1
?基本概念
?极限玩具计算
?超静定梁的极限荷载
?判定极限荷载的一般定理
?刚架的极限荷载
?习题课
2
§ 19-1 概述
1、线弹性体系 弹性分析 弹性设计法
脆性材料
塑性材料
bjx
sjx
??
??
?
?
k
jx
?
??
?
?? ][m a x
弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的 σmax>[σ]，作为衡
量整个结构破坏的标准。事实上，对于塑性材料的结构（特别是
超静定结构）当 σmax=[σ] 时，结构还没破坏。因此弹性设计法
不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济的。
2、塑性分析
极限荷载
考虑材料的塑性，按照结构丧失承载能力的 极限
状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值。
塑性设计法
k
PPP jx?? ][
从整个结构的承载能
力考虑，更切合实际。
3、理想弹塑性材料
ε
σ
?σ< σy, σ=Eε σy
εy
?σ =σy, σ不增,ε 继续增加。
?卸载 Δσ =EΔε ?
小变形、应力与应变成正比、位移与荷载呈线性关系，无残余变形。
结构在正常使用情况下，弹性分析能给出相当精确的结果。
荷载不再增加，
变形继续增加
塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同。
由此看到，①材料加载是弹塑性的，卸载是弹性的；
②经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系。
要得到弹塑性解答，需要追踪全部受力变形过程，所以结
构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。
而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程，直接研
究论结构的破坏状态求出极限荷载，因而比较方便。
塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性
材料；对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法。
3
σ
σ
?
（ b）
一、极限弯矩
随着 M的增大，梁会经历
?弹性阶段（ b）
yy
bhM ?
6
2
??
（弹性极限弯矩，或屈服弯矩）
?弹塑性阶段（ c）
?塑性阶段 (d) 弹性核消失，整个截面达到
塑性流动,弯矩达到极限弯矩 Mu.
h
b y
z
（ a）
y
y
?
（ ）
σy
σy
?
（ c）
σy
σy
?
（ d）
在弹性核内，应力按线性分布，
弯矩与曲率呈非线性。
y 0
yu
bhM ?
4
2
??
极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。
它主要与 σy和截面形状尺寸有关，剪力对它的影响可忽略不计。
?截面形状系数
??
?
?
?
?
?
?
?
工字形截面
圆形截面
矩形截面
15.1
316
5.1
??
y
u
M
M
?
E I kME
y
??
?
,
,
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??? 23
2 k
kMM yy
§ 19-2 极限弯矩、塑性铰、极限状态
5
形心轴
σy
σy
?
（ b）
σy
σy
?
（ c）
y 0
σy
σy
?
（ d）随着 M的增大，梁会经历
?弹性阶段（ b） 应力按直线分布，中性轴通过形心。
?弹塑性阶段（ c）
?塑性阶段（ d） 截面达到塑性流动
中性轴的位置随弯矩的大小而变。
截面轴力为零：
yyyu WSSM ?? ??? )( 21
S1,S2 分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。
Wy称为塑性截面模量。
A1
A2 = A1
其它截面
等面积轴
极限状
态时中
性轴平
分截面
面积即
等分截
轴。 2
0 2121 AAAAA yy ?????? ??
?
6
A1
120
20
20
20
80已知材料的屈服极限
σy=240MPa,求截
面的极限弯矩。 (mm)
等分截面轴
A2
? ?
).(08.46).(4 6 0 8 0
202.004.002.005.002.008.0102 4 0 6
mkNmN
SM yu
??
?????????
? ?
应力的单位用（ Pa）长度单位
用（ m）力的单位用（ N）得
到弯矩单位（ N.m）
或者应力的单位用（ MPa）长度单位用（ mm）力的单位用
（ N）得到弯矩单位（ N.mm）
? ?
).(08.46).(46080000
2204020502080240
mkNmmN
M u
??
????????
7
二、塑性铰,当截面达到塑性流动阶段时，极限弯矩保持
不变,C 截面的纵向纤维塑性流动（伸长或缩短），于是
两相邻截 面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性
铰。
Mu Mu
P
C
P
C
?
塑性铰与真实铰的区别
塑性铰
真实铰
承受极
限弯矩
不承受
弯矩
单向铰
双向铰
卸载而消失
不消失
位置随荷载的分
布不同而变化
位置固定
C
Pu
8
?横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯
导出的结果横弯仍可采用。
?在加载初期，各截面弯矩 ≤弹性极限弯矩 My→ 某截面弯矩 = My
弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载 Py。
?当 P>Py，在梁内形成塑性区。
?随着荷载的增大，塑性区扩展 → 形成塑性铰，继续加载,→ 形
成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。
三、极限状态
当结构形成足够多的塑性铰时，结构变成几何可变体系
（ 破坏机构 ），形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为
结构的 极限状态,此时的荷载即为 极限荷载 。
如果只限于求结构的极限荷载，可不考查其实际的内力和
变形情况，将破坏机构作为分析对象，根据极限状态结构的内
力分布，按平衡条件求极限荷载，这种方法称为极限平衡法。
弹塑性分析全过程
?
9
P
l l
例 19-1求图示简支梁的 Pu。
P
4
lPM u
u ?
4
lPM u
u ?
静力法：根据平衡条件
得：
l
MP u
u
4?
θ
2θ
Mu Mu
Δ
机动法：采用刚塑性假设
画机构虚位移图
l
?? 2?
虚功方程：
02 ??? ?? uu MP
l
MMP uuu 42 ??
?
?
静力法：
根据塑性铰截面的弯矩 Mu，由平衡方程求出
极限平
衡法求
极限荷载 机动法：
利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。 ?
10
1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
超静定梁必须出现足够多个塑性铰，才变成机构，从而丧失
承载能力，破坏。
P
l/2 l/2
?弹性阶段（ P≤Py）
P≤Py
A C B
A C B
Pl326
Pl325
?弹塑性阶段（ Py<P<Pu）
A截面形成塑性区 →扩大
→C截面形成塑性区
→ A截面形成第一个塑性铰,
Py <P<Pu
A C B
MU?塑性阶段
（ P → Pu）
MA =Mu不增
MC增 →Mu
C截面形成第二个塑性铰 Pu
A C B
MU
MU
?
§ 17-3 超静定梁的极限荷载
11
Pu
A C B
MU
MU
求极限荷载
?静力法 根据极限状态的弯
矩图,求极限荷载
l
MPMMlP u
uuuu
6
24 ????
?机动法 根据虚功方程求 Pu
Pu
A Bθ
2θ
Mu Mu
Δ
l
?? 2?
MU
0)2( ???? ??? uuu MMP
l
MP u
u
6??1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑
性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求 Pu。
2）超静定结构极限荷载的计算,只需考虑平衡条件，而无须考虑
变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。
3）超静定结构极限荷载，不受温度改变,支座移动等因素的影响。
4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：
①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范
围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰
只可能出现在固定端处。 ?
12
例 19-2 求图示变截面梁的极限荷载。
l/3 l/3 l/3
PA B D CM
uuM?解,AB,BC段的极限弯矩不同。
塑性铰可能出现在 A,D和 B处，
破坏机构的可能形式既与突变截
面位置有关，也与
uu MM /?
有关。
1） B,D出现塑性铰的破坏机构
PA B CM
u Mu
Δθ 2θ
Mu Mu
Mu
Mu3Mu
如 MA=3Mu>
uM?
该破坏机构
实现的条件是：
??uM
3Mu l?? 3?
l
MPMMP u
uuuu
92 ???? ???
2） A,D出现塑性铰的破坏机构 PA B CMu Mu
Δθ1 θ
2该破坏机构实现的条件是：
??uM
3Mu
ll 2
9,
2
3
21
???? ??
)3(2321 uuuuuu MMlPMMP ??????? ???
uM?
Mu
uM?
)(21 uu MM ??
)3()(21 uuuuuB MMMMMM ??????如
两种破坏机构都能实现，出现三个塑性
铰 A,B,D。
4）对于变截面梁，负塑性铰可能会出现在跨间。
3）如果 uu MM 3??
?
13
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
l
MU
BR
2
2)( x
qxRxM
B ??
l
MlqR uu
B ?? 2
q
R
x
qxR
dx
xdM
B
B
??
??
? 0
)(
q
R
q
R
q
R
x
q
xRM
BBB
B
22
2
222
2
m a x
???
??
=Mu
03
4 2
2
2
2
???
l
MqMql u
u
??
?????
2
2
2
22
/66.11
/4 3 4 4.0
2
93
lM
lM
l
MMMq
u
uuuu
66.11
2lq
M uu ?
在钢筋混凝土结构设计，这种梁在实际荷
载 q作用下跨中截面的塑性计算弯矩近似地取为。
11
2
m a x
qlM ?
?
14
例,19-4 求 Pu。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
l
A C
x
解,A处形成一塑性铰
塑性铰 C的位置待定。
该机构相应的可破坏荷载 q+
,)(2 CAuMlq ?? ????
)(,xlx
l
x CA ?
???? ??
l
M
xlx
xlq u2
)(
2
?
???
0240 22 ?????
?
llxxdxdq lxlx )22(,)22( 21 ?????
22 66.11423
22
l
M
l
Mq uu
u ???
?
θ1
θ2
15
l/2 l/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q M
U
MU
qul2/8
2
22 16
:,1682 l MqlqMlqM uuuuuu ???? 或
2、连续梁的极限荷载
设梁在每一跨内是等截面，但各跨的截面可以不同。 设荷载
的作用方向彼此相同（向下），并按比例加载。
对于等截面梁，最大负弯矩只可能在支座处，负塑性铰只
可能出现在支座处。故每跨内为等截面的连续梁，只可能在各
跨内独立形成破坏机构。 (且遵循单跨梁形成破坏机构的原则 )
PP PP
PP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2qlM u ??
α= 1/11 － 1/14 1/16 － 1/16………………………………………
?
16
例：图示各跨等截面连续梁，
第一、二跨正极限弯
矩为 Mu,第三跨正极
限弯矩为 2Mu，各跨
负极限弯矩为正极限
弯矩的 1.2倍，求 qu。 ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q 1.5ql
Δθ 2θ
uuu MlqMM
lqlql
21
4.622.1
2 ?????? ???
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5ql
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5P
Δθ 2θ
24.6 l
MP u
u ??
?
uMlq 21
4.6?
第一跨破坏：
第二跨破坏：
uuuu MlqMMM
lqlql
22
6.1722.12.1
222 ??????
? ????
uMlq 22
6.17?
第三跨破坏：
Δθ 2θ
223 7 5 6.69
86.7224.22.1
4
3
2
3
2
3
l
M
l
MqMMMlqlql uu
uuu ???????
? ????
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5ql
l/2 0.75ll/2 l
Mu Mu 2Mu
0.75l
1.2Mu
1.2Mu 1.2Mu 2.4Mu
17
一、预备知识：
1、前提条件
?比例加载：荷载按同一比例增加，且不卸载。
?假设材料为理想弹塑性材料。
?截面的正负极限弯矩绝对值相等。且忽略轴
力和剪力对极限弯矩的影响
2、极限受
力状态应
当满足的
一些条件
1、平衡条件：
2、内力局限条件,│M│≤Mu
3、单向机构条件：在极限受力状态中，使
结构变成机构，能够沿荷载作正功的方
向做单向运动。
3、两个
定义
1、对于任意单向破坏机构，用平衡条件求得
的荷载值称为可破坏荷载 P+ (满足 1,3条）
2、如果对某个荷载，能找到一内力状态与之平
衡且各截面内力都不超过极限值，则此荷载
称为可接受荷载 P－ (满足 1,2条）
极限荷载既是可接受荷载，又是可破坏荷载。 ?
§ 17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
18
二、一般定理及其证明
1）基本定理,P+≥P－ 证明：取任一 P+ 列虚功方程
P+Δ=∑│Mui││θi│
再取任一 P－ 列虚功方程
P－ Δ=∑│M－ i││θi│
根据,M－ i≤ │Mui│
∑│M－ i││θi│ ≤∑│Mui││θi│
∴ P+≥P－
2）唯一性定理,
Pu的值是唯一确定的。
证明：设存在 Pu1, Pu2
将 Pu1 视为 P+, Pu2视为 P－
则有,Pu1 ≥ Pu2
将 Pu2 视为 P+, Pu1视为 P－
则有,Pu2 ≥ Pu1
∴ Pu2 = Pu1
3）上限定理 (极小定理 )：可破坏荷载是极限荷载的上限。
或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
证明：因为极限荷载是可接受荷载，
所以由基本定理它小于可破坏荷载。
u ≤ +
4）下限定理 (极大定理 )：可接受荷载是极限荷载的下限。
或者说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。
证明：因为极限荷载是可破坏荷载，
所以由基本定理它大于可接受荷载。
u ≥ P－
上、下限定理可用来求极限荷载的近似解，给出精确解的范
围。也可用来寻求精确解。
为了求极限荷载，可列出所有可能的破坏机构，求出对应的
可破坏荷载，其中最小的即破坏荷载。（穷举法或机构法，基于
上限定理）。
选一破坏机构，求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各截
面弯矩是否大于其极限弯矩，即检查是否满足内力局限条件。若
满足，所得可破坏荷载即极限荷载；若不满足，则另选一破坏机
构继续计算。（试算法，基于惟一性定理）
?
19
l/2 l/2
P
l/3 2l/3
1.2PA B C
例,已知等截面梁的极
限弯矩为 Mu，求 Pu
解：取第一跨的破
坏机构。
P 1.2PA B C
相应的弯矩图 P 1.2PA B C
相应的可破坏荷载可
由平衡条件求出：
l
MPMMlP uu
u
6
24 1
1 ???? ?
?
E
u
uu
ll
E M
MM
l
PM ?????? ?
9
4.8
3
22.1 3231
各截面弯矩均 < Mu
l
MP u6??
既是可破坏荷载,
又是可接受荷载。
Pu?
4
1lP
?
l
abP?12.1Mu
Mu
?
20
例,19-5 设有一 n 跨连续梁，每跨为等截面，但各跨梁的
横截面可以相同也可以不相同。试证明此连续梁的极限荷载就是
每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者。
证明,n 个单跨破坏机构 → ???
??? nPPP,,,21
???? ???? kn PPPP },,,m i n { 21
根据唯一性定理：
uk PP ??
?kP
已知 是一可破坏荷载，还需证明它也是一可接受荷载
?kP
作用下存在一个可接受的弯矩图,它是可接受荷载,所以,
?kP
Mu
Mu
l
MP u25.6
2 ??
P 1.2PA
B C lMP u61 ??
作用下的弯矩图 ME=Mu
l
MP u25.6
2 ?
?E
l
MP u6
1 ?
?
作用下 ME<Mu
uikui MMPPMMP ??? ??? m a xm a x i)(,i 跨作用下跨作用下
?
21
例：图示连续梁，
已知：
Mu1=50kN.m，
Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m，
求 Pu。
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 15P 1.5P
3m 2m 2m 2m3m 8m
Mu1 Mu2 Mu3
解：作出各跨破坏
时的弯矩图
支座弯矩取左右两跨较小者
50
50
70
70 90
4
6 1uP
82.0 2?uP
25.1 3?uP
第一跨：
kNPP 50502504 6 11 ????? ?
?
第二跨：
kNPP 25.81702 70508 82.0 2
2
2 ??????? ?
?
第三跨,kNPP 56.5590)
3
90
3
702(
3
65.1
3
3 ???????? ?
?
kNP u 50??
90
?
22
例：图示连续梁，
已知：
Mu1=50kN.m，
Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m，
求 Pu。
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
3m 2m 2m 2m3m 8m
Mu1 Mu2 Mu3
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
Δθ 2θ
kNP
P
50
3
250
3
50
1
1
??
???????
?
?
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
kNPP 25.8142704704502 82.0 22 ???????????????? ??
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
Δθ
1.5θ
kNPP 56.5525.190490270)2(5.1 33 ???????????????? ??
kNP 25.812 ?? Δθ 2θ
kNP 56.553 ??
kNP u 50??
?
23
在刚架中塑性铰的形成还要受到轴力的影响。不过在
轴力较小时，可忽略其影响。
Pu
2l
A B
DCP
l
Mu Mu
θθ
三次超静定结构，形成四个塑性铰，进入极限状态，破坏
机构只有一种可能
l
MPMlP u
uuu
404 ????? ??列虚功方程：
或列水平投影平衡,Pu 2M
u/l 2Mu/l
l
MP
l
M
l
MP u
u
uu
u
4022 ?????
?
§ 17-5 刚架的极限荷载
24
?如能完备的列出来可能的破坏机构，
并求出各机构相应的可破坏荷载
??? ??? nPPP,,,21
un PPPP ???? ??? },,,m i n { 21
刚架各种可
能破坏机构
基本机构,梁机构、
梁机构
侧移机构、
侧移机构
结点机构
结点机构
组合机构,将两种或两种以上的基本机构组合。
?刚架的基本机构数 m =h－ n
超静定次数可能出现的塑性铰总数
?在不同基本机构中，如某塑性铰转
向相反,组合后该塑性铰闭合。
这种求 Pu方法称为穷举法。
一般情况下,n次超静定结构出现（ n+1）个塑性铰后，
形成破坏机构。
?
25
Mu Mu
2Mu
A B
DCP
1.5
l
2P
l l
例：求图示结构的极限荷载。
Pu
Mu Mu
θθ
2Pu
A B
DCP
2P
A B
D
CP
2P
梁机构
侧移机构
结合机构
塑性铰 C闭合
?对侧移机构
l
MPMlP u
u
67.2045.1
11 ?????
?? ??
?对梁机构
l
MPMlP u
u
3062
22 ?????
?? ??
θ θ
2θ
?对组合机构
l
M
P
MMMMlPlP
u
uuuu
29.2
2225.12
3
33
??
?????????
?
?? ??????
θ θ
2θ
θ θ
?2
l
MP u
u
29.2? ?
26
由上例可知：当不考虑轴力影响时，只要能完备地
定出刚架的各种可能的破坏机构，则不难根据上限定理
求出其极限荷载。
但是，在复杂情况下，欲无遗漏地定出所有可能的
破坏机构是比较困难，而且一一寻求各自的可破坏荷载，
再去进行比较也是相当麻烦。
为此，可采用试算法,求出与它相
应的可破坏荷载并绘出刚架的弯矩图，
先假定一破坏机构，
如果满足，则此可破坏荷载也是可接
受荷载，由唯一性定理知它就是极限荷载。
然后再检查它的弯矩图
分布是否满足屈服条件，
选择破坏机构时，应使外荷载作的功尽可能的大些，
而塑性铰处极限弯矩所作的功尽可能的小些。为此，在
挑选基本机构进行组合时，应力求使较多的塑性铰闭合，
而达到塑性铰处极限弯矩所作的功较小，由这样的破坏
机构求得的可破坏荷载就会较小，有可能是极限荷载。 ?
27
试算法 ?对梁机构
l
MP u3
2 ??
?
Mu Mu2Mu
A B
DCP
2P
梁机构
θ θ
2θ
2Mu
MuMu
A B
DC
2P
l
MP u3
2 ??
(4.5－ x)Mu
设 MB=xMu 则：
必有 MB 或 MA>Mu
xMu
1.5
l
l l
?
?? uMlP 62 ?
l
xMQ u
DB 5.1
)1( ???Mu
NCD=-QDBl
MP u3
2 ??
C
A
u
uu
uAD
Mx
l
l
xMl
l
MMM
)5.4(
5.1
5.1
)1(5.13
??
??????
u
u P
l
MP ??? ? 3
2
28
?对组合机构
l
MP u29.2
3 ??
?
A B
D
CP
2P
结合机构
θ θ
2θ
θ θ
?2
l
MP uu 29.2?
Mu
2Mu
MuMu
由平衡条件求出 MCE=0.42Mu。 各截面弯矩 ≤Mu
???? 2245.12 ????? uu MMlPlP
l
MQED u
DE
3,??得由
u
uu
uCE Mll
Ml
l
MMM 41.029.2223 ????????
1.5
l
l l A B
DC
2P
l
MP u29.2
2 ??
E
l
Mu3
2P MuM
CE
所以, 既是可破坏荷载
又是可接受荷载l MP u29.23 ??
?
29
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
可能出现塑性铰的截面由 10个
基本机构 m=10－ 6=4个
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
梁机构
侧移机构结点机构
梁机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
?
30
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
结点机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
组合机构
DB
2Mu
2Mu
MDB=4Mu
>2Mu
?
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
侧移机构
梁机构
31
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A
uMP 3 3 3.13 ??
E H
P 2PP
侧移机构
结点机构
梁机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
uMP 1 6 7.12 ??
A E H
P 2PP
组合机构θ θ θ
θ θ
2θ
2θ
)2(2
)2(
326
???
????
??
???
????
??? ??
u
u
M
M
PP
12/13 uMP ?? ?
列虚功方程 P 2PP
Mu Mu
MuMu
2Mu
Mu
2Mu
Mu
2Mu
1
M1=0.5Mu
2
M2=1.5Mu
0.5Mu
1.5Mu
各截面弯矩都小于其极限弯矩
?? ??,PP 也是
1.125Mu
?
3
uM
3
uM
3
2 uMP?
uuu MM
MPM 5.026)
3
2(
1 ?????
uu MP 083.1?
32
?基本概念
?极限玩具计算
?超静定梁的极限荷载
?判定极限荷载的一般定理
?刚架的极限荷载
?习题课
2
§ 19-1 概述
1、线弹性体系 弹性分析 弹性设计法
脆性材料
塑性材料
bjx
sjx
??
??
?
?
k
jx
?
??
?
?? ][m a x
弹性设计法的最大缺陷是以某一局部的 σmax>[σ]，作为衡
量整个结构破坏的标准。事实上，对于塑性材料的结构（特别是
超静定结构）当 σmax=[σ] 时，结构还没破坏。因此弹性设计法
不能正确地反映整个结构的安全储备，是不够经济的。
2、塑性分析
极限荷载
考虑材料的塑性，按照结构丧失承载能力的 极限
状态 来计算结构所能承受的荷载的极限值。
塑性设计法
k
PPP jx?? ][
从整个结构的承载能
力考虑，更切合实际。
3、理想弹塑性材料
ε
σ
?σ< σy, σ=Eε σy
εy
?σ =σy, σ不增,ε 继续增加。
?卸载 Δσ =EΔε ?
小变形、应力与应变成正比、位移与荷载呈线性关系，无残余变形。
结构在正常使用情况下，弹性分析能给出相当精确的结果。
荷载不再增加，
变形继续增加
塑性分析时平衡条件、几何条件、平截面假定与弹性分析相同。
由此看到，①材料加载是弹塑性的，卸载是弹性的；
②经历塑性变形之后，应力与应变之间不再存在单值对应关系。
要得到弹塑性解答，需要追踪全部受力变形过程，所以结
构的弹塑性分析比弹性分析要复杂的多。
而结构的极限分析不考虑弹塑性变形的发展过程，直接研
究论结构的破坏状态求出极限荷载，因而比较方便。
塑性分析只适用于延性较好的弹塑性材料而不适用于脆性
材料；对于变形条件要求较严的结构也不易采用弹塑性分析方法。
3
σ
σ
?
（ b）
一、极限弯矩
随着 M的增大，梁会经历
?弹性阶段（ b）
yy
bhM ?
6
2
??
（弹性极限弯矩，或屈服弯矩）
?弹塑性阶段（ c）
?塑性阶段 (d) 弹性核消失，整个截面达到
塑性流动,弯矩达到极限弯矩 Mu.
h
b y
z
（ a）
y
y
?
（ ）
σy
σy
?
（ c）
σy
σy
?
（ d）
在弹性核内，应力按线性分布，
弯矩与曲率呈非线性。
y 0
yu
bhM ?
4
2
??
极限弯矩是整个截面达到塑性流动时截面所能承受的最大弯矩。
它主要与 σy和截面形状尺寸有关，剪力对它的影响可忽略不计。
?截面形状系数
??
?
?
?
?
?
?
?
工字形截面
圆形截面
矩形截面
15.1
316
5.1
??
y
u
M
M
?
E I kME
y
??
?
,
,
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
??? 23
2 k
kMM yy
§ 19-2 极限弯矩、塑性铰、极限状态
5
形心轴
σy
σy
?
（ b）
σy
σy
?
（ c）
y 0
σy
σy
?
（ d）随着 M的增大，梁会经历
?弹性阶段（ b） 应力按直线分布，中性轴通过形心。
?弹塑性阶段（ c）
?塑性阶段（ d） 截面达到塑性流动
中性轴的位置随弯矩的大小而变。
截面轴力为零：
yyyu WSSM ?? ??? )( 21
S1,S2 分别为拉、压区面积对中性轴（等分截面轴）的静矩。
Wy称为塑性截面模量。
A1
A2 = A1
其它截面
等面积轴
极限状
态时中
性轴平
分截面
面积即
等分截
轴。 2
0 2121 AAAAA yy ?????? ??
?
6
A1
120
20
20
20
80已知材料的屈服极限
σy=240MPa,求截
面的极限弯矩。 (mm)
等分截面轴
A2
? ?
).(08.46).(4 6 0 8 0
202.004.002.005.002.008.0102 4 0 6
mkNmN
SM yu
??
?????????
? ?
应力的单位用（ Pa）长度单位
用（ m）力的单位用（ N）得
到弯矩单位（ N.m）
或者应力的单位用（ MPa）长度单位用（ mm）力的单位用
（ N）得到弯矩单位（ N.mm）
? ?
).(08.46).(46080000
2204020502080240
mkNmmN
M u
??
????????
7
二、塑性铰,当截面达到塑性流动阶段时，极限弯矩保持
不变,C 截面的纵向纤维塑性流动（伸长或缩短），于是
两相邻截 面可产生有限的相对转动。称该截面形成了塑性
铰。
Mu Mu
P
C
P
C
?
塑性铰与真实铰的区别
塑性铰
真实铰
承受极
限弯矩
不承受
弯矩
单向铰
双向铰
卸载而消失
不消失
位置随荷载的分
布不同而变化
位置固定
C
Pu
8
?横向荷载 通常剪力对承载力的影响很小，可忽略不计，纯弯
导出的结果横弯仍可采用。
?在加载初期，各截面弯矩 ≤弹性极限弯矩 My→ 某截面弯矩 = My
弹性阶段结束。此时的荷载叫弹性极限荷载 Py。
?当 P>Py，在梁内形成塑性区。
?随着荷载的增大，塑性区扩展 → 形成塑性铰，继续加载,→ 形
成足够多的塑性铰（结构变成破坏机构）。
三、极限状态
当结构形成足够多的塑性铰时，结构变成几何可变体系
（ 破坏机构 ），形成破坏机构的瞬时所对应的变形状态称为
结构的 极限状态,此时的荷载即为 极限荷载 。
如果只限于求结构的极限荷载，可不考查其实际的内力和
变形情况，将破坏机构作为分析对象，根据极限状态结构的内
力分布，按平衡条件求极限荷载，这种方法称为极限平衡法。
弹塑性分析全过程
?
9
P
l l
例 19-1求图示简支梁的 Pu。
P
4
lPM u
u ?
4
lPM u
u ?
静力法：根据平衡条件
得：
l
MP u
u
4?
θ
2θ
Mu Mu
Δ
机动法：采用刚塑性假设
画机构虚位移图
l
?? 2?
虚功方程：
02 ??? ?? uu MP
l
MMP uuu 42 ??
?
?
静力法：
根据塑性铰截面的弯矩 Mu，由平衡方程求出
极限平
衡法求
极限荷载 机动法：
利用机构的极限平衡状态，根据虚功方程求得。 ?
10
1、超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点
超静定梁必须出现足够多个塑性铰，才变成机构，从而丧失
承载能力，破坏。
P
l/2 l/2
?弹性阶段（ P≤Py）
P≤Py
A C B
A C B
Pl326
Pl325
?弹塑性阶段（ Py<P<Pu）
A截面形成塑性区 →扩大
→C截面形成塑性区
→ A截面形成第一个塑性铰,
Py <P<Pu
A C B
MU?塑性阶段
（ P → Pu）
MA =Mu不增
MC增 →Mu
C截面形成第二个塑性铰 Pu
A C B
MU
MU
?
§ 17-3 超静定梁的极限荷载
11
Pu
A C B
MU
MU
求极限荷载
?静力法 根据极限状态的弯
矩图,求极限荷载
l
MPMMlP u
uuuu
6
24 ????
?机动法 根据虚功方程求 Pu
Pu
A Bθ
2θ
Mu Mu
Δ
l
?? 2?
MU
0)2( ???? ??? uuu MMP
l
MP u
u
6??1）如能事先判断出超静定梁的破坏机构，就无须考虑结构的弹塑
性变形的发展过程，直接利用机构的平衡条件求 Pu。
2）超静定结构极限荷载的计算,只需考虑平衡条件，而无须考虑
变形协调条件。因而计算比弹性计算简单。
3）超静定结构极限荷载，不受温度改变,支座移动等因素的影响。
4）假定等截面单跨超静定梁破坏机构的原则：
①跨中塑性铰只能出现在集中力作用点处或分布荷载分布范
围内剪力为零处。②当梁上荷载同为向下作用时，负塑性铰
只可能出现在固定端处。 ?
12
例 19-2 求图示变截面梁的极限荷载。
l/3 l/3 l/3
PA B D CM
uuM?解,AB,BC段的极限弯矩不同。
塑性铰可能出现在 A,D和 B处，
破坏机构的可能形式既与突变截
面位置有关，也与
uu MM /?
有关。
1） B,D出现塑性铰的破坏机构
PA B CM
u Mu
Δθ 2θ
Mu Mu
Mu
Mu3Mu
如 MA=3Mu>
uM?
该破坏机构
实现的条件是：
??uM
3Mu l?? 3?
l
MPMMP u
uuuu
92 ???? ???
2） A,D出现塑性铰的破坏机构 PA B CMu Mu
Δθ1 θ
2该破坏机构实现的条件是：
??uM
3Mu
ll 2
9,
2
3
21
???? ??
)3(2321 uuuuuu MMlPMMP ??????? ???
uM?
Mu
uM?
)(21 uu MM ??
)3()(21 uuuuuB MMMMMM ??????如
两种破坏机构都能实现，出现三个塑性
铰 A,B,D。
4）对于变截面梁，负塑性铰可能会出现在跨间。
3）如果 uu MM 3??
?
13
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
l
MU
BR
2
2)( x
qxRxM
B ??
l
MlqR uu
B ?? 2
q
R
x
qxR
dx
xdM
B
B
??
??
? 0
)(
q
R
q
R
q
R
x
q
xRM
BBB
B
22
2
222
2
m a x
???
??
=Mu
03
4 2
2
2
2
???
l
MqMql u
u
??
?????
2
2
2
22
/66.11
/4 3 4 4.0
2
93
lM
lM
l
MMMq
u
uuuu
66.11
2lq
M uu ?
在钢筋混凝土结构设计，这种梁在实际荷
载 q作用下跨中截面的塑性计算弯矩近似地取为。
11
2
m a x
qlM ?
?
14
例,19-4 求 Pu。 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q
l
A C
x
解,A处形成一塑性铰
塑性铰 C的位置待定。
该机构相应的可破坏荷载 q+
,)(2 CAuMlq ?? ????
)(,xlx
l
x CA ?
???? ??
l
M
xlx
xlq u2
)(
2
?
???
0240 22 ?????
?
llxxdxdq lxlx )22(,)22( 21 ?????
22 66.11423
22
l
M
l
Mq uu
u ???
?
θ1
θ2
15
l/2 l/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q M
U
MU
qul2/8
2
22 16
:,1682 l MqlqMlqM uuuuuu ???? 或
2、连续梁的极限荷载
设梁在每一跨内是等截面，但各跨的截面可以不同。 设荷载
的作用方向彼此相同（向下），并按比例加载。
对于等截面梁，最大负弯矩只可能在支座处，负塑性铰只
可能出现在支座处。故每跨内为等截面的连续梁，只可能在各
跨内独立形成破坏机构。 (且遵循单跨梁形成破坏机构的原则 )
PP PP
PP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2qlM u ??
α= 1/11 － 1/14 1/16 － 1/16………………………………………
?
16
例：图示各跨等截面连续梁，
第一、二跨正极限弯
矩为 Mu,第三跨正极
限弯矩为 2Mu，各跨
负极限弯矩为正极限
弯矩的 1.2倍，求 qu。 ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q 1.5ql
Δθ 2θ
uuu MlqMM
lqlql
21
4.622.1
2 ?????? ???
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5ql
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5P
Δθ 2θ
24.6 l
MP u
u ??
?
uMlq 21
4.6?
第一跨破坏：
第二跨破坏：
uuuu MlqMMM
lqlql
22
6.1722.12.1
222 ??????
? ????
uMlq 22
6.17?
第三跨破坏：
Δθ 2θ
223 7 5 6.69
86.7224.22.1
4
3
2
3
2
3
l
M
l
MqMMMlqlql uu
uuu ???????
? ????
ql ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q 1.5ql
l/2 0.75ll/2 l
Mu Mu 2Mu
0.75l
1.2Mu
1.2Mu 1.2Mu 2.4Mu
17
一、预备知识：
1、前提条件
?比例加载：荷载按同一比例增加，且不卸载。
?假设材料为理想弹塑性材料。
?截面的正负极限弯矩绝对值相等。且忽略轴
力和剪力对极限弯矩的影响
2、极限受
力状态应
当满足的
一些条件
1、平衡条件：
2、内力局限条件,│M│≤Mu
3、单向机构条件：在极限受力状态中，使
结构变成机构，能够沿荷载作正功的方
向做单向运动。
3、两个
定义
1、对于任意单向破坏机构，用平衡条件求得
的荷载值称为可破坏荷载 P+ (满足 1,3条）
2、如果对某个荷载，能找到一内力状态与之平
衡且各截面内力都不超过极限值，则此荷载
称为可接受荷载 P－ (满足 1,2条）
极限荷载既是可接受荷载，又是可破坏荷载。 ?
§ 17-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
18
二、一般定理及其证明
1）基本定理,P+≥P－ 证明：取任一 P+ 列虚功方程
P+Δ=∑│Mui││θi│
再取任一 P－ 列虚功方程
P－ Δ=∑│M－ i││θi│
根据,M－ i≤ │Mui│
∑│M－ i││θi│ ≤∑│Mui││θi│
∴ P+≥P－
2）唯一性定理,
Pu的值是唯一确定的。
证明：设存在 Pu1, Pu2
将 Pu1 视为 P+, Pu2视为 P－
则有,Pu1 ≥ Pu2
将 Pu2 视为 P+, Pu1视为 P－
则有,Pu2 ≥ Pu1
∴ Pu2 = Pu1
3）上限定理 (极小定理 )：可破坏荷载是极限荷载的上限。
或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
证明：因为极限荷载是可接受荷载，
所以由基本定理它小于可破坏荷载。
u ≤ +
4）下限定理 (极大定理 )：可接受荷载是极限荷载的下限。
或者说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。
证明：因为极限荷载是可破坏荷载，
所以由基本定理它大于可接受荷载。
u ≥ P－
上、下限定理可用来求极限荷载的近似解，给出精确解的范
围。也可用来寻求精确解。
为了求极限荷载，可列出所有可能的破坏机构，求出对应的
可破坏荷载，其中最小的即破坏荷载。（穷举法或机构法，基于
上限定理）。
选一破坏机构，求出相应的破坏荷载，作出弯矩图检查各截
面弯矩是否大于其极限弯矩，即检查是否满足内力局限条件。若
满足，所得可破坏荷载即极限荷载；若不满足，则另选一破坏机
构继续计算。（试算法，基于惟一性定理）
?
19
l/2 l/2
P
l/3 2l/3
1.2PA B C
例,已知等截面梁的极
限弯矩为 Mu，求 Pu
解：取第一跨的破
坏机构。
P 1.2PA B C
相应的弯矩图 P 1.2PA B C
相应的可破坏荷载可
由平衡条件求出：
l
MPMMlP uu
u
6
24 1
1 ???? ?
?
E
u
uu
ll
E M
MM
l
PM ?????? ?
9
4.8
3
22.1 3231
各截面弯矩均 < Mu
l
MP u6??
既是可破坏荷载,
又是可接受荷载。
Pu?
4
1lP
?
l
abP?12.1Mu
Mu
?
20
例,19-5 设有一 n 跨连续梁，每跨为等截面，但各跨梁的
横截面可以相同也可以不相同。试证明此连续梁的极限荷载就是
每个单跨破坏机构相应的可破坏荷载中的最小者。
证明,n 个单跨破坏机构 → ???
??? nPPP,,,21
???? ???? kn PPPP },,,m i n { 21
根据唯一性定理：
uk PP ??
?kP
已知 是一可破坏荷载，还需证明它也是一可接受荷载
?kP
作用下存在一个可接受的弯矩图,它是可接受荷载,所以,
?kP
Mu
Mu
l
MP u25.6
2 ??
P 1.2PA
B C lMP u61 ??
作用下的弯矩图 ME=Mu
l
MP u25.6
2 ?
?E
l
MP u6
1 ?
?
作用下 ME<Mu
uikui MMPPMMP ??? ??? m a xm a x i)(,i 跨作用下跨作用下
?
21
例：图示连续梁，
已知：
Mu1=50kN.m，
Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m，
求 Pu。
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 15P 1.5P
3m 2m 2m 2m3m 8m
Mu1 Mu2 Mu3
解：作出各跨破坏
时的弯矩图
支座弯矩取左右两跨较小者
50
50
70
70 90
4
6 1uP
82.0 2?uP
25.1 3?uP
第一跨：
kNPP 50502504 6 11 ????? ?
?
第二跨：
kNPP 25.81702 70508 82.0 2
2
2 ??????? ?
?
第三跨,kNPP 56.5590)
3
90
3
702(
3
65.1
3
3 ???????? ?
?
kNP u 50??
90
?
22
例：图示连续梁，
已知：
Mu1=50kN.m，
Mu2=70kN.m
Mu3=90kN.m，
求 Pu。
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
3m 2m 2m 2m3m 8m
Mu1 Mu2 Mu3
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
Δθ 2θ
kNP
P
50
3
250
3
50
1
1
??
???????
?
?
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
kNPP 25.8142704704502 82.0 22 ???????????????? ??
P ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P 1.5P 1.5P
Δθ
1.5θ
kNPP 56.5525.190490270)2(5.1 33 ???????????????? ??
kNP 25.812 ?? Δθ 2θ
kNP 56.553 ??
kNP u 50??
?
23
在刚架中塑性铰的形成还要受到轴力的影响。不过在
轴力较小时，可忽略其影响。
Pu
2l
A B
DCP
l
Mu Mu
θθ
三次超静定结构，形成四个塑性铰，进入极限状态，破坏
机构只有一种可能
l
MPMlP u
uuu
404 ????? ??列虚功方程：
或列水平投影平衡,Pu 2M
u/l 2Mu/l
l
MP
l
M
l
MP u
u
uu
u
4022 ?????
?
§ 17-5 刚架的极限荷载
24
?如能完备的列出来可能的破坏机构，
并求出各机构相应的可破坏荷载
??? ??? nPPP,,,21
un PPPP ???? ??? },,,m i n { 21
刚架各种可
能破坏机构
基本机构,梁机构、
梁机构
侧移机构、
侧移机构
结点机构
结点机构
组合机构,将两种或两种以上的基本机构组合。
?刚架的基本机构数 m =h－ n
超静定次数可能出现的塑性铰总数
?在不同基本机构中，如某塑性铰转
向相反,组合后该塑性铰闭合。
这种求 Pu方法称为穷举法。
一般情况下,n次超静定结构出现（ n+1）个塑性铰后，
形成破坏机构。
?
25
Mu Mu
2Mu
A B
DCP
1.5
l
2P
l l
例：求图示结构的极限荷载。
Pu
Mu Mu
θθ
2Pu
A B
DCP
2P
A B
D
CP
2P
梁机构
侧移机构
结合机构
塑性铰 C闭合
?对侧移机构
l
MPMlP u
u
67.2045.1
11 ?????
?? ??
?对梁机构
l
MPMlP u
u
3062
22 ?????
?? ??
θ θ
2θ
?对组合机构
l
M
P
MMMMlPlP
u
uuuu
29.2
2225.12
3
33
??
?????????
?
?? ??????
θ θ
2θ
θ θ
?2
l
MP u
u
29.2? ?
26
由上例可知：当不考虑轴力影响时，只要能完备地
定出刚架的各种可能的破坏机构，则不难根据上限定理
求出其极限荷载。
但是，在复杂情况下，欲无遗漏地定出所有可能的
破坏机构是比较困难，而且一一寻求各自的可破坏荷载，
再去进行比较也是相当麻烦。
为此，可采用试算法,求出与它相
应的可破坏荷载并绘出刚架的弯矩图，
先假定一破坏机构，
如果满足，则此可破坏荷载也是可接
受荷载，由唯一性定理知它就是极限荷载。
然后再检查它的弯矩图
分布是否满足屈服条件，
选择破坏机构时，应使外荷载作的功尽可能的大些，
而塑性铰处极限弯矩所作的功尽可能的小些。为此，在
挑选基本机构进行组合时，应力求使较多的塑性铰闭合，
而达到塑性铰处极限弯矩所作的功较小，由这样的破坏
机构求得的可破坏荷载就会较小，有可能是极限荷载。 ?
27
试算法 ?对梁机构
l
MP u3
2 ??
?
Mu Mu2Mu
A B
DCP
2P
梁机构
θ θ
2θ
2Mu
MuMu
A B
DC
2P
l
MP u3
2 ??
(4.5－ x)Mu
设 MB=xMu 则：
必有 MB 或 MA>Mu
xMu
1.5
l
l l
?
?? uMlP 62 ?
l
xMQ u
DB 5.1
)1( ???Mu
NCD=-QDBl
MP u3
2 ??
C
A
u
uu
uAD
Mx
l
l
xMl
l
MMM
)5.4(
5.1
5.1
)1(5.13
??
??????
u
u P
l
MP ??? ? 3
2
28
?对组合机构
l
MP u29.2
3 ??
?
A B
D
CP
2P
结合机构
θ θ
2θ
θ θ
?2
l
MP uu 29.2?
Mu
2Mu
MuMu
由平衡条件求出 MCE=0.42Mu。 各截面弯矩 ≤Mu
???? 2245.12 ????? uu MMlPlP
l
MQED u
DE
3,??得由
u
uu
uCE Mll
Ml
l
MMM 41.029.2223 ????????
1.5
l
l l A B
DC
2P
l
MP u29.2
2 ??
E
l
Mu3
2P MuM
CE
所以, 既是可破坏荷载
又是可接受荷载l MP u29.23 ??
?
29
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
可能出现塑性铰的截面由 10个
基本机构 m=10－ 6=4个
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
梁机构
侧移机构结点机构
梁机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
?
30
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
结点机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
组合机构
DB
2Mu
2Mu
MDB=4Mu
>2Mu
?
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A E H
P 2PP
侧移机构
梁机构
31
P 2P
3m 3m 3m 3m
6m
P
A
B
C D
E
F
G
H
Mu 2Mu Mu
2Mu2Mu
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
A
uMP 3 3 3.13 ??
E H
P 2PP
侧移机构
结点机构
梁机构
P 2PP
A
B
C D
E
F
G
H
uMP 1 6 7.12 ??
A E H
P 2PP
组合机构θ θ θ
θ θ
2θ
2θ
)2(2
)2(
326
???
????
??
???
????
??? ??
u
u
M
M
PP
12/13 uMP ?? ?
列虚功方程 P 2PP
Mu Mu
MuMu
2Mu
Mu
2Mu
Mu
2Mu
1
M1=0.5Mu
2
M2=1.5Mu
0.5Mu
1.5Mu
各截面弯矩都小于其极限弯矩
?? ??,PP 也是
1.125Mu
?
3
uM
3
uM
3
2 uMP?
uuu MM
MPM 5.026)
3
2(
1 ?????
uu MP 083.1?
32
