69
一,例题精解
【例题6.1】 图6.1(a)所示电路中，已知R
0
= R
1
= R
2
= R
3
=2?，C =1F，L =1H,
E =12V。电路原来处于稳定状态，t = 0时闭合开关S。试求初始值i
L
(0
+
)、i
C
(0
+
)、u
L
(0
+
)、
u
C
(0
+
)。
E
1
R
2
R
3
R
i
L
0
R
【解】 由图6.1(b) t = 0-
时的电路求
i
L
(0-)和u
C
(0-)。因为
i 0)0(0)0(
LC
==
u
所以
V412
222
2
)0(
310
3
C
=×
++
=
++
=
E
RRR
R
u
A2
222
12
)0(
310
L
=
++
=
++
=
RRR
E
i
由换路定则
E
0
R
V4)0()0(
A2)0()0(
CC
LL
==
==
+
+
uu
ii
由图6.1(c) t = 0
+
时的电路可得
+=
++=
++=
+++
+++
+++
)0()0()0(
)0()0()0(
)0()0()0(
LC
L3L1
C2C1
iii
uRiRiE
uRiRiE
E
i
+=
+×+=
++=
++
++
++
2)0()0(
)0(22)0(212
4)0(2)0(212
C
L
C
ii
ui
ii
解得
=
=
=
+
+
+
A3)0(
A1)0(
V2)0(
C
L
i
i
u
图
故所求初始值为
i
C
S
L
C
u
L
C
u
(a) 例题电路
1
R
2
R
3
R
i
L
i
C
u
L
C
u
(b) t = 0
-
时
L
C
1
R
2
R
3
R
i
L
u
L
i
C
C
u
(c) t=0
+
时
6.1 例题6.1的图
电工学试题精选与答题技巧 70
V4)0(V2)0(
A1)0(A2)0(
CL
CL
==
==
++
++
uu
ii
【例题6.2】 电路如图6.2(a)所示，已知R
0
= R
1
= R
2
= R
3
= R
4
=2?，C =300μF，I
S
=2A,
E =12V，且t = 0-时，u
C
= 0。试求开关S闭合后u
C
的变化规律
0
C
EE
b
a
a
b
0=t
0=t
C
1
R
2
R
3
R
4
R
4
R
0
R
I
S
S
S
(a) 例题电路
(b) 等效电路
图6.2 例题6.2的图
【解】 先把电容左部电路化简成电压源，如图6.2(b) 所示。
等效电压源的电动势
V82212
3S0
=×?=?= RIEE
电压源的等效电阻
=++=++= 6222
3210
RRRR
初始值
0)0()0(
CC
==
+
uu
稳态值
V28
26
2
)(
0
40
4
C
=×
+
=
+
=∞ E
RR
R
u
时间常数
s1045.010300
26
26
36
40
40
×=××
+
×
=
+
= C
RR
RR
τ
由三要素法得
V)e1(2)e1(2)(
222245/10
C
5
tt
tu
=?=
【例题6.3】 一个电感线圈被短接以后，需经0.1s后电感线圈内的电流才减少到初始值的35%；如果用5?的电阻R来代替短路线，那么需经0.05s后电感线圈内的电流才减少到初始值的35%。试求电感线圈的电阻r和电感L。
【解】 储能的电感线圈被短接时，电流的表达式为
第六章 电路的暂态分析 71
τ/
0L
e)(
t
Iti
=
其中I
0
为电感线圈的初始电流。当电感线圈被短接时，时间常数τ
1
=L/r，在t =0.1s时可得方程
Lr
II
/1.0
00
e35.0
=
而用5?的电阻R来代替短路线时，时间常数τ
2
=L/(r+R)，在t=0.05s时可得方程
Lr
II
/)5(05.0
00
e35.0
+?
=
将以上两个指数方程化为代数方程，可得
=?
=?
25.005.105.0
005.11.0
Lr
Lr
解方程组得
H476.0
05.1
5.0
5
05.0
25.0
==
==
L
r
【例题6.4】 在图6.3(a)的电路中,已知R
1
=400k?,
R
2
= R
3
=200k?,C=100pF,输入电压u
1
如图6.3(b)
所示,其中U=20V,t
p
=20μs。试求输出电压u
2
,
并画出其变化曲线。
C
u
1 u
2
R
1
R
2
R
3
【解】 根据本题输入电压的特点,我们可以分段使用一阶电路的三要素法。从电路可以看出,
无论对于输入电压波形的哪一段时间而言,电路的时间常数都是一样的,而且同电阻R
1
无关(因为电阻R
1
同电源并联在一起),所以有
(a) 例题电路
t
U
1
u
2/U?
p
3t
p
t
O
sμ10
1010010
200200
200200
123
32
32
=×××
+
×
=×
+
=
C
RR
RR
τ
(b) 输入电压
t
U
1
u
2/U?
p
3t
p
t
O
2
u
V65.8
V75.4?
(1) 当0 < t < t
p
时,输出电压
V10200
200200
20
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
(c) 输出电压
图6.3 例题6.4的图
0)0()0(
22
==
+
uu
所以
)(0Ve1010)(
p
10
2
5
tttu
t
<<?=
(2) 当 t
p
< t < 3t
p
时,输出电压
71
V5200
200200
10
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
电工学试题精选与答题技巧 72
由三要素法可得
)3(Ve65.135)(
pp
)(10
2
p
5
ttttu
tt
<<+?=
V65.8e1010e1010)()(
2
10
p2p2
p
5
=?=?==
+
t
tutu
(3) 当t > 3t
p
时,输出电压
0200
200200
0
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
V75.4e65.135)3()3(
)3(10
p2p2
pp
5
=+?==
+
tt
tutu
由三要素法可得
)3(Ve75.4)(
p
)3(10
2
p
5
tttu
tt
>?=
输出电压如图6.3(c)所示。
【例题6.5】 电路如图6.4所示,试用三要素法求t≥ 0时i
1
、i
2
的和i
L
。
【解】(1) 根据换路定则
6? S
1
i
2
i
i
L
0=t
3?
H1
12V
9V
A2
6
12
)0()0(
LL
===
+
ii
对于开关闭合的一瞬间,即t = 0
+
时的电路应用克希荷夫电流定律和克希荷夫电压定律可分别列出方程
=?=?
==+
++
+++
V3912)0(3)0(6
A2)0()0()0(
21
L21
ii
iii
图6.4 例题6.5的图
解方程后得
i A1)0()0(
21
==
++
i
(2) 稳态时电感元件可视作短路,故
A2
6
12
)(
1
==∞i
A3
3
9
)(
2
==∞i
A532)()()(
21L
=+=∞+∞=∞ iii
(3) 时间常数
s5.0
36
36
1
0
=
+
×
==
R
L
τ
第六章 电路的暂态分析 73
应用三要素法可以得出
2e)21(2)(
5.0/
1
t
ti
=?+=
3e)31(3)(
5.0/
2
t
ti
=?+=
e)52(5)(
5.0/t
L
ti
=?+=
【例题6.6】 电路如图6.5(a)所示，换路前已处于稳态
B点电位v
B
和A点电位v
A
的变化规律。
【解】 (1) 求t≥0时的电容电压u
C
V15
255
)6(0
)0()0(
CC
=×
+
==
+
uu
[]
s1044.0
10100105//)2510(
6
123
×
=×××+=τ
V5.15
25510
)6(6
)(
C
=×
++
=∞u
故
Ve5.05.1
e)5.11(5.1)(
6
6
103.2
1044.0/
C
t
t
tu
×?
×?
=?+=
(2) 求t≥ 0时的B点电位v
C
注意，t = 0
+
时，由于电容中存在电流,
0
d
d
C
C
≠=
t
u
Ci
因此10k和5k电阻中的电流不等。
V86.214.3610
2510
112
6)0(
B
=?=×
+
=
+
v
V310
25510
12
6)(
B
=×
++
=∞v
Ve14.03
e)386.2(3)(
6
6
103.2
103.2
B
t
t
tv
×?
×?
=?+=
(3) 求t≥ 0时的A点电位v
C
2t?
Ae?
Ae2
2t?
Ae35
2t?
，试求t ≥ 0时电容电压u
C
、
10k?
+6V
100pF
A
B
S
t=0
25k?
5k?
u
C
V6?
(a) 例题电路
+6V
100pF
A
B
25k?
10k?
5k?
u
C
V6?
(b) t = 0-时
+6V
A
B
25k?
10k?
5k?
1V
V6?
(c) t = 0
+
时
图6.5 例题6.6的图
73
电工学试题精选与答题技巧 74
Ve36.05.1
)()()(
6
103.2
CBA
t
tutvtv
×?
+
=?=
V/u
U
t
TT
uuC
R
C
O
2
01
V/u
U
t
TT
O
2
01
(a)例题电路(b)输入电压 (c)输出电压
图6.5 例题6.6的图
【例题6.7】 有一RC电路如图6.6(a) 所示，其输入电压如图6.6(b)所示。设u
C
(0)=
0，脉冲宽度T=RC。试求负脉冲幅度U-等于多大才能在t=2T时使得u
C
= 0。
【解1】 暂态过程可以分为充电和放电两个阶段。
在充电阶段，0≤t≤T，u
C
的初始值为0V，稳态值为10V，时间常数为RC。由三要素法可求得u
C
(t)为
)e1(10)(
C
τ
=
t
tu
因为τ = T = RC，故
)
e
1
1(10)(
C
=Tu
在放电阶段，T≤ t ≤2T，u
C
的初始值为u
C
（T），稳态值为U-，时间常数不变。
由三要素法求得
[] []0
e
1
)(e)()2(
2
C
=?+=?+=
τ
UTUUUTUUTu
TT
由此可解得
V
e
10
e1
)
e
1
1(10
=
=
U
【解2】仔细分析图 6.6(c)所示的充、放电过程可以发现：两个阶段的时间常数相同，
暂态持续时间相同，而且暂态变量u
C
的变化幅度也相同。由此可以推断引发这两个响应的激励幅度也应该相同，即两个阶段的稳态值与初始值的差值相同。由此可得
S
1
S
2
R
1
R
2
L
1
L
2
i
1
i
2
E
S
i
= UTU )(10
计算结果与解1完全相同。
图6.7 例题6.8的图
【例题6.8】 图6.7所示电路中，E=30V，R
1
=6?，R
2
=4?，L
1
=0.3H，L
2
=0.2H，
电感线圈无初始电流。先合上开关S
1
，求线圈L
1
中的电流i
1；待电路稳定后再合上开关S
2
，求通过开关S
2
的电流i
S
。
第六章 电路的暂态分析 75
【解】 (1) 开关S
1
合上瞬间，根据换路定则
0)0()0(
11
==
+
ii
电路稳定后，电感线圈相当于短路，所以根据三要素法公式求i
1
(t)，得
A3
46
30
)(
21
1
=
+
=
+
=∞
RR
E
i
s05.0
46
2.03.0
21
21
1
=
+
+
=
+
+
=
RR
LL
τ
A3)0()0(
A3)0()0(
22
11
==
==
+
+
ii
ii
[ ] A)e1(3e33e)()0()()(
2005.0//
1111
ttt
iiit
+
=?=∞?+∞=
τ
i
(2) 开关S
2
合上瞬间，电感L
1
,L
2
的电流仍应保持原来的稳定值，即电路稳定后，电感L
1
相当于短路，电感L
2
及R
2
串联支路被开关S
2
短接，所以
0)(
A5
6
30
)(
2
1
1
=∞
===∞
i
R
E
i
电路时间常数应分别求出为
s05.0
6
3.0
1
1
1
===
R
L
τ
s05.0
4
2.0
2
2
2
===
R
L
τ
根据三要素法分别求 i
1
(t), i
2
(t)及i
S
(t)得
[ ] Ae25e)53(5e)()0()()(
2005.0//
1111
1
ttt
iiit
+
=?+=∞?+∞=
τ
i
i [] Ae3e)()0()()(
20/
2222
2
tt
iiit
+
=∞?+∞=
τ
i A)e1(5e3e25)()()(
202020
21S
ttt
titit
==?=
【例题6.9】有一电阻网络N，接成图6.8(a)时，测得u
C
=6V；接成图6.8(b)时，测得i
L
=5mA。如果接成图6.8(c)，并已知C=10μF,R=0.8k?，u
C
(0-)=4V，试求t ≥0时的u
C
和i
C
。
【解】 由图6.8(a)和(b)可知，电阻网络N（包含10V电源在内）的开路电压为6V，
短接电流为5mA，并由此来求出等效有源二端网络的等效电阻R
0
，即
75
电工学试题精选与答题技巧 76
Ve36.05.1
)()()(
6
103.2
CBA
t
tutvtv
×?
+
=?=
V/u
U
t
TT
uuC
R
C
O
2
01
V/u
U
t
TT
O
2
01
(a)例题电路(b)输入电压 (c)输出电压
图6.5 例题6.6的图
【例题6.7】 有一RC电路如图6.6(a) 所示，其输入电压如图6.6(b)所示。设u
C
(0)=
0，脉冲宽度T=RC。试求负脉冲幅度U-等于多大才能在t=2T时使得u
C
= 0。
【解1】 暂态过程可以分为充电和放电两个阶段。
在充电阶段，0≤t≤T，u
C
的初始值为0V，稳态值为10V，时间常数为RC。由三要素法可求得u
C
(t)为
)e1(10)(
C
τ
=
t
tu
因为τ = T = RC，故
)
e
1
1(10)(
C
=Tu
在放电阶段，T≤ t ≤2T，u
C
的初始值为u
C
（T），稳态值为U-，时间常数不变。
由三要素法求得
[] []0
e
1
)(e)()2(
2
C
=?+=?+=
τ
UTUUUTUUTu
TT
由此可解得
V
e
10
e1
)
e
1
1(10
=
=
U
【解2】仔细分析图 6.6(c)所示的充、放电过程可以发现：两个阶段的时间常数相同，
暂态持续时间相同，而且暂态变量u
C
的变化幅度也相同。由此可以推断引发这两个响应的激励幅度也应该相同，即两个阶段的稳态值与初始值的差值相同。由此可得
S
1
S
2
R
1
R
2
L
1
L
2
i
1
i
2
E
S
i
= UTU )(10
计算结果与解1完全相同。
图6.7 例题6.8的图
【例题6.8】 图6.7所示电路中，E=30V，R
1
=6?，R
2
=4?，L
1
=0.3H，L
2
=0.2H，
电感线圈无初始电流。先合上开关S
1
，求线圈L
1
中的电流i
1；待电路稳定后再合上开关S
2
，求通过开关S
2
的电流i
S
。
第六章 电路的暂态分析 77
【解】 (1) 开关S
1
合上瞬间，根据换路定则
0)0()0(
11
==
+
ii
电路稳定后，电感线圈相当于短路，所以根据三要素法公式求i
1
(t)，得
A3
46
30
)(
21
1
=
+
=
+
=∞
RR
E
i
s05.0
46
2.03.0
21
21
1
=
+
+
=
+
+
=
RR
LL
τ
A3)0()0(
A3)0()0(
22
11
==
==
+
+
ii
ii
[ ] A)e1(3e33e)()0()()(
2005.0//
1111
ttt
iiit
+
=?=∞?+∞=
τ
i
(2) 开关S
2
合上瞬间，电感L
1
,L
2
的电流仍应保持原来的稳定值，即电路稳定后，电感L
1
相当于短路，电感L
2
及R
2
串联支路被开关S
2
短接，所以
0)(
A5
6
30
)(
2
1
1
=∞
===∞
i
R
E
i
电路时间常数应分别求出为
s05.0
6
3.0
1
1
1
===
R
L
τ
s05.0
4
2.0
2
2
2
===
R
L
τ
根据三要素法分别求 i
1
(t), i
2
(t)及i
S
(t)得
[ ] Ae25e)53(5e)()0()()(
2005.0//
1111
1
ttt
iiit
+
=?+=∞?+∞=
τ
i
i [] Ae3e)()0()()(
20/
2222
2
tt
iiit
+
=∞?+∞=
τ
i A)e1(5e3e25)()()(
202020
21S
ttt
titit
==?=
【例题6.9】有一电阻网络N，接成图6.8(a)时，测得u
C
=6V；接成图6.8(b)时，测得i
L
=5mA。如果接成图6.8(c)，并已知C=10μF,R=0.8k?，u
C
(0-)=4V，试求t≥0时的u
C
和i
C
。
【解】 由图6.8(a)和(b)可知，电阻网络N（包含10V电源在内）的开路电压为6V，
短接电流为5mA，并由此来求出等效有源二端网络的等效电阻R
0
，即
77
电工学试题精选与答题技巧 78
== k2.1
5
6
0
R
V10
N
R
C
u
C
0.8k?
F10μ
6V
L
V10
N
i
L
H1
5mA
N
R
C
V10
14V
u
C
0=t
(a) (b)
(c)
图6.8 例题6.9的电路
C
R
0=t
C
u
C
i
V6
1.2k?
14V
图6.8(c)可画成图6.9，而后用三要素法计算。
确定初始值和稳态值
V4)0()0(
CC
==
+
uu
V20146)(
C
=+=∞u
确定时间常数
图6.9 例题6.9的等效电路
s1020101010)8.02.1(
)(
363
0
×=×××+
=+= CRRτ
于是得
Ve1620e)204(20)(
50
20
10
C
3
t
t
tu
=?+=
[] mA8eAe108e)50()16(1010
d
d
)(
50503506C
C
ttt
t
u
ti
=×=?×?×==
【例题6.10】 在图6.10中，求u
o
。
A
i
t
R
0
3
R
R4
i
u
i
u mV/
i
i
C
i
u
o
C
u
C
图6.10 例题6.10的电路
第六章 电路的暂态分析 79
【解1】 列微分方程，用经典法求u
C
和u
o
iC
iii +=
R
u
t
u
C
R
uu
CCCi
d
d
+=
化简得
C
C
i
2
d
d
u
t
u
RCu +=
mV)e1(
2
3
2
C
t
RC
u
=
mV)1e(64
4
2
CCo
=?=?=
t
RC
uu
R
R
u
解微分方程，得
【解2】 用三要素法求u
C
。因为图6.10中A点为虚地点，所以可将原电路的左部化成图6.11所示。
R
R
i
u
A
C
u
C
由三要素法公式得
s
2
RC
C
RR
RR
=
+
=τ
0)0()0(
CC
==
+
uu
图6.11 解题6.10的图
mV5.13)(
C
=×
+
=∞
RR
R
u
)mVe1.5(1e)5.10(5.1)(
22
C
t
RC
t
RC
tu
=?+=
mV)e1(
2
3
)(
2
C
t
RC
tu
=
与解1同理
mV)1e(64
4
2
CCo
=?=?=
t
RC
uu
R
R
u
【例题6.11】 已知图6.12中C = 0.2F零状态响应为
V)e1(20)(
5.0
C
t
tu
=
现若C = 0.05F，且求u
C
(0
-
) =5V，其他条件不变，再求t > 0 时的u
C
(t) 。
E
C
u
C
0
R
网络电阻含源
C u
C
图6.12 例题6.11的图图6.13 例题6.11的等效电路
79
电工学试题精选与答题技巧 80
【解】 作出等效电路如图6.13所示。首先来确定含源电阻网络的戴维南等效电路的参数。由图6.13求出零状态响应为
u V)e1()(
1
/
C
τt
Et
=
又知
u 0.2FCV)e1(20)(
5.0
C
=?=
t
t
对比可以得出
=== 10/2V20
0
CRE
当电容为0.05F，且u
C
(0-) =5V时的响应为零输入响应与零状态响应之和。即
u )e1(e)0()(
22
//
CC
ττ tt
Eut
+
+=
其中
s5.005.010
V5)0()0(
202
CC
=×==
==
+
CR
uu
τ
u Ve1520)e1(20e5)(
222
C
ttt
t
=?+=
【例题6.12】 图6.14所示方框P为一不含独立电源的线性电路，电路参数固定。
在t=0时接通电源开关S，并在ab端接不同电路元件时，ab两端有不同的零状态响应。
已知
(1) ab端接电阻R=2?时，此响应为
V)e1(
4
1
)(
ab1
t
tu
=
(2) ab端接电容C=1F时，此响应为
V)e1(
2
1
)(
4/
2ab
t
tu
=
求将此电阻R，电容C并联接到ab端时，此时的响应表达式。
b
aS
u
ab2
u
ab1
t 0=
E
R C
P
P C
E
u
ab3
t 0=
S
R
b
a
图6.14 例题6.12的电路
【解】 此题应先推算出P网络的电路模型，并判断出电源电动势，然后再进一步求出解答。按照已知条件：当ab端接电阻或电容时的零状态响应分别为
V)e1(
4
1
)(
ab1
t
tu
=
V)e1(
2
1
)(
4/
ab2
t
tu
=
可见两种情况下均为一阶电路的零状态响应。一阶电路可以由RC或RL电路组成，但按照已知条件，ab端接电容后仍为一阶电路，由此可以推断，P网络是由RC元件组成的，其最简单的电路模型如图6.15所示。E为直流电源，在此情况下，ab端接R或接
第六章 电路的暂态分析 81
C时，均属于一阶电路与直流电源接通的响应。开关动作的时间为t = 0。
b
aS
u
ab2
u
ab1
t 0=
E
R C
P
C
E
u
ab3
t 0=
S
R
b
a
0
C
0
R
0
R
0
C
图6.15 例题6.12的等效电路
根据所得电路模型，当ab端接电阻或电容时，由电路模型求解推导ab两端不同零状态响应u
ab
(t)的时间常数和稳态值，并与已知的u
ab1
(t),u
ab2
(t)相比较，就可以求解电路模型的参数。
(1) 当ab端接R=2?电阻时
V
4
1
2
2
)(
00
ab1
=
+
=
+
=∞ E
R
E
RR
R
u
s1
2
2
0
00
0
0
0
1
=
+
=
+
=
R
CR
C
RR
RR
τ
(2) 当ab端接C =1F电容时
( ) s41)(
00002
=+=+= CRCCRτ
V
2
1
)(
ab2
==∞ Eu
由此解出元件参数
FCRE 12V5.0
00
=?==
(3) 当电阻R,电容C并联接到ab端时，由三要素法
s2)(
0
0
0
3
=+
+
= CC
RR
RR
τ
0)0()0(
ab3ab3
==
+
uu
V25.0)(
0
3ab
=
+
=∞ E
RR
R
u
V)e1(25.0)(
5.0
ab3
t
tu
=
【例题6.13】 电路如图6.16所示，t = 0时，开关由a掷向b，开关动作以前电路已经处于稳态。试求t ≥0时的u
C
(t)。并绘出u
C
(t)曲线。
S
i
ba
V10
10?
F2μ
40V
2.0 i
0=t
u
C
10
81
图6.16 例题6.13的电路
电工学试题精选与答题技巧 82
E
u
C
0
R
F2μ
V/
t
u
C
O
40
10
(a)等效电路(b)响应曲线
图6.17 例题6.13的图
【解】 由换路前的电路计算
V40)0(
C
=
u
换路后的电路包含有受控源，宜用等效变换的方法将电路化简之后再求解。为此将电容以外的电路用戴维南等效电路代替，作出的等效电路如图6.17(a)所示。其中的E和R
0
经计算得出
== 5.12V10
0
RE
用三要素法求全响应u
C
(t)
u V40)0()0(
CC
==
+
u
u V10)(
C
==∞ E
s10251025.12
66
0
×=××== CRτ
Ve3010e)1040(10)(
4
6
104
1025
C
t
t
t
×?
×
+=?+=
u
u
C
(t) 的曲线如图6.17(b)所示。
【例题6.14】 在图6.18所示电路中，已知E=10V，L=100μH，C
2
=50μF,
R
1
=R
2
=100?。换路前电路无初始储能，如果从开关S闭合瞬间开始，i(t)就一直为常数，
试求R
3
、C和i(t)。
【解】 根据题意，t ≥0后i(t)恒定，得
1
R
2
R
3
R
C
i
S
0t =
E
L
i
C
i
R
i
)()0( ∞=
+
ii
100
1010
)0(
323
+=+=
+
RR
E
R
E
i
A2.0
1010
)(
1
=+=+=∞
E
R
E
i
所以
=100
3
R
又因为
1
L
1()(
R
E
ti?=
100100
2
R
图6.18 例题6.14的图
1
1
/
)e
1
R
L
t
=
τ
τ
第六章 电路的暂态分析 83
CR
R
E
t
t
32
/
3
C
2
e)( ==
τ
τ
i
i A2.01.0e1.0)e1(1.0)()()()(
21
//
RCL
=++?=++=
ττ tt
tititit
所以
Hμ01.0
100100
10100
ee
6
31
3
1
21
//
21
=
×
×
==
=
=
=
RR
L
C
CR
R
L
tt
ττ
ττ
二、习题精选
【习题6.1】 在图6.19中，换路前各储能元件均未储能。试求在开关S闭合瞬间各元件中的电流及其两端电压。
【习题6.2】 在图6.20所示电路中，已知E = 6V，I = 6A，R
1
=R
2
=3?。电路稳定后,t = 0时两个开关同时闭合。试求换路后C和L中电流的初始值和稳态值。
S
1
R
2
R
1
C
2
C
1
L
2
L
0t =
2H
2?
V10
1H
F1μ
F2μ
8?
E
S
0t =
0t =
S
L
C
I
E
1
R
2
R
图6.19 习题6.1的图 图6.20 习题6.2的图
【习题6.3】 在图6.21所示电路中，已知E=12V，C
1
=20μF，C
2
=50μF,R
1
=10k?，
R
2
=50k?，R
3
=20k?，。换路前开关S合在a端，且电路已经稳定，此时C
2
上的电压为零。当开关S合到b端后，求：(1) u
C1
和u
C2；(2) C
1
的最大放电电流和C
2
的最大充电电流；(3) u
C1
衰减得快，还是u
C2
增长得快？
【习题6.4】 在图6.22所示电路中，E=100V，电容起始电压为零，在t =0瞬间合上开关S，经15s测得电压u
C
=95V，电流i
C
=1mA，试求电路参数R、C及在15s时电容的储能。
【习题6.5】 在图6.23所示电路中,I
S
=10mA，R
1
=5k?，R
2
=6k?，R
3
=4k?,
83
电工学试题精选与答题技巧 84
C=100μF。电路原来已经稳定，在t =0瞬间断开开关S，求开关两端电压u(t)。
1
C
2
C
1
R
2
R
E
S
ba
3
R
C
E
S
R
i
C
u
C
图6.21 习题6.3的图 图6.22 习题6.4的图
1
R
2
R
3
Ru
C
I
S
S
0t =
S
0t =
1
R
2
R
3
RC
1
E 2
E
i
图6.23 习题6.5的图
图6.24 习题6.6的图
【习题6.6】 在图6.24所示电路中，E
1
=10V，E
2
=60V，R
1
=10k?，R
2
=R
3
=20k?，
C=50μF。电路原来已经稳定，在t =0瞬间合上开关S，求流过开关的电流i(t)的变化规律。
【习题6.7】 在图6.25所示电路中，E
1
=E
2
=30V，R
1
=10?，R
2
=5?，R
3
=30?，L=10H，
开关原在a位置，在电路稳定时合到b位置，试求通过开关的电流i。
【习题6.8】 在图6.26所示电路中，E=36V，R
1
=32?，R
2
=40?，R
3
=10?，L=9H，
电路原来已经稳定，在t =0瞬间断开开关S,求开关两端电压u(t)。
S
1
R
2
R
3
R
E
L
u
b
a
1
E
2
E
i
1
R 2
R
3
R
L
S
图6.25 习题6.7的图
图6.26 习题6.8的图
【习题6.9】 在图6.27所示电路中，E=2V，R
1
=2?，R
2
=8?，电压表内阻R
v
=20k?，
最大耐压1000V，问是否可以突然打开开关S 。
【习题6.10】 C=1μF的电容被直流E=300V的电源充电后断开电路，经过10s电容器尚残存电荷Q=278×10
-6
C，求电容器的漏电阻R
S
。
【习题6.11】 在图6.28所示的电路中，E=100V，R=5?，C=5 000μF，熔断器的额定电流为2A，若工作电流大于额定电流6倍，持续作用20ms，熔断器将熔断。
问开关S闭合时熔断器是否会熔断；若将电容改为6 000μF，熔断器是否会熔断？
第六章 电路的暂态分析 85
S
1
R
2
R
E
L
A
V
C
S
E
R
图6.27 习题6.9的图
图6.28 习题6.11的图
【习题6.12】 在图6.29所示的电路中，已知R=10?，L=1H。S
1
合上，S
2
断开，
电路已经稳定。在t =0时S
1
断开，经0.1s后再合上S
2
，求i
R
。
R R
L R
0t =
E
2
S
s1.0=t
1
S
i
R
图6.29 习题6.12的图
【习题6.13】 在图6.30所示的电路中，E
1
=6V，E
2
=12V，R
1
=3k?，R
2
=6k?，R
3
=8k?，
C=1μF。S
1
合于端a，S
2
断开时电路已经稳定。当t =0时，将由a端合向b端，求u
C
(t)
的变化规律。当t =τ 时，又将S
2
合上，再求u
C
(t)的变化规律，画出变化曲线。
1
R
2
R
3
R
C
1
E
2
E
0t =
S
1
S
2
t τ=
C
u
a
b
图6.30 习题6.13的图
【习题6.14】 在图6.31(b)所示的电路中，已知E=3V，R
1
=3k?，R
2
=6k?，C=1μF，
电压的波形如图6.31 (a)所示，周期T=4ms。开关S在t =0时闭合。试求,
(1) 画出电压在一周期内u
C
(t)的波形图，并在图上标出t =0、t =T/2、t =T时u
C
(t)
的值；
(2) 写出区间t =0 ~T/2及区间t =T/2~ T的u
C
(t)表达式；
(3) u
C
(t)从t =0时起经过多长时间为零值。
【习题6.15】 在图6.32所示的电路中，开关S闭合前电路已经稳定。求S闭合后，
2?电阻中电流随时间变化的规律i
R
(t)。
【习题6.16】 在图6.33所示的电路中，开关S闭合前电路已经稳定。求S闭合后，
电感电流i
L
(t)和电容电压u
C
(t)随时间变化的规律。
85
电工学试题精选与答题技巧 86
1
R
2
R
C
C
u
E
S
0t =
u
4
2
O
T
2/T
/Vu
15
/mst
15?
(a)
(b)
图6.31 习题6.14的图
0t =
S
S
0t =
L
i
R
i
C
u
A1
3
0.1H
2
F10μ
10k
3V
3
6
0.5H
6V
6V
3
图6.32 习题6.15的图
图6.33 习题6.16的图
【习题6.17】 现有一电路如图6.34所示，开关S闭合前电路已经稳定，试求当S
闭合后的i
C
(t)和u
L
(t) 。
S
0t =
C
i
L
u
F1μ
10k?
3k?
3k?
1.5k?
100mH
9V
图6.34 习题6.17的图
【习题6.18】 电路如图6.35所示，开关S断开前电路已经稳定，试求S断开后的电压u(t)。
【习题6.19】 电路如图6.36所示，已知i(0) =2A，求u(t)并画出其曲线。
3?
6?
F5.0
10V
1H
2?
u
S0t =
3?
1?
)(5.0 tu
)(tu
H4
图6.35 习题6.18的图 图6.36 习题6.19的图
第六章 电路的暂态分析 87
【习题6.20】 电路如图6.37所示，开关S断开前电路已经稳定，求u
C
(t)并画出其曲线。
S
0t =
3?
1?
1
i
3
1
i
C
u
A1
2A
1F
图6.37 习题6.20的图
【习题6.21】 电路如图6.38(a)所示，t < 0时电路已经稳定，C=0.01μF，E=2V，
R
1
=2k?，R
2
=8k?，u
S
(t) 如图6.38(b)所示。试求t > 0时的u(t)，并画出波形图。
2
R
1
R
C
E
)(tu
S
)(tu
2
O
V/u
S
/mst
1
(a) (b)
图6.38 习题6.21的图
【习题6.22】 图6.39(a)中线性网络N为零状态，当u
S
(t)为6.39(b) 所示激励时，
响应u
0
(t) 如图6.39(c)所示。试将网络N的最简电路模型填入图中虚线框内。
1
105
N线性无源网络
O
O
0.5
-0.5
V/
o
u
V/u
S
5
/st
u
S
u
S
o
u
/st
o
u
(b)
(a)
(c)
图6.39 习题6.22的图
87
电工学试题精选与答题技巧 88
二,习题答案
【习题6.1】 (1)R
1
、R
2
、C
1
、C
2
初始电流均为1A；L
1
、L
2
初始电流均为0。
(2)R
1
、R
2
电压为2V、8V；C
1
、C
2
电压均为0；L
1
、L
2
电压均为8V。
【习题6.2】 电感中电流初始值为6A，稳态值为2A。
电容中电流初始值为4A，稳态值为0。
【习题6.3】 (1)
V)e1(12)(
Ve2)(
C2
2
1C
t
t
tu
tu
=
=
(2) 0.1mA,0.6mA
(3) u
C2
快
【习题6.4】 R = 5k?,C =1 000μF，W
C
=4.51J。
【习题6.5】 Ve1690)(
t
tu
=
【习题6.6】 mAe1)(
4t
ti
+=
【习题6.7】 A)1.2e7.2()(
25.1
=
t
ti
【习题6.8】 Ve24.1020)(
8t
tu
+=
【习题6.9】 否
【习题6.10】 R
S
=131M?。
【习题6.11】 否；是。
【习题6.12】 ；i。 Ae5.0)(
10
R
t
ti
= Ae092.0)1.0(
)1.0(5
R
=?
t
t
【习题6.13】 ； 。 Ve48)(
100
C
t
tu
= Ve47.18)(
)01.0(500
C
=?
t
tu τ
【习题6.14】 (1) u
C0
(0) = 3V,u
C
(T/2) = 8.06V,u
C
(T) = –2.75V。
(2) u； 。 Ve811)(
500
C
t
t
= Ve179)2/(
)2/(500
C
Tt
Ttu
+?=?
(3) t
0
= 3.27ms。
【习题6.15】 Ae5.1)(
2
R
t
ti
=
【习题6.16】 。 V)e1(6)(Ae23)(
10
C
15
L
tt
tuti
=?=
【习题6.17】 。 Ae45.0)(Ve5.4)(
100
C
10
L
4
tt
titu
==；
【习题6.18】 。 V10ee510)(
-9t
+?=
t
tu
【习题6.19】 Ve16)(
2t
tu
=
【习题6.20】 Ve63)(
C
t
tu
+?=
【习题6.21】
。；，
1ms V,0.4e-0.4)(
ms10 Ve4.02)(
)10(106.25
1025.6
34
4
>=
<≤+=
×?
×?
ttu
ttu
t
t
一,例题精解
【例题6.1】 图6.1(a)所示电路中，已知R
0
= R
1
= R
2
= R
3
=2?，C =1F，L =1H,
E =12V。电路原来处于稳定状态，t = 0时闭合开关S。试求初始值i
L
(0
+
)、i
C
(0
+
)、u
L
(0
+
)、
u
C
(0
+
)。
E
1
R
2
R
3
R
i
L
0
R
【解】 由图6.1(b) t = 0-
时的电路求
i
L
(0-)和u
C
(0-)。因为
i 0)0(0)0(
LC
==
u
所以
V412
222
2
)0(
310
3
C
=×
++
=
++
=
E
RRR
R
u
A2
222
12
)0(
310
L
=
++
=
++
=
RRR
E
i
由换路定则
E
0
R
V4)0()0(
A2)0()0(
CC
LL
==
==
+
+
uu
ii
由图6.1(c) t = 0
+
时的电路可得
+=
++=
++=
+++
+++
+++
)0()0()0(
)0()0()0(
)0()0()0(
LC
L3L1
C2C1
iii
uRiRiE
uRiRiE
E
i
+=
+×+=
++=
++
++
++
2)0()0(
)0(22)0(212
4)0(2)0(212
C
L
C
ii
ui
ii
解得
=
=
=
+
+
+
A3)0(
A1)0(
V2)0(
C
L
i
i
u
图
故所求初始值为
i
C
S
L
C
u
L
C
u
(a) 例题电路
1
R
2
R
3
R
i
L
i
C
u
L
C
u
(b) t = 0
-
时
L
C
1
R
2
R
3
R
i
L
u
L
i
C
C
u
(c) t=0
+
时
6.1 例题6.1的图
电工学试题精选与答题技巧 70
V4)0(V2)0(
A1)0(A2)0(
CL
CL
==
==
++
++
uu
ii
【例题6.2】 电路如图6.2(a)所示，已知R
0
= R
1
= R
2
= R
3
= R
4
=2?，C =300μF，I
S
=2A,
E =12V，且t = 0-时，u
C
= 0。试求开关S闭合后u
C
的变化规律
0
C
EE
b
a
a
b
0=t
0=t
C
1
R
2
R
3
R
4
R
4
R
0
R
I
S
S
S
(a) 例题电路
(b) 等效电路
图6.2 例题6.2的图
【解】 先把电容左部电路化简成电压源，如图6.2(b) 所示。
等效电压源的电动势
V82212
3S0
=×?=?= RIEE
电压源的等效电阻
=++=++= 6222
3210
RRRR
初始值
0)0()0(
CC
==
+
uu
稳态值
V28
26
2
)(
0
40
4
C
=×
+
=
+
=∞ E
RR
R
u
时间常数
s1045.010300
26
26
36
40
40
×=××
+
×
=
+
= C
RR
RR
τ
由三要素法得
V)e1(2)e1(2)(
222245/10
C
5
tt
tu
=?=
【例题6.3】 一个电感线圈被短接以后，需经0.1s后电感线圈内的电流才减少到初始值的35%；如果用5?的电阻R来代替短路线，那么需经0.05s后电感线圈内的电流才减少到初始值的35%。试求电感线圈的电阻r和电感L。
【解】 储能的电感线圈被短接时，电流的表达式为
第六章 电路的暂态分析 71
τ/
0L
e)(
t
Iti
=
其中I
0
为电感线圈的初始电流。当电感线圈被短接时，时间常数τ
1
=L/r，在t =0.1s时可得方程
Lr
II
/1.0
00
e35.0
=
而用5?的电阻R来代替短路线时，时间常数τ
2
=L/(r+R)，在t=0.05s时可得方程
Lr
II
/)5(05.0
00
e35.0
+?
=
将以上两个指数方程化为代数方程，可得
=?
=?
25.005.105.0
005.11.0
Lr
Lr
解方程组得
H476.0
05.1
5.0
5
05.0
25.0
==
==
L
r
【例题6.4】 在图6.3(a)的电路中,已知R
1
=400k?,
R
2
= R
3
=200k?,C=100pF,输入电压u
1
如图6.3(b)
所示,其中U=20V,t
p
=20μs。试求输出电压u
2
,
并画出其变化曲线。
C
u
1 u
2
R
1
R
2
R
3
【解】 根据本题输入电压的特点,我们可以分段使用一阶电路的三要素法。从电路可以看出,
无论对于输入电压波形的哪一段时间而言,电路的时间常数都是一样的,而且同电阻R
1
无关(因为电阻R
1
同电源并联在一起),所以有
(a) 例题电路
t
U
1
u
2/U?
p
3t
p
t
O
sμ10
1010010
200200
200200
123
32
32
=×××
+
×
=×
+
=
C
RR
RR
τ
(b) 输入电压
t
U
1
u
2/U?
p
3t
p
t
O
2
u
V65.8
V75.4?
(1) 当0 < t < t
p
时,输出电压
V10200
200200
20
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
(c) 输出电压
图6.3 例题6.4的图
0)0()0(
22
==
+
uu
所以
)(0Ve1010)(
p
10
2
5
tttu
t
<<?=
(2) 当 t
p
< t < 3t
p
时,输出电压
71
V5200
200200
10
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
电工学试题精选与答题技巧 72
由三要素法可得
)3(Ve65.135)(
pp
)(10
2
p
5
ttttu
tt
<<+?=
V65.8e1010e1010)()(
2
10
p2p2
p
5
=?=?==
+
t
tutu
(3) 当t > 3t
p
时,输出电压
0200
200200
0
)(
3
32
1
2
=×
+
=×
+
=∞ R
RR
u
u
V75.4e65.135)3()3(
)3(10
p2p2
pp
5
=+?==
+
tt
tutu
由三要素法可得
)3(Ve75.4)(
p
)3(10
2
p
5
tttu
tt
>?=
输出电压如图6.3(c)所示。
【例题6.5】 电路如图6.4所示,试用三要素法求t≥ 0时i
1
、i
2
的和i
L
。
【解】(1) 根据换路定则
6? S
1
i
2
i
i
L
0=t
3?
H1
12V
9V
A2
6
12
)0()0(
LL
===
+
ii
对于开关闭合的一瞬间,即t = 0
+
时的电路应用克希荷夫电流定律和克希荷夫电压定律可分别列出方程
=?=?
==+
++
+++
V3912)0(3)0(6
A2)0()0()0(
21
L21
ii
iii
图6.4 例题6.5的图
解方程后得
i A1)0()0(
21
==
++
i
(2) 稳态时电感元件可视作短路,故
A2
6
12
)(
1
==∞i
A3
3
9
)(
2
==∞i
A532)()()(
21L
=+=∞+∞=∞ iii
(3) 时间常数
s5.0
36
36
1
0
=
+
×
==
R
L
τ
第六章 电路的暂态分析 73
应用三要素法可以得出
2e)21(2)(
5.0/
1
t
ti
=?+=
3e)31(3)(
5.0/
2
t
ti
=?+=
e)52(5)(
5.0/t
L
ti
=?+=
【例题6.6】 电路如图6.5(a)所示，换路前已处于稳态
B点电位v
B
和A点电位v
A
的变化规律。
【解】 (1) 求t≥0时的电容电压u
C
V15
255
)6(0
)0()0(
CC
=×
+
==
+
uu
[]
s1044.0
10100105//)2510(
6
123
×
=×××+=τ
V5.15
25510
)6(6
)(
C
=×
++
=∞u
故
Ve5.05.1
e)5.11(5.1)(
6
6
103.2
1044.0/
C
t
t
tu
×?
×?
=?+=
(2) 求t≥ 0时的B点电位v
C
注意，t = 0
+
时，由于电容中存在电流,
0
d
d
C
C
≠=
t
u
Ci
因此10k和5k电阻中的电流不等。
V86.214.3610
2510
112
6)0(
B
=?=×
+
=
+
v
V310
25510
12
6)(
B
=×
++
=∞v
Ve14.03
e)386.2(3)(
6
6
103.2
103.2
B
t
t
tv
×?
×?
=?+=
(3) 求t≥ 0时的A点电位v
C
2t?
Ae?
Ae2
2t?
Ae35
2t?
，试求t ≥ 0时电容电压u
C
、
10k?
+6V
100pF
A
B
S
t=0
25k?
5k?
u
C
V6?
(a) 例题电路
+6V
100pF
A
B
25k?
10k?
5k?
u
C
V6?
(b) t = 0-时
+6V
A
B
25k?
10k?
5k?
1V
V6?
(c) t = 0
+
时
图6.5 例题6.6的图
73
电工学试题精选与答题技巧 74
Ve36.05.1
)()()(
6
103.2
CBA
t
tutvtv
×?
+
=?=
V/u
U
t
TT
uuC
R
C
O
2
01
V/u
U
t
TT
O
2
01
(a)例题电路(b)输入电压 (c)输出电压
图6.5 例题6.6的图
【例题6.7】 有一RC电路如图6.6(a) 所示，其输入电压如图6.6(b)所示。设u
C
(0)=
0，脉冲宽度T=RC。试求负脉冲幅度U-等于多大才能在t=2T时使得u
C
= 0。
【解1】 暂态过程可以分为充电和放电两个阶段。
在充电阶段，0≤t≤T，u
C
的初始值为0V，稳态值为10V，时间常数为RC。由三要素法可求得u
C
(t)为
)e1(10)(
C
τ
=
t
tu
因为τ = T = RC，故
)
e
1
1(10)(
C
=Tu
在放电阶段，T≤ t ≤2T，u
C
的初始值为u
C
（T），稳态值为U-，时间常数不变。
由三要素法求得
[] []0
e
1
)(e)()2(
2
C
=?+=?+=
τ
UTUUUTUUTu
TT
由此可解得
V
e
10
e1
)
e
1
1(10
=
=
U
【解2】仔细分析图 6.6(c)所示的充、放电过程可以发现：两个阶段的时间常数相同，
暂态持续时间相同，而且暂态变量u
C
的变化幅度也相同。由此可以推断引发这两个响应的激励幅度也应该相同，即两个阶段的稳态值与初始值的差值相同。由此可得
S
1
S
2
R
1
R
2
L
1
L
2
i
1
i
2
E
S
i
= UTU )(10
计算结果与解1完全相同。
图6.7 例题6.8的图
【例题6.8】 图6.7所示电路中，E=30V，R
1
=6?，R
2
=4?，L
1
=0.3H，L
2
=0.2H，
电感线圈无初始电流。先合上开关S
1
，求线圈L
1
中的电流i
1；待电路稳定后再合上开关S
2
，求通过开关S
2
的电流i
S
。
第六章 电路的暂态分析 75
【解】 (1) 开关S
1
合上瞬间，根据换路定则
0)0()0(
11
==
+
ii
电路稳定后，电感线圈相当于短路，所以根据三要素法公式求i
1
(t)，得
A3
46
30
)(
21
1
=
+
=
+
=∞
RR
E
i
s05.0
46
2.03.0
21
21
1
=
+
+
=
+
+
=
RR
LL
τ
A3)0()0(
A3)0()0(
22
11
==
==
+
+
ii
ii
[ ] A)e1(3e33e)()0()()(
2005.0//
1111
ttt
iiit
+
=?=∞?+∞=
τ
i
(2) 开关S
2
合上瞬间，电感L
1
,L
2
的电流仍应保持原来的稳定值，即电路稳定后，电感L
1
相当于短路，电感L
2
及R
2
串联支路被开关S
2
短接，所以
0)(
A5
6
30
)(
2
1
1
=∞
===∞
i
R
E
i
电路时间常数应分别求出为
s05.0
6
3.0
1
1
1
===
R
L
τ
s05.0
4
2.0
2
2
2
===
R
L
τ
根据三要素法分别求 i
1
(t), i
2
(t)及i
S
(t)得
[ ] Ae25e)53(5e)()0()()(
2005.0//
1111
1
ttt
iiit
+
=?+=∞?+∞=
τ
i
i [] Ae3e)()0()()(
20/
2222
2
tt
iiit
+
=∞?+∞=
τ
i A)e1(5e3e25)()()(
202020
21S
ttt
titit
==?=
【例题6.9】有一电阻网络N，接成图6.8(a)时，测得u
C
=6V；接成图6.8(b)时，测得i
L
=5mA。如果接成图6.8(c)，并已知C=10μF,R=0.8k?，u
C
(0-)=4V，试求t ≥0时的u
C
和i
C
。
【解】 由图6.8(a)和(b)可知，电阻网络N（包含10V电源在内）的开路电压为6V，
短接电流为5mA，并由此来求出等效有源二端网络的等效电阻R
0
，即
75
电工学试题精选与答题技巧 76
Ve36.05.1
)()()(
6
103.2
CBA
t
tutvtv
×?
+
=?=
V/u
U
t
TT
uuC
R
C
O
2
01
V/u
U
t
TT
O
2
01
(a)例题电路(b)输入电压 (c)输出电压
图6.5 例题6.6的图
【例题6.7】 有一RC电路如图6.6(a) 所示，其输入电压如图6.6(b)所示。设u
C
(0)=
0，脉冲宽度T=RC。试求负脉冲幅度U-等于多大才能在t=2T时使得u
C
= 0。
【解1】 暂态过程可以分为充电和放电两个阶段。
在充电阶段，0≤t≤T，u
C
的初始值为0V，稳态值为10V，时间常数为RC。由三要素法可求得u
C
(t)为
)e1(10)(
C
τ
=
t
tu
因为τ = T = RC，故
)
e
1
1(10)(
C
=Tu
在放电阶段，T≤ t ≤2T，u
C
的初始值为u
C
（T），稳态值为U-，时间常数不变。
由三要素法求得
[] []0
e
1
)(e)()2(
2
C
=?+=?+=
τ
UTUUUTUUTu
TT
由此可解得
V
e
10
e1
)
e
1
1(10
=
=
U
【解2】仔细分析图 6.6(c)所示的充、放电过程可以发现：两个阶段的时间常数相同，
暂态持续时间相同，而且暂态变量u
C
的变化幅度也相同。由此可以推断引发这两个响应的激励幅度也应该相同，即两个阶段的稳态值与初始值的差值相同。由此可得
S
1
S
2
R
1
R
2
L
1
L
2
i
1
i
2
E
S
i
= UTU )(10
计算结果与解1完全相同。
图6.7 例题6.8的图
【例题6.8】 图6.7所示电路中，E=30V，R
1
=6?，R
2
=4?，L
1
=0.3H，L
2
=0.2H，
电感线圈无初始电流。先合上开关S
1
，求线圈L
1
中的电流i
1；待电路稳定后再合上开关S
2
，求通过开关S
2
的电流i
S
。
第六章 电路的暂态分析 77
【解】 (1) 开关S
1
合上瞬间，根据换路定则
0)0()0(
11
==
+
ii
电路稳定后，电感线圈相当于短路，所以根据三要素法公式求i
1
(t)，得
A3
46
30
)(
21
1
=
+
=
+
=∞
RR
E
i
s05.0
46
2.03.0
21
21
1
=
+
+
=
+
+
=
RR
LL
τ
A3)0()0(
A3)0()0(
22
11
==
==
+
+
ii
ii
[ ] A)e1(3e33e)()0()()(
2005.0//
1111
ttt
iiit
+
=?=∞?+∞=
τ
i
(2) 开关S
2
合上瞬间，电感L
1
,L
2
的电流仍应保持原来的稳定值，即电路稳定后，电感L
1
相当于短路，电感L
2
及R
2
串联支路被开关S
2
短接，所以
0)(
A5
6
30
)(
2
1
1
=∞
===∞
i
R
E
i
电路时间常数应分别求出为
s05.0
6
3.0
1
1
1
===
R
L
τ
s05.0
4
2.0
2
2
2
===
R
L
τ
根据三要素法分别求 i
1
(t), i
2
(t)及i
S
(t)得
[ ] Ae25e)53(5e)()0()()(
2005.0//
1111
1
ttt
iiit
+
=?+=∞?+∞=
τ
i
i [] Ae3e)()0()()(
20/
2222
2
tt
iiit
+
=∞?+∞=
τ
i A)e1(5e3e25)()()(
202020
21S
ttt
titit
==?=
【例题6.9】有一电阻网络N，接成图6.8(a)时，测得u
C
=6V；接成图6.8(b)时，测得i
L
=5mA。如果接成图6.8(c)，并已知C=10μF,R=0.8k?，u
C
(0-)=4V，试求t≥0时的u
C
和i
C
。
【解】 由图6.8(a)和(b)可知，电阻网络N（包含10V电源在内）的开路电压为6V，
短接电流为5mA，并由此来求出等效有源二端网络的等效电阻R
0
，即
77
电工学试题精选与答题技巧 78
== k2.1
5
6
0
R
V10
N
R
C
u
C
0.8k?
F10μ
6V
L
V10
N
i
L
H1
5mA
N
R
C
V10
14V
u
C
0=t
(a) (b)
(c)
图6.8 例题6.9的电路
C
R
0=t
C
u
C
i
V6
1.2k?
14V
图6.8(c)可画成图6.9，而后用三要素法计算。
确定初始值和稳态值
V4)0()0(
CC
==
+
uu
V20146)(
C
=+=∞u
确定时间常数
图6.9 例题6.9的等效电路
s1020101010)8.02.1(
)(
363
0
×=×××+
=+= CRRτ
于是得
Ve1620e)204(20)(
50
20
10
C
3
t
t
tu
=?+=
[] mA8eAe108e)50()16(1010
d
d
)(
50503506C
C
ttt
t
u
ti
=×=?×?×==
【例题6.10】 在图6.10中，求u
o
。
A
i
t
R
0
3
R
R4
i
u
i
u mV/
i
i
C
i
u
o
C
u
C
图6.10 例题6.10的电路
第六章 电路的暂态分析 79
【解1】 列微分方程，用经典法求u
C
和u
o
iC
iii +=
R
u
t
u
C
R
uu
CCCi
d
d
+=
化简得
C
C
i
2
d
d
u
t
u
RCu +=
mV)e1(
2
3
2
C
t
RC
u
=
mV)1e(64
4
2
CCo
=?=?=
t
RC
uu
R
R
u
解微分方程，得
【解2】 用三要素法求u
C
。因为图6.10中A点为虚地点，所以可将原电路的左部化成图6.11所示。
R
R
i
u
A
C
u
C
由三要素法公式得
s
2
RC
C
RR
RR
=
+
=τ
0)0()0(
CC
==
+
uu
图6.11 解题6.10的图
mV5.13)(
C
=×
+
=∞
RR
R
u
)mVe1.5(1e)5.10(5.1)(
22
C
t
RC
t
RC
tu
=?+=
mV)e1(
2
3
)(
2
C
t
RC
tu
=
与解1同理
mV)1e(64
4
2
CCo
=?=?=
t
RC
uu
R
R
u
【例题6.11】 已知图6.12中C = 0.2F零状态响应为
V)e1(20)(
5.0
C
t
tu
=
现若C = 0.05F，且求u
C
(0
-
) =5V，其他条件不变，再求t > 0 时的u
C
(t) 。
E
C
u
C
0
R
网络电阻含源
C u
C
图6.12 例题6.11的图图6.13 例题6.11的等效电路
79
电工学试题精选与答题技巧 80
【解】 作出等效电路如图6.13所示。首先来确定含源电阻网络的戴维南等效电路的参数。由图6.13求出零状态响应为
u V)e1()(
1
/
C
τt
Et
=
又知
u 0.2FCV)e1(20)(
5.0
C
=?=
t
t
对比可以得出
=== 10/2V20
0
CRE
当电容为0.05F，且u
C
(0-) =5V时的响应为零输入响应与零状态响应之和。即
u )e1(e)0()(
22
//
CC
ττ tt
Eut
+
+=
其中
s5.005.010
V5)0()0(
202
CC
=×==
==
+
CR
uu
τ
u Ve1520)e1(20e5)(
222
C
ttt
t
=?+=
【例题6.12】 图6.14所示方框P为一不含独立电源的线性电路，电路参数固定。
在t=0时接通电源开关S，并在ab端接不同电路元件时，ab两端有不同的零状态响应。
已知
(1) ab端接电阻R=2?时，此响应为
V)e1(
4
1
)(
ab1
t
tu
=
(2) ab端接电容C=1F时，此响应为
V)e1(
2
1
)(
4/
2ab
t
tu
=
求将此电阻R，电容C并联接到ab端时，此时的响应表达式。
b
aS
u
ab2
u
ab1
t 0=
E
R C
P
P C
E
u
ab3
t 0=
S
R
b
a
图6.14 例题6.12的电路
【解】 此题应先推算出P网络的电路模型，并判断出电源电动势，然后再进一步求出解答。按照已知条件：当ab端接电阻或电容时的零状态响应分别为
V)e1(
4
1
)(
ab1
t
tu
=
V)e1(
2
1
)(
4/
ab2
t
tu
=
可见两种情况下均为一阶电路的零状态响应。一阶电路可以由RC或RL电路组成，但按照已知条件，ab端接电容后仍为一阶电路，由此可以推断，P网络是由RC元件组成的，其最简单的电路模型如图6.15所示。E为直流电源，在此情况下，ab端接R或接
第六章 电路的暂态分析 81
C时，均属于一阶电路与直流电源接通的响应。开关动作的时间为t = 0。
b
aS
u
ab2
u
ab1
t 0=
E
R C
P
C
E
u
ab3
t 0=
S
R
b
a
0
C
0
R
0
R
0
C
图6.15 例题6.12的等效电路
根据所得电路模型，当ab端接电阻或电容时，由电路模型求解推导ab两端不同零状态响应u
ab
(t)的时间常数和稳态值，并与已知的u
ab1
(t),u
ab2
(t)相比较，就可以求解电路模型的参数。
(1) 当ab端接R=2?电阻时
V
4
1
2
2
)(
00
ab1
=
+
=
+
=∞ E
R
E
RR
R
u
s1
2
2
0
00
0
0
0
1
=
+
=
+
=
R
CR
C
RR
RR
τ
(2) 当ab端接C =1F电容时
( ) s41)(
00002
=+=+= CRCCRτ
V
2
1
)(
ab2
==∞ Eu
由此解出元件参数
FCRE 12V5.0
00
=?==
(3) 当电阻R,电容C并联接到ab端时，由三要素法
s2)(
0
0
0
3
=+
+
= CC
RR
RR
τ
0)0()0(
ab3ab3
==
+
uu
V25.0)(
0
3ab
=
+
=∞ E
RR
R
u
V)e1(25.0)(
5.0
ab3
t
tu
=
【例题6.13】 电路如图6.16所示，t = 0时，开关由a掷向b，开关动作以前电路已经处于稳态。试求t ≥0时的u
C
(t)。并绘出u
C
(t)曲线。
S
i
ba
V10
10?
F2μ
40V
2.0 i
0=t
u
C
10
81
图6.16 例题6.13的电路
电工学试题精选与答题技巧 82
E
u
C
0
R
F2μ
V/
t
u
C
O
40
10
(a)等效电路(b)响应曲线
图6.17 例题6.13的图
【解】 由换路前的电路计算
V40)0(
C
=
u
换路后的电路包含有受控源，宜用等效变换的方法将电路化简之后再求解。为此将电容以外的电路用戴维南等效电路代替，作出的等效电路如图6.17(a)所示。其中的E和R
0
经计算得出
== 5.12V10
0
RE
用三要素法求全响应u
C
(t)
u V40)0()0(
CC
==
+
u
u V10)(
C
==∞ E
s10251025.12
66
0
×=××== CRτ
Ve3010e)1040(10)(
4
6
104
1025
C
t
t
t
×?
×
+=?+=
u
u
C
(t) 的曲线如图6.17(b)所示。
【例题6.14】 在图6.18所示电路中，已知E=10V，L=100μH，C
2
=50μF,
R
1
=R
2
=100?。换路前电路无初始储能，如果从开关S闭合瞬间开始，i(t)就一直为常数，
试求R
3
、C和i(t)。
【解】 根据题意，t ≥0后i(t)恒定，得
1
R
2
R
3
R
C
i
S
0t =
E
L
i
C
i
R
i
)()0( ∞=
+
ii
100
1010
)0(
323
+=+=
+
RR
E
R
E
i
A2.0
1010
)(
1
=+=+=∞
E
R
E
i
所以
=100
3
R
又因为
1
L
1()(
R
E
ti?=
100100
2
R
图6.18 例题6.14的图
1
1
/
)e
1
R
L
t
=
τ
τ
第六章 电路的暂态分析 83
CR
R
E
t
t
32
/
3
C
2
e)( ==
τ
τ
i
i A2.01.0e1.0)e1(1.0)()()()(
21
//
RCL
=++?=++=
ττ tt
tititit
所以
Hμ01.0
100100
10100
ee
6
31
3
1
21
//
21
=
×
×
==
=
=
=
RR
L
C
CR
R
L
tt
ττ
ττ
二、习题精选
【习题6.1】 在图6.19中，换路前各储能元件均未储能。试求在开关S闭合瞬间各元件中的电流及其两端电压。
【习题6.2】 在图6.20所示电路中，已知E = 6V，I = 6A，R
1
=R
2
=3?。电路稳定后,t = 0时两个开关同时闭合。试求换路后C和L中电流的初始值和稳态值。
S
1
R
2
R
1
C
2
C
1
L
2
L
0t =
2H
2?
V10
1H
F1μ
F2μ
8?
E
S
0t =
0t =
S
L
C
I
E
1
R
2
R
图6.19 习题6.1的图 图6.20 习题6.2的图
【习题6.3】 在图6.21所示电路中，已知E=12V，C
1
=20μF，C
2
=50μF,R
1
=10k?，
R
2
=50k?，R
3
=20k?，。换路前开关S合在a端，且电路已经稳定，此时C
2
上的电压为零。当开关S合到b端后，求：(1) u
C1
和u
C2；(2) C
1
的最大放电电流和C
2
的最大充电电流；(3) u
C1
衰减得快，还是u
C2
增长得快？
【习题6.4】 在图6.22所示电路中，E=100V，电容起始电压为零，在t =0瞬间合上开关S，经15s测得电压u
C
=95V，电流i
C
=1mA，试求电路参数R、C及在15s时电容的储能。
【习题6.5】 在图6.23所示电路中,I
S
=10mA，R
1
=5k?，R
2
=6k?，R
3
=4k?,
83
电工学试题精选与答题技巧 84
C=100μF。电路原来已经稳定，在t =0瞬间断开开关S，求开关两端电压u(t)。
1
C
2
C
1
R
2
R
E
S
ba
3
R
C
E
S
R
i
C
u
C
图6.21 习题6.3的图 图6.22 习题6.4的图
1
R
2
R
3
Ru
C
I
S
S
0t =
S
0t =
1
R
2
R
3
RC
1
E 2
E
i
图6.23 习题6.5的图
图6.24 习题6.6的图
【习题6.6】 在图6.24所示电路中，E
1
=10V，E
2
=60V，R
1
=10k?，R
2
=R
3
=20k?，
C=50μF。电路原来已经稳定，在t =0瞬间合上开关S，求流过开关的电流i(t)的变化规律。
【习题6.7】 在图6.25所示电路中，E
1
=E
2
=30V，R
1
=10?，R
2
=5?，R
3
=30?，L=10H，
开关原在a位置，在电路稳定时合到b位置，试求通过开关的电流i。
【习题6.8】 在图6.26所示电路中，E=36V，R
1
=32?，R
2
=40?，R
3
=10?，L=9H，
电路原来已经稳定，在t =0瞬间断开开关S,求开关两端电压u(t)。
S
1
R
2
R
3
R
E
L
u
b
a
1
E
2
E
i
1
R 2
R
3
R
L
S
图6.25 习题6.7的图
图6.26 习题6.8的图
【习题6.9】 在图6.27所示电路中，E=2V，R
1
=2?，R
2
=8?，电压表内阻R
v
=20k?，
最大耐压1000V，问是否可以突然打开开关S 。
【习题6.10】 C=1μF的电容被直流E=300V的电源充电后断开电路，经过10s电容器尚残存电荷Q=278×10
-6
C，求电容器的漏电阻R
S
。
【习题6.11】 在图6.28所示的电路中，E=100V，R=5?，C=5 000μF，熔断器的额定电流为2A，若工作电流大于额定电流6倍，持续作用20ms，熔断器将熔断。
问开关S闭合时熔断器是否会熔断；若将电容改为6 000μF，熔断器是否会熔断？
第六章 电路的暂态分析 85
S
1
R
2
R
E
L
A
V
C
S
E
R
图6.27 习题6.9的图
图6.28 习题6.11的图
【习题6.12】 在图6.29所示的电路中，已知R=10?，L=1H。S
1
合上，S
2
断开，
电路已经稳定。在t =0时S
1
断开，经0.1s后再合上S
2
，求i
R
。
R R
L R
0t =
E
2
S
s1.0=t
1
S
i
R
图6.29 习题6.12的图
【习题6.13】 在图6.30所示的电路中，E
1
=6V，E
2
=12V，R
1
=3k?，R
2
=6k?，R
3
=8k?，
C=1μF。S
1
合于端a，S
2
断开时电路已经稳定。当t =0时，将由a端合向b端，求u
C
(t)
的变化规律。当t =τ 时，又将S
2
合上，再求u
C
(t)的变化规律，画出变化曲线。
1
R
2
R
3
R
C
1
E
2
E
0t =
S
1
S
2
t τ=
C
u
a
b
图6.30 习题6.13的图
【习题6.14】 在图6.31(b)所示的电路中，已知E=3V，R
1
=3k?，R
2
=6k?，C=1μF，
电压的波形如图6.31 (a)所示，周期T=4ms。开关S在t =0时闭合。试求,
(1) 画出电压在一周期内u
C
(t)的波形图，并在图上标出t =0、t =T/2、t =T时u
C
(t)
的值；
(2) 写出区间t =0 ~T/2及区间t =T/2~ T的u
C
(t)表达式；
(3) u
C
(t)从t =0时起经过多长时间为零值。
【习题6.15】 在图6.32所示的电路中，开关S闭合前电路已经稳定。求S闭合后，
2?电阻中电流随时间变化的规律i
R
(t)。
【习题6.16】 在图6.33所示的电路中，开关S闭合前电路已经稳定。求S闭合后，
电感电流i
L
(t)和电容电压u
C
(t)随时间变化的规律。
85
电工学试题精选与答题技巧 86
1
R
2
R
C
C
u
E
S
0t =
u
4
2
O
T
2/T
/Vu
15
/mst
15?
(a)
(b)
图6.31 习题6.14的图
0t =
S
S
0t =
L
i
R
i
C
u
A1
3
0.1H
2
F10μ
10k
3V
3
6
0.5H
6V
6V
3
图6.32 习题6.15的图
图6.33 习题6.16的图
【习题6.17】 现有一电路如图6.34所示，开关S闭合前电路已经稳定，试求当S
闭合后的i
C
(t)和u
L
(t) 。
S
0t =
C
i
L
u
F1μ
10k?
3k?
3k?
1.5k?
100mH
9V
图6.34 习题6.17的图
【习题6.18】 电路如图6.35所示，开关S断开前电路已经稳定，试求S断开后的电压u(t)。
【习题6.19】 电路如图6.36所示，已知i(0) =2A，求u(t)并画出其曲线。
3?
6?
F5.0
10V
1H
2?
u
S0t =
3?
1?
)(5.0 tu
)(tu
H4
图6.35 习题6.18的图 图6.36 习题6.19的图
第六章 电路的暂态分析 87
【习题6.20】 电路如图6.37所示，开关S断开前电路已经稳定，求u
C
(t)并画出其曲线。
S
0t =
3?
1?
1
i
3
1
i
C
u
A1
2A
1F
图6.37 习题6.20的图
【习题6.21】 电路如图6.38(a)所示，t < 0时电路已经稳定，C=0.01μF，E=2V，
R
1
=2k?，R
2
=8k?，u
S
(t) 如图6.38(b)所示。试求t > 0时的u(t)，并画出波形图。
2
R
1
R
C
E
)(tu
S
)(tu
2
O
V/u
S
/mst
1
(a) (b)
图6.38 习题6.21的图
【习题6.22】 图6.39(a)中线性网络N为零状态，当u
S
(t)为6.39(b) 所示激励时，
响应u
0
(t) 如图6.39(c)所示。试将网络N的最简电路模型填入图中虚线框内。
1
105
N线性无源网络
O
O
0.5
-0.5
V/
o
u
V/u
S
5
/st
u
S
u
S
o
u
/st
o
u
(b)
(a)
(c)
图6.39 习题6.22的图
87
电工学试题精选与答题技巧 88
二,习题答案
【习题6.1】 (1)R
1
、R
2
、C
1
、C
2
初始电流均为1A；L
1
、L
2
初始电流均为0。
(2)R
1
、R
2
电压为2V、8V；C
1
、C
2
电压均为0；L
1
、L
2
电压均为8V。
【习题6.2】 电感中电流初始值为6A，稳态值为2A。
电容中电流初始值为4A，稳态值为0。
【习题6.3】 (1)
V)e1(12)(
Ve2)(
C2
2
1C
t
t
tu
tu
=
=
(2) 0.1mA,0.6mA
(3) u
C2
快
【习题6.4】 R = 5k?,C =1 000μF，W
C
=4.51J。
【习题6.5】 Ve1690)(
t
tu
=
【习题6.6】 mAe1)(
4t
ti
+=
【习题6.7】 A)1.2e7.2()(
25.1
=
t
ti
【习题6.8】 Ve24.1020)(
8t
tu
+=
【习题6.9】 否
【习题6.10】 R
S
=131M?。
【习题6.11】 否；是。
【习题6.12】 ；i。 Ae5.0)(
10
R
t
ti
= Ae092.0)1.0(
)1.0(5
R
=?
t
t
【习题6.13】 ； 。 Ve48)(
100
C
t
tu
= Ve47.18)(
)01.0(500
C
=?
t
tu τ
【习题6.14】 (1) u
C0
(0) = 3V,u
C
(T/2) = 8.06V,u
C
(T) = –2.75V。
(2) u； 。 Ve811)(
500
C
t
t
= Ve179)2/(
)2/(500
C
Tt
Ttu
+?=?
(3) t
0
= 3.27ms。
【习题6.15】 Ae5.1)(
2
R
t
ti
=
【习题6.16】 。 V)e1(6)(Ae23)(
10
C
15
L
tt
tuti
=?=
【习题6.17】 。 Ae45.0)(Ve5.4)(
100
C
10
L
4
tt
titu
==；
【习题6.18】 。 V10ee510)(
-9t
+?=
t
tu
【习题6.19】 Ve16)(
2t
tu
=
【习题6.20】 Ve63)(
C
t
tu
+?=
【习题6.21】
。；，
1ms V,0.4e-0.4)(
ms10 Ve4.02)(
)10(106.25
1025.6
34
4
>=
<≤+=
×?
×?
ttu
ttu
t
t
