1
2005年春季学期 陈信义编
第 3章 电势
电磁学（第三册）
2
目 录
【 演示实验 】 高压带电操作、电容器储能
§ 3.1 静电场的保守性
§ 3.3 电势叠加原理
§ 3.2 电势差和电势
§ 3.4 电势梯度
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
§ 3.6 电荷系的静电能
§ 3.7 静电场的能量
补充,静电场环路定理的微分形式
3
§ 3.1 静电场的保守性
一、静电场是保守场
1、点电荷的静电场是保守场
单位正电荷沿任意路径由点 a?b，电
场力作的功 只与起、终点位置有关，与
移动的路径无关。
r
r
qE ?
4 20??
?
? 有心力场
4
L
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ba
ba
b
a
b
La
ba
UU
r
q
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q
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rq
rr
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q
W
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00
2
0
2
0
44
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4
????
????
d
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5
2、任意电荷体系的静电场是保守场
电荷体系由点电荷组成 —场叠加原理
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ??????
?
?
?
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?
?
??? ??
i
b
a
i
i
b
La
i
b
La
i
i
b
La
rErErErE
????????
dddd
路径无关 路径无关
— 保守性的表述 二、静电场的环路定理
? ??
)(
0
L
rE ?
?
d
静电场强沿任意闭合路径的积分等于零
L
6
二, 高斯定理与环路定理完备描述静电场
(对任意电场都成立 ) ???? ?
)(
0
1d
S
i
S
qSE ?
??
(只对静电场成立 ) ? ??
)(
0d
L
rE ?
?
【 思考 】 匀速运动电荷
的电场是静电场吗？
v + Q
所以不是静电场！
环路积分不为零,
7
§ 3.2 电势差和电势
? ???
b
a
ba rEUU
??
d
静电场是保守场 —定义电势差
一、电势差
电势的减少＝电场力作的功
单位正电荷的 电势能的差。
把单位正电荷由点 a?b电场力作的功。
8
二、电势
—把单位正电荷自该点移到电势零点, 电
场力作的功 。
把单位正电荷自电势零点移到该点 —外
力作的功 。
? ??
0
)(
p
p
rEpU
??
d
00 ?pU选 p0 点为电势零点：,则 p点电势
9
?电荷分布在有限范围 —选无穷远为电势零点
?
?
??
p
rdEpU
??
)(
通常选地球为无穷远电势零点。
?电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无
限远。
电势零点的选择,
【 演示实验 】 高压带电操作
10
三,几种带电体的电势分布
r
qr
r
q
rU
r 00 4
d
4
)( 2
?????
?
??
1,静止点电荷的电势
选无穷远为电势零点
11
2,均匀带电球面的电势
球面外点的电势等于处
于球心的, 点电荷, 在该
点的电势 。
球面内等电势,等于球
面上的电势 。
r
q
0
U
R
R
?
?
?
?
?
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???
????? ?
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q
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R
q
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r
q
r
rErU
r
R
R
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r
,
44
,
44
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00
2
2
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d
dd
d
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q
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R
q
rU
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4
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3
0
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??
3,均匀带电球体的电势
R
q r
Rrr
r
q
E
Rrr
R
qr
E
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??
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4
1
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4
1
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?
?
? ?223
0
21 38dd)( rRR
qrErErU
R
R
r
???? ??
?
??
:Rr ?
R
qU
042
3)0(
????
球心,0 r
U
R q
R
13
4,无限长圆柱面 (线电荷密度 ?) 的电势
电势分布,选 点为电势零点 )(
00 rrp ?
Rr
r
E ??,
2 0??
?
电场分布,RrE ??,0
?
R
r p
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R
r p p
0 r0
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2
dd)(,0
0
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R
r
r
R
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r
r
rErURr
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)l n (
2
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0
0
r
r
r
r
rErURr
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? ??? d
14
电势零点不能选在无限远！
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Rr
r
r
Rr
R
r
rU
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2
),l n (
2
)(
0
0
0
0
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?
??
?
? r
r0 R 0 r
p0
15
§ 3.3 电势叠加原理
注意,各电荷的电势零点必须相同。
应用电场叠加原理证明,
)()(
00
pUrErEpU i
ii
p
p
i
p
p
??? ??? ???
????
dd
??
i i
EE ??
在电荷体系的电场中, 某点电势等于各电
荷单独在该点产生的电势的代数和
??
i
iUU
16
1、点电荷体系
?
?
?
n
i i
i
r
qpU
1 0
4)( ??
2、连续分布的电荷体系
? ?
????
电荷体系
r
dqpU
04
)( ??
dq
p
ri
qi
qj
dq
p
r
q
R
O x p
【 例 】 均匀带电圆环轴线上的电势
?? rqpU
04
)(
??
d ??
q
q
r
d
04
1
??
22
00 4
4 xR
q
r
q
?
??
????
r dq
18
【 例 】 两同心带电球
面, 求 A,B,C 点的
电势 。
q 1
q 2
R 1
R 2 A
B C
r A
r B r
C
AAA r
qq
r
q
r
q
0
21
0
2
0
1
444 ??????
????
20
2
10
1
21 44 R
q
R
qUUU
CCC ???? ?＝＋＝
20
2
0
1
21 44 R
q
r
qUUU
B
BBB ???? ?＝＋＝
AAA UUU 21 ＋＝
单独在该点的电势的和 !
19
§ 3.4 电势梯度
一、等势面
电势相等的点组成的曲面。
1,电场线与等势面处处正交，并指向电势
降低的方向。
2,两等势面相距较近处的场强大, 相距
较远处场强较小 。
等势面特征,
20
等势面
电场线
点电荷的等势面
21
+
等势面
电偶极子的等势面
电场线
22
两相等点电荷的等势面
等势面
电场线
23
等势面 电场线
24
等势面
电场线
平行板电容器
25
人心脏的等电势
线，类似于电偶
极子。
26
二、场强和电势的关系
证明见力学 § 4.8由势能求保守力。
电势梯度矢量,U?
静电场中某点的电场强度，等于该点电
势的负梯度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
k
z
U
j
y
U
i
x
U
UE
???
?
静电场强等于负电势梯度矢量。
27
?U 垂直于过该点的等势
面, 方向是电势升高最快的方向 。
?U 的基本特征,
证明,
垂直于等势面, 和 与等势面相切 n? k? m?
??
?
??
? nmk ?,?,?以等势面 U上 p点为原点作直角坐标系
U
U+DU
n?
k?
m?P
28
n
Un
n
Un
m
Um
k
UkU
?
??
?
??
?
??
?
??? ????
U
U+DU
n?
k?
m?P
垂直于过该点的等势面。 U?所以，
电场线与等势面处处正交 。 两等势面相距
较近处的场强大, 相距较远处场强较小 。
因此
29
所以,的方向是电势升高最快的方向。 U?
n
U
n
UlU
l
U
?
???
?
?????
?
? ?c o s?
?
U
U+DU
n?
k?
m?P
l?
n
UnU
?
??? ?
电场线指向电势降低最快的方向。
30
【 例 】 均匀带电球面，由电势分布求场强分布。
场强沿径向 ? 只要计算径向分量
0 r
U
R q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Rr
r
q
Rr
R
q
rU
,
4
,
4
)(
0
0
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??
?
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?
?
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?
?
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Rr
r
q
r
q
r
Rr
R
q
r
r
rU
E
,
44
,0
4)(
2
00
0
????
??
31
电荷的电量 × 该点的电势
qUW ＝
“电荷与电场的相互作用能”
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
【 例 】 氢原子中电子的静电势能
“电子与电场（质子）的相互作用能”
原子核（质子）的电势,
r
erU
04
)( ???
电子的静电势能,
r
erUeW
0
2
4
)()(
??
???＝
32
【 例 】 电偶极子在均匀外电场中的电势能
?? ?? WWW
EpW ?????,
（受力矩,） EpM ??? ??
EpW ?? ???
【 思考 】 势能 W随 p的取向如何变化？
- q
E
?
?
l
+ q
lqp ???证明,
?c o sd EllEUU ???? ??
?
?
??
??
?? ?? qUqU
? ??? ?? UUq
33
§ 3.6 电荷体系的静电能
一、点电荷体系的相互作用能
其中 Ui 为 qi 所在处, 由 qi 以外的 其它电荷 所
产生的电势 。
把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到
无穷远时, 它们间的静电力所作的功, 称为
这 n 个点电荷间的相互作用能
i
n
i
i UqW ?
?
?
12
1
34
证明,
1,n=2
r
qqr
r
qqW
r 0
21
2
0
21
4
d
4 ????
?? ?
?
固定 q1，把 q2移到无限远电场力做的功
r
qU
r
qU
0
2
1
0
1
2 4,4 ???? ??
? ?221121 UqUqW ??写成对称形式即
q2
q1 r
1122 qUqUW ??
35
2,n=3 q3
q2 q1
? ? ? ? ? ?? ?11333133222322111221 qUqUqUqUqUqUW ??????
类推，得
i
n
i
i UqW ?
?
?
12
1
? ? ? ? ? ?? ?33231223211131221 qUUqUUqUU ??????
? ?33221121 qUqUqU ???
36
式中 U为在带电体上, 所有电荷在电荷元
dq 处的电势 。
二、连续分布的电荷体系的静电能
— 各电荷元间的静电相互作用能
（带电体）
＝ ??? qUW d
2
1
【 思考 】 为什么不包括电荷元 dq 的自能？
37
R
q
【 例 】 均匀带电球体的静电能
分割成同心薄球壳 （ dq）
r dr
dq
)3(8)( 223
0
rRRqrU ?? ??
??
q
qrUW d)(
2
1
:点模型的发散困难
R
qW
0
2
20
3
???
:电荷元 dq 的自能为零
所在处的电势为
,静电能为
??? WR,0若 q不变,
0,0 ?? WR若 ?不变,
R
q
0
2
20
3
??
?
? ??? ?R rr
R
q
rR
R
q
0
2
3
22
3
0
d4
3
4
3
82
1 ?
???
38
【 例 】 电子的经典半径
c
e r
ecm
0
2
2
20
3
??
?
另一种估算,
m15
2
0
2
0
2
2
1082.2
4
4
????
?
cm
e
r
r
e
cm
e
c
c
e
??
??
m152
0
2
107.1
20
3 ????
cm
er
e
c ??
39
体系静电能 = 相互作用能 ＋ 自能
三、连续带电体体系的 静电能
体系 Q1
Q2
Q3
40
§ 3.7 静电场的能量
均匀带电球面的静电能,
??
)(
d
2
1
球面
qUW
R q
静电能贮存在电场中
Ein = 0
V
e VwW ?? d
在区域 V 中电场的能量,
在真空中电场能量密度,
2
2
0 Ew
e
??
静电能贮存在哪儿？
E = 0
??
)( 0
d
42
1
球面
q
R
q
??
R
q
0
2
8??
?
R
qW
0
2
8???
41
R
R
qW d
8
d 2
0
2
??
??
用特例说明,
V
Ww
e d
d??
电场的能量密度,
R
qW
0
2
8 ??
?
设电斥力作用 R ? R+dR
球壳 (R,R+dR)内的静电能
— 减少的静电能,
R q
dR
242
2
0
2
2
0
0 E
R
q ?
??
?
??
?
?
?
?
?
?RR
R
R
q
d4
d
8
2
2
0
2
?
?
?
??
42
R q
【 例 】 对场能积分求均匀带电球
体的静电能 。
【 例 】 电容器储能
dr
r
R
q
rr
r
q
rr
R
qr
V
E
V
E
R
R
Rr Rr
0
0
0
0
0
2010
20
3
4
42
4
42
d
2
d
2
2
d
2
2
2
d
2
2
3
0
22
??
?
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?
?
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?
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?
?
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?
?
?
??
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
? ?
?? q qrUW d)(21与 相同
VwW e d??
全空间
dV
43
证明,由斯托科斯公式
因域 S 任意，则 0??? E?
? ?? ?????
)( )(
d)(d
L S
SErE
????
0??? E?
附录, 静电场环路定理的微分形式
L
dS
E
S
S 是以 L 为边界
的任意曲面
0,1
0
?????? EE
??
??
静电场是有源、无旋场,
0?
2005年春季学期 陈信义编
第 3章 电势
电磁学（第三册）
2
目 录
【 演示实验 】 高压带电操作、电容器储能
§ 3.1 静电场的保守性
§ 3.3 电势叠加原理
§ 3.2 电势差和电势
§ 3.4 电势梯度
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
§ 3.6 电荷系的静电能
§ 3.7 静电场的能量
补充,静电场环路定理的微分形式
3
§ 3.1 静电场的保守性
一、静电场是保守场
1、点电荷的静电场是保守场
单位正电荷沿任意路径由点 a?b，电
场力作的功 只与起、终点位置有关，与
移动的路径无关。
r
r
qE ?
4 20??
?
? 有心力场
4
L
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2、任意电荷体系的静电场是保守场
电荷体系由点电荷组成 —场叠加原理
? ? ? ? ? ?
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路径无关 路径无关
— 保守性的表述 二、静电场的环路定理
? ??
)(
0
L
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静电场强沿任意闭合路径的积分等于零
L
6
二, 高斯定理与环路定理完备描述静电场
(对任意电场都成立 ) ???? ?
)(
0
1d
S
i
S
qSE ?
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(只对静电场成立 ) ? ??
)(
0d
L
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【 思考 】 匀速运动电荷
的电场是静电场吗？
v + Q
所以不是静电场！
环路积分不为零,
7
§ 3.2 电势差和电势
? ???
b
a
ba rEUU
??
d
静电场是保守场 —定义电势差
一、电势差
电势的减少＝电场力作的功
单位正电荷的 电势能的差。
把单位正电荷由点 a?b电场力作的功。
8
二、电势
—把单位正电荷自该点移到电势零点, 电
场力作的功 。
把单位正电荷自电势零点移到该点 —外
力作的功 。
? ??
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p
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00 ?pU选 p0 点为电势零点：,则 p点电势
9
?电荷分布在有限范围 —选无穷远为电势零点
?
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??
)(
通常选地球为无穷远电势零点。
?电荷分布到无限远时，电势零点不能选在无
限远。
电势零点的选择,
【 演示实验 】 高压带电操作
10
三,几种带电体的电势分布
r
qr
r
q
rU
r 00 4
d
4
)( 2
?????
?
??
1,静止点电荷的电势
选无穷远为电势零点
11
2,均匀带电球面的电势
球面外点的电势等于处
于球心的, 点电荷, 在该
点的电势 。
球面内等电势,等于球
面上的电势 。
r
q
0
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R
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q
r
r
q
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R
r
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44
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44
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2
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3,均匀带电球体的电势
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球心,0 r
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13
4,无限长圆柱面 (线电荷密度 ?) 的电势
电势分布,选 点为电势零点 )(
00 rrp ?
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?
电场分布,RrE ??,0
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电势零点不能选在无限远！
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15
§ 3.3 电势叠加原理
注意,各电荷的电势零点必须相同。
应用电场叠加原理证明,
)()(
00
pUrErEpU i
ii
p
p
i
p
p
??? ??? ???
????
dd
??
i i
EE ??
在电荷体系的电场中, 某点电势等于各电
荷单独在该点产生的电势的代数和
??
i
iUU
16
1、点电荷体系
?
?
?
n
i i
i
r
qpU
1 0
4)( ??
2、连续分布的电荷体系
? ?
????
电荷体系
r
dqpU
04
)( ??
dq
p
ri
qi
qj
dq
p
r
q
R
O x p
【 例 】 均匀带电圆环轴线上的电势
?? rqpU
04
)(
??
d ??
q
q
r
d
04
1
??
22
00 4
4 xR
q
r
q
?
??
????
r dq
18
【 例 】 两同心带电球
面, 求 A,B,C 点的
电势 。
q 1
q 2
R 1
R 2 A
B C
r A
r B r
C
AAA r
r
q
r
q
0
21
0
2
0
1
444 ??????
????
20
2
10
1
21 44 R
q
R
qUUU
CCC ???? ?＝＋＝
20
2
0
1
21 44 R
q
r
qUUU
B
BBB ???? ?＝＋＝
AAA UUU 21 ＋＝
单独在该点的电势的和 !
19
§ 3.4 电势梯度
一、等势面
电势相等的点组成的曲面。
1,电场线与等势面处处正交，并指向电势
降低的方向。
2,两等势面相距较近处的场强大, 相距
较远处场强较小 。
等势面特征,
20
等势面
电场线
点电荷的等势面
21
+
等势面
电偶极子的等势面
电场线
22
两相等点电荷的等势面
等势面
电场线
23
等势面 电场线
24
等势面
电场线
平行板电容器
25
人心脏的等电势
线，类似于电偶
极子。
26
二、场强和电势的关系
证明见力学 § 4.8由势能求保守力。
电势梯度矢量,U?
静电场中某点的电场强度，等于该点电
势的负梯度
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
k
z
U
j
y
U
i
x
U
UE
???
?
静电场强等于负电势梯度矢量。
27
?U 垂直于过该点的等势
面, 方向是电势升高最快的方向 。
?U 的基本特征,
证明,
垂直于等势面, 和 与等势面相切 n? k? m?
??
?
??
? nmk ?,?,?以等势面 U上 p点为原点作直角坐标系
U
U+DU
n?
k?
m?P
28
n
Un
n
Un
m
Um
k
UkU
?
??
?
??
?
??
?
??? ????
U
U+DU
n?
k?
m?P
垂直于过该点的等势面。 U?所以，
电场线与等势面处处正交 。 两等势面相距
较近处的场强大, 相距较远处场强较小 。
因此
29
所以,的方向是电势升高最快的方向。 U?
n
U
n
UlU
l
U
?
???
?
?????
?
? ?c o s?
?
U
U+DU
n?
k?
m?P
l?
n
UnU
?
??? ?
电场线指向电势降低最快的方向。
30
【 例 】 均匀带电球面，由电势分布求场强分布。
场强沿径向 ? 只要计算径向分量
0 r
U
R q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Rr
r
q
Rr
R
q
rU
,
4
,
4
)(
0
0
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
Rr
r
q
r
q
r
Rr
R
q
r
r
rU
E
,
44
,0
4)(
2
00
0
????
??
31
电荷的电量 × 该点的电势
qUW ＝
“电荷与电场的相互作用能”
§ 3.5 电荷在外场中的静电势能
【 例 】 氢原子中电子的静电势能
“电子与电场（质子）的相互作用能”
原子核（质子）的电势,
r
erU
04
)( ???
电子的静电势能,
r
erUeW
0
2
4
)()(
??
???＝
32
【 例 】 电偶极子在均匀外电场中的电势能
?? ?? WWW
EpW ?????,
（受力矩,） EpM ??? ??
EpW ?? ???
【 思考 】 势能 W随 p的取向如何变化？
- q
E
?
?
l
+ q
lqp ???证明,
?c o sd EllEUU ???? ??
?
?
??
??
?? ?? qUqU
? ??? ?? UUq
33
§ 3.6 电荷体系的静电能
一、点电荷体系的相互作用能
其中 Ui 为 qi 所在处, 由 qi 以外的 其它电荷 所
产生的电势 。
把 n 个静止点电荷从现有位置彼此分散到
无穷远时, 它们间的静电力所作的功, 称为
这 n 个点电荷间的相互作用能
i
n
i
i UqW ?
?
?
12
1
34
证明,
1,n=2
r
qqr
r
qqW
r 0
21
2
0
21
4
d
4 ????
?? ?
?
固定 q1，把 q2移到无限远电场力做的功
r
qU
r
qU
0
2
1
0
1
2 4,4 ???? ??
? ?221121 UqUqW ??写成对称形式即
q2
q1 r
1122 qUqUW ??
35
2,n=3 q3
q2 q1
? ? ? ? ? ?? ?11333133222322111221 qUqUqUqUqUqUW ??????
类推，得
i
n
i
i UqW ?
?
?
12
1
? ? ? ? ? ?? ?33231223211131221 qUUqUUqUU ??????
? ?33221121 qUqUqU ???
36
式中 U为在带电体上, 所有电荷在电荷元
dq 处的电势 。
二、连续分布的电荷体系的静电能
— 各电荷元间的静电相互作用能
（带电体）
＝ ??? qUW d
2
1
【 思考 】 为什么不包括电荷元 dq 的自能？
37
R
q
【 例 】 均匀带电球体的静电能
分割成同心薄球壳 （ dq）
r dr
dq
)3(8)( 223
0
rRRqrU ?? ??
??
q
qrUW d)(
2
1
:点模型的发散困难
R
qW
0
2
20
3
???
:电荷元 dq 的自能为零
所在处的电势为
,静电能为
??? WR,0若 q不变,
0,0 ?? WR若 ?不变,
R
q
0
2
20
3
??
?
? ??? ?R rr
R
q
rR
R
q
0
2
3
22
3
0
d4
3
4
3
82
1 ?
???
38
【 例 】 电子的经典半径
c
e r
ecm
0
2
2
20
3
??
?
另一种估算,
m15
2
0
2
0
2
2
1082.2
4
4
????
?
cm
e
r
r
e
cm
e
c
c
e
??
??
m152
0
2
107.1
20
3 ????
cm
er
e
c ??
39
体系静电能 = 相互作用能 ＋ 自能
三、连续带电体体系的 静电能
体系 Q1
Q2
Q3
40
§ 3.7 静电场的能量
均匀带电球面的静电能,
??
)(
d
2
1
球面
qUW
R q
静电能贮存在电场中
Ein = 0
V
e VwW ?? d
在区域 V 中电场的能量,
在真空中电场能量密度,
2
2
0 Ew
e
??
静电能贮存在哪儿？
E = 0
??
)( 0
d
42
1
球面
q
R
q
??
R
q
0
2
8??
?
R
qW
0
2
8???
41
R
R
qW d
8
d 2
0
2
??
??
用特例说明,
V
Ww
e d
d??
电场的能量密度,
R
qW
0
2
8 ??
?
设电斥力作用 R ? R+dR
球壳 (R,R+dR)内的静电能
— 减少的静电能,
R q
dR
242
2
0
2
2
0
0 E
R
q ?
??
?
??
?
?
?
?
?
?RR
R
R
q
d4
d
8
2
2
0
2
?
?
?
??
42
R q
【 例 】 对场能积分求均匀带电球
体的静电能 。
【 例 】 电容器储能
dr
r
R
q
rr
r
q
rr
R
qr
V
E
V
E
R
R
Rr Rr
0
0
0
0
0
2010
20
3
4
42
4
42
d
2
d
2
2
d
2
2
2
d
2
2
3
0
22
??
?
??
?
?
??
?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
? ?
?? q qrUW d)(21与 相同
VwW e d??
全空间
dV
43
证明,由斯托科斯公式
因域 S 任意，则 0??? E?
? ?? ?????
)( )(
d)(d
L S
SErE
????
0??? E?
附录, 静电场环路定理的微分形式
L
dS
E
S
S 是以 L 为边界
的任意曲面
0,1
0
?????? EE
??
??
静电场是有源、无旋场,
0?
