
4, 0 3 c o s ( 1 8, 4 ) 3 c o s ( 3 4 5 ) 2, 1 8 c o s ( 5 5 9 )
R R R R Ru t u u t u t u t
t t t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?o o o
L
L
将各次谐波响应的瞬时值叠加,
思考,各次谐波响应相量能否叠加？
各次谐波引起的
响应频率不同
二、非正弦周期信号的有效值和功率
1.有效值
设周期信号 u(t)的傅立叶展开式为,
01
1
( ) c o s( )k m k
k
u t U U k t??
?
?
? ? ??
2
0
1 [ ( ) ]TU u t dt
T? ?则其有效值
（均方根）
2
010
1
1 [ c o s( ) ]T
km k
k
U U k t d tT ??
?
?
? ? ???
考虑被积函数中四项,
20U①
01
1
2 c o s( )k m k
k
U U k t??
?
?
??
②
11
11
c o s ( ) c o s ( ) ( )k m k n m n
kn
U k t U n t k n? ? ? ?
??
??
? ? ???
④
2 2
1
1
c o s ( )k m k
k
U k t??
?
?
??
③ (k=n)
利用三角函数的 正交性,②④两项在周期内积分为零。
22 2
01
0
1
22 21
0
0
1
22
0
1
1
[ c os ( ) ]
1 c os 2 ( )1
= [ ]
2
=
T
km k
k
T
k
km
k
k
k
U U U k t dt
T
kt
U U dt
T
UU
??
??
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
?
??
??
?
2 2 2 2 2
0 0 1 2
1
= k
k
U U U U U U
?
?
? ? ? ? ?? L
故,
即,周期信号的有效值等于直流及各次谐波有效
值的平方和开方。
例,已知电流 i(t)=4+10sin?t+5sin3?t+2sin5 ?t mA，求其
有效值 I。
22221 0 5 24 ( ) ( ) ( ) 8, 9 7
222I m A? ? ? ? B
( ) 8 2 c o s ( 6 0 ) 3 s in 2 s in ( 2 6 0 )
c o s ( 3 7 0 )
u t t t t
tV
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
oo
o
求电压
的
例：
有效值。
解,
解,错误解法,
222222 3 2 18 ( ) ( ) ( ) ( )
2222U ? ? ? ? ?
正确解法,
( ) 8 c o s 2 s i n ( 2 6 0 ) c o s ( 3 7 0 )u t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?oo
22221 2 18 ( ) ( ) ( ) 8, 1 9
222UV? ? ? ? B故
2.非正弦周期信号电路的功率
N0 u(t)
i(t) +
-
无源二端网络
设,01
1
01
1
( ) c o s( )
( ) c o s( )
k m u k
k
k m i k
k
u t U U k t
i t I I k t
??
??
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
（ 1）瞬时功率 p(t)
p(t)=u(t)i(t)
0 0 0 1 0 1
11
11
1
11
11
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
km i km ukk
kk
km u km ikk
k
km u nm ikn
kn
U I U I k t I U k t
U k t I k t
U k t I n t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
??
()kn?可见,u,i 中不论谐波电压与电流的频率是否相同，均构
成瞬时功率的一部分。
0 0 0 1 0 1
11
11
1
11
11
( ) c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
km i km ukk
kk
km u km ikk
k
km u nm ikn
kn
p t U I U I k t I U k t
U k t I k t
U k t I n t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
??
()kn?
（ 2）平均功率
0
1 ()TP p t d t
T? ?
对 p(t)求平均,p(t)中第 2,3,5项对积分的贡献为零（ 正交性 ）
0 0 1 1
0
1
0 0 1
0
1
00
1
1
[ c os( ) c os( ) ]
1
[ c os( 2 ) c os( ) ]
c os( )
T
km km u ikk
k
T
k k u i u ik k k k
k
k k u ikk
k
P U I U I k t k t dt
T
U I U I k t dt
T
U I U I
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ???
??
? ? ?
??
??
?
k u k i k kk? ? ???其中 是第 次谐波电压与第 次谐波电流的相位差
（ 1）周期信号的平均功率等于直流功率与各次谐波平均
功率之和。
（ 2）不同频率的电压、电流间不构成平均功率。（构成
瞬时功率）
0 0 0
11
c o sk k k k
kk
P U I U I P P?
??
??
? ? ? ???即,
上式表明,
例,如图，求单口网络的平均功率 P，已知,
N0 u(t)
i(t) +
-
( ) 1 0 8 c o s 5 c o s( 2 1 0 ) 3 c o s( 3 2 0 )
( ) 4 c o s( 6 0 ) 2 c o s( 2 2 0 ) c o s( 3 1 1 5 )
u t t t t V
i t t t t A
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
oo
o o o
解,
00
1
c o s
8 4 5 2 3 1
1 0 0 c o s ( 0 6 0 ) c o s ( 1 0 2 0 ) c o s ( 2 0 1 1 5 )
2 2 2 2 2 2
k k k
k
P U I U I ?
?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
o o o o o o
11.27W?
例,如图 (a)电路,Is= 2A，求（ 1） R的平均功率 PR。（ 2）若
将 Is换成 is=2+2costA的电流源，重求 PR 。（ 3）若将 Is换成
2cos2t A的电流源，再求 PR 。
解,（ 1）当 Is= 2A时，显然 R上的直流功率 PR0=0
左边电压源单独作用时如图 (b)，有,
-
+
2cos2t
1H 0.25F
R 1? 1?
Is
(a)
-
+
j2?
1?
(b) ?=2rad/s
-
+
1?
-j2?
20? o
1 1 1 2 0()
2 1 1 2 2RUj j j
??? ? ?
?
o&
RU?&
+
-
10 8 5,2
29RUV??? ? ?
o&
2 2( 1 0 / 2 9 ) 1 0
1 2 9
R
R
UPW
R
?? ??? ?
故两电源同时作用时,
0
1 0 1 00
2 9 2 9R R RP P P W?? ? ? ? ?
（ 2）若将 Is换成 is=2+2costA的电流源
由于电源各成分频率不同，故平均功率可以叠加。
右边电流源中 2cost成分单独作用时如图 (c)
j1?
1? 1?
(c) ?=1rad/s
-j4?
20A? o
( 1 // 1 )1 2 0
1 4 ( 1 // 1 )R
jU
jj?? ? ? ? ? ??
o&
RU??&
+
-
（ 分压 ）
2 1 1 1, 8
29 V??
o
2 2( 2 / 2 9 ) 2
1 2 9
R
R
UPW
R
???? ? ? ?故：
左边 2cos2t电压源单独作用时 10
29RPW? ? （已求）
2A直流电流源单独作用时 PR0=0 （已求）
故各电源成分同时作用时
0
1 0 2 1 20
2 9 2 9 2 9R R R RP P P P W? ??? ? ? ? ? ? ?
另,也可写出 uR的瞬时表达式
0( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2 0 2 c o s( 2 8 5,2 ) 2 c o s( 1 1 1,8 )
2 9 2 9
R R R Ru t u t u t u t
tt
? ??? ? ?
? ? ? ? ? ? ?oo
1 0 2 1 2((
2 9 2 9 2 9RRu U V? ? ?
222的有效值 = 0 ) )
2 21 2 / 2 9 1 2
1 2 9
R
R
UPW
R ??
（）也有,=
（ 3）若将 Is换成 2cos2t A电流源
此时它与左边电压源同频率，平均功率不能叠加。
但瞬时响应电压、电流可以叠加。如图 (d)
1 1 1 1 2 0
( ) ( )
2 1 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) 2 0
2 1 2
ab
ab
UU
j j j j
UU
jj
? ?
? ? ? ??
???
?
? ? ? ? ? ?
? ???
o
o
&&
&&
RU&
+
- -
+
j2?
1? 1?
(d)
-j2?
20V? o
20A? o
a b
2 21.8
29RaU U V? ? ? ?
o&&
2 2
29
R
R
UPW
R? ? ?
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
8,3 RLC串联谐振电路
8,4 GCL并联谐振电路
8,5 串并联电路的谐振 *
8,1 网络函数与频率特性
8,2 RC电路的频率特性
8,1 网络函数与频率特性
* 电路 (网络 )的频率响应特性 (网络函数 )
* 为什么要研究电路的频率响应特性
() YHj
F
FY
? ?
&
&
&&
定义网络函数,
其中,——激励信号相量 ——响应信号相量
H为 ? 的函数,反映了网络的频率特性,它由其内
部结构和元件参数决定,
() ( ) | ( ) |
| ( ) |
()
jH j H j e
Hj
????
??
? ? ?
?
:
:
其中,——幅频特性
——相频特性
网络函数
策动点函数（当激励与响应位于同一端口）
（ driving point function）
转移函数（当激励与响应位于不同端口）
（ transfer function）
N
I&
U&-
+
( ) ( ) Ua H j I? ? && ——策动点阻抗
N
I&
U& -
+
( ) ( ) Ib H j U? ? && ——策动点导纳
N
1U& -
+
2
1
( ) ( ) Uc H j U? ? && ——转移电压比
+
-
2U& N 1I&
2
1
( ) ( ) Id H j I? ? && ——转移电流比
2I&
N
1I&
2
1
( ) ( ) Ue H j I? ? && ——转移阻抗
2U&
+
-
1U& N
-
+
2
1
( ) ( ) If H j U? ? && ——转移导纳
2I&
8,2 RC电路的频率特性
一,RC低通滤波电路
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
RC低通滤波电路
1 / 1
1 / 1
jC
R j C j C R
?
??????
21
2
2
1
1
| ( ) |
1 ( )
( ) uu
U
Hj
U CR
a r c t g C R
?
?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
幅频特性：
相频特性：
2
1
() UHj U? ? &&
| ( ) |Hj?
1
1/ 2
?0 ?
c=1/RC
幅频特性
()??
?0
-?/4
-?/2
相频特性
?c=1/RC
① 通频带 ②阻频带 ③高通 ④低通
⑤滤波 ⑥截止角频率 ⑦半功率点
概念,
1
2
工程上定义最大幅值的 倍处对应的频率为截止频率,
此时功率衰减刚好为一半，称为半功率点。
0
|H(j?)|
? ?
c
(a)理想低通
0
|H(j?)|
? ?
c
(b)理想高通
0
|H(j?)|
? ?
c1
(c)理想带通
?c2 0
|H(j?)|
? ?
c1
(d)理想带阻
?c2
二,RC高通滤波电路
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
RC高通滤波电路
1 / 1
R j C R
R j C j C R
?
??????
21
2
2
1
| ( ) |
1 ( )
( )
2
uu
U C R
Hj
U CR
a rc tg C R
?
?
?
?
? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
幅频特性：
相频特性：
2
1
() UHj U? ? &&
()??
?0
?/4
?/2
相频特性
?c=1/RC
| ( ) |Hj?
1
1/ 2
?0 ?
c=1/RC
幅频特性
三,RC选频电路（文氏电路）
1U& 2U&
+
-
+
-
R
1
jC?
文氏电路
R
1
jC?
2
1
1
//
()
11
( // )
R
U jC
Hj
U RR
j C j C
?
?
??
??
??
&
&
2
1
| ( ) |
1
9 ( )
11
( ) ( )
3
Hj
CR
CR
arc t g C R
CR
?
?
?
? ? ?
?
?
??
? ? ?
幅频特性：
相频特性：
| ( ) |Hj?
1/3
1/3 2
?0 ?0 ?c1 ?c2
()??
?0
-?/2
?/2
?0
1
RC? ?0带通，中心角频率
一级 RC电路移相 |?(?)|< ?/2
四,RC移相电路
1U&
+
-
R
1
jC? 2U&
+
-
1U&
+
-
R
1
jC?
R
1
jC?
……
R
1
jC? 2U&
+
-
多级 RC电路可实现移相 |?(?)|>?/2
8,3 RLC串联谐振电路
当满足一定条件 (对 RLC串联电路, 使 ? L=1/? C),电
路呈纯电阻性, 端电压, 电流同相, 电路的这种状态
称为谐振 。
1j ( )Z R L C? ?? ? ?
1,L
C? ??当 感性
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
1,L
C? ??当 容性
谐振,
一,谐振 (resonance)的定义
串联谐振,
二、使 RLC串联电路发生谐振的条件
1,L C 不变，改变 ? 。
2,电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency)
LCf π2
1
0 ?
通常收音机选台, 即选择不同频率的信号, 就采用改变 C
使电路达到谐振 (调谐 )。
0 01I m[ ] 0,,:ZL C? ???令 即 有
三,RLC串联电路谐振时的特点
1,,UI??与 同相
根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。
2,输 入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。电路中阻抗值 |Z|最小。
3,电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。 ? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
0 0 0,0R L CU U U U
? ? ? ?? ? ?
4,电阻上的电压等于电源电压,
LC上串联总电压为零, 即
串联谐振时, 电感上的电压和
电容上的电压大小相等, 方向相反,
相互抵消, 因此串联谐振又称 电压
谐振 。
LU
?
CU
?
RU
? ? I
谐振时的相量图 5,功率
P=RI02=U2/R,电阻功率最大。
即 L与 C交换能量，与电源间无能量交换。
0,L C L CQ Q Q Q Q? ? ? ? ?
+
_ P
Q
L C
R
四、特性阻抗和品质因数
1,特性阻抗 (characteristic impedance)
单位,?
与电源频率无关，仅由 L,C参数决定。
C
L
CL ??? 00
1
???
2,品质因数 (quality factor)Q
它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路
的参数决定。
无量纲
C
L
RRCωR
Lω
RQ
11
0
0 ???? ?
(a) 电压
0 0RU U I IR
???? &
0 00
00
jjj
L
LU L I R I Q U
R
??? ? ?? ? ? ?&
0 00
00
1jj
jC
IU R I Q U
C C R??
? ? ?? ? ? ? ? ?&
品质因数的意义,
即 UL0 = UC0=QU
谐振时电感电压 UL0(或电容电压 UC0)为电源电压的 Q倍。
当 Q 很高,L 和 C 上出现高电压,这一方面可以利用，
另一方面要加以避免。
例,某收音机 C=150pF,L=250mH,R=20?
但是在电力系统中, 由于电源电压本身比较高, 一旦
发生谐振, 会因过电压而击穿绝缘损坏设备 。 应尽量避免 。
如信号电压 10mV,电感上电压 650mV, 这是所要的。
6 5 Q R???Ω 1 2 9 0?? CL?
(b) 能量
2 2 2m011 si n 22CCw C u L I t???
o m0
0 m 0 m 0
0
( ) c o s ( 9 0 ) s i n s i n CC I Lu t U t t I tCC? ? ??? ? ? ?
2 2 2
m011 c os 22Lw L i L I t???
0 m 0 0( ) c o s i t I t??
设
电场能量
磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm=WCm。
总储能是常量，不随时间变化,
22
m 0 m 0
11 ()22
L C Cw w w L I CU K? ? ? ? ?总 常数
由 Q 的定义,
耗的能量谐振时一周期内电路消
储能谐振时电路中电磁场总
π2
2
1
2
2
1
2
1
0
2
2
0m
2
0m
2
0m
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
ω
R
Lω
Q π
Q 值越大，维持一定量的电磁振荡所消耗的能量
愈小，则振荡电路的“品质”愈好。
五,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
1,阻抗的频率特性
1
1
( ) t g
L C
R
? ?
?? ?
?
?
1j ( )Z R L C? ?? ? ?
22 1| ( ) | ( )Z R L C?? ?? ? ?
|Z(? )|
R ?
0 ? O
阻抗幅频特性
? (? )
? 0 ? O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
电流谐振曲线
? 0 ? O
|Y(? )|
I(? )
U/R
2,电流谐振曲线
谐振曲线：表明电压、电流与频率的关系。
幅值关系,
可见 I(? )与 |Y(? )|相似。
22
( ) | ( ) |
1()
UI Y U
RL C
??
? ?
??
??
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 换句话说, 串联谐振
电路对不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出
(表现为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电
流小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
3,频率选择性与通用谐振曲线
(a)选择性 (selectivity)
? 0 ? O
I(? )
为了方便与不同谐振回路之间进行比较, 令,
0 0 0
( ) ( )( ),( )
()
III ?????
??? ? ?相 （对角频率 归一化 ）
(b) 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
0 22 0
0
( ) 1
1 ( )
I
I
Q
?
??
??
?
??
Q=100
Q=1
通用谐振曲线,
Q=10
1
0( ) /II?
0.707
0
1
0
c?
?
2
0
c?
?
0
?
?
1
（ 1）标准化：最大值为 1，且总出现在 ? /?0=1处，便于比较。
（ 2） Q越大，谐振曲线越尖，选频性能越好。 Q是反映谐振
电路选频性能的一个重要指标。
Q=100
Q=1
Q=10
1
0( ) /II?
0.707
0
1
0
c?
?
2
0
c?
?
0
?
?
1
0
12
/ 1 / 2 0, 7 0 7
,
,
/ cc
II
? ? ? ?
??
00
在处
作一水平线 与每一谐振
曲线交于两点 对应横坐
标分别为 / 和
21,cc?? 上—,下截止角频率
21ccB ? ???? 称为 通频带 (Band Width)
可以证明,
21
0
0
0
1,cc
Q B Q?
?
??
???? ?即
若 Bf＝ fc2－ fc1,则,
0
f
fB
Q?
例,如图电路工作在谐振状态，求（ 1）谐振角频率 ?0
（ 2）品质因数 Q、特性阻抗 ?及谐振时 UL0 和 Uc0
（ 3）电路总的储能 W （ 4）通频带 B?
5
0
37
53
0
0
00
11
( 1 ) 1 0 /
1 0 1 0
1
( 2 ) = 1 0 1 0 1 0 0
100
1 0 0 1 0 0 0,2 2 0
1
LC
ra d s
LC
L
L
CC
Q U U Q U V
R
?
??
?
?
??
?
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
R=1?
L=1mH +
_ C=0.1?F
us
解,
( ) 2 0 0 2 c o s ( )su t t m V??其中
2 3 2
0
5
30
1 1 2 0 0 2
( 3 ) 1 0 ( ) 4 0
2 2 1
10
( 4 ) 1 0 /
100
L C mW W W L I J
B ra d s
Q
?
?
?? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
0
0
4
00
1
= 1000
100 0 1
0.1 0.1
10
20
L
C
L H C F
QR
RQ
??
?
?
?
? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
解,已知
又 由
例,RLC串联谐振电路，若已知谐振角频率 ?0 =104rad/s,
特性阻抗 ?=1000?,Q=50，求 R,L,C。
*4,UL(? )与 UC(? )的频率特性 (不讲 ）
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
Cω
LωR
LUω
Z
U
LωLIωωU
L
??
?
??
????
0/? ? ??其中,
UL(? ),
当 ? =0,UL(? )=0； 0<?<?0,UL(? )增大； ? =?0,
UL(? )= QU； ? >? 0,电流开始减小, 但速度不快,
XL继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(? )
达到最大值, 然后减小 。 ? ??,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(? )。
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ? 0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1
根据数学分析，当 ? =? Cm时,UC(?)获最大值； 当 ? =? Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(? Cm)=UL(? Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0。
? Lm?? Cm =? 0。 020m 2
11 ω
Qωω c ???
02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
上面得到的都是由改变频率而获得的, 如改变电路
参数, 则变化规律就不完全与上相似 。
上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振
电路中去, 但不同形式的谐振电路有其不同的特征, 要
进行具体分析, 不能简单搬用 。
由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，
因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的
电压，即对电压也具有选择性。
8,4 GCL并联电路的谐振
R
L
C
+
_ ()sut
R0
如图串联谐振电路的品质因数,
1 LQ
CR?
RLC串联谐振电路的局限,
R一般很小,Q可以做到很大。
当接入信号源时,
0
1 LQ
CRR? ? ?
当信号源内阻 R0很大时，会使得回路的实际品质因数 Q’大
大降低，选频性能变得很差。
一、简单 GCL 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
+
_ S
?I G C L ?U
LCω
1
0 ?
故 RLC串联谐振电路只适合于低内阻电源。当电源内
阻抗很大时（如理想电流源），需采用并联谐振电路。
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
? ?0 O
R
? 0 ? O
I(? )
U/R
? 0 ? O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
? ?0 O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL0 =UC0=QU IL0=IC0=QIS
0
0
11C CQ
G L G G L
?
?? ? ?
0
0
11L LQ
R C R R C
?
?? ? ?
0
0
1 LL CC?? ?? ? ? 0
0
1 LL CC?? ?? ? ?
0B
Q?
?? 0B
Q?
??
二,电感线圈与电容并联
上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为
电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现
象也就较为复杂。
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即
0)( 2
0
2
0
0 ??? LωR
LωCω
由电路参数决定。 求得 2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不
会发生谐振。
当电路满足 ① R 很小 （电感线圈损耗很小） ②工作
在谐振角频率 ?0附近 时,
可以发生谐振时即当,,)(1 2 CLRLRLC ??
.,,0 是虚数因不会发生谐振时当 ωCLR ?
0
1
LC? ?
2
1j ( )
()
RYC
LL ? ??? ? ?
0 1j ( )RC C
LL
??
? ?
?
???
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻,
工作在 ?0附近
R 很小
C L
R
(a)
C L 0 LR RC?
(b) 图 (a)的近似等效
00
LZR RC??
0
00 0 0
11 C CQ
G L G G L
?
?? ? ? （图(b )）
0
0
0
11 ( )
LR
RC L L
R C R R C
?
?
?
??? 图( a )
注意两个
表达式的
区别
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路,
(a)
L
C
(b)
L C
图 (a)发生串联谐振时 Z=0（ 短路 ）, 图 (b)发生并联谐振
时 Z=?（ 开路 ） 。
例,激励 u1(t)，包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2),
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。
u1(t) =u11cos(?1t +?1) +u12cos(?2t+?2)
如何实现？
LC串并联电路的应用,
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
可由下列滤波电路实现,
C R 2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
21?? 12分析,成分引起L,C 并联谐振（开路）,成分
引起整个电路串联谐振（短路）
R
+
_
+
_
u2(t) U11cos(?1t+?1)
?1 成分单独作用
R
C3
+
_
+
_
u2(t) U12cos(?2t+?2)
?2 成分单独作用
21
2
1
CLω ?
11
1 1 23
11 / / 0jL
j C j C?????（）
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载 R上。
该电路 ?2 >?1,滤去高频，得到低频。
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路,
(a) (b)
8,5 * 串并联电路的谐振（ 不讲 ）
L1
L3
C2 L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ? >?1时, 并联
部分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路可作类似定性分析 。 L1,C2并联, 在低频时
呈感性 。 在某一角频率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ? >?1
时, 随着频率增加, 并联部分可由感性变为容性, 在 某一
角频率 ?2下发生并联谐振 。
定量分析,
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
当 Z(? )=0，即分子为零，有,
0)( 31223132 ??? LLωCLLω
可解得,
)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(? )=0，即分母为零，有,
012121 ??CLω
)( 1
21
1 并联谐振CLω ?
可见,? 1<? 2。
21 ωω ?
1
21
1 2
33 12
1
2
2
1 2 3
2
3 1 2
1
j
j j 11
()
j 1 j 1
j
j
1 ( )
j
( 1 )
L
CL
Z
CC LC
L
C
L C C
C L C
?
??
?
?? ?
?
?
?
??
?
? ? ? ?
??
??
??
?
(b)
分别令分子、分母为零，可得,
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CLω ?
阻抗的频率特性,
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
? 1 ?
X(? )
O ? 2
(a)
(b)
其它形式的滤波电路,
L2
L1
C2
L3 C1 C3
L2
L1
C2
C1
L3
C3
带通滤波器 (band-pass filter)
带阻滤波器 (band elimination filter)
静止无功补偿装置 (SVC)中的谐振型滤波器,
T S C T C R f i l t e r
3 r d 5 t h
c o n t r o l l e r
8,6 非正弦周期信号激励下的稳态分析
f(t)
t 0 T
A …
(a) 方波
-A
f(t)
t 0 T
A
…
(b) 锯齿波
…
f(t)
t T
A …
(c) 三角波
…
-A -
-
f(t)
t T
A
…
(d) 全波整流
…
-
f(t)
t T
A …
(e) 半波整流
… -
典型非正弦
周期信号
一、非正弦周期信号表为傅立叶级数
周期信号 f(t)（满足 狄里赫利条件 时）一般可表为傅立叶
级数，即,
0
1
( ) ( c o s sin )kk
k
f t a a k t b k t??
?
?
? ? ??
0
0
0
0
1
( ) ( )
2
( ) c o s
2
( ) sin
T
T
k
T
k
a f t d t
T
a f t k td t
T
b f t k td t
T
?
?
?
?
?
?
?
?
直流成分
其中,
2()T f t
T
kk
??
?
?—— 的周期 ——基波角频率
—— 次谐波角频率
f(t) 也可展为,
0
1
( ) c o s ( )kk
k
f t a A k t??
?
?
? ? ??
其中,
22
k k k
k
k
k
A a b k
b
a r c t g k
a
?
??
?
?
——第 次谐波的振幅
——第 次谐波的初相位
周期信号一般都可以展为如上傅立叶级数，但不同
的周期信号其傅立叶展开式中所含谐波成分不同，且各
次谐波的幅度和相位也不同。
f1(t)
t T
A …
三角波
…
-A -
- f2(t)
全波整流
t T
A
… -
1 2
8 1 1( ) ( s i n s i n 3 s i n 5 )
9 2 5
Af t t t t? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ??
2
4 1 1 1 1( ) ( c o s 2 c o s 4 c o s 6 )
2 3 1 5 3 5
Af t t t t? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
2
T
?? ?其中 ——基波角频率
(a) 周期矩形脉冲
us(t)(v)
t(s) 0 T
20 …
…
4 0 4 0 4 0( ) 1 0 s i n s i n 3 s i n 5
35su t t t t? ? ?? ? ? ? ? L
115
+
-
us(t) 5?
F
uR(t)
+
-
(b)
例,如图 (a)所示周期矩形脉冲作用与图 (b)电路，周期
T=6.28 s，求 uR(t)的稳态响应。（计算至五次谐波）
解,将 us(t)作傅氏展开,
基波角频率
1
22 1/
6, 2 8 r a d sT
??? ? ? ?
us5 us0 us1 us3
115
us0
5?
F
uR(t)
+
- us3 u
s5 +
+
+
-
-
- us1
① 当直流成分 us0=10V单独作用时，电容视为开路,uR0=0
② 基波成分（ ?=1rad/s)单独作用时如图 (c)
(c) ?=1
+
-
5?
+
- 1sU& 1RU&
-j15?
1 ( ) 4, 0 3 c o s ( 1 8, 4 )R tu t V??? o
11
5 4 0 59 0 4, 0 3 1 8, 4
1 5 1 55
1
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&&
③ 三次谐波成分（ ?=3rad/s)单独作用时如图 (d)
(d) ?=3
+
-
5?
+
- 3sU& 3RU&
-j5?
3 ( ) 3 c o 3s ( 4 5 )R tu t V?? oB
33
5 4 0 59 0 3 4 5
1 3 5 55
3
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&& B
④ 五次谐波成分（ ?=5rad/s)单独作用时如图 (e)
(d) ?=5
+
-
5?
+
- 5sU& 5RU&
-j3?
5 ( ) 2, 1 8 c 5o s ( 5 9 )Ru t Vt ?? oB
55
5 4 0 59 0 2, 1 8 5 9
1 5 5 35
5
R m s mU U Vj
j C ?
? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
oo&& B
0 1 3 5( ) ( ) ( ) ( )
4, 0 3 c o s ( 1 8, 4 ) 3 c o s ( 3 4 5 ) 2, 1 8 c o s ( 5 5 9 )
R R R R Ru t u u t u t u t
t t t
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?o o o
L
L
将各次谐波响应的瞬时值叠加,
思考,各次谐波响应相量能否叠加？
各次谐波引起的
响应频率不同
二、非正弦周期信号的有效值和功率
1.有效值
设周期信号 u(t)的傅立叶展开式为,
01
1
( ) c o s( )k m k
k
u t U U k t??
?
?
? ? ??
2
0
1 [ ( ) ]TU u t dt
T? ?则其有效值
（均方根）
2
010
1
1 [ c o s( ) ]T
km k
k
U U k t d tT ??
?
?
? ? ???
考虑被积函数中四项,
20U①
01
1
2 c o s( )k m k
k
U U k t??
?
?
??
②
11
11
c o s ( ) c o s ( ) ( )k m k n m n
kn
U k t U n t k n? ? ? ?
??
??
? ? ???
④
2 2
1
1
c o s ( )k m k
k
U k t??
?
?
??
③ (k=n)
利用三角函数的 正交性,②④两项在周期内积分为零。
22 2
01
0
1
22 21
0
0
1
22
0
1
1
[ c os ( ) ]
1 c os 2 ( )1
= [ ]
2
=
T
km k
k
T
k
km
k
k
k
U U U k t dt
T
kt
U U dt
T
UU
??
??
?
?
?
?
?
?
? ? ?
??
?
?
??
??
?
2 2 2 2 2
0 0 1 2
1
= k
k
U U U U U U
?
?
? ? ? ? ?? L
故,
即,周期信号的有效值等于直流及各次谐波有效
值的平方和开方。
例,已知电流 i(t)=4+10sin?t+5sin3?t+2sin5 ?t mA，求其
有效值 I。
22221 0 5 24 ( ) ( ) ( ) 8, 9 7
222I m A? ? ? ? B
( ) 8 2 c o s ( 6 0 ) 3 s in 2 s in ( 2 6 0 )
c o s ( 3 7 0 )
u t t t t
tV
? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
oo
o
求电压
的
例：
有效值。
解,
解,错误解法,
222222 3 2 18 ( ) ( ) ( ) ( )
2222U ? ? ? ? ?
正确解法,
( ) 8 c o s 2 s i n ( 2 6 0 ) c o s ( 3 7 0 )u t t t t? ? ?? ? ? ? ? ?oo
22221 2 18 ( ) ( ) ( ) 8, 1 9
222UV? ? ? ? B故
2.非正弦周期信号电路的功率
N0 u(t)
i(t) +
-
无源二端网络
设,01
1
01
1
( ) c o s( )
( ) c o s( )
k m u k
k
k m i k
k
u t U U k t
i t I I k t
??
??
?
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
（ 1）瞬时功率 p(t)
p(t)=u(t)i(t)
0 0 0 1 0 1
11
11
1
11
11
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
km i km ukk
kk
km u km ikk
k
km u nm ikn
kn
U I U I k t I U k t
U k t I k t
U k t I n t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
??
()kn?可见,u,i 中不论谐波电压与电流的频率是否相同，均构
成瞬时功率的一部分。
0 0 0 1 0 1
11
11
1
11
11
( ) c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
c os( ) c os( )
km i km ukk
kk
km u km ikk
k
km u nm ikn
kn
p t U I U I k t I U k t
U k t I k t
U k t I n t
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
?
??
??
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
??
()kn?
（ 2）平均功率
0
1 ()TP p t d t
T? ?
对 p(t)求平均,p(t)中第 2,3,5项对积分的贡献为零（ 正交性 ）
0 0 1 1
0
1
0 0 1
0
1
00
1
1
[ c os( ) c os( ) ]
1
[ c os( 2 ) c os( ) ]
c os( )
T
km km u ikk
k
T
k k u i u ik k k k
k
k k u ikk
k
P U I U I k t k t dt
T
U I U I k t dt
T
U I U I
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ???
??
? ? ?
??
??
?
k u k i k kk? ? ???其中 是第 次谐波电压与第 次谐波电流的相位差
（ 1）周期信号的平均功率等于直流功率与各次谐波平均
功率之和。
（ 2）不同频率的电压、电流间不构成平均功率。（构成
瞬时功率）
0 0 0
11
c o sk k k k
kk
P U I U I P P?
??
??
? ? ? ???即,
上式表明,
例,如图，求单口网络的平均功率 P，已知,
N0 u(t)
i(t) +
-
( ) 1 0 8 c o s 5 c o s( 2 1 0 ) 3 c o s( 3 2 0 )
( ) 4 c o s( 6 0 ) 2 c o s( 2 2 0 ) c o s( 3 1 1 5 )
u t t t t V
i t t t t A
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
oo
o o o
解,
00
1
c o s
8 4 5 2 3 1
1 0 0 c o s ( 0 6 0 ) c o s ( 1 0 2 0 ) c o s ( 2 0 1 1 5 )
2 2 2 2 2 2
k k k
k
P U I U I ?
?
?
??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
o o o o o o
11.27W?
例,如图 (a)电路,Is= 2A，求（ 1） R的平均功率 PR。（ 2）若
将 Is换成 is=2+2costA的电流源，重求 PR 。（ 3）若将 Is换成
2cos2t A的电流源，再求 PR 。
解,（ 1）当 Is= 2A时，显然 R上的直流功率 PR0=0
左边电压源单独作用时如图 (b)，有,
-
+
2cos2t
1H 0.25F
R 1? 1?
Is
(a)
-
+
j2?
1?
(b) ?=2rad/s
-
+
1?
-j2?
20? o
1 1 1 2 0()
2 1 1 2 2RUj j j
??? ? ?
?
o&
RU?&
+
-
10 8 5,2
29RUV??? ? ?
o&
2 2( 1 0 / 2 9 ) 1 0
1 2 9
R
R
UPW
R
?? ??? ?
故两电源同时作用时,
0
1 0 1 00
2 9 2 9R R RP P P W?? ? ? ? ?
（ 2）若将 Is换成 is=2+2costA的电流源
由于电源各成分频率不同，故平均功率可以叠加。
右边电流源中 2cost成分单独作用时如图 (c)
j1?
1? 1?
(c) ?=1rad/s
-j4?
20A? o
( 1 // 1 )1 2 0
1 4 ( 1 // 1 )R
jU
jj?? ? ? ? ? ??
o&
RU??&
+
-
（ 分压 ）
2 1 1 1, 8
29 V??
o
2 2( 2 / 2 9 ) 2
1 2 9
R
R
UPW
R
???? ? ? ?故：
左边 2cos2t电压源单独作用时 10
29RPW? ? （已求）
2A直流电流源单独作用时 PR0=0 （已求）
故各电源成分同时作用时
0
1 0 2 1 20
2 9 2 9 2 9R R R RP P P P W? ??? ? ? ? ? ? ?
另,也可写出 uR的瞬时表达式
0( ) ( ) ( ) ( )
1 0 2 0 2 c o s( 2 8 5,2 ) 2 c o s( 1 1 1,8 )
2 9 2 9
R R R Ru t u t u t u t
tt
? ??? ? ?
? ? ? ? ? ? ?oo
1 0 2 1 2((
2 9 2 9 2 9RRu U V? ? ?
222的有效值 = 0 ) )
2 21 2 / 2 9 1 2
1 2 9
R
R
UPW
R ??
（）也有,=
（ 3）若将 Is换成 2cos2t A电流源
此时它与左边电压源同频率，平均功率不能叠加。
但瞬时响应电压、电流可以叠加。如图 (d)
1 1 1 1 2 0
( ) ( )
2 1 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) 2 0
2 1 2
ab
ab
UU
j j j j
UU
jj
? ?
? ? ? ??
???
?
? ? ? ? ? ?
? ???
o
o
&&
&&
RU&
+
- -
+
j2?
1? 1?
(d)
-j2?
20V? o
20A? o
a b
2 21.8
29RaU U V? ? ? ?
o&&
2 2
29
R
R
UPW
R? ? ?
uL iL uc ic
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
