1
?力矩分配法的概念及基本运算
?多结点力矩分配法 — 渐进运算
?无 剪 力 分 配 法
?力 矩 分 配 法 位 移 法 联 合 应 用
?超静定力影响线
?连续梁的最不利荷载及内力包络图
2
力矩分配法的
理论基础：位移法；
计算对象：杆端弯矩；
计算方法：逐渐逼近的方法；
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
1、转动刚度 S,表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 =仅使杆
端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
1
SAB=4i
1
SAB=3i
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的 i（材料的性质、横截面
的形状和尺寸、杆长）及远端支承
有关，
SAB=4i
1而与近端支承无关。
§ 12-1 力矩分配法的基本概念及基本运算
3
因此，在确定杆端转动刚度时,近端看位移 （是否为单位位移）
远端看支承 （远端支承不同，转动刚度不同）。
θ
MAB
1
MAB
MAB
1 1 1
MAB
Δ
②①
③ ④
下列那种情况的杆端弯矩 MAB=SAB
转动刚度 SAB=4i是（ ）
√
√
√
√i i
i
i
i⑤
①
②
③
④
i
A
A
A
A
A4i>S
AB>3i
B
B
B
B
B
4
1、转动刚度 S,表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 =仅使杆
端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
1
SAB=4i
1
SAB=3i
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的 i（材料的性质、横截面
的形状和尺寸、杆长）及远端支承
有关，
SAB=4i
1
而与近端支承无关。
2、传递系数 C,杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
即：
近
远 MMC ? 传递系数仅与远端支承有关
2i
－ i
0
C=1/2
C=－ 1
C=0
远端支承 转动刚度 传递系数
固定
铰支
定向支座
4i
3i
i
1/2
－ 1
0
5
3、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法
iB
C
AMMiA=4iθ=SiAθ
MiB=3iθ=SiBθ
MiC=iθ=SiCθ
∑M= MiA+MiB+MiC－ M=0
?? S
M?
M
S
S
M
S
S
M
S
S
iC
iB
iA
?
?
?
?
?
?
a）分配力矩
?
?
?
S
S
MM
ij
ij
ijij
?
?
注, 1） μ 称为力矩分配系数。且 ∑ μ =1
2）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩 。
3）结点集中力偶荷载顺时针为正。
2、传递系数 C：
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩
的比值。即：
近
远 MMC ?
b）传递弯矩
Mji=CMij j=A,B,C
注,
1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩 。
2）只有分配弯矩才能向远端传递。
6
4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
200kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
3m 3m 6m
3i 4iA B C
200kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
A B C
A B C
1）锁住结点
90
8
620
1 5 0
8
62 0 0
1 5 0
8
62 0 0
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
BC
BA
AB
m
m
m
－ 150 150 － 90
2）放松结点
MB=150－ 90=60
MB
MB
mBA mBC
－ MB=－ 60S
BA=4× 3i=12i
SBC=3× 4i=12i
μBA=12i/24i=1/2
μBC=12i/24i=1/2
－ 30 － 30－ 15
3）叠加 1）,2）得到最后杆端弯矩
μ 1/2 1/2
－ 150m 150 － 90
－ 30 － 30－ 15
M － 175 － 120120
A B C
M图（ kN.m)
175 120
90300
不平衡力矩 =
固端弯矩之和
节点不平衡力
矩要变号分配,
7
i=1 i=1
i=2
2m2m 4m
4m
AB
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
40kN/m100kN 15kN
用力矩分配法计算,画 M图。
解,1）求 μ
大家算 μAB=
μAC= μAD=
4/9
2/9 3/9
2）求 m 大家算 mAB=
mBA= mAD=
50
－ 50 － 80
M=15
MA
mAB
mAD
mACM+M
A=mAB+mAD+mAC － M
=50+－ 80－ 15= － 45
结点 B A C D
杆端
分配系数
BA AB AD AC CA DA
4/9 3/9 2/9
分配与传递 20
固端弯矩 － 50 50 － 80
10 15 10 － 10
最后弯矩 － 40 70 － 65 10 － 10
40
70
100
10 80
M图（ kN.m)
8
§ 12-2 多结点力矩分配法 —— 渐进运算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
75
16
8503
1 2 8
12
824
1 2 8
12
824
2
2
??
??
??
?
?
?
??
?
??
CD
CB
BC
m
m
m － 128 128 － 75
MB=－ 128 M
C=53
－ MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
4m 4m8m8m
A B C C
2EI 2EIEI取 EI=8
i=2i=2
i=1
6.0
4.0
4.0
1423
14
6.0
1423
23
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
CB
CB
BA
BA
?
?
?
?
μBA=0.6
μBC=0.4
μCB=0.4
μCD=0.6
76.8 51.2 25.6
MC=78.6
－ MC=－ 78.6
－ 31.4 － 47.2－ 15.7
－ 15.7
15.7
9.4 6.3 25.6
分配系数
逐次放
松结点
进行分
配与传
递
固端弯矩
最后弯矩
0.6 0.4 0.4 0.6
－ 128 128 － 75
51.276.8 25.6
－ 31.4 － 47.2－ 15.7
6.39.4 3.2
－ 1.3 － 1.9－ 0.7
0.30.4 0.2
－ 0.1 － 0.1
0 86.6 － 86.6 124.2 － 124.2
9
4m 4m8m8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
A B C C
固端弯矩
最后弯矩
－ 128 128 － 75
0 86.6 － 86.6 124.2 － 124.2
86.6
124.2
192
i=2i=2
i=1 100
M图（ kN.m)
ΔMik 86.6 41.4 － 3.8 － 49.2
ΔMki/2 0 － 1.9 20.7 0
0 0
ΔM′ 86.6 43.3 － 24.5 － 49.2
ΔM′之比 2
3.43
6.86 ? 2
5.24
2.49 ?
?
?
i之比 2
1
2 ? 2
1
2 ?
校核
11
注意：
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到
渐近解。
2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算：
结点不平
衡力矩
（第一轮第一结点）?固端弯矩之和
（第一轮第二三 …… 结点）?固端弯矩之和加传递弯矩
?传递弯矩 （其它轮次各结点）
?总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）
但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
12
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例题 12-3 求图示刚架
的弯矩图。
解,1）求分配系数
SBA=3 SBC=4
SBE=4× 3/4=3 SCB=4
SCD=3 SCF=4× 1/2=2
结点 B,∑S=SBA+SBC+SBE3+4+3=10
μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3
μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222
结点 C,∑S=SCB+SCD+SCF4+3+2=9
1）求固端弯矩
mkNqlmCB,7.4112
2
??mkNqlmBC,7.4112
2
????
mkNqlmBA,408
2
??
13
A
B C
D
E
FμBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3
μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222
mkNqlmBc,7.4112
2
????mkNqlmBA,408
2
?? mCB=41.7kN.m
BA BE BC CB CF CD
0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333
40 － 41.7 41.7
－ 18.5 － 9.3 － 13.9 － 9.3
3.3 3.3 4.440－ 41.7－ 9.3=－ 11 2.2
－ 1.0 － 0.5 － 0.7 － 0.5
0.15 0.15 0.2
43.4 3.5 － 46.5
24.4 － 9.8 － 14.8
EB 1.6
0.1
1.7
FC
－ 4.7
－ 0.2
－ 4.9
14
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
43.4 46.9 24.4 14.6
9.8
4.9
3.5
1.7
M图（ kN.m)A B C D
E
F
29.1
50.9
54.5
45.5
3.7
1.3 2.5
Q图 (kN) A B C D
E
F 49.2
105.4
2.5
N图 (kN)
1.2
15
静定伸臂的处理
例题 2-4 试作弯矩图。 50kN
1m 1m5m
50kN50
SBA=15
EI=常数 5 i=5
i=1SBC=3
μBA=5/6 μBC=1/6 μ 5/6 1/6
－ 20.8
m
M
5025
－ 4.2
－ 20.8 20.8 50
50kN
20.8
50
M图（ kN.m)
A B C
16
4EI 4EI
2EI 2EI
用力矩分配法计算，作 M图。
取 EI=5 i=4 i=4
i=2.5 i=2.5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m 20kN
5m 5m 1m
4m
20kN20
结点
杆端
A E B C F
AB EB BE BA BC CB CF FC
m
μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0
(－ 20)
－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20
MB=31.25－ 20.83=10.42
MC=20.83－ 20－ 2.2=－ 1.37
0.84 0.53 0.270.42
－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09
A B
C
E F
17
结点
杆端
A E B C F
AB EB BE BA BC CB CF FC
m
μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0
(20)
－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20
0.84 0.53 0.270.42
－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09
0.06 0.03 0.020.03
－ 0.01 － 0.01 － 0.01
M 0 － 1.42 － 2.85 27.80 － 24.96 19.94 0.56 0.29
?计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
?有结点集中力偶时,结点不平衡力矩 =固端弯矩之和－结点集中
力偶 (顺时针为正 )
18
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
3m
3m
3m
2i
i i
ii
i
4i
2i
SAG=4i
↓↓↓↓↓↓
20kN/m
1.5m
i
i
A
C
E
G
H
SAC=4i SCA=4i
SCH=2i SCE=4i
μAG=0.5 μAC=0.5
μCA=0.4 μCH=0.2
μCE=0.4
mkNm AG,153 5.120
2
?????
结点
杆端
A C E
AG AC CA CH CE CH
m
μ 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4
－ 15
19
0.5 0.5 0.4 0.2 0.4
－ 15
7.5 7.5 3.75
－ 1.50 － 0.75 － 1.50－ 0.75 － 0.75
0.37 0.38 0.19
－ 0.08 － 0.03 － 0.08－ 0.04 － 0.04
0.02 0.02
结点
杆端
A C E
AG AC CA CH CE CH
m
μ
M － 7.11 7.11 2.36 － 0.78 － 1.58 － 0.79
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m7.11
0.79
1.58
2.63
0.79
1.58
7.11
2.630.78
M图（ kN.m)
例题 2-6 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
l1
l 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A B
DC
EI1
I2
↓↓↓↓↓↓↓
q
E B
F
解：取等代结构如图。
设梁柱的线刚度为 i1,i2
2i1 2i
2
2 2iSBF ?2 1iSBE ?
21
2
ii
i
BF ???
21
1
ii
i
BE ??? 12)2(3
2
121 qllqm
BE ??
21
2
ii
i
?
i
21
1
ii ?
BE BF
μ
21
μ
BE BF
21
2
ii
i
?
i
21
1
ii ?
m
12
21ql
12
21
21
1 ql
ii
i
?? 12
21
21
2 ql
ii
i
??
12
21
21
2 ql
ii
i
??12
21
21
2 ql
ii
i
?
M
12
21
21
2 ql
ii
i
?12
21
21
2 ql
ii
i
?
M图
?当竖柱比横梁的刚度大很多时 (如 i2>20i1),梁端弯矩接近
于固端弯矩 ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。
?当横梁比竖柱的刚度大很多时 (如 i1>20i2),梁端弯矩接近于零。
此时竖柱对横梁起铰支座的作用。
?由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅
决定于构造作法，也与相对刚度有关。
?如本例中只要横梁线刚度 i1 超过竖柱线刚度 i2的 20倍时，横
梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱 i2 超过横梁线刚度 i1的
20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。
i2
i1
i2
i1
22
1、无剪力分配法的应用条
件,刚架中除了无侧移杆外，
其余的杆全是剪力静定杆。
2、剪力静定杆的固端弯矩：
↓↓↓↓↓↓↓↓
2k
N/
m
↓↓↓↓↓↓↓↓
2k
N/
m
求剪力静定杆的固端弯矩时
?先有平衡条件求出杆端剪力；
?将杆端剪力看作杆端荷载，
按该端滑动，另端固定的杆计
算固端弯矩。
3、剪力静定杆的 S和 C：
θA
Δ
A
B
MAB=4iθA－ 6iΔ/l MBA=2iθA－ 6iΔ/l
∵ QBA=－ （ MAB+MBA） /l=0
∴ MBA= － MAB,
∴ MAB=iθA,MBA=－ iθA
?剪力静定杆的 S= i C=－ 1
Δ/l=θA /2
§ 12-3 无剪力分配法
例题 12-7用无剪力分配法计算刚架。
解,1、求分配系数
SBC=3i1=12 SBA=i2=3
μBC=4/5 μBA=1/5
BA杆的传递系数 =－ 1
2m 2m
4m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓1k
N/
m
5kN
i1=4
i2=3
A
B C
2、求固端弯矩：
mkNm BC,75.345163 ??????
mkNqlm BA,67.2
6
41
6
22
???????
mkNqlm AB,33.53413
22
???????
AB BA BC CB
μ 4/51/5
m － 5.33 － 2.67 － 3.75
分传 1.28 5.14
M
－ 1.28
－ 6.61 － 1.39 1.39 0
1.39
5.70
6.61
M图（ kN.m)
8m× 6=48m
5n
4kN 4kN 4kN6kN6kN
12kN
2kN4kN 6kN
(3)
(3)
(3)
(3)
(3) (3)
(4)
(4) (4)
(4)(5)
(5)
(5)
(5)
(2) (2)(1)(1)(1)
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
(3) (5)(4)
(2)(6) (4)
M=0
25
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
(3) (5)(4)
(2)(6) (4)
A B C D
GF
E
1、求 μ,大家算
7
1
7
6
318
18 ??
?? ABAE ??
19
4
19
3
19
12
3412
12 ???
??? BCBABF ???
15
5
15
4
15
6
546
6 ???
??? CDCBCG ???2、求 m：大家算
248621 ??????? BAAB mm 168421 ??????? BCCB mm
48121 ??????? DCCD mm
6kN41k
BCBA
B结点
杆端
A C D
AE AB BF CB CG DC
m
μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15
－ 24
CD
3/19 4/19 5/15
－ 24 － 16 － 16 － 4 － 4
6.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42
25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.47
26
BCBA
B结点
杆端
A C D
AE AB BF CB CG DC
m
μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15
－ 24
CD
3/19 4/19 5/15
－ 24 － 16 － 16 － 4 － 4
6.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42
25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.47
1.88 7.52 2.51－ 1.88 － 2.51
0.67 1.00 0.84－ 0.67 － 0.841.61 0.27 － 0.27
0.15 0.59 0.20
M － 20.2527.60 33.37 － 13.12－ 18.68 12.37 6.31 － 14.31－ 27.60
请自己完成弯矩图的绘制 。
位移法习题课
27
对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解，
用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。
首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移
为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为：
01111 ??? PFk 而弯矩可表示为,PMMM ??? 11
其中：
PMM,1
可由力矩分配求解。 k11,F1P可由弯矩图求得。
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
Δ Δ=1
PM
11 ??M
F1P
k11
§ 12-4 力矩分配法与位移法的联合应用
28
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
Δ=1
例题 2-10 试用联合法求
图示刚架的弯矩图。
F1P
k11
设 EI=1
FCCF
EBBE
mm
mm
???
?
??
???
?
??
5.0
6
36
125.1
4
36
2
2
29
A
B C
D
E
F
BA BE BC CB CF CD
0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333
－ 1.125
0.338 0.338 0.449 0.225
0.122 0.061 0.092 0.061
-0.019 -0.019 -0.023
0.319 -0.806 0.487
0.340 -0.436 0.096EB
0.169
-0.009
-0.965
FC
0.031
0.001
－ 0.468
FCCF
EBBE
mm
mm
???
?
??
???
?
??
5.0
6
36
125.1
4
36
2
2
－ 1.125
－ 0.5
－ 0.5
-0.012
0.005 0.003 0.004
30
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
43.4 46.9 24.4 14.6
9.8
4.9
3.45
1.7
MP图（ kN.m)
F1P
kN
QQF BECFP
16.1
4
7.145.3
6
9.48.9
1
?
?
?
??
??
??
A B C D
E
F
Δ=1
k11
0.318
0.488
0.806
0.965
0.340
0.096
0.436
0.467
kN
QQk
BECF
594.0
4
806.0965.0
6
436.0476.0
11
?
??
?
??
??
??
95.1594.0 16.1
11
1
1 ??????? k
F PM
31
A B C D
E
F
M图 (kN.m)
42.8
47.8
23.7
14.8
5.0
3.6
8.9
4.0
18.5 26.7
最后弯矩可表示为：
PMMM ??? 11
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m43.4
46.9 24.4
14.6
9.8
4.9
3.45
1.7
MP图（ kN.m)
A B C D
E
F
0.318
0.488
0.806
0.965
0.340
0.096
0.436
0.467M
95.11 ???
32
P=1x
Z1
Z1
P=1x
Z1=1
δ11δ
P1
①
②
W12=Z1δ11 +PδP1=W21 =0
Z1 = － δ P1 /δ11
机动法作法,
Z1(x) － δP1(x) /δ11
1、撤去与约束力 Z1相应的约束。
2、使体系沿 Z1的正方向发生位移，
作出荷载作用点的挠度图 δP1
图，即为影响线的形状。横坐
标以上图形为正，横坐标以下
图形为负。
3、将 δP1 图除以常数 δ11,便确
定了影响线的竖标。
?静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；
?超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。
§ 12-5 超静定力的影响线（机动法）
P=1x
A B C D E F
MC
δ11
MC.I.L
A B C D E F
MK δ11 MK.I.L
K
P=1x
A B C D E F
A B C D E F
RC
δ11 R
C.I.L
A B C D E F
QC右,I.L
34
P=1x
A B C D E F
MK.I.L
RC.I.L
K
MC.I.L
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓M
Kmax
MCmin ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
RCmax
?跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨
有活载。
?支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有
活载,向两边每隔一跨有活载。
§ 12-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图
35
连续梁的内力包络图,求在恒载和活载联合作用下，各截面可能
产生的最大正弯矩 Mmax和最大负弯矩 Mmin。
求 Mmax和 Mmin的原则,1、必有恒载作用，且永远出现。
2、活载按最不利情况考虑。
具体作法：
1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。
2、全梁布满恒载，绘制 M恒 。
3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各 M活 图。
4、求出各计算截面的 Mmax 和 Mmin。
???
???
?
?
活恒
活恒
kkk
kkk
MMM
MMM
m i n
m a x
5、将各截面的 Mmax值用曲线联结起来，将各截面的
Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或
弯矩范围图。
10m 10m 10m
例：已知恒载集度 q=12kN/m，活载集度 p=12kN/m。作 M包络图。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
120 120
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=12kN/m
9030
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m80
110
1030 20
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m606030 30
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m80
110
10 3020
Mmax
Mmin
0
0
210
0 2 4 6 8 10 12
M恒
M活 1
M活 2
M活 3
－ 100
90
90
120 － 100 210 0
60 － 260 － 30 － 260 60 0
37
Mmax
Mmin
0
0
210
0 2 4 6 8 10 12
－ 100 120 － 100 210 0
60 － 260 － 30 － 260 60 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
210
60
260
100
120
30
260
100
210
60
弯矩图包络图（ kN.m)
将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。
38
超静定梁的影响线绘制（机动法） Z
1(x) = － δP1(x) /δ11
1、撤去与所求约束力 Z1相应的约束。
2、使体系沿 Z1的正方向发生位移,作出荷载作用点的挠度图 δP1
图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图
形为负。
3、将 δP1 图除以常数 δ11,便确定了影响线的竖标。
先绘制支座弯矩的影响线：如 MB
P=1
E A B C D
P=1
E A B C D
MB=1δ
11
δP1
39
E A B C DMB
MA MC
MB
P=1
E A B C D
MB δ
11
δP1
E A B C D1
1
E A B C D
P=1x
l－ x
)2(6)2(611 CBBCABAB MMEIlMMEIl ?????
))()2((6 )(1 xlMxlME I lxlx BAP ??????
杆端弯矩使梁
下侧受拉为正。
产生 δ11
δ1P的 Mp
求 δ11的 M
求 δ1p的 M
l
xlx )( ?
40
例题 2-11 求图示连续梁支座弯矩 MB的影响线。
6m 6m 6m
A B C D
1
0.5 0.25
? ? EIEI 25.3)25.02()5.02(6 611 ??????
AB,? ?
78
)6()6()12(5.0
66
)6()( 211
1111
11
1
xxxx
EI
xxxy ???????
?
?? ?
BC,? ?
)4.8(6.93 )6()6(25.0)12(66 )6()( 2221122222 xxxxxEI xxxy ???????? ?? ?
x1 P=1 x2 P=1 x2 P=1
CD,? ?
4 8 6
)12()6()12(25.0
66
)6()( 331
113333
xxxx
EI
xxxy ??????
?
?? ?
MB=1
)2(6)2(611 CBBCABAB MMEIlMMEIl ????? ))()2((6 )(1 xlMxlME I lxlx BAP ??????
41
A B C D0.123m 0.346m 0.389m 0.497m 0.520m 0.281m
0.151m 0.175m 0.108m
利用已作出的弯矩影响线,即可按叠加法求得连续梁上
任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。
AB:
78
)6()( 211
1
xxxy ??
BC:
)4.8(6.93 )6()( 2222 xxxxy ???
CD:
486
)12()6()( 331
3
xxxxy ??? 课间休息单元练习
42
?力矩分配法的概念及基本运算
?多结点力矩分配法 — 渐进运算
?无 剪 力 分 配 法
?力 矩 分 配 法 位 移 法 联 合 应 用
?超静定力影响线
?连续梁的最不利荷载及内力包络图
2
力矩分配法的
理论基础：位移法；
计算对象：杆端弯矩；
计算方法：逐渐逼近的方法；
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
1、转动刚度 S,表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 =仅使杆
端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
1
SAB=4i
1
SAB=3i
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的 i（材料的性质、横截面
的形状和尺寸、杆长）及远端支承
有关，
SAB=4i
1而与近端支承无关。
§ 12-1 力矩分配法的基本概念及基本运算
3
因此，在确定杆端转动刚度时,近端看位移 （是否为单位位移）
远端看支承 （远端支承不同，转动刚度不同）。
θ
MAB
1
MAB
MAB
1 1 1
MAB
Δ
②①
③ ④
下列那种情况的杆端弯矩 MAB=SAB
转动刚度 SAB=4i是（ ）
√
√
√
√i i
i
i
i⑤
①
②
③
④
i
A
A
A
A
A4i>S
AB>3i
B
B
B
B
B
4
1、转动刚度 S,表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 =仅使杆
端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
1
SAB=4i
1
SAB=3i
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的 i（材料的性质、横截面
的形状和尺寸、杆长）及远端支承
有关，
SAB=4i
1
而与近端支承无关。
2、传递系数 C,杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩的比值。
即：
近
远 MMC ? 传递系数仅与远端支承有关
2i
－ i
0
C=1/2
C=－ 1
C=0
远端支承 转动刚度 传递系数
固定
铰支
定向支座
4i
3i
i
1/2
－ 1
0
5
3、单结点结构在集中结点力偶作用下的力矩分配法
iB
C
AMMiA=4iθ=SiAθ
MiB=3iθ=SiBθ
MiC=iθ=SiCθ
∑M= MiA+MiB+MiC－ M=0
?? S
M?
M
S
S
M
S
S
M
S
S
iC
iB
iA
?
?
?
?
?
?
a）分配力矩
?
?
?
S
S
MM
ij
ij
ijij
?
?
注, 1） μ 称为力矩分配系数。且 ∑ μ =1
2）分配力矩是杆端转动时产生的近端弯矩 。
3）结点集中力偶荷载顺时针为正。
2、传递系数 C：
杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩
的比值。即：
近
远 MMC ?
b）传递弯矩
Mji=CMij j=A,B,C
注,
1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩 。
2）只有分配弯矩才能向远端传递。
6
4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
200kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
3m 3m 6m
3i 4iA B C
200kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
A B C
A B C
1）锁住结点
90
8
620
1 5 0
8
62 0 0
1 5 0
8
62 0 0
2
??
?
??
?
?
?
??
?
??
BC
BA
AB
m
m
m
－ 150 150 － 90
2）放松结点
MB=150－ 90=60
MB
MB
mBA mBC
－ MB=－ 60S
BA=4× 3i=12i
SBC=3× 4i=12i
μBA=12i/24i=1/2
μBC=12i/24i=1/2
－ 30 － 30－ 15
3）叠加 1）,2）得到最后杆端弯矩
μ 1/2 1/2
－ 150m 150 － 90
－ 30 － 30－ 15
M － 175 － 120120
A B C
M图（ kN.m)
175 120
90300
不平衡力矩 =
固端弯矩之和
节点不平衡力
矩要变号分配,
7
i=1 i=1
i=2
2m2m 4m
4m
AB
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
40kN/m100kN 15kN
用力矩分配法计算,画 M图。
解,1）求 μ
大家算 μAB=
μAC= μAD=
4/9
2/9 3/9
2）求 m 大家算 mAB=
mBA= mAD=
50
－ 50 － 80
M=15
MA
mAB
mAD
mACM+M
A=mAB+mAD+mAC － M
=50+－ 80－ 15= － 45
结点 B A C D
杆端
分配系数
BA AB AD AC CA DA
4/9 3/9 2/9
分配与传递 20
固端弯矩 － 50 50 － 80
10 15 10 － 10
最后弯矩 － 40 70 － 65 10 － 10
40
70
100
10 80
M图（ kN.m)
8
§ 12-2 多结点力矩分配法 —— 渐进运算
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
75
16
8503
1 2 8
12
824
1 2 8
12
824
2
2
??
??
??
?
?
?
??
?
??
CD
CB
BC
m
m
m － 128 128 － 75
MB=－ 128 M
C=53
－ MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
4m 4m8m8m
A B C C
2EI 2EIEI取 EI=8
i=2i=2
i=1
6.0
4.0
4.0
1423
14
6.0
1423
23
?
?
?
???
?
?
?
???
?
?
CB
CB
BA
BA
?
?
?
?
μBA=0.6
μBC=0.4
μCB=0.4
μCD=0.6
76.8 51.2 25.6
MC=78.6
－ MC=－ 78.6
－ 31.4 － 47.2－ 15.7
－ 15.7
15.7
9.4 6.3 25.6
分配系数
逐次放
松结点
进行分
配与传
递
固端弯矩
最后弯矩
0.6 0.4 0.4 0.6
－ 128 128 － 75
51.276.8 25.6
－ 31.4 － 47.2－ 15.7
6.39.4 3.2
－ 1.3 － 1.9－ 0.7
0.30.4 0.2
－ 0.1 － 0.1
0 86.6 － 86.6 124.2 － 124.2
9
4m 4m8m8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24kN/m 50kN
A B C C
固端弯矩
最后弯矩
－ 128 128 － 75
0 86.6 － 86.6 124.2 － 124.2
86.6
124.2
192
i=2i=2
i=1 100
M图（ kN.m)
ΔMik 86.6 41.4 － 3.8 － 49.2
ΔMki/2 0 － 1.9 20.7 0
0 0
ΔM′ 86.6 43.3 － 24.5 － 49.2
ΔM′之比 2
3.43
6.86 ? 2
5.24
2.49 ?
?
?
i之比 2
1
2 ? 2
1
2 ?
校核
11
注意：
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到
渐近解。
2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。
3）结点不平衡力矩要变号分配。
4）结点不平衡力矩的计算：
结点不平
衡力矩
（第一轮第一结点）?固端弯矩之和
（第一轮第二三 …… 结点）?固端弯矩之和加传递弯矩
?传递弯矩 （其它轮次各结点）
?总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）
但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
12
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例题 12-3 求图示刚架
的弯矩图。
解,1）求分配系数
SBA=3 SBC=4
SBE=4× 3/4=3 SCB=4
SCD=3 SCF=4× 1/2=2
结点 B,∑S=SBA+SBC+SBE3+4+3=10
μBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3
μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222
结点 C,∑S=SCB+SCD+SCF4+3+2=9
1）求固端弯矩
mkNqlmCB,7.4112
2
??mkNqlmBC,7.4112
2
????
mkNqlmBA,408
2
??
13
A
B C
D
E
FμBA=3/10=0.3 μBC=4/10=0.4 μBE=3/10=0.3
μCB=4/9=0.445 μCD=3/9=0.333 μCF=2/9=0.222
mkNqlmBc,7.4112
2
????mkNqlmBA,408
2
?? mCB=41.7kN.m
BA BE BC CB CF CD
0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333
40 － 41.7 41.7
－ 18.5 － 9.3 － 13.9 － 9.3
3.3 3.3 4.440－ 41.7－ 9.3=－ 11 2.2
－ 1.0 － 0.5 － 0.7 － 0.5
0.15 0.15 0.2
43.4 3.5 － 46.5
24.4 － 9.8 － 14.8
EB 1.6
0.1
1.7
FC
－ 4.7
－ 0.2
－ 4.9
14
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
43.4 46.9 24.4 14.6
9.8
4.9
3.5
1.7
M图（ kN.m)A B C D
E
F
29.1
50.9
54.5
45.5
3.7
1.3 2.5
Q图 (kN) A B C D
E
F 49.2
105.4
2.5
N图 (kN)
1.2
15
静定伸臂的处理
例题 2-4 试作弯矩图。 50kN
1m 1m5m
50kN50
SBA=15
EI=常数 5 i=5
i=1SBC=3
μBA=5/6 μBC=1/6 μ 5/6 1/6
－ 20.8
m
M
5025
－ 4.2
－ 20.8 20.8 50
50kN
20.8
50
M图（ kN.m)
A B C
16
4EI 4EI
2EI 2EI
用力矩分配法计算，作 M图。
取 EI=5 i=4 i=4
i=2.5 i=2.5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m 20kN
5m 5m 1m
4m
20kN20
结点
杆端
A E B C F
AB EB BE BA BC CB CF FC
m
μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0
(－ 20)
－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20
MB=31.25－ 20.83=10.42
MC=20.83－ 20－ 2.2=－ 1.37
0.84 0.53 0.270.42
－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09
A B
C
E F
17
结点
杆端
A E B C F
AB EB BE BA BC CB CF FC
m
μ 0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0 0 0 31.25 － 20.83 20.83 0 0
(20)
－ 2.74 － 3.29 － 4.39－ 1.37 － 2.20
0.84 0.53 0.270.42
－ 0.10 － 0.14 － 0.18－ 0.05 － 0.09
0.06 0.03 0.020.03
－ 0.01 － 0.01 － 0.01
M 0 － 1.42 － 2.85 27.80 － 24.96 19.94 0.56 0.29
?计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
?有结点集中力偶时,结点不平衡力矩 =固端弯矩之和－结点集中
力偶 (顺时针为正 )
18
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
3m
3m
3m
2i
i i
ii
i
4i
2i
SAG=4i
↓↓↓↓↓↓
20kN/m
1.5m
i
i
A
C
E
G
H
SAC=4i SCA=4i
SCH=2i SCE=4i
μAG=0.5 μAC=0.5
μCA=0.4 μCH=0.2
μCE=0.4
mkNm AG,153 5.120
2
?????
结点
杆端
A C E
AG AC CA CH CE CH
m
μ 0.5 0.5 0.4 0.2 0.4
－ 15
19
0.5 0.5 0.4 0.2 0.4
－ 15
7.5 7.5 3.75
－ 1.50 － 0.75 － 1.50－ 0.75 － 0.75
0.37 0.38 0.19
－ 0.08 － 0.03 － 0.08－ 0.04 － 0.04
0.02 0.02
结点
杆端
A C E
AG AC CA CH CE CH
m
μ
M － 7.11 7.11 2.36 － 0.78 － 1.58 － 0.79
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m7.11
0.79
1.58
2.63
0.79
1.58
7.11
2.630.78
M图（ kN.m)
例题 2-6 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
l1
l 2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A B
DC
EI1
I2
↓↓↓↓↓↓↓
q
E B
F
解：取等代结构如图。
设梁柱的线刚度为 i1,i2
2i1 2i
2
2 2iSBF ?2 1iSBE ?
21
2
ii
i
BF ???
21
1
ii
i
BE ??? 12)2(3
2
121 qllqm
BE ??
21
2
ii
i
?
i
21
1
ii ?
BE BF
μ
21
μ
BE BF
21
2
ii
i
?
i
21
1
ii ?
m
12
21ql
12
21
21
1 ql
ii
i
?? 12
21
21
2 ql
ii
i
??
12
21
21
2 ql
ii
i
??12
21
21
2 ql
ii
i
?
M
12
21
21
2 ql
ii
i
?12
21
21
2 ql
ii
i
?
M图
?当竖柱比横梁的刚度大很多时 (如 i2>20i1),梁端弯矩接近
于固端弯矩 ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。
?当横梁比竖柱的刚度大很多时 (如 i1>20i2),梁端弯矩接近于零。
此时竖柱对横梁起铰支座的作用。
?由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅
决定于构造作法，也与相对刚度有关。
?如本例中只要横梁线刚度 i1 超过竖柱线刚度 i2的 20倍时，横
梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱 i2 超过横梁线刚度 i1的
20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。
i2
i1
i2
i1
22
1、无剪力分配法的应用条
件,刚架中除了无侧移杆外，
其余的杆全是剪力静定杆。
2、剪力静定杆的固端弯矩：
↓↓↓↓↓↓↓↓
2k
N/
m
↓↓↓↓↓↓↓↓
2k
N/
m
求剪力静定杆的固端弯矩时
?先有平衡条件求出杆端剪力；
?将杆端剪力看作杆端荷载，
按该端滑动，另端固定的杆计
算固端弯矩。
3、剪力静定杆的 S和 C：
θA
Δ
A
B
MAB=4iθA－ 6iΔ/l MBA=2iθA－ 6iΔ/l
∵ QBA=－ （ MAB+MBA） /l=0
∴ MBA= － MAB,
∴ MAB=iθA,MBA=－ iθA
?剪力静定杆的 S= i C=－ 1
Δ/l=θA /2
§ 12-3 无剪力分配法
例题 12-7用无剪力分配法计算刚架。
解,1、求分配系数
SBC=3i1=12 SBA=i2=3
μBC=4/5 μBA=1/5
BA杆的传递系数 =－ 1
2m 2m
4m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓↓
↓1k
N/
m
5kN
i1=4
i2=3
A
B C
2、求固端弯矩：
mkNm BC,75.345163 ??????
mkNqlm BA,67.2
6
41
6
22
???????
mkNqlm AB,33.53413
22
???????
AB BA BC CB
μ 4/51/5
m － 5.33 － 2.67 － 3.75
分传 1.28 5.14
M
－ 1.28
－ 6.61 － 1.39 1.39 0
1.39
5.70
6.61
M图（ kN.m)
8m× 6=48m
5n
4kN 4kN 4kN6kN6kN
12kN
2kN4kN 6kN
(3)
(3)
(3)
(3)
(3) (3)
(4)
(4) (4)
(4)(5)
(5)
(5)
(5)
(2) (2)(1)(1)(1)
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
(3) (5)(4)
(2)(6) (4)
M=0
25
2kN 3kN6kN
6kN 2kN 3kN
(3) (5)(4)
(2)(6) (4)
A B C D
GF
E
1、求 μ,大家算
7
1
7
6
318
18 ??
?? ABAE ??
19
4
19
3
19
12
3412
12 ???
??? BCBABF ???
15
5
15
4
15
6
546
6 ???
??? CDCBCG ???2、求 m：大家算
248621 ??????? BAAB mm 168421 ??????? BCCB mm
48121 ??????? DCCD mm
6kN41k
BCBA
B结点
杆端
A C D
AE AB BF CB CG DC
m
μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15
－ 24
CD
3/19 4/19 5/15
－ 24 － 16 － 16 － 4 － 4
6.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42
25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.47
26
BCBA
B结点
杆端
A C D
AE AB BF CB CG DC
m
μ 6/7 1/7 12/19 6/154/15
－ 24
CD
3/19 4/19 5/15
－ 24 － 16 － 16 － 4 － 4
6.32 25.26 8.42－ 6.32 － 8.42
25.99 4.33 － 4.33 7.58 11.37 9.47－ 7.58 － 9.47
1.88 7.52 2.51－ 1.88 － 2.51
0.67 1.00 0.84－ 0.67 － 0.841.61 0.27 － 0.27
0.15 0.59 0.20
M － 20.2527.60 33.37 － 13.12－ 18.68 12.37 6.31 － 14.31－ 27.60
请自己完成弯矩图的绘制 。
位移法习题课
27
对于有线位移的结构，可联合应用力矩分配法和位移法求解，
用位移法考虑线位移的影响，用力矩分配法考虑角位移的影响。
首先，用位移法求解，取无侧移的刚架为基本体系，线位移
为基本未知量，角位移不算作基本未知量。位移法方程为：
01111 ??? PFk 而弯矩可表示为,PMMM ??? 11
其中：
PMM,1
可由力矩分配求解。 k11,F1P可由弯矩图求得。
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
Δ Δ=1
PM
11 ??M
F1P
k11
§ 12-4 力矩分配法与位移法的联合应用
28
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
4I 4I5I
3I 3I
A B C D
E
F
Δ=1
例题 2-10 试用联合法求
图示刚架的弯矩图。
F1P
k11
设 EI=1
FCCF
EBBE
mm
mm
???
?
??
???
?
??
5.0
6
36
125.1
4
36
2
2
29
A
B C
D
E
F
BA BE BC CB CF CD
0.3 0.3 0.4 0.445 0.222 0.333
－ 1.125
0.338 0.338 0.449 0.225
0.122 0.061 0.092 0.061
-0.019 -0.019 -0.023
0.319 -0.806 0.487
0.340 -0.436 0.096EB
0.169
-0.009
-0.965
FC
0.031
0.001
－ 0.468
FCCF
EBBE
mm
mm
???
?
??
???
?
??
5.0
6
36
125.1
4
36
2
2
－ 1.125
－ 0.5
－ 0.5
-0.012
0.005 0.003 0.004
30
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
43.4 46.9 24.4 14.6
9.8
4.9
3.45
1.7
MP图（ kN.m)
F1P
kN
QQF BECFP
16.1
4
7.145.3
6
9.48.9
1
?
?
?
??
??
??
A B C D
E
F
Δ=1
k11
0.318
0.488
0.806
0.965
0.340
0.096
0.436
0.467
kN
QQk
BECF
594.0
4
806.0965.0
6
436.0476.0
11
?
??
?
??
??
??
95.1594.0 16.1
11
1
1 ??????? k
F PM
31
A B C D
E
F
M图 (kN.m)
42.8
47.8
23.7
14.8
5.0
3.6
8.9
4.0
18.5 26.7
最后弯矩可表示为：
PMMM ??? 11
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m43.4
46.9 24.4
14.6
9.8
4.9
3.45
1.7
MP图（ kN.m)
A B C D
E
F
0.318
0.488
0.806
0.965
0.340
0.096
0.436
0.467M
95.11 ???
32
P=1x
Z1
Z1
P=1x
Z1=1
δ11δ
P1
①
②
W12=Z1δ11 +PδP1=W21 =0
Z1 = － δ P1 /δ11
机动法作法,
Z1(x) － δP1(x) /δ11
1、撤去与约束力 Z1相应的约束。
2、使体系沿 Z1的正方向发生位移，
作出荷载作用点的挠度图 δP1
图，即为影响线的形状。横坐
标以上图形为正，横坐标以下
图形为负。
3、将 δP1 图除以常数 δ11,便确
定了影响线的竖标。
?静定力的影响线对应于几何可变体系的虚位移图,因而是折线；
?超静定力的影响线对应于几何不变体系的虚位移图,因而是曲线。
§ 12-5 超静定力的影响线（机动法）
P=1x
A B C D E F
MC
δ11
MC.I.L
A B C D E F
MK δ11 MK.I.L
K
P=1x
A B C D E F
A B C D E F
RC
δ11 R
C.I.L
A B C D E F
QC右,I.L
34
P=1x
A B C D E F
MK.I.L
RC.I.L
K
MC.I.L
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓M
Kmax
MCmin ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
RCmax
?跨中截面正弯矩最不利活载布置：本跨有活载,向两边每隔一跨
有活载。
?支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨有
活载,向两边每隔一跨有活载。
§ 12-6 连续梁的最不利荷载布置及内力包络图
35
连续梁的内力包络图,求在恒载和活载联合作用下，各截面可能
产生的最大正弯矩 Mmax和最大负弯矩 Mmin。
求 Mmax和 Mmin的原则,1、必有恒载作用，且永远出现。
2、活载按最不利情况考虑。
具体作法：
1、把连续梁的每一跨分为若干等分，取等分点为计算截面。
2、全梁布满恒载，绘制 M恒 。
3、逐个的单独一跨布满活载，绘制各 M活 图。
4、求出各计算截面的 Mmax 和 Mmin。
???
???
?
?
活恒
活恒
kkk
kkk
MMM
MMM
m i n
m a x
5、将各截面的 Mmax值用曲线联结起来，将各截面的
Mmin值用曲线联结起来，这两条曲线即形成弯矩包络图或
弯矩范围图。
10m 10m 10m
例：已知恒载集度 q=12kN/m，活载集度 p=12kN/m。作 M包络图。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
120 120
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=12kN/m
9030
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m80
110
1030 20
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m606030 30
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
P=12kN/m80
110
10 3020
Mmax
Mmin
0
0
210
0 2 4 6 8 10 12
M恒
M活 1
M活 2
M活 3
－ 100
90
90
120 － 100 210 0
60 － 260 － 30 － 260 60 0
37
Mmax
Mmin
0
0
210
0 2 4 6 8 10 12
－ 100 120 － 100 210 0
60 － 260 － 30 － 260 60 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
210
60
260
100
120
30
260
100
210
60
弯矩图包络图（ kN.m)
将设计时不需要考虑的弯矩图，在弯矩图包络图用虚线表示。
38
超静定梁的影响线绘制（机动法） Z
1(x) = － δP1(x) /δ11
1、撤去与所求约束力 Z1相应的约束。
2、使体系沿 Z1的正方向发生位移,作出荷载作用点的挠度图 δP1
图，即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图
形为负。
3、将 δP1 图除以常数 δ11,便确定了影响线的竖标。
先绘制支座弯矩的影响线：如 MB
P=1
E A B C D
P=1
E A B C D
MB=1δ
11
δP1
39
E A B C DMB
MA MC
MB
P=1
E A B C D
MB δ
11
δP1
E A B C D1
1
E A B C D
P=1x
l－ x
)2(6)2(611 CBBCABAB MMEIlMMEIl ?????
))()2((6 )(1 xlMxlME I lxlx BAP ??????
杆端弯矩使梁
下侧受拉为正。
产生 δ11
δ1P的 Mp
求 δ11的 M
求 δ1p的 M
l
xlx )( ?
40
例题 2-11 求图示连续梁支座弯矩 MB的影响线。
6m 6m 6m
A B C D
1
0.5 0.25
? ? EIEI 25.3)25.02()5.02(6 611 ??????
AB,? ?
78
)6()6()12(5.0
66
)6()( 211
1111
11
1
xxxx
EI
xxxy ???????
?
?? ?
BC,? ?
)4.8(6.93 )6()6(25.0)12(66 )6()( 2221122222 xxxxxEI xxxy ???????? ?? ?
x1 P=1 x2 P=1 x2 P=1
CD,? ?
4 8 6
)12()6()12(25.0
66
)6()( 331
113333
xxxx
EI
xxxy ??????
?
?? ?
MB=1
)2(6)2(611 CBBCABAB MMEIlMMEIl ????? ))()2((6 )(1 xlMxlME I lxlx BAP ??????
41
A B C D0.123m 0.346m 0.389m 0.497m 0.520m 0.281m
0.151m 0.175m 0.108m
利用已作出的弯矩影响线,即可按叠加法求得连续梁上
任一截面的弯矩、剪力以及支座反力影响线。
AB:
78
)6()( 211
1
xxxy ??
BC:
)4.8(6.93 )6()( 2222 xxxxy ???
CD:
486
)12()6()( 331
3
xxxxy ??? 课间休息单元练习
42
