1
?截面内力计算
?内 力 图 的 形 状 特 征
?叠 加 法 绘 制 弯 矩 图
?多跨静定梁
?静 定 刚 架 内 力 图
2
§ 10-1 两铰拱的计算方法
16m
3m
3
X1
d11
1H PD-=
jcos1N -= 1
yM -=
d 01111 X p =D+
d
2
11 dsEI
y= ? jcos 2 ds
EA
+?
0
1 dsEI
yM
P -=D ?
2
1 ds
EA
N+?d 21
11 dsEI
M= ?
EI
1
1 ds
MM P
p =D ?
MP=M 0
j
X1=1
x
yX1=1
由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法
基本体系是曲梁，计算 Δ1P时一般只
考虑弯曲变形，
计算 δ11时，有时（在平拱中）还要
考虑轴向变形 jj cossin0 HQN --= fj sincos
0 HQQ -=
0 HyMM -=
求出 H后，内力的计算与三铰拱相同
即,三铰拱中：
f
MH C0=
两铰拱中：
d11
1H PD-=
4
MP=M 0
0 0＝
≠
E1A1
H=1X1=1
11 MN
d11
1H PD-=
MP=M 0
?=D dsEIMM PP 11
? ?+= dsEANdsEIM 212111d
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构
如果 E1A1→∞，则 H*→H，因而两者的受力状态基本相同。
如果 E1A1→0，则 H*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际上是一
简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
H*=1
11 MN
?? += dsEANdsEIM
2
1
2
1*
11d
11AE
l
11
11
*
11 AE
l+= dd
*
11
*
1*
d
PH D-=? D==D PPP dsEI
MM
1
1*
1*
11
*
1*
d
PH D-=>
5
例,EI=常数，求 H。拱轴线方程为 ? ?xlxl fy -= 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓q
ql81ql
8
3 ql
16
2
? ?xlqlM 810 -=? ?lxl2 <<
qxqlxM 221830 -=
f
qlH P
16
2
11
1 =D-=
d
? ? EIlfdxxlxl fEI l 15841 2
0
2
211 =?
??
?
? -= ?d
dxyMdxyEI lpl1 0 010 211 -=D= ??d
解, 简化假定,只考虑弯曲变形 ;近似地取
ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。
∴
(0<x<0.5l)
? ?
EI
q f l
dxxl
ql
y
EI
dxqxq l xy
EI
l
l
l
p
308
1
2
1
8
31
3
2
2
0
2
1
-=--
?
?
?
?
?
? --=D
?
?
ql
64
2
ql
64
2
M
x x
上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。
如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的
影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两
铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。
M=M0 － Hyql162
M0
－ Hy
f
ql
f
M C
16
20
==
6
例：图示拱,EI=常数，求其水平推力 H。拱轴线方程为
? ?xlxl fy -= 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
X1
对称荷载下，取三铰拱为基本体系，
其 MP=0∴ Δ1P=0,X1=Δ1P/δ11=0，
而 M= 0
11 =+? PMXM
M对称 =0
基本体系
＝
＋
在反对称荷载下，对称未知力 X1=0
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
X1
M反对称 =M1X1+MP=MP = M0-Hy
而 H=
f
MC0 =0
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
ql
64
2
ql
64
2
M0
= M0
M反对称
MP
7
11
1
d
d pH -=
? ?
??
? ?
-
=-=
=?
?
?
??
? -==
l
P
P
l
dxyM
EIEI
y d xM
EI
lf
dxxlx
l
f
EI
dx
EI
y
0
0
1
2
0
2
2
2
11
1
15
841
d
d
??? x0
例：等截面两铰拱，
? ?xlxl fy -= 24
试求 H,MC的影响线。
解,由力法方程得
M0=Vax=(1-K)x
?≤x≤l M0=K（ l-x）
? ?? ? ? ? ? ? ?????? --+---= ?? lP dxxlKxlxl fx d xKxlxl fEI ??d 20 21 4141? ?? ?22 113 KKKKEIfl -+--=
? ?? ?21185 KKKKflH -+-=
0.5l 0.5l
f
y
x
BA
ξ=Kl
H H
VA=（ 1-K） VB=K
C
0.076
0.139
0.1810.195l/f H.I.L.
由 M=M0-Hy 作 MC.I.L.
0.25
0.195
l先作 MC
0.I.L
0.195
l
再将 H.I.L.× f MCI.L.
8
P1 P2
P1 P2C C1
O O1
P1 P2
X1
X2
X3
0
0
0
3333
2222121
1212111
=D+
=D++
=D++
P
P
P
X
XX
XX
d
dd
dd
X3
X2X2
X1 X1
对称的基本体系
o
y
x
jcos2 -=-= N2yM
001 111 === QNM
d 21212112 ++= ??? dsEANNdsGAQQkdsEIMM
X1=1引起：
X2=1引起：
=0?? +?-= dsEIadsEIy 1
?-= dsEIy12d ? --= dsEIay??
? ?=
dsEI
dsEIy
a 1δ12= δ21=0 →
x’
O点的物理含义：
0
0
0
3333
2222
1111
=D+
=D+
=D+
p
p
p
X
X
X
d
d
d
jsin2 -=-= N2xMX3=1引起：
??? +=-=D dsEAdsEIydsEIyM PP
22
222
cos jd EIEI
?? ==D dsdsM PP 111 1d
?? ==D dsxdsxM P
2
d EIEIP 113
§ 10-2 对称无铰拱的计算
10
例题 10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
l =10m
Φ0 Φ0
R R
f=2.5m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
D
O
q=10kN/m
x’
X2X2
X1 X1
Φ0 Φ0
R R
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
O
q=10kN/m
y
x
解,求 R和 φ0
R=6.25m
r a d9 2 7 3.0
6.0c o s
8.0s in
0
0
0
=
=
=
j
j
j
x
φ
RdsMEI
RdsMEI
yayMM
027.0
855.1
1
32
222
2
111
21
==
==
?-=-==
?
?
d
d
mEIdsdsEIya
RayyRx
39.5
cossin
=?=
=+=?=
??
jj
11
三铰拱的水平推力 505.28
1010
8
220
=??===? kNfqlfMH C
350 507.51 =-=? ?-HHH %
q
qRdsMMEI
qRdsMMEI
xM
PP
PP
P
0223.0
224.0
2
4
22
3
11
2
-==D
-==D
=
?
?
mkNRaXXMM
mkNaRXXM
kNXH
BA,98.6)cos(
.76.2)(
7.51
021
210
2
=-+==
=--=
==
j
kNqRX
mkNqRX
P
P
7.51827.0
.1.47121.0
22
2
2
2
11
1
1
==D-=
==D-=
d
d
12
p
Φ0 Φ0
R R
D
O
X1
X2 X3合理拱轴线
M=0,Q=0,N=－ pRMP=0,P=0,NP=－ pR
例 10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
解,1）忽略轴向变形，取
三铰拱为基本体系。
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0
无铰拱和三铰拱均
处于无弯矩状态
pRpR
pR
2）考虑轴向变形，用弹
性中心法计算将精确的
内力状态分为：
X1
X2X2
y
x
cos
01
22
11
-==
==
jN-yM
NM
① 不计轴向变形产生无弯矩状态
② 单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
cos0 2
21
?==D=D ?? jP
PP dsEA
pRds
EA
NN
，, －，, －，, －
基本体系
13
00 22221 ?D-== dPXX
cos 22 += ?? j ds
EAEI
dsy2222
22 += ??d EA
dsN
EI
dsM
X1 X2X2
注意,1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力
在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产
生不大的弯矩，接近无弯矩状态。
2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
第二，有助于了解拱的受力特点；
PMXMXMM ++= )( 2211
0
X2X2
第三，能够更好的保证计算精度。
pR
X1 X2X2 PMXMXMM ++= )( 2211
符号相反的大数相减
?截面内力计算
?内 力 图 的 形 状 特 征
?叠 加 法 绘 制 弯 矩 图
?多跨静定梁
?静 定 刚 架 内 力 图
2
§ 10-1 两铰拱的计算方法
16m
3m
3
X1
d11
1H PD-=
jcos1N -= 1
yM -=
d 01111 X p =D+
d
2
11 dsEI
y= ? jcos 2 ds
EA
+?
0
1 dsEI
yM
P -=D ?
2
1 ds
EA
N+?d 21
11 dsEI
M= ?
EI
1
1 ds
MM P
p =D ?
MP=M 0
j
X1=1
x
yX1=1
由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法
基本体系是曲梁，计算 Δ1P时一般只
考虑弯曲变形，
计算 δ11时，有时（在平拱中）还要
考虑轴向变形 jj cossin0 HQN --= fj sincos
0 HQQ -=
0 HyMM -=
求出 H后，内力的计算与三铰拱相同
即,三铰拱中：
f
MH C0=
两铰拱中：
d11
1H PD-=
4
MP=M 0
0 0＝
≠
E1A1
H=1X1=1
11 MN
d11
1H PD-=
MP=M 0
?=D dsEIMM PP 11
? ?+= dsEANdsEIM 212111d
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构
如果 E1A1→∞，则 H*→H，因而两者的受力状态基本相同。
如果 E1A1→0，则 H*→0，这时，带拉杆的三铰拱实际上是一
简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状态，应适
当的加大拉杆的刚度。
H*=1
11 MN
?? += dsEANdsEIM
2
1
2
1*
11d
11AE
l
11
11
*
11 AE
l+= dd
*
11
*
1*
d
PH D-=? D==D PPP dsEI
MM
1
1*
1*
11
*
1*
d
PH D-=>
5
例,EI=常数，求 H。拱轴线方程为 ? ?xlxl fy -= 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓q
ql81ql
8
3 ql
16
2
? ?xlqlM 810 -=? ?lxl2 <<
qxqlxM 221830 -=
f
qlH P
16
2
11
1 =D-=
d
? ? EIlfdxxlxl fEI l 15841 2
0
2
211 =?
??
?
? -= ?d
dxyMdxyEI lpl1 0 010 211 -=D= ??d
解, 简化假定,只考虑弯曲变形 ;近似地取
ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。
∴
(0<x<0.5l)
? ?
EI
q f l
dxxl
ql
y
EI
dxqxq l xy
EI
l
l
l
p
308
1
2
1
8
31
3
2
2
0
2
1
-=--
?
?
?
?
?
? --=D
?
?
ql
64
2
ql
64
2
M
x x
上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。
如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的
影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两
铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。
M=M0 － Hyql162
M0
－ Hy
f
ql
f
M C
16
20
==
6
例：图示拱,EI=常数，求其水平推力 H。拱轴线方程为
? ?xlxl fy -= 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
X1
对称荷载下，取三铰拱为基本体系，
其 MP=0∴ Δ1P=0,X1=Δ1P/δ11=0，
而 M= 0
11 =+? PMXM
M对称 =0
基本体系
＝
＋
在反对称荷载下，对称未知力 X1=0
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
X1
M反对称 =M1X1+MP=MP = M0-Hy
而 H=
f
MC0 =0
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
ql
64
2
ql
64
2
M0
= M0
M反对称
MP
7
11
1
d
d pH -=
? ?
??
? ?
-
=-=
=?
?
?
??
? -==
l
P
P
l
dxyM
EIEI
y d xM
EI
lf
dxxlx
l
f
EI
dx
EI
y
0
0
1
2
0
2
2
2
11
1
15
841
d
d
??? x0
例：等截面两铰拱，
? ?xlxl fy -= 24
试求 H,MC的影响线。
解,由力法方程得
M0=Vax=(1-K)x
?≤x≤l M0=K（ l-x）
? ?? ? ? ? ? ? ?????? --+---= ?? lP dxxlKxlxl fx d xKxlxl fEI ??d 20 21 4141? ?? ?22 113 KKKKEIfl -+--=
? ?? ?21185 KKKKflH -+-=
0.5l 0.5l
f
y
x
BA
ξ=Kl
H H
VA=（ 1-K） VB=K
C
0.076
0.139
0.1810.195l/f H.I.L.
由 M=M0-Hy 作 MC.I.L.
0.25
0.195
l先作 MC
0.I.L
0.195
l
再将 H.I.L.× f MCI.L.
8
P1 P2
P1 P2C C1
O O1
P1 P2
X1
X2
X3
0
0
0
3333
2222121
1212111
=D+
=D++
=D++
P
P
P
X
XX
XX
d
dd
dd
X3
X2X2
X1 X1
对称的基本体系
o
y
x
jcos2 -=-= N2yM
001 111 === QNM
d 21212112 ++= ??? dsEANNdsGAQQkdsEIMM
X1=1引起：
X2=1引起：
=0?? +?-= dsEIadsEIy 1
?-= dsEIy12d ? --= dsEIay??
? ?=
dsEI
dsEIy
a 1δ12= δ21=0 →
x’
O点的物理含义：
0
0
0
3333
2222
1111
=D+
=D+
=D+
p
p
p
X
X
X
d
d
d
jsin2 -=-= N2xMX3=1引起：
??? +=-=D dsEAdsEIydsEIyM PP
22
222
cos jd EIEI
?? ==D dsdsM PP 111 1d
?? ==D dsxdsxM P
2
d EIEIP 113
§ 10-2 对称无铰拱的计算
10
例题 10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
l =10m
Φ0 Φ0
R R
f=2.5m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
D
O
q=10kN/m
x’
X2X2
X1 X1
Φ0 Φ0
R R
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
O
q=10kN/m
y
x
解,求 R和 φ0
R=6.25m
r a d9 2 7 3.0
6.0c o s
8.0s in
0
0
0
=
=
=
j
j
j
x
φ
RdsMEI
RdsMEI
yayMM
027.0
855.1
1
32
222
2
111
21
==
==
?-=-==
?
?
d
d
mEIdsdsEIya
RayyRx
39.5
cossin
=?=
=+=?=
??
jj
11
三铰拱的水平推力 505.28
1010
8
220
=??===? kNfqlfMH C
350 507.51 =-=? ?-HHH %
q
qRdsMMEI
qRdsMMEI
xM
PP
PP
P
0223.0
224.0
2
4
22
3
11
2
-==D
-==D
=
?
?
mkNRaXXMM
mkNaRXXM
kNXH
BA,98.6)cos(
.76.2)(
7.51
021
210
2
=-+==
=--=
==
j
kNqRX
mkNqRX
P
P
7.51827.0
.1.47121.0
22
2
2
2
11
1
1
==D-=
==D-=
d
d
12
p
Φ0 Φ0
R R
D
O
X1
X2 X3合理拱轴线
M=0,Q=0,N=－ pRMP=0,P=0,NP=－ pR
例 10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
解,1）忽略轴向变形，取
三铰拱为基本体系。
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0
无铰拱和三铰拱均
处于无弯矩状态
pRpR
pR
2）考虑轴向变形，用弹
性中心法计算将精确的
内力状态分为：
X1
X2X2
y
x
cos
01
22
11
-==
==
jN-yM
NM
① 不计轴向变形产生无弯矩状态
② 单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
cos0 2
21
?==D=D ?? jP
PP dsEA
pRds
EA
NN
，, －，, －，, －
基本体系
13
00 22221 ?D-== dPXX
cos 22 += ?? j ds
EAEI
dsy2222
22 += ??d EA
dsN
EI
dsM
X1 X2X2
注意,1）如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力
在忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产
生不大的弯矩，接近无弯矩状态。
2）将总的受力状态分解为：忽略轴向变形的无弯矩状态和
单有轴向 变形引起的附加内力状态。这种作法好处有三：
第一，计算得到简化；
第二，有助于了解拱的受力特点；
PMXMXMM ++= )( 2211
0
X2X2
第三，能够更好的保证计算精度。
pR
X1 X2X2 PMXMXMM ++= )( 2211
符号相反的大数相减
