第 6章 正弦电流电路的稳态分析
重点,
? 相位差
? 正弦量的相量表示
? 复阻抗复导纳
? 相量图
? 用相量法分析正弦稳态电路
? 正弦交流电路中的功率分析
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz
中频 400-2000Hz
高频电路
T
t
i
O
f(t)=f(t+nT)
n=0,± 1,± 2,…
周期信号,
正弦信号是周期信号中的一种。
6,1 正弦量的基本概念
一, 正弦量的三要素
正弦量的表达式,
f(t)=Fmcos(w t+?)
Fm,w,? 这 3个量一确定, 正弦量就完全确定了 。
所以, 称这 3个量为正弦量的三要素,
波形,
t O ?/w
T Fm
f(t)
(1) 振幅 (amplitude), 反映正弦量变化幅度的大小 。
(2) 角频率 (angular frequency)w, 反映正弦量变化快慢 。
即 相角随时间变化的速度 。
正弦量的 三要素,
相关量,
频率 f (frequency),每秒重复变化的次数。
周期 T (period),重复变化一次所需的时
间。
f =1/T
单位,w, rad?s-1, 弧度 ?秒 -1
f, Hz，赫 (兹 )
T, s，秒
市电,f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2?/T= 2?f=314rad/s
(3) 初相位 (initial phase angle) ?,反映了正弦量的计时起点。
(w t+ ? )——相位角
? — 初相位角, 简称初相位 。
一般规定,
① | ? |?? 即, -? ? ? ? ?
② 初相位是由 f(t)=Fmcos(w t+?)确定，若原用 sin表示，
求初相位时应先化为 cos形式在求 ?
令 t=0 → f(0)=Fmcos ? → ?=2n ? ± arccos[f(0)/Fm],
?可能为多值 。
例,f(t)=Fmsin(wt+?/2 )，其初相位 ? ? ?/2.而应化
为 cos形式，即,
f(t)=Fmsin(wt+?/2 )= Fmcoswt,故初相位 ?=0
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
? =0
? =-?/2
? =?
例,f(t)=Fmsin(wt+?/6 )= Fmcos(?/2- wt- ?/6)
= Fmcos(?/3- wt)= Fmcos(wt -?/3)
故初相位 ?= -?/3
二, 相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umcos(w t+ ? u),i(t)=Imcos(w t+ ? i)
则 相位差 j = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? 若 j >0,则 u 超前 i 相位 角 j, 或 i 滞后 u 相位 角 j。
? 若 j <0，则 i 超前 u相位 角 ? j ?,或 u 滞后 i 相位 角 ?j ? 。
从波形图上看相位差
可取变化趋势相同点
来看 。 w t
u,i
u
i
? u
? i j
O
j =0,同相,
j =± ? (180o ), 反相,
规定,|j | ?? (180° )。
特例,
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
i O
j = ?/2,u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
j = ?/2,正交,
三、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小工程上采用有效值来衡量。
1,有效值 (effective value)定义
定义, 若周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内产生的热
量, 等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内产生的热量, 则称
电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
Q2=I 2RT R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
21
0( ) ( ) d
TQ t i t R t= ?
?= T tRtiRTI 0 22 d)(
?= T ttuTU 0 2def d)(1
有效值也称方均根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
?= T ttiTI 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
22
m0
1 c os ( ) dTI I t t
T w?=??
2
00
1 c o s 2 ( ) 1 c o s ( ) d d
22
TT tt t t Tw?w? ??? = =??Q
m
2 m
mm
1
0.70 7
2 2
2
TI
I I I
I
T
I
? = ? = =
=
同理，对正弦电压也有,
m m m
1 0, 7 0 7 2
2U U U U U= ? =或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设备铭牌
额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值指的是
最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
例,求如图周期信号的有效值。
(a)
10
1 2 3 0 -1 -2
u1(t)(V)
t(s)
(b)
A
1 2 3 0 -1
u2(t)(V)
t(s)
-A
解,
2
11 0
1( a) U ( )T u t dt
T= ?
1 2
0
1 ( 10 )
2 t dt= ?
10 4.08 ( V)
6=?
(b) U2=A （有效值）
2 ( ) 0ut =而平均值若加在 1?电阻上，则平均功率,
22
1 4, 0 8 1 6, 7 ( W )
1
UP
R= = =
补充,复数复习
1,复数 A表示形式,
) 1(j 为虚数单位?=
一个复数 A可以在复平面上表示为从原点到 A的向量,
此时 a可看作与实轴同方向的向量, b可看作与虚轴同方
向的向量 。 由平行四边形法则 。 则 a+jb即表示从原点到 A
的向量, 其模为 |A|,幅角为 ? 。 所以复数 A又可表示为
A=|A|ej? =|A| ?
A b
Re
Im
a O
A=a+jb
A b
Re
Im
a O
?
两种表示法的关系,
A=a+jb
A=|A|ej? =|A| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
=
?=
a
b
θ
baA
a r c t a g
|| 22
或
??
?
=
=
θA b
θ|A|a
s in||
c o s
2,复数运算
则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标
若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2
A1
A2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算 ——极坐标
若 A1=|A1| ? 1, 若 A2=|A2| ? 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2| ? 1?? 2
21
1)j(1
2j
j
1
2
111
|2|
||e
|2|
||
e|2|
e||
|2|
||
2
21
1
θθAAAAAAθA θAAA θθθ
θ
?===??= ?
乘法：模相乘，角相加；
除法：模相除，角相减。
例 1,5 ?47? + 10?-25 ?= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567 = 12.48 ?-2.61?
例 2,
19.24 27.9 7.211 56.3
180,2 j 126,2
20.62 14.04
180,2 j 126,2 6.728 70.16
180,2 j 126,2 2.238 j 6.329
182,5 j 132,5 225,5 36
? ? ?
= ? ?
?
= ? ? ?
= ? ? ?
= ? = ?
oo
o
o
o
(3) 旋转因子,
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。 故
把 ej? 称为旋转因子 。
ej?/2 =j,e-j?/2 = -j,ej?= –1 故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
( 1 7 j 9 ) ( 4 j 6 ) 2 2 0 3 5
2 0 j 5
????
?
o
1,用 旋转相量 表示正弦量
即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以 w
角速度绕原点旋转的向量 与其对应 。
Fm
+1
Im
O
+j
Re
j0
w
0 c os( )mmt F F twj ?时刻 在实轴上投影为
u uv
2,用 固定相量 表示正弦量
同一正弦电路, 各支路响应的频率相同, 故只需标
明各量振幅及初相位关系 。 如,
u1(t)=U1mcos(wt+j1) u2(t)=U2mcos(wt+j2)
6,2 正弦信号的相量表示
+1 O
+j
j1 1mU?
2mU
?
j2
12 U Umm w
??则 与 相量以相同角速度 旋转，
任一时刻二者相角差：
1 2 1 2) ( )j w j w j j j? = ? ? ?（ t + t +
（不变）
故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。
对应一个正弦量的向量称为 相量 (phasor),用大写字
母上加一点表示 。 相量上加一点是为了和普通的复数相
区别 (强调它与正弦量的联系 ), 因为它表示的不是一般
意义的向量, 而是对应了一个正弦量 。
3,相量的复数表示及运算
+1 O
+j
mF
?
j
b
a
(1)固定相量的四种表示方法,
F c o s sin (
(
= (
m mm
j
m
m
F jF
Fe
F
j
jj
j
?
=?
?
三角函数形式）
=a+jb (代 数形式）
= 指数形式）
极坐标形式）
mmmF F Fj
??其中,——相量 的 ——相量 模 的 辐角
m
m
F
F
j
j
a = c o s （实部）
b = s i n （虚部）
2
a r g
mFb
b
tg
a
j
?
=
2=a
(2) 旋转相量的复数表示
()F j t j j t j tm
mme F e e F e
w j w w j? ?==
固定相量 旋转因子
c o s ( ) s i n ( )mmF t j F tw j w j= ? ? ?
c o s ( ) R e [ ]jtm mF t F e wwj ?? ? =正弦信号f ( t ) =
（实轴投影）
或写成,
mF??f(t)
mF
? 对应称 f ( t ) 。
mF?f ( t ) 与 是对应关系，而不注,是相等关系。
（ 3） 有效值相量
1
2 mFF
??
=
例 1,
解,
30 o
11
120 o
22
( ) 5 3 5 3 30 ( A )
( ) 5 5 120 ( A )
j
m
j
m
i t I e
i t I e
?
?
? = = ?
? = = ?
o
o
已知
① 试分别写出 i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。
o
1
o
2
( ) 5 3 c o s ( 3 0 ) A
( ) - 5 s in ( t 3 0 ) A
i t t
it
w
w
=?
=?
② 求 i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。
③ 作 i,i1,i2的有效值相量图。
将 i1,i2化为标准 cos形式,
o
1
o
2
( ) 5 3 c o s ( 3 0 ) A
( ) 5 c o s ( t 1 2 0 ) A
i t t
it
w
w
=?
=?
① 振幅相量,
1 o
11
2 o
22
53
( ) 30 ( A )
22
5
( ) 120 ( A )
22
m
m
I
i t I
I
i t I
?
?
?
?
? = = ?
? = = ?
有效值相量,
②
1212( ) ( ) ( ) m m mi t i t i t I I I
? ? ?= ? ? = ?
5 3 30 5 12 0
3 1 1 3
5 3 ( ) 5 ( )
2 2 2 2
5 5 3 10 60 ( A )
oo
o
jj
j
= ? ? ?
= ? ? ? ?
= ? = ?
( ) 1 0 c o s ( 6 0 ) ( A )
oi t tw=?故 （由相量形式写时域形式）
例, 5 0 H zf =已知相量形式写信号时域瞬时值表达式（设 ）
③ i 的有效值相量,
10
6 0 ( A )
22
omII
?
?
= = ?
i,i1,i2的有效值相量图
+1 O
+j
1I
?
2I
?
I?
30o
60o120o
1 3 0 A2
o
mI
?? =?(1)
1 1 ( ) 3 0 c o s ( 3 1 4 ) ( A )2mI i t t
?? =??
注,频率不同的相
量不能画在同一个
相量图上。
2 10 10 ( A )Ij
? = ? ?(2)
2 21 0 2 1 3 5 ( ) 1 0 2 c o s ( 3 1 4 1 3 5 )
2 0 c o s
2
( 3 1 4 1 3 5 ) ( A )
oo
o
I i t t
t
?
= ? = ?
=?
??
3 31 0 2 1 3 5 ( ) 1 0 2 c o s ( 3 1 4 1 3 5 ) ( A )oomI i t t
? = ? ? = ??
3 10 10 ( A)mIj
? = ? ?(3)
4,相量运算（ 略 ）
(1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? =?
这实际上是一种
变换思想
j
11 m 1 1
j
22 m 2 2
( ) c os ( ) Re ( 2 )
( ) c os ( ) Re ( 2 )
t
t
u t U t U e
u t U t U e
w
w
wj
wj
?
?
= ? =
= ? =
jj
1212
j j j
1 2 1 2
12
( ) ( ) Re ( 2 ) Re ( 2 )
Re ( 2 2 ) Re ( 2 ( ))
tt
t t t
u t u t U e U e
U e U e U U e
U U U
ww
w w w
??
? ? ? ?
? ? ?
? = ?
= ? = ?
? = ?
例,
1
o
2
o
12
o
12
o
12
( ) 3 2 c os 314 V
( ) 4 2 c os( 314 90 ) V
( ) ( ) ( ) 5 2 c os( 314 53.1 ) V
3 0 V,4 90 V
5 53.1 V
u t t
u t t
u t u t u t t
UU
U U U
=
=?
? = ? = ?
= ? = ?
= ? = ?
o&&
& & &
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
11 1 1 1 1
22 2 2 2 2
2 c os( )
2 c os( )
i I t I I
i I t I I
w ? ?
w ? ?
?
?
= ? ? = ?
= ? ? = ??1
2 ?I
?2
1 ?I
2 1 ?? ?II
Re
Im
2 ??I 2
1 ?? ?II
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变
换思想, 由时域变换到频域,
时域：在变量是时间函数条件下研究网络, 以时间为
自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频
率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数, 变换, 为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
(2) 正弦量的微分，积分运算
Uωu d tIωdtdi
U uIi
??
??
j
1 j
??
??
?
j
j
j
dd R e [ 2 e ]
dd
d R e [ ( 2 e ) ]
d
R e [ 2 ( j ) e ]
t
t
t
i I
tt
I
t
I
w
w
w
w
=
=
=
&
&
&
2
j ( / 2 )
j
d 2 c os( ) d
2 si n ( )
2
c os( )
2
R e [ e ]
R e [ 2 ( ) e ]
j
t
t
u t U t t
U
t
U
t
U
U
?
w j ?
w
wj
wj
w
wj
w
w
w
?
??
=?
=?
= ? ?
=
=
??
证明,
5,相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例
m( ) c os( )
()( ) ( )
uu t U t ψ
di tu t Ri t L
dt
w=?
=?
一阶常系数
线性微分方程
自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imcos(w t+? i)
m m m
22
mm
c o s ( ) c o s ( ) s in( )
( ) ( ) c o s ( )
u i i
i
U t R I t L I t
R I L I t θ
w ? w ? w w ?
w w ?
? = ? ? ?
= ? ? ?
R i(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
2
m
2
mm )()( LωR
UILIωRIU
2?
=??=
w t+?u=w t+? i+?
?i=?u-?
? =tg-1(w L/R)
用相量法求,
1
2 2 2
2 c o s ( t g )
u
ULit
RRL
ww?
w
?= ? ?
?
t
tiLtRitu
d
)(d)()( ?=
1
2 2 2
2 2 2 1
j
( - t g )
j
tg
u
u
U R I L I
UU U L
I
LR L RRL
RL
R
w
? w
?
ww w
w
? ? ?
?
?
?
?
=?
?
= = = ?
? ?
??
1
2 2 2
2 c o s ( t g )
u
ULit
RRL
ww?
w
?= ? ?
?
?
22 )( LωR ?
R
w L
小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非 线性 w
不适用
正弦波形图 相量图
6.3 基本元件的正弦稳态特性及相量模型
一, 电阻
时域形式,相量形式,
( )RU R I=&& 相量形式的欧姆定律
相量模型
( ) 2 c os( )ii t I t Ψw=?已知
( ) ( ) 2 c os( )Riu t Ri t RI t Ψw= = ?则uR(t)
i(t)
R
+
- 有效值关系,U
R=RI
相位关系,?u=?i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
? I
iII Ψ? =?&
R R uUU Ψ? =?&
注,(1) uR,i 是同频正弦量
()( 2)
()
m R mRR
mm
UUu t U URR
i t I I I I= = = = =
&&
&&且
功率,
2
R m m i
i
i
c os ( )
[ 1 c os 2 ( ) ]
= c os 2 ( )
RR
R
RR
p u i
U I t
U I t
U I U I t
w?
w?
w?
=
=?
= ? ?
??
波形图及相量图,
w t
i
O
uR
pR
RU?
I?
?u=?i
RRp U I=平均功率 P=
P=URI
≧ 0
（纯耗能）
二, 电感 时域形式,
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式,
( ) 2 c os( )ii t I tw?=?已知
d ( )
( ) 2 si n ( )
d
2 c os( )
2
Li
i
it
u t L LI t
t
LI t
w w ?
?
w w ?
= = ? ?
= ? ?
则
相量模型
有效值关系,UL=w LI
相位关系,?u=?i +90° (uL 超前 i 90° )
jw L
+
- LU
?
? I
iII ?? =?&
L L uUU ?? =?&
1LLU j L I I UjLw w
??
==&&即,（ ）
（相量形式的欧姆定律）
LU?
I?
?i
?u
相量图
1LLU j L I I UjLw w
??
==&&即,（ ）
令 XL=w L,称为感抗, 单位为 ? (欧姆 )
BL=1/w L, 感纳, 单位为 S (同电导 )
L L L LU j X I I j B U
??= = ?&&则,（ ）
感抗的物理意义,
(1) 表示限制电流的能力；
(2)感抗和频率成正比,w 越大,XL越大，对正弦
电流阻碍能力越强。
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压,。
w
XL
I
ULω
i
uLω ??? j写法注意,
w ?0 直流（ XL=0) （短路）
w??（ 开路）
LXLw=
功率,
m c os ( ) c os ( )2
si n 2 ( )
LL
L m i i
Li
p u i
U I t t
U I t
?w ? w ?
w?
=
= ? ? ?
= ? ?
波形图,
w t
i
O
uL pL
（ 1）平均功率为 0
（ 2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）
能量流入电感
能量流出电感
三,电容 时域形式,相量形式,
( ) 2 c o s( )uu t U tw?=?已知 d ( ) ( ) 2 sin ( )
d
2 c os( )
2
2 c os( )
Cu
u
ci
ut
i t C CU t
t
CU t
It
w w ?
?
w w ?
w?
= = ? ?
= ? ?
=?
则
相量模型
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90° (i 超前 u 90° )
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1
c c iII ?? =?&
uUU ?? =?&
1= j
jCCI C U U ICw w
? ? ? ?=即,（或 ）
（相量形式的欧姆定律）
U?
CI?
?u
?i
相量图
c c ccI j B U U j X I
? ? ? ?= = ?则,（ 或 ）
1= j
j CCI C U U ICw w
? ? ? ?=（或 ）
令 Xc=1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B c = w C, 称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比,w ?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??, |XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
XC
功率,
mm
mm
c os ( ) c os ( )
2
c os ( ) s i n ( )
s i n 2 ( )
cc
u c u
c u u
cu
p u i
U t I t
U I t t
UI t
?
w ? w ?
w ? w ?
w?
=
= ? ? ?
= ? ? ?
= ? ?
波形图,
w t
iC
O
u
pC
能量流入电容
能量流出电容
1
cX Cw=
6,4 基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
1,基尔霍夫定律的相量形式
( ) 0 0
( ) 0 0
i t I
u t U
?
?
= ? =
= ? =
??
??
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示,
0 0 IU????但一般 注：,
简证 KCL的相量形式, （ 略 ）
i3
i2 i1
3I
??
1I
? ?
2I
??
由 KCL有,i1(t)+ i2(t) + i3(t)=0
1 2 3
1 2 3
R e ( ) R e ( ) R e ( )
R e [ ( ) ] 0
j t j t j t
mmm
jt
mmm
I e I e I e
I I I e
www
w
? ? ?
? ? ?
= ? ?
= ? ? =
1 2 3 0mmmI I I
? ? ?? ? =即,
同理可证 KVL的相量形式
故,i1(t)+ i2(t) + i3(t)
2,电路的相量模型 (phasor model )（ 略 ）
时域列解微分方程
求非齐次方程特解 频域列解代数方程
L
C R uS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw C SU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 频域电路
?
?
=
=?
?=
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
Cω
ILωj
III
??
???
???
=
=?
?=
S
j
1
j
1
ω
例, 如图 (a)电路,us=10cos1000t (V),求 i1,i2,i3及 i(t)并作相量图。
1H 1?F 1K? uS
i3 i2 i1 +
-
i
(a) 时域模型
1K?
+
-
(b) 相量模型
1I
?
2I
?
3I
?
-j103? j103?
I?
sU
?
( ) 1 0 0 ( V )smsu t U? =?? o解,
1
1 0 0= = 0,0 1 0 ( A )
1K
smm UI
R
?
? ?
=?
o
o
2
1 0 0= = 0, 0 1 9 0 ( A )
1 - j 1 0 0 0
smm UI
jCw
?
? ?
=?
o
o
3
1 0 0= = 0, 0 1 9 0 ( A )
j 1 0 0 0
smm UI
jLw
?
? ?
= ? ?
o
o
1 ( ) = 0, 0 1 c o s 1 0 0 0 ( A )i t t?
2 ( ) = 0, 0 1 c o s ( 1 0 0 0 9 0 ) ( A )i t t? ? o
3 ( )= 0, 0 1 c o s ( 1 0 0 0 9 0 ) ( A )i t t? ? o
1 2 3
= 0, 0 1 0 0, 0 1 9 0 0, 0 1 9 0
= 0, 0 1 0, 0 1 0, 0 1
= 0, 0 1 0 ( A )
m m m mI I I I
jj
? ? ? ?
= ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
o o o
o
( ) = 0,0 1 c o s 1 0 0 0 ( A )i t t?
由 KCL的相量形式,
mI
?
1mI
?
2mI
?
3mI
?
+1 0
+j
mI
?
1mI
?
2mI
?
3mI
?
绝对相量图 封闭相量图
例：如图正弦稳态电路，已知交流电压表 V1读数为 60V,
V2读数为 80V，求 V读数。
解,（ 1） 相量法求解
R
L
i
假设以电流为参考相量，即设,0 (A )II? =? o
12,60 0 ( V) 80 90 ( V)VV
??= ? = ?oo则
12,6 0 0 8 0 9 0 ( V )
6 0 8 0 1 0 0 5 3, 1 ( V )
K V L V V V
j
? ? ?
= ? = ? ? ?
= ? = ?
oo
o
由相量形式 有
,| | 1 0 0 (V )V? =故（ 2） 相量图解法
V
-
+ V1
V2
+
-
-
+
I?
1V
?
2V
?
V?
60
80 100
相量图解法
6,5 阻抗与导纳
一、阻抗（ impedance）
（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。
1,阻抗定义,( ) UZ
I= ?单位,欧姆
&
&
1
R
LL
CC
ZR
Z j L j X
Z j j X
C
w
w
=
==
= ? = ?
基本元件的阻抗,
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
,I jw L R
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
2,RLC串联电路的正弦稳态特性
由 KVL,
,,,,,,,1
jj
,1
( j j )
,
[ j ( ) ]
,
( j )
R L C
LC
U U U U R I L I I
C
R L I
C
R X X I
R X I
w
w
w
w
= ? ? = ? ?
= ? ?
= ? ?
=?
,
j | |, ZUZ R X Z
I
j= = ? = ?令
Z— 复阻抗； R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； jz—阻抗角。
关系,
或
R=|Z|cosjz
X=|Z|sinjz
|Z|=U/I —— 反映 u,i 有效值关系
jz =?u-?i —— 反映 u,i 相位关系
22| |
a r c t gz
Z R X
X
R
j
=?
=
|Z|
R
X
阻抗三角形
jz
阻抗 Z与电路性质的关系,
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ jz
wL > 1/w C, X>0,jz >0，电路为感性，电压领先电流；
wL<1/w C, X<0,jz <0，电路为容性，电压落后电流；
wL=1/w C, X=0,jz =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
画相量图,选电流为参考向量 (设 wL > 1/w C )
三角形 UR, UX, U 称为 电压三
角形,它和阻抗三角形相似。即 U?
LU?
CU?
I?RU?
jz UX
22 XR UUU ?=
例, L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
45 2 c o s ( 6 0 )V,3 1 0 H z,u t fw= ? = ?o
求 i,uR,uL,uC 及 u,i 的相位差,
解, 其相量模型为
,I jw L R
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1 Ω5.26j
102.01032
1
j
1
j
Ω5.56j103.01032jj
V 605
64
34
?=
????
?=?
=????=
?=
?
?
?
πCω
πLω
U ?
Ω 4.6354.335.26j5.56j151jj o?=??=??= CωLωRZ
.
.
o5 6 0 0,1 5 3,4 ( A )
3 3,5 4 6 3,4
UI
Z
?= = = ? ?
?
o
o
.,oo15 0.15 3.4 = 2.25 3.4 ( V )
RU R I= = ? ? ? ? ?
.,oo56,5 0.1 5 3.4 = 8.4 8 86,6 ( V)
L LU Z I j= = ? ? ? ?
.,oo2 6, 5 0, 1 5 3, 4 = 3, 9 8 9 3, 4 ( V )
c cU Z I j= = ? ? ? ? ? ?
o( ) 0, 1 5 2 c o s ( 3, 4 ) ( A )i t tw=?
o( ) 2, 2 5 2 c o s ( 3, 4 ) ( V )Ru t tw=?
o( ) 8, 4 8 2 c o s ( 8 6, 6 ) ( V )Lu t tw=?
o( ) 3, 9 8 2 c o s ( 9 3, 4 ) ( V )Lu t tw=?
故,
o6 3, 4 ( A ) u i zj j j? = =且,（感性）
注：分压 UL大于总电压 U
..| | | 1 5 | 1 5
RRU U I I= = =
法二,相量图解法 （略） 选电流为参考相量
U?
LU?
CU?
I?RU?
j
XU&
c o s 6 3, 4 2, 2 5RUU? = =o
..| | | 56.5 | 56.5
LLU U j I I= = =
..| | | 2 6, 5 | 2 6, 5
CCU U j I I= = ? =..
5 6, 5 2 6, 5
=
15
6 3, 4
LC
ui
R
UU
U I a r c tg
U
II
a r c tg
I
j j j
?
= ? =
?
=
与 的相位差
o
o6 3, 4 3, 4iujj= ? = ?o
/ 2, 2 5 / 1 5 0, 1 5RI U R? = = =
,o0,1 5 3,4 (A)I = ? ?故,
..,.....
RU R I==
..,.....
L LU Z I==
..,.....
c cU Z I==
则,
故,
,( ),.....I i t?=
,( ),.....
R RU u t?=
,( ),.,.,.
L LU u t?=
,( ),,,,,,
C CU u t?=
1,导纳定义,
二,导纳 （ admittance）
,
1 ( S)
,
IY
Z U
== 单位,西门子
L
C
11
= G G
1 1 1
B
11
B
1
R
R
LL
L
CC
C
Y
ZR
Y j j B
Z j L L
Y j C j B
Z
jC
ww
w
w
==
= = = ? = ?
= = = =
——电导
——感纳
——容纳
基本元件的导纳,
由 KCL,
,,,,,,,1
jj
,1
( j j )
,
[ j ( ) ]
,
( j )
G L C
CL
I I I I G U U C U
L
G C U
L
G B B U
G B U
w
w
w
w
= ? ? = ? ?
= ? ?
= ? ?
=?
i
L C G u
iL iC +
-
iG
,I
jw C
,U
LI
,
CI
,
1
j Lw
G
+
-
,
GI
2,GCL并联电路的正弦稳态特性
,
j | |, i i u y
u
IIIY G B Y
UUU
j j j j
j
?= = = ? ? = ? = ?
?
令
Y— 复导纳； G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j y—导纳角。
关系,
22 | |
a r c t gy
Y G B
B
G
j
? =?
?
?
=?
?
或
G=|Y|cosjy
B=|Y|sinjy
|Y|=I/U
jy = j i- j u
反映 i,u 幅度关系。
反映 i,u 相位关系。
|Y|
G
B
导纳三角形
jy
1| |,
| | yzY Z jj= = ?
Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠ jy
当 w C > 1/w L, B>0,jy >0，电路为容性,i 领先 u；
当 w C<1/w L, B<0,jy <0，电路为感性,i 落后 u；
当 wC=1/w L, B=0,jy =0，电路为电阻性,i 与 u同相。
画相量图,选电压为参考向量 (设 wC < 1/w L,jy <0 )
2222 )( CLGBG IIIIII ??=?=
U?
LI
,
I?
GI,
jy
CI
,
电流三角形
三,无源单口网络的复阻抗、复导纳及其等效变换
正弦激励下
无源
线性
I?
U?
+
-
| | jz
UZ Z R X
I
j
?
?= = ? = ?
1,无源单口网络的串并联等效
I?
U?
+
-
I?
U?
+
- jX
R
I?
U?
+
-
| | jy
IY Y G B
U
j
?
?= = ? = ?
I?
U?
+
-
G jB
串
联
等
效
并
联
等
效
2,复阻抗和复导纳等效变换关系（ 略 ）
22
2 2 2 2
j | | j | |
j11
j
j
,
1
| |,
|
|
y
zy
z
Z R X Z Y G B Y
RX
Y G B
Z RXR
RX
GB
R X R
Y
Z
X
X
jj
jj
= ? = ? ? = ? = ?
?
= = = = ?
??
?
?
==
??
= = ?
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性,X>0，则 B<0，
即仍为感性。
jX
R Z Y G jB
同样，若由 Y求 Z，则有,
2 2 2 2,
1
| |,
|| zy
G BRX
G B G B
Z
Y
jj
?==
??
= = ?
jX
R Z Y G jB
3,阻抗串联、并联的电路
同直流电路相似,
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
? U
1
?U
2
?U
? I
,
k
k
k
k
ZZ
Z
UU
Z
??
=
=
?
?
串联
,
k
k
k
k
YY
Y
II
Y
??
=
=
?
?
并联
? I
Y
+
-
? U
Y1 Y2 1
?I
2
?I
Ω
a b 3
o
12
12
( 10 j 6.2 8 ) ( 20 j 31,9 )
15 j 15,7
10 j 6.2 8 20 j 31,9
25,89 j 18,56 31,9 35,6
ZZ
ZZ
ZZ
=?
?
??
= ? ?
? ? ?
= ? = ?
Z2 Z3
a
b
+
-
100 0 V? o Z1, sU
c
.
1I
例：已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ?,
.
1ZIab（1 ）求 ( 2 ) 求
.
.
1
ab
..
12
cb
ab
2
12
......
//
......
s
s
U
I
ZZZ
ZZ
U
Z
Z
U
= ? =
?
= ? =
分流
分压
例：已知无源单口网络在 w =2rad/s相量模型如图 (a),
(1) 求 Zab 。
(2) 求当 w =2rad/s时它的时域串联等效元件参数。
(3) 求 Yab,并画出相应的时域并联等效元件参数。
ab
( 1 ) ( 3 4 ) // ( )
5 5 3 1 9 0 5 3 7
=
34 3 2 4 5
1, 1 7 9 8 2 0, 1 6 4 1, 1 6 7 ( )
Z j j
jj
j
= ? ?
? ? ? ? ? ?
=
?? ?
= ? ? = ? ?
o o o
o
o
j4?
a
b
3?
-j?,U
.I
+
-
（ 容性 ） 1
Rj Cw=?
( 2 ) = 2r ad / s
1
0.1 64 1.1 64 0.4 28R C F
C
w
w
= ? = ? =
当 时，串联等效如图( b )
ab
ab
11
( 3 ) Y = 8 2 0,8 4 9 8 2
Z 1,1 7 9
0.1 18 0.8 41 ( S )j
= ? = ?
=?
oo
（ B>0,容性 ）
''= G j Cw?
'
''
0.118 ( S )
2 0.841 ( S )
G
CCw
?=
==
'
'
'
1
8, 4 7 5 ( )
0, 4 2 1 ( F )
R
G
C
= = ?
=
?
?
a
b
R=0.164?
C=0.428F
(b) 串联等效参数
a
b
0.118s
0.421F
(c) 并联等效参数
8.475?
或
6,6 正弦稳态电路的相量分析法
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较,
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
=
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K CL
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
=
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法应用于
正弦稳态的相量分析中 。
列写电路的节点电压方程
??
???
?=????
=??
??
5S5S44254313
1S23132
)(
)(
UYUYUYYYUY
IUYUYY
??
???
例,
解,
自 (互 )电导 → 自 (互 )导纳
节点电压 → 节点电压相量
电压 (流 )源 → 电压 (流 )源相量
+
_
-
+
2 1
S4
?US1I?
Y1
Y2
Y3
Y4 Y5
S5
?U
列写电路的回路电流方程 如前图,
.
1I,
2I
.
3I
自 (互 )电阻 → 自 (互 )阻抗
回路电流 → 回路电流相量
电压 (流 )源 → 电压 (流 )源相量
..
11
.,,,
1 2 3 12 2 3 4 4
.,,,
23 124 4 5
()
()
s
s
ss
II
Z I Z Z Z I Z I U
Z I Z Z I U U
?
=
?
?
? ? ? ? ? = ??
?
? ? ? ? = ?
?
+
_
-
+
2 1
S4
?US1I?
Z1
Z2
Z3
Z4 Z5
S5
?U
.
1I
..
12
..
12
( 5 5 5 ) ( 5 ) 10 0 0
( 5 ) ( 5 5 5 ) 10 0 53,1
j j I j I
j I j j I
? ? ? ? = ?
? ? ? ? ? = ? ?
o
o
.,,
12 100,100 53 V cU V U I= = ? o：如图电路,,1 求电流例 。
5? j5? a 5? -j5?
-j5?
+
-
+
-
.
1U
.
2U100V
.
cI
.
2I
解,
法一,网孔分析法
化简为,
..
12
..
12
5 5 1 0 0
5 ( 5 1 0 ) 6 0 8 0
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
..
12
..
12
20
( 1 2 ) 12 16
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
..
12
..
12
20
( 1 2 ) 12 16
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
.
1
1
.
2
2
20
12 16 1 2 2 14
()
1 1
12
1 20
12 16 6 18
()
1 1
12
j
jj j
IA
j j
jj
jj j
IA
j j
jj
? ? ???
= = =
??
?
??? ? ?
= = =
??
?
利用行列式求解,
.,,
12
84 6, 3 2 5 7 1, 6 ( )
1c
jI I I A
j
?= ? = = ?
?
o
( ) 6,3 2 5 2 c o s( 7 1,6 ) ( )ci t t Aw=?? o
5? j5? a 5? -j5?
-j5?
+
-
+
-
.
1U
.
2U100V
.
cI
..
,121 1 1
()5 5 5 5 5 5 5 5 5a UUUj j j j j? ? = ?? ? ? ? ?
法二,节点分析法
.
1 0 0 6 0 8 0
( 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 )
5 5 5 5
a
j
j j j U
jj
?
? ? ? ? = ?
??
即：
.
30 10 ( )aU j V=?
解之：
.
,3 0 1 0
2 6 6, 3 2 5 7 1, 6 ( )55ac UjI j Vjj ?= = = ? = ??? o故：
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
==
?==?=
法一：电源变换
13
)
o
S 13
1 3 2
// 1 5 1 5
( // ) j 4 ( 1 5 j1 5 )
1 5 j1 5 j 3 0 4 5//
1,1 3 8 1,9 A
Z Z j
I Z Z
I
Z Z Z Z
?
?
=?
?
==
? ? ???
=?
(
解,
例, Z
2
SI?
Z1 Z Z3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1//Z3
Z
I?
+
-
法二：戴维南等效
o
0 1 3
0 1 3 2
o0
0
( // ) 8 4,8 6 4 5 V
// ) 1 5 j 4 5 Ω
1,1 3 8 1,9 A
S
U I Z Z
Z Z Z Z
U
I
ZZ
= = ?
= ? = ?
= = ?
?
（
&&
&
&
-
例, 用叠加定理计算电流
2
?I
ΩΩ
oo
SS
oo
1 3 2
,1 0 0 4 5 V,4 0 A,
5 0 3 0,5 0 3 0,
UI
Z Z Z
??
= ? = ?
= = ? = ? ?
已知
Z0
Z
0
?U
? I
+
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
解,
S S( 1 ) ( ),IU
??单独作用 短路
3
S2
23
o
o
oo
o
'
50 30
4 0
50 30 50 30
2.31 30 A
Z
II
ZZ
?
?
=
?
?
= ? ?
? ? ? ?
=?
SS( 2 ) ( ),UI
??单独作用 开路
A1 3 51 5 51
350
451 0 0
o
o
32
S
2
''
??=
??
=
?
?=
?
?
.
ZZ
U
I
2 22
oo
o
' ''
2,3 1 3 0 1,1 5 5 1 3 5
1,2 3 1 5,9 A
I I I
? ??
=?
= ? ? ? ?
= ? ?
Z2
SI?
Z1
Z3
'2I?
Z2 Z1
Z3
''2I?
S
?U
+
-
如图交流电桥电路，试求其平衡条件。
电桥平衡条件,
即,Z1 Z4 = Z2 Z3
例,
解,
|Z1|?j1 ?|Z4|?j4 = |Z2|?j2 ?|Z3|?j3
（模条件）
（阻抗角条件）
|Z1| |Z4| = |Z2| |Z3|
j1 +j4 = j2 +j3
故,
实际应用：可用于精确测量实际电感线圈的参数 Lx和 Rx
Z1 Z3
Z2 Z4
?
r0 Z
1/Z2=Z3/Z4
如果 Z4为电感元件，电桥还能平衡吗？
解,
?
r0
R
RB C
n
RA Lx
Rx 调节 C
n使电桥平衡有,
利用电桥精确测量实际电感线圈的参数 Lx和 Rx 1
()
1
()
1
n
x x A B
n
xx
AB
n
R
jC
R j L R R
R
jC
R j L R
RR
j RC
w
w
w
w
w
? ? =
?
?
?=
?
x x A B A B nR R j R L R R j R R R Cww? = ?即,
AB
x
x A B n
RR
R
R
L R R C
=
=
得,
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
abZ =求a b 间输入阻抗
S 1 1
1( 1 )
U Z I Z I
II?
=?
=?
& & &
&&
例,
解,
? I
1 ?I
1
?Iβ
Z
Z1
+
_ S ?U
a
b
S 1
ab Z 1
U ZZ
I ?= = ? ?
&
&故：
1
S 1
ZU Z I
?=? ??
&&（）
用相量图分析
oo 1 8 0 ~ 0θ 为移相角，移相范围
例, 移相桥电路。当 R2由 0??时,ab?U ? 如何变化
解,
CI??
??
b?;,,,ab2 相位改变大小不变改变当由相量图可知 ?UR
当 R2=0,? =180?；当 R2 ??,? =0?。
且 R2 ?,? ?。
2
2
11
2
,C,
1
2 t g 2 t gC
R
R θ
U
θ
U R Cw
??==
若已知 求 由相量图可得
1U? U?2U?
CU?
CI?
CU???
b
a
2RU&
o o a b
1U?
2U? CU?
CI?
R2 R1
R1
+
_ U?
abU?
+
-
+
-
+
-
+
-
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。
例,
解,
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
U?
2U?
2LU&
I?
2RU?
?2 ?
o
2
221
2
2
2
1
2
6 4, 9
c o s2
=?
??=
θ
UUUUU ?
H1 3 3.0)π2/(
8.41s i n ||
Ω6.19c o s ||
Ω2.4673.1/80/||
A73.132/4.55/
2
222
222
22
11
==
==
==
===
===
fXL
θZX
θZR
IUZ
RUI
Ω
另解：利用阻抗概念。
11
22
22
2
22
22
/ 5 5,4 / 3 2 1,7 3 A
115
1,7 3
|| ( 3 2 ) ( )
80
1,7 3
|| ()
I U R
U
I
Z RL
U
I
Z RL
w
w
= = =
= = =
??
= = =
?
总
2
解得,
221 9, 6,0, 1 3 3 H,RL= ? =
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
6,7 正弦电流电路中的功率
无源单口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
( ) 2 c o s ( V )
( ) 2 c o s ( ) ( A )
u t U t
i t I t
ui
w
wj
j
=
=?
为 和的相位差。
1,瞬时功率 (instantaneous power)
( ) 2 c o s 2 c o s( )
[ c o s c o s( 2 ) ]
p t ui U t I t
U I t
w w j
j w j
= = ? ?
= ? ?
无
源
+
u
i
_
? p有时为正,有时为负
? p>0,电路吸收功率
? p<0,电路发出功率
瞬时功率的分解,
w t
i
0
u
p
UIcosj
UIcos(2w t?j )
瞬时功率实用意义不大, 一般讨论所说的功率指一个周
期平均值 。
( ) c o s c o s ( 2 )p t U I U I tj w j= ? ?
2,平均功率 (average power)P,
00
11
d [ c os c os( 2 ) ] d
c os
TT
P p t U I U I t t
TT
UI
j w j
j
= = ? ?
=
??
单位,W c o s c o s ( )
uiP U I U Ij j j= = ?
即,
平均功率 实际上是电阻消耗的功率, 即为 有功功率,代
表电路实际消耗的平均功率, 它不仅与电压电流有效值有
关, 而且与 cosj 有关, 这是交流和直流的很大区别,主要
由于存在储能元件产生了阻抗角 。
,
3 0 0 2 c o s( 3 1 4 1 0 ) ( V )
5 0 2 sin ( 3 1 4 4 5 ) ( A )
P u i
ut
it
=?
=?
o
o
例,求平均功率 。 已知 关联取向，且：
解,
10
5 0 2 s in( 3 1 4 4 5 ) = 5 0 2 c o s ( 3 1 4 4 5 )
45
u
i
i t t
j
j
=
= ? ?
=?
o
oo
o
c o s ( )= 3 0 0 5 0 c o s 5 5 8 6 1 0 ( )uiP U I Wjj= ? ? =o故：
视在功率并不代表电路实际的吸收功率，它反映电气
设备的容量。单位,VA（伏安），（不用 W，以示区别）
d e f VAS U I= 单位,（伏安）
3,视在功率 S (apparent power)
* 若电流 滞后电压，标“滞后”,若电流 超前电压，标“超前,
例, cos jz =0.5 (滞后 ),则 jz =60o (电压领先电流 60o)。
一般地,有 0??cos j ??1
cos jz 1,纯电阻
0,纯电抗
功率因数反映了设备利用效率。
j 称 功率因数角 。对无源网络，即为其阻抗角 jz
c o s ( ) c o suiUIP
S U I
jj?j ?= = =定义,
cos p o w e r f a c t o r?j= 称 为功率因数（ )
已知：电动机 PD=1000W，其功率因数 cosjD=0.8,U=220V，
f =50Hz,C =30?F。求负载电路的功率因数。（ 不讲 ）
D
D
D
o
DD
o
oo
D
o
D
oo
1000
5.68 A
c os 220 0.8
c os 0.8(,36.8
220 0
5.68 36.8,220 0 j j 2.08
4.54 j 1.33 4.73 16.3
c os c os[ 0 ( 16.3 ) ] 0.96
C
C
P
I
U
U
I I C
I I I
j
jj
w
j
= = =
?
= ? =
=?
= ? ? = ? ? =
= ? = ? = ? ?
? = ? ? =
Q
&
&&
& & &
滞后）
设
( )滞后
+
_ D C U?
I? CI?
DI?
例,
解,
4,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f= 单位,var (乏 )，或称无功伏安。
无功功率的物理意义,
()
[ c os c os( 2 ) ]
p t u i
UI tj w j
=
= ? ?
瞬时功率
c o s ( 1 c o s 2 ) sin sin 2U I t U I tj w j w= ? ?
w t 0
UIcosj (1+cos2w t)
UIsinj sin2w t
瞬时功率的分解
UIcosj(1+cos2wt)为不可逆
分量, 相当于 电阻 元件消
耗的功率 。
UIsinj sin2w t为可逆分量，
周期性交变，相当于 电抗
吸收的瞬时功率，与外电
路周期性交换。
( ) c os ( 1 c os 2 ) si n si n 2
p t U I t U I tj w j w= ? ?
pR——电阻分量消
耗的瞬时功率
（ ≧ 0）
pX——电抗分量吸收
的瞬时功率
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsinj =UIsin0? =0
对电阻,u,i 同相，故 Q=0,即电阻只吸收 (消
耗 )功率，不发出功率。
电抗元件吸收无功, 在平均意义上不做功 。 Q=UIsinj,
Q 的大小反映网络与外电路间交换能量的最大速率 。
无功功率的物理意义,
纯电阻,
纯电感,
电感不 消耗 有功，且 QL>0。
PC=UIcosj =Uicos(-90?)=0
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI
电容不 消耗 有功且 QC<0。
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
PL=UIcosj =UIcos90? =0
QL =UIsinj =UIsin90? =UI
纯电容,
6,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
,uiU U I Ijj= ? = ?&&
*
*
VA
d e f
SU
I
I
I
=
&
&&
&
%定义,复 功率 单位：
其中 为 的共轭。
* ()
c os s i n
u i z z
zz
S UI UI UI S
UI j UI
P j Q
j j j j
jj
= = ? ? = ? = ?
=?
=?
% &&
U?
I?
负
载
+
_
有功，无功，视在功率的关系,
22 QPS ?=
R
jX
+
_
+ _
o
o
+
_ U?
RU?
XU?
c os Re [ ]
si n Im [ ]
| |
z
z
P UI S
Q UI S
S UI S
W
V ar
VA
j
j
==
==
==
%
%
%
有功功率，单位：
无功功率，单位：
视在功率，单位：
S
P
Q
功率三角形
zj
Z
R
X
阻抗三角形
zj
U
UR
UX
电压三角形
zj
有功功率和无功功率的计算,
（ 1）若无源单口网络 N0等效阻抗为 Z=R+jX
N0
I&
U&
+
- jX
R Z
U&
I&
+
-
* * 2
22
S U I Z II Z I
RI jXI
P jQ
= = =
=?
=?
% && &&
22c o s ( ) c o s R R e [ ]u i zP U I U I I I Zj j j= ? = = =
22s i n ( ) s i n I m [ ]u i zQ U I U I I X I Zj j j= ? = = =
2
2 =
P R I
Q X I
=
（ 2）若无源单口网络 N0等效导纳为 Y=G+jB
N0
I&
U&
+
-
Y G jB
I&
U&
+
-
* * * 2
2
22
()
( )
( )
=
S U I U Y U Y U
G jB U
G U j BU
P jQ
= = =
=?
= ? ?
?
% && & &
2
2 =
P G U
Q BU?
=
22
22
c o s ( ) c o s R e [ ]
s in ( ) s in I m [ ]
u i z
u i z
P U I U I U G U Y
Q U I U I B U U Y
j j j
j j j
= ? = = =
= ?? = = ? =
复功率守恒定理,在正弦稳态下, 任一电路的所有支路吸收
的复功率之和为零 。 即 *
11
1
1
1
0 0
0
( j ) 0
0
bb
kk
k
kk
b
kb
k
kk b
k
k
k
S U I
P
PQ
Q
??
==
=
=
=
==
?
=?
?
?= ?
?
=
?
?
??
?
?
?
%
此结论可 用特勒根定理证明 。
12
1 2 1 2
12
12
* ( ) *
* *
S U I U U I
U I U I S S
U U U
S S S
= = ?
= ? = ?
??
? ? ?
% & & & & &
& & & & % %
Q
一般情况下,
?
=
?
b
k
kSS
1
+
_
+ _ +
_ U?
1U?
2U?
I?
.,* 不等于视在功率守恒复功率守恒
已知如图，求各支路的复功率。 (不讲 ）
o
o
oo
*2 2 *
11
*2
22
10 0 [ ( 10 25 ) // ( 5 j 15 ) ]
23 6 ( 37,1 ) V
23 6 ( 37,1 ) 10 0 18 82 j 14 24 V A
1
23 6 ( ) 76 8 j 19 20 V A
1 0 2 5
11 13 j
Uj
S
S U Y
j
S U Y
= ? ? ? ?
= ? ?
= ? ? ? ? = ?
= = = ?
?
= = ?
&
%
%
%
发
吸
吸
3 3 4 5 V A
例,
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解一,
oo
1
o
21
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
5 j 15
10 0 8.77 ( 105,3 ) A
10 j 25 5 j 15
14.9 4 34.5 A
8.77 ( 10 j 25 ) 769 j 192 3 V A
14.9 4 ( 5 j 15 ) 111 6 j 334 8
S
I
I I I
S I Z
S I Z
?
= ? ? = ? ?
? ? ?
= ? = ?
= = ? ? = ?
= = ? ? = ?
&
& & &
%
%
吸
吸
* o
11
V A
10 8.77 ( 105,3 ) ( 10 j 25 )
188 5 j 142 3 V A
S
S I I Z= ? = ? ? ? ?
=?
% & &
发
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解二,
7,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
S
75kVA
负载
P=Scosj
cosj =1,P=S=75kW
cosj =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cosj =0.2~0.3
满载 cosj =0.7~0.85
日光灯 cosj =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大 I=P/(Ucosj )，
线路压降损耗大,且线路热损耗大 。
功率因数低带来的问题,
解决办法,并联电容，提高功率因数 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c os == φφ 得由
例,
P=20kW
cosj1=0.6
+
_
C
U? L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c os == φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
1 1 2
1
12
122
s i n c os
c os
( t g t g )
( t g t g )
C L L
L
C
C
C
I I I t g
P
I
U
P
I
U
I P
I C U C
UU
j j j
j
jj
w j j
ww
=?
=
=?
= ? = = ?Q
将 代入得
又
补偿容量也可以从无功补偿角度来确定,
j1 j2
P
QC
QL
Q
12
2
122
( t g t g )
( t g t g )
CL
C
Q Q Q P
Q CU
PC
U
jj
w
jj
w
= ? = ?
=
? = ?
3
2
2 0 1 0 ( t g 5 3, 1 3 t g 2 5, 8 4 ) 3 7 5 F
3 1 4 3 8 0C ?
?= ? =
?
oo
补偿电
容不同 全 ——不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 ——使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功不变, 但是电源向
负载输送的无功减少了, 减少的这部分无功就由电容, 产
生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而功率因数得
到改善 。
单纯从提高 cosj 看是可以, 但是负载上电压改变了 。
在电网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联
电容 。
思考,能否用串联电容提高 cosj?
功率因数提高后, 线路上电流和热损耗减少, 就
可以带更多的负载, 充分利用设备带负载的能力 。
SSP
Q ?
%：如图电路，求其复功率,视在功率,有功功率,无
功功率 和功率因数
例
。
3?
200UV=&
I?
LI?
CI?
+
_ j4?
-j5?
解一：由端口电压电流求解
( 3 4 ) / / ( 5 ) 7.91 18.4 4
200 0
25.2 8 18.4 4
7.91 18.4 4
Z j j
U
IA
Z
= ? ? = ? ? ?
?
= = = ?
??
o
o
o
o
&
& c o s 2 0 0 2 5, 2 8 c o s( 1 8, 4 4 ) 4 7 9 7, 2 5 ( )
sin 2 0 0 2 5, 2 8 sin( 1 8, 4 4 ) 1 5 9 9, 5 5 ( )
4 7 9 7, 2 5 1 5 9 9, 5 5
| | 5 0 5 6, 8 9 ( )
c o s c o s( 1 8, 4 4 ) 0, 9 5 (
z
z
z
P U I W
Q U I V a r
S P jQ j V A W
S S V A
j
j
?j
? = = ? ? =
= = ? ? = ?
= ? = ?
==
= = ? =
o
o
o
%
%
（不用 ）
超前）
Z解二：由等效阻抗 求解
jX= -j2.5?
R=7.5? Z
200UV=&
I?
+
-
7,5 2,5
2 5,2 8 1 8,4 4
Zj
IA
= ? ?
=? o& （已求得）
22
22
22
Re [ ] 25.28 7.5 479 4.98 ( )
Im [ ] 25.28 ( 2.5 ) 159 8.33 ( )
479 4.98 159 8.33 ( )
| | 505 6.89 ( )
c os c os( 18.44 ) 0.95
z
P I Z W
Q I Z V ar
S P j Q j V A
S S P Q V A
?j
? = = ? =
= = ? ? = ?
= ? = ?
= = ? =
= = ? =
o
%
%
Y解三：由等效导纳 求各量
11 0, 1 1 9 9 0, 0 3 9 9 ( )
7, 9 1 1 8, 4 4Y j S G j BZ= = = ? = ??? o
22
22
22
Re [ ] 200 0.1199 4794.98 ( )
Im [ ] 200 0.0399 1598.33 ( )
4794.98 1598.33 ( )
| | 5056.89 ( )
c os 0.95
y
P U Y W
Q U Y V ar
S P jQ j V A
S S P Q V A
P
S
?j
? = = ? =
= ? = ? ? = ?
= ? = ?
= = ? =
= = =
%
%
Y G jB
200UV=&
I?
+
-
S%解四：由复功率 求各量
*
( 3 4 ) / / ( 5 ) 7.9 1 18,44
200 0
25,28 18,44
7.9 1 18,44
200 0 25,28 18,44
5056.89 18.44
4797.25 1599.55
Z j j
U
IA
Z
S U I
j V A
= ? ? = ? ? ?
?
= = = ?
??
? = = ? ? ? ?
= ? ?
=?
o
o
o
o
oo
o
&
&
% &&
W（不用 ）R e [ ] 4 7 9 7, 2 5 ( )
I m[ ] 1 5 9 9, 5 5 ( )
| | 5 0 5 6, 8 9 ( )
c o s 0, 9 5 (
z
P S W
Q S V a r
S S V A
P
S
?j
? = =
= = ?
==
= = =
%
%
%
超前）
6,8 最大功率传输定理
一、共轭匹配
Z0= R0 + jX0,负载 ZL= RL + jXL
oc
oc
22
0L 0 L 0 L
,
( ) ( )
UUII
ZZ R R X X
?
?
==
? ? ? ?
2
2 L o c
L 22
0 L 0 L
( ) ( )L RUP R I R R X X== ? ? ?有功功率
ocU
?
ZL
Z0
I?
+
-
讨论正弦稳态电路中负载获得最大功率 PLmax的条件。
(a) 若 ZL实部 RL固定，虚部 XL可调,则当 XL =-X0时,PL获得极值
2
L o c
2
0L()
L
RUP
RR= ?
(b) 若 RL, XL均可 调，则先调节使 XL =-X0之后再调 RL,PL还可
以进一步增大。
2
oc
max
04
L
UP
R=
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是,
ZL= Z0*=R0-jX0 （共轭匹配）
00
L
LL
L
dP R R P
dR ==令 知当 时 可获最大值：
二,模匹配
若 ZL的阻抗角 jL 不可调，只能调节 |ZL|,
重新讨论负载获取最大功率的条件。
此时负载获得最大功率的条件,|ZL| = |Z0| （模匹配）
22
o c o c
max
0 0 0 0 0
c o s c o s
2 | | [ 1 c o s ( ) ] 2 | | 2 ( c o s s i n )
LL
L
L L L
UUP
Z Z R X
jj
j j j j== ? ? ? ?
最大功率为,
证明如下,
ocU
?
ZL
Z0
I?
+
-
Z0= R0 + jX0=|Z0|?j0
ZL= RL + jXL=|ZL|?jL
L
2
o c L
22
0 L 0 L
2
o c L
22
0 L 0 L 0 0 L 0
2
oc
2
0
L 0 0
L
( ) ( )
| | c o s
| | | | 2 | || | c o s c o s 2 | || | si n si n
c o s
||
| | 2 | | c o s( )
||
L
LL
L
L
UR
P
R R X X
UZ
Z Z Z Z Z Z
U
Z
ZZ
Z
j
j j j j
j
jj
=
? ? ?
=
? ? ?
=
? ? ?
L
2
0
LL
L
2
0
L
LL
0
||
,( | | ) ( | | )
||
||d
( | | ) 0,
d | | | |
| | | |
L
Z
P Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
?
=
?=
要使 最大 需使 最小 改变
令 得,
（模匹配）
22
o c o c
m a x
0 0 0 0 0
c o s c o s
2 | | [ 1 c o s ( ) ] 2 | | 2 ( c o s s i n )
LL
L
L L L
UU
P
Z Z R X
jj
j j j j
=
? ? ? ?
此时负载获最大功率：
=
显然，模匹配时负载所获得的最大功率小于共轭
匹配时的最大功率。（为什么？）
例,如图电路，问当 ZL=?时负载可获最大功率，且最大 功率
PLmax=? 若（ 1） ZL实部和虚部均可调。（ 2） ZL是纯电阻。
1?
+
-
14,1 0 V? o j1? ZL
a
b
+
- oc 1 0 4 5UV=?
o& ZL
a
b
0 0,5 0,5Zj= ? ?
解,作 ab以左的 Thevenin等效,
01 4, 1 0 1 0 4 5 0, 5 0, 511oc
jjU V Z j
jj= ? ? = ? = = ? ???
oo&
（ 1）若 ZL实部和虚部均可调，则当
*
0
2 2
m a x
0
0.5 0.5 (
10
50 ( )
4 4 0.5
L
oc
L
Z Z j
U
PW
R
= = ? ?
= = =
?
时 共轭匹配）
负载可获得最大功率:
2
m a x
1 ( / / ) 2
14.1
10 0 ( )
2
50
50%
100
L
s
L
s
Z j Z
PW
P
P
?
= ? = ?
==
= = =
此时电源两端总的阻抗
电源输出有功功率
此时传输效率 （低）
故在电力工程（强电）中不允许共轭匹配，因匹配时传
输效率低，浪费大。但在无线电工程、通信技术（弱电）中
，要求共轭匹配以获取最大功率。
（ 2）当 ZL要求是纯电阻时，即 ZL=RL，阻抗角 jL=0不能改
变，只能改变电阻的阻值大小。（ 模匹配 ）
22
0
2
m a x
0
2
2
| | 0.5 0.5
2
| |
10 2
| |
22
0.5 0.5
2
100
= 46,8 ( ) 50 ( )
12
L
oc
LL
L
RZ
U
PR
ZR
j
WW
= = ? = ?
=?
?
=?
??
??
?
&
当 时
负载可获得最大功率:
三,LC匹配网络
当 ZL固定不可调节（包括实部、虚部及模）时，则既不能
实现共轭匹配又不能实现模匹配，此时可在电源和负载间
插入 LC网络实现匹配。
+
- ocU
& ZL
a
b
Z0 L
C
+
- ocU
&
a Z0
ZL
b
c
d
+
- ocU
&
a Z0
ZL
b
c
d
L
C
思路,在特定工作频率 f 下，
选择一定的 LC参数，使得 ab
以右与电源内阻实现 共轭匹配
，此时 ZL的功率即为最大功
率。（因 LC不吸收有功）
本章小结,
1,正弦量三要素,Fm,w,?
电阻 电容 电感 2.比较
时域 u=Ri tiLu dd= tuCi dd=
频域 (相量 ) IRU ??= ILU ?? wj= UCI ?? wj=
有效值 U=RI U=XLI X
L=wL
U= XCI
XC= 1/(wC)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=I2Rt W=Li2/2 W=Cu2/2
相位 ?U?I ?U
?U?I
?I
3.相量法计算正弦稳态电路
① 先画相量运算电路
电压、电流 ?相量
复阻抗
② 相量形式 KCL,KVL定律，欧姆定律
③ 网络定理计算方法都适用
④ 相量图
4.功率 22 j
c os R e [ ]
si n Im [ ]
z
z
z
S S P Q P Q
S S U I S
P P U I S
Q Q U I S
j
j
j
= ? = ? ?
==
==
==
%%
%
%
%
复功率
视在功率
有功
无功
j
S
P
Q
重点,
? 相位差
? 正弦量的相量表示
? 复阻抗复导纳
? 相量图
? 用相量法分析正弦稳态电路
? 正弦交流电路中的功率分析
工程上往往以频率区分电路：工频 50 Hz
中频 400-2000Hz
高频电路
T
t
i
O
f(t)=f(t+nT)
n=0,± 1,± 2,…
周期信号,
正弦信号是周期信号中的一种。
6,1 正弦量的基本概念
一, 正弦量的三要素
正弦量的表达式,
f(t)=Fmcos(w t+?)
Fm,w,? 这 3个量一确定, 正弦量就完全确定了 。
所以, 称这 3个量为正弦量的三要素,
波形,
t O ?/w
T Fm
f(t)
(1) 振幅 (amplitude), 反映正弦量变化幅度的大小 。
(2) 角频率 (angular frequency)w, 反映正弦量变化快慢 。
即 相角随时间变化的速度 。
正弦量的 三要素,
相关量,
频率 f (frequency),每秒重复变化的次数。
周期 T (period),重复变化一次所需的时
间。
f =1/T
单位,w, rad?s-1, 弧度 ?秒 -1
f, Hz，赫 (兹 )
T, s，秒
市电,f=50Hz,T=1/50=0.02(s),w=2?/T= 2?f=314rad/s
(3) 初相位 (initial phase angle) ?,反映了正弦量的计时起点。
(w t+ ? )——相位角
? — 初相位角, 简称初相位 。
一般规定,
① | ? |?? 即, -? ? ? ? ?
② 初相位是由 f(t)=Fmcos(w t+?)确定，若原用 sin表示，
求初相位时应先化为 cos形式在求 ?
令 t=0 → f(0)=Fmcos ? → ?=2n ? ± arccos[f(0)/Fm],
?可能为多值 。
例,f(t)=Fmsin(wt+?/2 )，其初相位 ? ? ?/2.而应化
为 cos形式，即,
f(t)=Fmsin(wt+?/2 )= Fmcoswt,故初相位 ?=0
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
? =0
? =-?/2
? =?
例,f(t)=Fmsin(wt+?/6 )= Fmcos(?/2- wt- ?/6)
= Fmcos(?/3- wt)= Fmcos(wt -?/3)
故初相位 ?= -?/3
二, 相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。
设 u(t)=Umcos(w t+ ? u),i(t)=Imcos(w t+ ? i)
则 相位差 j = (w t+ ? u)- (w t+ ? i)= ? u- ? i
? 若 j >0,则 u 超前 i 相位 角 j, 或 i 滞后 u 相位 角 j。
? 若 j <0，则 i 超前 u相位 角 ? j ?,或 u 滞后 i 相位 角 ?j ? 。
从波形图上看相位差
可取变化趋势相同点
来看 。 w t
u,i
u
i
? u
? i j
O
j =0,同相,
j =± ? (180o ), 反相,
规定,|j | ?? (180° )。
特例,
w t
u,i
u
i
O
w t
u,i
u
i O
j = ?/2,u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
O
j = ?/2,正交,
三、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小工程上采用有效值来衡量。
1,有效值 (effective value)定义
定义, 若周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内产生的热
量, 等于一直流电流 I 流过 R,在时间 T 内产生的热量, 则称
电流 I 为周期性电流 i 的有效值 。
Q2=I 2RT R
i(t)
R
I
同样，可定义 电压有效值,
21
0( ) ( ) d
TQ t i t R t= ?
?= T tRtiRTI 0 22 d)(
?= T ttuTU 0 2def d)(1
有效值也称方均根值 (root-meen-square，简记为 rms。 )
?= T ttiTI 0 2d e f d)(1
2,正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
22
m0
1 c os ( ) dTI I t t
T w?=??
2
00
1 c o s 2 ( ) 1 c o s ( ) d d
22
TT tt t t Tw?w? ??? = =??Q
m
2 m
mm
1
0.70 7
2 2
2
TI
I I I
I
T
I
? = ? = =
=
同理，对正弦电压也有,
m m m
1 0, 7 0 7 2
2U U U U U= ? =或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设备铭牌
额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值指的是
最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值
考虑 。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
例,求如图周期信号的有效值。
(a)
10
1 2 3 0 -1 -2
u1(t)(V)
t(s)
(b)
A
1 2 3 0 -1
u2(t)(V)
t(s)
-A
解,
2
11 0
1( a) U ( )T u t dt
T= ?
1 2
0
1 ( 10 )
2 t dt= ?
10 4.08 ( V)
6=?
(b) U2=A （有效值）
2 ( ) 0ut =而平均值若加在 1?电阻上，则平均功率,
22
1 4, 0 8 1 6, 7 ( W )
1
UP
R= = =
补充,复数复习
1,复数 A表示形式,
) 1(j 为虚数单位?=
一个复数 A可以在复平面上表示为从原点到 A的向量,
此时 a可看作与实轴同方向的向量, b可看作与虚轴同方
向的向量 。 由平行四边形法则 。 则 a+jb即表示从原点到 A
的向量, 其模为 |A|,幅角为 ? 。 所以复数 A又可表示为
A=|A|ej? =|A| ?
A b
Re
Im
a O
A=a+jb
A b
Re
Im
a O
?
两种表示法的关系,
A=a+jb
A=|A|ej? =|A| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
=
?=
a
b
θ
baA
a r c t a g
|| 22
或
??
?
=
=
θA b
θ|A|a
s in||
c o s
2,复数运算
则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——直角坐标
若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2
A1
A2
Re
Im
O
加减法可用图解法。
(2) 乘除运算 ——极坐标
若 A1=|A1| ? 1, 若 A2=|A2| ? 2
则 A1 A2 =| A1 | | A2| ? 1?? 2
21
1)j(1
2j
j
1
2
111
|2|
||e
|2|
||
e|2|
e||
|2|
||
2
21
1
θθAAAAAAθA θAAA θθθ
θ
?===??= ?
乘法：模相乘，角相加；
除法：模相除，角相减。
例 1,5 ?47? + 10?-25 ?= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226)
=12.47-j0.567 = 12.48 ?-2.61?
例 2,
19.24 27.9 7.211 56.3
180,2 j 126,2
20.62 14.04
180,2 j 126,2 6.728 70.16
180,2 j 126,2 2.238 j 6.329
182,5 j 132,5 225,5 36
? ? ?
= ? ?
?
= ? ? ?
= ? ? ?
= ? = ?
oo
o
o
o
(3) 旋转因子,
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。 故
把 ej? 称为旋转因子 。
ej?/2 =j,e-j?/2 = -j,ej?= –1 故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
( 1 7 j 9 ) ( 4 j 6 ) 2 2 0 3 5
2 0 j 5
????
?
o
1,用 旋转相量 表示正弦量
即：任意一个正弦时间函数都可以用一个在复平面上以 w
角速度绕原点旋转的向量 与其对应 。
Fm
+1
Im
O
+j
Re
j0
w
0 c os( )mmt F F twj ?时刻 在实轴上投影为
u uv
2,用 固定相量 表示正弦量
同一正弦电路, 各支路响应的频率相同, 故只需标
明各量振幅及初相位关系 。 如,
u1(t)=U1mcos(wt+j1) u2(t)=U2mcos(wt+j2)
6,2 正弦信号的相量表示
+1 O
+j
j1 1mU?
2mU
?
j2
12 U Umm w
??则 与 相量以相同角速度 旋转，
任一时刻二者相角差：
1 2 1 2) ( )j w j w j j j? = ? ? ?（ t + t +
（不变）
故可用复平面上的固定相量来对应特定的正弦量。
对应一个正弦量的向量称为 相量 (phasor),用大写字
母上加一点表示 。 相量上加一点是为了和普通的复数相
区别 (强调它与正弦量的联系 ), 因为它表示的不是一般
意义的向量, 而是对应了一个正弦量 。
3,相量的复数表示及运算
+1 O
+j
mF
?
j
b
a
(1)固定相量的四种表示方法,
F c o s sin (
(
= (
m mm
j
m
m
F jF
Fe
F
j
jj
j
?
=?
?
三角函数形式）
=a+jb (代 数形式）
= 指数形式）
极坐标形式）
mmmF F Fj
??其中,——相量 的 ——相量 模 的 辐角
m
m
F
F
j
j
a = c o s （实部）
b = s i n （虚部）
2
a r g
mFb
b
tg
a
j
?
=
2=a
(2) 旋转相量的复数表示
()F j t j j t j tm
mme F e e F e
w j w w j? ?==
固定相量 旋转因子
c o s ( ) s i n ( )mmF t j F tw j w j= ? ? ?
c o s ( ) R e [ ]jtm mF t F e wwj ?? ? =正弦信号f ( t ) =
（实轴投影）
或写成,
mF??f(t)
mF
? 对应称 f ( t ) 。
mF?f ( t ) 与 是对应关系，而不注,是相等关系。
（ 3） 有效值相量
1
2 mFF
??
=
例 1,
解,
30 o
11
120 o
22
( ) 5 3 5 3 30 ( A )
( ) 5 5 120 ( A )
j
m
j
m
i t I e
i t I e
?
?
? = = ?
? = = ?
o
o
已知
① 试分别写出 i1,i2对应的振幅相量和有效值相量。
o
1
o
2
( ) 5 3 c o s ( 3 0 ) A
( ) - 5 s in ( t 3 0 ) A
i t t
it
w
w
=?
=?
② 求 i(t)=i1(t)+i2(t)的瞬时表达式。
③ 作 i,i1,i2的有效值相量图。
将 i1,i2化为标准 cos形式,
o
1
o
2
( ) 5 3 c o s ( 3 0 ) A
( ) 5 c o s ( t 1 2 0 ) A
i t t
it
w
w
=?
=?
① 振幅相量,
1 o
11
2 o
22
53
( ) 30 ( A )
22
5
( ) 120 ( A )
22
m
m
I
i t I
I
i t I
?
?
?
?
? = = ?
? = = ?
有效值相量,
②
1212( ) ( ) ( ) m m mi t i t i t I I I
? ? ?= ? ? = ?
5 3 30 5 12 0
3 1 1 3
5 3 ( ) 5 ( )
2 2 2 2
5 5 3 10 60 ( A )
oo
o
jj
j
= ? ? ?
= ? ? ? ?
= ? = ?
( ) 1 0 c o s ( 6 0 ) ( A )
oi t tw=?故 （由相量形式写时域形式）
例, 5 0 H zf =已知相量形式写信号时域瞬时值表达式（设 ）
③ i 的有效值相量,
10
6 0 ( A )
22
omII
?
?
= = ?
i,i1,i2的有效值相量图
+1 O
+j
1I
?
2I
?
I?
30o
60o120o
1 3 0 A2
o
mI
?? =?(1)
1 1 ( ) 3 0 c o s ( 3 1 4 ) ( A )2mI i t t
?? =??
注,频率不同的相
量不能画在同一个
相量图上。
2 10 10 ( A )Ij
? = ? ?(2)
2 21 0 2 1 3 5 ( ) 1 0 2 c o s ( 3 1 4 1 3 5 )
2 0 c o s
2
( 3 1 4 1 3 5 ) ( A )
oo
o
I i t t
t
?
= ? = ?
=?
??
3 31 0 2 1 3 5 ( ) 1 0 2 c o s ( 3 1 4 1 3 5 ) ( A )oomI i t t
? = ? ? = ??
3 10 10 ( A)mIj
? = ? ?(3)
4,相量运算（ 略 ）
(1) 同频率正弦量相加减
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? =?
这实际上是一种
变换思想
j
11 m 1 1
j
22 m 2 2
( ) c os ( ) Re ( 2 )
( ) c os ( ) Re ( 2 )
t
t
u t U t U e
u t U t U e
w
w
wj
wj
?
?
= ? =
= ? =
jj
1212
j j j
1 2 1 2
12
( ) ( ) Re ( 2 ) Re ( 2 )
Re ( 2 2 ) Re ( 2 ( ))
tt
t t t
u t u t U e U e
U e U e U U e
U U U
ww
w w w
??
? ? ? ?
? ? ?
? = ?
= ? = ?
? = ?
例,
1
o
2
o
12
o
12
o
12
( ) 3 2 c os 314 V
( ) 4 2 c os( 314 90 ) V
( ) ( ) ( ) 5 2 c os( 314 53.1 ) V
3 0 V,4 90 V
5 53.1 V
u t t
u t t
u t u t u t t
UU
U U U
=
=?
? = ? = ?
= ? = ?
= ? = ?
o&&
& & &
同频正弦量的加, 减运算可借助相量图进行 。 相量
图在正弦稳态分析中有重要作用, 尤其适用于定性分析 。
11 1 1 1 1
22 2 2 2 2
2 c os( )
2 c os( )
i I t I I
i I t I I
w ? ?
w ? ?
?
?
= ? ? = ?
= ? ? = ??1
2 ?I
?2
1 ?I
2 1 ?? ?II
Re
Im
2 ??I 2
1 ?? ?II
将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变
换思想, 由时域变换到频域,
时域：在变量是时间函数条件下研究网络, 以时间为
自变量分析电路 。
频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频
率为自变量分析电路。
相量法,将正弦时间函数, 变换, 为相量后再进行分析,
属于频域分析 。
(2) 正弦量的微分，积分运算
Uωu d tIωdtdi
U uIi
??
??
j
1 j
??
??
?
j
j
j
dd R e [ 2 e ]
dd
d R e [ ( 2 e ) ]
d
R e [ 2 ( j ) e ]
t
t
t
i I
tt
I
t
I
w
w
w
w
=
=
=
&
&
&
2
j ( / 2 )
j
d 2 c os( ) d
2 si n ( )
2
c os( )
2
R e [ e ]
R e [ 2 ( ) e ]
j
t
t
u t U t t
U
t
U
t
U
U
?
w j ?
w
wj
wj
w
wj
w
w
w
?
??
=?
=?
= ? ?
=
=
??
证明,
5,相量法的应用
求解正弦电流电路的稳态解 (微分方程的特解 )
例
m( ) c os( )
()( ) ( )
uu t U t ψ
di tu t Ri t L
dt
w=?
=?
一阶常系数
线性微分方程
自由分量 (齐次方程解 ),Ae-R/L t
强制分量 (特解 ),Imcos(w t+? i)
m m m
22
mm
c o s ( ) c o s ( ) s in( )
( ) ( ) c o s ( )
u i i
i
U t R I t L I t
R I L I t θ
w ? w ? w w ?
w w ?
? = ? ? ?
= ? ? ?
R i(t)
u(t) L
+
-
22
m
m
2
m
2
mm )()( LωR
UILIωRIU
2?
=??=
w t+?u=w t+? i+?
?i=?u-?
? =tg-1(w L/R)
用相量法求,
1
2 2 2
2 c o s ( t g )
u
ULit
RRL
ww?
w
?= ? ?
?
t
tiLtRitu
d
)(d)()( ?=
1
2 2 2
2 2 2 1
j
( - t g )
j
tg
u
u
U R I L I
UU U L
I
LR L RRL
RL
R
w
? w
?
ww w
w
? ? ?
?
?
?
?
=?
?
= = = ?
? ?
??
1
2 2 2
2 c o s ( t g )
u
ULit
RRL
ww?
w
?= ? ?
?
?
22 )( LωR ?
R
w L
小结
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线
性微分方程的特解, 即可用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非 线性 w
不适用
正弦波形图 相量图
6.3 基本元件的正弦稳态特性及相量模型
一, 电阻
时域形式,相量形式,
( )RU R I=&& 相量形式的欧姆定律
相量模型
( ) 2 c os( )ii t I t Ψw=?已知
( ) ( ) 2 c os( )Riu t Ri t RI t Ψw= = ?则uR(t)
i(t)
R
+
- 有效值关系,U
R=RI
相位关系,?u=?i (u,i同相 )
R
+
-
RU?
? I
iII Ψ? =?&
R R uUU Ψ? =?&
注,(1) uR,i 是同频正弦量
()( 2)
()
m R mRR
mm
UUu t U URR
i t I I I I= = = = =
&&
&&且
功率,
2
R m m i
i
i
c os ( )
[ 1 c os 2 ( ) ]
= c os 2 ( )
RR
R
RR
p u i
U I t
U I t
U I U I t
w?
w?
w?
=
=?
= ? ?
??
波形图及相量图,
w t
i
O
uR
pR
RU?
I?
?u=?i
RRp U I=平均功率 P=
P=URI
≧ 0
（纯耗能）
二, 电感 时域形式,
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式,
( ) 2 c os( )ii t I tw?=?已知
d ( )
( ) 2 si n ( )
d
2 c os( )
2
Li
i
it
u t L LI t
t
LI t
w w ?
?
w w ?
= = ? ?
= ? ?
则
相量模型
有效值关系,UL=w LI
相位关系,?u=?i +90° (uL 超前 i 90° )
jw L
+
- LU
?
? I
iII ?? =?&
L L uUU ?? =?&
1LLU j L I I UjLw w
??
==&&即,（ ）
（相量形式的欧姆定律）
LU?
I?
?i
?u
相量图
1LLU j L I I UjLw w
??
==&&即,（ ）
令 XL=w L,称为感抗, 单位为 ? (欧姆 )
BL=1/w L, 感纳, 单位为 S (同电导 )
L L L LU j X I I j B U
??= = ?&&则,（ ）
感抗的物理意义,
(1) 表示限制电流的能力；
(2)感抗和频率成正比,w 越大,XL越大，对正弦
电流阻碍能力越强。
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压,。
w
XL
I
ULω
i
uLω ??? j写法注意,
w ?0 直流（ XL=0) （短路）
w??（ 开路）
LXLw=
功率,
m c os ( ) c os ( )2
si n 2 ( )
LL
L m i i
Li
p u i
U I t t
U I t
?w ? w ?
w?
=
= ? ? ?
= ? ?
波形图,
w t
i
O
uL pL
（ 1）平均功率为 0
（ 2）功率变化比电压、电流快一倍（倍频）
能量流入电感
能量流出电感
三,电容 时域形式,相量形式,
( ) 2 c o s( )uu t U tw?=?已知 d ( ) ( ) 2 sin ( )
d
2 c os( )
2
2 c os( )
Cu
u
ci
ut
i t C CU t
t
CU t
It
w w ?
?
w w ?
w?
= = ? ?
= ? ?
=?
则
相量模型
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90° (i 超前 u 90° )
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1
c c iII ?? =?&
uUU ?? =?&
1= j
jCCI C U U ICw w
? ? ? ?=即,（或 ）
（相量形式的欧姆定律）
U?
CI?
?u
?i
相量图
c c ccI j B U U j X I
? ? ? ?= = ?则,（ 或 ）
1= j
j CCI C U U ICw w
? ? ? ?=（或 ）
令 Xc=1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B c = w C, 称为容纳，单位为 S
容抗和频率成反比,w ?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??, |XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
XC
功率,
mm
mm
c os ( ) c os ( )
2
c os ( ) s i n ( )
s i n 2 ( )
cc
u c u
c u u
cu
p u i
U t I t
U I t t
UI t
?
w ? w ?
w ? w ?
w?
=
= ? ? ?
= ? ? ?
= ? ?
波形图,
w t
iC
O
u
pC
能量流入电容
能量流出电容
1
cX Cw=
6,4 基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
1,基尔霍夫定律的相量形式
( ) 0 0
( ) 0 0
i t I
u t U
?
?
= ? =
= ? =
??
??
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示,
0 0 IU????但一般 注：,
简证 KCL的相量形式, （ 略 ）
i3
i2 i1
3I
??
1I
? ?
2I
??
由 KCL有,i1(t)+ i2(t) + i3(t)=0
1 2 3
1 2 3
R e ( ) R e ( ) R e ( )
R e [ ( ) ] 0
j t j t j t
mmm
jt
mmm
I e I e I e
I I I e
www
w
? ? ?
? ? ?
= ? ?
= ? ? =
1 2 3 0mmmI I I
? ? ?? ? =即,
同理可证 KVL的相量形式
故,i1(t)+ i2(t) + i3(t)
2,电路的相量模型 (phasor model )（ 略 ）
时域列解微分方程
求非齐次方程特解 频域列解代数方程
L
C R uS
iL iC
iR
+
-
jw L
1/jw C SU?
LI? CI?
RI?
R
+
-
时域电路 频域电路
?
?
=
=?
?=
ti
C
Ri
uti
Ct
i
L
iii
CR
C
L
RCL
d
1
d
1
d
d
S
CR
CL
RCL
I
C
IR
UI
Cω
ILωj
III
??
???
???
=
=?
?=
S
j
1
j
1
ω
例, 如图 (a)电路,us=10cos1000t (V),求 i1,i2,i3及 i(t)并作相量图。
1H 1?F 1K? uS
i3 i2 i1 +
-
i
(a) 时域模型
1K?
+
-
(b) 相量模型
1I
?
2I
?
3I
?
-j103? j103?
I?
sU
?
( ) 1 0 0 ( V )smsu t U? =?? o解,
1
1 0 0= = 0,0 1 0 ( A )
1K
smm UI
R
?
? ?
=?
o
o
2
1 0 0= = 0, 0 1 9 0 ( A )
1 - j 1 0 0 0
smm UI
jCw
?
? ?
=?
o
o
3
1 0 0= = 0, 0 1 9 0 ( A )
j 1 0 0 0
smm UI
jLw
?
? ?
= ? ?
o
o
1 ( ) = 0, 0 1 c o s 1 0 0 0 ( A )i t t?
2 ( ) = 0, 0 1 c o s ( 1 0 0 0 9 0 ) ( A )i t t? ? o
3 ( )= 0, 0 1 c o s ( 1 0 0 0 9 0 ) ( A )i t t? ? o
1 2 3
= 0, 0 1 0 0, 0 1 9 0 0, 0 1 9 0
= 0, 0 1 0, 0 1 0, 0 1
= 0, 0 1 0 ( A )
m m m mI I I I
jj
? ? ? ?
= ? ?
? ? ? ? ? ?
??
?
o o o
o
( ) = 0,0 1 c o s 1 0 0 0 ( A )i t t?
由 KCL的相量形式,
mI
?
1mI
?
2mI
?
3mI
?
+1 0
+j
mI
?
1mI
?
2mI
?
3mI
?
绝对相量图 封闭相量图
例：如图正弦稳态电路，已知交流电压表 V1读数为 60V,
V2读数为 80V，求 V读数。
解,（ 1） 相量法求解
R
L
i
假设以电流为参考相量，即设,0 (A )II? =? o
12,60 0 ( V) 80 90 ( V)VV
??= ? = ?oo则
12,6 0 0 8 0 9 0 ( V )
6 0 8 0 1 0 0 5 3, 1 ( V )
K V L V V V
j
? ? ?
= ? = ? ? ?
= ? = ?
oo
o
由相量形式 有
,| | 1 0 0 (V )V? =故（ 2） 相量图解法
V
-
+ V1
V2
+
-
-
+
I?
1V
?
2V
?
V?
60
80 100
相量图解法
6,5 阻抗与导纳
一、阻抗（ impedance）
（复）阻抗反映了对正弦电流的阻碍能力。
1,阻抗定义,( ) UZ
I= ?单位,欧姆
&
&
1
R
LL
CC
ZR
Z j L j X
Z j j X
C
w
w
=
==
= ? = ?
基本元件的阻抗,
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
,I jw L R
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
2,RLC串联电路的正弦稳态特性
由 KVL,
,,,,,,,1
jj
,1
( j j )
,
[ j ( ) ]
,
( j )
R L C
LC
U U U U R I L I I
C
R L I
C
R X X I
R X I
w
w
w
w
= ? ? = ? ?
= ? ?
= ? ?
=?
,
j | |, ZUZ R X Z
I
j= = ? = ?令
Z— 复阻抗； R—电阻 (阻抗的实部 )； X—电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|—复阻抗的模； jz—阻抗角。
关系,
或
R=|Z|cosjz
X=|Z|sinjz
|Z|=U/I —— 反映 u,i 有效值关系
jz =?u-?i —— 反映 u,i 相位关系
22| |
a r c t gz
Z R X
X
R
j
=?
=
|Z|
R
X
阻抗三角形
jz
阻抗 Z与电路性质的关系,
Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ jz
wL > 1/w C, X>0,jz >0，电路为感性，电压领先电流；
wL<1/w C, X<0,jz <0，电路为容性，电压落后电流；
wL=1/w C, X=0,jz =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
画相量图,选电流为参考向量 (设 wL > 1/w C )
三角形 UR, UX, U 称为 电压三
角形,它和阻抗三角形相似。即 U?
LU?
CU?
I?RU?
jz UX
22 XR UUU ?=
例, L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
45 2 c o s ( 6 0 )V,3 1 0 H z,u t fw= ? = ?o
求 i,uR,uL,uC 及 u,i 的相位差,
解, 其相量模型为
,I jw L R
+
-
+
-
+ -
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1 Ω5.26j
102.01032
1
j
1
j
Ω5.56j103.01032jj
V 605
64
34
?=
????
?=?
=????=
?=
?
?
?
πCω
πLω
U ?
Ω 4.6354.335.26j5.56j151jj o?=??=??= CωLωRZ
.
.
o5 6 0 0,1 5 3,4 ( A )
3 3,5 4 6 3,4
UI
Z
?= = = ? ?
?
o
o
.,oo15 0.15 3.4 = 2.25 3.4 ( V )
RU R I= = ? ? ? ? ?
.,oo56,5 0.1 5 3.4 = 8.4 8 86,6 ( V)
L LU Z I j= = ? ? ? ?
.,oo2 6, 5 0, 1 5 3, 4 = 3, 9 8 9 3, 4 ( V )
c cU Z I j= = ? ? ? ? ? ?
o( ) 0, 1 5 2 c o s ( 3, 4 ) ( A )i t tw=?
o( ) 2, 2 5 2 c o s ( 3, 4 ) ( V )Ru t tw=?
o( ) 8, 4 8 2 c o s ( 8 6, 6 ) ( V )Lu t tw=?
o( ) 3, 9 8 2 c o s ( 9 3, 4 ) ( V )Lu t tw=?
故,
o6 3, 4 ( A ) u i zj j j? = =且,（感性）
注：分压 UL大于总电压 U
..| | | 1 5 | 1 5
RRU U I I= = =
法二,相量图解法 （略） 选电流为参考相量
U?
LU?
CU?
I?RU?
j
XU&
c o s 6 3, 4 2, 2 5RUU? = =o
..| | | 56.5 | 56.5
LLU U j I I= = =
..| | | 2 6, 5 | 2 6, 5
CCU U j I I= = ? =..
5 6, 5 2 6, 5
=
15
6 3, 4
LC
ui
R
UU
U I a r c tg
U
II
a r c tg
I
j j j
?
= ? =
?
=
与 的相位差
o
o6 3, 4 3, 4iujj= ? = ?o
/ 2, 2 5 / 1 5 0, 1 5RI U R? = = =
,o0,1 5 3,4 (A)I = ? ?故,
..,.....
RU R I==
..,.....
L LU Z I==
..,.....
c cU Z I==
则,
故,
,( ),.....I i t?=
,( ),.....
R RU u t?=
,( ),.,.,.
L LU u t?=
,( ),,,,,,
C CU u t?=
1,导纳定义,
二,导纳 （ admittance）
,
1 ( S)
,
IY
Z U
== 单位,西门子
L
C
11
= G G
1 1 1
B
11
B
1
R
R
LL
L
CC
C
Y
ZR
Y j j B
Z j L L
Y j C j B
Z
jC
ww
w
w
==
= = = ? = ?
= = = =
——电导
——感纳
——容纳
基本元件的导纳,
由 KCL,
,,,,,,,1
jj
,1
( j j )
,
[ j ( ) ]
,
( j )
G L C
CL
I I I I G U U C U
L
G C U
L
G B B U
G B U
w
w
w
w
= ? ? = ? ?
= ? ?
= ? ?
=?
i
L C G u
iL iC +
-
iG
,I
jw C
,U
LI
,
CI
,
1
j Lw
G
+
-
,
GI
2,GCL并联电路的正弦稳态特性
,
j | |, i i u y
u
IIIY G B Y
UUU
j j j j
j
?= = = ? ? = ? = ?
?
令
Y— 复导纳； G—电导 (导纳的实部 )； B—电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|—复导纳的模； j y—导纳角。
关系,
22 | |
a r c t gy
Y G B
B
G
j
? =?
?
?
=?
?
或
G=|Y|cosjy
B=|Y|sinjy
|Y|=I/U
jy = j i- j u
反映 i,u 幅度关系。
反映 i,u 相位关系。
|Y|
G
B
导纳三角形
jy
1| |,
| | yzY Z jj= = ?
Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠ jy
当 w C > 1/w L, B>0,jy >0，电路为容性,i 领先 u；
当 w C<1/w L, B<0,jy <0，电路为感性,i 落后 u；
当 wC=1/w L, B=0,jy =0，电路为电阻性,i 与 u同相。
画相量图,选电压为参考向量 (设 wC < 1/w L,jy <0 )
2222 )( CLGBG IIIIII ??=?=
U?
LI
,
I?
GI,
jy
CI
,
电流三角形
三,无源单口网络的复阻抗、复导纳及其等效变换
正弦激励下
无源
线性
I?
U?
+
-
| | jz
UZ Z R X
I
j
?
?= = ? = ?
1,无源单口网络的串并联等效
I?
U?
+
-
I?
U?
+
- jX
R
I?
U?
+
-
| | jy
IY Y G B
U
j
?
?= = ? = ?
I?
U?
+
-
G jB
串
联
等
效
并
联
等
效
2,复阻抗和复导纳等效变换关系（ 略 ）
22
2 2 2 2
j | | j | |
j11
j
j
,
1
| |,
|
|
y
zy
z
Z R X Z Y G B Y
RX
Y G B
Z RXR
RX
GB
R X R
Y
Z
X
X
jj
jj
= ? = ? ? = ? = ?
?
= = = = ?
??
?
?
==
??
= = ?
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性,X>0，则 B<0，
即仍为感性。
jX
R Z Y G jB
同样，若由 Y求 Z，则有,
2 2 2 2,
1
| |,
|| zy
G BRX
G B G B
Z
Y
jj
?==
??
= = ?
jX
R Z Y G jB
3,阻抗串联、并联的电路
同直流电路相似,
Z
Z1
Z2
+ + +
-
-
-
? U
1
?U
2
?U
? I
,
k
k
k
k
ZZ
Z
UU
Z
??
=
=
?
?
串联
,
k
k
k
k
YY
Y
II
Y
??
=
=
?
?
并联
? I
Y
+
-
? U
Y1 Y2 1
?I
2
?I
Ω
a b 3
o
12
12
( 10 j 6.2 8 ) ( 20 j 31,9 )
15 j 15,7
10 j 6.2 8 20 j 31,9
25,89 j 18,56 31,9 35,6
ZZ
ZZ
ZZ
=?
?
??
= ? ?
? ? ?
= ? = ?
Z2 Z3
a
b
+
-
100 0 V? o Z1, sU
c
.
1I
例：已知 Z1=10+j6.28?,Z2=20-j31.9 ?,Z3=15+j15.7 ?,
.
1ZIab（1 ）求 ( 2 ) 求
.
.
1
ab
..
12
cb
ab
2
12
......
//
......
s
s
U
I
ZZZ
ZZ
U
Z
Z
U
= ? =
?
= ? =
分流
分压
例：已知无源单口网络在 w =2rad/s相量模型如图 (a),
(1) 求 Zab 。
(2) 求当 w =2rad/s时它的时域串联等效元件参数。
(3) 求 Yab,并画出相应的时域并联等效元件参数。
ab
( 1 ) ( 3 4 ) // ( )
5 5 3 1 9 0 5 3 7
=
34 3 2 4 5
1, 1 7 9 8 2 0, 1 6 4 1, 1 6 7 ( )
Z j j
jj
j
= ? ?
? ? ? ? ? ?
=
?? ?
= ? ? = ? ?
o o o
o
o
j4?
a
b
3?
-j?,U
.I
+
-
（ 容性 ） 1
Rj Cw=?
( 2 ) = 2r ad / s
1
0.1 64 1.1 64 0.4 28R C F
C
w
w
= ? = ? =
当 时，串联等效如图( b )
ab
ab
11
( 3 ) Y = 8 2 0,8 4 9 8 2
Z 1,1 7 9
0.1 18 0.8 41 ( S )j
= ? = ?
=?
oo
（ B>0,容性 ）
''= G j Cw?
'
''
0.118 ( S )
2 0.841 ( S )
G
CCw
?=
==
'
'
'
1
8, 4 7 5 ( )
0, 4 2 1 ( F )
R
G
C
= = ?
=
?
?
a
b
R=0.164?
C=0.428F
(b) 串联等效参数
a
b
0.118s
0.421F
(c) 并联等效参数
8.475?
或
6,6 正弦稳态电路的相量分析法
电阻电路与正弦电流电路相量法分析比较,
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
=
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K CL
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
=
=
=
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法应用于
正弦稳态的相量分析中 。
列写电路的节点电压方程
??
???
?=????
=??
??
5S5S44254313
1S23132
)(
)(
UYUYUYYYUY
IUYUYY
??
???
例,
解,
自 (互 )电导 → 自 (互 )导纳
节点电压 → 节点电压相量
电压 (流 )源 → 电压 (流 )源相量
+
_
-
+
2 1
S4
?US1I?
Y1
Y2
Y3
Y4 Y5
S5
?U
列写电路的回路电流方程 如前图,
.
1I,
2I
.
3I
自 (互 )电阻 → 自 (互 )阻抗
回路电流 → 回路电流相量
电压 (流 )源 → 电压 (流 )源相量
..
11
.,,,
1 2 3 12 2 3 4 4
.,,,
23 124 4 5
()
()
s
s
ss
II
Z I Z Z Z I Z I U
Z I Z Z I U U
?
=
?
?
? ? ? ? ? = ??
?
? ? ? ? = ?
?
+
_
-
+
2 1
S4
?US1I?
Z1
Z2
Z3
Z4 Z5
S5
?U
.
1I
..
12
..
12
( 5 5 5 ) ( 5 ) 10 0 0
( 5 ) ( 5 5 5 ) 10 0 53,1
j j I j I
j I j j I
? ? ? ? = ?
? ? ? ? ? = ? ?
o
o
.,,
12 100,100 53 V cU V U I= = ? o：如图电路,,1 求电流例 。
5? j5? a 5? -j5?
-j5?
+
-
+
-
.
1U
.
2U100V
.
cI
.
2I
解,
法一,网孔分析法
化简为,
..
12
..
12
5 5 1 0 0
5 ( 5 1 0 ) 6 0 8 0
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
..
12
..
12
20
( 1 2 ) 12 16
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
..
12
..
12
20
( 1 2 ) 12 16
I j I
j I j I j
?=
? ? = ? ?
.
1
1
.
2
2
20
12 16 1 2 2 14
()
1 1
12
1 20
12 16 6 18
()
1 1
12
j
jj j
IA
j j
jj
jj j
IA
j j
jj
? ? ???
= = =
??
?
??? ? ?
= = =
??
?
利用行列式求解,
.,,
12
84 6, 3 2 5 7 1, 6 ( )
1c
jI I I A
j
?= ? = = ?
?
o
( ) 6,3 2 5 2 c o s( 7 1,6 ) ( )ci t t Aw=?? o
5? j5? a 5? -j5?
-j5?
+
-
+
-
.
1U
.
2U100V
.
cI
..
,121 1 1
()5 5 5 5 5 5 5 5 5a UUUj j j j j? ? = ?? ? ? ? ?
法二,节点分析法
.
1 0 0 6 0 8 0
( 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 )
5 5 5 5
a
j
j j j U
jj
?
? ? ? ? = ?
??
即：
.
30 10 ( )aU j V=?
解之：
.
,3 0 1 0
2 6 6, 3 2 5 7 1, 6 ( )55ac UjI j Vjj ?= = = ? = ??? o故：
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
==
?==?=
法一：电源变换
13
)
o
S 13
1 3 2
// 1 5 1 5
( // ) j 4 ( 1 5 j1 5 )
1 5 j1 5 j 3 0 4 5//
1,1 3 8 1,9 A
Z Z j
I Z Z
I
Z Z Z Z
?
?
=?
?
==
? ? ???
=?
(
解,
例, Z
2
SI?
Z1 Z Z3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1//Z3
Z
I?
+
-
法二：戴维南等效
o
0 1 3
0 1 3 2
o0
0
( // ) 8 4,8 6 4 5 V
// ) 1 5 j 4 5 Ω
1,1 3 8 1,9 A
S
U I Z Z
Z Z Z Z
U
I
ZZ
= = ?
= ? = ?
= = ?
?
（
&&
&
&
-
例, 用叠加定理计算电流
2
?I
ΩΩ
oo
SS
oo
1 3 2
,1 0 0 4 5 V,4 0 A,
5 0 3 0,5 0 3 0,
UI
Z Z Z
??
= ? = ?
= = ? = ? ?
已知
Z0
Z
0
?U
? I
+
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
解,
S S( 1 ) ( ),IU
??单独作用 短路
3
S2
23
o
o
oo
o
'
50 30
4 0
50 30 50 30
2.31 30 A
Z
II
ZZ
?
?
=
?
?
= ? ?
? ? ? ?
=?
SS( 2 ) ( ),UI
??单独作用 开路
A1 3 51 5 51
350
451 0 0
o
o
32
S
2
''
??=
??
=
?
?=
?
?
.
ZZ
U
I
2 22
oo
o
' ''
2,3 1 3 0 1,1 5 5 1 3 5
1,2 3 1 5,9 A
I I I
? ??
=?
= ? ? ? ?
= ? ?
Z2
SI?
Z1
Z3
'2I?
Z2 Z1
Z3
''2I?
S
?U
+
-
如图交流电桥电路，试求其平衡条件。
电桥平衡条件,
即,Z1 Z4 = Z2 Z3
例,
解,
|Z1|?j1 ?|Z4|?j4 = |Z2|?j2 ?|Z3|?j3
（模条件）
（阻抗角条件）
|Z1| |Z4| = |Z2| |Z3|
j1 +j4 = j2 +j3
故,
实际应用：可用于精确测量实际电感线圈的参数 Lx和 Rx
Z1 Z3
Z2 Z4
?
r0 Z
1/Z2=Z3/Z4
如果 Z4为电感元件，电桥还能平衡吗？
解,
?
r0
R
RB C
n
RA Lx
Rx 调节 C
n使电桥平衡有,
利用电桥精确测量实际电感线圈的参数 Lx和 Rx 1
()
1
()
1
n
x x A B
n
xx
AB
n
R
jC
R j L R R
R
jC
R j L R
RR
j RC
w
w
w
w
w
? ? =
?
?
?=
?
x x A B A B nR R j R L R R j R R R Cww? = ?即,
AB
x
x A B n
RR
R
R
L R R C
=
=
得,
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
abZ =求a b 间输入阻抗
S 1 1
1( 1 )
U Z I Z I
II?
=?
=?
& & &
&&
例,
解,
? I
1 ?I
1
?Iβ
Z
Z1
+
_ S ?U
a
b
S 1
ab Z 1
U ZZ
I ?= = ? ?
&
&故：
1
S 1
ZU Z I
?=? ??
&&（）
用相量图分析
oo 1 8 0 ~ 0θ 为移相角，移相范围
例, 移相桥电路。当 R2由 0??时,ab?U ? 如何变化
解,
CI??
??
b?;,,,ab2 相位改变大小不变改变当由相量图可知 ?UR
当 R2=0,? =180?；当 R2 ??,? =0?。
且 R2 ?,? ?。
2
2
11
2
,C,
1
2 t g 2 t gC
R
R θ
U
θ
U R Cw
??==
若已知 求 由相量图可得
1U? U?2U?
CU?
CI?
CU???
b
a
2RU&
o o a b
1U?
2U? CU?
CI?
R2 R1
R1
+
_ U?
abU?
+
-
+
-
+
-
+
-
已知,U=115V,U1=55.4V,U2=80V,
R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。
例,
解,
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
U?
2U?
2LU&
I?
2RU?
?2 ?
o
2
221
2
2
2
1
2
6 4, 9
c o s2
=?
??=
θ
UUUUU ?
H1 3 3.0)π2/(
8.41s i n ||
Ω6.19c o s ||
Ω2.4673.1/80/||
A73.132/4.55/
2
222
222
22
11
==
==
==
===
===
fXL
θZX
θZR
IUZ
RUI
Ω
另解：利用阻抗概念。
11
22
22
2
22
22
/ 5 5,4 / 3 2 1,7 3 A
115
1,7 3
|| ( 3 2 ) ( )
80
1,7 3
|| ()
I U R
U
I
Z RL
U
I
Z RL
w
w
= = =
= = =
??
= = =
?
总
2
解得,
221 9, 6,0, 1 3 3 H,RL= ? =
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
6,7 正弦电流电路中的功率
无源单口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
( ) 2 c o s ( V )
( ) 2 c o s ( ) ( A )
u t U t
i t I t
ui
w
wj
j
=
=?
为 和的相位差。
1,瞬时功率 (instantaneous power)
( ) 2 c o s 2 c o s( )
[ c o s c o s( 2 ) ]
p t ui U t I t
U I t
w w j
j w j
= = ? ?
= ? ?
无
源
+
u
i
_
? p有时为正,有时为负
? p>0,电路吸收功率
? p<0,电路发出功率
瞬时功率的分解,
w t
i
0
u
p
UIcosj
UIcos(2w t?j )
瞬时功率实用意义不大, 一般讨论所说的功率指一个周
期平均值 。
( ) c o s c o s ( 2 )p t U I U I tj w j= ? ?
2,平均功率 (average power)P,
00
11
d [ c os c os( 2 ) ] d
c os
TT
P p t U I U I t t
TT
UI
j w j
j
= = ? ?
=
??
单位,W c o s c o s ( )
uiP U I U Ij j j= = ?
即,
平均功率 实际上是电阻消耗的功率, 即为 有功功率,代
表电路实际消耗的平均功率, 它不仅与电压电流有效值有
关, 而且与 cosj 有关, 这是交流和直流的很大区别,主要
由于存在储能元件产生了阻抗角 。
,
3 0 0 2 c o s( 3 1 4 1 0 ) ( V )
5 0 2 sin ( 3 1 4 4 5 ) ( A )
P u i
ut
it
=?
=?
o
o
例,求平均功率 。 已知 关联取向，且：
解,
10
5 0 2 s in( 3 1 4 4 5 ) = 5 0 2 c o s ( 3 1 4 4 5 )
45
u
i
i t t
j
j
=
= ? ?
=?
o
oo
o
c o s ( )= 3 0 0 5 0 c o s 5 5 8 6 1 0 ( )uiP U I Wjj= ? ? =o故：
视在功率并不代表电路实际的吸收功率，它反映电气
设备的容量。单位,VA（伏安），（不用 W，以示区别）
d e f VAS U I= 单位,（伏安）
3,视在功率 S (apparent power)
* 若电流 滞后电压，标“滞后”,若电流 超前电压，标“超前,
例, cos jz =0.5 (滞后 ),则 jz =60o (电压领先电流 60o)。
一般地,有 0??cos j ??1
cos jz 1,纯电阻
0,纯电抗
功率因数反映了设备利用效率。
j 称 功率因数角 。对无源网络，即为其阻抗角 jz
c o s ( ) c o suiUIP
S U I
jj?j ?= = =定义,
cos p o w e r f a c t o r?j= 称 为功率因数（ )
已知：电动机 PD=1000W，其功率因数 cosjD=0.8,U=220V，
f =50Hz,C =30?F。求负载电路的功率因数。（ 不讲 ）
D
D
D
o
DD
o
oo
D
o
D
oo
1000
5.68 A
c os 220 0.8
c os 0.8(,36.8
220 0
5.68 36.8,220 0 j j 2.08
4.54 j 1.33 4.73 16.3
c os c os[ 0 ( 16.3 ) ] 0.96
C
C
P
I
U
U
I I C
I I I
j
jj
w
j
= = =
?
= ? =
=?
= ? ? = ? ? =
= ? = ? = ? ?
? = ? ? =
Q
&
&&
& & &
滞后）
设
( )滞后
+
_ D C U?
I? CI?
DI?
例,
解,
4,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f= 单位,var (乏 )，或称无功伏安。
无功功率的物理意义,
()
[ c os c os( 2 ) ]
p t u i
UI tj w j
=
= ? ?
瞬时功率
c o s ( 1 c o s 2 ) sin sin 2U I t U I tj w j w= ? ?
w t 0
UIcosj (1+cos2w t)
UIsinj sin2w t
瞬时功率的分解
UIcosj(1+cos2wt)为不可逆
分量, 相当于 电阻 元件消
耗的功率 。
UIsinj sin2w t为可逆分量，
周期性交变，相当于 电抗
吸收的瞬时功率，与外电
路周期性交换。
( ) c os ( 1 c os 2 ) si n si n 2
p t U I t U I tj w j w= ? ?
pR——电阻分量消
耗的瞬时功率
（ ≧ 0）
pX——电抗分量吸收
的瞬时功率
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
PR =UIcosj =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsinj =UIsin0? =0
对电阻,u,i 同相，故 Q=0,即电阻只吸收 (消
耗 )功率，不发出功率。
电抗元件吸收无功, 在平均意义上不做功 。 Q=UIsinj,
Q 的大小反映网络与外电路间交换能量的最大速率 。
无功功率的物理意义,
纯电阻,
纯电感,
电感不 消耗 有功，且 QL>0。
PC=UIcosj =Uicos(-90?)=0
QC =UIsinj =UIsin (-90?)= -UI
电容不 消耗 有功且 QC<0。
* 电感、电容的无功功率具有互相补偿的作用
PL=UIcosj =UIcos90? =0
QL =UIsinj =UIsin90? =UI
纯电容,
6,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
,uiU U I Ijj= ? = ?&&
*
*
VA
d e f
SU
I
I
I
=
&
&&
&
%定义,复 功率 单位：
其中 为 的共轭。
* ()
c os s i n
u i z z
zz
S UI UI UI S
UI j UI
P j Q
j j j j
jj
= = ? ? = ? = ?
=?
=?
% &&
U?
I?
负
载
+
_
有功，无功，视在功率的关系,
22 QPS ?=
R
jX
+
_
+ _
o
o
+
_ U?
RU?
XU?
c os Re [ ]
si n Im [ ]
| |
z
z
P UI S
Q UI S
S UI S
W
V ar
VA
j
j
==
==
==
%
%
%
有功功率，单位：
无功功率，单位：
视在功率，单位：
S
P
Q
功率三角形
zj
Z
R
X
阻抗三角形
zj
U
UR
UX
电压三角形
zj
有功功率和无功功率的计算,
（ 1）若无源单口网络 N0等效阻抗为 Z=R+jX
N0
I&
U&
+
- jX
R Z
U&
I&
+
-
* * 2
22
S U I Z II Z I
RI jXI
P jQ
= = =
=?
=?
% && &&
22c o s ( ) c o s R R e [ ]u i zP U I U I I I Zj j j= ? = = =
22s i n ( ) s i n I m [ ]u i zQ U I U I I X I Zj j j= ? = = =
2
2 =
P R I
Q X I
=
（ 2）若无源单口网络 N0等效导纳为 Y=G+jB
N0
I&
U&
+
-
Y G jB
I&
U&
+
-
* * * 2
2
22
()
( )
( )
=
S U I U Y U Y U
G jB U
G U j BU
P jQ
= = =
=?
= ? ?
?
% && & &
2
2 =
P G U
Q BU?
=
22
22
c o s ( ) c o s R e [ ]
s in ( ) s in I m [ ]
u i z
u i z
P U I U I U G U Y
Q U I U I B U U Y
j j j
j j j
= ? = = =
= ?? = = ? =
复功率守恒定理,在正弦稳态下, 任一电路的所有支路吸收
的复功率之和为零 。 即 *
11
1
1
1
0 0
0
( j ) 0
0
bb
kk
k
kk
b
kb
k
kk b
k
k
k
S U I
P
PQ
Q
??
==
=
=
=
==
?
=?
?
?= ?
?
=
?
?
??
?
?
?
%
此结论可 用特勒根定理证明 。
12
1 2 1 2
12
12
* ( ) *
* *
S U I U U I
U I U I S S
U U U
S S S
= = ?
= ? = ?
??
? ? ?
% & & & & &
& & & & % %
Q
一般情况下,
?
=
?
b
k
kSS
1
+
_
+ _ +
_ U?
1U?
2U?
I?
.,* 不等于视在功率守恒复功率守恒
已知如图，求各支路的复功率。 (不讲 ）
o
o
oo
*2 2 *
11
*2
22
10 0 [ ( 10 25 ) // ( 5 j 15 ) ]
23 6 ( 37,1 ) V
23 6 ( 37,1 ) 10 0 18 82 j 14 24 V A
1
23 6 ( ) 76 8 j 19 20 V A
1 0 2 5
11 13 j
Uj
S
S U Y
j
S U Y
= ? ? ? ?
= ? ?
= ? ? ? ? = ?
= = = ?
?
= = ?
&
%
%
%
发
吸
吸
3 3 4 5 V A
例,
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解一,
oo
1
o
21
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
5 j 15
10 0 8.77 ( 105,3 ) A
10 j 25 5 j 15
14.9 4 34.5 A
8.77 ( 10 j 25 ) 769 j 192 3 V A
14.9 4 ( 5 j 15 ) 111 6 j 334 8
S
I
I I I
S I Z
S I Z
?
= ? ? = ? ?
? ? ?
= ? = ?
= = ? ? = ?
= = ? ? = ?
&
& & &
%
%
吸
吸
* o
11
V A
10 8.77 ( 105,3 ) ( 10 j 25 )
188 5 j 142 3 V A
S
S I I Z= ? = ? ? ? ?
=?
% & &
发
+
_
U?10∠ 0
o A 10?
j25?
5?
-j15?
1I?
2I?
解二,
7,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
S
75kVA
负载
P=Scosj
cosj =1,P=S=75kW
cosj =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cosj =0.2~0.3
满载 cosj =0.7~0.85
日光灯 cosj =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当输出相同的有功功率时, 线路上电流大 I=P/(Ucosj )，
线路压降损耗大,且线路热损耗大 。
功率因数低带来的问题,
解决办法,并联电容，提高功率因数 。
已知,f=50Hz,U=380V,P=20kW,cosj1=0.6(滞后 )。要
使功率因数提高到 0.9,求并联电容 C。
o11 13.53 6.0c os == φφ 得由
例,
P=20kW
cosj1=0.6
+
_
C
U? L
R
C
U?
I?
LI?
CI?
+
_
解,
o22 84.25 9.0c os == φφ 得由
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
1 1 2
1
12
122
s i n c os
c os
( t g t g )
( t g t g )
C L L
L
C
C
C
I I I t g
P
I
U
P
I
U
I P
I C U C
UU
j j j
j
jj
w j j
ww
=?
=
=?
= ? = = ?Q
将 代入得
又
补偿容量也可以从无功补偿角度来确定,
j1 j2
P
QC
QL
Q
12
2
122
( t g t g )
( t g t g )
CL
C
Q Q Q P
Q CU
PC
U
jj
w
jj
w
= ? = ?
=
? = ?
3
2
2 0 1 0 ( t g 5 3, 1 3 t g 2 5, 8 4 ) 3 7 5 F
3 1 4 3 8 0C ?
?= ? =
?
oo
补偿电
容不同 全 ——不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 ——使功率因数又由高变低 (性质不同 )
综合考虑，提高到适当值为宜 ( 0.9 左右 )。
U?
I?
LI?
CI?
j1 j2
再从功率这个角度来看,
并联 C后, 电源向负载输送的有功不变, 但是电源向
负载输送的无功减少了, 减少的这部分无功就由电容, 产
生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而功率因数得
到改善 。
单纯从提高 cosj 看是可以, 但是负载上电压改变了 。
在电网与电网连接上有用这种方法的, 一般用户采用并联
电容 。
思考,能否用串联电容提高 cosj?
功率因数提高后, 线路上电流和热损耗减少, 就
可以带更多的负载, 充分利用设备带负载的能力 。
SSP
Q ?
%：如图电路，求其复功率,视在功率,有功功率,无
功功率 和功率因数
例
。
3?
200UV=&
I?
LI?
CI?
+
_ j4?
-j5?
解一：由端口电压电流求解
( 3 4 ) / / ( 5 ) 7.91 18.4 4
200 0
25.2 8 18.4 4
7.91 18.4 4
Z j j
U
IA
Z
= ? ? = ? ? ?
?
= = = ?
??
o
o
o
o
&
& c o s 2 0 0 2 5, 2 8 c o s( 1 8, 4 4 ) 4 7 9 7, 2 5 ( )
sin 2 0 0 2 5, 2 8 sin( 1 8, 4 4 ) 1 5 9 9, 5 5 ( )
4 7 9 7, 2 5 1 5 9 9, 5 5
| | 5 0 5 6, 8 9 ( )
c o s c o s( 1 8, 4 4 ) 0, 9 5 (
z
z
z
P U I W
Q U I V a r
S P jQ j V A W
S S V A
j
j
?j
? = = ? ? =
= = ? ? = ?
= ? = ?
==
= = ? =
o
o
o
%
%
（不用 ）
超前）
Z解二：由等效阻抗 求解
jX= -j2.5?
R=7.5? Z
200UV=&
I?
+
-
7,5 2,5
2 5,2 8 1 8,4 4
Zj
IA
= ? ?
=? o& （已求得）
22
22
22
Re [ ] 25.28 7.5 479 4.98 ( )
Im [ ] 25.28 ( 2.5 ) 159 8.33 ( )
479 4.98 159 8.33 ( )
| | 505 6.89 ( )
c os c os( 18.44 ) 0.95
z
P I Z W
Q I Z V ar
S P j Q j V A
S S P Q V A
?j
? = = ? =
= = ? ? = ?
= ? = ?
= = ? =
= = ? =
o
%
%
Y解三：由等效导纳 求各量
11 0, 1 1 9 9 0, 0 3 9 9 ( )
7, 9 1 1 8, 4 4Y j S G j BZ= = = ? = ??? o
22
22
22
Re [ ] 200 0.1199 4794.98 ( )
Im [ ] 200 0.0399 1598.33 ( )
4794.98 1598.33 ( )
| | 5056.89 ( )
c os 0.95
y
P U Y W
Q U Y V ar
S P jQ j V A
S S P Q V A
P
S
?j
? = = ? =
= ? = ? ? = ?
= ? = ?
= = ? =
= = =
%
%
Y G jB
200UV=&
I?
+
-
S%解四：由复功率 求各量
*
( 3 4 ) / / ( 5 ) 7.9 1 18,44
200 0
25,28 18,44
7.9 1 18,44
200 0 25,28 18,44
5056.89 18.44
4797.25 1599.55
Z j j
U
IA
Z
S U I
j V A
= ? ? = ? ? ?
?
= = = ?
??
? = = ? ? ? ?
= ? ?
=?
o
o
o
o
oo
o
&
&
% &&
W（不用 ）R e [ ] 4 7 9 7, 2 5 ( )
I m[ ] 1 5 9 9, 5 5 ( )
| | 5 0 5 6, 8 9 ( )
c o s 0, 9 5 (
z
P S W
Q S V a r
S S V A
P
S
?j
? = =
= = ?
==
= = =
%
%
%
超前）
6,8 最大功率传输定理
一、共轭匹配
Z0= R0 + jX0,负载 ZL= RL + jXL
oc
oc
22
0L 0 L 0 L
,
( ) ( )
UUII
ZZ R R X X
?
?
==
? ? ? ?
2
2 L o c
L 22
0 L 0 L
( ) ( )L RUP R I R R X X== ? ? ?有功功率
ocU
?
ZL
Z0
I?
+
-
讨论正弦稳态电路中负载获得最大功率 PLmax的条件。
(a) 若 ZL实部 RL固定，虚部 XL可调,则当 XL =-X0时,PL获得极值
2
L o c
2
0L()
L
RUP
RR= ?
(b) 若 RL, XL均可 调，则先调节使 XL =-X0之后再调 RL,PL还可
以进一步增大。
2
oc
max
04
L
UP
R=
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是,
ZL= Z0*=R0-jX0 （共轭匹配）
00
L
LL
L
dP R R P
dR ==令 知当 时 可获最大值：
二,模匹配
若 ZL的阻抗角 jL 不可调，只能调节 |ZL|,
重新讨论负载获取最大功率的条件。
此时负载获得最大功率的条件,|ZL| = |Z0| （模匹配）
22
o c o c
max
0 0 0 0 0
c o s c o s
2 | | [ 1 c o s ( ) ] 2 | | 2 ( c o s s i n )
LL
L
L L L
UUP
Z Z R X
jj
j j j j== ? ? ? ?
最大功率为,
证明如下,
ocU
?
ZL
Z0
I?
+
-
Z0= R0 + jX0=|Z0|?j0
ZL= RL + jXL=|ZL|?jL
L
2
o c L
22
0 L 0 L
2
o c L
22
0 L 0 L 0 0 L 0
2
oc
2
0
L 0 0
L
( ) ( )
| | c o s
| | | | 2 | || | c o s c o s 2 | || | si n si n
c o s
||
| | 2 | | c o s( )
||
L
LL
L
L
UR
P
R R X X
UZ
Z Z Z Z Z Z
U
Z
ZZ
Z
j
j j j j
j
jj
=
? ? ?
=
? ? ?
=
? ? ?
L
2
0
LL
L
2
0
L
LL
0
||
,( | | ) ( | | )
||
||d
( | | ) 0,
d | | | |
| | | |
L
Z
P Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
?
=
?=
要使 最大 需使 最小 改变
令 得,
（模匹配）
22
o c o c
m a x
0 0 0 0 0
c o s c o s
2 | | [ 1 c o s ( ) ] 2 | | 2 ( c o s s i n )
LL
L
L L L
UU
P
Z Z R X
jj
j j j j
=
? ? ? ?
此时负载获最大功率：
=
显然，模匹配时负载所获得的最大功率小于共轭
匹配时的最大功率。（为什么？）
例,如图电路，问当 ZL=?时负载可获最大功率，且最大 功率
PLmax=? 若（ 1） ZL实部和虚部均可调。（ 2） ZL是纯电阻。
1?
+
-
14,1 0 V? o j1? ZL
a
b
+
- oc 1 0 4 5UV=?
o& ZL
a
b
0 0,5 0,5Zj= ? ?
解,作 ab以左的 Thevenin等效,
01 4, 1 0 1 0 4 5 0, 5 0, 511oc
jjU V Z j
jj= ? ? = ? = = ? ???
oo&
（ 1）若 ZL实部和虚部均可调，则当
*
0
2 2
m a x
0
0.5 0.5 (
10
50 ( )
4 4 0.5
L
oc
L
Z Z j
U
PW
R
= = ? ?
= = =
?
时 共轭匹配）
负载可获得最大功率:
2
m a x
1 ( / / ) 2
14.1
10 0 ( )
2
50
50%
100
L
s
L
s
Z j Z
PW
P
P
?
= ? = ?
==
= = =
此时电源两端总的阻抗
电源输出有功功率
此时传输效率 （低）
故在电力工程（强电）中不允许共轭匹配，因匹配时传
输效率低，浪费大。但在无线电工程、通信技术（弱电）中
，要求共轭匹配以获取最大功率。
（ 2）当 ZL要求是纯电阻时，即 ZL=RL，阻抗角 jL=0不能改
变，只能改变电阻的阻值大小。（ 模匹配 ）
22
0
2
m a x
0
2
2
| | 0.5 0.5
2
| |
10 2
| |
22
0.5 0.5
2
100
= 46,8 ( ) 50 ( )
12
L
oc
LL
L
RZ
U
PR
ZR
j
WW
= = ? = ?
=?
?
=?
??
??
?
&
当 时
负载可获得最大功率:
三,LC匹配网络
当 ZL固定不可调节（包括实部、虚部及模）时，则既不能
实现共轭匹配又不能实现模匹配，此时可在电源和负载间
插入 LC网络实现匹配。
+
- ocU
& ZL
a
b
Z0 L
C
+
- ocU
&
a Z0
ZL
b
c
d
+
- ocU
&
a Z0
ZL
b
c
d
L
C
思路,在特定工作频率 f 下，
选择一定的 LC参数，使得 ab
以右与电源内阻实现 共轭匹配
，此时 ZL的功率即为最大功
率。（因 LC不吸收有功）
本章小结,
1,正弦量三要素,Fm,w,?
电阻 电容 电感 2.比较
时域 u=Ri tiLu dd= tuCi dd=
频域 (相量 ) IRU ??= ILU ?? wj= UCI ?? wj=
有效值 U=RI U=XLI X
L=wL
U= XCI
XC= 1/(wC)
有功 P=I2R=U2/R 0 0
无功 0 Q=ILUL Q= -ICUC
能量 W=I2Rt W=Li2/2 W=Cu2/2
相位 ?U?I ?U
?U?I
?I
3.相量法计算正弦稳态电路
① 先画相量运算电路
电压、电流 ?相量
复阻抗
② 相量形式 KCL,KVL定律，欧姆定律
③ 网络定理计算方法都适用
④ 相量图
4.功率 22 j
c os R e [ ]
si n Im [ ]
z
z
z
S S P Q P Q
S S U I S
P P U I S
Q Q U I S
j
j
j
= ? = ? ?
==
==
==
%%
%
%
%
复功率
视在功率
有功
无功
j
S
P
Q
