1
拱结构的特点
三铰拱的支座反力和内力
计算
三铰拱的合理拱轴线
2
拱是在竖向荷载作用下能
产生水平反力的结构，如图。
水平反力
产生负弯矩，
可以抵消一
部分正弯矩
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）
其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的
材料用量；
节省材料，减轻自重, 能跨越大
跨度
,
应力沿截面高度分布较均匀。
,宜采用耐压不耐拉的材料, 如砖石混凝土等。有较大
的可利用空间。
拱具有曲线形状, 施工不方便,
矢高 f
l跨度
A B
C ↓↓↓↓↓
?
§ 4.1 拱的特点
3
为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。
拉杆柱 花篮螺丝
吊杆
?
4
一、反力计算
对拱,∑MB=0
VA=∑MBP/l
其中 ∑MBP 是所
有荷载对 B点的矩
=YA× l／ 2－ P× a 是简支梁的 C截
面弯矩
由 ∑MC=0
得 VA× l/2 － P× a－ H× f=0
H=（ VA× l／ 2－ P× a）／ f
即,
0
0
)3( CC MfMH ?
对梁,∑MB=0
YA=∑MBP/l
∴ VA=YA （ 1）
同理 VB=YB （ 2）
↓↓↓↓↓cP
a
lYA YB
反力计算公式：
注：该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。
三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，
VA=YA ； VB=YB； H=MC0/f
而与拱
轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。
P
H
C
A Bf H
VA VB
a
↓↓↓↓↓
l/2 l/2
?
§ 4.2 三铰拱的内力计算
5
二、内力计算
M°
YA
P
Q°d
Q＝（ VA－ P） × cos?－ H× sin??Q＝ Q°× cos ?－ H× sin?
VA
H
P
Q
NM
?
x y
N＝－（ VA－ P） sin?－ Hcos?＝－ Q° sin ?－ Hcos ?
注,1、该组公式仅用于两底铰在
同一水平线上,且承受竖向荷载；
2、在拱的左半跨 ?取正右半跨取负；
3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯
矩达极值；
4,M,Q,N图均不再为直线。
5、集中力作用处 Q图将发生突变。
6、集中力偶作用处 M图将发生突变。
M ＝ VA× x－ P× d－ H× y× － ×M0 M＝ M° － H× y
?
↓↓↓↓↓cP
a
lYA YB
P
H
C
A Bf H
VA VB
a
↓↓↓↓↓
l/2 l/2
dx
6
kN
f
M
H
kNVV
kNVV
C
BB
AA
6
4
4485
5
16
12448
7
16
12844
0
0
0
?
???
??
?
???
??
?
???
??
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN1kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN
1kN/m
8m 4m 4m
4m)(4
2 xlxl
f ?)(xy ?
(1)求反力解,
6kN
5kN7kN
6kN
(2)作相应简支梁的
M° 图和 Q° 图
5
7
1 5Q° 图（ kN）
＋
－
M° 图（ kN.m）
20
24
D
(3)截面几何参数
8
8
)2(
4
16
)16(
)(
4
)(
2
2
x
xl
l
f
dx
dy
tg
xx
xlx
l
f
xy
?
????
?
???
?
(4)将拱沿跨度八等分,
算出每个截面的 M、
Q,N。
(5)以 x=12m的 D截面
为例，
A
C
B
D
?
7
kN6.7894.06)447.0()5( ??×??×???
kN79.1)447.0(6894.05 ???×?×??
kN81.5894.06)447.0()1( ??×??×???
kN79.1)447.0(6894.01 ??×?×??
HQN DD cossin0 ??? ??右右
HQQ DD sincos0 ?? ??右右
HQN DD cossin0 ??? ??左左
?HQQ DD sincos0 ?? ?左左
7
1 5Q° 图（ kN）
＋
－
M° 图（ kN.m）
20
24
D D
5
1
mkNHyMM,236200 ?×????
m16y 3)1216(12× ???
894.0cos ??447.0sin ???5.26 0???
tg 5.08128 ?????
xD=12m
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
8
8
16
)16(
)(
x
tg
xx
xy
?
?
?
?
?
H=6kN
?
8
HyM°
2424
20 20
12
1.5 1.52
0.5 0.5
2
M图 (kN.m)
0.71 0.4
0
-1
0.49
-0.49
-1.79
1.79
-0.40
0.70
Q图 (kN)
N图 (kN)
-9.19
-6 -5.81 -7.6 -7.78
?
9
在给定荷载作用下使拱内各截面弯
矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由 M（ x） =M° (x)－ Hy(x)=0
可得合理拱轴线方程为
y（ x） =M° (x)／ H
∵ 在荷载、跨度、矢高给
定时,H是一个常数,∴ 合理拱
轴线与相应的简支梁的弯矩图
形状相似，对应竖标成比例,
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
)(42 xlxl f ??)(
0 xM
)(xy ?f 0M
C
8
2
0 qlM
C ?)(2)(
0 xlqxxM ??
A B
l/2
f
l/2
C
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
q
ql/2 ql/2
y
x
x
0
0 )(
CM
xMf=
在荷载、跨度给定时，合
理拱轴线 随 f 的不同而有多
条,不是唯一的。
?
§ 4.3三铰拱的合理轴线
10
q0
q 0+
γf
l/2 l/2
y
x
f
A
C
B
例 4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线 。 q=q0+γy
H
xMxy )()( 0?
2
02
2
2 1
dx
Md
Hdx
yd ?
g
gg 0qx
HBshxHAchy ???
2
02
)(xqdxMd ?
? 0B?? ;0,0
dx
dyx
?? ;0,0 yx
?
???
?
? ?? 10 x
Hch
qy g
g
? 0qA g
在填土重量作用下，三铰拱
的合理拱轴线是一悬链线。
g 0
2
2
H
q
Hdx
yd ?? y
q(x)( g0 y)q ?
?
11
↓↓↓↓↓↓↓↓
?
12
拱结构的特点
三铰拱的支座反力和内力
计算
三铰拱的合理拱轴线
2
拱是在竖向荷载作用下能
产生水平反力的结构，如图。
水平反力
产生负弯矩，
可以抵消一
部分正弯矩
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）
其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的
材料用量；
节省材料，减轻自重, 能跨越大
跨度
,
应力沿截面高度分布较均匀。
,宜采用耐压不耐拉的材料, 如砖石混凝土等。有较大
的可利用空间。
拱具有曲线形状, 施工不方便,
矢高 f
l跨度
A B
C ↓↓↓↓↓
?
§ 4.1 拱的特点
3
为了消除拱对支座的水平推力，可采用带拉杆的拱。如图。
拉杆柱 花篮螺丝
吊杆
?
4
一、反力计算
对拱,∑MB=0
VA=∑MBP/l
其中 ∑MBP 是所
有荷载对 B点的矩
=YA× l／ 2－ P× a 是简支梁的 C截
面弯矩
由 ∑MC=0
得 VA× l/2 － P× a－ H× f=0
H=（ VA× l／ 2－ P× a）／ f
即,
0
0
)3( CC MfMH ?
对梁,∑MB=0
YA=∑MBP/l
∴ VA=YA （ 1）
同理 VB=YB （ 2）
↓↓↓↓↓cP
a
lYA YB
反力计算公式：
注：该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。
三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位置）有关，
VA=YA ； VB=YB； H=MC0/f
而与拱
轴线的形状无关 ； 水平推力与矢高成反比。
P
H
C
A Bf H
VA VB
a
↓↓↓↓↓
l/2 l/2
?
§ 4.2 三铰拱的内力计算
5
二、内力计算
M°
YA
P
Q°d
Q＝（ VA－ P） × cos?－ H× sin??Q＝ Q°× cos ?－ H× sin?
VA
H
P
Q
NM
?
x y
N＝－（ VA－ P） sin?－ Hcos?＝－ Q° sin ?－ Hcos ?
注,1、该组公式仅用于两底铰在
同一水平线上,且承受竖向荷载；
2、在拱的左半跨 ?取正右半跨取负；
3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯
矩达极值；
4,M,Q,N图均不再为直线。
5、集中力作用处 Q图将发生突变。
6、集中力偶作用处 M图将发生突变。
M ＝ VA× x－ P× d－ H× y× － ×M0 M＝ M° － H× y
?
↓↓↓↓↓cP
a
lYA YB
P
H
C
A Bf H
VA VB
a
↓↓↓↓↓
l/2 l/2
dx
6
kN
f
M
H
kNVV
kNVV
C
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AA
6
4
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5
16
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7
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0
0
0
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↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN1kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN
1kN/m
8m 4m 4m
4m)(4
2 xlxl
f ?)(xy ?
(1)求反力解,
6kN
5kN7kN
6kN
(2)作相应简支梁的
M° 图和 Q° 图
5
7
1 5Q° 图（ kN）
＋
－
M° 图（ kN.m）
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D
(3)截面几何参数
8
8
)2(
4
16
)16(
)(
4
)(
2
2
x
xl
l
f
dx
dy
tg
xx
xlx
l
f
xy
?
????
?
???
?
(4)将拱沿跨度八等分,
算出每个截面的 M、
Q,N。
(5)以 x=12m的 D截面
为例，
A
C
B
D
?
7
kN6.7894.06)447.0()5( ??×??×???
kN79.1)447.0(6894.05 ???×?×??
kN81.5894.06)447.0()1( ??×??×???
kN79.1)447.0(6894.01 ??×?×??
HQN DD cossin0 ??? ??右右
HQQ DD sincos0 ?? ??右右
HQN DD cossin0 ??? ??左左
?HQQ DD sincos0 ?? ?左左
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1 5Q° 图（ kN）
＋
－
M° 图（ kN.m）
20
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D D
5
1
mkNHyMM,236200 ?×????
m16y 3)1216(12× ???
894.0cos ??447.0sin ???5.26 0???
tg 5.08128 ?????
xD=12m
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
8
8
16
)16(
)(
x
tg
xx
xy
?
?
?
?
?
H=6kN
?
8
HyM°
2424
20 20
12
1.5 1.52
0.5 0.5
2
M图 (kN.m)
0.71 0.4
0
-1
0.49
-0.49
-1.79
1.79
-0.40
0.70
Q图 (kN)
N图 (kN)
-9.19
-6 -5.81 -7.6 -7.78
?
9
在给定荷载作用下使拱内各截面弯
矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。
由 M（ x） =M° (x)－ Hy(x)=0
可得合理拱轴线方程为
y（ x） =M° (x)／ H
∵ 在荷载、跨度、矢高给
定时,H是一个常数,∴ 合理拱
轴线与相应的简支梁的弯矩图
形状相似，对应竖标成比例,
三铰拱在沿水平均
匀分布的竖向荷载
作用下，其合理拱
轴线为一抛物线。
)(42 xlxl f ??)(
0 xM
)(xy ?f 0M
C
8
2
0 qlM
C ?)(2)(
0 xlqxxM ??
A B
l/2
f
l/2
C
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↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
q
ql/2 ql/2
y
x
x
0
0 )(
CM
xMf=
在荷载、跨度给定时，合
理拱轴线 随 f 的不同而有多
条,不是唯一的。
?
§ 4.3三铰拱的合理轴线
10
q0
q 0+
γf
l/2 l/2
y
x
f
A
C
B
例 4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线 。 q=q0+γy
H
xMxy )()( 0?
2
02
2
2 1
dx
Md
Hdx
yd ?
g
gg 0qx
HBshxHAchy ???
2
02
)(xqdxMd ?
? 0B?? ;0,0
dx
dyx
?? ;0,0 yx
?
???
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Hch
qy g
g
? 0qA g
在填土重量作用下，三铰拱
的合理拱轴线是一悬链线。
g 0
2
2
H
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Hdx
yd ?? y
q(x)( g0 y)q ?
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