1
2005年春季学期 陈信义编
电磁学（第三册）
第 4章 静电场中的导体
2
目 录
【 演示实验 】 鸟笼演示静电屏蔽, 空心球壳演
示静电屏蔽, 电风轮演示尖端放电, 电风吹火
演示尖端放电, 正负电荷间的尖端放电
§ 4.1 导体的静电平衡条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽
补充,静电场唯一性定理的证明
3
§ 4.1 导体的静电平衡条件
静电平衡,导体 放入电场 ? 自由电子定向运
动 ? 改变导体电荷分布 ? 改变电场 ? ····
金属导体,存在大量可自由移动的 自由电子,
自由电子对电场变化响应很快 （ 10－ 19s） 。
有导体存在时电场的性质？
电场一般利用带电导体形成。
只讨论各向同性、均匀的金属导体。
—称 电场和导体之间达到 静电平衡
导体内部和表面无自由电荷的定向移动
4
E内 =0,E表面 ?表面
E0
静电平衡的形成,
+
+ + +
+
E
E＝ 0
静电平衡的条件,
导体内部 E内 =0,E表面 ?表面 。
导体成为等势体，表面成为等势面。
5
一, 导体内部净电荷处处为零, 电荷只能分布
在表面上 。
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
0,0 ????????? vSEE
V
in
S
inin dd ?
??
?实心导体，电荷只分布在表面上。
?有空腔的导体
如果腔内无带电体, 则电荷只分布在导体外
表面上, 内表面无电荷 。
0,00 ????? inininE ????
( )
0?in?V
可任取，则
6
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
- E
腔内无带电体
内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。
等势体
【 演示实验 】 空心导体
7
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
腔内有带电体
【 思考 】 移动 腔内 带电体或改变 腔内 带电体电
量, 是否影响内, 外表面电荷分布？
由导体内场强为零和高斯定理,内表面带与
腔内带电体等量反号电荷 。
+
+ + +
8
二, 静电平衡导体的表面电荷密度, 与当地表
面紧邻处的电场强度的大小成正比 。
nE ?
?
0?
??
0
0 ?? SSES ???????
【 思考 】 场强 E只 由 电荷 ??S 产生 吗？
0?
??E
?
E?
n?
S?
S??
0?inE?
9
三, 孤立导体处于静电平衡时, 表面曲率大
处, 面电荷密度大 —电场强度大 。
【 演示实验 】 尖端放电
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
静电平衡导体
尖端放电
10
雷击尖端
11
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理
【 例 】 面电荷密度为 ?0
的无限大绝缘板旁, 有一
无限大的原不带电的导体
平板 。 求静电平衡后导体
板两表面的面电荷密度 。
? ?
12
解,设导体板两表面电荷密度为 ?1 和 ?2
电荷守恒,
?1 + ?2 = 0
静电平衡条件,
E0+E1-E2 = 0
?0/(2?0) +?1/(2?0) – ?2/(2?0) = 0
?1 – ?2= – ?0 结果, ?1 = – ?0 /2
?2 = ?0 /2
?1 ?2 ??
E0
E2 E
1
13
【 例 】 带电导体球 A与带电导体球壳 B同心, 求
（ 1） 各表面电荷分布
（ 2） 导体球 A的电势 UA
（ 3） 将 B接地, 各表面电荷分布 。
（ 4） 将 B的地线拆掉后, 再将 A接地时各表
面电荷分布 。
R 3 R 2
R 1 B A q
Q
14
A 表面,q
解,
（ 1）求 表面电荷
（ 2） 求 A的电势 UA
三层均匀带电球面,电势叠加
302010 444 R
qQ
R
q
R
qU
A ??????
?????
R 3 R 2
R 1 B A q Q B 内表面,
B 外表面,Q +q
-q
-q
Q +q
15
B 内表面, -q
A 表面, q
（ 3） B 接地,求 表面电荷。
B 外表面, 无电荷
0
4 30
??
R
qU B
B ??
外
B qA
- q
B
R3
0?BU接地结果,
16
（ 4） B的接地线拆掉,再将 A接地,求 表面电荷。
设 A表面 电荷为 q?
则 B 内表面,-q?
B 外表面,-q +q?
0
444 302010
??????????
R
qq
R
q
R
qU
A ??????
可解出 q?( ? q) 。
B
A q ?
- q ? -
q + q ?
U A =0
UA= 0
17
针对特定体系,边界 S内只包围若干个静止导
体, 给定导体的几何形状, 相互位置 。
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽
边界 S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
此外, 再给定哪些条件, 边界 S内自由 空间
的电场才能唯一确定？
18
0)( 2 ??????????? UUE?
给定哪些边值条件, 边界 S内自由 空间的电
场才能唯一确定？
一,静电边值问题
0,
0
???? ??E
?自由空间,0??
解出,由 求电场分布。 ),,( zyxU UE ????
静电边值问题,
02 ?? U
边值条件
19 （ 3） 给定一些导体的 电势 和其余导体的 电量 。
（ 1）给定每一个导体的 电势。
（ 2）给定每一个导体的 电量。
给定边界 S上的电势分布, 或, 再
给定下列条件之一, S内 静电场分布唯一确定
SU nU ?? S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
二,静电场的唯一性定理
20
不论导体壳是否接地, 壳内电场都不受壳外
电荷位置和数量变化的影响, 壳外电场也不受
壳内电荷位置变化的影响 。
唯一性定理的证明见本章补充。
三,静电屏蔽
金属 导体壳
Qin
Qout
但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的
影响, 导体壳必须接地 。
21
Qin
Qout
-Qin
Qin
1、导体壳不接地
壳内空间的边值条件,Qin, – Qin
壳外空间的边值条件,Qin, Qout
S
0??? nU S
等势体
22
?壳外 Qout位置和数量变化, 不改变壳内空间的
边值条件, 因此, 不改变壳内空间电场分布 。
?壳内 Qin位置变化, 不改变壳外空间电场分布 。
Qin
Qout
-Qin
Qin
S
0??? nU S
等势体
?但壳内 Qin数值变化, 改变壳外表面电荷 Qin,
因此, 将改变壳外空间的电场分布 ！
23
2、导体壳接地
壳内边值条件,Qin, U=0
壳外边值条件,Qout, U=0
一个接地的封闭金属壳, 可以起到壳内外互
不影响的屏蔽作用 。
Qin
Qout
US=0
S
U=0
24
静电屏蔽的应用
金属表面对电磁波有很强的反射作用, 反射
系数几乎是 1。 所以 封闭的金属导体壳可以完
全屏蔽电磁波 。
电磁波进入导体的深度称为, 穿透深度,,
它正比于, 高频电磁波的穿透深度很小,
很快衰竭 。
?1
3,电磁波的屏蔽
原因：导体中自由电子在入射场驱动下
形成传导电流, 其焦耳热消耗了电磁场的能
量 。
25
【 思考题解答 】
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+ + +
带电体
移动金属 腔内 带电体, 或改变 腔内 带电体的
电量, 不影响外表面电荷分布, 只影响内表面
电荷分布 。
S
0??? nU S
26
四, 电像法介绍
【 例 】 点电荷 q放在 无限大接地导体平板上方
h处 。 求板面上的电荷分布 。
h
q
o
27
边界面内导体电量给定为 q。
板上方空间的电场分布是唯一的。
U=0
U?=0
h
q
o
边界面电势给定 U=U?=0,
按静电唯一性定理,
解,
?E?
28
上方空间和所求空间的
边值条件 （ U=U?=0,q）
相同 。
由唯一性定理,上方空间电场，即为所求。
U=0
U?=0
h
q
h
-q （ q 的电象）
用 q的电象 –q，
代替接地板对上方
空间电场的作用 。
29
? ? 232204
2
ha
qhE
p
?
??
??
? ? 2322
0
2 ha
qh
E pp
?
?
?
?
?
?? U=0
U?=0
h
q
h
-q
p
a
pE
电象法本质,用域外的象电荷来等效边界上
的未知电荷对域内的影响, 以简化计算 。
30
就一般情况, 给定一些导体的电势和其余导
体的电量, 证明 。
假设存在两个解,UU ???,
即电场的分布唯一确定。
如果能证明 UU ???? 则 EE ?? ????＋常数,
??
?
?
?
??
??
nUUQU
U
SSIII
2
,,
0
或
给定 或
SU nU?? S
给定
导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
补充,静电场唯一性定理的证明
静电边值问题,
31
把导体 Ⅱ 的电荷条件变换成电势条件
? ??
Ⅱ
ⅡⅡ
S
QsE
??
d0?
ⅡS
其中 代表 导体 Ⅱ 的外表面。
? ??
?
?
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
Qs
n
U
d0?
得电势条件,
32
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
?
??
nUUQs
n
U
U
U
S
SS0I
2
,d,
0
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
静电边值问题改写成,
给定 或
SU nU?? S
给定
导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
ⅡS
n? n?
? ????
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
S
QsnU d0?
33
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??? ?
?
??
???
???
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???? ?
?
???
????
????
n
U
n
U
UUQs
n
U
UU
U
S
SS
SS0
2
,d,
0
II 或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ?
设存在两个解,和 U? U?,令 UUU ?????*
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
??
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
34
常数?????? UUU *如果,则电场分布唯一。
1,先证明下式成立
? ? ? ? sUUVU
V
?dd **2* ???? ??
?
V ?其中 代表任意封闭面 包围的自由空间体积。
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
??
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
关于 的边值问题, *U
?（ 向外为正）
35
? ?? ?
? ? ? ?
? ?
2*
*2***
**
U
UUUU
UUA
??
??????
??????
?
? ? sAVA
V
??? dd ???? ??
?
高斯定理（数学）,
? ?** UUA ???设,
? ? ? ? sUUVU
V
?dd **2* ???? ??
?
即得,
常数?????? UUU *2,再证明
零
36
? ? ? ? sUUVU
V
?dd **2* ????? ??
???? ?
? ? ? ? sUUVU
V
?dd **2* ????? ??
?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? sUUsUUsUU
VUVUVU
SSS
SS
VVV
???
ddd
ddd
******
2
*
2
*
2
*
?????????
?????
???
???
???
ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
－
? ???? ??S
导体 Ⅱ 导体 Ⅰ
ⅠS
ⅡS
V
V
??
???
n?
n?
n?
导体 Ⅰ 界面
导体 Ⅱ 界面
37
? ? s
n
UUsUUs
n
UU
SSS
S
S ddd
*
***
*
* ???
???
?
???
?
?
?????
???
?
???
?
?
???
ⅡⅠ
Ⅱ
ⅡⅠⅠ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
?
?
??
00,0d,0
0
S
*
S
*
*
*
*2
n
U
Us
n
U
U
U
S
或
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
? ?
? ? ? ? ? ? sUUsUUsUU
VU
SSS
SS
V
???
ddd
d
******
2
*
??????????
?
???
?
ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
原体系的电场分布是唯一的。 证毕。
,0* ?? U 常数?????? UUU *所以 即,
等势
0?
2005年春季学期 陈信义编
电磁学（第三册）
第 4章 静电场中的导体
2
目 录
【 演示实验 】 鸟笼演示静电屏蔽, 空心球壳演
示静电屏蔽, 电风轮演示尖端放电, 电风吹火
演示尖端放电, 正负电荷间的尖端放电
§ 4.1 导体的静电平衡条件
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽
补充,静电场唯一性定理的证明
3
§ 4.1 导体的静电平衡条件
静电平衡,导体 放入电场 ? 自由电子定向运
动 ? 改变导体电荷分布 ? 改变电场 ? ····
金属导体,存在大量可自由移动的 自由电子,
自由电子对电场变化响应很快 （ 10－ 19s） 。
有导体存在时电场的性质？
电场一般利用带电导体形成。
只讨论各向同性、均匀的金属导体。
—称 电场和导体之间达到 静电平衡
导体内部和表面无自由电荷的定向移动
4
E内 =0,E表面 ?表面
E0
静电平衡的形成,
+
+ + +
+
E
E＝ 0
静电平衡的条件,
导体内部 E内 =0,E表面 ?表面 。
导体成为等势体，表面成为等势面。
5
一, 导体内部净电荷处处为零, 电荷只能分布
在表面上 。
§ 4.2 静电平衡的导体上的电荷分布
0,0 ????????? vSEE
V
in
S
inin dd ?
??
?实心导体，电荷只分布在表面上。
?有空腔的导体
如果腔内无带电体, 则电荷只分布在导体外
表面上, 内表面无电荷 。
0,00 ????? inininE ????
( )
0?in?V
可任取，则
6
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
- E
腔内无带电体
内表面无电荷，电荷只分布在外表面上。
等势体
【 演示实验 】 空心导体
7
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
腔内有带电体
【 思考 】 移动 腔内 带电体或改变 腔内 带电体电
量, 是否影响内, 外表面电荷分布？
由导体内场强为零和高斯定理,内表面带与
腔内带电体等量反号电荷 。
+
+ + +
8
二, 静电平衡导体的表面电荷密度, 与当地表
面紧邻处的电场强度的大小成正比 。
nE ?
?
0?
??
0
0 ?? SSES ???????
【 思考 】 场强 E只 由 电荷 ??S 产生 吗？
0?
??E
?
E?
n?
S?
S??
0?inE?
9
三, 孤立导体处于静电平衡时, 表面曲率大
处, 面电荷密度大 —电场强度大 。
【 演示实验 】 尖端放电
? ? ? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ?
静电平衡导体
尖端放电
10
雷击尖端
11
§ 4.3 有导体存在时静电场的分析与计算
电荷守恒、静电平衡条件、高斯定理
【 例 】 面电荷密度为 ?0
的无限大绝缘板旁, 有一
无限大的原不带电的导体
平板 。 求静电平衡后导体
板两表面的面电荷密度 。
? ?
12
解,设导体板两表面电荷密度为 ?1 和 ?2
电荷守恒,
?1 + ?2 = 0
静电平衡条件,
E0+E1-E2 = 0
?0/(2?0) +?1/(2?0) – ?2/(2?0) = 0
?1 – ?2= – ?0 结果, ?1 = – ?0 /2
?2 = ?0 /2
?1 ?2 ??
E0
E2 E
1
13
【 例 】 带电导体球 A与带电导体球壳 B同心, 求
（ 1） 各表面电荷分布
（ 2） 导体球 A的电势 UA
（ 3） 将 B接地, 各表面电荷分布 。
（ 4） 将 B的地线拆掉后, 再将 A接地时各表
面电荷分布 。
R 3 R 2
R 1 B A q
Q
14
A 表面,q
解,
（ 1）求 表面电荷
（ 2） 求 A的电势 UA
三层均匀带电球面,电势叠加
302010 444 R
R
q
R
qU
A ??????
?????
R 3 R 2
R 1 B A q Q B 内表面,
B 外表面,Q +q
-q
-q
Q +q
15
B 内表面, -q
A 表面, q
（ 3） B 接地,求 表面电荷。
B 外表面, 无电荷
0
4 30
??
R
qU B
B ??
外
B qA
- q
B
R3
0?BU接地结果,
16
（ 4） B的接地线拆掉,再将 A接地,求 表面电荷。
设 A表面 电荷为 q?
则 B 内表面,-q?
B 外表面,-q +q?
0
444 302010
??????????
R
R
q
R
qU
A ??????
可解出 q?( ? q) 。
B
A q ?
- q ? -
q + q ?
U A =0
UA= 0
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针对特定体系,边界 S内只包围若干个静止导
体, 给定导体的几何形状, 相互位置 。
§ 4.4–4.5 静电场的唯一性定理 静电屏蔽
边界 S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
此外, 再给定哪些条件, 边界 S内自由 空间
的电场才能唯一确定？
18
0)( 2 ??????????? UUE?
给定哪些边值条件, 边界 S内自由 空间的电
场才能唯一确定？
一,静电边值问题
0,
0
???? ??E
?自由空间,0??
解出,由 求电场分布。 ),,( zyxU UE ????
静电边值问题,
02 ?? U
边值条件
19 （ 3） 给定一些导体的 电势 和其余导体的 电量 。
（ 1）给定每一个导体的 电势。
（ 2）给定每一个导体的 电量。
给定边界 S上的电势分布, 或, 再
给定下列条件之一, S内 静电场分布唯一确定
SU nU ?? S
导体 Ⅰ 导体 Ⅱ
自由空间,E=?
n?
S
二,静电场的唯一性定理
20
不论导体壳是否接地, 壳内电场都不受壳外
电荷位置和数量变化的影响, 壳外电场也不受
壳内电荷位置变化的影响 。
唯一性定理的证明见本章补充。
三,静电屏蔽
金属 导体壳
Qin
Qout
但为了使壳外电场不受壳内电荷数量变化的
影响, 导体壳必须接地 。
21
Qin
Qout
-Qin
Qin
1、导体壳不接地
壳内空间的边值条件,Qin, – Qin
壳外空间的边值条件,Qin, Qout
S
0??? nU S
等势体
22
?壳外 Qout位置和数量变化, 不改变壳内空间的
边值条件, 因此, 不改变壳内空间电场分布 。
?壳内 Qin位置变化, 不改变壳外空间电场分布 。
Qin
Qout
-Qin
Qin
S
0??? nU S
等势体
?但壳内 Qin数值变化, 改变壳外表面电荷 Qin,
因此, 将改变壳外空间的电场分布 ！
23
2、导体壳接地
壳内边值条件,Qin, U=0
壳外边值条件,Qout, U=0
一个接地的封闭金属壳, 可以起到壳内外互
不影响的屏蔽作用 。
Qin
Qout
US=0
S
U=0
24
静电屏蔽的应用
金属表面对电磁波有很强的反射作用, 反射
系数几乎是 1。 所以 封闭的金属导体壳可以完
全屏蔽电磁波 。
电磁波进入导体的深度称为, 穿透深度,,
它正比于, 高频电磁波的穿透深度很小,
很快衰竭 。
?1
3,电磁波的屏蔽
原因：导体中自由电子在入射场驱动下
形成传导电流, 其焦耳热消耗了电磁场的能
量 。
25
【 思考题解答 】
+
+
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+
+
+ + +
带电体
移动金属 腔内 带电体, 或改变 腔内 带电体的
电量, 不影响外表面电荷分布, 只影响内表面
电荷分布 。
S
0??? nU S
26
四, 电像法介绍
【 例 】 点电荷 q放在 无限大接地导体平板上方
h处 。 求板面上的电荷分布 。
h
q
o
27
边界面内导体电量给定为 q。
板上方空间的电场分布是唯一的。
U=0
U?=0
h
q
o
边界面电势给定 U=U?=0,
按静电唯一性定理,
解,
?E?
28
上方空间和所求空间的
边值条件 （ U=U?=0,q）
相同 。
由唯一性定理,上方空间电场，即为所求。
U=0
U?=0
h
q
h
-q （ q 的电象）
用 q的电象 –q，
代替接地板对上方
空间电场的作用 。
29
? ? 232204
2
ha
qhE
p
?
??
??
? ? 2322
0
2 ha
qh
E pp
?
?
?
?
?
?? U=0
U?=0
h
q
h
-q
p
a
pE
电象法本质,用域外的象电荷来等效边界上
的未知电荷对域内的影响, 以简化计算 。
30
就一般情况, 给定一些导体的电势和其余导
体的电量, 证明 。
假设存在两个解,UU ???,
即电场的分布唯一确定。
如果能证明 UU ???? 则 EE ?? ????＋常数,
??
?
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?
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给定 或
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给定
导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
自由空间,E=?
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补充,静电场唯一性定理的证明
静电边值问题,
31
把导体 Ⅱ 的电荷条件变换成电势条件
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Ⅱ
ⅡⅡ
S
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ⅡS
其中 代表 导体 Ⅱ 的外表面。
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Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
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32
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Ⅱ
Ⅱ
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静电边值问题改写成,
给定 或
SU nU?? S
给定
导体 Ⅰ
U Ⅰ
导体 Ⅱ
给定 Q Ⅱ
ⅡS
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Ⅱ
Ⅱ
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Ⅱ
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设存在两个解,和 U? U?,令 UUU ?????*
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Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
34
常数?????? UUU *如果,则电场分布唯一。
1,先证明下式成立
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V ?其中 代表任意封闭面 包围的自由空间体积。
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Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ
关于 的边值问题, *U
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35
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高斯定理（数学）,
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即得,
常数?????? UUU *2,再证明
零
36
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ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
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导体 Ⅱ 导体 Ⅰ
ⅠS
ⅡS
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V
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导体 Ⅰ 界面
导体 Ⅱ 界面
37
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Ⅱ
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Ⅱ
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ⅡⅠ
ⅡⅡⅠⅠ
原体系的电场分布是唯一的。 证毕。
,0* ?? U 常数?????? UUU *所以 即,
等势
0?
