1
?位 移 法 基 本 概 念
?等 截 面 直 杆 的 杆 端 力
?位 移 法 基 本 未 知 量
?位移法之 典 型 方 程 法
?无侧移刚架, 有侧移刚架 算例
?位移法之 直 接 平 衡 法
?位 移 法 计 算 对 称 结 构
?支 座 移 动 和 温 度 改 变 时 的 计 算
2
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原
结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移
平衡条件
？一组单跨超静定梁
§ 11-1 位移法的基本概念
3
l
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
EI=常数
A
B
Cβ
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
Cθ
A
F1
F1=0
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
C
F1P
ql2/12
ql2/12
A
B
Cθ
A
F11
θA
θA
Al
EI?4
AlEI?2
AlEI?2
Al
EI?4
AlEI?2
Al
EI?4
Al
EI?4
AlEI?2
12
2
1
qlF
P ??
ql2/12
F1P
4i
F11 lEIlEI AA ?? 44 ??
0
12
8
0
2
1111
??
???
ql
l
EI
FFF
A
P
?
EI
ql
A 96
3
??
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
C
ql2/24 5ql
2/48
ql2/48
01 ?? FAA ??
01 ?? FAA ??AA ?? ?
4
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
1、杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角 θA,θB,弦转角
β＝ Δ/l都以顺时针为正。
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
对结点或支座以逆时针为正。
用力法求解 i=EI/l
2,形常数：
由单位杆端位移引起的杆端力
β
MAB>0 M
BA<0
1
4i
2i
MiMiM BAAB 2,4 ??
§ 11-2 等截面直杆的杆端力 （形常数、载常数）
6
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表 11-1）。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
7
3,载常数,由跨中荷载引
起的固端力
X1=－ Δ1P /δ11 =3ql/8
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
mAB l,EI
l X1=11M
D P1 ???
?
?
??
???
EI
qlllql
EI 84
3
23
11 42
11d ??
?
???
??
EI
lll
EI 33
2
2
1 32
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
08
2
??? BAAB mqlm
各种单跨超静定梁在各
种荷载作用下的杆端力均可
按力法计算出来，这就制成
了载常数表 11-2（ P241）
M图
8
4、转角位移方程,杆端弯矩的一般公式：
QBAQAB
MBAMAB P
MBAMAB
+
P
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
D
???
D
???
642
624
??
??
+mAB
+mBA
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
0
BAQ
0
ABQ
‘
BAQ
’‘
ABQ’
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
β ↓↓↓↓↓↓↓↓
5、已知杆端弯矩求剪力, 取杆
件为分离体建立矩平衡方程：
转角位移方程
注,1,MAB,MBA绕杆端顺时
针转向为正。
2,是简支梁的剪力。0ABQ
9
1、基本未知量的确定：
P PθC
θDΔ
Δ
θC
Δ Δ Δ为了减小结点线位移数目，假定：
①忽略轴向变形，
②结点转角和弦转
角都很微小。
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是
将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
结点角位移的数目 =刚结点的数目
P P
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
结论：原结构独立结点线位移的数目 =相应铰结体系的自由度。
=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
2、基本体系的确定：
§ 11-3 位移法的基本未知量和基本体系
10
结点转角的数目,7个
1
2
3
相应的铰接体系的自由度 =3
独立结点线位移的数目,3个
也等于层数 3
结点转角的
数目,3个
独立结点线位移的数目,2个
不等于层数 1
位移法基本未知量 结点转角独立结点线位移 数目 =刚结点的数目 数目 =铰结体系的自由度
=矩形框架的层数
在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。
11
Δ1Δ
1
Δ2
Δ1Δ
1
Δ2F1
F2F1=0F
2=0
F1P
F2P
k21Δ1=1
Δ1
× Δ1
× Δ2
k11
Δ2=1
k22
k12
位移法
基本体系
0
0
2222121
1212111
??D?D
??D?D
P
P
Fkk
Fkk
F1=0
F2=0
?F11,F21(k11,k21)── 基本体系在 Δ1(=1)单独作
用时，附加约束 1,2中产生的约束力矩和约束力；
?F12,F22(k12,k22)── 基本体系在 Δ2(=1)单独作用
时，附加约束 1,2中产生的约束力矩和约束力；
?F1P,F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束 1,2中产生的约束力矩和约束力；位移法方程的含义：基本体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的
总约束力 (矩 )等于零。实质上是平衡条件。
§ 11-4 位移法典型方程
12
0
0
0
2211
22222121
11212111
??D?????D?D
????????????
??D?????D?D
??D?????D?D
nPnnnnn
Pnn
Pnn
Fkkk
Fkkk
Fkkk
n个结点位移的位移法典型方程
? 主系数 kii── 基本体系在 Δi=1单独作用时，在第 i个附加约
束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
? 付系数 kij= kji── 基本体系在 Δj=1单独作用时，在第 i个 附
加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
? 自由项 FiP── 基本体系在 荷载 单独作用时，在第 i个 附加约
束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
)
()1(
的弯矩图
荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作 Pii MM ?D? ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的约束力。
13
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
4m
4m 2m 2m
i i
i
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
Δ1
Δ1
基本体系
F1
当 F1=0
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN20
20
36
MP
M1 20 36
0
F1P=－ 16
2i
4i
3i
i
4i 3i
i
k11 =8i
解之,Δ1=－ F1P/k11=2/i
利用
PMMM ?D? 11
叠加弯矩图
Δ1=1
16 28 30
30 30
2M图
(kN.m)
01111 ??D? PFkF
k11
F1P
+
1D?
14
?由已知的弯矩图求剪力：
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
4m
4m 2m 2m
i i
16 28 30
30 30
2M图
(kN.m)
A B C
D
kN272 4154 1628 ??????
kNQ BC 5.31248430 ?????
kNQ BA 332 4154 1628 ???????
33
27 + 31.5 +
16.5Q图
(kN)
?由已知的 Q图结点投影平衡求轴力：
0
31.533
NBD
NAB 0
B
∑X=0 NAB=0
∑Y=0 NBD=－ 64.5
?校核,B 30
2
28∑MB=0
27 64.5 16.5
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
∑Y=27+64.5+16.5－ 15× 4+48
=0
15
位移法计算步骤可归纳如下：（ P22）
1）确定基本未知量；
2）确定位移法基本体系；
3）建立位移法典型方程；
4）画单位弯矩图、荷载弯矩图 ;
5)由平衡求系数和自由项；
6）解方程，求基本未知量；
7）按 M=∑M i·Δ i+MP 叠加最后弯矩图。
8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。
9）校核平衡条件。
16
20kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A B C
3m 3m 6m
i i
2kN/m
A B C
16.72 11.57 9
2kN/m20kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A B C
1）确定基本未知量 Δ 1=θ B ；
2）确定位移法基本体系；
3）建立位移法典型方程；
01111 ??D PFk
4）画 M,MP;由平衡求系
数和自由项；
15 15 9
F1P15
9 F1P=15－ 9=6
Δ1=1
2i
4i
A B C
3ik11
4i 3i k11=4i+3i=6i
5）解方程，求基本未知量；
ik
F P
7
6
11
1
1 ????D
6）按 M=∑M i·Δ i+MP
叠加最后弯矩图 30
M图 (kN.m)11.57 11.57
7）校核平衡条件
∑MB=0
MP
M1
§ 11-5 位移法计算
连续梁无侧移刚架
17
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例：作弯矩图
1、基本未知量
2、基本体系
BA
qlm ???
8
420
8
22
mkN?,40
BC
qlm ?????
12
520
12
22
CB mkNm ?,7.41
mkN.7.41
令 EI=1
CB ?? ?D?D 21,
F1P=40－ 41.7= － 1.7
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
0
0
2222121
1212111
??D?D
??D?D
P
P
Fkk
Fkk
3、典型方程
4）画 MP, Mi;由平衡求 kij,FiP
40 41.7 41.7
MP
M1
F2P=41.7
A B C D
E
F
3i
4i
2i
3i
1.5i
k11=4i+3i+3i= 10i
k21=2i
18
M2
A B C D
E
F
3i
4i
2i 2i
i
k22=4i+3i+2i= 9i
k21=2i
5）解方程，求基本未知量；
07.4192
07.1210
21
21
??D?D
??D?D
89.4
15.1
2
1
??D
?D
M1
A B C D
E
F
3i
4i
2i
3i
1.5i
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m40 41.7 41.7
MP
A B C D
E
F5m4m
4m
4m
2m
43.540 46.9 24.5
62.5 14.7
9.8
4.9
3.4
1.7
M图 (kN.M)
19
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
8m
4m
2i
i i
Δ2 Δ2
Δ1
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
Δ2
Δ1
F1
F2
F1=0
F2=0
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
F1P
F2P
k12
k22
乘 Δ2
k11
k21
乘 Δ1
Δ1=1
Δ2=1
0
0
22221212
12121111
??D?D?
??D?D?
P
P
FkkF
FkkF
4
4
MP
F1P
0
4
F1P=4
F2P=－ 6
62 ?ql
0
F2P
4i
2i
6i
6i
i
k11
ii 5.146 ?
k11=10i
k21=－ 1.5i
M1
12
0
1.5i 43i 163i
k2122
M2
k12=－ 1.5i
k21=15i/16
1.5i
1.5i
0.75i
06
16
155.1
045.110
21
21
??D?D?
??D?D
ii
ii
解之,Δ1=0.737/i,Δ2=7.58/i
利用
PMMMM ?D?D? 22111
叠加弯矩图
13.62
4.42
5.69
M图
(kN.m)
§ 11-6 位移法计算有侧移刚架
与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投
影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的
反力，由截面投影方程来求。
20
1、转角位移方程,
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
D
???
D
???
642
624
??
?? +mAB
+mBA
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
β ↓↓↓↓↓↓↓↓
⑴ 两端刚结或固定的等直杆
⑵ 一端铰结或铰支的等直杆
0
33
?
?D??
BA
ABAAB
M
m
l
iiM ?
⑶ 一端为滑动支承的等直杆
BAABBA
ABBAAB
miiM
miiM
???
???
??
??
MAB
θA
A
B↓↓↓↓↓↓↓↓
MAB A
BθA
θB
MBA
↓↓↓↓↓↓↓↓
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
(4)已知杆端弯矩求剪力
§ 11-9 用直接平衡
法建立位移法方程
21
位移法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量；
2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；
3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，
在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，
得到位移法方程；
4）解方程，求基本未知量；
5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到
杆端力；
6）按杆端力作弯矩图。
22
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例 11-1 作弯矩图
1、基本未知量 θB,θC
2、列杆端力表达式 令 EI=1
BA
qlm ???
8
420
8
22
mkN?,40
BC
qlm ?????
12
520
12
22
CB mkNm ?,7.41
mkN.7.41
CCCFM ?? ??? 25.04
BBEBM ?? ??? 5.175.02
CBCBM ?? ??? 7.4142
CBBCM ?? ??? 7.4124
BBAM ? ?? 403
CCFCM ?? ??? 5.02
BBBEM ?? ??? 375.04
CCDM ??3
3、列位移法方程
0????? CFCDCBC MMMM
0????? BEBCBAB MMMM 07.1210 ??? CB ??
7.4192 ?CB ??
4、解方程
θB=1.15 θC=－ 4.89
=43.5
=－ 46.9
=24.5
=－ 14.7
=－ 9.78
=－ 4.89
MCB MCD
MCF
=3.4
=1.7
A B C D
E
F5m4m
4m
4m
2m
43.540 46.9 24.5
62.5 14.7
9.8
4.9
3.4
1.7
M图 (kN.M)
位移不是真值 !!
5、回代 6、画 M图
MBA
MBC
MBE
23
θB
↓↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
8m
4m
2i
i i
A
B C
D
Δ Δ
)2(3? iM BBC ?
12
43
464
2?
?D?? iiM BBA ?
12
43
462
2?
?D?? iiM BAB ?
0,0 ???? QQX CDBA
0,0 ???? MMM BCBAB
43
D?? iM
DC
045.110 ??D? ii B?
16
30 D???? i
l
MQ DC
CD
0616155.1 ??D?? ii BJ
6435.10 ?D??????? iiQl MMQ BBABAABBA ?
解之：
θ=0.74/i
Δ=7.58/i
=－ 13.89
BAQ CDQ
=－ 4.42
=4.44 =－ 5.69
4.42
4.44
13.89 5.69
M图 (kN.m)
1、基本未知量 θB,Δ
2、列杆端力表达式
3、列位移法方程
4、解方程
5、回代
6、画 M图
24
P
h 1 h
2 h 3
I1 I2 I3
作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
解,1）基本未知量只有 Δ Δ
Δ
Δ
2）各柱的杆端剪力
侧移刚度 J=3i/h2,则：
Q1=J1Δ,Q2=J2Δ,Q3=J3Δ
Q1+Q2+Q3=P
J1Δ+J2Δ+J3Δ=P
??D iJ
P P
Q1
Q2
Q3
i
i h
J
PJM=Q
ihi ??
i
i J
PJQ
??
P
柱顶剪力：
柱底弯矩：
?J
hPJ 11
?J
hPJ 33
?J
hPJ 22
3）位移法方程
∑X=0
M
结点集中力作为各柱总剪力，按
各柱的侧移刚度分配给各柱。再
由反弯点开始即可作出弯矩图。
仅使两端发生单位侧移时需在两
端施加的杆端剪力。
26
i i l
P EI=∞
A B
C D
12
2l
iJ
BD ?
3
2l
iJ
AC ?
5
4
/12/3
/12
22
2 P
lili
liP
J
PJQ BD
BD ?????
5/12/3
/3
22
2 P
lili
liP
J
PJQ AC
AC ?????
M图
P
P/5
4P/5
l/2
l/2
Pl/5 2Pl/5
2Pl/5
27
12
2l
iJ
BD ?
3
2l
iJ
AC ?
5
4P
J
PJQ BD
BD ???
5
P
J
PJQ AC
AC ???
i i 8m
EI=∞
A B
C D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓1
0k
N/
m i
i
EI=∞
A B
C D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓1
0k
N/
m
R
3ql/8=30kN R=30kN
=6kN
=24kN
4m
4m
R30kN
80
6
48
24
96
96
M图
(kN.M)
128
80
96
96
28
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12kN
/m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12kN
/m ↓↓↓↓
↓↓
↓↓
12kN
/m
↓↓↓↓↓↓↓2
4k
N/
m
4m
4m 4m
EI EI
EI2EIEI
24
24
24
72 72
4
20
8
20
8
M反对称 M对称
92
16 4 32
52
M图
(kN.m)
48
§ 11-8 对称结构的计算
31
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
4m
3m
4m 4m
4I 4I 4I
4m
↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
i=1
A
C
B
ACAM 2??
AACM ??4
ABAM ? ?? 162
A? ?? 164AABM ?
×??
12
4124 2
0???? ACABA MMM
2
0168
?
??
A
A
?
?
MAB
MAC
A
=－ 8kN.m
=20kN.m
=8kN.m
=4kN.m
4
8
20
4
8
20
M图
(kN.m)
1）斜梁（静定或超静定）受竖向
荷载作用时，其弯矩图与同跨度同
荷载的水平梁弯矩图相同。
2）对称结构在对称荷载作用下，
与对称轴重合的杆弯矩 =0，剪力 =0。
32
1)支座移动时的计算 基本方程和基本未知量以及作题
步骤与荷载作用时一样,只是固端力一项不同。
l l
i i
A B C
MM BCBA ??? 0
Δ
lB
D?
2?lii B ?
D? 036 ?
liiM BBC
D?? 33 ?
iM BBA ?3 ?
li
D? 5.1= l
iD5.1=
li
D5.1
M图
*§ 11-7 支座移动和温度改变时的计算
33
l l
i i
A B C
Δ
l l
i i
A B C
l l
i i
A B C
Δ/2Δ/2
Δ/2
Δ/2
li
D5.1
M反 =0
34
固端弯矩
?杆件内外温差产生的“固端弯矩”
?温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使
杆端产生相对横向侧移产生的,固端弯矩”
C
C
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移
立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移 Δ
Δ=αTL
M=－ 3iΔ/h
l l l l
h
l l l l l
h
升温 T° C L
2)温度改变时的计算
35
6m 6m
4m
Co
30?
Co30?
Co10 Co10
Co
30?
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度 h=0.6m。作弯矩图。
6m
Co
30?
Co30?
Co10
6m
Co10?
Co10?C
o
10?
Co
10?
Co
20?
Co
20
Co
10
6m
Co
10
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D A
B C
D
AB柱缩短 αt0 l=40α
CD柱伸长 αt0 l=40α
BC梁缩短 αt0 l=60α
各杆端的相对线位移
ΔAB= 60α ΔBC= － 80α
EIHEI AB ?5.226 2 ??D??mAB=mBA
mBC=mCB EI
l
EI
BC ?3.13
6
2 ?D??
36
6m
Co
20?
Co
20
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D
EIh tEI ?? 7.66?D??－ mAB=mBA
－ mBC=mCB EI
h
tEI ?? 7.66?D??
杆端弯矩为
EIEIEIEIM BBAB ???? 4.895.0)7.665.22(42 ??????
EIEIEIEIM BBBA ???? 2.44)7.665.22(44 ??????
EIEIEIEIM BBBC ???? 3.5367.0)7.663.13(64 ?????
EIEIEIEIM BBCB ???? 0.8033.0)7.663.13(62 ?????
?? 4.5?B?? 01.967.1 ??B EIEI? ??? 0
BCBA MMM
=－ 86.5αEI
=49.6αEI
=81.8αEI
=－ 49.7αEI
6m 6m
4m
86.5
M图 × αEI
49.7
81.8
37
?位 移 法 基 本 概 念
?等 截 面 直 杆 的 杆 端 力
?位 移 法 基 本 未 知 量
?位移法之 典 型 方 程 法
?无侧移刚架, 有侧移刚架 算例
?位移法之 直 接 平 衡 法
?位 移 法 计 算 对 称 结 构
?支 座 移 动 和 温 度 改 变 时 的 计 算
2
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原
结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 —— 多余未知力；
基本体系 —— 静定结构；
基本方程 —— 位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
独立结点位移
平衡条件
？一组单跨超静定梁
§ 11-1 位移法的基本概念
3
l
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
EI=常数
A
B
Cβ
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
Cθ
A
F1
F1=0
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
C
F1P
ql2/12
ql2/12
A
B
Cθ
A
F11
θA
θA
Al
EI?4
AlEI?2
AlEI?2
Al
EI?4
AlEI?2
Al
EI?4
Al
EI?4
AlEI?2
12
2
1
qlF
P ??
ql2/12
F1P
4i
F11 lEIlEI AA ?? 44 ??
0
12
8
0
2
1111
??
???
ql
l
EI
FFF
A
P
?
EI
ql
A 96
3
??
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A
B
C
ql2/24 5ql
2/48
ql2/48
01 ?? FAA ??
01 ?? FAA ??AA ?? ?
4
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
1、杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角 θA,θB,弦转角
β＝ Δ/l都以顺时针为正。
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
对结点或支座以逆时针为正。
用力法求解 i=EI/l
2,形常数：
由单位杆端位移引起的杆端力
β
MAB>0 M
BA<0
1
4i
2i
MiMiM BAAB 2,4 ??
§ 11-2 等截面直杆的杆端力 （形常数、载常数）
6
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表 11-1）。
单跨超静定梁简图 MAB MBA QAB= QBA
4i 2iθ=1A B
A B 1
212 li
li6?
li6?li6?
A B 1 0
li3?
A Bθ=1 3i 0
23 li
A Bθ=1 i － i 0
li3?
7
3,载常数,由跨中荷载引
起的固端力
X1=－ Δ1P /δ11 =3ql/8
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
mAB l,EI
l X1=11M
D P1 ???
?
?
??
???
EI
qlllql
EI 84
3
23
11 42
11d ??
?
???
??
EI
lll
EI 33
2
2
1 32
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
08
2
??? BAAB mqlm
各种单跨超静定梁在各
种荷载作用下的杆端力均可
按力法计算出来，这就制成
了载常数表 11-2（ P241）
M图
8
4、转角位移方程,杆端弯矩的一般公式：
QBAQAB
MBAMAB P
MBAMAB
+
P
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
D
???
D
???
642
624
??
??
+mAB
+mBA
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
0
BAQ
0
ABQ
‘
BAQ
’‘
ABQ’
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
β ↓↓↓↓↓↓↓↓
5、已知杆端弯矩求剪力, 取杆
件为分离体建立矩平衡方程：
转角位移方程
注,1,MAB,MBA绕杆端顺时
针转向为正。
2,是简支梁的剪力。0ABQ
9
1、基本未知量的确定：
P PθC
θDΔ
Δ
θC
Δ Δ Δ为了减小结点线位移数目，假定：
①忽略轴向变形，
②结点转角和弦转
角都很微小。
位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是
将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。
结点角位移的数目 =刚结点的数目
P P
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
结论：原结构独立结点线位移的数目 =相应铰结体系的自由度。
=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
2、基本体系的确定：
§ 11-3 位移法的基本未知量和基本体系
10
结点转角的数目,7个
1
2
3
相应的铰接体系的自由度 =3
独立结点线位移的数目,3个
也等于层数 3
结点转角的
数目,3个
独立结点线位移的数目,2个
不等于层数 1
位移法基本未知量 结点转角独立结点线位移 数目 =刚结点的数目 数目 =铰结体系的自由度
=矩形框架的层数
在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。
11
Δ1Δ
1
Δ2
Δ1Δ
1
Δ2F1
F2F1=0F
2=0
F1P
F2P
k21Δ1=1
Δ1
× Δ1
× Δ2
k11
Δ2=1
k22
k12
位移法
基本体系
0
0
2222121
1212111
??D?D
??D?D
P
P
Fkk
Fkk
F1=0
F2=0
?F11,F21(k11,k21)── 基本体系在 Δ1(=1)单独作
用时，附加约束 1,2中产生的约束力矩和约束力；
?F12,F22(k12,k22)── 基本体系在 Δ2(=1)单独作用
时，附加约束 1,2中产生的约束力矩和约束力；
?F1P,F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
束 1,2中产生的约束力矩和约束力；位移法方程的含义：基本体系在结点位
移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的
总约束力 (矩 )等于零。实质上是平衡条件。
§ 11-4 位移法典型方程
12
0
0
0
2211
22222121
11212111
??D?????D?D
????????????
??D?????D?D
??D?????D?D
nPnnnnn
Pnn
Pnn
Fkkk
Fkkk
Fkkk
n个结点位移的位移法典型方程
? 主系数 kii── 基本体系在 Δi=1单独作用时，在第 i个附加约
束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
? 付系数 kij= kji── 基本体系在 Δj=1单独作用时，在第 i个 附
加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
? 自由项 FiP── 基本体系在 荷载 单独作用时，在第 i个 附加约
束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
)
()1(
的弯矩图
荷载引起，由载常数作引起的弯矩图由形常数作 Pii MM ?D? ；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截
面投影平衡求附加支杆中的约束力。
13
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
4m
4m 2m 2m
i i
i
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
Δ1
Δ1
基本体系
F1
当 F1=0
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN20
20
36
MP
M1 20 36
0
F1P=－ 16
2i
4i
3i
i
4i 3i
i
k11 =8i
解之,Δ1=－ F1P/k11=2/i
利用
PMMM ?D? 11
叠加弯矩图
Δ1=1
16 28 30
30 30
2M图
(kN.m)
01111 ??D? PFkF
k11
F1P
+
1D?
14
?由已知的弯矩图求剪力：
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
4m
4m 2m 2m
i i
16 28 30
30 30
2M图
(kN.m)
A B C
D
kN272 4154 1628 ??????
kNQ BC 5.31248430 ?????
kNQ BA 332 4154 1628 ???????
33
27 + 31.5 +
16.5Q图
(kN)
?由已知的 Q图结点投影平衡求轴力：
0
31.533
NBD
NAB 0
B
∑X=0 NAB=0
∑Y=0 NBD=－ 64.5
?校核,B 30
2
28∑MB=0
27 64.5 16.5
↓↓↓↓↓↓↓↓
15kN/m 48kN
∑Y=27+64.5+16.5－ 15× 4+48
=0
15
位移法计算步骤可归纳如下：（ P22）
1）确定基本未知量；
2）确定位移法基本体系；
3）建立位移法典型方程；
4）画单位弯矩图、荷载弯矩图 ;
5)由平衡求系数和自由项；
6）解方程，求基本未知量；
7）按 M=∑M i·Δ i+MP 叠加最后弯矩图。
8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。
9）校核平衡条件。
16
20kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A B C
3m 3m 6m
i i
2kN/m
A B C
16.72 11.57 9
2kN/m20kN
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A B C
1）确定基本未知量 Δ 1=θ B ；
2）确定位移法基本体系；
3）建立位移法典型方程；
01111 ??D PFk
4）画 M,MP;由平衡求系
数和自由项；
15 15 9
F1P15
9 F1P=15－ 9=6
Δ1=1
2i
4i
A B C
3ik11
4i 3i k11=4i+3i=6i
5）解方程，求基本未知量；
ik
F P
7
6
11
1
1 ????D
6）按 M=∑M i·Δ i+MP
叠加最后弯矩图 30
M图 (kN.m)11.57 11.57
7）校核平衡条件
∑MB=0
MP
M1
§ 11-5 位移法计算
连续梁无侧移刚架
17
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例：作弯矩图
1、基本未知量
2、基本体系
BA
qlm ???
8
420
8
22
mkN?,40
BC
qlm ?????
12
520
12
22
CB mkNm ?,7.41
mkN.7.41
令 EI=1
CB ?? ?D?D 21,
F1P=40－ 41.7= － 1.7
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
0
0
2222121
1212111
??D?D
??D?D
P
P
Fkk
Fkk
3、典型方程
4）画 MP, Mi;由平衡求 kij,FiP
40 41.7 41.7
MP
M1
F2P=41.7
A B C D
E
F
3i
4i
2i
3i
1.5i
k11=4i+3i+3i= 10i
k21=2i
18
M2
A B C D
E
F
3i
4i
2i 2i
i
k22=4i+3i+2i= 9i
k21=2i
5）解方程，求基本未知量；
07.4192
07.1210
21
21
??D?D
??D?D
89.4
15.1
2
1
??D
?D
M1
A B C D
E
F
3i
4i
2i
3i
1.5i
A B C D
E
F
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m40 41.7 41.7
MP
A B C D
E
F5m4m
4m
4m
2m
43.540 46.9 24.5
62.5 14.7
9.8
4.9
3.4
1.7
M图 (kN.M)
19
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
8m
4m
2i
i i
Δ2 Δ2
Δ1
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
Δ2
Δ1
F1
F2
F1=0
F2=0
↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
F1P
F2P
k12
k22
乘 Δ2
k11
k21
乘 Δ1
Δ1=1
Δ2=1
0
0
22221212
12121111
??D?D?
??D?D?
P
P
FkkF
FkkF
4
4
MP
F1P
0
4
F1P=4
F2P=－ 6
62 ?ql
0
F2P
4i
2i
6i
6i
i
k11
ii 5.146 ?
k11=10i
k21=－ 1.5i
M1
12
0
1.5i 43i 163i
k2122
M2
k12=－ 1.5i
k21=15i/16
1.5i
1.5i
0.75i
06
16
155.1
045.110
21
21
??D?D?
??D?D
ii
ii
解之,Δ1=0.737/i,Δ2=7.58/i
利用
PMMMM ?D?D? 22111
叠加弯矩图
13.62
4.42
5.69
M图
(kN.m)
§ 11-6 位移法计算有侧移刚架
与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投
影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的
反力，由截面投影方程来求。
20
1、转角位移方程,
l
iiiM
l
iiiM
BABA
BAAB
D
???
D
???
642
624
??
?? +mAB
+mBA
ΔθA θ
B
MAB
QAB
QBA MBA
β ↓↓↓↓↓↓↓↓
⑴ 两端刚结或固定的等直杆
⑵ 一端铰结或铰支的等直杆
0
33
?
?D??
BA
ABAAB
M
m
l
iiM ?
⑶ 一端为滑动支承的等直杆
BAABBA
ABBAAB
miiM
miiM
???
???
??
??
MAB
θA
A
B↓↓↓↓↓↓↓↓
MAB A
BθA
θB
MBA
↓↓↓↓↓↓↓↓
0ABBAABAB Q
l
MMQ ????
(4)已知杆端弯矩求剪力
§ 11-9 用直接平衡
法建立位移法方程
21
位移法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量；
2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；
3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，
在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，
得到位移法方程；
4）解方程，求基本未知量；
5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到
杆端力；
6）按杆端力作弯矩图。
22
4I 4I5I
3I 3I1 11
0.75 0.5
i=1 11
0.75 0.5
A B C D
E
F
5m4m 4m
4m
2m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
例 11-1 作弯矩图
1、基本未知量 θB,θC
2、列杆端力表达式 令 EI=1
BA
qlm ???
8
420
8
22
mkN?,40
BC
qlm ?????
12
520
12
22
CB mkNm ?,7.41
mkN.7.41
CCCFM ?? ??? 25.04
BBEBM ?? ??? 5.175.02
CBCBM ?? ??? 7.4142
CBBCM ?? ??? 7.4124
BBAM ? ?? 403
CCFCM ?? ??? 5.02
BBBEM ?? ??? 375.04
CCDM ??3
3、列位移法方程
0????? CFCDCBC MMMM
0????? BEBCBAB MMMM 07.1210 ??? CB ??
7.4192 ?CB ??
4、解方程
θB=1.15 θC=－ 4.89
=43.5
=－ 46.9
=24.5
=－ 14.7
=－ 9.78
=－ 4.89
MCB MCD
MCF
=3.4
=1.7
A B C D
E
F5m4m
4m
4m
2m
43.540 46.9 24.5
62.5 14.7
9.8
4.9
3.4
1.7
M图 (kN.M)
位移不是真值 !!
5、回代 6、画 M图
MBA
MBC
MBE
23
θB
↓↓↓↓↓↓↓↓
3k
N/
m
8m
4m
2i
i i
A
B C
D
Δ Δ
)2(3? iM BBC ?
12
43
464
2?
?D?? iiM BBA ?
12
43
462
2?
?D?? iiM BAB ?
0,0 ???? QQX CDBA
0,0 ???? MMM BCBAB
43
D?? iM
DC
045.110 ??D? ii B?
16
30 D???? i
l
MQ DC
CD
0616155.1 ??D?? ii BJ
6435.10 ?D??????? iiQl MMQ BBABAABBA ?
解之：
θ=0.74/i
Δ=7.58/i
=－ 13.89
BAQ CDQ
=－ 4.42
=4.44 =－ 5.69
4.42
4.44
13.89 5.69
M图 (kN.m)
1、基本未知量 θB,Δ
2、列杆端力表达式
3、列位移法方程
4、解方程
5、回代
6、画 M图
24
P
h 1 h
2 h 3
I1 I2 I3
作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
解,1）基本未知量只有 Δ Δ
Δ
Δ
2）各柱的杆端剪力
侧移刚度 J=3i/h2,则：
Q1=J1Δ,Q2=J2Δ,Q3=J3Δ
Q1+Q2+Q3=P
J1Δ+J2Δ+J3Δ=P
??D iJ
P P
Q1
Q2
Q3
i
i h
J
PJM=Q
ihi ??
i
i J
PJQ
??
P
柱顶剪力：
柱底弯矩：
?J
hPJ 11
?J
hPJ 33
?J
hPJ 22
3）位移法方程
∑X=0
M
结点集中力作为各柱总剪力，按
各柱的侧移刚度分配给各柱。再
由反弯点开始即可作出弯矩图。
仅使两端发生单位侧移时需在两
端施加的杆端剪力。
26
i i l
P EI=∞
A B
C D
12
2l
iJ
BD ?
3
2l
iJ
AC ?
5
4
/12/3
/12
22
2 P
lili
liP
J
PJQ BD
BD ?????
5/12/3
/3
22
2 P
lili
liP
J
PJQ AC
AC ?????
M图
P
P/5
4P/5
l/2
l/2
Pl/5 2Pl/5
2Pl/5
27
12
2l
iJ
BD ?
3
2l
iJ
AC ?
5
4P
J
PJQ BD
BD ???
5
P
J
PJQ AC
AC ???
i i 8m
EI=∞
A B
C D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓1
0k
N/
m i
i
EI=∞
A B
C D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓1
0k
N/
m
R
3ql/8=30kN R=30kN
=6kN
=24kN
4m
4m
R30kN
80
6
48
24
96
96
M图
(kN.M)
128
80
96
96
28
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12kN
/m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12k
N/
m
↓↓↓
↓↓
↓↓
↓
12kN
/m ↓↓↓↓
↓↓
↓↓
12kN
/m
↓↓↓↓↓↓↓2
4k
N/
m
4m
4m 4m
EI EI
EI2EIEI
24
24
24
72 72
4
20
8
20
8
M反对称 M对称
92
16 4 32
52
M图
(kN.m)
48
§ 11-8 对称结构的计算
31
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
4m
3m
4m 4m
4I 4I 4I
4m
↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m
i=1
A
C
B
ACAM 2??
AACM ??4
ABAM ? ?? 162
A? ?? 164AABM ?
×??
12
4124 2
0???? ACABA MMM
2
0168
?
??
A
A
?
?
MAB
MAC
A
=－ 8kN.m
=20kN.m
=8kN.m
=4kN.m
4
8
20
4
8
20
M图
(kN.m)
1）斜梁（静定或超静定）受竖向
荷载作用时，其弯矩图与同跨度同
荷载的水平梁弯矩图相同。
2）对称结构在对称荷载作用下，
与对称轴重合的杆弯矩 =0，剪力 =0。
32
1)支座移动时的计算 基本方程和基本未知量以及作题
步骤与荷载作用时一样,只是固端力一项不同。
l l
i i
A B C
MM BCBA ??? 0
Δ
lB
D?
2?lii B ?
D? 036 ?
liiM BBC
D?? 33 ?
iM BBA ?3 ?
li
D? 5.1= l
iD5.1=
li
D5.1
M图
*§ 11-7 支座移动和温度改变时的计算
33
l l
i i
A B C
Δ
l l
i i
A B C
l l
i i
A B C
Δ/2Δ/2
Δ/2
Δ/2
li
D5.1
M反 =0
34
固端弯矩
?杆件内外温差产生的“固端弯矩”
?温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使
杆端产生相对横向侧移产生的,固端弯矩”
C
C
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移
立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移 Δ
Δ=αTL
M=－ 3iΔ/h
l l l l
h
l l l l l
h
升温 T° C L
2)温度改变时的计算
35
6m 6m
4m
Co
30?
Co30?
Co10 Co10
Co
30?
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度 h=0.6m。作弯矩图。
6m
Co
30?
Co30?
Co10
6m
Co10?
Co10?C
o
10?
Co
10?
Co
20?
Co
20
Co
10
6m
Co
10
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D A
B C
D
AB柱缩短 αt0 l=40α
CD柱伸长 αt0 l=40α
BC梁缩短 αt0 l=60α
各杆端的相对线位移
ΔAB= 60α ΔBC= － 80α
EIHEI AB ?5.226 2 ??D??mAB=mBA
mBC=mCB EI
l
EI
BC ?3.13
6
2 ?D??
36
6m
Co
20?
Co
20
Co20?
Co20
Co 0 Co 0
A
B C
D
EIh tEI ?? 7.66?D??－ mAB=mBA
－ mBC=mCB EI
h
tEI ?? 7.66?D??
杆端弯矩为
EIEIEIEIM BBAB ???? 4.895.0)7.665.22(42 ??????
EIEIEIEIM BBBA ???? 2.44)7.665.22(44 ??????
EIEIEIEIM BBBC ???? 3.5367.0)7.663.13(64 ?????
EIEIEIEIM BBCB ???? 0.8033.0)7.663.13(62 ?????
?? 4.5?B?? 01.967.1 ??B EIEI? ??? 0
BCBA MMM
=－ 86.5αEI
=49.6αEI
=81.8αEI
=－ 49.7αEI
6m 6m
4m
86.5
M图 × αEI
49.7
81.8
37
