1
大学物理 A(1)
电磁学（第三册）
2
2005年春季学期 陈信义编
第 1章 静止电荷的电场
电磁学（第三册）
3
【 演示实验 】 点电荷平面电荷电力线, 静电跳
球摆球滚筒, 日光灯的静电启辉
§ 1.1 电荷
§ 1.3 电场和电场强度
§ 1.5 -6 电通量 高斯定理
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
§ 1.4 静止的点电荷的电场及其叠加
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布
补充,高斯定理的微分形式
目 录
4
§ 1.1 电荷
?密立根 （ R.A.Millikan） 带电油滴实验
（ 1906?1917,1923年诺贝尔物理奖）
2,电荷是量子化 (quantization)的
基本电荷
e =1.60217733(49)?10-19C
1,电荷只有正, 负两种
电磁现象归因于电荷及其运动
?宏观电磁学 — 电荷值连续
?夸克 （ quark） 带分数电荷 和
但实验未发现自由夸克（夸克囚禁） 3e? 3/2e
5
在不同惯性系中观测, 同一带电粒子的电量
相同 。
4,电荷是一个洛仑兹不变量
3,电荷守恒, 在宏观和微观上,电荷总量守恒。
5,有电荷就有质量
静质量为零的粒子, 例如光子, 只能是电中
性的 。
,但是, 都精确电中性 ！
2HHe pp ??
sJ10~2 34 ????? ??px
不确定关系,
例如,
H2 He
质子动量,
6
1/4??0= 8.9880?109 N·m2/C2
? 9?109 N·m2/C2
?0— 真空介电常数 (Permittivity of vacuum)
?0 = 8.85?10-12 C2/N·m2
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
惯性系，真空中的两静止 （ 或低速 ） 点电
荷 间的作用力为
212
210
21
21 ?4 rr
qqF
??
?
? q2 q1
12F
?
21F
? 21?r
21r
一、库仑定律
7
平方反比规律
(与万有引力定律类似 )
如果指数严格等于 2,则 光子静质量为零 。
光子静质量上限为 10-48 kg,
? ? 16)2( 101.37.2,??? ?????r
实验结果
8
【 例 】 比较氢原子中的质子和电子间的库仑力
和万有引力 。
oA53.0?
? epr
? ?
? ?
N101.8
m1053.0
C106.1
C
mN
109
4
1
8
2
10
2
19
2
2
9
2
2
0
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
r
e
F
e
??
9
? ?? ?
? ?
N107.3
m1053.0
kg107.1kg101.9
skg
m
107.6
47
2
10
2731
2
3
11
2
?
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
r
mm
GF
pe
g
3910?ge FF库仑力 >>引力,
强力 >>电磁力 >>弱力 >>引力
原子核中的核子 （ 质子, 中子 ） 靠强力吸
引, 库仑排斥很弱 。
宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。
10
二,电力的叠加原理
实验表明,两个点电荷之间的作用力并不因
第三个点电荷的存在而改变 。
在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。
两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力,
等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力
的矢量和
??
i
iFF
??
11
§ 1.3 电场和电场强度
检验电荷
（ 静止 ）
q0
定义 电场强度,
0q
FE
??
?
即, 静止的单位正电荷
所受的电力 。 静止或运动
任意电荷分布
F 测受力
惯性系，点 p(x,y,z)
12
场的观点 ? Maxwell电磁理论
静止电荷间的作用也可认为是“超距作用”
?场的观点,电荷之间的相互作用是通过电场
传递的，或者说电荷周围存在电场。
变化的电 磁 场以光速传播,场 具有动量、质量
移动带电体，电场力作功,场具有能量
电场中的带电体，受电场的作用力。
?电场物质性的表现
?真空 (vacuum)— 什么都没有吗？
电磁场的零点振动 真空涨落 自发辐射
13
BvqEqF ???? ???
静 静
动 动
源
电
荷
q
q
电荷间的作用力与电场的关系
EqF ?? ?
EqF ?? ?
EqF ?? ?
14
静电场 — 在相对场源电荷静止的参考系中观
测到的电场 。
静止点电荷的电场 r
r
qE ?
4 20??
?
?
§ 1.4 静止点电荷的电场及其叠加
电力的叠加原理 ?电场叠加原理,
在 n 个点电荷产生的电场中，某点的电场强
度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的
矢量和
?
?
n
i
iEE
1
??
＝
15
连续分布电荷的电场,
库仑定律 +电场叠加原理 ? 完备描述静电场
r
r
VE
V
?
4
d
2
0
???? ??
??
r
r
VE ?
4
dd
2
0??
???
??
V
EE
??
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
V
zz
V
yy
V
xx
EE
EE
EE
d
d
d
16
【 例 】 求电偶极子中垂线远点的场强
电偶极子 (Electric dipole),
靠得很近的等量异号点电荷对
-q
q
l
电偶极矩 （ Dipole moment）,
lqp ???
17
电偶极子中垂线上远点的场强,
?? ?? EEE
???
E? r -3, 比点电荷的电场的衰减得快 。
rr
- r
+
l
E
E
+
E
-
+ q
- q
p
3
0
3
0 4
)(
4 ?
?
?
? ???
r
rq
r
rq
????
??
)(
4 30 ??
?? rr
r
q ??
??
3
04 r
lq
??
?
??
3
04 r
p
??
?
??
3
04 r
pE
??
??
??
18
【 例 】 电场中的电偶极子
在均匀电场中，受合力为零。
+
-
l?
E?
EpM ??? ??
在均匀电场中受的力矩,
力矩使 p 尽量和 E 方向一致。
电场不均匀，合力不为零。
在电场中，受力矩作用。
19
+
-
o
?r
?
?r
?
l?
Eq?
Eq??
E?
计算关于任意一点 O的力矩,
)()( EqrEqrM ????? ????? ??
Ep
Elq
??
??
??
??
)()( Eqrr ??? ??? ??
20
解, 把 q 分成无限多 dq,dq 的场强为 E?d
对称性 ?所有 dE?相互抵消
【 例 】 求均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
R
d q
o
r
x
d E I I
d E
p
q d E
21
?? //d EE
当 x>>R时，圆环 ?点电荷。
R
d q
o
r
x
d E I I
d E
p
q d E
2
3
22
0
3
0
2
0
2
0
)(4
44
c o s
4
d
c o sd
xR
qx
r
qx
r
x
r
q
r
q
E
?
????
? ??? ??
??
????
q
??
q
22
d E p x
x R
r
d r
d q
s
【 例 】 求半径为 R,面电荷密度为 s 的带电圆盘
在轴线上产生的场强 。
解,对半径为 r,宽度为 dr的圆环的电场积分得
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?? 21
22
0
1
2 xR
xE
?
s
23
(1)当 x << R，圆盘 ?,无限大”带电平
板
02?
s?E
(2)当 x>>R，圆盘 ?点电荷
2
04 x
qE
??
?
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?? 21
22
0
1
2 xR
xE
?
s
24
§ 1.5-6 电通量 高斯定理
通过面元的电通量的符号, 与 面元矢量方
向的定义有关 。
一、电通量 (Flux)
q??? c osSE?
1、通过面元 ?S 的电通量
nSE ?? ???
SE ?? ??? ??
面元法向单位矢量
，则有
n
E
?S
q
q
?Scosq
nSS ?? ?? ?定义 面元矢量
25
2、通过曲面 S 的电通量
?? ??
?? ?
?
S
i
ii
S
SdE
SE
??
??
??
? 0
lim
3、通过闭合曲面 S的电通量
?? ??
S
SdE
??
?
E?S?d
S
S
iS
??
iE
?
iS
??面元 可定义两个指向
S?d规定 的方向指向外为正
?的正负依赖于面元指向的定义
26
0??,电通量 向外,流”
0??,电通量 向内,流”
?? ??
S
SdE
??
? E?S?d
S
二、高斯定理
其中 S为任意闭合曲面 — 高斯面。
在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲面的
电通量, 等于该曲面所包围的电量的代数和的
1/?0 倍
???? ?
)(0
1
S
i
S
qSE
?
??
d
iq
Q
— 电通量与电量的关系
27
（ 1） E是曲面上的某点处的场强, 是由 全部
电荷 （ 面 S内, 外 ） 共同产生的 。
注意,
（ 2） 只有闭合曲面 内部的电荷, 才对总通量
有贡献 。
E?S?d
S
iq
Q??
?? ?
)(0
1
S
i
S
qSE ??? d
28
0
2
2
0
2
0
/
4
4
4
?
?
??
??
??
q
r
r
q
S
r
q
S
S
?
?
?
??
?
??
d
d
定理的证明,
（ 1） 通过包围点电荷 q 的 同心球面 的电通量
为 q/?0
q
n
? S
E
r
S
29 ?qq ddd ???? s i n
在球坐标系中
22
?ddd
r
rS
r
S ???? ?
?
立体角的概念,
x
q
d S
r
r
d S
d ?
q
? y
z Sd
?Sd
r?
30
????? ?
SS r
S
2
dd ?
闭合曲面对内部一点所张立体角为 4?。
?? ??
S
Sr d21
2
24
r
r??
?4?
证明,
O
dS
d?
S
r
dS?
31
（ 2） 通过包围点电荷 q 的 任意 闭合曲面的电通
量为 q/?0
?
??
??
?
d
d
dd
??
?
?
?
?
0
2
0
4
4
q
r
Sq
SE
q
dS
r
dS? d? r' E
?S
004 ?
????? qq
SS
??? ???? dd
通过闭合面 S 的电通量,
???? dd ??
04
q
32
044
00
?????? ???????? dddd qq
（ 3） 任意 闭合曲面 外的点电荷通过该曲面的电
通量为零 。
（ 4） 多个点电荷的电通量等于它们单独存在
时电通量的和 （ 场叠加原理 ）
,?2
r
rS ??
?
dd ?
2
?dd
r
rS
?
????
?
?
q
S d
S d
r?
r
r? S
?d??
2
?d
r
rS ???
?
rS ?d ??
rS ?d ???
33
对称性分析 选高斯面
一,均匀带电球面的电场分布
1、对称性分析
电荷分布球对称 ?电场分布球对称
（场强沿径向，只与半径有关）
2、选高斯面为同心球面
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布
电荷对称分布情况
Q
34
3、球面外电场分布
4、球面内电场分布
?? ??
S
QSE 0d ?
??
0＝内E
【 思考 】 为什么在 r = R 处 E 不连续？
R r Q
r
E
0 R
r
r
QE ?
4 20??
?外
?
24d rESE
S
???? ??
??
35
二,均匀带电球体的电场分布
R r
E
0
rr
R
QrE ??
0
3
0 3
?
4
1
?
?
??
??球体内,
r
r
QE ?
4 20??
?
?
球体外,
36
三,无限长圆柱面 (线电荷密度 ?)的电场分布
解, （ 1）场强 轴对称 沿径向
（ 2）选半径 r高 h的
同轴圆柱面为高斯面
（ 3）柱面外
0/2 ??? hSESErhE
SS
?????
?
????
????
dd
（ 4） 圆柱面内
)(,0 RrE ??
r E
?
h
S
S'
? ?RrrE ??,2
0??
?
0/2 ??? hrhE ?
37
四,带电无限大平板 (面电荷密度 s)的电场分布
电场垂直于板，在与板平行的面上电场处
处相等，与板等远处电场的大小相等。
解,
0/2 ?s SSE ＝
s +
S S S
s
E E
02?
s＝E 与板垂直的均匀场
38
+
+
+
+
+
+
＋ s ?
?
?
?
?
?
?
－ s
【 思考 】 带等量异号电荷的两个无限大平板
之间的电场为,板外电场为 。
0?s 0
39
五、电力线
电力线条数密度表示场强大小
电力线上某点的切向和该点场强方向一致
用电力线描述电场,
在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲
面的 电力线的条数 等于该曲面所包围的电
量的代数和的 1/?0倍 。
用电力线叙述高斯定理,
40
电力线的性质,
1,静电场的电力线始于正电荷 （ 或无穷远 ）,
终于负电荷 （ 或无穷远 ） 。
2、电力线不相交 （场强的单值性）
3、静电场的电力线不闭合
电力线连续,不会在没有电荷的地方中断
【 思考 】 用高斯定理证明以上性质。
【 思考 】 电力线是物理实在吗？
库仑力是有心力，是保守力。
41
42 电偶极子
43
一对等量正点电荷
44 一对异号不等量点电荷
45
平板电容器
46
站在雷雨
中的高地
47
讨论,
高斯定理只是静电场两个基本定理之一，与下
面讲的环路定理结合，才能完备描述静电场。
但这不在于数学上的困难。
1,电荷分布无对称性，只用高斯定理能求场强
分布吗？
),,( ?zyxE?),,( 000 zyx?
???? ?
)(0
1
SS
iqSdE ?
??
不能。
48
2,对所有平方反比的有心力场, 高斯定理
都适用 。
r
r
Gmg ?
2??
?引力场场强,
?? ????
S i
imGSdg ?4
??通过闭合曲面通量,
总结,
场的观点 场强叠加原理
点电荷场叠加 （ 任意电荷分布 ） ?电场分布
高斯定理 （ 电荷分布有对称性 ） ?电场分布
静电的应用,
49
补充：高斯定理的微分形式
1,电场的散度 （ divergence）
S
?V
P
V
SE
E S
V ??
?? ??
?
??
? d
lim d i v
0
电场在 P点 的散度定义为
?? ?S SE ?? d
为 通过 包围 P点的封闭曲面 S的电通量
其中
50
??
0
1d i v ???? EE ??
静电场是有源场, 源头是电荷密度不为
零的那些点 。
2,高斯定理的微分形式
51
证明,
i
S
Vi V
SE
E i
i ??
?? ?
?
?
??
? d
lim)( d i v
0
Si
?Vi Pi
S
V
? ??? ?? ??
i SVi
iiV
iii
SEVE
???
dlim)( d i vlim
00 ??
?
????? ??
SV
SEVE
???
dd)( d i v ?
?
)(0
1
S
iq?
52
?????
)(0
1
d)( d i v
S
i
V
qVE ?
?
因 V任意，则得 高斯定理的微分形式
??
0
1d i v ?E?
?????? ?
VV
VVE d1d)( d i v
0
?
?
?
???? ?
VS
i Vq d
)(
?
???? ?
)(0
1
SS
iqSdE ?
?? （积分形式）
53
E? div
3,散度的计算
x,y,z x
y
z
? z ? y
? x V
SE
S
V ??
?? ?
?
?
??
d
l i m
0
? ?? ??????
??
?
?
?
zyzyxEzyxxE
zyx
xx
z
y
x
???
???
?
?
?
),,(),,(
1
l i m
0
0
0
54
? ?
E
z
E
y
E
x
E
zyxEzyxxE
x
zyx
xx
x
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
),,(),,(
1
lim
0
z
k
y
j
x
i
?
??
?
??
?
??? ???梯度算符
??
0
1??? E?
高斯定理的微分形式可写成
大学物理 A(1)
电磁学（第三册）
2
2005年春季学期 陈信义编
第 1章 静止电荷的电场
电磁学（第三册）
3
【 演示实验 】 点电荷平面电荷电力线, 静电跳
球摆球滚筒, 日光灯的静电启辉
§ 1.1 电荷
§ 1.3 电场和电场强度
§ 1.5 -6 电通量 高斯定理
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
§ 1.4 静止的点电荷的电场及其叠加
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布
补充,高斯定理的微分形式
目 录
4
§ 1.1 电荷
?密立根 （ R.A.Millikan） 带电油滴实验
（ 1906?1917,1923年诺贝尔物理奖）
2,电荷是量子化 (quantization)的
基本电荷
e =1.60217733(49)?10-19C
1,电荷只有正, 负两种
电磁现象归因于电荷及其运动
?宏观电磁学 — 电荷值连续
?夸克 （ quark） 带分数电荷 和
但实验未发现自由夸克（夸克囚禁） 3e? 3/2e
5
在不同惯性系中观测, 同一带电粒子的电量
相同 。
4,电荷是一个洛仑兹不变量
3,电荷守恒, 在宏观和微观上,电荷总量守恒。
5,有电荷就有质量
静质量为零的粒子, 例如光子, 只能是电中
性的 。
,但是, 都精确电中性 ！
2HHe pp ??
sJ10~2 34 ????? ??px
不确定关系,
例如,
H2 He
质子动量,
6
1/4??0= 8.9880?109 N·m2/C2
? 9?109 N·m2/C2
?0— 真空介电常数 (Permittivity of vacuum)
?0 = 8.85?10-12 C2/N·m2
§ 1.2 库仑定律与叠加原理
惯性系，真空中的两静止 （ 或低速 ） 点电
荷 间的作用力为
212
210
21
21 ?4 rr
qqF
??
?
? q2 q1
12F
?
21F
? 21?r
21r
一、库仑定律
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平方反比规律
(与万有引力定律类似 )
如果指数严格等于 2,则 光子静质量为零 。
光子静质量上限为 10-48 kg,
? ? 16)2( 101.37.2,??? ?????r
实验结果
8
【 例 】 比较氢原子中的质子和电子间的库仑力
和万有引力 。
oA53.0?
? epr
? ?
? ?
N101.8
m1053.0
C106.1
C
mN
109
4
1
8
2
10
2
19
2
2
9
2
2
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?
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??
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r
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F
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N107.3
m1053.0
kg107.1kg101.9
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107.6
47
2
10
2731
2
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11
2
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GF
pe
g
3910?ge FF库仑力 >>引力,
强力 >>电磁力 >>弱力 >>引力
原子核中的核子 （ 质子, 中子 ） 靠强力吸
引, 库仑排斥很弱 。
宏观物体靠分子、原子间的库仑力维系。
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二,电力的叠加原理
实验表明,两个点电荷之间的作用力并不因
第三个点电荷的存在而改变 。
在电磁场的量子效应中，经典叠加原理不成立。
两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力,
等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力
的矢量和
??
i
iFF
??
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§ 1.3 电场和电场强度
检验电荷
（ 静止 ）
q0
定义 电场强度,
0q
FE
??
?
即, 静止的单位正电荷
所受的电力 。 静止或运动
任意电荷分布
F 测受力
惯性系，点 p(x,y,z)
12
场的观点 ? Maxwell电磁理论
静止电荷间的作用也可认为是“超距作用”
?场的观点,电荷之间的相互作用是通过电场
传递的，或者说电荷周围存在电场。
变化的电 磁 场以光速传播,场 具有动量、质量
移动带电体，电场力作功,场具有能量
电场中的带电体，受电场的作用力。
?电场物质性的表现
?真空 (vacuum)— 什么都没有吗？
电磁场的零点振动 真空涨落 自发辐射
13
BvqEqF ???? ???
静 静
动 动
源
电
荷
q
q
电荷间的作用力与电场的关系
EqF ?? ?
EqF ?? ?
EqF ?? ?
14
静电场 — 在相对场源电荷静止的参考系中观
测到的电场 。
静止点电荷的电场 r
r
qE ?
4 20??
?
?
§ 1.4 静止点电荷的电场及其叠加
电力的叠加原理 ?电场叠加原理,
在 n 个点电荷产生的电场中，某点的电场强
度等于每个电荷单独在该点产生的电场强度的
矢量和
?
?
n
i
iEE
1
??
＝
15
连续分布电荷的电场,
库仑定律 +电场叠加原理 ? 完备描述静电场
r
r
VE
V
?
4
d
2
0
???? ??
??
r
r
VE ?
4
dd
2
0??
???
??
V
EE
??
d
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
V
zz
V
yy
V
xx
EE
EE
EE
d
d
d
16
【 例 】 求电偶极子中垂线远点的场强
电偶极子 (Electric dipole),
靠得很近的等量异号点电荷对
-q
q
l
电偶极矩 （ Dipole moment）,
lqp ???
17
电偶极子中垂线上远点的场强,
?? ?? EEE
???
E? r -3, 比点电荷的电场的衰减得快 。
rr
- r
+
l
E
E
+
E
-
+ q
- q
p
3
0
3
0 4
)(
4 ?
?
?
? ???
r
rq
r
rq
????
??
)(
4 30 ??
?? rr
r
q ??
??
3
04 r
lq
??
?
??
3
04 r
p
??
?
??
3
04 r
pE
??
??
??
18
【 例 】 电场中的电偶极子
在均匀电场中，受合力为零。
+
-
l?
E?
EpM ??? ??
在均匀电场中受的力矩,
力矩使 p 尽量和 E 方向一致。
电场不均匀，合力不为零。
在电场中，受力矩作用。
19
+
-
o
?r
?
?r
?
l?
Eq?
Eq??
E?
计算关于任意一点 O的力矩,
)()( EqrEqrM ????? ????? ??
Ep
Elq
??
??
??
??
)()( Eqrr ??? ??? ??
20
解, 把 q 分成无限多 dq,dq 的场强为 E?d
对称性 ?所有 dE?相互抵消
【 例 】 求均匀带电细圆环轴线上任一点的场强
R
d q
o
r
x
d E I I
d E
p
q d E
21
?? //d EE
当 x>>R时，圆环 ?点电荷。
R
d q
o
r
x
d E I I
d E
p
q d E
2
3
22
0
3
0
2
0
2
0
)(4
44
c o s
4
d
c o sd
xR
qx
r
qx
r
x
r
q
r
q
E
?
????
? ??? ??
??
????
q
??
q
22
d E p x
x R
r
d r
d q
s
【 例 】 求半径为 R,面电荷密度为 s 的带电圆盘
在轴线上产生的场强 。
解,对半径为 r,宽度为 dr的圆环的电场积分得
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?? 21
22
0
1
2 xR
xE
?
s
23
(1)当 x << R，圆盘 ?,无限大”带电平
板
02?
s?E
(2)当 x>>R，圆盘 ?点电荷
2
04 x
qE
??
?
? ? ???
?
?
?
?
?
?
?? 21
22
0
1
2 xR
xE
?
s
24
§ 1.5-6 电通量 高斯定理
通过面元的电通量的符号, 与 面元矢量方
向的定义有关 。
一、电通量 (Flux)
q??? c osSE?
1、通过面元 ?S 的电通量
nSE ?? ???
SE ?? ??? ??
面元法向单位矢量
，则有
n
E
?S
q
q
?Scosq
nSS ?? ?? ?定义 面元矢量
25
2、通过曲面 S 的电通量
?? ??
?? ?
?
S
i
ii
S
SdE
SE
??
??
??
? 0
lim
3、通过闭合曲面 S的电通量
?? ??
S
SdE
??
?
E?S?d
S
S
iS
??
iE
?
iS
??面元 可定义两个指向
S?d规定 的方向指向外为正
?的正负依赖于面元指向的定义
26
0??,电通量 向外,流”
0??,电通量 向内,流”
?? ??
S
SdE
??
? E?S?d
S
二、高斯定理
其中 S为任意闭合曲面 — 高斯面。
在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲面的
电通量, 等于该曲面所包围的电量的代数和的
1/?0 倍
???? ?
)(0
1
S
i
S
qSE
?
??
d
iq
Q
— 电通量与电量的关系
27
（ 1） E是曲面上的某点处的场强, 是由 全部
电荷 （ 面 S内, 外 ） 共同产生的 。
注意,
（ 2） 只有闭合曲面 内部的电荷, 才对总通量
有贡献 。
E?S?d
S
iq
Q??
?? ?
)(0
1
S
i
S
qSE ??? d
28
0
2
2
0
2
0
/
4
4
4
?
?
??
??
??
q
r
r
q
S
r
q
S
S
?
?
?
??
?
??
d
d
定理的证明,
（ 1） 通过包围点电荷 q 的 同心球面 的电通量
为 q/?0
q
n
? S
E
r
S
29 ?qq ddd ???? s i n
在球坐标系中
22
?ddd
r
rS
r
S ???? ?
?
立体角的概念,
x
q
d S
r
r
d S
d ?
q
? y
z Sd
?Sd
r?
30
????? ?
SS r
S
2
dd ?
闭合曲面对内部一点所张立体角为 4?。
?? ??
S
Sr d21
2
24
r
r??
?4?
证明,
O
dS
d?
S
r
dS?
31
（ 2） 通过包围点电荷 q 的 任意 闭合曲面的电通
量为 q/?0
?
??
??
?
d
d
dd
??
?
?
?
?
0
2
0
4
4
q
r
Sq
SE
q
dS
r
dS? d? r' E
?S
004 ?
SS
??? ???? dd
通过闭合面 S 的电通量,
???? dd ??
04
q
32
044
00
?????? ???????? dddd qq
（ 3） 任意 闭合曲面 外的点电荷通过该曲面的电
通量为零 。
（ 4） 多个点电荷的电通量等于它们单独存在
时电通量的和 （ 场叠加原理 ）
,?2
r
rS ??
?
dd ?
2
?dd
r
rS
?
????
?
?
q
S d
S d
r?
r
r? S
?d??
2
?d
r
rS ???
?
rS ?d ??
rS ?d ???
33
对称性分析 选高斯面
一,均匀带电球面的电场分布
1、对称性分析
电荷分布球对称 ?电场分布球对称
（场强沿径向，只与半径有关）
2、选高斯面为同心球面
§ 1.7 利用高斯定理求静电场的分布
电荷对称分布情况
Q
34
3、球面外电场分布
4、球面内电场分布
?? ??
S
QSE 0d ?
??
0＝内E
【 思考 】 为什么在 r = R 处 E 不连续？
R r Q
r
E
0 R
r
r
QE ?
4 20??
?外
?
24d rESE
S
???? ??
??
35
二,均匀带电球体的电场分布
R r
E
0
rr
R
QrE ??
0
3
0 3
?
4
1
?
?
??
??球体内,
r
r
QE ?
4 20??
?
?
球体外,
36
三,无限长圆柱面 (线电荷密度 ?)的电场分布
解, （ 1）场强 轴对称 沿径向
（ 2）选半径 r高 h的
同轴圆柱面为高斯面
（ 3）柱面外
0/2 ??? hSESErhE
SS
?????
?
????
????
dd
（ 4） 圆柱面内
)(,0 RrE ??
r E
?
h
S
S'
? ?RrrE ??,2
0??
?
0/2 ??? hrhE ?
37
四,带电无限大平板 (面电荷密度 s)的电场分布
电场垂直于板，在与板平行的面上电场处
处相等，与板等远处电场的大小相等。
解,
0/2 ?s SSE ＝
s +
S S S
s
E E
02?
s＝E 与板垂直的均匀场
38
+
+
+
+
+
+
＋ s ?
?
?
?
?
?
?
－ s
【 思考 】 带等量异号电荷的两个无限大平板
之间的电场为,板外电场为 。
0?s 0
39
五、电力线
电力线条数密度表示场强大小
电力线上某点的切向和该点场强方向一致
用电力线描述电场,
在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲
面的 电力线的条数 等于该曲面所包围的电
量的代数和的 1/?0倍 。
用电力线叙述高斯定理,
40
电力线的性质,
1,静电场的电力线始于正电荷 （ 或无穷远 ）,
终于负电荷 （ 或无穷远 ） 。
2、电力线不相交 （场强的单值性）
3、静电场的电力线不闭合
电力线连续,不会在没有电荷的地方中断
【 思考 】 用高斯定理证明以上性质。
【 思考 】 电力线是物理实在吗？
库仑力是有心力，是保守力。
41
42 电偶极子
43
一对等量正点电荷
44 一对异号不等量点电荷
45
平板电容器
46
站在雷雨
中的高地
47
讨论,
高斯定理只是静电场两个基本定理之一，与下
面讲的环路定理结合，才能完备描述静电场。
但这不在于数学上的困难。
1,电荷分布无对称性，只用高斯定理能求场强
分布吗？
),,( ?zyxE?),,( 000 zyx?
???? ?
)(0
1
SS
iqSdE ?
??
不能。
48
2,对所有平方反比的有心力场, 高斯定理
都适用 。
r
r
Gmg ?
2??
?引力场场强,
?? ????
S i
imGSdg ?4
??通过闭合曲面通量,
总结,
场的观点 场强叠加原理
点电荷场叠加 （ 任意电荷分布 ） ?电场分布
高斯定理 （ 电荷分布有对称性 ） ?电场分布
静电的应用,
49
补充：高斯定理的微分形式
1,电场的散度 （ divergence）
S
?V
P
V
SE
E S
V ??
?? ??
?
??
? d
lim d i v
0
电场在 P点 的散度定义为
?? ?S SE ?? d
为 通过 包围 P点的封闭曲面 S的电通量
其中
50
??
0
1d i v ???? EE ??
静电场是有源场, 源头是电荷密度不为
零的那些点 。
2,高斯定理的微分形式
51
证明,
i
S
Vi V
SE
E i
i ??
?? ?
?
?
??
? d
lim)( d i v
0
Si
?Vi Pi
S
V
? ??? ?? ??
i SVi
iiV
iii
SEVE
???
dlim)( d i vlim
00 ??
?
????? ??
SV
SEVE
???
dd)( d i v ?
?
)(0
1
S
iq?
52
?????
)(0
1
d)( d i v
S
i
V
qVE ?
?
因 V任意，则得 高斯定理的微分形式
??
0
1d i v ?E?
?????? ?
VV
VVE d1d)( d i v
0
?
?
?
???? ?
VS
i Vq d
)(
?
???? ?
)(0
1
SS
iqSdE ?
?? （积分形式）
53
E? div
3,散度的计算
x,y,z x
y
z
? z ? y
? x V
SE
S
V ??
?? ?
?
?
??
d
l i m
0
? ?? ??????
??
?
?
?
zyzyxEzyxxE
zyx
xx
z
y
x
???
???
?
?
?
),,(),,(
1
l i m
0
0
0
54
? ?
E
z
E
y
E
x
E
zyxEzyxxE
x
zyx
xx
x
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
),,(),,(
1
lim
0
z
k
y
j
x
i
?
??
?
??
?
??? ???梯度算符
??
0
1??? E?
高斯定理的微分形式可写成
