1
几个基本概念
体系的计算自 由度
无多余约束的几何不
变体系的组成 规则
分析举例
2
一、构造分析的目的
1、研究结构 正确的连接方式，确保所设计的结构能承受
荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的
计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。
二、体系的分类：在忽略变形的前提下，体系可分为两类：
1、几何不变体系：在任何外力作用下，其形状和位置都不
会改变。
图 b图 a
2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改变。
?
§ 2.1构造分析的几个基本概念
3
几何可变体系又可分为两种：
（ 1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。
（ 2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。
AP
AN N
P
N N
P
AP
Δ是微量
ββ∑Y=0,N=0.5P/sinβ→∞
由于瞬变体系能产生很大
的内力,故几何常变体系和几
何瞬变体系不能作为建筑结
构使用,
只有几何不变体系才
能作为建筑结构使用！！
?
4
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以
独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐
标的数目。
1、平面内一点＿＿个自由度；
x
y
y
x
图 a
X
o y
?y
x
图 b
2、平面内一刚片＿＿个自由度；
2
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
多余约束：不减少体系自
由度的约束称为多余约束。 a
注意：多余约束将影响结构的
受力与变形。
A
?
5
Ⅰ
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形
状和铰的位置如何。
3
1
4
一根链杆可以减少
体系一个自由度，相
当于一个约束。！ 5
6
?
加链杆前 3个自由度α
β
加链杆后 2个自由度
1,2,3,4是链杆，
5,6不是链杆。
6
2、单铰, 联结 两个 刚片的铰
加单铰前体系有六个自由度
x y
?
?
加单铰后体系有四个自由度
单铰可减少体系两个
自由度相当于两个约束
4,虚铰（瞬铰）
A
O
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于
一个单铰即瞬铰
1
2
C
单铰
瞬铰
定轴转动 平面运动！
?
7
联结三个或三个以上刚片的铰
A
B
先有刚片 A,然后以单铰将
刚片 B联于刚片 A,再以单铰
将刚片 C联刚片于 A上
也可以理解加复铰前三个刚
共有九个自由度x
y
? ?
?
C
所以联结三个刚片的复铰相当
于两个单铰，减少体系四个约束。
,加复铰后还
剩图示五个自由度。
5,复铰（重铰）
联结 n个刚片的复铰相当于 n-1
个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
?
8
6、单刚结点,将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度
一个单刚结点可减少三个自
由度相当于三个约束 。
加刚联结后有三个自由度
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束,
若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
两个多余约束 一个多余约束
?
9
一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一
些约束组成。按照各部件都是自由的情况,算出各部件自由度
总数,再算出所加入的约束总数,将两者的差值定义为：
体系的计算自由度 W。即：
W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
如刚片数 m，单铰数 n，支承链杆数 r，则
W=3m －（ 2n+r） （ 2—— 6）
注意, 1,复连接要换算成单连接。
连四刚片 n=3 连三刚片 n=2 连两刚片 n=1
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有 a个无铰封
闭框，约束数应加 3a 个。
3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆,固定端相三于
个支承链杆。！
?
§ 2.2体系的计算自由度
10
m=1,a=1,n=0,
r=4+3× 2＝ 10
则：
W=3m－ 2n － r － 3× a
=3× 1－ 10 － 3× 1
＝ － 10
m=7,n=9,r=3
W=3× m－ 2× n－ r
=3× 7－ 2× 9－ 3
=0
?
11
对于铰接链杆体系也可将结点视为部件，链杆视为约束，
则：
W=2j－ b－ r
式中,j为结点数； b为链杆数； r支承链杆数
例 a,j=6； b=9； r=3。所以,W=2× 6－ 9－ 3=0
A B
C
DE
F
⑨
①
② ③
④
⑤ ⑥ ⑧
⑦
例 b,j=6； b=9； r=3。所以,W=2× 6－ 9－ 3=0
⑨
① ②
③
④
⑤
⑥
⑧
⑦
?
12
注意,1,W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系
必须的约束数够不够。即：
W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。
W=0 实际约束数等于体系必须的约束数
W<0 体系有多余约束
不能断定体系
是否几何不变
由此可见,W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而
不是充分条件。
2、实际自由度 S、计算自由度 W和多余约束 n之间的关系：
S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数）
=（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数）
=（各部件自由度总数）－（全部约束数） +（多余约束数）
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
+ n所以,S = W
?
13
图 a为一无多余约束的几何不变体系
A
BC
图 a
将杆 AC,AB,BC均看成刚片，
一、三刚片以 不在一条直线上的三铰
相联，组成无多余约束的几何不
变体系。
三 铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联
瞬变体系
两平行链杆于两铰连线平行,瞬变体系
就成为三刚
片组成的无多余约束的几何不变体系
?
§ 2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
14
图 a为一无多余约束的几何不变体系
C
将杆 AC,BC均看成刚片，
杆通过铰 瞬变体系
二、两刚片以一铰及 不通过
该铰的一根链 杆相联组成无多余
约束的几何不变体系 。
A
B
图 a
就成为两
刚片组成的无多余约束几何不变体系
B
图 b
三、两刚片以 不互相平行，也不相交于一点的三根链杆 相
联，组成无多余约束的几何不变体系。
瞬
变
体
系
瞬
变
体
系
常
变
体
系
A a
?
16
A
B C
将 BC杆视为刚片,该体系就成为一
刚片于一点相联
四、一点与一刚片用 两根不共线
的链杆 相联，组成无多余约束的几何
不变体系。
A1 2
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变
原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。
?
17
（ a）
（ b）
（ c）
（ e）
（ d）
四个规则
可归结为
一个三角
形法则。
?
18
规则
三刚片
必要约束数 对约束的布置要求 瞬变体系
一
二
三
四
连接对象
两刚片
一点一刚片
六个 三铰 (实或虚 )不共线 三种
三个
链杆不过铰 一种
三链杆不平行也不交于一点 两种
两个 两链杆不共线 一种
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
依次去掉二元体 AB
CDEFG后剩下大地，
故该体系为几何不变
体系且无多余约束。A
BCD
EF
G
?
几种常用的分析途径
19
依次去掉二元体 A,B,C,D后
剩下大地。故该体系为无多余约
束的几何不变体系
2、如上部体系于基础
用满足要求三个约
束相联可去掉基础，
只分析上部。
抛开基础，只分析上部，
上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。
故：该体系为无多余约束
的几何不变体系。
A
F
C G
B
ED
A
C B
D
?
20
④ 该体系为无多余约束的
几何不变体系。
① 抛开基础,只分析上部。
② 在体系内确定三个刚片。
③ 三刚片用三个不共线的
三铰相连。
?
21
Ⅰ
Ⅱ
例 5,抛开基础，分析上部，去掉二元
体后，剩下两个刚片用两根杆相
连故：该体系为有一个自由度的
几何可体系,
A B
D
E
C
F
A
B
C
F
D
Ⅲ
3、当体系杆件
数较多时，将刚
片选得分散些，
用链杆相连，
而不用单铰相连。
例 6,O
12
O23
O13
如图示，三刚片用三个不共线的
铰相连，故：该体系为无多余约
束的几何不变体系
?
22
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例
几何瞬变体系
（ Ⅰ,Ⅱ ） （ Ⅱ, Ⅲ ）
(Ⅰ,Ⅲ )
（ Ⅰ,Ⅱ ）
（ Ⅱ, Ⅲ ）
(Ⅰ,Ⅲ )
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
组成瞬变体系
动画 Eg1
?
23
(1,3)
(1,2)
(2,3)
三刚片用不 共 线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。
例 4、4、由一基本
刚片开始，逐
步增加二元体，
扩大刚片的范
围，将体系归
结为两个刚片
或三个刚片相
连，再用规
则判定。
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
?
24
5、由基础开始逐件组装
有一个多余约束的
几何不变体系
无多余约束几何不变体系
?
25
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式
的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个
等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
?
26
进一步分析可得，体系是无多余约
束的几何不变体系
?
27
Ⅰ
ⅡⅢ
ⅡⅢ
(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅰ,Ⅲ )Ⅰ ⅢⅠ Ⅲ
ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ
Ⅰ ⅢⅠ ⅢⅠ Ⅲ
Ⅰ ⅢⅠ Ⅲ
瞬变体系 动化演示 3
?
有一个多余约束的
几何不变体系
28
A
B
C
D E
F
G
H
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
(Ⅰ,Ⅱ )(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅱ,Ⅲ )
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系 动化演示 2
Ⅱ ⅢⅡ ⅢⅡ Ⅲ
?
29
瞬变体系
无多余约束的几何
不变体系变体系
?
30
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去掉
基础，只分析上部。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组成
的虚铰相连，而不用单铰相连。
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范
围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
5、由基础开始逐件组装
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的
前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效与
外部连结等效）刚片代替它。
?
31
）
17,图示体系是 （ ）
A 无多余约束的几何不变体系
B 有多余约束的几何不变体系
C 常变体系 D 瞬变体系
18,图示体系是 （ ）
A 瞬变体系
B 有一个自由度的可变体系
C 无多余约束的几何不变体系
D 有两个多余约束的几何不变体系
19,图示体系是 （ ）
（备选答案同上题 ）
20,图示体系是 （
（备选答案同上题 ）
题 19图
A
题 18图
? ?
题 20图
?
?
?
A题 17图
??
?
A
A
C
B
D
B
?
32
B
A
题 18图
? ?
题 20图
?
?
?
A
题 17 图
??
?
A
题 19图
A
33
温故知新
几个基本概念
体系的计算自 由度
无多余约束的几何不
变体系的组成 规则
分析举例
2
一、构造分析的目的
1、研究结构 正确的连接方式，确保所设计的结构能承受
荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
2、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的
计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。
二、体系的分类：在忽略变形的前提下，体系可分为两类：
1、几何不变体系：在任何外力作用下，其形状和位置都不
会改变。
图 b图 a
2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改变。
?
§ 2.1构造分析的几个基本概念
3
几何可变体系又可分为两种：
（ 1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。
（ 2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。
AP
AN N
P
N N
P
AP
Δ是微量
ββ∑Y=0,N=0.5P/sinβ→∞
由于瞬变体系能产生很大
的内力,故几何常变体系和几
何瞬变体系不能作为建筑结
构使用,
只有几何不变体系才
能作为建筑结构使用！！
?
4
三、自由度：所谓体系的自由度是指体系运动时，可以
独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需独立坐
标的数目。
1、平面内一点＿＿个自由度；
x
y
y
x
图 a
X
o y
?y
x
图 b
2、平面内一刚片＿＿个自由度；
2
3
四、约束：在体系内部加入的减少自由度的装置
多余约束：不减少体系自
由度的约束称为多余约束。 a
注意：多余约束将影响结构的
受力与变形。
A
?
5
Ⅰ
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形
状和铰的位置如何。
3
1
4
一根链杆可以减少
体系一个自由度，相
当于一个约束。！ 5
6
?
加链杆前 3个自由度α
β
加链杆后 2个自由度
1,2,3,4是链杆，
5,6不是链杆。
6
2、单铰, 联结 两个 刚片的铰
加单铰前体系有六个自由度
x y
?
?
加单铰后体系有四个自由度
单铰可减少体系两个
自由度相当于两个约束
4,虚铰（瞬铰）
A
O
联结两刚片的两根不共线的链杆相当于
一个单铰即瞬铰
1
2
C
单铰
瞬铰
定轴转动 平面运动！
?
7
联结三个或三个以上刚片的铰
A
B
先有刚片 A,然后以单铰将
刚片 B联于刚片 A,再以单铰
将刚片 C联刚片于 A上
也可以理解加复铰前三个刚
共有九个自由度x
y
? ?
?
C
所以联结三个刚片的复铰相当
于两个单铰，减少体系四个约束。
,加复铰后还
剩图示五个自由度。
5,复铰（重铰）
联结 n个刚片的复铰相当于 n-1
个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
?
8
6、单刚结点,将两刚片联结成一个整体的结点
图示两刚片有六个自由度
一个单刚结点可减少三个自
由度相当于三个约束 。
加刚联结后有三个自由度
刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余约束,
若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
两个多余约束 一个多余约束
?
9
一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一
些约束组成。按照各部件都是自由的情况,算出各部件自由度
总数,再算出所加入的约束总数,将两者的差值定义为：
体系的计算自由度 W。即：
W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
如刚片数 m，单铰数 n，支承链杆数 r，则
W=3m －（ 2n+r） （ 2—— 6）
注意, 1,复连接要换算成单连接。
连四刚片 n=3 连三刚片 n=2 连两刚片 n=1
2、刚接在一起的各刚片作为一大刚片。如带有 a个无铰封
闭框，约束数应加 3a 个。
3、铰支座、定向支座相当于两个支承链杆,固定端相三于
个支承链杆。！
?
§ 2.2体系的计算自由度
10
m=1,a=1,n=0,
r=4+3× 2＝ 10
则：
W=3m－ 2n － r － 3× a
=3× 1－ 10 － 3× 1
＝ － 10
m=7,n=9,r=3
W=3× m－ 2× n－ r
=3× 7－ 2× 9－ 3
=0
?
11
对于铰接链杆体系也可将结点视为部件，链杆视为约束，
则：
W=2j－ b－ r
式中,j为结点数； b为链杆数； r支承链杆数
例 a,j=6； b=9； r=3。所以,W=2× 6－ 9－ 3=0
A B
C
DE
F
⑨
①
② ③
④
⑤ ⑥ ⑧
⑦
例 b,j=6； b=9； r=3。所以,W=2× 6－ 9－ 3=0
⑨
① ②
③
④
⑤
⑥
⑧
⑦
?
12
注意,1,W并不一定代表体系的实际自由度，仅说明了体系
必须的约束数够不够。即：
W>0 体系缺少足够的约束，一定是几何可变体系。
W=0 实际约束数等于体系必须的约束数
W<0 体系有多余约束
不能断定体系
是否几何不变
由此可见,W≤0 只是保证体系为几何不变的必要条件,而
不是充分条件。
2、实际自由度 S、计算自由度 W和多余约束 n之间的关系：
S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数）
=（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数）
=（各部件自由度总数）－（全部约束数） +（多余约束数）
由此可见：只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是
体系的实际自由度！
+ n所以,S = W
?
13
图 a为一无多余约束的几何不变体系
A
BC
图 a
将杆 AC,AB,BC均看成刚片，
一、三刚片以 不在一条直线上的三铰
相联，组成无多余约束的几何不
变体系。
三 铰共线瞬变体系
三刚片以三对平行链杆相联
瞬变体系
两平行链杆于两铰连线平行,瞬变体系
就成为三刚
片组成的无多余约束的几何不变体系
?
§ 2.3无多余约束几何不变体系的组成规则
14
图 a为一无多余约束的几何不变体系
C
将杆 AC,BC均看成刚片，
杆通过铰 瞬变体系
二、两刚片以一铰及 不通过
该铰的一根链 杆相联组成无多余
约束的几何不变体系 。
A
B
图 a
就成为两
刚片组成的无多余约束几何不变体系
B
图 b
三、两刚片以 不互相平行，也不相交于一点的三根链杆 相
联，组成无多余约束的几何不变体系。
瞬
变
体
系
瞬
变
体
系
常
变
体
系
A a
?
16
A
B C
将 BC杆视为刚片,该体系就成为一
刚片于一点相联
四、一点与一刚片用 两根不共线
的链杆 相联，组成无多余约束的几何
不变体系。
A1 2
两根共线的链杆联一点 瞬变体系
两根不共线的链杆联结一点称为二元体。
在一体系上增加（或减去）二元体不改变
原体系的机动性，也不改变原体系的自由度。
?
17
（ a）
（ b）
（ c）
（ e）
（ d）
四个规则
可归结为
一个三角
形法则。
?
18
规则
三刚片
必要约束数 对约束的布置要求 瞬变体系
一
二
三
四
连接对象
两刚片
一点一刚片
六个 三铰 (实或虚 )不共线 三种
三个
链杆不过铰 一种
三链杆不平行也不交于一点 两种
两个 两链杆不共线 一种
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
依次去掉二元体 AB
CDEFG后剩下大地，
故该体系为几何不变
体系且无多余约束。A
BCD
EF
G
?
几种常用的分析途径
19
依次去掉二元体 A,B,C,D后
剩下大地。故该体系为无多余约
束的几何不变体系
2、如上部体系于基础
用满足要求三个约
束相联可去掉基础，
只分析上部。
抛开基础，只分析上部，
上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。
故：该体系为无多余约束
的几何不变体系。
A
F
C G
B
ED
A
C B
D
?
20
④ 该体系为无多余约束的
几何不变体系。
① 抛开基础,只分析上部。
② 在体系内确定三个刚片。
③ 三刚片用三个不共线的
三铰相连。
?
21
Ⅰ
Ⅱ
例 5,抛开基础，分析上部，去掉二元
体后，剩下两个刚片用两根杆相
连故：该体系为有一个自由度的
几何可体系,
A B
D
E
C
F
A
B
C
F
D
Ⅲ
3、当体系杆件
数较多时，将刚
片选得分散些，
用链杆相连，
而不用单铰相连。
例 6,O
12
O23
O13
如图示，三刚片用三个不共线的
铰相连，故：该体系为无多余约
束的几何不变体系
?
22
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
例
几何瞬变体系
（ Ⅰ,Ⅱ ） （ Ⅱ, Ⅲ ）
(Ⅰ,Ⅲ )
（ Ⅰ,Ⅱ ）
（ Ⅱ, Ⅲ ）
(Ⅰ,Ⅲ )
如图示，三刚片以共线三铰相连 三刚片以三个无穷远处虚铰相连
组成瞬变体系
动画 Eg1
?
23
(1,3)
(1,2)
(2,3)
三刚片用不 共 线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。
例 4、4、由一基本
刚片开始，逐
步增加二元体，
扩大刚片的范
围，将体系归
结为两个刚片
或三个刚片相
连，再用规
则判定。
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
?
24
5、由基础开始逐件组装
有一个多余约束的
几何不变体系
无多余约束几何不变体系
?
25
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式
的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个
等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
?
26
进一步分析可得，体系是无多余约
束的几何不变体系
?
27
Ⅰ
ⅡⅢ
ⅡⅢ
(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅰ,Ⅲ )Ⅰ ⅢⅠ Ⅲ
ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ
Ⅰ ⅢⅠ ⅢⅠ Ⅲ
Ⅰ ⅢⅠ Ⅲ
瞬变体系 动化演示 3
?
有一个多余约束的
几何不变体系
28
A
B
C
D E
F
G
H
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
(Ⅰ,Ⅱ )(Ⅰ,Ⅲ )
(Ⅱ,Ⅲ )
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的几何不变体系
瞬变体系 动化演示 2
Ⅱ ⅢⅡ ⅢⅡ Ⅲ
?
29
瞬变体系
无多余约束的几何
不变体系变体系
?
30
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。
2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去掉
基础，只分析上部。
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组成
的虚铰相连，而不用单铰相连。
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范
围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
5、由基础开始逐件组装
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的
前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效与
外部连结等效）刚片代替它。
?
31
）
17,图示体系是 （ ）
A 无多余约束的几何不变体系
B 有多余约束的几何不变体系
C 常变体系 D 瞬变体系
18,图示体系是 （ ）
A 瞬变体系
B 有一个自由度的可变体系
C 无多余约束的几何不变体系
D 有两个多余约束的几何不变体系
19,图示体系是 （ ）
（备选答案同上题 ）
20,图示体系是 （
（备选答案同上题 ）
题 19图
A
题 18图
? ?
题 20图
?
?
?
A题 17图
??
?
A
A
C
B
D
B
?
32
B
A
题 18图
? ?
题 20图
?
?
?
A
题 17 图
??
?
A
题 19图
A
33
温故知新
