1
?结构动力计算的特点和内容
?单自由度体系的自由振动和强迫振动
?多自由度体系的 自由振动 和 强迫振动
?主振型及主振型正交性
?无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动
?近似法求自振频率
2
§ 15.4 两个自由度体系的自由振动
很多结构的振动问题不能按单自由度体系
计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的
振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的
振动等，都应按多自由度体系计算。
一、振动微分方程的建立
及自振频率和主振型计算
柔度法、刚度法
3
1、柔度法
y1(t)
y2(t)
?建立振动微分方程,（建立位移协调方程）
m1,m2的位移 y1(t),y2(t)应等于体系在当时惯性力
作用下所产生的静力位移。
11ym?
..
22 ym?
..
)(),( 2211 tymtym ??
..,.
222221112
122211111
)()()(
)()()(
??
??
tymtymty
tymtymty
???
???
..
..
..
.,（ 15-40）柔度法建立的振动微分方程
δ11
δ21
P1=1 δ12
δ22P
2=1
4
0
222211
122111 ?
?
??
???
???
mm
mmD
频率方程：为一关于 λ的二
次方程。解出 λ的两个根：
振型方程：其中,λ=1/ω2
Y1, Y2不能全为零。
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????? ??+?+?
2
2
1
1
1,1
???? ??
求得频率：
2222
2
2111
2
2
1222
2
1111
2
1
)()(
)()(
????
????
YmYmY
YmYmY
+?
+?
0)(
0)(
22221211
21221111 ??+ ?+? YmYm YmYm ??? ???
?频率方程和自振频率：
设各质点按相同频率和初相角作简谐振动
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11 ?? ?? +? +? tYty tYty
Y1, Y2是质点位移幅值
222221112
122211111
)()()(
)()()(
??
??
tymtymty
tymtymty
???
???
..
..
..
..
（ 15-40）振动微分方程
体系频率的数目总
等于其自由度数目
5
?主振型
0
222211
122111 ?
?
??
???
???
mm
mmD
频率方程：为一关于 λ的二
次方程。解出 λ的两个根：
振型方程：其中,λ=1/ω2
Y1, Y2不能全为零。0)( 0)( 22221211 21221111 ??+ ?+? YmYm YmYm ??? ???
不能有振型方程求出 Y1, Y2的解, 只能求出它们的比值。
第一主振型
1111
212
21
11
??
?
??? m
m
Y
Y
第二 主振型
2111
212
22
12
??
?
??? m
m
Y
Y
??
?
??? 111
212
2
1
m
m
Y
Y
频率的数目总等
于其自由度数目
主振型是体系由此主振型惯性力幅值
所引起的静力位移。),( 222112 YmYm ??
Y11
Y21
21221 Ym?
11121 Ym?
Y12
Y22
22222 Ym?
12122 Ym?
6
例 17－ 6 求简支梁的自振
频率和主振型。 l/3 l/3 l/3
解,1）求柔度系数 P=1
P=13
2l
3
2l
EI
l
2 4 3
4 3
2211 ?? ??
EI
l
4 8 6
7 3
2112 ?? ??
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????
?
??+?+
?
2
)(4)2(2 221221121111
1
2
mmm ????
?
???
?
mm 12111
2
??? ??
mm 12111
2
??? ??
EI
mlmm 3
12111 486
15?+? ???
EI
mlmm 3
12112 4 8 6
1??? ???
3
2
23
1
1 22
1,69.51
ml
EI
ml
EI
?
?
?
? ??
求得频率：
求得主振型：
1
1
1111
212
21
11 ?
??? ??
?
m
m
Y
Y
1
1
2111
212
22
12
????? ??
?
m
m
Y
Y
m m
7
例 17－ 6 求简支梁的自振
频率和主振型。 l/3 l/3 l/3
m m
l/3
另解：如果结构本身和质
量分布都是对称的，则主
振型不是对称就是反对称。
故可取半边结构计算,
1
对称情况：
EI
l
1 6 2
5 3
11 ??
3
11
1 69.5
1
ml
EI
m
??
?
?
l/9
1
反对称情况：
EI
l
4 8 6
3
22 ??
3
22
2 22
1
ml
EI
m
??
?
?
8
例：求图示体系对称振动情况下的频率。
m
m
m
EI EI
EI
l l
l
l
m/2
m
1
2
1
0.5
1M
1
1
0.875
0.25
2M
1
1
02M01M
3
3EIMM
5.4:,
11
0
11 ??相乘
EI
MMMM
125.1
,
2112
0
21
0
12
??? ??
相乘，相乘或
EIMM
6 8 7 5.1:,
22
0
22 ??相乘
EI
5.4
11 ?? EI
125.1
2112 ??? ??EI
6 8 7 5.1
22 ??
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????? ??+?+?
m
EI
m
EI 943.01,596.01
2
2
1
1 ???? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
????+?+? )1 2 5.16 8 7 5.15.4(
2
14)6 8 7 5.1
2
5.4()6 8 7 5.1
2
5.4(
2
22
1
2 EI
m?
EIm
EIm
/125.1
/8125.2
1
2
??
9
1
2
/8 2 5.2/5.2
/1 2 5.1
1111
212
21
11
??????? EImEIm
EIm
m
m
Y
Y
??
?
1
1
/125.1/5.2
/125.1
2111
212
22
12 ?
????? EImEIm
EIm
m
m
Y
Y
??
?
2
1
1
1
01)1()1()2(22221212111 ????+??+ mmYYmYYm
Yij为正时
表示质量 mi的
运动方向与计
算柔度系数时
置于其上的单
位力方向相同，
为负时，表示
与单位力方向
相反。
本题结束 验证正交性
10
2、刚度法,（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y1(t)
r2
r1
y2(t)
y1(t)
y2(t) r
2
r1
?r1=k11y1+k12y2
r2=k21y1+k22y2
质点动平衡方程,
即,
?设,
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11
??
??
+?
+?
tYty
tYty
特点,1)两质点具有相同的频率和相同的相位角,
2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保
持不变 y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数,
22ym
..
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..
0,0 222111 ?+?+ rymrym
..,,11ym
..
结构位移形状保持不变的振
动形式称为主振型或振型,
12振型计算公式
频率计算公式
频率方程
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11
??
??
+?
+?
tYty
tYty
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..振型方程
0)(
0)(
22
2
22121
21211
2
11
??+
?+?
YmkYk
YkYmk
?
?
为了得到 Y1,Y2的非零解，
应使系数行列式 =0
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
?
?展开是 ω2的二次方程，解得 ω2
两个根为：
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+???
?
?
??
?
?
+??
可以证明这两个根都是正根。
与 ω2相应的第二振型：
1
2
211
12
22
12
mk
k
Y
Y
??
??
?因为 D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，
只能求出其比值
求与 ω1相应的第一振型：
1
2
111
12
21
11
mk
k
Y
Y
??
??
14
与 ω2相应的第二振型：
2
1
2
211
12
22
12 ?
?
?
?
??
mk
k
Y
Y
?求与 ω1相应的第一振型：
1
1
2
111
12
21
11 ?
?
?
?
??
mk
k
Y
Y
多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是,初始位移和
初始速度应当与此主振型相对应。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
22222112112
22122111111
????
????
+++?
+++?
tYAtYAty
tYAtYAty
几点注意：（ P26）
① ρ1ρ2必具有相反的 符号 。
②多自由度体系自振频率的个数 = 其自由度数，自振
频率由特征方程求出。
③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度
体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。
④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。
一般解：
在这种特定的初始条件下出现的
振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。
16
例 17-4：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
k21
k111
解：求刚度系数,k11=k1+k2,k21=－ k2,
k22
k12
1
k22=k2,k12=－ k2
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
?
0))(( 222221221 ????+ kmkmkk ??
1)当 m1=m2=m,k1=k2=k
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
( )( ) kmkmk 02 222 ???? ??
m
k
m
k
61803.1
61803.0
2
1
?
?
?
?
代入频率方程：
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+??
?
?
??
?
?
+??
+
17
1)当 m1=m2=m,k11=2k,k12=－ｋ
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
求振型：
618.1
1
3 8 1 9 7.02 ??
???
kk
k
12k
1
2
111 mk ??
?
21
11
Y
Y ?
ω1→ 第一主振型：
Y21=1.618
Y11=1
第一主振型
6 1 8.0
1
6 1 8 0 3.22
??
?
???
kk
k
12k
1
2
211 mk ??
?
22
12
Y
Y ?
ω2→ 第二主振型：
Y22=－ 0.618
Y11=1
第二主振型
18
0))(( 222221221 ????+ kmkmkk ??
2)当 m1=nm2,k1=nk2
k11=（ 1+n） k2,k12=－ k2 0)]()1[(
22222222 ????+ kmknmkn ??
求频率：
求振型：
如 n=90时
1
10
11
21 ?
Y
Y
1
9
12
22 ??
Y
Y
当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。
（鞭梢效应）
2
19
2
1
1
2 ??
Y
Y 第一振型,第二振型：
特征方程：
2
2
2
2 1412
2
1
1
2 m
k
nnn ??
?
?
?
?
+?
?
??
?
? +?? +
4
1
2
1
)
4
1
2
1
()1(
)1(
2
2
2
2
12
1
2
11
1
2
+??++?+?
?
?+
??
?
??
nnnn
k
nmkn
k
mk
Y
Y ??
+
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+??
?
?
??
?
?
+??
+
19
y1
yi
yn
ri
动平衡方程：
ri
y1
yi
yn
ri 应满足刚度方程 ),...,2,1(...2211 niykykykr niniii ?+++?
kij是结构的刚度系数，使点 j产生单位位移（其它点位移为零）
时在点 i所需施加的力。
iiym
..
),.,,,,,,2,1(0 nirym iii ??+
..
*§ 15.6 一般多自由度的体系的自由振动
20
0...
.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0...
0...
2211
222212122
121211111
?++++
?++++
?++++
nnnnnnn
nn
nn
ykykykym
ykykykym
ykykykym
..
..
..
),...,2,1(...2211 niykykykr niniii ?+++?
或：
设解为,{y}={Y}sin(ωt+α)
得振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝
得频率方程,┃ [K]－ ω2 [M]┃ ＝ 0 可求出ｎ个频率
与 ωｉ 相应的主振型向量由 ( [K]－ ω2ｉ [M] ){Y（ ｉ ） }=｛ 0｝
不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。
标准化主振型：令 Y1i=1，或最大元素 =1等。
)s i n (}{}{ 2 ??? +?? tYy
..
),.,,,2,1(0 nirym iii ??+
..
}0{}]{[}]{[ ?+ yKyM
..
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
...
0
0
...
...
............
...
...
......
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
nnnnn
n
n
nn
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
..
..
..
21
例 17-5,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图。
k11=4k/3
解,1）求刚度系数,
m
2m
m
k
3
k
5
k k21=-k/3
k31=0
k12=-k/3
k22=8k/15
k32=-k/5 1
k13=0
k23=-k/5
k33=k/5
刚度矩阵 [K]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
100
010
002
][
330
385
0520
15
][ mM
k
K
1
1
22
215,0
330
385
05220
15
??
?
?
?
k
mk
??
??
???
??
其中
展开得,2η3－ 42η2＋ 225η－ 225＝ 0
解得,η1=1.293,η2=6.680,η3=13.027
m
k0 8 6 2.02
1 ?? m
k4453.02
2 ?? m
k8 6 8 5.02
3 ??
m
k2 9 3 6.0
1 ?? m
k6 6 7 3.0
2 ?? m
k9 3 1 9.0
3 ??
2）求频率,代入频率方程,┃ [K]－ ω2 [M]┃ ＝ 0
3）求主振型,振型方程：（ [K]－ ω2 [M]） {Y}＝ 0的后两式：
（令 Y3i=1）
0)3(3
03)8(5
2
21
??+?
???+?
ii
iii
Y
YY
?
?
（ a）
0
1330
385
05220
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
i
i
i
i
i
Y
Y
?
?
?
23
0)3(3
03)8(5
2
21 ??+? ???+?
ii
iii Y YY ??
07 0 7.13
0370.65
21
2111293.11
?+?
??+??? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
569.0
163.0
)1(Y
0680.33
03320.15
22
2212680.62
???
??+??? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2 2 7.1
9 2 4.0
)2(Y
00 2 7.103
030 2 7.55
21
2313027.133
???
?????? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
3 4 2.3
7 6 0.2
)1(Y
1
0.569
0.163
1
1.227
0.924
1
3.342
2.76
Yij为正时表示质
量 mi的运动方向与单
位位移方向相同，为
负时，表示与单位位
移方向相反。
24
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
? ?? ???
????
??
I
KP
KP
??
,
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝
前乘 [K]－ 1=[δ]后得,( [I ]－ ω2 [δ] [M] ){Y}=｛ 0｝
令 λ=1/ω2 ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛ 0｝
得频率方程,┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃ =0
其展开式,
0
)(...
............
...)(
...)(
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
mmm
mmm
mmm
是关于 λ的 n次代
数方程,先求出 λi
再求出频率 ωi
将 λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛ 0｝
可求出 n个主振型,
可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当
计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的
刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。
25
例 17-5,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图。 δ=1/k
δ11=δ
解,1）求柔度系数,
m
2m
m
k
3
k
5
k
柔度矩阵 [δ]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
002
][
941
441
111
][ mM??
P=1
δ21
δ31
P=1
δ32=4δ
δ22=4δ
P=1
δ13=δ
δ23=4δ
δ33=9δ
δ12=δ
26
2
1
,0
942
442
112
][]][[
???
?
?
?
?
?
???
mm
mIM ???
?
?
?
??
0304215 23 ??+? ???展开得,
解之, ξ1=11.601,ξ2=2.246,ξ3=1.151
三个频率为：
?? m
12936.0
1 ? ?? m
16673.0
2 ? ?? m
19319.0
3 ?
3）求主振型, （令 Y3i=1）将 λ1代入振型方程：
（ [δ] [M ]－ λ1[I]） {Y}＝ 0的前两式：
0460.72
0160.9
2111
2111
?+?
?++?
YY
YY
2）求频率：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
569.0
163.0
)1(Y解得：
同理可得第二、
第三振型
27
m1 m2
Y11 Y21
21221 Ym?11121 Ym?
m1 m2
Y12
Y22
22222 Ym?
12122 Ym?
主振型的位移幅值恰好
为相应惯性力幅值产生
的静力位移。
对这两种静力平衡状态
应用功的互等定理：
2122222111212222212211211121 )()()()( YYmYYmYYmYYm ???? +?+
0))(( 22212121112221 ?+? YYmYYm??
0))(( 22212121112221 ?+? YYmYYm??
02221212111 ?+ YYmYYm
因为,ω1≠ω2
主振型之间的
第一正交关系
一般说来，设 ωi≠ωj 相应的振型分别为,{y（ i） },{y（ j） }
由振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝得,[K] {Y}=ω2 [M] {Y}
[K] {Y（ i） }=ω2 [M] {Y（ i） }{Y（ j） }T[K] {Y（ i） }=ω2i {Y（ j） }T [M] {Y（ i） } （ a）
[K] {Y（ j） }=ω2 [M] {Y（ j） }{Y（ i） }T[K] {Y（ j） }=ω2j {Y（ i） }T [M] {Y（ j） } （ b）
主振型的正交性
28
{Y（ j） }T [K]T{Y（ i） } =ω2j{Y（ j） }T [M]T{Y（ i） }
{Y（ j） }T[K] {Y（ i） }=ω2i {Y（ j） }T [M] {Y（ i） } （ a）
{Y（ i） }T[K] {Y（ j） }=ω2j {Y（ i） }T [M] {Y（ j） } （ b）
（ c） =（ b）转置
（ a）－（ c）
0}]{[}){( )()(22 ?? iTjji YMY??
0}]{[}{ )()( ?iTj YMY 0}]{[}{ )()()( ??? ?? iTja YKY式由
第一正交关系：相对于质量矩阵 [M]来说，不同频率相应的
主振型彼此是正交的 ;
第二正交关系：相对于刚度矩阵 [K]来说，不同频率相应的
主振型彼此是正交的 ;
}]{[}{}]{[}{ )()(2)()( jTjjjTj YMYYKY ??
如同一主振型
定义：
j
j
j M
K
??
Mj广义质量Kj广义刚度
所以：
由广义刚度和广义质量求频率的公式。
是单自由度体系频率公式的推广。
29
注：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。
②利用正交性来 检查主振型是否正确,来判断主振型的形
状特征。
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ? 用 {Y
（ j） }T[M]前乘
?? n iTjiTj YMYyMY 1 )()()( }]{[}{}]{[}{ ? jjjTjj MYMY ?? ?? }]{[}{ )()(
j
Tj
j M
yMY }]{[}{ )(??
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ?
位移按主振型分解,可将
n个耦联运动方程化成 n
个独立的一元方程求解
④ 主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，
在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此
它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振
型的振动。即各主振型可以单独出现。
③ 利用正交关系确定位移展开公式中的系数。
30
1、柔度法（忽略阻尼）
（ 1）建立振动微分方程
tP qsin
tP qsin
y1 y2
11ym?
..
22ym?
..
P
P1? P2?
tymymy
tymymy
P
P
q??
q??
s i n)()(
s i n)()(
2222221112
1122211111
?+?+??
?+?+??
..,.
..,.
tyymym
tyymym
P
P
q??
q??
s i n
s i n
2222222111
1112221111
??++
??++
..,.
..,.
（ 2）动位移的解答与讨论
设纯强迫振动解答为：
tYtytYty qq s i n)(s i n)( 2211 ??
0)1(
0)1(
2222
2
2121
2
1
1212
2
2111
2
1
??+?+
??++?
P
P
YmYm
YmYm
?q?q
?q?q
)1(
)1(
22
2
221
2
1
12
2
211
2
1
0 ?
??
?q?q
?q?q
mm
mmD
)1( 22222
12
2
21
1 ???
???
?q
?q
m
mD
P
P
P
P
m
mD
221
2
1
111
2
1
2
)1(
??
????
?q
?q
0
22
0
11
D
DY
D
DY ??解得振幅：
产生的位移。位移幅值相当于静荷载时，①当,D,D,1D0 22110 PP ??????q
位移幅值很小。时，②当,0,0,D,D,D 212212140 ??????? YYP qqqq
。不全为零时，时，或③当 ????? 2121021,,D,0D YYD?q?q
n各自由度体系，存在 n个可能的共振点
§ 15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
31
（ 3）动内力幅值的计算
tYtytYty qq s i n)(s i n)( 2211 ??tPtP qs i n)( ?
tYmymtYmym qqqq s i n,s i n 2222212111 ????
..,.
荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最
大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的副值作为
静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为静内力幅值。
tP qsin
l/4 l/4l/2
m m
P1=1
16
3l P
2=1
16
3l
例：图示简支梁 EI=常数,θ=0.75ω1
求动位移幅值和动弯矩幅值。
解,1)求柔度系数
EI
l
EI
l
7 6 8
7,
2 5 6
3 3
1112
3
2211 ???? ????
EI
ml
EI
mlm
48768
16)( 33
12111 ??+? ???
EI
ml
EI
mlm
3 8 47 6 8
2)( 33
12112 ???? ???
3
1
1 93.6
1
ml
EI??
?? 322
60.151 mlEI?? ??
31 1 9 7 5.575.0 ml
EI?? ?q
32
2)作 MP图，求 Δ1PΔ2P P1=1
P2=1
16
3l
EI
l
EI
l
7 6 8
7,
2 5 6
3 3
1112
3
2211 ???? ???? 31 1 9 7 5.575.0 ml
EI?? ?q
16
3l
16
3Pl
1M
2M P
PM
EI
Pl
EI
Pl
Pp 768
7,
256
3 3
2
3
1 ????
4 0 6 5.0)1()1(
22
2
221
2
1
12
2
211
2
1
0 ??
??
?q?q
?q?q
mm
mmD
EI
Pl
m
mD
P
P
3
22
2
22
12
2
21
1 0 1 0 2 5.0)1( ????
???
?q
?q
EI
Pl
m
mD
P
P
3
221
2
1
111
2
1
2 0 0 9 1 1.0
)1( ?
??
????
?q
?q
EI
Pl
D
DY
EI
Pl
D
DY 3
0
2
2
3
0
1
1 0 2 2 4.00 2 5 2.0 ????解得振幅：
EI
Pl
D
D
Y
EI
Pl
D
D
Y
3
0
2
2
3
0
1
1
0 2 2 4.0
0 2 5 2.0)3
??
??解得振幅：
PYmI
PYmI
6 0 5 2.0
6 8 0 8.0)4
2
2
22
1
2
11
??
??
q
q求惯性力：
5)计算动内力
I1=0.6808P
P
I2=0.6051P
1.4119P
1.4119P
0.2689P 0.8740P
Qd 图
1.4119P
1.6808P 0.6051P
0.8740P0.3530Pl
0.2180Pl
Md 图
PlMIMIMM Pd 353.012121111 ?++?
PlMIMIMM Pd 2 1 8.022221212 ?++?
6)比较动力系数
8 8 3.1
3
16
3 5 3 0.0
1 5 0.2
3
2 5 6
0 2 5 2.0
1
1
1
1
1
1
???
???
st
d
M
st
Y
M
M
y
Y
?
?
因此，多自由度体系
没有统一的动力系数。
33
2、刚度法
y1(t)
y2(t)
tPtP
tPtP
q
q
sin)(
sin)(
22
11
?
?如
在平稳阶段,各质点也作简谐振动,
tYty
tYty
q
q
s i n)(
s i n)(
22
11
?
?
222
2
22121
121211
2
11
)(
)(
PYmkYk
PYkYmk
??+
?+?
q
q
Y1=D1/D0
Y2=D2/D0
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
q
q
?
?? )( 2
2222
121
1 qmkP
kPD
??
求得位移幅值 Y1,Y2,计算惯性力幅
值 I1=m1θ 2Y1 I2=m2θ 2Y2 。将惯性力
幅值连同荷载幅值加在体系上，按
静力计算方法求得动内力幅值。
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..
)(
)(
2
1
tP
tP P1(t)
P2(t)
221
11
2
11
2 Pk
PmkD q??
34
求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。
h
Psinθt
m EI=∞
m EI=∞
EI EI
EI EI
h
1
k11
k21
1
k12
k22
解,1）求刚度系数
kh EIkkkkh EIk ???????? 3122122311 24,248
34 ml
EI?q
2
3
2
3
2
2
2221
121
2
11
0 3 2 0)1624(24
24)1648( ?
?
??
?
????
?
??
?
?
??
???
?
??
h
EI
h
EI
mkk
kmkD
q
q
332
2222
121
1 248
240
)( h
EIP
h
EI
PmkP
kPD ???
?? q
33
221
11
2
11
2 3224
032
h
EIP
h
EI
PPk
PmkD ?
??
?? q EI
h
D
D
Y
EI
h
D
D
Y
2
0
2
2
2
0
1
1
1.0
0 7 5.0
???
???
2)求位移
幅值
35
3)求惯性力幅值
P
EI
Ph
mh
EI
mYmI
P
EI
Ph
mh
EI
mYmI
6.1)1.0(
16
2.1)0 7 5.0(
16
2
32
2
22
2
31
2
11
?????
?????
q
q
EI
h
D
D
Y
EI
h
D
D
Y
2
0
2
2
2
0
1
1
1.0
0 7 5.0
???
???
0.1
0.075
EI
Ph3?
位移幅值
P
1.6P
1.2P
0.9P 0.9P
A
里边受拉）(45.05.09.0 PhhPM A ???
36
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
q
q
?
??
( ) 212222211 PkmkPD ??? q
( ) 121121122 PkmkPD ??? q
例 17-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
解：荷载负值,P1=P,P2=0,求刚度系数：
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
当 m1=m2=m,k1=k2=k
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
tP qsin
( )
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY ???? q
0
2
2
2 )(
D
mkP q?
0
1211
2
112
0
2
2
)(
D
PkmkP
D
DY ???? q
0
Pk
( )( ) 2222212210 kmkmkkD ???+? qq
( )
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY ???? q( )
0
2122
2
221
D
PkmkP ?? q( )
0
2
D
mP q? ( )
0
1211
2
11
0
2
2 D
PkmkP
D
DY ???? q
0D
Pk ( )( ) 2220 2 kmkmkD ???? qq
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 3
m
k
m
k
?
?+
??
??
2242 3 kkmm +? qq )3(
2
2
242
m
k
m
km +? qq
))(( 22212222142 ??q??q ++?? m ))(( 2222122 ?q?q ??? m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
?
q
?
q?? ??? m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
?
q
?
q ???
m
km
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
?
q
?
q
q
??
?
? k
m
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
?
q
?
q ??
?
k
P
Y
37
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
q
?
q
?
q
?
??
?
? k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
?
q
?
q
?
??
?
k
P
Y
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y1
mk
q
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y2
mk
q
两个质点的
位移动力系
数不同。
当
2121,618.1618.0 YYmkmk 和时和 ?q?q ????
趋于无穷大。
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
也有例外情况 ?。
39
k
k
P yst1
yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力
yst1= yst2=P/k 层间剪力, Qst1= P
动荷载产生的位移幅值和内力幅值
θ2mY2
θ2mY1
))(1(
)(
21
2
21
2
1
??
q
q
++?
++?
k
m
P
YYmPQ
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
q
?
q
?
q
?
??
?
? k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
?
q
?
q
?
??
?
k
P
Y
)(1 21
2
1
??q? ++? k mQ
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
层间动剪力,
40
例 17-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
tP qsin( )
0
2
2
2
1 D
mkPY q??
0
2
2 D
PkY ?
2222212210 ))(( kmkmkkD ???+? qq
22
2201222,,0,kPYkDYmk ?????? q当
m1
k1
tP qsin
m2
k2
这说明在图 a结构上,适当加以 m2,k2系统
可以消除 m1的振动（动力吸振器原理）。
.,
,
2
2
2
2
2
22
q
k
m
Y
P
k
Ym
?? 再确定选定
的许可振幅先根据设计吸振器时
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才
有必要设置。
41
例：如图示梁中点放一点动机。重 2500N，电动机使梁中点
产生的静位移为 1cm，转速为 300r/min，产生的动荷载幅值 P=1kN
问,1）应加动力吸振器吗？ 2）设计吸振器。 (许可位移为 1cm)
Psinθt解,1）
s
st
g 13.31
01.0
81.9 ??
???
s
n 14.31
60
3 0 02
60
2 ???? ??q
频率比在共振区之
内应设置吸振器。
2）
kg
sm
Nk
m
mNk
k
P
Y
102)
/
(
4.31
10
/10
01.0
1000
22
5
2
2
2
5
2
2
2
???
???
q
选弹簧系数由
k2
m2
42
对于 n个自由度体系强迫振动方程 Pn(t)
Pi(t)
P1(t) y1
yi
yn
如果荷载时简谐荷载 tPtP qs i n}{)}({ ?
则在平稳阶段,各
质点作简谐振动, tYty qs i n}{)}({ ?
振幅方程,
}{}] ) {[]([ 2 PYMK ?? q
如系数矩阵的行列式
0][][ 20 ??? MKD q可解得振幅 {Y}
如系数矩阵的行列式 D0=0(θ=ωi) 解得振幅 {Y}=无穷大
对于具有 n个自由度的体系,在 n种情况下都可能出现共振,
)(.,,
.,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
)(.,,
)(.,,
2211
2222212122
1121211111
tPykykykym
tPykykykym
tPykykykym
nnnnnnnn
nn
nn
?++++
?++++
?++++
..
..
..
)}({}]{[}]{[ tPyKyM ?+
写成矩阵型是,..
43
例,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图 。 F(t)=100sin20.96t
解,1、求刚度系数, 刚度矩阵 [K]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
100
05.10
0075.1
1 8 0][
110
132
025..4
/98][ tMmMNKm
2=270t
m1=315t
m3=180t
k1=245MN/m
k2=196MN/m
k2=98MN/mF(t)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
195.010
1792.12
02091.3
/98][][ 2 mMNMK q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?? ?
551.0107.1717.0
107.1216.0140.0
717.0140.0233.0
/
98
1])[]([ 12 MNmMK q
? ? kNP T01 0 00}{ ?
}{}] ) {[]([ 2 PYMK ?? q
? ? mmPMKY T130.1220.0143.}{])[]([}{ 12 ?????? ?q 负号表示干扰
力向右达到幅
值时，位移向
左达到幅值,
2、各层柱的剪力幅值
22
2
q?
?q??
??tg
??
???
??
???
位移和荷载反向如
位移和荷载同向如时
,,
.,0,:0
??q?
?q??
11 36.13 ?? s?
44
100
3、各层柱的剪力幅值
kNYmI
kNYmI
kNYmI
1 8 7.89)1 3 0.1(48.4 3 81 8 0
0 4 5.26)2 2 0.0(48.4 3 82 7 0
7 5 1.19)1 4 3.0(48.4 3 83 1 5
3
2
33
2
2
22
1
2
11
???????
???????
???????
q
q
q
各楼层的惯性力幅值：
负号表示干扰力向右达到幅值时，
位移向左达到幅值,
89.187
26.045
19.751 Q3=－ 89.187kN
Q2=－ 89.187 － 26.045+100= － 15.232kN
Q1=－ 89.187 － 26.045 － 19.751 +100= － 34.983kN
另外,剪力也可又侧移刚度来求,
kNmMNmmmmkYYQ 1 8 0.89/98)]2 2 0.0(13.1{)( 3233 ????????? kN/mm
惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达
到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅
值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力
值加在结构上，按一般静力学方法求解。
45
)(
1 }{}{
in
i Yy ?? ?
用 {Y（ j） }T[M]前乘
?? n iTjiTj YMYyMY 1 )()()( }]{[}{}]{[}{ ? jjjTjj MYMY ?? ?? }]{[}{ )()(
j
Tj
j M
yMY }]{[}{ )(??
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ?
正则坐标 ηi是将实际位移按
主振型分解时的系数。
（ 1）正则坐标 任意一个位移向量 {y}都可按主振型展开：
0}]{[}{ )()( ?iTj YMY
0}]{[}{ )()( ?iTj YKY
第一正交关系：
第二正交关系：
}]{[}{}]{[}{ )()(2)()( jTjjjTj YMYYKY ??
如同一主振型
定义：
j
j
j M
K??
Mj 广义质量Kj广义刚度所以：
由广义刚度和广义质量求频率的公式。
是单自由度体系频率公式的推广。
?2j?
*§ 15.7 多自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动 — 振型分解法
46
（ 2）主振型矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
nnnn
n
n
n
YYY
YYY
YYY
YYYY
...
............
...
...
}{...}{}{][
21
22221
11211
)()2()1(
它的转置
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
][
.,,
][
][
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
][
)(
)2(
)1(
21
22212
12111
N
nnnn
n
n
T
Y
Y
Y
YYY
YYY
YYY
Y
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
? }]},,, {{}][{[
][
.,,
][
][
]][[][
)()2()1(
)(
)2(
)1(
n
N
T
YYYM
Y
Y
Y
YMY
??
???
?
?
?? jiM
ji
YMYM
j
ji
ij 当
当0
}]{][[ )()(*
? ?
? ?
? ?
}]},,, {{}[{
][
...
][
][
)()2()1(
)(
)2(
)1(
n
N
YYY
MY
MY
MY
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
][
}]{][[...}]{][[}]{][[
............
}]{][[...}]{][[}]{][[
}]{][[...}]{][[}]{][[
)()()2()()1()(
)()2()2()2()1()2(
)()1()2()1()1()1(
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? M
YMYYMYYMY
YMYYMYYMY
YMYYMYYMY
nnnn
n
n
主振型的正交性
47
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
*
n
T
M
M
M
YMYM
.,,00
.,,.,,.,,.,,
0.,,0
0.,,0
]][[][][
2
1
广义质量矩阵是
对角矩阵。
同样广义刚度矩阵
是对角矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
*
n
T
K
K
K
YKYK
...00
............
0...0
0...0
]][[][][
2
1
主振型矩阵的性质：当 [M],[K]为非对角矩阵时，如果前乘以
[Y]T、后乘以 [Y]，这可以使它们转换为对角矩阵 [M*],[K*]。利用
主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方程变为简单形式。
48
（ 3）振型分解法
)(.,,
.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
)(.,,
)(.,,
2211
2222212122
1121211111
tPykykykym
tPykykykym
tPykykykym
nnnnnnnn
nn
nn
?++++
?++++
?++++
..
..
..
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
...
)(
)(
...
...
............
...
...
......
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
tP
tP
tP
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
nnnnnn
n
n
nn
..
..
..
)}({}]{[}]{[ tPyKyM ?+
..
进行正则坐标变换，
使方程组解耦。
}]{[}{ ?Yy ?
TY ][再前乘以
)}({][}]{][[][}]{][[][ tPYYKYYMY TTT ?+ ??
..
)}({}{)()}({}{][}{][ )(** tPYtFtFKM Tii ??+ 其中：??
..
)21()()()( nitFtKtM iiiii,、,?????+ ??
..
)21()(1)()( nitFMtMKt i
i
i
i
i
i,、,?????+ ??
.,ω2
? ?? t ii
ii
i dtFMt 0 )(s in)(
1)( ????
??
}]{[}{ ?Yy ?
49
任何弹性体系都属于无限自由度体系。常简化为有限自
由度体系，得出近似结构，以解决实际问题。
按无限自由度体系进行分析可以了解近似算法的应用范围和
精确程度。另外对某类结构（如等截面直杆）也有其方便之处。
在无限自由度体系的动力计算中，各质点的动力位移（内
力）将是截面位置坐标 x、时间 t两个独立变量的函数。其运动
方程是偏微分方程。
?挠曲线微分方程
qyEIMyEI ?????????
?自由振动时梁上荷载只有惯性力：
2
2
t
ymq
?
???
)7717(.,,,,,02
2
4
4
????+?? t ymx yEI
?等截面梁弯曲时的自
由振动微分方程即为：
?设
)()(),( tTxYtxy ??曲线形状 位移幅值随时间的变换规律
振动曲线的形状不变，只是幅度在变。 或：
=ω2
0)()()()( ?+???? tTxYmtTxYEI
..
)(
)(
)(
)(
tT
tT
xYm
xYEI ??????
..
§ 17-8 无限自由度体系的自由振动
50
)(0)()(
)(0)()(
4
2
bxYxY
atTtT
??????
?+
?
?
..
m
EI
EI
m
2
4
2
,
??
?
?
?
?
或
?（ a）式的通解, )s i n (c o ssin)(
21 ???? +?+? tatCtCtT
的解为：
)s i n ()(),( ?? +? txYtxy 振福 频率
?为了求的频率和振
幅，研究（ d）的解。 xCxCxshCxchCxY ???? s i nc o s)( 4321 +++?
?由边界条件写出含 C1～ C4 的四个奇次方程。为了求得非零解，
要求方程的系数行列式为零。得到确定 λ的特征方程，求出 λ,再
求频率 ωn（ n=1,2,……）,对于每一个频率，可求出 C1～ C4的
一组比值，得到相应的主振型 Yn（ x）,是微分方程（ 17-77）的一
个特解。全解为各特解的线性组合：
)s i n ()(),(
1
nnn
n
n txYatxy ?? +??
?
?其中待定常数 a
n和 αn应由初始条件确定 。
=ω2
)(
)(
)(
)(
tT
tT
xYm
xYEI ??????
..
)7717(.,,,,,02
2
4
4
????+?? t ymx yEI
51
例 17-11试求等截面简支梁的自振频率和主振型。
l
mEI
y
x
?左端 x=0 弯矩 =0，位移 =0
,0)0(,0)0( ??MY
C1+C3=0
C1－ C3=0 C1=C3=0
xCxCxshCxchCxY ???? s i nc o s)( 4321 +++?
xCxshCxY ?? s i n)( 42 +?
解：
?左端 x=l 弯矩 =0，位移 =0
0s i n,0)( 42 ?+? lClshClY ??
0sin,0)( 42 ????? lClshClY ??
0s i ns i n ?? llsh llsh ?? ??
系数行列
式等于零
0s i n ?? xxsh ??即：
0)(00 ????? xYlsh ??如：
),2,1(0s i n ??????? nlnl n ???于是特征方程为：
m
EI2?? ?代入：
,.,, )2,1(
s i n)(
,.,, )2,1(
4
2
22
?
?
?
?
n
l
xn
CxY
n
m
EI
l
n
n
n
?
?
?
相应振形：
,0)0(,0)0( ??? ?YY
52
1、能量法求第一频率 ——Rayleigh法
根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动
体系在任何时刻的动能 T 和应变能 V 之和应等于常数。
※ 此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位
置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变
能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度
为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：
Vmax=Tmax ω※ 求 V
max, Tmax
?+???
ll
dxxYxmtdxvxmV
0
222
0
2 )()()(c o s
2
1)(
2
1 ?????
l
dxxYxmV
0
22
m a x )()(2
1 ?
? ??+?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ll
dxxYEItdx
x
y
EIU
0
22
0
2
2
2
)]([)(s i n
2
1
2
1
??
? ???
l dxxYEIU
0
2
m a x )]([2
1
※ 求频率
? ?+
? ???
l
ii
l
YmdxxYm
dxxYEI
0
22
0
2
2
)]([
)]([?
如梁上还有中质量 mi yi实集中质量 mi处的位移幅值
位移幅值
)co s ()()s i n ()(),( ????? +??+? txYyvtxYtxy设：
.
§ 17-9 近似法求自振频率
53
※ 设位移幅值函数 Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件,
（铰支端,Y=0；固定端,Y=0,Y′=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振形形状大致接近；如正好与第
n 主振型相似，则可求的 ωn的准确解。但主振型通常是未知
的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于
假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh
法主要用于求 ω1的近似解。
3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现
的变形形式。曲率小，拐点少。
3、通常可取结构在某个静荷载 q（ x） （如自重）作用下的弹
性曲线作为 Y（ x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷
载 q（ x）所作的功来代替，即
?? l dxxYxqU 0 )()(21 ?+?
??
2
0
2
02
)]([
)()(
ii
l
l
YmdxxYm
dxxYxq
?
54
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
?
2）假设均布荷载 q作用下的挠度曲线作为 Y(x).
)2(24)( 323 xlxlxEIqxY +??
( ) 963031224
52
0
2
02 120
)(
)(
lm
EIlq
dxxYm
dxxqY
EI
ql
l
?
?
???
m
EI
l 2
87.9??
例 17-12 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线，
)()( xlxxY ??
l
mEI
y
x满足边条且与
第一振型相近
30/
2
52
2
lm
E I l
?
? ?
4
2 1 2 0
lm
E I l??
m
EI
l 2
95.10??
3）假设,
l
xaxY ?s i n)( ?
m
EI
lm
EI
llm
EI
lam
l
E I a
22
2
4
4
2
22 8 6 9 6.9,
2
3
24
???? ????
?
第一振型的精确解。
精
确
解
55
x h
0
l
例 17-13 求楔形悬臂梁的自振频率。
设梁截面宽度为，高度 h=h0x/l。
解：
,
,
12
1
0
3
0
l
xh
m
l
xh
I
??
?
?
?
?
?
?
?
单位长度得质量
设位移形状函数
2)1()(
l
xaxY ?? 满足,0)(,0)( ??? lYlY
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
? ????
E
l
h
l
Eh
2
0
4
2
02 581.1,
2
5 ???
误差为相比与精确解,5 3 4.1 2 0 ?? E
l
h?
3%
Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是
假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁按照这种假设
的形状振动，这就相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，
致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加
的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
56
1、假设多个近似振型
n??? ???21,
都满足前述两个条件。
2、将它们线性组合
是待定常数）n
nn
aaa
aaaxY
???
+???++?
21
2211
,(
)( ???
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的
Y（ x）代入（ 17-85）得到的 ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对
所有的 a1,a2,…, an的可能组合，确实获得了最小的 ω2值。
当所选的 a1,a2,…, an使 ω2 获得最小的值的条件是
),,2,1(,0
2
nia
i
??????? ?
这是以 a1,a2,…, an为未知量的 n个奇次线性代数方程。零其
系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶
频率来。阶次越低往往越准。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假
设振型对体系所附加的约束,Ritz提出的改进方法：
57
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
?
?
?
?+???++?
n
i
iinn aaaaxY
1
2211)( ???? ? ?????
?
n
i
iiaxY
1
)( ?
????,0
2
ia
?
0)]([
)]([
)]([
)]([ 0 2
0
2
0
2
0
2 ?? ?
?
??
?
? ???
? ???
? l
i
l
l
l
i
dxxYm
adxxYm
dxxYEI
dxxYEI
a
2?
0)]([)]([)]([)]([ 0 20 20 20 2 ?? ????????? ? ???? l
i
lll
i
dxxYmadxxYEIdxxYmdxxYEIa
00
1 1
2
0
1 1
??? ?
?
??
? ????? ??
?
? ?? ?
l
ji
n
i
n
j
ji
i
l
ji
n
i
n
j
ji
i
dxmaa
a
dxEIaa
a
?????
??? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,????
0
1 1
2
1 1
?? ?
?
??? ?
?
?
? ?? ?
ij
n
i
n
j
ji
i
ij
n
i
n
j
ji
i
maa
a
kaa
a
?
.,,0][][
}0{}] ) {[]([
),2,1(0)(
22
2
2
1
2
2
2
1
n
jijij
n
j
mk
amk
niamk
????
?
?
??????
??
???????
?
可求出特征方程：
或写成矩阵形式：
0)]([0 22 ??
?
?? l
i
dxxYm
a
?
0
1 1
2
1 1
?????? ? ?? ?
? ?? ?
ij
n
i
n
j
ji
i
ij
n
i
n
j
ji
i
maaakaaa ?
58
例 17-14 用 Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：悬臂梁的位移边界条件为：
（在左端）00 ??? YY
32212211 xaxaaaY +?+? ??设：
?只取第一项 2
121 ???? ?? x
代入：
)94,9317(,00 ???? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk ????
5
,4
5
1111
lmmE I lk ??代入频
率方程,)9817(0][][ 2 ??? mk ?
m
EI
llm
EIlmE I l
214
2
5
2 1472.4,200
5
4 ????? ???
其精确解,
m
EI
l 21
5 1 6.3?? 与精确解相比,误差为 27%。
59
例 17-14 用 Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：
32212211 xaxaaaY +?+? ??
?取两项
xxx 6;2 232121 ???????? ????
代入：
)94,9317(,00 ???? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
76
65][,
126
64
][
76
65
32
2
lmlm
lmlm
m
E I lE I l
E I lE I l
k
代入频率方程：
求得 kij,mij：
0
12
7
6
6
6
6
4
5
4242
4242
?
??
??
EI
lm
EI
lm
EI
lm
EI
lm
??
??
求得最
初两个
频率近
似值：
m
EI
l
m
EI
l
21
21
81.34
533.3
?
?
?
?
（ 0.48%）
（ 58%）
说明
m
EI
l
m
EI
l
22
21
03.22
516.3
?
?
?
?精确解：
说明,1)由于 φ 1φ 2均近似于第一振型由它们组合的第二振型
自然很差，故第二频率不准。
2)Rayleigh— Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞
利法。
60
2、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用
若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法
有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
等效原则是,使集中后的重力与原来的重力互为静力等效，
即两者的合力相等。
作法,将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于
两端。 该法即可求基频，也可求较高频率。使用各类结构。
集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。
61
l
m
m
EI
lm
EI
l
m
EI
l
2322
21
83.88
,
84.39
,
87.9
:
??
?
??
?精确解
例 17-15
2
lm
l/3 l/3
4
lm
4
lm
,80.9,21 mEI
l
??解得
(－ 0.7%）
l/3 l/3 l/3 l/3
4
lm 8lm
4
lm
4
lm
8
lm
3
lm
l/3 l/3 l/3
6
lm
6
lm
3
lm
m
EI
l
m
EI
l
21
21
2.38
,
86.9
:
?
?
?
?解得
(－ 0.1%）
(－ 3.1%）
m
EI
l
m
EI
l
m
EI
l
23
22
21
6.84
2.39
,
8 6 5.9
:
?
?
?
?
?
?解得
(－ 0.05%）
(－ 4.8%）
(－ 0.7%）
62
对于对称刚架，可分别用
不同的集中质量方案求出对
称振动和反对称振动的自振
频率。
2l
l
m5.1
m m
2l
l
2lm
4lm
lm5.1lm lm
2lm
4lm
2lm
lm2 lm2
2lm
1?求
lm2
最小频率对应
着反对称振型
lm75.0
2lm
63
例 6,测图示刚架动力特性。加力 20kN时顶部侧移 2cm，振动一周
T=1.4s后，回摆 1.6cm，求系统的阻尼比 ξ、大梁的重量 W及
6周后的振幅。
k
2
k
2
W=mg
?
解,(1)求 W：
kNgkW 6.4 8 69 8 12200 4 9 6.02 4.1
2
???????????? ?
由
skgWT 4.122 ??? ???
(2)求 ω sT 148.42 ?? ??
(3)求 ξ,0 3 5 5.0
6.1
2ln
2
1 ??
??
????? ???? 212 )9 9 9.0(1r
(4)6周后的振幅
T
Tt
t
ee eyy ????
??
?? +?
?
)(
1
0
0
0
6
1
06
)6(
6
0
0
0
???
?
???
????
+?
?
y
ye
e
e
y
y T
Tt
t
??
??
??
cmy 5 2 4.022 6.1
6
6 ????
??
?
??
64
0.5a
例, 试求图示梁的自振频率
和主振型，梁的 EI已知。
1 2
a a a
m m
解,(1)计算频率
1 a
1M
2M
EI
a
EI
a
EI
a
6,4,
3
22
3
2112
3
11 ????? ????
3231 203.3967.0 ma
EI
ma
EI ?? ??
(2)振型
61.3
1
277.0
1
22
12
21
11 ???
Y
Y
Y
Y
1
0.277
1
3.61
第一振型 第二振型
1
65
例题：计算图示框架结构的自振频率和振型。假设横梁刚度为
无限大，已知 EI1=EI2=EI3/16。
m
EI2
l
l
2m
EI2
EI1EI1
EI3
解：左两柱层间侧移刚度系数：
,24122,24122 3 13 223 13 11 kl EIlEIkkl EIl EIk ????????
右柱层间侧移刚度系数：
kl EIl EIlEIk ????? 3 13 13 33 2481612)2(12
kkkkkkkkkkk 2,,2 322221122111 ?+?????+?
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
? 0
22
2
2
2
?
??
??
mkk
kmk
?
? 0362 2242 ?+? kkmm ??
m
k
m
k 61803.2
2
332
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.
2
332
1
???
3
1
3
1
5 3 5 6.7
9 0 0 6.3
2
1
ml
EI
ml
EI
?
?
?
?
366.0
1
1
2
211
12
22
12 ??
?
??
mk
k
Y
Y
?
3 6 6.1
1
1
2
111
12
21
11 ?
?
??
mk
k
Y
Y
?
0000088.0
)366.0()366.1(2)1()1(
2221212111
???
??+???
+
m
mm
YYmYYm
验算正交性
66
?结构动力计算的特点和内容
?单自由度体系的自由振动和强迫振动
?多自由度体系的 自由振动 和 强迫振动
?主振型及主振型正交性
?无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动
?近似法求自振频率
2
§ 15.4 两个自由度体系的自由振动
很多结构的振动问题不能按单自由度体系
计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的
振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的
振动等，都应按多自由度体系计算。
一、振动微分方程的建立
及自振频率和主振型计算
柔度法、刚度法
3
1、柔度法
y1(t)
y2(t)
?建立振动微分方程,（建立位移协调方程）
m1,m2的位移 y1(t),y2(t)应等于体系在当时惯性力
作用下所产生的静力位移。
11ym?
..
22 ym?
..
)(),( 2211 tymtym ??
..,.
222221112
122211111
)()()(
)()()(
??
??
tymtymty
tymtymty
???
???
..
..
..
.,（ 15-40）柔度法建立的振动微分方程
δ11
δ21
P1=1 δ12
δ22P
2=1
4
0
222211
122111 ?
?
??
???
???
mm
mmD
频率方程：为一关于 λ的二
次方程。解出 λ的两个根：
振型方程：其中,λ=1/ω2
Y1, Y2不能全为零。
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????? ??+?+?
2
2
1
1
1,1
???? ??
求得频率：
2222
2
2111
2
2
1222
2
1111
2
1
)()(
)()(
????
????
YmYmY
YmYmY
+?
+?
0)(
0)(
22221211
21221111 ??+ ?+? YmYm YmYm ??? ???
?频率方程和自振频率：
设各质点按相同频率和初相角作简谐振动
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11 ?? ?? +? +? tYty tYty
Y1, Y2是质点位移幅值
222221112
122211111
)()()(
)()()(
??
??
tymtymty
tymtymty
???
???
..
..
..
..
（ 15-40）振动微分方程
体系频率的数目总
等于其自由度数目
5
?主振型
0
222211
122111 ?
?
??
???
???
mm
mmD
频率方程：为一关于 λ的二
次方程。解出 λ的两个根：
振型方程：其中,λ=1/ω2
Y1, Y2不能全为零。0)( 0)( 22221211 21221111 ??+ ?+? YmYm YmYm ??? ???
不能有振型方程求出 Y1, Y2的解, 只能求出它们的比值。
第一主振型
1111
212
21
11
??
?
??? m
m
Y
Y
第二 主振型
2111
212
22
12
??
?
??? m
m
Y
Y
??
?
??? 111
212
2
1
m
m
Y
Y
频率的数目总等
于其自由度数目
主振型是体系由此主振型惯性力幅值
所引起的静力位移。),( 222112 YmYm ??
Y11
Y21
21221 Ym?
11121 Ym?
Y12
Y22
22222 Ym?
12122 Ym?
6
例 17－ 6 求简支梁的自振
频率和主振型。 l/3 l/3 l/3
解,1）求柔度系数 P=1
P=13
2l
3
2l
EI
l
2 4 3
4 3
2211 ?? ??
EI
l
4 8 6
7 3
2112 ?? ??
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????
?
??+?+
?
2
)(4)2(2 221221121111
1
2
mmm ????
?
???
?
mm 12111
2
??? ??
mm 12111
2
??? ??
EI
mlmm 3
12111 486
15?+? ???
EI
mlmm 3
12112 4 8 6
1??? ???
3
2
23
1
1 22
1,69.51
ml
EI
ml
EI
?
?
?
? ??
求得频率：
求得主振型：
1
1
1111
212
21
11 ?
??? ??
?
m
m
Y
Y
1
1
2111
212
22
12
????? ??
?
m
m
Y
Y
m m
7
例 17－ 6 求简支梁的自振
频率和主振型。 l/3 l/3 l/3
m m
l/3
另解：如果结构本身和质
量分布都是对称的，则主
振型不是对称就是反对称。
故可取半边结构计算,
1
对称情况：
EI
l
1 6 2
5 3
11 ??
3
11
1 69.5
1
ml
EI
m
??
?
?
l/9
1
反对称情况：
EI
l
4 8 6
3
22 ??
3
22
2 22
1
ml
EI
m
??
?
?
8
例：求图示体系对称振动情况下的频率。
m
m
m
EI EI
EI
l l
l
l
m/2
m
1
2
1
0.5
1M
1
1
0.875
0.25
2M
1
1
02M01M
3
3EIMM
5.4:,
11
0
11 ??相乘
EI
MMMM
125.1
,
2112
0
21
0
12
??? ??
相乘，相乘或
EIMM
6 8 7 5.1:,
22
0
22 ??相乘
EI
5.4
11 ?? EI
125.1
2112 ??? ??EI
6 8 7 5.1
22 ??
2
)(4)()( 21211222112222111222111
1
2
mmmmmm ????????? ??+?+?
m
EI
m
EI 943.01,596.01
2
2
1
1 ???? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
????+?+? )1 2 5.16 8 7 5.15.4(
2
14)6 8 7 5.1
2
5.4()6 8 7 5.1
2
5.4(
2
22
1
2 EI
m?
EIm
EIm
/125.1
/8125.2
1
2
??
9
1
2
/8 2 5.2/5.2
/1 2 5.1
1111
212
21
11
??????? EImEIm
EIm
m
m
Y
Y
??
?
1
1
/125.1/5.2
/125.1
2111
212
22
12 ?
????? EImEIm
EIm
m
m
Y
Y
??
?
2
1
1
1
01)1()1()2(22221212111 ????+??+ mmYYmYYm
Yij为正时
表示质量 mi的
运动方向与计
算柔度系数时
置于其上的单
位力方向相同，
为负时，表示
与单位力方向
相反。
本题结束 验证正交性
10
2、刚度法,（建立力的平衡方程）
两个自由度的体系
y1(t)
r2
r1
y2(t)
y1(t)
y2(t) r
2
r1
?r1=k11y1+k12y2
r2=k21y1+k22y2
质点动平衡方程,
即,
?设,
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11
??
??
+?
+?
tYty
tYty
特点,1)两质点具有相同的频率和相同的相位角,
2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保
持不变 y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数,
22ym
..
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..
0,0 222111 ?+?+ rymrym
..,,11ym
..
结构位移形状保持不变的振
动形式称为主振型或振型,
12振型计算公式
频率计算公式
频率方程
)s i n ()(
)s i n ()(
22
11
??
??
+?
+?
tYty
tYty
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..振型方程
0)(
0)(
22
2
22121
21211
2
11
??+
?+?
YmkYk
YkYmk
?
?
为了得到 Y1,Y2的非零解，
应使系数行列式 =0
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
?
?展开是 ω2的二次方程，解得 ω2
两个根为：
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+???
?
?
??
?
?
+??
可以证明这两个根都是正根。
与 ω2相应的第二振型：
1
2
211
12
22
12
mk
k
Y
Y
??
??
?因为 D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值，
只能求出其比值
求与 ω1相应的第一振型：
1
2
111
12
21
11
mk
k
Y
Y
??
??
14
与 ω2相应的第二振型：
2
1
2
211
12
22
12 ?
?
?
?
??
mk
k
Y
Y
?求与 ω1相应的第一振型：
1
1
2
111
12
21
11 ?
?
?
?
??
mk
k
Y
Y
多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是,初始位移和
初始速度应当与此主振型相对应。
)s i n ()s i n ()(
)s i n ()s i n ()(
22222112112
22122111111
????
????
+++?
+++?
tYAtYAty
tYAtYAty
几点注意：（ P26）
① ρ1ρ2必具有相反的 符号 。
②多自由度体系自振频率的个数 = 其自由度数，自振
频率由特征方程求出。
③每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度
体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。
④自振频率和主振型是体系本身的固有特性。
一般解：
在这种特定的初始条件下出现的
振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。
16
例 17-4：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
k21
k111
解：求刚度系数,k11=k1+k2,k21=－ k2,
k22
k12
1
k22=k2,k12=－ k2
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
?
0))(( 222221221 ????+ kmkmkk ??
1)当 m1=m2=m,k1=k2=k
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
( )( ) kmkmk 02 222 ???? ??
m
k
m
k
61803.1
61803.0
2
1
?
?
?
?
代入频率方程：
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+??
?
?
??
?
?
+??
+
17
1)当 m1=m2=m,k11=2k,k12=－ｋ
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
求振型：
618.1
1
3 8 1 9 7.02 ??
???
kk
k
12k
1
2
111 mk ??
?
21
11
Y
Y ?
ω1→ 第一主振型：
Y21=1.618
Y11=1
第一主振型
6 1 8.0
1
6 1 8 0 3.22
??
?
???
kk
k
12k
1
2
211 mk ??
?
22
12
Y
Y ?
ω2→ 第二主振型：
Y22=－ 0.618
Y11=1
第二主振型
18
0))(( 222221221 ????+ kmkmkk ??
2)当 m1=nm2,k1=nk2
k11=（ 1+n） k2,k12=－ k2 0)]()1[(
22222222 ????+ kmknmkn ??
求频率：
求振型：
如 n=90时
1
10
11
21 ?
Y
Y
1
9
12
22 ??
Y
Y
当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。
（鞭梢效应）
2
19
2
1
1
2 ??
Y
Y 第一振型,第二振型：
特征方程：
2
2
2
2 1412
2
1
1
2 m
k
nnn ??
?
?
?
?
+?
?
??
?
? +?? +
4
1
2
1
)
4
1
2
1
()1(
)1(
2
2
2
2
12
1
2
11
1
2
+??++?+?
?
?+
??
?
??
nnnn
k
nmkn
k
mk
Y
Y ??
+
21
21122211
2
2
22
1
11
2
22
1
112
2,1 2
1
2
1
mm
kkkk
m
k
m
k
m
k
m
k ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
+??
?
?
??
?
?
+??
+
19
y1
yi
yn
ri
动平衡方程：
ri
y1
yi
yn
ri 应满足刚度方程 ),...,2,1(...2211 niykykykr niniii ?+++?
kij是结构的刚度系数，使点 j产生单位位移（其它点位移为零）
时在点 i所需施加的力。
iiym
..
),.,,,,,,2,1(0 nirym iii ??+
..
*§ 15.6 一般多自由度的体系的自由振动
20
0...
.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
0...
0...
2211
222212122
121211111
?++++
?++++
?++++
nnnnnnn
nn
nn
ykykykym
ykykykym
ykykykym
..
..
..
),...,2,1(...2211 niykykykr niniii ?+++?
或：
设解为,{y}={Y}sin(ωt+α)
得振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝
得频率方程,┃ [K]－ ω2 [M]┃ ＝ 0 可求出ｎ个频率
与 ωｉ 相应的主振型向量由 ( [K]－ ω2ｉ [M] ){Y（ ｉ ） }=｛ 0｝
不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。
标准化主振型：令 Y1i=1，或最大元素 =1等。
)s i n (}{}{ 2 ??? +?? tYy
..
),.,,,2,1(0 nirym iii ??+
..
}0{}]{[}]{[ ?+ yKyM
..
?
?
?
?
?
?
?
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+
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
...
0
0
...
...
............
...
...
......
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
nnnnn
n
n
nn
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
..
..
..
21
例 17-5,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图。
k11=4k/3
解,1）求刚度系数,
m
2m
m
k
3
k
5
k k21=-k/3
k31=0
k12=-k/3
k22=8k/15
k32=-k/5 1
k13=0
k23=-k/5
k33=k/5
刚度矩阵 [K]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
100
010
002
][
330
385
0520
15
][ mM
k
K
1
1
22
215,0
330
385
05220
15
??
?
?
?
k
mk
??
??
???
??
其中
展开得,2η3－ 42η2＋ 225η－ 225＝ 0
解得,η1=1.293,η2=6.680,η3=13.027
m
k0 8 6 2.02
1 ?? m
k4453.02
2 ?? m
k8 6 8 5.02
3 ??
m
k2 9 3 6.0
1 ?? m
k6 6 7 3.0
2 ?? m
k9 3 1 9.0
3 ??
2）求频率,代入频率方程,┃ [K]－ ω2 [M]┃ ＝ 0
3）求主振型,振型方程：（ [K]－ ω2 [M]） {Y}＝ 0的后两式：
（令 Y3i=1）
0)3(3
03)8(5
2
21
??+?
???+?
ii
iii
Y
YY
?
?
（ a）
0
1330
385
05220
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
i
i
i
i
i
Y
Y
?
?
?
23
0)3(3
03)8(5
2
21 ??+? ???+?
ii
iii Y YY ??
07 0 7.13
0370.65
21
2111293.11
?+?
??+??? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
569.0
163.0
)1(Y
0680.33
03320.15
22
2212680.62
???
??+??? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2 2 7.1
9 2 4.0
)2(Y
00 2 7.103
030 2 7.55
21
2313027.133
???
?????? ?? ?
Y
YY? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
3 4 2.3
7 6 0.2
)1(Y
1
0.569
0.163
1
1.227
0.924
1
3.342
2.76
Yij为正时表示质
量 mi的运动方向与单
位位移方向相同，为
负时，表示与单位位
移方向相反。
24
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?
? ?? ???
????
??
I
KP
KP
??
,
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝
前乘 [K]－ 1=[δ]后得,( [I ]－ ω2 [δ] [M] ){Y}=｛ 0｝
令 λ=1/ω2 ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}=｛ 0｝
得频率方程,┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃ =0
其展开式,
0
)(...
............
...)(
...)(
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
mmm
mmm
mmm
是关于 λ的 n次代
数方程,先求出 λi
再求出频率 ωi
将 λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}=｛ 0｝
可求出 n个主振型,
可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当
计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的
刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。
25
例 17-5,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图。 δ=1/k
δ11=δ
解,1）求柔度系数,
m
2m
m
k
3
k
5
k
柔度矩阵 [δ]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
002
][
941
441
111
][ mM??
P=1
δ21
δ31
P=1
δ32=4δ
δ22=4δ
P=1
δ13=δ
δ23=4δ
δ33=9δ
δ12=δ
26
2
1
,0
942
442
112
][]][[
???
?
?
?
?
?
???
mm
mIM ???
?
?
?
??
0304215 23 ??+? ???展开得,
解之, ξ1=11.601,ξ2=2.246,ξ3=1.151
三个频率为：
?? m
12936.0
1 ? ?? m
16673.0
2 ? ?? m
19319.0
3 ?
3）求主振型, （令 Y3i=1）将 λ1代入振型方程：
（ [δ] [M ]－ λ1[I]） {Y}＝ 0的前两式：
0460.72
0160.9
2111
2111
?+?
?++?
YY
YY
2）求频率：
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
569.0
163.0
)1(Y解得：
同理可得第二、
第三振型
27
m1 m2
Y11 Y21
21221 Ym?11121 Ym?
m1 m2
Y12
Y22
22222 Ym?
12122 Ym?
主振型的位移幅值恰好
为相应惯性力幅值产生
的静力位移。
对这两种静力平衡状态
应用功的互等定理：
2122222111212222212211211121 )()()()( YYmYYmYYmYYm ???? +?+
0))(( 22212121112221 ?+? YYmYYm??
0))(( 22212121112221 ?+? YYmYYm??
02221212111 ?+ YYmYYm
因为,ω1≠ω2
主振型之间的
第一正交关系
一般说来，设 ωi≠ωj 相应的振型分别为,{y（ i） },{y（ j） }
由振幅方程,( [K]－ ω2 [M] ){Y}=｛ 0｝得,[K] {Y}=ω2 [M] {Y}
[K] {Y（ i） }=ω2 [M] {Y（ i） }{Y（ j） }T[K] {Y（ i） }=ω2i {Y（ j） }T [M] {Y（ i） } （ a）
[K] {Y（ j） }=ω2 [M] {Y（ j） }{Y（ i） }T[K] {Y（ j） }=ω2j {Y（ i） }T [M] {Y（ j） } （ b）
主振型的正交性
28
{Y（ j） }T [K]T{Y（ i） } =ω2j{Y（ j） }T [M]T{Y（ i） }
{Y（ j） }T[K] {Y（ i） }=ω2i {Y（ j） }T [M] {Y（ i） } （ a）
{Y（ i） }T[K] {Y（ j） }=ω2j {Y（ i） }T [M] {Y（ j） } （ b）
（ c） =（ b）转置
（ a）－（ c）
0}]{[}){( )()(22 ?? iTjji YMY??
0}]{[}{ )()( ?iTj YMY 0}]{[}{ )()()( ??? ?? iTja YKY式由
第一正交关系：相对于质量矩阵 [M]来说，不同频率相应的
主振型彼此是正交的 ;
第二正交关系：相对于刚度矩阵 [K]来说，不同频率相应的
主振型彼此是正交的 ;
}]{[}{}]{[}{ )()(2)()( jTjjjTj YMYYKY ??
如同一主振型
定义：
j
j
j M
K
??
Mj广义质量Kj广义刚度
所以：
由广义刚度和广义质量求频率的公式。
是单自由度体系频率公式的推广。
29
注：①主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。
②利用正交性来 检查主振型是否正确,来判断主振型的形
状特征。
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ? 用 {Y
（ j） }T[M]前乘
?? n iTjiTj YMYyMY 1 )()()( }]{[}{}]{[}{ ? jjjTjj MYMY ?? ?? }]{[}{ )()(
j
Tj
j M
yMY }]{[}{ )(??
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ?
位移按主振型分解,可将
n个耦联运动方程化成 n
个独立的一元方程求解
④ 主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时，
在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此
它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振
型的振动。即各主振型可以单独出现。
③ 利用正交关系确定位移展开公式中的系数。
30
1、柔度法（忽略阻尼）
（ 1）建立振动微分方程
tP qsin
tP qsin
y1 y2
11ym?
..
22ym?
..
P
P1? P2?
tymymy
tymymy
P
P
q??
q??
s i n)()(
s i n)()(
2222221112
1122211111
?+?+??
?+?+??
..,.
..,.
tyymym
tyymym
P
P
q??
q??
s i n
s i n
2222222111
1112221111
??++
??++
..,.
..,.
（ 2）动位移的解答与讨论
设纯强迫振动解答为：
tYtytYty qq s i n)(s i n)( 2211 ??
0)1(
0)1(
2222
2
2121
2
1
1212
2
2111
2
1
??+?+
??++?
P
P
YmYm
YmYm
?q?q
?q?q
)1(
)1(
22
2
221
2
1
12
2
211
2
1
0 ?
??
?q?q
?q?q
mm
mmD
)1( 22222
12
2
21
1 ???
???
?q
?q
m
mD
P
P
P
P
m
mD
221
2
1
111
2
1
2
)1(
??
????
?q
?q
0
22
0
11
D
DY
D
DY ??解得振幅：
产生的位移。位移幅值相当于静荷载时，①当,D,D,1D0 22110 PP ??????q
位移幅值很小。时，②当,0,0,D,D,D 212212140 ??????? YYP qqqq
。不全为零时，时，或③当 ????? 2121021,,D,0D YYD?q?q
n各自由度体系，存在 n个可能的共振点
§ 15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动
31
（ 3）动内力幅值的计算
tYtytYty qq s i n)(s i n)( 2211 ??tPtP qs i n)( ?
tYmymtYmym qqqq s i n,s i n 2222212111 ????
..,.
荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最
大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的副值作为
静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为静内力幅值。
tP qsin
l/4 l/4l/2
m m
P1=1
16
3l P
2=1
16
3l
例：图示简支梁 EI=常数,θ=0.75ω1
求动位移幅值和动弯矩幅值。
解,1)求柔度系数
EI
l
EI
l
7 6 8
7,
2 5 6
3 3
1112
3
2211 ???? ????
EI
ml
EI
mlm
48768
16)( 33
12111 ??+? ???
EI
ml
EI
mlm
3 8 47 6 8
2)( 33
12112 ???? ???
3
1
1 93.6
1
ml
EI??
?? 322
60.151 mlEI?? ??
31 1 9 7 5.575.0 ml
EI?? ?q
32
2)作 MP图，求 Δ1PΔ2P P1=1
P2=1
16
3l
EI
l
EI
l
7 6 8
7,
2 5 6
3 3
1112
3
2211 ???? ???? 31 1 9 7 5.575.0 ml
EI?? ?q
16
3l
16
3Pl
1M
2M P
PM
EI
Pl
EI
Pl
Pp 768
7,
256
3 3
2
3
1 ????
4 0 6 5.0)1()1(
22
2
221
2
1
12
2
211
2
1
0 ??
??
?q?q
?q?q
mm
mmD
EI
Pl
m
mD
P
P
3
22
2
22
12
2
21
1 0 1 0 2 5.0)1( ????
???
?q
?q
EI
Pl
m
mD
P
P
3
221
2
1
111
2
1
2 0 0 9 1 1.0
)1( ?
??
????
?q
?q
EI
Pl
D
DY
EI
Pl
D
DY 3
0
2
2
3
0
1
1 0 2 2 4.00 2 5 2.0 ????解得振幅：
EI
Pl
D
D
Y
EI
Pl
D
D
Y
3
0
2
2
3
0
1
1
0 2 2 4.0
0 2 5 2.0)3
??
??解得振幅：
PYmI
PYmI
6 0 5 2.0
6 8 0 8.0)4
2
2
22
1
2
11
??
??
q
q求惯性力：
5)计算动内力
I1=0.6808P
P
I2=0.6051P
1.4119P
1.4119P
0.2689P 0.8740P
Qd 图
1.4119P
1.6808P 0.6051P
0.8740P0.3530Pl
0.2180Pl
Md 图
PlMIMIMM Pd 353.012121111 ?++?
PlMIMIMM Pd 2 1 8.022221212 ?++?
6)比较动力系数
8 8 3.1
3
16
3 5 3 0.0
1 5 0.2
3
2 5 6
0 2 5 2.0
1
1
1
1
1
1
???
???
st
d
M
st
Y
M
M
y
Y
?
?
因此，多自由度体系
没有统一的动力系数。
33
2、刚度法
y1(t)
y2(t)
tPtP
tPtP
q
q
sin)(
sin)(
22
11
?
?如
在平稳阶段,各质点也作简谐振动,
tYty
tYty
q
q
s i n)(
s i n)(
22
11
?
?
222
2
22121
121211
2
11
)(
)(
PYmkYk
PYkYmk
??+
?+?
q
q
Y1=D1/D0
Y2=D2/D0
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
q
q
?
?? )( 2
2222
121
1 qmkP
kPD
??
求得位移幅值 Y1,Y2,计算惯性力幅
值 I1=m1θ 2Y1 I2=m2θ 2Y2 。将惯性力
幅值连同荷载幅值加在体系上，按
静力计算方法求得动内力幅值。
0
0
22212122
21211111
?++
?++
ykykym
ykykym
..
..
)(
)(
2
1
tP
tP P1(t)
P2(t)
221
11
2
11
2 Pk
PmkD q??
34
求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。
h
Psinθt
m EI=∞
m EI=∞
EI EI
EI EI
h
1
k11
k21
1
k12
k22
解,1）求刚度系数
kh EIkkkkh EIk ???????? 3122122311 24,248
34 ml
EI?q
2
3
2
3
2
2
2221
121
2
11
0 3 2 0)1624(24
24)1648( ?
?
??
?
????
?
??
?
?
??
???
?
??
h
EI
h
EI
mkk
kmkD
q
q
332
2222
121
1 248
240
)( h
EIP
h
EI
PmkP
kPD ???
?? q
33
221
11
2
11
2 3224
032
h
EIP
h
EI
PPk
PmkD ?
??
?? q EI
h
D
D
Y
EI
h
D
D
Y
2
0
2
2
2
0
1
1
1.0
0 7 5.0
???
???
2)求位移
幅值
35
3)求惯性力幅值
P
EI
Ph
mh
EI
mYmI
P
EI
Ph
mh
EI
mYmI
6.1)1.0(
16
2.1)0 7 5.0(
16
2
32
2
22
2
31
2
11
?????
?????
q
q
EI
h
D
D
Y
EI
h
D
D
Y
2
0
2
2
2
0
1
1
1.0
0 7 5.0
???
???
0.1
0.075
EI
Ph3?
位移幅值
P
1.6P
1.2P
0.9P 0.9P
A
里边受拉）(45.05.09.0 PhhPM A ???
36
2
2
2221
121
2
11
0 mkk
kmkD
q
q
?
??
( ) 212222211 PkmkPD ??? q
( ) 121121122 PkmkPD ??? q
例 17-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
解：荷载负值,P1=P,P2=0,求刚度系数：
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
当 m1=m2=m,k1=k2=k
m
k
m
k 61803.2
2
532
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.0
2
532
1 ?
???
tP qsin
( )
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY ???? q
0
2
2
2 )(
D
mkP q?
0
1211
2
112
0
2
2
)(
D
PkmkP
D
DY ???? q
0
Pk
( )( ) 2222212210 kmkmkkD ???+? qq
( )
0
2122
2
221
0
1
1 D
PkmkP
D
DY ???? q( )
0
2122
2
221
D
PkmkP ?? q( )
0
2
D
mP q? ( )
0
1211
2
11
0
2
2 D
PkmkP
D
DY ???? q
0D
Pk ( )( ) 2220 2 kmkmkD ???? qq
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 3
m
k
m
k
?
?+
??
??
2242 3 kkmm +? qq )3(
2
2
242
m
k
m
km +? qq
))(( 22212222142 ??q??q ++?? m ))(( 2222122 ?q?q ??? m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
?
q
?
q?? ??? m
)1)(1( 2
2
2
2
1
2
2
2
2
?
q
?
q ???
m
km
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
1
?
q
?
q
q
??
?
? k
m
k
P
Y
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2
2
?
q
?
q ??
?
k
P
Y
37
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
q
?
q
?
q
?
??
?
? k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
?
q
?
q
?
??
?
k
P
Y
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y1
mk
q
3.0
-2.0
-3.0
0 0.
61
8
3.01
.61
8
2.0
1.0
-1.0
kP
Y2
mk
q
两个质点的
位移动力系
数不同。
当
2121,618.1618.0 YYmkmk 和时和 ?q?q ????
趋于无穷大。
可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。
也有例外情况 ?。
39
k
k
P yst1
yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力
yst1= yst2=P/k 层间剪力, Qst1= P
动荷载产生的位移幅值和内力幅值
θ2mY2
θ2mY1
))(1(
)(
21
2
21
2
1
??
q
q
++?
++?
k
m
P
YYmPQ
1
2
1
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
q
?
q
?
q
?
??
?
? k
m
k
P
Y
2
2
)1)(1(
1
2
2
2
2
1
2 ?
?
q
?
q
?
??
?
k
P
Y
)(1 21
2
1
??q? ++? k mQ
由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。
层间动剪力,
40
例 17-9：
m2
m1
k2
k1
质量集中在楼层上 m1,m2, 层间侧移刚度为 k1,k2
k11=k1+k2,k21=－ k2,k22=k2,k12=－ k2
tP qsin( )
0
2
2
2
1 D
mkPY q??
0
2
2 D
PkY ?
2222212210 ))(( kmkmkkD ???+? qq
22
2201222,,0,kPYkDYmk ?????? q当
m1
k1
tP qsin
m2
k2
这说明在图 a结构上,适当加以 m2,k2系统
可以消除 m1的振动（动力吸振器原理）。
.,
,
2
2
2
2
2
22
q
k
m
Y
P
k
Ym
?? 再确定选定
的许可振幅先根据设计吸振器时
吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才
有必要设置。
41
例：如图示梁中点放一点动机。重 2500N，电动机使梁中点
产生的静位移为 1cm，转速为 300r/min，产生的动荷载幅值 P=1kN
问,1）应加动力吸振器吗？ 2）设计吸振器。 (许可位移为 1cm)
Psinθt解,1）
s
st
g 13.31
01.0
81.9 ??
???
s
n 14.31
60
3 0 02
60
2 ???? ??q
频率比在共振区之
内应设置吸振器。
2）
kg
sm
Nk
m
mNk
k
P
Y
102)
/
(
4.31
10
/10
01.0
1000
22
5
2
2
2
5
2
2
2
???
???
q
选弹簧系数由
k2
m2
42
对于 n个自由度体系强迫振动方程 Pn(t)
Pi(t)
P1(t) y1
yi
yn
如果荷载时简谐荷载 tPtP qs i n}{)}({ ?
则在平稳阶段,各
质点作简谐振动, tYty qs i n}{)}({ ?
振幅方程,
}{}] ) {[]([ 2 PYMK ?? q
如系数矩阵的行列式
0][][ 20 ??? MKD q可解得振幅 {Y}
如系数矩阵的行列式 D0=0(θ=ωi) 解得振幅 {Y}=无穷大
对于具有 n个自由度的体系,在 n种情况下都可能出现共振,
)(.,,
.,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
)(.,,
)(.,,
2211
2222212122
1121211111
tPykykykym
tPykykykym
tPykykykym
nnnnnnnn
nn
nn
?++++
?++++
?++++
..
..
..
)}({}]{[}]{[ tPyKyM ?+
写成矩阵型是,..
43
例,质量集中在楼层上,层间侧移刚度如图 。 F(t)=100sin20.96t
解,1、求刚度系数, 刚度矩阵 [K]和质量矩阵 [M]：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
100
05.10
0075.1
1 8 0][
110
132
025..4
/98][ tMmMNKm
2=270t
m1=315t
m3=180t
k1=245MN/m
k2=196MN/m
k2=98MN/mF(t)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
195.010
1792.12
02091.3
/98][][ 2 mMNMK q
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?? ?
551.0107.1717.0
107.1216.0140.0
717.0140.0233.0
/
98
1])[]([ 12 MNmMK q
? ? kNP T01 0 00}{ ?
}{}] ) {[]([ 2 PYMK ?? q
? ? mmPMKY T130.1220.0143.}{])[]([}{ 12 ?????? ?q 负号表示干扰
力向右达到幅
值时，位移向
左达到幅值,
2、各层柱的剪力幅值
22
2
q?
?q??
??tg
??
???
??
???
位移和荷载反向如
位移和荷载同向如时
,,
.,0,:0
??q?
?q??
11 36.13 ?? s?
44
100
3、各层柱的剪力幅值
kNYmI
kNYmI
kNYmI
1 8 7.89)1 3 0.1(48.4 3 81 8 0
0 4 5.26)2 2 0.0(48.4 3 82 7 0
7 5 1.19)1 4 3.0(48.4 3 83 1 5
3
2
33
2
2
22
1
2
11
???????
???????
???????
q
q
q
各楼层的惯性力幅值：
负号表示干扰力向右达到幅值时，
位移向左达到幅值,
89.187
26.045
19.751 Q3=－ 89.187kN
Q2=－ 89.187 － 26.045+100= － 15.232kN
Q1=－ 89.187 － 26.045 － 19.751 +100= － 34.983kN
另外,剪力也可又侧移刚度来求,
kNmMNmmmmkYYQ 1 8 0.89/98)]2 2 0.0(13.1{)( 3233 ????????? kN/mm
惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达
到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅
值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力
值加在结构上，按一般静力学方法求解。
45
)(
1 }{}{
in
i Yy ?? ?
用 {Y（ j） }T[M]前乘
?? n iTjiTj YMYyMY 1 )()()( }]{[}{}]{[}{ ? jjjTjj MYMY ?? ?? }]{[}{ )()(
j
Tj
j M
yMY }]{[}{ )(??
?? n ii Yy 1 )( }{}{ ?
正则坐标 ηi是将实际位移按
主振型分解时的系数。
（ 1）正则坐标 任意一个位移向量 {y}都可按主振型展开：
0}]{[}{ )()( ?iTj YMY
0}]{[}{ )()( ?iTj YKY
第一正交关系：
第二正交关系：
}]{[}{}]{[}{ )()(2)()( jTjjjTj YMYYKY ??
如同一主振型
定义：
j
j
j M
K??
Mj 广义质量Kj广义刚度所以：
由广义刚度和广义质量求频率的公式。
是单自由度体系频率公式的推广。
?2j?
*§ 15.7 多自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动 — 振型分解法
46
（ 2）主振型矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
nnnn
n
n
n
YYY
YYY
YYY
YYYY
...
............
...
...
}{...}{}{][
21
22221
11211
)()2()1(
它的转置
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
][
.,,
][
][
.,,
.,,.,,.,,.,,
.,,
.,,
][
)(
)2(
)1(
21
22212
12111
N
nnnn
n
n
T
Y
Y
Y
YYY
YYY
YYY
Y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? }]},,, {{}][{[
][
.,,
][
][
]][[][
)()2()1(
)(
)2(
)1(
n
N
T
YYYM
Y
Y
Y
YMY
??
???
?
?
?? jiM
ji
YMYM
j
ji
ij 当
当0
}]{][[ )()(*
? ?
? ?
? ?
}]},,, {{}[{
][
...
][
][
)()2()1(
)(
)2(
)1(
n
N
YYY
MY
MY
MY
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
][
}]{][[...}]{][[}]{][[
............
}]{][[...}]{][[}]{][[
}]{][[...}]{][[}]{][[
)()()2()()1()(
)()2()2()2()1()2(
)()1()2()1()1()1(
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? M
YMYYMYYMY
YMYYMYYMY
YMYYMYYMY
nnnn
n
n
主振型的正交性
47
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
*
n
T
M
M
M
YMYM
.,,00
.,,.,,.,,.,,
0.,,0
0.,,0
]][[][][
2
1
广义质量矩阵是
对角矩阵。
同样广义刚度矩阵
是对角矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
*
n
T
K
K
K
YKYK
...00
............
0...0
0...0
]][[][][
2
1
主振型矩阵的性质：当 [M],[K]为非对角矩阵时，如果前乘以
[Y]T、后乘以 [Y]，这可以使它们转换为对角矩阵 [M*],[K*]。利用
主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方程变为简单形式。
48
（ 3）振型分解法
)(.,,
.,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
)(.,,
)(.,,
2211
2222212122
1121211111
tPykykykym
tPykykykym
tPykykykym
nnnnnnnn
nn
nn
?++++
?++++
?++++
..
..
..
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
...
)(
)(
...
...
............
...
...
......
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
tP
tP
tP
y
y
y
kkk
kkk
kkk
y
y
y
m
m
m
nnnnnn
n
n
nn
..
..
..
)}({}]{[}]{[ tPyKyM ?+
..
进行正则坐标变换，
使方程组解耦。
}]{[}{ ?Yy ?
TY ][再前乘以
)}({][}]{][[][}]{][[][ tPYYKYYMY TTT ?+ ??
..
)}({}{)()}({}{][}{][ )(** tPYtFtFKM Tii ??+ 其中：??
..
)21()()()( nitFtKtM iiiii,、,?????+ ??
..
)21()(1)()( nitFMtMKt i
i
i
i
i
i,、,?????+ ??
.,ω2
? ?? t ii
ii
i dtFMt 0 )(s in)(
1)( ????
??
}]{[}{ ?Yy ?
49
任何弹性体系都属于无限自由度体系。常简化为有限自
由度体系，得出近似结构，以解决实际问题。
按无限自由度体系进行分析可以了解近似算法的应用范围和
精确程度。另外对某类结构（如等截面直杆）也有其方便之处。
在无限自由度体系的动力计算中，各质点的动力位移（内
力）将是截面位置坐标 x、时间 t两个独立变量的函数。其运动
方程是偏微分方程。
?挠曲线微分方程
qyEIMyEI ?????????
?自由振动时梁上荷载只有惯性力：
2
2
t
ymq
?
???
)7717(.,,,,,02
2
4
4
????+?? t ymx yEI
?等截面梁弯曲时的自
由振动微分方程即为：
?设
)()(),( tTxYtxy ??曲线形状 位移幅值随时间的变换规律
振动曲线的形状不变，只是幅度在变。 或：
=ω2
0)()()()( ?+???? tTxYmtTxYEI
..
)(
)(
)(
)(
tT
tT
xYm
xYEI ??????
..
§ 17-8 无限自由度体系的自由振动
50
)(0)()(
)(0)()(
4
2
bxYxY
atTtT
??????
?+
?
?
..
m
EI
EI
m
2
4
2
,
??
?
?
?
?
或
?（ a）式的通解, )s i n (c o ssin)(
21 ???? +?+? tatCtCtT
的解为：
)s i n ()(),( ?? +? txYtxy 振福 频率
?为了求的频率和振
幅，研究（ d）的解。 xCxCxshCxchCxY ???? s i nc o s)( 4321 +++?
?由边界条件写出含 C1～ C4 的四个奇次方程。为了求得非零解，
要求方程的系数行列式为零。得到确定 λ的特征方程，求出 λ,再
求频率 ωn（ n=1,2,……）,对于每一个频率，可求出 C1～ C4的
一组比值，得到相应的主振型 Yn（ x）,是微分方程（ 17-77）的一
个特解。全解为各特解的线性组合：
)s i n ()(),(
1
nnn
n
n txYatxy ?? +??
?
?其中待定常数 a
n和 αn应由初始条件确定 。
=ω2
)(
)(
)(
)(
tT
tT
xYm
xYEI ??????
..
)7717(.,,,,,02
2
4
4
????+?? t ymx yEI
51
例 17-11试求等截面简支梁的自振频率和主振型。
l
mEI
y
x
?左端 x=0 弯矩 =0，位移 =0
,0)0(,0)0( ??MY
C1+C3=0
C1－ C3=0 C1=C3=0
xCxCxshCxchCxY ???? s i nc o s)( 4321 +++?
xCxshCxY ?? s i n)( 42 +?
解：
?左端 x=l 弯矩 =0，位移 =0
0s i n,0)( 42 ?+? lClshClY ??
0sin,0)( 42 ????? lClshClY ??
0s i ns i n ?? llsh llsh ?? ??
系数行列
式等于零
0s i n ?? xxsh ??即：
0)(00 ????? xYlsh ??如：
),2,1(0s i n ??????? nlnl n ???于是特征方程为：
m
EI2?? ?代入：
,.,, )2,1(
s i n)(
,.,, )2,1(
4
2
22
?
?
?
?
n
l
xn
CxY
n
m
EI
l
n
n
n
?
?
?
相应振形：
,0)0(,0)0( ??? ?YY
52
1、能量法求第一频率 ——Rayleigh法
根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动
体系在任何时刻的动能 T 和应变能 V 之和应等于常数。
※ 此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位
置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变
能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度
为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：
Vmax=Tmax ω※ 求 V
max, Tmax
?+???
ll
dxxYxmtdxvxmV
0
222
0
2 )()()(c o s
2
1)(
2
1 ?????
l
dxxYxmV
0
22
m a x )()(2
1 ?
? ??+?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ll
dxxYEItdx
x
y
EIU
0
22
0
2
2
2
)]([)(s i n
2
1
2
1
??
? ???
l dxxYEIU
0
2
m a x )]([2
1
※ 求频率
? ?+
? ???
l
ii
l
YmdxxYm
dxxYEI
0
22
0
2
2
)]([
)]([?
如梁上还有中质量 mi yi实集中质量 mi处的位移幅值
位移幅值
)co s ()()s i n ()(),( ????? +??+? txYyvtxYtxy设：
.
§ 17-9 近似法求自振频率
53
※ 设位移幅值函数 Y(x)必须注意以下几点：
1、必须满足运动边界条件,
（铰支端,Y=0；固定端,Y=0,Y′=0）
尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。
2、所设位移幅值函数应与实际振形形状大致接近；如正好与第
n 主振型相似，则可求的 ωn的准确解。但主振型通常是未知
的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于
假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh
法主要用于求 ω1的近似解。
3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现
的变形形式。曲率小，拐点少。
3、通常可取结构在某个静荷载 q（ x） （如自重）作用下的弹
性曲线作为 Y（ x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷
载 q（ x）所作的功来代替，即
?? l dxxYxqU 0 )()(21 ?+?
??
2
0
2
02
)]([
)()(
ii
l
l
YmdxxYm
dxxYxq
?
54
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
?
2）假设均布荷载 q作用下的挠度曲线作为 Y(x).
)2(24)( 323 xlxlxEIqxY +??
( ) 963031224
52
0
2
02 120
)(
)(
lm
EIlq
dxxYm
dxxqY
EI
ql
l
?
?
???
m
EI
l 2
87.9??
例 17-12 试求等截面简支梁的第一频率。
1）假设位移形状函数为抛物线，
)()( xlxxY ??
l
mEI
y
x满足边条且与
第一振型相近
30/
2
52
2
lm
E I l
?
? ?
4
2 1 2 0
lm
E I l??
m
EI
l 2
95.10??
3）假设,
l
xaxY ?s i n)( ?
m
EI
lm
EI
llm
EI
lam
l
E I a
22
2
4
4
2
22 8 6 9 6.9,
2
3
24
???? ????
?
第一振型的精确解。
精
确
解
55
x h
0
l
例 17-13 求楔形悬臂梁的自振频率。
设梁截面宽度为，高度 h=h0x/l。
解：
,
,
12
1
0
3
0
l
xh
m
l
xh
I
??
?
?
?
?
?
?
?
单位长度得质量
设位移形状函数
2)1()(
l
xaxY ?? 满足,0)(,0)( ??? lYlY
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
? ????
E
l
h
l
Eh
2
0
4
2
02 581.1,
2
5 ???
误差为相比与精确解,5 3 4.1 2 0 ?? E
l
h?
3%
Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是
假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁按照这种假设
的形状振动，这就相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，
致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加
的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。
56
1、假设多个近似振型
n??? ???21,
都满足前述两个条件。
2、将它们线性组合
是待定常数）n
nn
aaa
aaaxY
???
+???++?
21
2211
,(
)( ???
3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的
Y（ x）代入（ 17-85）得到的 ω2 的值虽仍比精确解偏高，但对
所有的 a1,a2,…, an的可能组合，确实获得了最小的 ω2值。
当所选的 a1,a2,…, an使 ω2 获得最小的值的条件是
),,2,1(,0
2
nia
i
??????? ?
这是以 a1,a2,…, an为未知量的 n个奇次线性代数方程。零其
系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶
频率来。阶次越低往往越准。
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假
设振型对体系所附加的约束,Ritz提出的改进方法：
57
?
? ???
l
l
dxxYm
dxxYEI
0
2
0
2
2
)]([
)]([
?
?
?
?+???++?
n
i
iinn aaaaxY
1
2211)( ???? ? ?????
?
n
i
iiaxY
1
)( ?
????,0
2
ia
?
0)]([
)]([
)]([
)]([ 0 2
0
2
0
2
0
2 ?? ?
?
??
?
? ???
? ???
? l
i
l
l
l
i
dxxYm
adxxYm
dxxYEI
dxxYEI
a
2?
0)]([)]([)]([)]([ 0 20 20 20 2 ?? ????????? ? ???? l
i
lll
i
dxxYmadxxYEIdxxYmdxxYEIa
00
1 1
2
0
1 1
??? ?
?
??
? ????? ??
?
? ?? ?
l
ji
n
i
n
j
ji
i
l
ji
n
i
n
j
ji
i
dxmaa
a
dxEIaa
a
?????
??? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk 00,????
0
1 1
2
1 1
?? ?
?
??? ?
?
?
? ?? ?
ij
n
i
n
j
ji
i
ij
n
i
n
j
ji
i
maa
a
kaa
a
?
.,,0][][
}0{}] ) {[]([
),2,1(0)(
22
2
2
1
2
2
2
1
n
jijij
n
j
mk
amk
niamk
????
?
?
??????
??
???????
?
可求出特征方程：
或写成矩阵形式：
0)]([0 22 ??
?
?? l
i
dxxYm
a
?
0
1 1
2
1 1
?????? ? ?? ?
? ?? ?
ij
n
i
n
j
ji
i
ij
n
i
n
j
ji
i
maaakaaa ?
58
例 17-14 用 Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：悬臂梁的位移边界条件为：
（在左端）00 ??? YY
32212211 xaxaaaY +?+? ??设：
?只取第一项 2
121 ???? ?? x
代入：
)94,9317(,00 ???? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk ????
5
,4
5
1111
lmmE I lk ??代入频
率方程,)9817(0][][ 2 ??? mk ?
m
EI
llm
EIlmE I l
214
2
5
2 1472.4,200
5
4 ????? ???
其精确解,
m
EI
l 21
5 1 6.3?? 与精确解相比,误差为 27%。
59
例 17-14 用 Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。
x l
EIm
解：
32212211 xaxaaaY +?+? ??
?取两项
xxx 6;2 232121 ???????? ????
代入：
)94,9317(,00 ???? ????? l jiijl jiij dxmmdxEIk ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
76
65][,
126
64
][
76
65
32
2
lmlm
lmlm
m
E I lE I l
E I lE I l
k
代入频率方程：
求得 kij,mij：
0
12
7
6
6
6
6
4
5
4242
4242
?
??
??
EI
lm
EI
lm
EI
lm
EI
lm
??
??
求得最
初两个
频率近
似值：
m
EI
l
m
EI
l
21
21
81.34
533.3
?
?
?
?
（ 0.48%）
（ 58%）
说明
m
EI
l
m
EI
l
22
21
03.22
516.3
?
?
?
?精确解：
说明,1)由于 φ 1φ 2均近似于第一振型由它们组合的第二振型
自然很差，故第二频率不准。
2)Rayleigh— Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞
利法。
60
2、集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用
若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法
有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。
等效原则是,使集中后的重力与原来的重力互为静力等效，
即两者的合力相等。
作法,将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于
两端。 该法即可求基频，也可求较高频率。使用各类结构。
集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。
61
l
m
m
EI
lm
EI
l
m
EI
l
2322
21
83.88
,
84.39
,
87.9
:
??
?
??
?精确解
例 17-15
2
lm
l/3 l/3
4
lm
4
lm
,80.9,21 mEI
l
??解得
(－ 0.7%）
l/3 l/3 l/3 l/3
4
lm 8lm
4
lm
4
lm
8
lm
3
lm
l/3 l/3 l/3
6
lm
6
lm
3
lm
m
EI
l
m
EI
l
21
21
2.38
,
86.9
:
?
?
?
?解得
(－ 0.1%）
(－ 3.1%）
m
EI
l
m
EI
l
m
EI
l
23
22
21
6.84
2.39
,
8 6 5.9
:
?
?
?
?
?
?解得
(－ 0.05%）
(－ 4.8%）
(－ 0.7%）
62
对于对称刚架，可分别用
不同的集中质量方案求出对
称振动和反对称振动的自振
频率。
2l
l
m5.1
m m
2l
l
2lm
4lm
lm5.1lm lm
2lm
4lm
2lm
lm2 lm2
2lm
1?求
lm2
最小频率对应
着反对称振型
lm75.0
2lm
63
例 6,测图示刚架动力特性。加力 20kN时顶部侧移 2cm，振动一周
T=1.4s后，回摆 1.6cm，求系统的阻尼比 ξ、大梁的重量 W及
6周后的振幅。
k
2
k
2
W=mg
?
解,(1)求 W：
kNgkW 6.4 8 69 8 12200 4 9 6.02 4.1
2
???????????? ?
由
skgWT 4.122 ??? ???
(2)求 ω sT 148.42 ?? ??
(3)求 ξ,0 3 5 5.0
6.1
2ln
2
1 ??
??
????? ???? 212 )9 9 9.0(1r
(4)6周后的振幅
T
Tt
t
ee eyy ????
??
?? +?
?
)(
1
0
0
0
6
1
06
)6(
6
0
0
0
???
?
???
????
+?
?
y
ye
e
e
y
y T
Tt
t
??
??
??
cmy 5 2 4.022 6.1
6
6 ????
??
?
??
64
0.5a
例, 试求图示梁的自振频率
和主振型，梁的 EI已知。
1 2
a a a
m m
解,(1)计算频率
1 a
1M
2M
EI
a
EI
a
EI
a
6,4,
3
22
3
2112
3
11 ????? ????
3231 203.3967.0 ma
EI
ma
EI ?? ??
(2)振型
61.3
1
277.0
1
22
12
21
11 ???
Y
Y
Y
Y
1
0.277
1
3.61
第一振型 第二振型
1
65
例题：计算图示框架结构的自振频率和振型。假设横梁刚度为
无限大，已知 EI1=EI2=EI3/16。
m
EI2
l
l
2m
EI2
EI1EI1
EI3
解：左两柱层间侧移刚度系数：
,24122,24122 3 13 223 13 11 kl EIlEIkkl EIl EIk ????????
右柱层间侧移刚度系数：
kl EIl EIlEIk ????? 3 13 13 33 2481612)2(12
kkkkkkkkkkk 2,,2 322221122111 ?+?????+?
0
2
2
2221
121
2
11 ?
?
??
mkk
kmkD
?
? 0
22
2
2
2
?
??
??
mkk
kmk
?
? 0362 2242 ?+? kkmm ??
m
k
m
k 61803.2
2
332
2 ?
+??
m
k
m
k 38197.
2
332
1
???
3
1
3
1
5 3 5 6.7
9 0 0 6.3
2
1
ml
EI
ml
EI
?
?
?
?
366.0
1
1
2
211
12
22
12 ??
?
??
mk
k
Y
Y
?
3 6 6.1
1
1
2
111
12
21
11 ?
?
??
mk
k
Y
Y
?
0000088.0
)366.0()366.1(2)1()1(
2221212111
???
??+???
+
m
mm
YYmYYm
验算正交性
66
