第三章 线性网络的一般分析方法
3,1 支路电流法
3,2 回路分析法
3,3 节点分析法
目的,找出 一般 (对任何线性电路均适用 )的求解线性网络的
系统方法 。
对象,含独立源、受控源的 电阻网络 的直流稳态解。
应用,主要用于复杂的线性电路的求解。
两类约束
元件特性约束
(对电阻电路，即欧姆定律 )
拓扑结构约束 —KCL,KVL
相互独立
基础,
支路电流（电压）法
回路电流法
节点电压法
割集分析法
线性网络,由线性元件或独立源（属非线性）构成的电路。
3.1 支路电流法 (branch current method )
n个节点,b条支路的电路,
支路电流,b个
支路电压,b个
需 2b个独立的电路方程
例,
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12个。
支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电
路的方法。
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方
向并列写各支路特性方程
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3,
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 = –uS+R6i6
(1)
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程
节点 1,i1 + i2 – i6 =0
节点 2,– i2 + i3 + i4 =0
节点 3,– i4 – i5 + i6 =0
节点 4,– i1 – i3 + i5 =0
(2)
独立 KCL方程数为 n–1=4–1=3个
(设流出节点为正，
流入节点为负 )
对有 n个节点的电路, 就有 n个 KCL方程, 但独立 KCL
方程数最多为 (n–1)个 。
一般情况,
独立节点,与独立 KCL方程对应的节点。
任选 (n–1)个节点即为独立节点。
对上例，尚缺 2b-b-(n-1)=b-(n-1)=6-(4-1)=3个独立
方程。可由 KVL,对回路列支路电压方程得到。
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(3) 选定图示的 3个回路, 由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独
立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立 KVL方程所对应的回路。
1
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i
4
i1
i5
i6
uS
3
1
2
3
4
1 2
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
6+3+3=12=2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个
支路 VAR代入三个 KVL方程, 消去 6个
支路电压, 保留支路电流, 便得到关于
支路电流的方程如下,
独立回路的选取,
每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路 。
因这样所建立的方程不可能由原来方程导出, 所以,
肯定是独立的 (充分条件 )。 可以证明, 用 KVL只能列
出 b–(n–1)个独立回路电压方程 。
对 平面电路, b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。
5
3
2 4
1
平面电路。 支路数 b=12 节点数 n=8
独立 KCL数,n-1=7
独立 KVL数,b-(n-1)=5
平面电路,可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。
非平面电路,在平面上无论将电路怎样画，总有支
路相互交叉。
∴ 是平面电路
总有支路相互交叉
∴ 是非平面电路
支路法的一般步骤,
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程； (元件
特性代入，将 KVL方程中支路电压用支路电流表示 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 其它分析。
注,在步骤（ 3）中若消去支路电流，保留支路电压，
得到关于支路电压的方程，就是 支路电压法 。
1 2
例 1,
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个独立 KCL方程,
I1 I3
US1 US2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
I2
US1=130V,US2=117V,R1=1?,R2=0.6?,R3=24?,
求各支路电流。
解
(2) b–( n–1)=2个独立 KVL方程,
R2I2+R3I3= US2
?UR降 =?US升
R1I1–R2I2=US1–US2
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
(3) 联立求解得
I1=10 A
I3= 5 A
I2= –5 A
1 2 3
例 2,列写如图电路的支路电流方程 (含理想电流源支路 )。
b=5,n=3
KCL方程,
- i1- i2 + i3 = 0 (1)
- i3+ i4 - i5 = 0 (2)
R1 i1-R2i2 = uS (3)
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4)
- R4 i4+u = 0 (5)
i5 = iS (6)
KVL方程,* 理想电流源的处理：由于 i5 =
iS,所以在选择独立回路时,
可不选含此支路的回路 。
对此例, 可不选回路 3,即去
掉方程 (5),而只列 (1)~(4)及 (6)。
i1
i3
uS
iS
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i5
i4
u
c
R4
解
解
列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3 方程列写分两步,
(1) 先将受控源看作独立源
列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,
并代入 (1)中所列的方程,
消去中间变量 。
KCL方程,
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1)
-i3- i4+ i5 – i6=0 (2)
※ 例 3,
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3
KVL方程,
R1i1- R2i2= uS (3)
R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4)
R3i3- R4i4= μu 2 (5)
R5i5= u (6)
补充控制量方程,
i6= ?i1 (7)
u2= -R2i2 (8)
注：可去掉方程 (6)。
支路法的特点及不足,
优点,直接 。 直接针对各支路电压或电流列写方程
能否找到一种方法，使方程数最少，且规律性较强？
答案是肯定的。回路（网孔）分析法、节点分析法以
及割集分析法就具有这样的特点。它们选择一组最少的
独立完备 的基本变量作为待求变量，使得方程数目最少。
缺点,需要同时列写 KCL和 KVL方程, 方程数较多
（ 等于支路数 b）, 且规律性不强 (相对于后面的方法 )。
各支路电流 （ 或电压 ） 并不独立, 彼此线性相关 。
独立,每个基本变量不能由其他基本变量表示出来。
完备,所选的基本变量数目足够多，足以将其它变量
表示出来。
3,2 回路电流法 (loop current method)
基本思想,假想 每个回路中有一个回路电流 。
各支路电流可用回路电流线性组合表示 。
回路电流对每个相关节点均流进一次, 流出一次, 所以
KCL自动满足 。 回路电流法只需对独立回路列写 KVL方程 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
b=3,n=2。 独立回路为 l=b-
(n-1)=2。 选图示的两个独立
回路, 回路电流分别为 il1,il2。
支路电流 i1= il1,i2= il2- il1,
i3= il2。
即,一组独立回路的回路电流具有 独立性 和 完备性
回路电流法, 以回路电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
回路电流法的独立方程数为 b-(n-1)。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 n-1个 。
回路 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得,
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
电压与回路绕行方向一致时取
,+”；否则取,-”。
R11=R1+R2 — 回路 1的 自电阻 。等于回路 1中所有电阻之和。
令
R22=R2+R3 — 回路 2的 自电阻 。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正。
R12= R21= –R2 — 回路 1、回路 2之间的 互电阻 。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻
取正号；否则为负号。
us11= uS1-uS2 — 回路 1中所有电压源 电位升 的代数和。
us22= uS2 — 回路 2中所有电压源 电位升 的代数和。
当电压源 电位升 方向与该回路方向一致时, 取 正 号；
反之取 负 号 。
R11il1+R12il2=uS11
R12il1+R22il2=uS22
标准形式的方程,
一般情况下，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有
其中 Rkk:自电阻 (为正 ), k=1,2,…,l ( ∵ 绕行方向取参考方向 )。
Rjk:互电阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uS11
…
R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uS22
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
(实质, ?UR 降 =?Us升 )
回路法的一般步骤,
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 由自,
互电阻列标准回路 方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
网孔电流法,对 平面电路, 若以网孔为独立回路, 此
时回路电流也称为网孔电流, 对应的分
析方法称为网孔电流法 。
例 1,用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
Ia Ic Ib +
_ US2
+
_ US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_ US4
R4
I4
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia-3Ib=2
-12Ia+15Ib-Ic=0
9Ia-10Ib+3Ic=0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic= -0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 ( ?UR 降 =?E升 )
例 2,用回路电流法求 含有受控电压源 电路的各支路电流。
+
_ 2V
?
3? U2
+ + 3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
将②代入①，得
各支路电流为,
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic= –0.52A,
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
补充
方程
例 3,列写下列 含有理想电流源 电路支路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，补充回路电流和
电流源电流的约束方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ux
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ux
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_ US1
US2 R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
(补充方程）
_ + Ux
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2 _
+
_ US1
US2 R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可先做电源等效变换再列
回路方程,
I
R
IS o
o
+
_ RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有 受控电流源 支路的电路, 可先按理想电流
源处理, 再将控制量用回路电流表示 。
说明,
I3 I3
练习,合理选择回路电流，使得回路方程最简,
3?
2?
2? 1?
3A
1A
I1 I2
I1=3A
I2=1A
(3+2+1+2)I3+(2+1)I2-(2+1)I1=0
3,3 节点电压法 (node voltage method)
是否有一种方法使 KVL自动满足, 从而就不必列写
KVL方程, 减少联立方程的个数？
基本思想,
KVL恰说明了电位的单值性。如果 选节点电压为未知
量,则 KVL自动满足，可只列写 KCL方程。
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压即是节
点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足
uA-uB uA uB
节点电压法, 以节点电压为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 b-( n-1)个 。
例,
(2) 列 KCL方程,
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标明其
余 n-1个独立节点的电压
代入支路特性,
1 1 1 2 1 2
1 2 3
1 2 3 4
-- -n n n n n n
S S S
u u u u u u i i i
R R R R? ? ? ? ?
1 2 1 2 2
3
3 4 5
n n n n n
S
u u u u u i
R R R
??? ? ? ? ?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iS11
G21un1+G22un2 = iS22
标准形式的节点电压方程 。
其中 G11=G1+G2+G3+G4—节点 1的 自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和 。
G22=G3+G4+G5 — 节点 2的 自电导, 等于接在节点 2上所
有支路的电导之和 。
G12= G21 =-(G3+G4)—节点 1与节点 2之间的 互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并冠以负号 。
iS11=iS1-iS2+iS3— 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iS22=-iS3 — … … 节点 2 … … … … … … … … 。
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 电流源支路电导为零。
* 流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后, 各支路电流可用
节点电压表示,
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui ?
1
2
2
nui
R?
3
n2n1
3 R
uui ??
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
一般情况,
G11un1+G12un2+…+ G1(n-1)un,(n-1)=iS11
G21un1+G22un2+…+ G2(n-1)un(n-1)=iS22
? ? ? ?
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+ G(n-1)(n-1)un(n-1)=iS(n-1)(n-1)
其中 Gii —自电导, 等于接在节点 i上所有支路的电导之
和, 总为 正 。
* 当电路含受控源时, 系数矩阵一般不再为对称阵 。
iSii — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 。
Gij = Gji—互电导, 等于接在节点 i与节点 j之间的
所有支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
实质,? iR出 =? iS入
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与
电阻串联的支路,
变换
记 Gk=1/Rk，得,
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+ G4+ G5)un2= -iS3
un1 un2
0
1 2
G1uS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
等效电流源
节点法的一般步骤,
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点, 以节点电压为未知量,
由自, 互电导列写标准节点 方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
练习, 写出如图电路中 a,b,c三点的节点电位方程。
+
-
4V
6A
3s 3s 4s
2s
2s
5s 2s 8s
a b c
6A
3s 3s 4s
2s
2s
5s
2s
8s
a b c
8A
视为不
存在
解,
（ 2+3+5+2)ua-5ub-2uc=4× 2
-5ua+(5+3+2)ub-2uc=0
-2ua-2ub+(2+4+2)uc=6
用节点法求各支路电流。
* 可先进行
电源变换。
例 1,
(1) 列节点电压方程,
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(2) 解方程，得,
(3) 各支路电流,
20k? 10k? 40k?
20k? 40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解,
- +
1 1 1 1 120
()
20 40 10 10 20
1 1 1 1 240
()
10 10 20 40 40
AB
AB
UU
K K K K K
UU
K K K K K
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2)将 控制量用节点电压表示出来。
例 2,列写下图 含受控源 电路的节点电压方程。
uR2= un1 (补充控制量方程 )
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
n2
n 1 S 1
1 2 1
11 ) uui
R R R? ? ?（
2n 1 n 2 m
1 1 3
1 1 1()
sRu u i g uR R R ??? ? ? ?
解,
Ix
试列写下图 含理想电压源 电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系
方法 2,选择合适的参考点,使参考点在理想电压源的一端
G3 G1
G4 G5
G2 +
_ Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2= -Ix
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =Ix
U1-U3 = US (补充方程 )
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3 G1
G4 G5
G2 +
_ Us 2
3
1
例 3,
思考,电路中含 受控电压源 时，节点方程如何处理？
(1)
先作
变换
（ 2）
-
+
R
a
b
R
a
b
-
+
a
b
① 先当理想电压源处理
即：引入该支路电流 Ix，或选择参
考节点在受控电压源的一端
② 补充控制量方程
支路法、回路法和节点法的比较,
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0 n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
(1) 方程数的比较
标准元件图
1?
1A
+
-
-
+ -
+ -
+
+ -
+ -
+ -
+ -
1V
3,1 支路电流法
3,2 回路分析法
3,3 节点分析法
目的,找出 一般 (对任何线性电路均适用 )的求解线性网络的
系统方法 。
对象,含独立源、受控源的 电阻网络 的直流稳态解。
应用,主要用于复杂的线性电路的求解。
两类约束
元件特性约束
(对电阻电路，即欧姆定律 )
拓扑结构约束 —KCL,KVL
相互独立
基础,
支路电流（电压）法
回路电流法
节点电压法
割集分析法
线性网络,由线性元件或独立源（属非线性）构成的电路。
3.1 支路电流法 (branch current method )
n个节点,b条支路的电路,
支路电流,b个
支路电压,b个
需 2b个独立的电路方程
例,
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
b=6
n=4
独立方程数应为 2b=12个。
支路电流法, 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电
路的方法。
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(1) 标定各支路电流、电压的参考方
向并列写各支路特性方程
u1 =R1i1,u2 =R2i2,u3 =R3i3,
u4 =R4i4,u5 =R5i5,u6 = –uS+R6i6
(1)
(b=6,6个方程，关联参考方向 )
(2) 对节点，根据 KCL列方程
节点 1,i1 + i2 – i6 =0
节点 2,– i2 + i3 + i4 =0
节点 3,– i4 – i5 + i6 =0
节点 4,– i1 – i3 + i5 =0
(2)
独立 KCL方程数为 n–1=4–1=3个
(设流出节点为正，
流入节点为负 )
对有 n个节点的电路, 就有 n个 KCL方程, 但独立 KCL
方程数最多为 (n–1)个 。
一般情况,
独立节点,与独立 KCL方程对应的节点。
任选 (n–1)个节点即为独立节点。
对上例，尚缺 2b-b-(n-1)=b-(n-1)=6-(4-1)=3个独立
方程。可由 KVL,对回路列支路电压方程得到。
3
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i4
i1
i5
i6
uS
1
2
3
4
(3) 选定图示的 3个回路, 由 KVL，
列写关于支路电压的方程 。
回路 1,–u1 + u2 + u3 = 0
回路 2,–u3 + u4 – u5 = 0
回路 3,u1 + u5 + u6 = 0
(3)
可以检验，式 (3)的 3个方程是独
立的，即所选的回路是独立的。
独立回路,独立 KVL方程所对应的回路。
1
i1 + i2 – i6 =0
– i2 + i3 + i4 =0
– i4 – i5 + i6 =0
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0
R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
KCL
KVL
R1
R2
R3
R4
R5
R6 + –
i2 i3 i
4
i1
i5
i6
uS
3
1
2
3
4
1 2
综合式 (1),(2)和 (3),便得到所需的
6+3+3=12=2b个独立方程 。 将式 (1)的 6个
支路 VAR代入三个 KVL方程, 消去 6个
支路电压, 保留支路电流, 便得到关于
支路电流的方程如下,
独立回路的选取,
每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路 。
因这样所建立的方程不可能由原来方程导出, 所以,
肯定是独立的 (充分条件 )。 可以证明, 用 KVL只能列
出 b–(n–1)个独立回路电压方程 。
对 平面电路, b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。
5
3
2 4
1
平面电路。 支路数 b=12 节点数 n=8
独立 KCL数,n-1=7
独立 KVL数,b-(n-1)=5
平面电路,可以画在平面上,不出现支路交叉的电路。
非平面电路,在平面上无论将电路怎样画，总有支
路相互交叉。
∴ 是平面电路
总有支路相互交叉
∴ 是非平面电路
支路法的一般步骤,
(1) 标定各支路电流、电压的参考方向；
(2) 选定 (n–1)个节点,列写其 KCL方程；
(3) 选定 b–(n–1)个独立回路，列写其 KVL方程； (元件
特性代入，将 KVL方程中支路电压用支路电流表示 )
(4) 求解上述方程，得到 b个支路电流；
(5) 其它分析。
注,在步骤（ 3）中若消去支路电流，保留支路电压，
得到关于支路电压的方程，就是 支路电压法 。
1 2
例 1,
节点 a,–I1–I2+I3=0
(1) n–1=1个独立 KCL方程,
I1 I3
US1 US2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
I2
US1=130V,US2=117V,R1=1?,R2=0.6?,R3=24?,
求各支路电流。
解
(2) b–( n–1)=2个独立 KVL方程,
R2I2+R3I3= US2
?UR降 =?US升
R1I1–R2I2=US1–US2
0.6I2+24I3= 117
I1–0.6I2=130–117=13
(3) 联立求解得
I1=10 A
I3= 5 A
I2= –5 A
1 2 3
例 2,列写如图电路的支路电流方程 (含理想电流源支路 )。
b=5,n=3
KCL方程,
- i1- i2 + i3 = 0 (1)
- i3+ i4 - i5 = 0 (2)
R1 i1-R2i2 = uS (3)
R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4)
- R4 i4+u = 0 (5)
i5 = iS (6)
KVL方程,* 理想电流源的处理：由于 i5 =
iS,所以在选择独立回路时,
可不选含此支路的回路 。
对此例, 可不选回路 3,即去
掉方程 (5),而只列 (1)~(4)及 (6)。
i1
i3
uS
iS
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i5
i4
u
c
R4
解
解
列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3 方程列写分两步,
(1) 先将受控源看作独立源
列方程；
(2) 将控制量用未知量表示,
并代入 (1)中所列的方程,
消去中间变量 。
KCL方程,
-i1- i2+ i3 + i4=0 (1)
-i3- i4+ i5 – i6=0 (2)
※ 例 3,
1
i1
i3
uS
? i1
R1
R2
R3 b a
+
–
+
–
i2
i6
i5
u
c
2 4
i4
R4 + –
R5
? u2
+
–
u2
3
KVL方程,
R1i1- R2i2= uS (3)
R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4)
R3i3- R4i4= μu 2 (5)
R5i5= u (6)
补充控制量方程,
i6= ?i1 (7)
u2= -R2i2 (8)
注：可去掉方程 (6)。
支路法的特点及不足,
优点,直接 。 直接针对各支路电压或电流列写方程
能否找到一种方法，使方程数最少，且规律性较强？
答案是肯定的。回路（网孔）分析法、节点分析法以
及割集分析法就具有这样的特点。它们选择一组最少的
独立完备 的基本变量作为待求变量，使得方程数目最少。
缺点,需要同时列写 KCL和 KVL方程, 方程数较多
（ 等于支路数 b）, 且规律性不强 (相对于后面的方法 )。
各支路电流 （ 或电压 ） 并不独立, 彼此线性相关 。
独立,每个基本变量不能由其他基本变量表示出来。
完备,所选的基本变量数目足够多，足以将其它变量
表示出来。
3,2 回路电流法 (loop current method)
基本思想,假想 每个回路中有一个回路电流 。
各支路电流可用回路电流线性组合表示 。
回路电流对每个相关节点均流进一次, 流出一次, 所以
KCL自动满足 。 回路电流法只需对独立回路列写 KVL方程 。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
b=3,n=2。 独立回路为 l=b-
(n-1)=2。 选图示的两个独立
回路, 回路电流分别为 il1,il2。
支路电流 i1= il1,i2= il2- il1,
i3= il2。
即,一组独立回路的回路电流具有 独立性 和 完备性
回路电流法, 以回路电流为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
i1 i3
uS1 uS2
R1 R2
R3
b
a
+
–
+
–
i2
il1 il2
回路电流法的独立方程数为 b-(n-1)。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 n-1个 。
回路 1,R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0
回路 2,R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得,
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2
- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
电压与回路绕行方向一致时取
,+”；否则取,-”。
R11=R1+R2 — 回路 1的 自电阻 。等于回路 1中所有电阻之和。
令
R22=R2+R3 — 回路 2的 自电阻 。等于回路 2中所有电阻之和。
自电阻总为正。
R12= R21= –R2 — 回路 1、回路 2之间的 互电阻 。
当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻
取正号；否则为负号。
us11= uS1-uS2 — 回路 1中所有电压源 电位升 的代数和。
us22= uS2 — 回路 2中所有电压源 电位升 的代数和。
当电压源 电位升 方向与该回路方向一致时, 取 正 号；
反之取 负 号 。
R11il1+R12il2=uS11
R12il1+R22il2=uS22
标准形式的方程,
一般情况下，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有
其中 Rkk:自电阻 (为正 ), k=1,2,…,l ( ∵ 绕行方向取参考方向 )。
Rjk:互电阻
+, 流过互阻两个回路电流方向相同
-, 流过互阻两个回路电流方向相反
0, 无关
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。
R11il1+R12il2+ …+R 1l ill=uS11
…
R21il1+R22il2+ …+R 2l ill=uS22
Rl1il1+Rl2il2+ …+R ll ill=uSll
(实质, ?UR 降 =?Us升 )
回路法的一般步骤,
(1) 选定 l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；
(2) 对 l个独立回路, 以回路电流为未知量, 由自,
互电阻列标准回路 方程；
(3) 求解上述方程，得到 l个回路电流；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用回路电流表示 )；
网孔电流法,对 平面电路, 若以网孔为独立回路, 此
时回路电流也称为网孔电流, 对应的分
析方法称为网孔电流法 。
例 1,用回路法求各支路电流。
解,(1) 设独立回路电流 (顺时针 )
(2) 列 KVL 方程
(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2
-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2
-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4
对称阵，且
互电阻为负
(3) 求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic
(4) 求各支路电流,I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic
Ia Ic Ib +
_ US2
+
_ US1
I1 I2 I3
R1 R2
R3 +
_ US4
R4
I4
① 将 VCVS看作独立源建立方程；
② 找出控制量和回路电流关系。
校核,
4Ia-3Ib=2
-3Ia+6Ib-Ic=-3U2
-Ib+3Ic=3U2
①
4Ia-3Ib=2
-12Ia+15Ib-Ic=0
9Ia-10Ib+3Ic=0
③
U2=3(Ib-Ia) ②
Ia=1.19A
Ib=0.92A
Ic= -0.51A
1?I1+2I3+2I5=2.01 ( ?UR 降 =?E升 )
例 2,用回路电流法求 含有受控电压源 电路的各支路电流。
+
_ 2V
?
3? U2
+ + 3U2
–
1? 2?
1?
2?
I1 I2 I
3
I4 I5
Ia Ib Ic 解,
将②代入①，得
各支路电流为,
I1= Ia=1.19A,I2= Ia- Ib=0.27A,I3= Ib=0.92A,
I4= Ib- Ic=1.43A,I5= Ic= –0.52A,
解得
* 由于含受控源, 方程的系数矩阵一般不对称 。
补充
方程
例 3,列写下列 含有理想电流源 电路支路的回路电流方程。
方法 1,引入电流源电压为变量，补充回路电流和
电流源电流的约束方程。
(R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ux
-R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2
-R4I2+(R3+R4)I3=-Ux
IS=I1-I3
I1 I2
I3
_
+
_ US1
US2 R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
(补充方程）
_ + Ux
方法 2,选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅
属于一个回路,该回路电流即 IS 。
I1=IS
-R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2
R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1
I1 I2 _
+
_ US1
US2 R1
R2
R5
R3
R4
IS
+
I3
(1) 对 含有并联电阻的电流源，可先做电源等效变换再列
回路方程,
I
R
IS o
o
+
_ RIS
I
R
o
o
转换
(2) 对含有 受控电流源 支路的电路, 可先按理想电流
源处理, 再将控制量用回路电流表示 。
说明,
I3 I3
练习,合理选择回路电流，使得回路方程最简,
3?
2?
2? 1?
3A
1A
I1 I2
I1=3A
I2=1A
(3+2+1+2)I3+(2+1)I2-(2+1)I1=0
3,3 节点电压法 (node voltage method)
是否有一种方法使 KVL自动满足, 从而就不必列写
KVL方程, 减少联立方程的个数？
基本思想,
KVL恰说明了电位的单值性。如果 选节点电压为未知
量,则 KVL自动满足，可只列写 KCL方程。
任意选择参考点：其它节点与参考点的电压即是节
点电压 (位 ),方向为从独立节点指向参考节点 。
(uA-uB)+uB-uA=0
KVL自动满足
uA-uB uA uB
节点电压法, 以节点电压为未知量列写电路方程分析电路
的方法。
节点电压法的独立方程数为 (n-1)个 。 与支路电流法
相比, 方程数可减少 b-( n-1)个 。
例,
(2) 列 KCL方程,
? iR出 =? iS入
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
-i3-i4+i5=-iS3
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
(1) 选定参考节点, 标明其
余 n-1个独立节点的电压
代入支路特性,
1 1 1 2 1 2
1 2 3
1 2 3 4
-- -n n n n n n
S S S
u u u u u u i i i
R R R R? ? ? ? ?
1 2 1 2 2
3
3 4 5
n n n n n
S
u u u u u i
R R R
??? ? ? ? ?
整理，得
S3S2S1n2
43
n1
4321
)11( )1111( iiiuRRuRRRR ????????
S32n
543
n1
43
)111()11( iuRRRuRR ???????
令 Gk=1/Rk,k=1,2,3,4,5
上式简记为
G11un1+G12un2 = iS11
G21un1+G22un2 = iS22
标准形式的节点电压方程 。
其中 G11=G1+G2+G3+G4—节点 1的 自电导, 等于接在节点 1上
所有支路的电导之和 。
G22=G3+G4+G5 — 节点 2的 自电导, 等于接在节点 2上所
有支路的电导之和 。
G12= G21 =-(G3+G4)—节点 1与节点 2之间的 互电导, 等
于接在节点 1与节点 2之间的所有
支路的电导之和, 并冠以负号 。
iS11=iS1-iS2+iS3— 流入节点 1的电流源电流的代数和 。
iS22=-iS3 — … … 节点 2 … … … … … … … … 。
* 自电导总为正，互电导总为负。
* 电流源支路电导为零。
* 流入节点取正号，流出取负号。
由节点电压方程求得各节点电压后, 各支路电流可用
节点电压表示,
un1 un2
iS1 iS2
iS3
R1
i1 i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
1
n1
1 R
ui ?
1
2
2
nui
R?
3
n2n1
3 R
uui ??
4
n2n1
4 R
uui ??
5
n2
5 R
ui ?
一般情况,
G11un1+G12un2+…+ G1(n-1)un,(n-1)=iS11
G21un1+G22un2+…+ G2(n-1)un(n-1)=iS22
? ? ? ?
G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+ G(n-1)(n-1)un(n-1)=iS(n-1)(n-1)
其中 Gii —自电导, 等于接在节点 i上所有支路的电导之
和, 总为 正 。
* 当电路含受控源时, 系数矩阵一般不再为对称阵 。
iSii — 流入节点 i的所有电流源电流的代数和 。
Gij = Gji—互电导, 等于接在节点 i与节点 j之间的
所有支路的电导之和, 并冠以 负 号 。
实质,? iR出 =? iS入
un1 un2
uS1 iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
0
1 2
+
-
若电路中含电压源与
电阻串联的支路,
变换
记 Gk=1/Rk，得,
(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3
-(G3+G4) un1 + (G3+ G4+ G5)un2= -iS3
un1 un2
0
1 2
G1uS1
iS2
iS3
R1
i1
i2
i3
i4
i5
R2 R5
R3
R4
等效电流源
节点法的一般步骤,
(1) 选定参考节点，标定 n-1个独立节点；
(2) 对 n-1个独立节点, 以节点电压为未知量,
由自, 互电导列写标准节点 方程；
(3) 求解上述方程，得到 n-1个节点电压；
(5) 其它分析。
(4) 求各支路电流 (用 节点电压 表示 )；
练习, 写出如图电路中 a,b,c三点的节点电位方程。
+
-
4V
6A
3s 3s 4s
2s
2s
5s 2s 8s
a b c
6A
3s 3s 4s
2s
2s
5s
2s
8s
a b c
8A
视为不
存在
解,
（ 2+3+5+2)ua-5ub-2uc=4× 2
-5ua+(5+3+2)ub-2uc=0
-2ua-2ub+(2+4+2)uc=6
用节点法求各支路电流。
* 可先进行
电源变换。
例 1,
(1) 列节点电压方程,
UA=21.8V,UB=-21.82V
I1=(120-UA)/20k= 4.91mA I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA
I3=(UB +240)/40k= 5.45mA I4= UB /40=0.546mA
I5= UB /20=-1.09mA
(2) 解方程，得,
(3) 各支路电流,
20k? 10k? 40k?
20k? 40k?
+120V -240V
UA UB
I4 I2
I1 I3
I5
解,
- +
1 1 1 1 120
()
20 40 10 10 20
1 1 1 1 240
()
10 10 20 40 40
AB
AB
UU
K K K K K
UU
K K K K K
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
(1) 先 把受控源当作独立源看列方程；
(2)将 控制量用节点电压表示出来。
例 2,列写下图 含受控源 电路的节点电压方程。
uR2= un1 (补充控制量方程 )
iS1
R1 R3
R2 gmuR2
+ uR2 _
1
2
n2
n 1 S 1
1 2 1
11 ) uui
R R R? ? ?（
2n 1 n 2 m
1 1 3
1 1 1()
sRu u i g uR R R ??? ? ? ?
解,
Ix
试列写下图 含理想电压源 电路的节点电压方程。
方法 1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系
方法 2,选择合适的参考点,使参考点在理想电压源的一端
G3 G1
G4 G5
G2 +
_ Us 2 3
1
(G1+G2)U1-G1U2= -Ix
-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0
-G4U2+(G4+G5)U3 =Ix
U1-U3 = US (补充方程 )
U1= US
-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0
-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0
G3 G1
G4 G5
G2 +
_ Us 2
3
1
例 3,
思考,电路中含 受控电压源 时，节点方程如何处理？
(1)
先作
变换
（ 2）
-
+
R
a
b
R
a
b
-
+
a
b
① 先当理想电压源处理
即：引入该支路电流 Ix，或选择参
考节点在受控电压源的一端
② 补充控制量方程
支路法、回路法和节点法的比较,
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点
较容易。
(3) 回路法, 节点法易于编程 。 目前用计算机分析网络
(电网, 集成电路设计等 )采用节点法较多 。
支路法
回路法
节点法
KCL方程 KVL方程
n-1 b-(n-1)
0
0 n-1
方程总数
b-(n-1)
n-1
b-(n-1)
b
(1) 方程数的比较
标准元件图
1?
1A
+
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