第 7章 耦合电感与变压器
7,1 互感和互感电压
7,2 耦合电感电路的分析
7,3 空芯变压器电路分析
7,4 理想变压器和全耦合变压器
7,5 变压器的电路模型
7,1 互感和互感电压
一,互感和互感电压
+ – u11 + – u21
i1
?11
? 21
N1 N2
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2。
线圈 1的自感系数
(self-inductance coefficient) 111 1
de f
L i??
21
21
1
d ef
M i??
线圈 1对线圈 2的互感系数,单位,H
(mutual inductance coefficient)
t
ΦN
t
Ψu
t
ΦN
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 21
2
21
21
11
1
11
11 ????
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时，有
11
1 1 1 2 1 2 1
dd iiu L u M
tt??
u11：自感电压； u21：互感电压。 ?,磁链 (magnetic linkage)
当 i1与 u11关联取向； u21与 磁通 符合右手螺旋法则时,
根据电磁感应定律和楞次定律,
+ – u12 + – u22
i2
? 12 ? 22
N1 N2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 1 2
2
d d d
( )
d d d
d d d
( )
d d d
i
u N L L
t t t i
i
u N M M
t t t i
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
自感电压
互感电压
可以证明, M12= M21= M。
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包
含自感电压和互感电压,
12
1 11 12 1
12
2 21 22 2
dd
dd
dd
dd
ii
u u u L M
tt
ii
u u u M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ?
互感的性质
① 可以证明,M12=M21=M
② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数, 相互位置
和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 (coupling coefficient)k,
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合（ perfect coupling）,K=1
紧耦合 K≈1
无耦合（孤立电感） K=0
21
d ef
LL
Mk ? 可以证明,0? k?1
12
m a x 1 2 1
M L L
M L L K
?
?? (,即全耦合时）
互感小于两元件自感的几何平均值。
二、互感线圈的 同名端
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压 。 表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关 。
t
iLu
d
d 1
111 ?
对自感电压,
当 u11,i 1关联取向
当 u11,i1 非关联取向
t
iLu
d
d 1
111 ??
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。
+ – u11 + – u21
i1
?11
? 0
N1 N2
+ – u31
N3
? s
t
i
Mu
t
i
Mu
d
d
d
d
1
3131
1
2121
??
?
引入同名端可以解决这个问题。
同名端,当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入, 其所
产生的磁场相互加强时, 则这两个对应端子称为同名端,
否则为 异名端 。
* * ? ?
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
同名端的另一种定义,
当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则
另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。
1
1'
2
2' 3'
3 *
* ?
?
?
?
例,
同名端的实验测定,
i 1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 ??? dt
diMu
dt
di
如图电路，当开关 S突然闭合时,i增加,
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要确定
其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
当 S突然闭合时,
电压表若正偏，则 1,2为同名端
电压表若反偏，则 1,2`为同名端
三、由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
互感电压的正负号判定规则,
t
iMu
M d
d 1?
t
iMu
M d
d 1??
当 电流的流入端 与该电流引起的 互感电压的参考正极
端 为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。
i1
* *
L1 L2
+
_ uM
M
i1
*
*
L1 L2
+
_ uM
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
2111 jj IMωILωU ??? ??
2212 jj ILωIMωU ??? ??
i1
* *
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M
*
*
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M i1
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
时域形式,
* *
j? L1 j? L2
+
_
j? M
1
?U
+
_
2
?U
1
?I
2
?I
在正弦交流电路中，其 相量形式 的方程为
1
1
j
LM
j L M
?? ??
??
——自感抗（ ） ——互感抗（ ）
——自感阻抗（ ） ——互感阻抗（ ）
i1
L1 L2
+
u1
+
_
u2
i2
+ +
_ _ 2diMdt 1diMdt
互感的时域等效模型
+
_
+
_
+ +
_ _ 2j MI? & 1j MI? &
1jL? 2jL?
1U& 2U&
1I& 2I&
互感的等效相量模型
注, 上图中将互感电压用受控电压源表示后,L1 与 L2就
不再具有耦合关系。
注意,
有三个线圈, 相互两两之间都有磁耦合, 每对耦
合线圈的同名端必须用不同的符号来标记 。
A,B为同名端, B,C为同名端, 但 A,C不一定
是同名端 。
(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；
(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向
互感现象的利与弊,
利用 ——变压器：信号、功率传递
避免 ——干扰
克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
7,2 耦合电感电路的分析
一、互感线圈的串联
1,顺串
12
12
d d d d
d d d d
dd ( 2 )
dd
i i i iu L M L M
t t t t
iiL L M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ? 顺串
12 2 L L L M??? ?顺串
i
L顺串 u
+
–
i
*
*
u2 +
M
L1
L2
u1
– u
+
–
+
–
2,反串
12 2L L L M? ? ? ?反串
i
*
*
u2 +
–
M
L1
L2
u1 +
– u
+
–
i
L反串 u
+
–
12
12
d d d d
d d d d
dd ( 2 )
dd
i i i iu L M L M
t t t t
iiL L M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ? 反串
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感,
4
反顺 LLM ??
互感的测量方法,
1,同名端在同侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
2
12
12
0() 2L L ML L L M?? ?? ?同并
i = i1 +i2
解得 u,i的关系,
二、互感线圈的并联
* *
M
i2 i1
L1 L2 u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
2,异名端在同侧
2
12
12
()
2 0
L L ML
L L M
?
? ?? ?异并
*
*
M
i2 i1
L1 L2 u
i
+
–
2
12
12
()
2
L L MLL
L L M ??
??
?同并 异并显然：
（为什么？）
2I&1I&
三、含耦合电感电路的一般分析
* *
R2 R1
j?L1
+
– j?L2
j?M
U&
相量模型
* *
M R2 R1
L1 L2 u
+
–
时域模型
例：如上，列写网孔方程
2
12
1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) (
( ) ( ) 02
)I R j L I R j L I U
IR
j M I
jMj L I R R j L j IILI jM
??
?? ???
?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
& & & &
&
&
&&& &
对 网孔,
对 网孔,-
2j MI?? &
122j M I j M I????&&
互感电压项
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 1 2 2
( ) ( )
( ) ( 2 ) 0
R j L I R j L j M I U
R j L j M I R R j L j L j M I
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
& & &
&&-
可见，此法麻烦！
四、互感去耦法
1,同名端相连
* * L
1
1 2
3
L2
M
i
i1 i2
(L1–M)
1 2
3
(L2–M)
M
i1 i2
i
12
1 3 1
d i d iu L M
d t d t??
12i i i??
12
2 3 2
d i d iu M L
d t d t??
1
1
1
11() ()d i d i iLM
d t d t
d i d iL M M
d t d t
??? ?? ?
2
2
2
2
2() ()d i i d iML
d t d t
d i d iL M M
d t d t
? ??? ??
2,异名端相连
*
*
L1
1 2
3
L2
M
i
i1 i2
(L1+M)
1 2
3
(L2+M)
-M
i1 i2
i
同理可证
例,利用互感去耦法求 ab端等效电感 Leq
* *
M
L1 L2
a
b
Leq
b
Leq
L1-M
a
L2-M
M
2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
2eq
L M L M L L MLM
L M L M L L M
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ?
例,利用互感去耦法重解前面例题。
2I&1I&
R2 R1 +
–
U& j?(L2-M) j?(L1-M)
j?M
相量模型
* *
M R2 R1
L1 L2 u
+
–
时域模型
去耦
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 1 2 2
[ ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( 2 ] 0
R j L M j M I R j L M I U
R j L M I R R j L L M I
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
& & &
&&
（
-
列网孔方程,
1
1
2
2
......
......
I
I
?
??
?
?
??
?
&
&
解之,
例,求 ab间等效电感 Leq=?。 已知 M=4mH
*
*
M
L1=10mH
L2=2mH
a
b
Leq c
14mH
6mH
a
b
Leq -4mH c
6 ( 4 )1 4 2
64eqL mH
??? ? ?
?
1 eqLL ?思 为什么考,？
7,3 空芯变压器电路分析
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
空芯变压器,（非铁磁性骨架材料）
主圈 （原边、初级线圈）,
副圈 （副边、次级线圈）,
2I&1I&
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
一、回路分析法
12 S11( j ) jR L I M I U??
? ? ?? ? ?
1222j ( j ) 0LM I R Z L I??
??? ? ? ? ?
1
1
2
2
......
......
I
I
?
??
?
?
??
?
&
&
二、反映阻抗（ reflected impedance）
S
1 2
11
22
()
L
U
I
M
R j L
R Z j L
?
?
?
?
?
?
??
??
S
1 2
11
22
()
U
I
M
Z
Z
?
?
?
?
?
即,
S
1 2
11
22
()
L
UI
MR j L
R Z j L
??
?
?
?
?
??
??
2
S
in 11
221
()UMZZ
ZI
?
?
?? ? ? ——电源两端输入阻抗
其中,Z11=R1+j? L1 ——初级回路的自阻抗
Z22=R2+ZL+j? L2 ——次级回路的自阻抗
1
2
ref
22
() MZ
Z
?? ——次级在初级回路中的 反映阻抗,
或称为 引入阻抗 。
初级等效电路
1
?I
+
– S
?U
Z11
1
2
22
()
r e f
MZ
Z
??
这说明了次级回路对初级回路的影响可以用 反映 （ 引
入 ） 阻抗 来考虑 。 从物理意义讲, 虽然初级, 次级没有
电的联系, 但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流,
反过来这个电流又影响初级回路电流和电压 。
1
S
1
11 r e f
UI
ZZ
?
?
?
?
即,
1
2
22
j M II
Z
?
?
?
?次级,
关于反映阻抗,
1,次级在初级中的反映阻抗,
2,与同名端无关。
3,当 Z22为容性 → Zref1为感性。
当 Z22为感性 → Zref1为容性 。
当 Z22为电阻 → Zref1为电阻 。
1
2
ref
22
( )MZ
Z
??
2
2
ref
11
() MZ
Z
??4,同理，初级在次级中的反映阻抗,
1
2
22
j M II
Z
?
?
?
?次级电流,
次级等效之一,
2I
?
+
– 22Z
1j M I?
?
1
2 2 2 2 L
j M I
Z R j L Z
?
?
?
? ? ?
其中,——次级线圈中互感电压
——次级回路自阻抗
另,也可以利用戴文南等效作次级等效。
次级等效之二,
10
11
s
oc
UU j M I j M
Z??
?
??
??
2I
?
+
– 22Z
ocU
?
2
2
ref
11
()MZ
Z
??
2refZ ——初级在次级中的反映阻抗
10
11
s
U
I
Z
?
?
?
空载称 时初级电流
20 r e f 2 2Z Z R j L?? ? ?等效内阻抗：
1 0 1II
??空载时初级电流 并不等于有载时初级电流注：
* *
j? L1
10I
?
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
1
2
22
() 4 1 0 1 0 ( )
0, 2 9, 8 j 1 0r e f
MZj
Zj
?? ? ? ? ?
??
1
1
11
20 1 0 ( )
1 0 1 0 1 0 1 0
s
r e f
UIA
Z Z j j? ? ? ?? ? ? ?
o&&
解,
* *
j10?
2I
?
j10?
+
–
SU
?
10?
ZL
1I
? j2?
法一,回路电流分析法（ 略 ）
法二,利用初级、次级等效电路。
+
–
S
?U
10+j10?
Zref1=10–j10?
初级等效
1I&
122 0,0, 2 9, 8,sLU V Z j I I? ? ? ?& & &已知 负载阻抗 求 和例：
1
2
22
2 1 0 5 2 4 5 ( )
1 0 0, 2 9, 8
j M I jIA
Z j j
? ??? ? ? ?
??
o
o&&
2I&求 时也可以用戴文 次南定理作 级等效,
* *
j10?
2I
?
j10?
+
–
SU
?
10?
ZL
1I
? j2?
2I
?
+
– 22Z
ocU
?
2refZ
次级等效
10
11
202 2 2 4 5
1 0 1 0
Soc UU j M I j M j V
Zj??
??? ? ? ? ?
?
o&
2
2
ref
11
( ) 4 0, 2 0, 2
1 0 1 0
MZj
Zj
?? ? ? ? ?
?
2
2
22
2 2 4 5 5 2 4 5
( 0,2 0,2 ) ( 1 0 0,2 9,8 )
oc
r e f
UIA
Z Z j j j
?? ? ? ?
? ? ? ? ?
o
o&&
eqa b L ?如图，求 间的等效电感 例：
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
22
a b 1
2
( ) ( 0, 1 2)0, 1 = 0, 0 6 4 ( )
0, 4
MZ j L j j
j L j
??? ? ?
??
?? ? ? ? ? ? ?
?
ab 0.0 64
eq
ZLH
j???故：
解,法一：反映阻抗法
法二：互感去耦法
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
eq
0, 5 2 ( 0, 1 2 )0, 2 2 0, 0 6 4
0, 5 2 0, 1 2LH
??? ? ?
?
a
b
-0.12H
0.22H 0.52H
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
bI?
例 3.（ 不讲 ）
支路法, 回路法：方程较易列写, 因为互感电压可以直接
计入 KVL方程中 。
分析,
节点法：方程列写较繁, 因为与有互感支路所连接的节点
电压可能是几个支路电流的多元函数, 不能以节
点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式 。
关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，
不要漏项。
aI?
M12
+
_
+
_ 1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23 M13
L1 L2
L3
Z1 Z2
Z3
1I? 2I?
3I?
此题可先作出去耦等效电路，再列方程 (一对一对地消 ),
M12
*
*
?
?
? ?
M23 M13
L1 L2
L3
*
*
?
?
M23 M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 –M13 +M23 L2–M12 +M13 –M23
L3+M12 –M13 –M23
7,4 理想变压器和全耦合变压器
1,理想变压器的伏安关系
一,,理想变压器 (ideal transformer),
* *
+
–
+
–
1, n
理想变压器
u1
i1 i2
u2
21 u nu?
21
1 ii
n??
理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，
但理想变压器的唯一参数是 变比 （匝比） n
注,如前表达式是在 i1,i2以及 u1,u2的参考方向对同名端一致
时得到的。
i1,i2对同名端一致 即,i1,i2的流入端为同名端。
u1,u2对同名端一致 即,u1,u2的参考正极端为同名端。
若 i1,i2以及 u1,u2的参考方向 对同名端不一致,则前表达
式中 符号取反。
2
1
2
1
U
U
I
I
?
?
&
&
&
&
1
2
2?
*
*
1
?I
2
?I
-
+
2
?U
+
–
1
?U
2, 1 例,
对同名端一
致，取,＋,
对同名端一
致，取,－,
2
1
2
1
U
U
I
I
?
?
&
&
&
&
n?
1
n
*
*
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n 例,对同名端不
一致，取
,－,
对同名端不
一致，取
,＋,
2,理想变压器的功率性质,
理想变压器的特性方程为代数关系, 因此 无记忆 作用 。
1
1 1 2 2 1 1 1 ( ) 0
ip u i u i u i n u
n? ? ? ? ? ? ?
由此可以看出, 理想变压器既 不储能, 也 不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
* *
+
–
+
–
1, n
u1
i1 i2
u2
21 u nu?
21
1 ii
n??
例,
abII&&如图，求 及
* *
1, 2.5
+
–
12mV
-j10?
10? aI& bI&
1U&
+
- 2
U&
+
-
cI&
RI&
解,
212, 5 2, 5 1 2 3 0U U m V? ? ? ?&&
2 1 230 12 301.8 3
10 10 10 10cR
U U UI j m A I m A
jj
??? ? ? ? ? ?
??
& & &&&
3 1, 8 b c RI I I j m A? ? ? ?& & &
2, 5 7, 5 4, 5 abI I j m A? ? ? ?&&
21
2 2 1
1 2 2 22( ) ( )/
un
LL
u
L
u n u ui n i n i n i n i
R R R n
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
3,理想变压器的阻抗变换性质,
* *
1i i
+
–
+
–
1u
1, n
RL u2
2i
(a)
* *
1i
+
–
+
–
1u
1, n
u2
2i
2
LR
n
(b)
阻抗变换一,
利用伏安关系证明 (a),(b)等效,
对 (a)有,
2
L
LL
RRR
n? ? 称为 在初级中的 折合阻抗 。
i2=0
* * +
–
1, 10
u1
i1 i2
1K?
* * +
–
1, 10
u1
i1
10?
例,求端口输入电阻 Ri
i=0
+
–
u1
i1
10?
端口输入电阻,
Ri=u1/ i1=10 ?
阻抗变换之二,
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
u2
+
-
R
(a)
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
u2
+
-
n2 R
(b)
* * +
–
1, n
u1
R1
R2
i2
+
–
u2 n2 R2
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
+
–
n2 R1
例,
注,应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。
应用,
例,电力传输中高压送电减小线路上热损耗
* *
1, n
* *
n, 1
+
–
220V
r0
电
厂
用
户
若直接低压传输，传输线上电流较大,r0上热损耗
很大，且用户端不能获得正常的 220V额定电压。
实际中采用变压器实现 高压传输,传输线路上电流
非常小，热损耗很小。
降压
220V
+
-
升压
几百 KV
+
-
例, 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使
RL上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
例,
1
?I
2
?I
* * +
–
2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：网孔分析法
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V01 0 0
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1?
V 0310212/11 010 o
o
1 ????
??U?
V033.33
10
o
112
??
?? UUnU ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?,ocU?求
初级等效
求 R0,
* *
1, 10 1?
R0
R0=102?1=100?
戴维南等效电路,
+
–
2
?U
+
–
V0100 o?
100?
50? V033.3350501 0 0 01 0 0 oo2 ??????U?
次级等效
例,（ 不讲 ）
3121
6,5 ???? ?? UUUU
理想变压器次级有两个线圈,
变比分别为 5:1和 6:1。
求初级等效电阻 R。
321
6
1
5
1 ??? ?? III
56
1
45
1
1
5645
56
1
45
1
6
1
5
1
22
2
1
2
1
1
32
1
32
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
UU
U
UU
U
II
U
I
U
R
解,
R 100? 180?
Ω3.64180//100 ??? R
(根据 )
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
6, 1
5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
– 3
?U
●
●
4,理想变压器的实现
i1
* *
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M
实际变压器
* * +
–
+
–
1, n i1 i2
u1 u2
理想变压器
空芯变压器, ? 较小,K很小
铁芯变压器, ? 较大,K≈1
① K=1（无漏磁）
② L1,L2→ ∞（即 ? → ∞）
③无能量损耗
理想变压器,
参数, L1,L2,M,储能
参数, n
不耗能 ;
不储能,
10
1
20
2
Nd
u
dt
Nd
u
dt
?
?
?
?
初级：
次级：
22
11
uN nuN ?? 变比故,—— （匝比）
K=1,L1,L2→∞
?0
i1
+
-
u2
-
u1 +
i2
N1 N2
* *
12
11
12
22
dd
dd
dd
dd
ii
u L M
tt
ii
u M L
tt
??
??
1 1 2
11
2 1 2
22
dd
dd
dd
dd
u i M i
L t L t
u M i i
L L t t
??
??
2 2 2
1 1 1
N L M L
n
N L L M
? ? ? ?
全耦合时可以证明：
1 1 2
11
2 1 2
22
dd
dd
dd
dd
u i M i
L t L t
u M i i
L L t t
??
??
1 2 2 1,,L L L L??当 但 为有限时有：
1 2 1 2
1
d d d d 0
d d d d
i M i i in
t L t t t? ? ? ?
12dd ii n
tt??即：
12( ) ( )i t n i t A? ? ?
两边积分得,
忽略积分常数，即两线圈中直流成分，只考时变部分有,
21
1( ) ( )i t i t
n??
21u n u?
此即为理想变压器。
实际变压器，当其 K接近 1,L1, L2很大，或在精
度要求不高的情况下可当作理想变压器处理。
121 1j jU L I M I??
? ? ???
212 2j jU L I M I??
? ? ???
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
Mω
ILωUI
j
j 222
1
??? ??
21222211 j)j( UM
LIMωILωU
M
LU ????? ????
1,,21 ?? kLLM全耦合时
211
2 2 2
22
1 ( )LNU U U L N
LN n? ? ? ?
& & &
二、全耦合变压器 (K=1)
12
1 UU
n?
&&
1 1 2
1
1
jI U nIL???& & &
由此得全耦合变压器的等效电路图,
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n
理想变压器
2
11
LMn
LL??其中
2nI&
2?U ?&例：如图电路，求
* *
+
–
2
?U
+
–
10V 32j ?
32j ?
32j??
2j ?
1? 8j ?
解,法一,反映阻抗法
1
1
2
1
11
8
2
3 2 3 2 3 2
10
1 0 0 ( )
( 1 2 ) 2
r e f
s
r e f
Zj
j j j
U
IA
Z Z j j
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
o
&
&
次级在初级中反映阻抗
初级电流
1I
?
21
22
32 328 10 80 90 ( )
32 32 32
jjU j MI j V
Z j j j?
??? ? ? ? ? ?
??
o&&
2
4 0 0 ( 3 2) 8 0 9 0
16U j V
?? ? ? ? ? ?o o&
法二,互感去耦法（ 略 ）
法三,利用全耦合变压器的等效电路
12
2
1
1
4,
M L L K
L
n
L
??
??
此图中刚好有,即为全耦合变压器( )
令 作其等效电路：
* *
+
–
2
?U
+
–
10V
32j ?
32j??
2j ?
1? 1, 4 +
–
2
?U
+
–
40V
32j ?
32j??
16?
32j ?
次级等
效
7,5 变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, 即 L1，
L2??,k ?1。 除了用具有互感的电路来分析计算以外, 还
常用含有理想变压器的电路模形来表示 。
一、理想变压器 (全耦合，无损,?=? 线性变压器 )
21 U n U?&&
211IIn??&&
21 u nu?
211iin??* *
+
–
+
–
1, n i1 i2
u1 u2
二、全耦合变压器 (k=1，无损, ???,线性 )
与理想变压器不同之处是要考
虑自感 L1, L2和互感 M。
12//M L n L M??
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
12
1 UU
n?
&&
1 1 2
1
1
j I U nIL???& & &
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n
理想变压器
L1：激磁电感
(magnetizing inductance )
三、无损非全耦合变压器 (忽略损耗,k?1,???,线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S11
1 ????
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S22
2 ????
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
在线性情况下，有
全耦合部分
由此得无损非全耦合变压器的电路模型,
* *
L10
+
–
+
–
1, n
全耦合变压器
L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
21
202S2101S1
1
212
1
21
2
121
2
12
2
122
2
12
20
2
2S2
2
2S
2S
1
211
1
21
10
1
1S1
1
1S
1S
/
,
,
,
NNn
LLLLLL
i
ΦN
i
ψ
i
ΦN
i
ψ
M
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
?
????
????
????
????
L1S,L2S：漏电感
(leakage inductance)
四, 考虑导线电阻 (铜损 )和铁心损耗的非全耦合变压器
(k?1,???,线性 )
上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的 。 实际
上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都
是非线性元件, 本来不能利用线性电路的方法来分析计算,
但漏磁通是通过空气闭合的, 所以漏感 LS1,LS2 基本上是线性
的, 但磁化电感 LM(L10)仍是非线性的, 但是其值很大, 并联
在电路上起的影响很小, 只取很小的电流, 电机学中常用这
种等值电路 。
* *
L10
+
–
+
–
n, 1 L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
小结,
变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。
空心变压器,电路参数 L1,L2,M,
储能 。
理想变压器,电路参数 n,不耗能,
不储能, 变压, 变流, 变阻
抗, 等值电路为,
Z11
Z引入
n2Z2
注意,理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。
铁心变压器,电路参数 L1,L2,n,M,R1,R2,
7,1 互感和互感电压
7,2 耦合电感电路的分析
7,3 空芯变压器电路分析
7,4 理想变压器和全耦合变压器
7,5 变压器的电路模型
7,1 互感和互感电压
一,互感和互感电压
+ – u11 + – u21
i1
?11
? 21
N1 N2
当线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2。
线圈 1的自感系数
(self-inductance coefficient) 111 1
de f
L i??
21
21
1
d ef
M i??
线圈 1对线圈 2的互感系数,单位,H
(mutual inductance coefficient)
t
ΦN
t
Ψu
t
ΦN
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 21
2
21
21
11
1
11
11 ????
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时，有
11
1 1 1 2 1 2 1
dd iiu L u M
tt??
u11：自感电压； u21：互感电压。 ?,磁链 (magnetic linkage)
当 i1与 u11关联取向； u21与 磁通 符合右手螺旋法则时,
根据电磁感应定律和楞次定律,
+ – u12 + – u22
i2
? 12 ? 22
N1 N2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 1 2 1 2
2
d d d
( )
d d d
d d d
( )
d d d
i
u N L L
t t t i
i
u N M M
t t t i
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
自感电压
互感电压
可以证明, M12= M21= M。
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包
含自感电压和互感电压,
12
1 11 12 1
12
2 21 22 2
dd
dd
dd
dd
ii
u u u L M
tt
ii
u u u M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ?
互感的性质
① 可以证明,M12=M21=M
② 互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数, 相互位置
和周围的介质磁导率有关。
耦合系数 (coupling coefficient)k,
k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
全耦合（ perfect coupling）,K=1
紧耦合 K≈1
无耦合（孤立电感） K=0
21
d ef
LL
Mk ? 可以证明,0? k?1
12
m a x 1 2 1
M L L
M L L K
?
?? (,即全耦合时）
互感小于两元件自感的几何平均值。
二、互感线圈的 同名端
具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电
压 。 表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关 。
t
iLu
d
d 1
111 ?
对自感电压,
当 u11,i 1关联取向
当 u11,i1 非关联取向
t
iLu
d
d 1
111 ??
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。
+ – u11 + – u21
i1
?11
? 0
N1 N2
+ – u31
N3
? s
t
i
Mu
t
i
Mu
d
d
d
d
1
3131
1
2121
??
?
引入同名端可以解决这个问题。
同名端,当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入, 其所
产生的磁场相互加强时, 则这两个对应端子称为同名端,
否则为 异名端 。
* * ? ?
同名端表明了线圈的相互绕法关系。
同名端的另一种定义,
当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则
另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。
1
1'
2
2' 3'
3 *
* ?
?
?
?
例,
同名端的实验测定,
i 1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 ??? dt
diMu
dt
di
如图电路，当开关 S突然闭合时,i增加,
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要确定
其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
当 S突然闭合时,
电压表若正偏，则 1,2为同名端
电压表若反偏，则 1,2`为同名端
三、由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
互感电压的正负号判定规则,
t
iMu
M d
d 1?
t
iMu
M d
d 1??
当 电流的流入端 与该电流引起的 互感电压的参考正极
端 为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。
i1
* *
L1 L2
+
_ uM
M
i1
*
*
L1 L2
+
_ uM
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
2111 jj IMωILωU ??? ??
2212 jj ILωIMωU ??? ??
i1
* *
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M
*
*
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M i1
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
时域形式,
* *
j? L1 j? L2
+
_
j? M
1
?U
+
_
2
?U
1
?I
2
?I
在正弦交流电路中，其 相量形式 的方程为
1
1
j
LM
j L M
?? ??
??
——自感抗（ ） ——互感抗（ ）
——自感阻抗（ ） ——互感阻抗（ ）
i1
L1 L2
+
u1
+
_
u2
i2
+ +
_ _ 2diMdt 1diMdt
互感的时域等效模型
+
_
+
_
+ +
_ _ 2j MI? & 1j MI? &
1jL? 2jL?
1U& 2U&
1I& 2I&
互感的等效相量模型
注, 上图中将互感电压用受控电压源表示后,L1 与 L2就
不再具有耦合关系。
注意,
有三个线圈, 相互两两之间都有磁耦合, 每对耦
合线圈的同名端必须用不同的符号来标记 。
A,B为同名端, B,C为同名端, 但 A,C不一定
是同名端 。
(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；
(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向
互感现象的利与弊,
利用 ——变压器：信号、功率传递
避免 ——干扰
克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
7,2 耦合电感电路的分析
一、互感线圈的串联
1,顺串
12
12
d d d d
d d d d
dd ( 2 )
dd
i i i iu L M L M
t t t t
iiL L M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ? 顺串
12 2 L L L M??? ?顺串
i
L顺串 u
+
–
i
*
*
u2 +
M
L1
L2
u1
– u
+
–
+
–
2,反串
12 2L L L M? ? ? ?反串
i
*
*
u2 +
–
M
L1
L2
u1 +
– u
+
–
i
L反串 u
+
–
12
12
d d d d
d d d d
dd ( 2 )
dd
i i i iu L M L M
t t t t
iiL L M L
tt
? ? ? ?
? ? ? ? 反串
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感,
4
反顺 LLM ??
互感的测量方法,
1,同名端在同侧
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
2
12
12
0() 2L L ML L L M?? ?? ?同并
i = i1 +i2
解得 u,i的关系,
二、互感线圈的并联
* *
M
i2 i1
L1 L2 u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
2,异名端在同侧
2
12
12
()
2 0
L L ML
L L M
?
? ?? ?异并
*
*
M
i2 i1
L1 L2 u
i
+
–
2
12
12
()
2
L L MLL
L L M ??
??
?同并 异并显然：
（为什么？）
2I&1I&
三、含耦合电感电路的一般分析
* *
R2 R1
j?L1
+
– j?L2
j?M
U&
相量模型
* *
M R2 R1
L1 L2 u
+
–
时域模型
例：如上，列写网孔方程
2
12
1 1 1 1 1 1 2
2 1 1 1 1 2 1 2 2
( ) (
( ) ( ) 02
)I R j L I R j L I U
IR
j M I
jMj L I R R j L j IILI jM
??
?? ???
?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
??
& & & &
&
&
&&& &
对 网孔,
对 网孔,-
2j MI?? &
122j M I j M I????&&
互感电压项
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 1 2 2
( ) ( )
( ) ( 2 ) 0
R j L I R j L j M I U
R j L j M I R R j L j L j M I
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
& & &
&&-
可见，此法麻烦！
四、互感去耦法
1,同名端相连
* * L
1
1 2
3
L2
M
i
i1 i2
(L1–M)
1 2
3
(L2–M)
M
i1 i2
i
12
1 3 1
d i d iu L M
d t d t??
12i i i??
12
2 3 2
d i d iu M L
d t d t??
1
1
1
11() ()d i d i iLM
d t d t
d i d iL M M
d t d t
??? ?? ?
2
2
2
2
2() ()d i i d iML
d t d t
d i d iL M M
d t d t
? ??? ??
2,异名端相连
*
*
L1
1 2
3
L2
M
i
i1 i2
(L1+M)
1 2
3
(L2+M)
-M
i1 i2
i
同理可证
例,利用互感去耦法求 ab端等效电感 Leq
* *
M
L1 L2
a
b
Leq
b
Leq
L1-M
a
L2-M
M
2
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
2eq
L M L M L L MLM
L M L M L L M
? ? ?? ? ?
? ? ? ? ?
例,利用互感去耦法重解前面例题。
2I&1I&
R2 R1 +
–
U& j?(L2-M) j?(L1-M)
j?M
相量模型
* *
M R2 R1
L1 L2 u
+
–
时域模型
去耦
1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 2 1 2 2
[ ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( 2 ] 0
R j L M j M I R j L M I U
R j L M I R R j L L M I
? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
& & &
&&
（
-
列网孔方程,
1
1
2
2
......
......
I
I
?
??
?
?
??
?
&
&
解之,
例,求 ab间等效电感 Leq=?。 已知 M=4mH
*
*
M
L1=10mH
L2=2mH
a
b
Leq c
14mH
6mH
a
b
Leq -4mH c
6 ( 4 )1 4 2
64eqL mH
??? ? ?
?
1 eqLL ?思 为什么考,？
7,3 空芯变压器电路分析
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
空芯变压器,（非铁磁性骨架材料）
主圈 （原边、初级线圈）,
副圈 （副边、次级线圈）,
2I&1I&
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
一、回路分析法
12 S11( j ) jR L I M I U??
? ? ?? ? ?
1222j ( j ) 0LM I R Z L I??
??? ? ? ? ?
1
1
2
2
......
......
I
I
?
??
?
?
??
?
&
&
二、反映阻抗（ reflected impedance）
S
1 2
11
22
()
L
U
I
M
R j L
R Z j L
?
?
?
?
?
?
??
??
S
1 2
11
22
()
U
I
M
Z
Z
?
?
?
?
?
即,
S
1 2
11
22
()
L
UI
MR j L
R Z j L
??
?
?
?
?
??
??
2
S
in 11
221
()UMZZ
ZI
?
?
?? ? ? ——电源两端输入阻抗
其中,Z11=R1+j? L1 ——初级回路的自阻抗
Z22=R2+ZL+j? L2 ——次级回路的自阻抗
1
2
ref
22
() MZ
Z
?? ——次级在初级回路中的 反映阻抗,
或称为 引入阻抗 。
初级等效电路
1
?I
+
– S
?U
Z11
1
2
22
()
r e f
MZ
Z
??
这说明了次级回路对初级回路的影响可以用 反映 （ 引
入 ） 阻抗 来考虑 。 从物理意义讲, 虽然初级, 次级没有
电的联系, 但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流,
反过来这个电流又影响初级回路电流和电压 。
1
S
1
11 r e f
UI
ZZ
?
?
?
?
即,
1
2
22
j M II
Z
?
?
?
?次级,
关于反映阻抗,
1,次级在初级中的反映阻抗,
2,与同名端无关。
3,当 Z22为容性 → Zref1为感性。
当 Z22为感性 → Zref1为容性 。
当 Z22为电阻 → Zref1为电阻 。
1
2
ref
22
( )MZ
Z
??
2
2
ref
11
() MZ
Z
??4,同理，初级在次级中的反映阻抗,
1
2
22
j M II
Z
?
?
?
?次级电流,
次级等效之一,
2I
?
+
– 22Z
1j M I?
?
1
2 2 2 2 L
j M I
Z R j L Z
?
?
?
? ? ?
其中,——次级线圈中互感电压
——次级回路自阻抗
另,也可以利用戴文南等效作次级等效。
次级等效之二,
10
11
s
oc
UU j M I j M
Z??
?
??
??
2I
?
+
– 22Z
ocU
?
2
2
ref
11
()MZ
Z
??
2refZ ——初级在次级中的反映阻抗
10
11
s
U
I
Z
?
?
?
空载称 时初级电流
20 r e f 2 2Z Z R j L?? ? ?等效内阻抗：
1 0 1II
??空载时初级电流 并不等于有载时初级电流注：
* *
j? L1
10I
?
j? L2
j? M
+
– S
?U
R1 R2
ZL
1
2
22
() 4 1 0 1 0 ( )
0, 2 9, 8 j 1 0r e f
MZj
Zj
?? ? ? ? ?
??
1
1
11
20 1 0 ( )
1 0 1 0 1 0 1 0
s
r e f
UIA
Z Z j j? ? ? ?? ? ? ?
o&&
解,
* *
j10?
2I
?
j10?
+
–
SU
?
10?
ZL
1I
? j2?
法一,回路电流分析法（ 略 ）
法二,利用初级、次级等效电路。
+
–
S
?U
10+j10?
Zref1=10–j10?
初级等效
1I&
122 0,0, 2 9, 8,sLU V Z j I I? ? ? ?& & &已知 负载阻抗 求 和例：
1
2
22
2 1 0 5 2 4 5 ( )
1 0 0, 2 9, 8
j M I jIA
Z j j
? ??? ? ? ?
??
o
o&&
2I&求 时也可以用戴文 次南定理作 级等效,
* *
j10?
2I
?
j10?
+
–
SU
?
10?
ZL
1I
? j2?
2I
?
+
– 22Z
ocU
?
2refZ
次级等效
10
11
202 2 2 4 5
1 0 1 0
Soc UU j M I j M j V
Zj??
??? ? ? ? ?
?
o&
2
2
ref
11
( ) 4 0, 2 0, 2
1 0 1 0
MZj
Zj
?? ? ? ? ?
?
2
2
22
2 2 4 5 5 2 4 5
( 0,2 0,2 ) ( 1 0 0,2 9,8 )
oc
r e f
UIA
Z Z j j j
?? ? ? ?
? ? ? ? ?
o
o&&
eqa b L ?如图，求 间的等效电感 例：
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
22
a b 1
2
( ) ( 0, 1 2)0, 1 = 0, 0 6 4 ( )
0, 4
MZ j L j j
j L j
??? ? ?
??
?? ? ? ? ? ? ?
?
ab 0.0 64
eq
ZLH
j???故：
解,法一：反映阻抗法
法二：互感去耦法
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
eq
0, 5 2 ( 0, 1 2 )0, 2 2 0, 0 6 4
0, 5 2 0, 1 2LH
??? ? ?
?
a
b
-0.12H
0.22H 0.52H
*
* 0.4H
a
b
L2 L1
0.1H
0.12H
bI?
例 3.（ 不讲 ）
支路法, 回路法：方程较易列写, 因为互感电压可以直接
计入 KVL方程中 。
分析,
节点法：方程列写较繁, 因为与有互感支路所连接的节点
电压可能是几个支路电流的多元函数, 不能以节
点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式 。
关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，
不要漏项。
aI?
M12
+
_
+
_ 1SU
?
2SU?
*
*
?
?
? ?
M23 M13
L1 L2
L3
Z1 Z2
Z3
1I? 2I?
3I?
此题可先作出去耦等效电路，再列方程 (一对一对地消 ),
M12
*
*
?
?
? ?
M23 M13
L1 L2
L3
*
*
?
?
M23 M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 –M13 +M23 L2–M12 +M13 –M23
L3+M12 –M13 –M23
7,4 理想变压器和全耦合变压器
1,理想变压器的伏安关系
一,,理想变压器 (ideal transformer),
* *
+
–
+
–
1, n
理想变压器
u1
i1 i2
u2
21 u nu?
21
1 ii
n??
理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，
但理想变压器的唯一参数是 变比 （匝比） n
注,如前表达式是在 i1,i2以及 u1,u2的参考方向对同名端一致
时得到的。
i1,i2对同名端一致 即,i1,i2的流入端为同名端。
u1,u2对同名端一致 即,u1,u2的参考正极端为同名端。
若 i1,i2以及 u1,u2的参考方向 对同名端不一致,则前表达
式中 符号取反。
2
1
2
1
U
U
I
I
?
?
&
&
&
&
1
2
2?
*
*
1
?I
2
?I
-
+
2
?U
+
–
1
?U
2, 1 例,
对同名端一
致，取,＋,
对同名端一
致，取,－,
2
1
2
1
U
U
I
I
?
?
&
&
&
&
n?
1
n
*
*
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n 例,对同名端不
一致，取
,－,
对同名端不
一致，取
,＋,
2,理想变压器的功率性质,
理想变压器的特性方程为代数关系, 因此 无记忆 作用 。
1
1 1 2 2 1 1 1 ( ) 0
ip u i u i u i n u
n? ? ? ? ? ? ?
由此可以看出, 理想变压器既 不储能, 也 不耗能,
在电路中只起传递信号和能量的作用 。
* *
+
–
+
–
1, n
u1
i1 i2
u2
21 u nu?
21
1 ii
n??
例,
abII&&如图，求 及
* *
1, 2.5
+
–
12mV
-j10?
10? aI& bI&
1U&
+
- 2
U&
+
-
cI&
RI&
解,
212, 5 2, 5 1 2 3 0U U m V? ? ? ?&&
2 1 230 12 301.8 3
10 10 10 10cR
U U UI j m A I m A
jj
??? ? ? ? ? ?
??
& & &&&
3 1, 8 b c RI I I j m A? ? ? ?& & &
2, 5 7, 5 4, 5 abI I j m A? ? ? ?&&
21
2 2 1
1 2 2 22( ) ( )/
un
LL
u
L
u n u ui n i n i n i n i
R R R n
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
3,理想变压器的阻抗变换性质,
* *
1i i
+
–
+
–
1u
1, n
RL u2
2i
(a)
* *
1i
+
–
+
–
1u
1, n
u2
2i
2
LR
n
(b)
阻抗变换一,
利用伏安关系证明 (a),(b)等效,
对 (a)有,
2
L
LL
RRR
n? ? 称为 在初级中的 折合阻抗 。
i2=0
* * +
–
1, 10
u1
i1 i2
1K?
* * +
–
1, 10
u1
i1
10?
例,求端口输入电阻 Ri
i=0
+
–
u1
i1
10?
端口输入电阻,
Ri=u1/ i1=10 ?
阻抗变换之二,
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
u2
+
-
R
(a)
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
u2
+
-
n2 R
(b)
* * +
–
1, n
u1
R1
R2
i2
+
–
u2 n2 R2
* * +
–
1, n
u1
i1 i2
+
–
n2 R1
例,
注,应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。
应用,
例,电力传输中高压送电减小线路上热损耗
* *
1, n
* *
n, 1
+
–
220V
r0
电
厂
用
户
若直接低压传输，传输线上电流较大,r0上热损耗
很大，且用户端不能获得正常的 220V额定电压。
实际中采用变压器实现 高压传输,传输线路上电流
非常小，热损耗很小。
降压
220V
+
-
升压
几百 KV
+
-
例, 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使
RL上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
例,
1
?I
2
?I
* * +
–
2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：网孔分析法
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V01 0 0
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1?
V 0310212/11 010 o
o
1 ????
??U?
V033.33
10
o
112
??
?? UUnU ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?,ocU?求
初级等效
求 R0,
* *
1, 10 1?
R0
R0=102?1=100?
戴维南等效电路,
+
–
2
?U
+
–
V0100 o?
100?
50? V033.3350501 0 0 01 0 0 oo2 ??????U?
次级等效
例,（ 不讲 ）
3121
6,5 ???? ?? UUUU
理想变压器次级有两个线圈,
变比分别为 5:1和 6:1。
求初级等效电阻 R。
321
6
1
5
1 ??? ?? III
56
1
45
1
1
5645
56
1
45
1
6
1
5
1
22
2
1
2
1
1
32
1
32
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
UU
U
UU
U
II
U
I
U
R
解,
R 100? 180?
Ω3.64180//100 ??? R
(根据 )
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
6, 1
5?
1
?I
2
?I
3
?I
2
?U
+
– 3
?U
●
●
4,理想变压器的实现
i1
* *
L1 L2
+
_ u1
+
_ u2
i2 M
实际变压器
* * +
–
+
–
1, n i1 i2
u1 u2
理想变压器
空芯变压器, ? 较小,K很小
铁芯变压器, ? 较大,K≈1
① K=1（无漏磁）
② L1,L2→ ∞（即 ? → ∞）
③无能量损耗
理想变压器,
参数, L1,L2,M,储能
参数, n
不耗能 ;
不储能,
10
1
20
2
Nd
u
dt
Nd
u
dt
?
?
?
?
初级：
次级：
22
11
uN nuN ?? 变比故,—— （匝比）
K=1,L1,L2→∞
?0
i1
+
-
u2
-
u1 +
i2
N1 N2
* *
12
11
12
22
dd
dd
dd
dd
ii
u L M
tt
ii
u M L
tt
??
??
1 1 2
11
2 1 2
22
dd
dd
dd
dd
u i M i
L t L t
u M i i
L L t t
??
??
2 2 2
1 1 1
N L M L
n
N L L M
? ? ? ?
全耦合时可以证明：
1 1 2
11
2 1 2
22
dd
dd
dd
dd
u i M i
L t L t
u M i i
L L t t
??
??
1 2 2 1,,L L L L??当 但 为有限时有：
1 2 1 2
1
d d d d 0
d d d d
i M i i in
t L t t t? ? ? ?
12dd ii n
tt??即：
12( ) ( )i t n i t A? ? ?
两边积分得,
忽略积分常数，即两线圈中直流成分，只考时变部分有,
21
1( ) ( )i t i t
n??
21u n u?
此即为理想变压器。
实际变压器，当其 K接近 1,L1, L2很大，或在精
度要求不高的情况下可当作理想变压器处理。
121 1j jU L I M I??
? ? ???
212 2j jU L I M I??
? ? ???
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
Mω
ILωUI
j
j 222
1
??? ??
21222211 j)j( UM
LIMωILωU
M
LU ????? ????
1,,21 ?? kLLM全耦合时
211
2 2 2
22
1 ( )LNU U U L N
LN n? ? ? ?
& & &
二、全耦合变压器 (K=1)
12
1 UU
n?
&&
1 1 2
1
1
jI U nIL???& & &
由此得全耦合变压器的等效电路图,
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n
理想变压器
2
11
LMn
LL??其中
2nI&
2?U ?&例：如图电路，求
* *
+
–
2
?U
+
–
10V 32j ?
32j ?
32j??
2j ?
1? 8j ?
解,法一,反映阻抗法
1
1
2
1
11
8
2
3 2 3 2 3 2
10
1 0 0 ( )
( 1 2 ) 2
r e f
s
r e f
Zj
j j j
U
IA
Z Z j j
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
o
&
&
次级在初级中反映阻抗
初级电流
1I
?
21
22
32 328 10 80 90 ( )
32 32 32
jjU j MI j V
Z j j j?
??? ? ? ? ? ?
??
o&&
2
4 0 0 ( 3 2) 8 0 9 0
16U j V
?? ? ? ? ? ?o o&
法二,互感去耦法（ 略 ）
法三,利用全耦合变压器的等效电路
12
2
1
1
4,
M L L K
L
n
L
??
??
此图中刚好有,即为全耦合变压器( )
令 作其等效电路：
* *
+
–
2
?U
+
–
10V
32j ?
32j??
2j ?
1? 1, 4 +
–
2
?U
+
–
40V
32j ?
32j??
16?
32j ?
次级等
效
7,5 变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, 即 L1，
L2??,k ?1。 除了用具有互感的电路来分析计算以外, 还
常用含有理想变压器的电路模形来表示 。
一、理想变压器 (全耦合，无损,?=? 线性变压器 )
21 U n U?&&
211IIn??&&
21 u nu?
211iin??* *
+
–
+
–
1, n i1 i2
u1 u2
二、全耦合变压器 (k=1，无损, ???,线性 )
与理想变压器不同之处是要考
虑自感 L1, L2和互感 M。
12//M L n L M??
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
12
1 UU
n?
&&
1 1 2
1
1
j I U nIL???& & &
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
1, n
理想变压器
L1：激磁电感
(magnetizing inductance )
三、无损非全耦合变压器 (忽略损耗,k?1,???,线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 1221S11
1 ????
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψ
t
Ψu
d
d
d
d
d
d
d
d 2112S22
2 ????
'
1
1
1S
21
10
1
1S1 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
'
2
2
S2
12
20
2
S22 d
d
d
d
d
d
d
d u
t
iL
t
iM
t
iL
t
iLu ?????
在线性情况下，有
全耦合部分
由此得无损非全耦合变压器的电路模型,
* *
L10
+
–
+
–
1, n
全耦合变压器
L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
21
202S2101S1
1
212
1
21
2
121
2
12
2
122
2
12
20
2
2S2
2
2S
2S
1
211
1
21
10
1
1S1
1
1S
1S
/
,
,
,
NNn
LLLLLL
i
ΦN
i
ψ
i
ΦN
i
ψ
M
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
i
ΦN
i
ψ
L
?
????
????
????
????
L1S,L2S：漏电感
(leakage inductance)
四, 考虑导线电阻 (铜损 )和铁心损耗的非全耦合变压器
(k?1,???,线性 )
上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的 。 实际
上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都
是非线性元件, 本来不能利用线性电路的方法来分析计算,
但漏磁通是通过空气闭合的, 所以漏感 LS1,LS2 基本上是线性
的, 但磁化电感 LM(L10)仍是非线性的, 但是其值很大, 并联
在电路上起的影响很小, 只取很小的电流, 电机学中常用这
种等值电路 。
* *
L10
+
–
+
–
n, 1 L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
小结,
变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。
空心变压器,电路参数 L1,L2,M,
储能 。
理想变压器,电路参数 n,不耗能,
不储能, 变压, 变流, 变阻
抗, 等值电路为,
Z11
Z引入
n2Z2
注意,理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。
铁心变压器,电路参数 L1,L2,n,M,R1,R2,
