2005年春季学期 陈信义编
电磁学（第三册）
第 5章 静电场中的电介质
本章讨论,
电介质 如何影响电场？
在 电场作用下,电介质的 电荷如何分布？
如何计算有电介质存在时的电场分布？
引 言
电介质 (Dielectric),就是绝缘体 —无自由电
荷, 不导电 。
请关注：电介质和导体在电学机制上的区
别 。
【 演示实验 】 电介质对电场的影响, 压电
效 应, 电致伸缩
§ 5.1 电介质对电场的影响
§ 5.3 D 的高斯定理
§ 5.2 电介质的极化
§ 5.5 电容器的能量（自学）
§ 5.4 电容器和它的电容（自学） ?
目 录
§ 5.6 介质中电场能量密度
?
§ 5.1 电介质对电场的影响 【 演示实验 】
+Q
-Q
E0 U0
+Q
-Q
1?r? —相对介电常数
rr
UUEE
??
00,??
变压器油,?r～ 2.24
钛酸钡,?r～ 103—104 铁电体
电介质 E,U
电场被削弱,
端面出现电荷
如何解释上述实验结果？
束缚电荷的电场 E′ 不能全部抵消 E0,只能
削弱总场 E,
++++++++++++
----------------- + + + + + + + +
- - - - - - - -
机制与导体有何不同？
E??0E?
导体情况,
－, 束 缚 电 荷, （ bound
charge） 或, 极化电荷, 。
电介质情况,
电中性的分子中, 带负电的电子 (或负离
子 )与带正电的原子核 (或正离子 )束缚得很
紧, 不能自由运动－ 束缚电荷 或 极化电荷 。
§ 5.2 电介质的极化 （ polarization）
一、电介质的电结构
电偶极子模型,
每一个分子中的正电荷集中于一点, 称为
正电荷重心 ；负电荷集中于另一点, 称为 负
电荷重心 — 两者构成 电偶极子
固有电偶极矩
1,有极分子 (Polar molecule) — 极性 电介质
例如 HCl,H2O,CO
H2
O
.,,
O H H
H
O
+ H + p
?
分子正负电重心不重合 有固有电偶极矩
二、有极分子和无极分子
~ 10–30 C·m
分子
HCl
3,43
H2S
5,3
HBr
2,60
SO2
5,3
HI
1,26
NH3
5,0
CO
0,40
C2H5OH
3,66
分子 p / (10?30C ? m) p / (10?30C ? m)
H2O 6,2
有极分子的电偶极矩
分子正负电中心重合 无固有电偶极
2,无极分子 (Nonpolar molecule)
例如 H2,O2,CO2,CH4
4CH
H
H
C HH C
H +
H +
H + H +
— 非极性电介质
三、电介质的极化 (Polarization)
在外电场作用下, 电介质 表面出现正负
电荷层的现象 —电极化
极化机制
无极分子 位移极化
有极分子 取向极化
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
外E
?
1、无极分子的 位移极化
无外电场,正负电荷重心重合，介质不带电
l?
p? 外E
?
f?f?
加外电场,
产生 感生电偶极矩 主要是电子 （ 云 ） 移动
极化的效果,端面出现 束缚电荷
2,有极分子的 取向极化
无外电场,固有电 偶
极 矩热运动，混乱分
布，介质不带电。
+
+
+ +
+
+
+
加外电场,外场取
向与热混乱运动达
到平衡。 +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+
+ + + +
外E
?
极化的效果,端面出现 束缚电荷
有极分子电介质也存在位移极化, 但取向极
化是主要的, 它比位移极化约大一个数量级 。
电场频率很高时, 分子惯性较大, 取向极
化跟不上外电场的变化, 只有惯性很小的电
子才能紧跟高频电场的变化而产生位移极化
,只有电子位移极化机制起作用 。
四、电极化强度 (Polarization intensity）
—表征电介质极化程度 如何表征？
电极化强度, 电介质中某点附近单位体积
内分子电偶极矩的矢量和
V
p
P i
V ?
??
??
??
lim
0
单位,C/m2 —面电荷密度？
?V ? 宏观小、微观大的体积元
极化状态：各分子电偶极矩矢量和不会完
全相互抵消 。 表征极化程度。
lnqpnP ??? ??
n —单位体积内的分子数
每个分子的正电荷重心相对于其负电荷重心
都有一个位移 l,各个分子的感应电矩都相同
,电介质的极化强度为
以均匀的位移极化为例,
均匀极化,电介质各处极化强度 P大小和方
向都相同 。
电极化强度 P ～ 总场强 E
1,0 ??? ree EP ???? ??
?e? 电极化率（介质性质，与场无关）
? 介质中的总场强 (外电场＋束缚电荷电场 ) E?
? 相对介电常数
r?
只讨论各向同性、线性电介质。
五、各向同性、线性电介质的极化规律
方向相同 （ 各向同性 ）, 成正比 （ 线性 ）
q
??
P?
Sd n?
q?
l?
Q?d
n － 分子数密度
n? －面元 外法线
单位矢量
?
电介质
六、束缚电荷 与极化强度的关系
1、束缚电荷面密度
以非极性电介质为例推导
结果也适用于极性电介质
表面 dS 出现的束缚电荷,
qSnlnQ )d?(d ??? ? Snlnq d?)( ?? ?
Snpn d??? ? SnP d??? ?
n
n P
S
SP ???
d
d?
SPn d?
束缚电荷面密度,
P? ? 表面该点的电极化强度矢量
n? ? 表面该点 外法线方向 单位矢量
束缚电荷面密度,
?? c o s? PPnP n ????? ?
n? P?
??
?
当 ?为锐角时, 电介质表面上出现一层正极
化电荷 。
当 ?为钝角时, 表面上出现一层负极化电荷 。
束缚电荷面密度，等于 电极化强度法向分量。
束缚电荷体密度,
V
Q
V
内???
?
lim
0
?
封闭面 S 内的束缚电荷,
dS P
V Q
介质 内
S
?
2、束缚电荷体密度
?? ????
S
SQ d?内
?? ?? ??????
S S
SPSnP
???
dd?
P???????
V
SP
S
V
?? ?
??
?
??
d
lim
0
P?????
束缚电荷体密度，等于 电极化强度散度负值。
【 例 】 已知介质球均匀极化，极化强度为,P?
求, ??,??,
解,
c os ?? ???? PP n
0?????? P??P
P
θ
n?
均匀极化电介质, 体束缚
电荷密度为零 。
1、铁电体 （ ferroelectrics）
钛酸钡（ ?r ～ 103—104）、酒石酸钾钠,…
P～ E 关系是非线性的；
电滞效应 —撤去外电场后 P不会减为零, 相
对两表面仍存在异号极化电荷 。
—增大电容器的电容（～ 103 倍）
—铁电记忆元件
七、铁电体和压电体
应用,电声换能器, 压电晶体振荡器,
压电变压器, 压电传感器
2、压电体 (piezoelectrics)
压电晶体、压电陶瓷
压电效 应,机械形变 （ 压缩或伸长 ） 能改
变电极化强度, 对应两表面产生异号极化
电荷 。
电致伸缩 —逆压电效应
【 演示实验 】 压电效 应,电致伸缩
§ 5.3 D的高斯定理
给定自由电荷分布, 如何求稳定后的电
场分布和束缚电荷分布？
?电荷重新分布 ? ···
E0 ? E1 ? E2 ? · · · ? E
实际计算,引入一个包含束缚电荷效应的
辅助量 D，直接求 D，再求 E,
存在介质时，静电场的规律,
给定自由电荷分布 ?电场 ?束缚电荷分布
?电场重新分布
迭代计算,
E 的高斯定理,
00 /d ???
??
?
? ????? 内＋内 qqSE
S
??
一、电位移矢量 D D的高斯定理
?? ???
S
qSPE 内00 d)(
???
?
?? ????
S
SPq
??
d内束缚电荷,代入移项得
：q? 束缚电荷 自由电荷,：0q总场强,：E?
电
介
质
自由
电荷
S
q0内
q?内
为什么？
定义 (引入 )电位移矢量,
PED ??? ?? 0?
D 的高斯定理,
?? ???
S
qSdD 0??
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量,
等于该封闭面所包围的 自由电荷 的代数和
?? ???
S
qSdPE 内00 )(
???
?
电位移线（ D 线） 发自正自由电荷，止于负
自由电荷。 在闭合面上的 通量只和闭合面内的
自由电荷有关。
所以,D的分布
一般也和束缚电荷（介质分布）有关。
只有当介质的分布满足一定条件时,D 才与
束缚电荷无关。
PED ??? ?? 0?因为
PED ??? ?? 0?,0d?? ???
S
qSD ??
,其中 E 是所有电荷共同
产生的, P 与束缚电荷有关 。
【 思考 】 由微分形式, 如何理解 D可能与束缚
电荷的分布有关？
二、各向同性、线性介质 D,E,P 的关系
0???? D
?
EPED r ???? ??? 00 ???
EP r ?? )1(0 ?? ??
D 的高斯定理微分形式,
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
?? ???
S
qSdD 0??
E?D? ?
P?E? ?
?? ??,P? ?
0q D
??
P
nP ?
?
?????
???
?
? ?
? ? EP
ED
r
r ??
??
10
0
??
?
??
??
【 例 】 一带正电的金属球浸在油中。求球外的电
场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。
R
+
+
+ +
+ + +
+ +
- -
-
-
-
-
-
q q'
r?
qrD ?? 24?
rrqDE
rr
?
4 200 ????? ??
??
2
00
2
0 44 r
qE
r
qE
r ?????
???
r
r
qD ?
4 2?
?
?
D 的高斯定理
P E
D
r
为什么？
解,
r
r
q
r
r
q
EP
r
r
r
r
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4
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1
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R
+
+
+ +
+ + +
+ +
- -
-
-
-
-
-
q q'
P E
D
r
qRq
r
)11(4 2 ??? ???????
总与 反号, 数值小于 。 q? qq
24)
11()?()(
R
qrRP
r ??
? ???????
?
球表面的油面上的束缚电荷,
-r ^
P(R)
【 思考 】 油内出现体束缚电荷吗？
0?
?? ???E
另一解法,
ErP r )1()?( 0 ??????? ??? ?
用 E 的高斯定理
qq
r
r
)
1
1(
)
1
1(
?
?
?
?
????
???? R
+
+ +
+ + +
+ +
-
-
-
-
-
-
q q'
r?
?+?'
+ + -
- ?S
四、静电场的边界条件
在两种介质的分界面上
1,E 的切向分量连续
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
21
?
?
t
t
tt
D
D
EE
2,对无自由电荷的界面, D的法向分量连续
—D线连续
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
1
21
?
?
n
n
nn
E
E
DD
021 ???? lElE ttE 的环流定理
2
1
2
1
2
2
1
1,
?
?
?? ?? t
ttt
D
DDD
tt EE 21 ?
证明,? l
介质 1, ? 1
介质 2, ? 2 0??h
h?
1
2
2
1
2211,?
???
??
n
n
nn E
EEE
D 的高斯定理 0
021 ?????? SSDSD nn ?
nn DD 21 ?
? S
介质 1, ? 1
介质 2, ? 2
n
0??h
h?
§ 5.4 电容器和它的电容 ?
一、孤立导体的电容
Q,U
孤立导体
U
QC ?
【 例 】 孤立导体球的电容
R
R
Q
Q
U
Q
C
0
0
4
4
??
??
???
电介质减弱了极板间的电场和电势差，电
容增加到 ?r 倍。
二、平板电容器
S
d ? r
- Q
+ Q
D
d
S
U
Q
C
U
S
Qd
EdU
E
S
QD
E
S
Q
D
r
rrrrr
??
????????
?
0
0
0
0
00
,
?
?
?
?
???????
?＝
三、园柱形电容器
?
?
?
?
?
?
?
1
2
0
ln
2
R
R
LC r???
四,球形电容器
R 1
? r
R 2
12
2104
RR
RRC r
?
? ???
对于孤立导体球,
1,,12 ???? rRRR ?
RC 04???
R 2 R 1
L ? r
§ 5.5 电容器的能量
QUCU
C
QW
2
1
2
1
2
1 22 ???
dqCqdqudW ??
C
Q
dqC
q
dWW
Q 2
0
2
1?
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?
?
?
??
?
?
?
?
uCdr?
q?
q?
dq充电
电容器的能量还可以这样计算,
qUqUW
QQ
dd ??
?
?? ??
)()( 2
1
2
1 Q?
Q?
?r
?U
：正电荷板上 dq处电势
?U
：负电荷板上 dq处电势
【 思考 】 公式中的 dq包括束缚电荷吗？ 束缚电
荷对能量有贡献吗？
qUqUW
QQ
dd ?? ?? ??
)()( 2
1
2
1
QUqUU
Q 2
1)(
2
1
)(
??? ??? d
电容器的能量,
1、各向同性、线性介质
22
1 20 EDEw r
e
????
1?r?
在 E 相同的情况下, 电介质中的电场能量
密度比真空中的增大到 ?r 倍 — 极化能 。
§ 5.6 介质中电场能量密度
2
2
0 Ew
e
?
?? （真空）
以平板电容器为例说明
EUCdr?
Q?
Q?
SdESd
S
Q
C
QW r
r
r 20
2
0
0
2
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?
?
??
?
???
S
QE
d
SC
r
r
??
??
0
0,??
DEE
Sd
Ww r
e 2
1
2
2
0 ??? ??
没有上述简单公式 。 对电介质所作极化功
,只有一部分转化为极化能, 另一部分转化
为热能 。
2,各向异性电介质 （ D与 E方向不同）
EDw e
??
?? 21
3,非线性有损耗的电介质
电磁学（第三册）
第 5章 静电场中的电介质
本章讨论,
电介质 如何影响电场？
在 电场作用下,电介质的 电荷如何分布？
如何计算有电介质存在时的电场分布？
引 言
电介质 (Dielectric),就是绝缘体 —无自由电
荷, 不导电 。
请关注：电介质和导体在电学机制上的区
别 。
【 演示实验 】 电介质对电场的影响, 压电
效 应, 电致伸缩
§ 5.1 电介质对电场的影响
§ 5.3 D 的高斯定理
§ 5.2 电介质的极化
§ 5.5 电容器的能量（自学）
§ 5.4 电容器和它的电容（自学） ?
目 录
§ 5.6 介质中电场能量密度
?
§ 5.1 电介质对电场的影响 【 演示实验 】
+Q
-Q
E0 U0
+Q
-Q
1?r? —相对介电常数
rr
UUEE
??
00,??
变压器油,?r～ 2.24
钛酸钡,?r～ 103—104 铁电体
电介质 E,U
电场被削弱,
端面出现电荷
如何解释上述实验结果？
束缚电荷的电场 E′ 不能全部抵消 E0,只能
削弱总场 E,
++++++++++++
----------------- + + + + + + + +
- - - - - - - -
机制与导体有何不同？
E??0E?
导体情况,
－, 束 缚 电 荷, （ bound
charge） 或, 极化电荷, 。
电介质情况,
电中性的分子中, 带负电的电子 (或负离
子 )与带正电的原子核 (或正离子 )束缚得很
紧, 不能自由运动－ 束缚电荷 或 极化电荷 。
§ 5.2 电介质的极化 （ polarization）
一、电介质的电结构
电偶极子模型,
每一个分子中的正电荷集中于一点, 称为
正电荷重心 ；负电荷集中于另一点, 称为 负
电荷重心 — 两者构成 电偶极子
固有电偶极矩
1,有极分子 (Polar molecule) — 极性 电介质
例如 HCl,H2O,CO
H2
O
.,,
O H H
H
O
+ H + p
?
分子正负电重心不重合 有固有电偶极矩
二、有极分子和无极分子
~ 10–30 C·m
分子
HCl
3,43
H2S
5,3
HBr
2,60
SO2
5,3
HI
1,26
NH3
5,0
CO
0,40
C2H5OH
3,66
分子 p / (10?30C ? m) p / (10?30C ? m)
H2O 6,2
有极分子的电偶极矩
分子正负电中心重合 无固有电偶极
2,无极分子 (Nonpolar molecule)
例如 H2,O2,CO2,CH4
4CH
H
H
C HH C
H +
H +
H + H +
— 非极性电介质
三、电介质的极化 (Polarization)
在外电场作用下, 电介质 表面出现正负
电荷层的现象 —电极化
极化机制
无极分子 位移极化
有极分子 取向极化
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
外E
?
1、无极分子的 位移极化
无外电场,正负电荷重心重合，介质不带电
l?
p? 外E
?
f?f?
加外电场,
产生 感生电偶极矩 主要是电子 （ 云 ） 移动
极化的效果,端面出现 束缚电荷
2,有极分子的 取向极化
无外电场,固有电 偶
极 矩热运动，混乱分
布，介质不带电。
+
+
+ +
+
+
+
加外电场,外场取
向与热混乱运动达
到平衡。 +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+
+ + + +
外E
?
极化的效果,端面出现 束缚电荷
有极分子电介质也存在位移极化, 但取向极
化是主要的, 它比位移极化约大一个数量级 。
电场频率很高时, 分子惯性较大, 取向极
化跟不上外电场的变化, 只有惯性很小的电
子才能紧跟高频电场的变化而产生位移极化
,只有电子位移极化机制起作用 。
四、电极化强度 (Polarization intensity）
—表征电介质极化程度 如何表征？
电极化强度, 电介质中某点附近单位体积
内分子电偶极矩的矢量和
V
p
P i
V ?
??
??
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lim
0
单位,C/m2 —面电荷密度？
?V ? 宏观小、微观大的体积元
极化状态：各分子电偶极矩矢量和不会完
全相互抵消 。 表征极化程度。
lnqpnP ??? ??
n —单位体积内的分子数
每个分子的正电荷重心相对于其负电荷重心
都有一个位移 l,各个分子的感应电矩都相同
,电介质的极化强度为
以均匀的位移极化为例,
均匀极化,电介质各处极化强度 P大小和方
向都相同 。
电极化强度 P ～ 总场强 E
1,0 ??? ree EP ???? ??
?e? 电极化率（介质性质，与场无关）
? 介质中的总场强 (外电场＋束缚电荷电场 ) E?
? 相对介电常数
r?
只讨论各向同性、线性电介质。
五、各向同性、线性电介质的极化规律
方向相同 （ 各向同性 ）, 成正比 （ 线性 ）
q
??
P?
Sd n?
q?
l?
Q?d
n － 分子数密度
n? －面元 外法线
单位矢量
?
电介质
六、束缚电荷 与极化强度的关系
1、束缚电荷面密度
以非极性电介质为例推导
结果也适用于极性电介质
表面 dS 出现的束缚电荷,
qSnlnQ )d?(d ??? ? Snlnq d?)( ?? ?
Snpn d??? ? SnP d??? ?
n
n P
S
SP ???
d
d?
SPn d?
束缚电荷面密度,
P? ? 表面该点的电极化强度矢量
n? ? 表面该点 外法线方向 单位矢量
束缚电荷面密度,
?? c o s? PPnP n ????? ?
n? P?
??
?
当 ?为锐角时, 电介质表面上出现一层正极
化电荷 。
当 ?为钝角时, 表面上出现一层负极化电荷 。
束缚电荷面密度，等于 电极化强度法向分量。
束缚电荷体密度,
V
Q
V
内???
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0
?
封闭面 S 内的束缚电荷,
dS P
V Q
介质 内
S
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2、束缚电荷体密度
?? ????
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SQ d?内
?? ?? ??????
S S
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dd?
P???????
V
SP
S
V
?? ?
??
?
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P?????
束缚电荷体密度，等于 电极化强度散度负值。
【 例 】 已知介质球均匀极化，极化强度为,P?
求, ??,??,
解,
c os ?? ???? PP n
0?????? P??P
P
θ
n?
均匀极化电介质, 体束缚
电荷密度为零 。
1、铁电体 （ ferroelectrics）
钛酸钡（ ?r ～ 103—104）、酒石酸钾钠,…
P～ E 关系是非线性的；
电滞效应 —撤去外电场后 P不会减为零, 相
对两表面仍存在异号极化电荷 。
—增大电容器的电容（～ 103 倍）
—铁电记忆元件
七、铁电体和压电体
应用,电声换能器, 压电晶体振荡器,
压电变压器, 压电传感器
2、压电体 (piezoelectrics)
压电晶体、压电陶瓷
压电效 应,机械形变 （ 压缩或伸长 ） 能改
变电极化强度, 对应两表面产生异号极化
电荷 。
电致伸缩 —逆压电效应
【 演示实验 】 压电效 应,电致伸缩
§ 5.3 D的高斯定理
给定自由电荷分布, 如何求稳定后的电
场分布和束缚电荷分布？
?电荷重新分布 ? ···
E0 ? E1 ? E2 ? · · · ? E
实际计算,引入一个包含束缚电荷效应的
辅助量 D，直接求 D，再求 E,
存在介质时，静电场的规律,
给定自由电荷分布 ?电场 ?束缚电荷分布
?电场重新分布
迭代计算,
E 的高斯定理,
00 /d ???
??
?
? ????? 内＋内 qqSE
S
??
一、电位移矢量 D D的高斯定理
?? ???
S
qSPE 内00 d)(
???
?
?? ????
S
SPq
??
d内束缚电荷,代入移项得
：q? 束缚电荷 自由电荷,：0q总场强,：E?
电
介
质
自由
电荷
S
q0内
q?内
为什么？
定义 (引入 )电位移矢量,
PED ??? ?? 0?
D 的高斯定理,
?? ???
S
qSdD 0??
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量,
等于该封闭面所包围的 自由电荷 的代数和
?? ???
S
qSdPE 内00 )(
???
?
电位移线（ D 线） 发自正自由电荷，止于负
自由电荷。 在闭合面上的 通量只和闭合面内的
自由电荷有关。
所以,D的分布
一般也和束缚电荷（介质分布）有关。
只有当介质的分布满足一定条件时,D 才与
束缚电荷无关。
PED ??? ?? 0?因为
PED ??? ?? 0?,0d?? ???
S
qSD ??
,其中 E 是所有电荷共同
产生的, P 与束缚电荷有关 。
【 思考 】 由微分形式, 如何理解 D可能与束缚
电荷的分布有关？
二、各向同性、线性介质 D,E,P 的关系
0???? D
?
EPED r ???? ??? 00 ???
EP r ?? )1(0 ?? ??
D 的高斯定理微分形式,
三、有电介质时电场、束缚电荷的计算
?? ???
S
qSdD 0??
E?D? ?
P?E? ?
?? ??,P? ?
0q D
??
P
nP ?
?
?????
???
?
? ?
? ? EP
ED
r
r ??
??
10
0
??
?
??
??
【 例 】 一带正电的金属球浸在油中。求球外的电
场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。
R
+
+
+ +
+ + +
+ +
- -
-
-
-
-
-
q q'
r?
qrD ?? 24?
rrqDE
rr
?
4 200 ????? ??
??
2
00
2
0 44 r
qE
r
qE
r ?????
???
r
r
qD ?
4 2?
?
?
D 的高斯定理
P E
D
r
为什么？
解,
r
r
q
r
r
q
EP
r
r
r
r
?
4
)
1
1(
?
4
)1(
)1(
2
2
0
0
0
??
???
??
??
??
??
??
??
R
+
+
+ +
+ + +
+ +
- -
-
-
-
-
-
q q'
P E
D
r
qRq
r
)11(4 2 ??? ???????
总与 反号, 数值小于 。 q? qq
24)
11()?()(
R
qrRP
r ??
? ???????
?
球表面的油面上的束缚电荷,
-r ^
P(R)
【 思考 】 油内出现体束缚电荷吗？
0?
?? ???E
另一解法,
ErP r )1()?( 0 ??????? ??? ?
用 E 的高斯定理
r
r
)
1
1(
)
1
1(
?
?
?
?
????
???? R
+
+ +
+ + +
+ +
-
-
-
-
-
-
q q'
r?
?+?'
+ + -
- ?S
四、静电场的边界条件
在两种介质的分界面上
1,E 的切向分量连续
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
21
?
?
t
t
tt
D
D
EE
2,对无自由电荷的界面, D的法向分量连续
—D线连续
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
1
21
?
?
n
n
nn
E
E
DD
021 ???? lElE ttE 的环流定理
2
1
2
1
2
2
1
1,
?
?
?? ?? t
ttt
D
DDD
tt EE 21 ?
证明,? l
介质 1, ? 1
介质 2, ? 2 0??h
h?
1
2
2
1
2211,?
???
??
n
n
nn E
EEE
D 的高斯定理 0
021 ?????? SSDSD nn ?
nn DD 21 ?
? S
介质 1, ? 1
介质 2, ? 2
n
0??h
h?
§ 5.4 电容器和它的电容 ?
一、孤立导体的电容
Q,U
孤立导体
U
QC ?
【 例 】 孤立导体球的电容
R
R
Q
Q
U
Q
C
0
0
4
4
??
??
???
电介质减弱了极板间的电场和电势差，电
容增加到 ?r 倍。
二、平板电容器
S
d ? r
- Q
+ Q
D
d
S
U
Q
C
U
S
Qd
EdU
E
S
QD
E
S
Q
D
r
rrrrr
??
????????
?
0
0
0
0
00
,
?
?
?
?
???????
?＝
三、园柱形电容器
?
?
?
?
?
?
?
1
2
0
ln
2
R
R
LC r???
四,球形电容器
R 1
? r
R 2
12
2104
RR
RRC r
?
? ???
对于孤立导体球,
1,,12 ???? rRRR ?
RC 04???
R 2 R 1
L ? r
§ 5.5 电容器的能量
QUCU
C
QW
2
1
2
1
2
1 22 ???
dqCqdqudW ??
C
Q
dqC
q
dWW
Q 2
0
2
1?
??? ??
?
?
?
??
?
?
?
?
uCdr?
q?
q?
dq充电
电容器的能量还可以这样计算,
qUqUW
dd ??
?
?? ??
)()( 2
1
2
1 Q?
Q?
?r
?U
：正电荷板上 dq处电势
?U
：负电荷板上 dq处电势
【 思考 】 公式中的 dq包括束缚电荷吗？ 束缚电
荷对能量有贡献吗？
qUqUW
dd ?? ?? ??
)()( 2
1
2
1
QUqUU
Q 2
1)(
2
1
)(
??? ??? d
电容器的能量,
1、各向同性、线性介质
22
1 20 EDEw r
e
????
1?r?
在 E 相同的情况下, 电介质中的电场能量
密度比真空中的增大到 ?r 倍 — 极化能 。
§ 5.6 介质中电场能量密度
2
2
0 Ew
e
?
?? （真空）
以平板电容器为例说明
EUCdr?
Q?
Q?
SdESd
S
Q
C
QW r
r
r 20
2
0
0
2
222
1 ??
??
?? ?
??
?
?
??
?
???
S
QE
d
SC
r
r
??
??
0
0,??
DEE
Sd
Ww r
e 2
1
2
2
0 ??? ??
没有上述简单公式 。 对电介质所作极化功
,只有一部分转化为极化能, 另一部分转化
为热能 。
2,各向异性电介质 （ D与 E方向不同）
EDw e
??
?? 21
3,非线性有损耗的电介质
