第 4章 电路的若干定理 (Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.4 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4,5 ＊ 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4,3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4,6 ＊ 对偶原理 (Dual Principle)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、线性电路的齐次性和叠加性
线性电路,由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性 （ homogeneity)(又称 比例性, proportionality)
电路 x(t) y(t)
+
-
+
-
齐次性：若输入 x(t) → 响应 y(t),则输入 K x(t) → Ky(t)
电路 Kx(t) Ky(t)
+
-
+
-
2.叠加性 （ superposition)
若输入 x1(t) → y 1(t)(单独作用）,
x2(t) → y 2(t)
…
xn(t) → y n(t)
则 x1(t), x2(t) … x n(t) 同时作用时响
应 y (t)= y1(t)+ y2(t)+ … +y n(t)
注, x1(t) … x n(t) 可以是不同位置上的激励信号
电
路 x1(t) y(t)
+
-
+
-
x2(t)
xn(t)
+
+ -
-
3.线性 =齐次性 +叠加性
若输入 x1(t) → y1(t)(单独作用）
x2(t) → y2(t)
…
xn(t) → yn(t)
则,
K1 x1(t) +K2 x2(t) +…+K n xn(t) →
K1 y1(t)+ K2 y2(t)+ … + K n yn(t)
注, 齐次性是一种特殊的叠加性。
故，线性电路的根本属性是叠加性
二,叠加定理
叠加定理, 在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都可以看
成是电路中各个独立源分别单独作用时, 在该支路产生的电流 (或
电压 )的代数和 。
注, 一个独立源单独作用，其余独立源需置零。
电压源置零 —视为短路。
电流源置零 —视为开路。
例 1,求图中电压 u +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路（图 a）
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路 （图 b）
u"= -4?（ 6//4） = -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
（图 a）
4A
6?
+
–
4? u''
（图 b）
是否可以视为
不存在？
例 2,求电压 Us 。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用,解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+(6//4)?4
= -10 ?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6? I1
4A
+
–
Us
+ – 10 I1
4?
+
–
10V
6? I1'
+
–
Us'
+ – 10 I1'
4?
6? I1''
4A
+
–
Us''
+ – 10 I1''
4?
例, 如图,N为线性含源电阻网络,(a)中 I1=4A,(b)中 I2= –6A，
求 (c)中 I3=?
N
I1
R1
R2
(a)
N
I2
R1
R2
(b)
4V
+
-
N
I3
R1
R2
(c)
6V
-
+
解,(a) 中仅由 N内独立源单独作用时 I1=4A
(b) 中由 N内独立源和 4V电源共同作用时 I2= –6A
故仅由 4V电源单独作用时 R1支路电流 I2′= –6-4= –10A
若仅由 (c)中 6V电源单独作用时 R1支路电流 I3 ′ = 15A
故 (c)中电流 I3 = I1+ I3 ′ =4+15=19A
小结,
1,叠加定理只适用于 线性 电路。
2,某独立源单独作用，其余独立源置零
零值电压源 —短路。
零值电流源 —开路。
3,功率不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的方向。
5,受控源不能单独作用 。 某独立源单独作用时, 受控源应始
终保留 。
4.2 替代定理 (Superposition Theorem)
替代（置换）定理,
含独立源的任意网络中，若已知其中某一单口网络（或某一支路）
的电压和电流分别为 uK和 iK，则可将此单口网络（或支路）用 uK
电压源或 iK电流源替代。若替代后网络仍有唯一解，则原网络中
其它部分电压电流分配不变。
N M
i=iK
u=uK
+
-
(a) 原网络
N uK
+
-
(b) M被 uK
电压源替代
N i
K
(c) M被 iK电
流源替代
注,被替代部分 N与 M中应无耦合关系
与理想电
流源串联 电流为零可以断开
与理想电
压源并联
简证替代定理,
uK +
-
N
iK
uK
+
-
(a)
N
iK
uK
+
-
(b)
uK +
- N
iK
uK
+
-
(c) (d)
uK +
-
等电位点
可以短接
N
iK
uK
+
-
(a)
N
iK
(b)
iK
N
iK
(c)
i
K (d)
iK
例,如图 (a)电路，运用节点法可以求得 I1= -0.5A,I2=0.75A，
I3=0.75A,U1=15V。运用替代定理将 I3支路用 0.75A电流源替代
如图 (b)，试验证其余各支路电流、电压不变。
-
+
10V
10? I1
2A
20?
I2 I3
20? U1
+
-
(a)
10V -
+
10? I1
2A
20?
I2 I3
U1
+
-
(b) 替代后
0.75A
由图 (b)得,(0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75 (节点方程） 解,
得,U1=15V
故 I1=(10- U1)/10=(10-15)/10= -0.5A I2=U1/20=0.75A
I3=0.75A 故替代后电压、电流分配不变。
N1 N2
例,求如图 (a)电路中电流 i1,i2(分解法和替代定理）
+ -
-
+
2? 4?
10?
1V
0.5A
1?
2?
2V
i1
i2
图 (a)
a
b
143 V
i
+
-
-
+
23V
23?343 ?
a
b
u
N
1
N
2 图 (b)
解,(1)将原电路分解为 N1,N2两个单口网络
(2)为了求 i,将 N1,N2分别等效如图 (b)
341 4 2 2 13 3 3 3 3i ( ) / ( ) A? ? ? ?
8223 3 9u i v? ? ?
N1
+ -
2? 4?
10?
1V
0.5A i
1
图 (c)
1/3A
a
b
2? 4?
1/6A i1
图 (d)
(3) 为求 i1，将 N2用 1/3A电流源替代（图 (c), (d)）
得 i1=1/9A （分流）
N2
-
+ 1?
2?
2V
i2
图 (e)
+
-
8/9V
b
a
(4) 为求 i2，将 N1用 8/9V 电压源替代（图 (e) ）
得 i2= 8/9 A
替代与等效的区别,
如前例中,N2可用 2/3V电压源串联 2/3?电阻来 等效 它，也可用
1/3A电流源来 替代 它。这时电路中其他部分电压电流分布都不变。
但替代只针对特定的外电路 N1时才成立，外电路改变，替代的电
流源大小也改变。而等效则是指对任意外电路都成立。 i
-
+
23V
23?
a
b
u N1
-
+ 1?
2?
2V
N2
a
b
N1 i a
b
u N1
1/3A
N2
被
等
效
N2
被
替
代
例,
若要使
试求 Rx。
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– + U
I 0.5?
,II x 81?
注,替代是特定条件下的一种等效（即只在一点等效）
解,用替代,
= +
0.5?
0.5? 1?
– + U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5? 1?
– + U'
I
0.5? 0.5?
0.5? 1?
– + U'' 0.5?
I81
1 1.5' 1 0.5 0.1
2.5 2.5U I I I? ? ? ? ?
1.5 1'' 0.075
2.5 8U I I? ? ? ? ?
0,0 2 5 0,2
0,1 2 5 0,1 2 5x x
U U IR
I I I? ? ? ? ?
U=U'+U"= (0.1-0.075)I=0.025I
工作点
替代后唯一解的重要性
i
+
-
Rs
Us
(a)
u
+
- u
i
0
(b)
Us/Rs
Us
Iq
Uq
i
+
-
Uq
(d) 唯一解
u
+
-
(c) 解不唯一
u
+
-
Iq
i
隧道
二极管
小结,
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后外电路及参数不能改变 (只在一点等效 )。
2,替代后电路必须有唯一解。
4,3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例,
-
+
4V Us
2? 6?
3?
R1 R3
R2
a
b
c
d
A
I2
(a)
-
+
4V Us
2? 6?
3?
R1 R3
R2
a
b
c
d
A
I1
(b)
2
3623 23
361 23
341
2 3 6 32 )
S
RR
RR
U R
RRRIA ??
?
?? ??? ? ? ? ? （
2
3212 21
323 1
2
341
1 3 2 36 )
S
RR
RR
U R
RRRIA ??
?
?? ??? ? ? ? ? （
对 (a),
对 (b),
有 I1= I2 说明 互易性
第一种形式, 电压源激励，电流响应。
不含独立源和受控源的线性双口网络，其端口具有互易性。
令 NR—表示具有 互易性 的双口网络。
互易定理,
I2 NR +
–
us
1
1`
2
2` (a)
2
2`
+
–
us
1
1` (b)
I1 NR
有 I1= I2
第二种形式, 电流源激励，电压响应。
有 U1= U2
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
U2
+
-
2
2`
1
1` (b)
NR
+
-
U1
Is
＊ 第三种形式,
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
I2
2
2`
1
1` (b)
NR
+
-
U1 Us=Is +
-
有 U1= I2
即：当 Us数量上等于 Is时,U1数量上等于 I2
练习,
已知图 (a)电路，求图 (b)中开路电压 Uab=?
1A
a
b
c
d (a)
Ucd=20mV
+
-
线性纯
电阻无
源网络
c
d
a
b (b)
+
-
Uab=? 2A
线性纯
电阻无
源网络
答案,Uab= -40mV
例,
2? 1?
2? 4? + – 8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解,利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2? 1?
2? 4?
+
– 8V
2?
I
a b c
d
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
解毕！
I1
(1) 互易定理只适用于 不含独立源 和 受控源 的 线性 网络
(2) 激励为电压源时，响应为电流
激励为电流源时，响应为电压
电压与电流互易。
(3) 互易前后要注意激励与响应的参考方向。（如何判断？）
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理时应注意,
(5) 互易前后网络内部电压、电流一般会发生改变。
例,由图 (a)中条件求图 (b)中电流 I=? (NR为互易双口网络）
（互易定理、替代定理及叠加定理综合应用）
2A N
R
1
1`
2
2` (a)
5V
+
-
+
-
10V
2
2`
1
1` (b)
NR
I=?
2A
5?
2
2`
1
1` (d)
NR
I=?
2A
5? 2.5V
+
-
2
2`
1
1` (c)
NR 5?
+
-
4A
2A
5V
解,(a)中,NR的 11` 端输入电阻 R=10/2= 5?,故有 (c)图成立。
答案,I=2.5/5=0.5A
两种错误应用互易定理的例子,
U1≠ U2
(a)
U2 NR +
–
Us
1
1`
2
2`
+
-
2
2`
+
–
Us
1
1` (b)
U1 NR
+
-
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
I2 NR
1
1`
2
2` (b)
I1 Is
I1≠ I2
4.4 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一支
路的情况 。 这时, 可以将除我们需保留的支
路外的其余部分的电路 (通常为二端网络或称
单口网络 ),等效变换为较简单的含源支路 (电
压源与电阻串联或电流源
与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理
和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3 R1
R5
R4 R2 i Rx
a
b
+ –
us
1,戴维南定理,
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受控源的线性
二端网络, 对外电路来说, 可以用一个理想电压源 (Uoc)和电
阻 R0的串联组合来等效；此等效电压源的电压等于该二端网
络的端口开路电压 Uoc, 而等效电阻等于该二端网络中所有独
立源置零后的输入电阻 。
N
a
b
i a
b
R0
Uoc + -
N
a
b
i=0
Uoc
+
- N0
a
b
R0
其中,
N0为将 N中所有独立源置零后所得无源二端网络。
证明, （略）
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此时 u,i值
不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 N中独立源全部置零
a
b
N
i
+
– u 外
i
Uoc
+
–
u 外
a
b
+
–
R0
a
b
N i + – u
a
b
N + – u'
a
b
N0
i +
–
u'' R
0
u'= Uoc (外电路开路时 a, b间开路电压 )
u"= -R0 i
则 u = u' + u" = Uoc – R0 i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
小结,
(1) 等效电压源极性与所求 Uoc方向有关 。
(2)等效电阻的计算方法,
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计
算；
1
2 外加电源法。
开路电压、短路电流法。 3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路改变时, 含源单口网络的等效电路不变 。
(4) 当单口网络内部含有受控源时, 其控制电路也必须包含在被
等效的单口网络中 。
例,
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上可获最大功率?
I Rx
a
b
+ – 10V
4?
6?
6?
4?
解, 保留 Rx支路，将其余单口网络化为戴维南等效电路,
a
b
+ – 10V
–
+ U
2
+
– U1 I Rx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
R0
(1) 求开路电压 Uoc
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10 ? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ – 10V
–
+ U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 R0
R0=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时,
I= Uoc /(R0 + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时,
I= Uoc /(R0 + Rx) =2/10=0.2A
R0
a
b
对本例，即当 Rx = R0 =4.8?时，其上可获最大功率。
I a
b
Uoc
+
–
Rx
R0
（ 4） 求 Rx获最大功率的条件。
0
2() oc
x
U
xxRRPR ???
2
00
4
0
2
0
3
0
( ) 2 ( )2
()
()
()
0
x x x
x
oc x
x
R R R R Rx
oc RR
x
U R R
RR
dP
U
R
? ? ?
?
?
?
???
??
??
d
为了求 Rx获最大功率的条件，令,
Rx = R0 （负载 匹配 条件） Pxmax=U2oc/4R0 得,
上式又称 最大功率传输定理
例,由图 (a)中条件求图 (b)中电流 I=? (NR为互易双口网络）
（利用戴文南定理和互易定理）
2A N
R
1
1`
2
2` (a)
5V
+
-
+
-
10V
2
2`
1
1` (b)
NR
I=?
2A
5?
解,在 (a)中,NR的 11` 端输入电阻 R0=10/2= 5? 。
2
2`
1
1` (c)
NR
2A
-
+
Uoc
1`
1
+
-
Uoc =5V
R0 = 5?
(d)
5?
I=?
答案：
I=0.5A
且有 (c)图中 11` 端开路电压 Uoc =5V 。
作 (c)图中 11` 端以右的戴文南等效电路（ d）
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I +
–
9V
+
–
U0
a
b
+ – 6I 例, a
b
Uoc
+
–
R0
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V 3?
6?
I +
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+ – 6I
内部独立
源置零
(2) 求等效电阻 R0
方法 1：外加电源法
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
R0 = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+ – 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流法 (Uoc=9V 已求得 )
6 I1 +3I=9
3I=-6I I=0
Isc=9/6=1.5A
R0 = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I +
–
9V Isc
a
b
+ – 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
R0
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
思考, 外加电源法 与 开路电压短路电流法 的区别
例,
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 R0：加压求流法 (内部独立源置零 )
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
R0 = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc + –
+
–
U R 0.5k ? R0
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R 0.5k? +
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc ? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
? R0 = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
a
b
10V + –
+
–
U R 0.5k? 1.5k?
(3) 等效电路,
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 R0,R0 = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 ),
另,
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 R0
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? R0 = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
(内部独立源置零 )
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控源的单口网
络 N, 对外电路来说, 可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并
联组合来等效；电流源的电流等于该单口网络的端口短路电
流 Isc, 而并联电导 (电阻 )等于把该单口网络的所有独立源置
零后的输入电导 (电阻 )。
2,诺顿定理,
N
a
b
a
b
G0(R0) Isc
其中,
N
a
b
Isc N0
a
b
R0
N0为将 N中所有独立源置零后所得 无源 二端网络。
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换
得到 。 但须指出, 诺顿等效电路可独立进行证明 。 证明
过程从略 。
例, 试用 Norton定理求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4? I
a
b
G0(R0) Isc
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解,
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 R0：串并联
R0 =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
R0 2?
10? a
b
b
4? I
a
1.67 ? -9.6A
解毕！
小结,
几个定理的适用条件,
4,戴文南、诺顿定理, 适用于线性网络。
1,叠加定理：适用于线性网络（可含独立源和线性受控源）
2,替代定理：适用于线性和非线性网络。
3,互易定理：只适用于不含独立源和受控源的线性网络。
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
1.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路, 支路数和节点数都相同, 而且对应支路与节
点的联接关系也相同 。
N N
R5 R4
R1
R3 R2 R6
+ –
us1
1
2
3 4
R5' R4'
R1'
R3'
R6'
us6
is2
+
– 1
2
4 3
两个电路支路与节点联接关系相同,
假设两个电路中对应支路电压方
向相同, 支路电流均取和支路电压相同
的参考方向 。
2,特勒根定理,
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
)( 0 0
),(
)()(
)()(
11
似功率平衡关系和
即且各支路取关联方向
的乘积之和为零中对应的支路中的与电路
路的电压的所有支路中的每一支电路
?? ??
?
?
?
?
???
??
b
k
kk
b
k
kk
kk
kk
iuiu
iiNN
uuNN
?? ?
+ – uk
ik
uk = un? - un?, ik = i??? ?
则
证明,
?? ?
+ –
ki
?
ku?
αββααβkαββα iiiiii
???? ?????,,
αααββαβα
βα
βn βαβnnn
knknkk
iuiuiuiu
iuiuiu
????
???
????
??
)(
1
βαβnαβαn
b
k
kk iuiuiu
??
?
?
? ?? ?
所有支路
0
0.)( 0 K C L,
,).(
,
1
??
????
??
?
?
??
??
?
b
k
k
k
n
n
n
k
k
iu
,
iu,i.
αiiu
uα,iu
即也成立理可证对其余节点此式
同所以有根据流的代数和
上的所有支路电表示联接在节点其中
相乘项之和一定是与对节点相乘将所有支路
α
α
α
αα
α
α
? ?
?
?b
k
kk iu
1
0
:依同理也可证明
3,功率平衡定理,
在任一瞬间, 任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率
的代数和为零, 即
将特勒根定理用于同一电路中各支路电流, 电压即可证得上述
关系 。
此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。
特勒根定理适用于一切集总参数电路 。 只要各支路 u,i满
足 KCL,KVL即可 。 特勒根定理与 KCL,KVL三者中取其两个即
可 。
注意,
? ???
??
b
k kk
b
k k
iup
11
0
),,,( kkkk iiuu,NN ??? ??则为同一电路亦可视为
例 1,
(1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us'=9V时,
I1'=3A,
求 U2'。
解, 利用特勒根定理
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,84,( 2 )
????? ???? URUII.U得由
),(
)()(
11
22112211
的方向不同负号是因为 IU
IUIUIUIU
????
?????
V615142 1284251234 222,./.UU.U,???????????? ???
无源
电阻
网络
P –
+
U1
+
–
Us
R1 I1 I2
–
+
U2 R2
例 2,
U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A
解,
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
V102 ??U
.U 1?求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路,
例 1,
网孔电流方程,
(R1 + R2)il = us
节点电压方程,
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is,
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
例 2
网孔方程,节点方程,
上述每例中的两个电路称为对偶电路。
将方程 (1)中所有元素用其对偶元素替换得方程 (2)。
若 R1=G1,R2 =G2,R3 =G3,us1=is1,rm = gm, 则两个方程组相
同, 其解答也相同, 即 un1= il1, un2= il2 。
R3 R1
R2
+
–
us1 il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3 G1
un1 un2
+
–
u1 is1 gm u1
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1
- R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1
i1 = il1
(1)
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1
-G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1
u1 =un1
(2)
2,对偶元素,（见书）
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KCL
KVL
L
C
R
G is
us 串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
只有平面电路才可能有对偶电路。
4,如何求一个电路的对偶电路
打点法：网孔电流对应节点电压 (外网孔对应参考节点 )。
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
注意,
例 1,R
2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
例 2
R3 R1
R2
+
–
us1
il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3 G1
un1 un2
+
–
u1 is1 gm u1
(2) 各对偶元素进行替换。 (i1 ~u1)数值相同，量纲不同。
(3) 电源方向：电压源电压方向与网孔电流方向相同时, 对应
电流源方向为离开对应节点, 反之相反 。 电流源方向与网
孔电流方向相同时, 对应电压源方向与对应节点电压方向
相同, 反之相反 。
注意,
(1) 每一网孔电流对应一节点电压, 外网孔对应参考节点 。 网
孔电流取顺时针方向, 节点电压指向参考节点 。
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.4 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4,5 ＊ 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4,3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4,6 ＊ 对偶原理 (Dual Principle)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
一、线性电路的齐次性和叠加性
线性电路,由线性元件和独立源构成的电路。
1.齐次性 （ homogeneity)(又称 比例性, proportionality)
电路 x(t) y(t)
+
-
+
-
齐次性：若输入 x(t) → 响应 y(t),则输入 K x(t) → Ky(t)
电路 Kx(t) Ky(t)
+
-
+
-
2.叠加性 （ superposition)
若输入 x1(t) → y 1(t)(单独作用）,
x2(t) → y 2(t)
…
xn(t) → y n(t)
则 x1(t), x2(t) … x n(t) 同时作用时响
应 y (t)= y1(t)+ y2(t)+ … +y n(t)
注, x1(t) … x n(t) 可以是不同位置上的激励信号
电
路 x1(t) y(t)
+
-
+
-
x2(t)
xn(t)
+
+ -
-
3.线性 =齐次性 +叠加性
若输入 x1(t) → y1(t)(单独作用）
x2(t) → y2(t)
…
xn(t) → yn(t)
则,
K1 x1(t) +K2 x2(t) +…+K n xn(t) →
K1 y1(t)+ K2 y2(t)+ … + K n yn(t)
注, 齐次性是一种特殊的叠加性。
故，线性电路的根本属性是叠加性
二,叠加定理
叠加定理, 在线性电路中, 任一支路电流 (或电压 )都可以看
成是电路中各个独立源分别单独作用时, 在该支路产生的电流 (或
电压 )的代数和 。
注, 一个独立源单独作用，其余独立源需置零。
电压源置零 —视为短路。
电流源置零 —视为开路。
例 1,求图中电压 u +
–
10V 4A
6?
+
–
4? u
解, (1) 10V电压源单独作用,4A电流源开路（图 a）
u'=4V
(2) 4A电流源单独作用,10V电压源短路 （图 b）
u"= -4?（ 6//4） = -9.6V
共同作用,u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V
+
–
10V
6?
+
–
4? u'
（图 a）
4A
6?
+
–
4? u''
（图 b）
是否可以视为
不存在？
例 2,求电压 Us 。
(1) 10V电压源单独作用,(2) 4A电流源单独作用,解,
Us'= -10 I1'+4= -10?1+4= -6V Us"= -10I1"+(6//4)?4
= -10 ?(-1.6)+9.6=25.6V
共同作用,Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V
+
–
10V
6? I1
4A
+
–
Us
+ – 10 I1
4?
+
–
10V
6? I1'
+
–
Us'
+ – 10 I1'
4?
6? I1''
4A
+
–
Us''
+ – 10 I1''
4?
例, 如图,N为线性含源电阻网络,(a)中 I1=4A,(b)中 I2= –6A，
求 (c)中 I3=?
N
I1
R1
R2
(a)
N
I2
R1
R2
(b)
4V
+
-
N
I3
R1
R2
(c)
6V
-
+
解,(a) 中仅由 N内独立源单独作用时 I1=4A
(b) 中由 N内独立源和 4V电源共同作用时 I2= –6A
故仅由 4V电源单独作用时 R1支路电流 I2′= –6-4= –10A
若仅由 (c)中 6V电源单独作用时 R1支路电流 I3 ′ = 15A
故 (c)中电流 I3 = I1+ I3 ′ =4+15=19A
小结,
1,叠加定理只适用于 线性 电路。
2,某独立源单独作用，其余独立源置零
零值电压源 —短路。
零值电流源 —开路。
3,功率不能叠加 (功率为电源的二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的方向。
5,受控源不能单独作用 。 某独立源单独作用时, 受控源应始
终保留 。
4.2 替代定理 (Superposition Theorem)
替代（置换）定理,
含独立源的任意网络中，若已知其中某一单口网络（或某一支路）
的电压和电流分别为 uK和 iK，则可将此单口网络（或支路）用 uK
电压源或 iK电流源替代。若替代后网络仍有唯一解，则原网络中
其它部分电压电流分配不变。
N M
i=iK
u=uK
+
-
(a) 原网络
N uK
+
-
(b) M被 uK
电压源替代
N i
K
(c) M被 iK电
流源替代
注,被替代部分 N与 M中应无耦合关系
与理想电
流源串联 电流为零可以断开
与理想电
压源并联
简证替代定理,
uK +
-
N
iK
uK
+
-
(a)
N
iK
uK
+
-
(b)
uK +
- N
iK
uK
+
-
(c) (d)
uK +
-
等电位点
可以短接
N
iK
uK
+
-
(a)
N
iK
(b)
iK
N
iK
(c)
i
K (d)
iK
例,如图 (a)电路，运用节点法可以求得 I1= -0.5A,I2=0.75A，
I3=0.75A,U1=15V。运用替代定理将 I3支路用 0.75A电流源替代
如图 (b)，试验证其余各支路电流、电压不变。
-
+
10V
10? I1
2A
20?
I2 I3
20? U1
+
-
(a)
10V -
+
10? I1
2A
20?
I2 I3
U1
+
-
(b) 替代后
0.75A
由图 (b)得,(0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75 (节点方程） 解,
得,U1=15V
故 I1=(10- U1)/10=(10-15)/10= -0.5A I2=U1/20=0.75A
I3=0.75A 故替代后电压、电流分配不变。
N1 N2
例,求如图 (a)电路中电流 i1,i2(分解法和替代定理）
+ -
-
+
2? 4?
10?
1V
0.5A
1?
2?
2V
i1
i2
图 (a)
a
b
143 V
i
+
-
-
+
23V
23?343 ?
a
b
u
N
1
N
2 图 (b)
解,(1)将原电路分解为 N1,N2两个单口网络
(2)为了求 i,将 N1,N2分别等效如图 (b)
341 4 2 2 13 3 3 3 3i ( ) / ( ) A? ? ? ?
8223 3 9u i v? ? ?
N1
+ -
2? 4?
10?
1V
0.5A i
1
图 (c)
1/3A
a
b
2? 4?
1/6A i1
图 (d)
(3) 为求 i1，将 N2用 1/3A电流源替代（图 (c), (d)）
得 i1=1/9A （分流）
N2
-
+ 1?
2?
2V
i2
图 (e)
+
-
8/9V
b
a
(4) 为求 i2，将 N1用 8/9V 电压源替代（图 (e) ）
得 i2= 8/9 A
替代与等效的区别,
如前例中,N2可用 2/3V电压源串联 2/3?电阻来 等效 它，也可用
1/3A电流源来 替代 它。这时电路中其他部分电压电流分布都不变。
但替代只针对特定的外电路 N1时才成立，外电路改变，替代的电
流源大小也改变。而等效则是指对任意外电路都成立。 i
-
+
23V
23?
a
b
u N1
-
+ 1?
2?
2V
N2
a
b
N1 i a
b
u N1
1/3A
N2
被
等
效
N2
被
替
代
例,
若要使
试求 Rx。
0.5?
0.5?
+
–
10V
3? 1? R
x Ix
– + U
I 0.5?
,II x 81?
注,替代是特定条件下的一种等效（即只在一点等效）
解,用替代,
= +
0.5?
0.5? 1?
– + U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5? 1?
– + U'
I
0.5? 0.5?
0.5? 1?
– + U'' 0.5?
I81
1 1.5' 1 0.5 0.1
2.5 2.5U I I I? ? ? ? ?
1.5 1'' 0.075
2.5 8U I I? ? ? ? ?
0,0 2 5 0,2
0,1 2 5 0,1 2 5x x
U U IR
I I I? ? ? ? ?
U=U'+U"= (0.1-0.075)I=0.025I
工作点
替代后唯一解的重要性
i
+
-
Rs
Us
(a)
u
+
- u
i
0
(b)
Us/Rs
Us
Iq
Uq
i
+
-
Uq
(d) 唯一解
u
+
-
(c) 解不唯一
u
+
-
Iq
i
隧道
二极管
小结,
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后外电路及参数不能改变 (只在一点等效 )。
2,替代后电路必须有唯一解。
4,3 互易定理 (Reciprocity Theorem)
例,
-
+
4V Us
2? 6?
3?
R1 R3
R2
a
b
c
d
A
I2
(a)
-
+
4V Us
2? 6?
3?
R1 R3
R2
a
b
c
d
A
I1
(b)
2
3623 23
361 23
341
2 3 6 32 )
S
RR
RR
U R
RRRIA ??
?
?? ??? ? ? ? ? （
2
3212 21
323 1
2
341
1 3 2 36 )
S
RR
RR
U R
RRRIA ??
?
?? ??? ? ? ? ? （
对 (a),
对 (b),
有 I1= I2 说明 互易性
第一种形式, 电压源激励，电流响应。
不含独立源和受控源的线性双口网络，其端口具有互易性。
令 NR—表示具有 互易性 的双口网络。
互易定理,
I2 NR +
–
us
1
1`
2
2` (a)
2
2`
+
–
us
1
1` (b)
I1 NR
有 I1= I2
第二种形式, 电流源激励，电压响应。
有 U1= U2
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
U2
+
-
2
2`
1
1` (b)
NR
+
-
U1
Is
＊ 第三种形式,
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
I2
2
2`
1
1` (b)
NR
+
-
U1 Us=Is +
-
有 U1= I2
即：当 Us数量上等于 Is时,U1数量上等于 I2
练习,
已知图 (a)电路，求图 (b)中开路电压 Uab=?
1A
a
b
c
d (a)
Ucd=20mV
+
-
线性纯
电阻无
源网络
c
d
a
b (b)
+
-
Uab=? 2A
线性纯
电阻无
源网络
答案,Uab= -40mV
例,
2? 1?
2? 4? + – 8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解,利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2? 1?
2? 4?
+
– 8V
2?
I
a b c
d
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
解毕！
I1
(1) 互易定理只适用于 不含独立源 和 受控源 的 线性 网络
(2) 激励为电压源时，响应为电流
激励为电流源时，响应为电压
电压与电流互易。
(3) 互易前后要注意激励与响应的参考方向。（如何判断？）
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理时应注意,
(5) 互易前后网络内部电压、电流一般会发生改变。
例,由图 (a)中条件求图 (b)中电流 I=? (NR为互易双口网络）
（互易定理、替代定理及叠加定理综合应用）
2A N
R
1
1`
2
2` (a)
5V
+
-
+
-
10V
2
2`
1
1` (b)
NR
I=?
2A
5?
2
2`
1
1` (d)
NR
I=?
2A
5? 2.5V
+
-
2
2`
1
1` (c)
NR 5?
+
-
4A
2A
5V
解,(a)中,NR的 11` 端输入电阻 R=10/2= 5?,故有 (c)图成立。
答案,I=2.5/5=0.5A
两种错误应用互易定理的例子,
U1≠ U2
(a)
U2 NR +
–
Us
1
1`
2
2`
+
-
2
2`
+
–
Us
1
1` (b)
U1 NR
+
-
Is N
R
1
1`
2
2` (a)
I2 NR
1
1`
2
2` (b)
I1 Is
I1≠ I2
4.4 戴维南定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一支
路的情况 。 这时, 可以将除我们需保留的支
路外的其余部分的电路 (通常为二端网络或称
单口网络 ),等效变换为较简单的含源支路 (电
压源与电阻串联或电流源
与电阻并联支路 ),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理
和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。
R3 R1
R5
R4 R2 i Rx
a
b
+ –
us
1,戴维南定理,
任何一个含有独立电源, 线性电阻和线性受控源的线性
二端网络, 对外电路来说, 可以用一个理想电压源 (Uoc)和电
阻 R0的串联组合来等效；此等效电压源的电压等于该二端网
络的端口开路电压 Uoc, 而等效电阻等于该二端网络中所有独
立源置零后的输入电阻 。
N
a
b
i a
b
R0
Uoc + -
N
a
b
i=0
Uoc
+
- N0
a
b
R0
其中,
N0为将 N中所有独立源置零后所得无源二端网络。
证明, （略）
(a) (b)
(对 a) 利用替代定理, 将外部电路用电流源替代, 此时 u,i值
不变 。 计算 u值 。
= +
根据叠加定理，可得
电流源 i为零 网络 N中独立源全部置零
a
b
N
i
+
– u 外
i
Uoc
+
–
u 外
a
b
+
–
R0
a
b
N i + – u
a
b
N + – u'
a
b
N0
i +
–
u'' R
0
u'= Uoc (外电路开路时 a, b间开路电压 )
u"= -R0 i
则 u = u' + u" = Uoc – R0 i 此关系式恰与图 (b)电路相同。证毕！
小结,
(1) 等效电压源极性与所求 Uoc方向有关 。
(2)等效电阻的计算方法,
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计
算；
1
2 外加电源法。
开路电压、短路电流法。 3 2 3 方法更有一般性。
(3) 外电路改变时, 含源单口网络的等效电路不变 。
(4) 当单口网络内部含有受控源时, 其控制电路也必须包含在被
等效的单口网络中 。
例,
(1) 计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
(2) Rx为何值时，其上可获最大功率?
I Rx
a
b
+ – 10V
4?
6?
6?
4?
解, 保留 Rx支路，将其余单口网络化为戴维南等效电路,
a
b
+ – 10V
–
+ U
2
+
– U1 I Rx
I a
b
Uoc
+
–
Rx
R0
(1) 求开路电压 Uoc
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10 ? 6/(4+6)
= -4+6=2V
a
b
+ – 10V
–
+ U
2
+
– U1
+
-
Uoc
(2) 求等效电阻 R0
R0=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时,
I= Uoc /(R0 + Rx) =2/6=0.333A
Rx =5.2?时,
I= Uoc /(R0 + Rx) =2/10=0.2A
R0
a
b
对本例，即当 Rx = R0 =4.8?时，其上可获最大功率。
I a
b
Uoc
+
–
Rx
R0
（ 4） 求 Rx获最大功率的条件。
0
2() oc
x
U
xxRRPR ???
2
00
4
0
2
0
3
0
( ) 2 ( )2
()
()
()
0
x x x
x
oc x
x
R R R R Rx
oc RR
x
U R R
RR
dP
U
R
? ? ?
?
?
?
???
??
??
d
为了求 Rx获最大功率的条件，令,
Rx = R0 （负载 匹配 条件） Pxmax=U2oc/4R0 得,
上式又称 最大功率传输定理
例,由图 (a)中条件求图 (b)中电流 I=? (NR为互易双口网络）
（利用戴文南定理和互易定理）
2A N
R
1
1`
2
2` (a)
5V
+
-
+
-
10V
2
2`
1
1` (b)
NR
I=?
2A
5?
解,在 (a)中,NR的 11` 端输入电阻 R0=10/2= 5? 。
2
2`
1
1` (c)
NR
2A
-
+
Uoc
1`
1
+
-
Uoc =5V
R0 = 5?
(d)
5?
I=?
答案：
I=0.5A
且有 (c)图中 11` 端开路电压 Uoc =5V 。
作 (c)图中 11` 端以右的戴文南等效电路（ d）
含受控源电路戴维南定理的应用
求 U0 。 3? 3?
6?
I +
–
9V
+
–
U0
a
b
+ – 6I 例, a
b
Uoc
+
–
R0
3? U0
-
+
解,(1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A Uoc=9V 3?
6?
I +
–
9V
+
–
Uoc
a
b
+ – 6I
内部独立
源置零
(2) 求等效电阻 R0
方法 1：外加电源法
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
R0 = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+ – 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流法 (Uoc=9V 已求得 )
6 I1 +3I=9
3I=-6I I=0
Isc=9/6=1.5A
R0 = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I +
–
9V Isc
a
b
+ – 6I
I1
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
R0
3? U0
-
+
6?
9V
V3936 30 ????U
思考, 外加电源法 与 开路电压短路电流法 的区别
例,
解,(1) a,b开路,I=0,Uoc= 10V
(2)求 R0：加压求流法 (内部独立源置零 )
U0 =(I0-0.5 I0)?103+ I0?103 =1500I0
R0 = U0 / I0 =1.5k?
a
b
Uoc + –
+
–
U R 0.5k ? R0
(含受控源电路 )用戴维南定理求 U。
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
R 0.5k? +
–
U
I
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
U=Uoc ? 500/(1500+500)=2.5V
Isc = -I,(I-0.5I)?103 +I?103+10=0
1500I= -10?I= -1/150 A
即 Isc=1/150 A
? R0 = Uoc / Isc =10 ? 150=1500 ?
a
b
10V + –
+
–
U R 0.5k? 1.5k?
(3) 等效电路,
开路电压 Uoc,短路电流 Isc法求 R0,R0 = Uoc / Isc
Uoc =10V（已求出）
求短路电流 Isc (将 a,b短路 ),
另,
+
–
10V
1k? 1k?
0.5I
a
b
I
Isc
加流求压法求 R0
I= I0
U0 =0.5I0 ? 103 +I0 ? 103 =1500I0
? R0 = U0 /I0=1500 ?
1k? 1k?
0.5I
a
b
+
–
U0
I
I0
解毕！
(内部独立源置零 )
任何一个含独立电源, 线性电阻和线性受控源的单口网
络 N, 对外电路来说, 可以用一个电流源和电导 (电阻 )的并
联组合来等效；电流源的电流等于该单口网络的端口短路电
流 Isc, 而并联电导 (电阻 )等于把该单口网络的所有独立源置
零后的输入电导 (电阻 )。
2,诺顿定理,
N
a
b
a
b
G0(R0) Isc
其中,
N
a
b
Isc N0
a
b
R0
N0为将 N中所有独立源置零后所得 无源 二端网络。
诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换
得到 。 但须指出, 诺顿等效电路可独立进行证明 。 证明
过程从略 。
例, 试用 Norton定理求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
4? I
a
b
G0(R0) Isc
(1)求 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解,
2?
10?
+
–
24V
a
b
Isc
+ –
I1
I2
12V
(2) 求 R0：串并联
R0 =10?2/(10+2)=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
I = - Isc?1.67/(4+1.67)
=9.6?1.67/5.67
=2.83A
R0 2?
10? a
b
b
4? I
a
1.67 ? -9.6A
解毕！
小结,
几个定理的适用条件,
4,戴文南、诺顿定理, 适用于线性网络。
1,叠加定理：适用于线性网络（可含独立源和线性受控源）
2,替代定理：适用于线性和非线性网络。
3,互易定理：只适用于不含独立源和受控源的线性网络。
4,4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
1.具有相同拓扑结构（特征）的电路
两个电路, 支路数和节点数都相同, 而且对应支路与节
点的联接关系也相同 。
N N
R5 R4
R1
R3 R2 R6
+ –
us1
1
2
3 4
R5' R4'
R1'
R3'
R6'
us6
is2
+
– 1
2
4 3
两个电路支路与节点联接关系相同,
假设两个电路中对应支路电压方
向相同, 支路电流均取和支路电压相同
的参考方向 。
2,特勒根定理,
4 6
5
1
2 3
4
2
3
1
)( 0 0
),(
)()(
)()(
11
似功率平衡关系和
即且各支路取关联方向
的乘积之和为零中对应的支路中的与电路
路的电压的所有支路中的每一支电路
?? ??
?
?
?
?
???
??
b
k
kk
b
k
kk
kk
kk
iuiu
iiNN
uuNN
?? ?
+ – uk
ik
uk = un? - un?, ik = i??? ?
则
证明,
?? ?
+ –
ki
?
ku?
αββααβkαββα iiiiii
???? ?????,,
αααββαβα
βα
βn βαβnnn
knknkk
iuiuiuiu
iuiuiu
????
???
????
??
)(
1
βαβnαβαn
b
k
kk iuiuiu
??
?
?
? ?? ?
所有支路
0
0.)( 0 K C L,
,).(
,
1
??
????
??
?
?
??
??
?
b
k
k
k
n
n
n
k
k
iu
,
iu,i.
αiiu
uα,iu
即也成立理可证对其余节点此式
同所以有根据流的代数和
上的所有支路电表示联接在节点其中
相乘项之和一定是与对节点相乘将所有支路
α
α
α
αα
α
α
? ?
?
?b
k
kk iu
1
0
:依同理也可证明
3,功率平衡定理,
在任一瞬间, 任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率
的代数和为零, 即
将特勒根定理用于同一电路中各支路电流, 电压即可证得上述
关系 。
此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。
特勒根定理适用于一切集总参数电路 。 只要各支路 u,i满
足 KCL,KVL即可 。 特勒根定理与 KCL,KVL三者中取其两个即
可 。
注意,
? ???
??
b
k kk
b
k k
iup
11
0
),,,( kkkk iiuu,NN ??? ??则为同一电路亦可视为
例 1,
(1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us'=9V时,
I1'=3A,
求 U2'。
解, 利用特勒根定理
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,84,( 2 )
????? ???? URUII.U得由
),(
)()(
11
22112211
的方向不同负号是因为 IU
IUIUIUIU
????
?????
V615142 1284251234 222,./.UU.U,???????????? ???
无源
电阻
网络
P –
+
U1
+
–
Us
R1 I1 I2
–
+
U2 R2
例 2,
U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A
解,
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
V102 ??U
.U 1?求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
4,6 对偶原理 (Dual Principle)
1,对偶电路,
例 1,
网孔电流方程,
(R1 + R2)il = us
节点电压方程,
(G1 + G2 )un = is
若 R1=G1,R2 =G2,us=is,
则两方程完全相同，解答 il=un也相同。
R2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
例 2
网孔方程,节点方程,
上述每例中的两个电路称为对偶电路。
将方程 (1)中所有元素用其对偶元素替换得方程 (2)。
若 R1=G1,R2 =G2,R3 =G3,us1=is1,rm = gm, 则两个方程组相
同, 其解答也相同, 即 un1= il1, un2= il2 。
R3 R1
R2
+
–
us1 il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3 G1
un1 un2
+
–
u1 is1 gm u1
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1
- R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1
i1 = il1
(1)
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1
-G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1
u1 =un1
(2)
2,对偶元素,（见书）
节点
网孔
节点电压
网孔电流
KCL
KVL
L
C
R
G is
us 串联
并联
CCVS
VCCS
…
…
3,对偶原理,
（或陈述） S成立，则将 S中所有元素，分别以其对应的对偶
只有平面电路才可能有对偶电路。
4,如何求一个电路的对偶电路
打点法：网孔电流对应节点电压 (外网孔对应参考节点 )。
两个对偶电路 N,N，如果对电路 N有命题
元素替换，所得命题（或陈述） S对电路 N成立。
注意,
例 1,R
2
+ – u
s
il
R1 G1
G2 u
n
is
例 2
R3 R1
R2
+
–
us1
il1 il2
i1
+
–
rm i1
G2
G3 G1
un1 un2
+
–
u1 is1 gm u1
(2) 各对偶元素进行替换。 (i1 ~u1)数值相同，量纲不同。
(3) 电源方向：电压源电压方向与网孔电流方向相同时, 对应
电流源方向为离开对应节点, 反之相反 。 电流源方向与网
孔电流方向相同时, 对应电压源方向与对应节点电压方向
相同, 反之相反 。
注意,
(1) 每一网孔电流对应一节点电压, 外网孔对应参考节点 。 网
孔电流取顺时针方向, 节点电压指向参考节点 。
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
