?虚功及虚功原理理
?结构位移计算的一般公式
?图 乘 法 及 举 例
?温度改变产生的位移计算
?支座移动产生的位移计算
?线弹性体 互等定理
§ 8·1 结构位移计算概述
a）验算结构的刚度；
b）为超静定结构的内力分析 打基础；
c）建筑起拱。
M Q N
κγε
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t
+t
不产生内力，
产生变形产生位移
b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
不产生内力和变形
产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 l
D=bxd
wd=k
2
2
β
Δ
但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
a）荷载作用；
2,产生位移的原因主要有三种, ?
计算位移时，常假定,1） ζ=Eε； 2） 小变形； 3）具有理想
约束的体系。即,线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移
可用叠加原理。
1、计算位移有三个目的：
§ 8·2虚功原理
一、实功与虚功
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如
T11,T22。 实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。
如 T12，如力与位移同向，虚功为正，如
力与位移反向，虚功为负
P1 P2Δ
11
Δ22Δ
12
荷载由零增大到 P1，其作用点的位移也由
零增大到 Δ11，对线弹性体系 P与 Δ成正比。
Δ
P
Δ11
P1
元功 dT=P·dΔ
T11=∫dT=SΔOAB
=1/2P1·Δ11
再加 P2,P2在自身引起的位移 Δ22上作的功
T22=1/2P2·Δ22
在 Δ12过程中,P1的值不变,T12=P1Δ12 Δ12与 P1无关
dT
O A
B
ΔKj
位移发生的位置
产生位移的原因
二、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；
与位有关的因素，称为广义位移 Δ。广义力与广义位移的关系是：
它们的乘积是虚功。即,T=SΔ
1）广义力是单个力 P，则广义位移是该力的作用点的全位移在
力的方向上的分量。
P
Δm β
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角 β。
3）若广义力是等值、反向的一对力 P
P P
t
tA B
ΔBΔA
T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ
这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两点间距的改变，即 AB两
点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
A B
Δ
m m
?A ?B
T=m?A+m?B =m（ ? A+ ?B） =mΔ
这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两截面的相对转角。
刚体虚功原理
静力分析的方法 基本方法：选分离体，列平衡方程。虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。
1、虚功原理
设在具有 理想约束 的 刚体体系 上作用任意的平衡力系,又设
体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移,则主动力在位移上
所作的 虚功 总和恒为零。
是指约束反力在可能位移
上所作虚功恒等于零的约束
作功的双方（平衡力系、
可能位移）彼此独立无关
虚功原理的应用 1）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚力原理）
a b
A C B
1）需设位移求未知力（虚位移原理）
PX求杠杆在图示位置平衡时 X的值。
ΔP
ΔX
X ΔX － PΔP=0
（ X－ P）
X
P
D
D
δP
1
δX =1,δP=b/a
PabPX P == dPX P =-? d 01
刚体内力在可能的位
移上所作虚功恒为零
1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡
方程。如（ c）式就是力矩平衡方程 ∑ MC＝ 0
2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方
便，可以随意虚设，如设 δX=1 。
3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解
静力平衡问题。
ΔX=0=0 （ c）
PabX =a
b
?
例 6-3 各段杆长为 a，求该机构在图示位置平衡时,P与 X的关系 。
Δ P
Δx
b
y
P
Xθ
1、虚设位移，建立位移之间的关系
,
Pctgq23=
PX PX 0=D-D
qdaP qcos3=D
q,daX qsin2=D
dady qqcos3=
dadb qq,sin2-=
ay qsin3=ab qcos2=
= PX
X
P
D
D
2、建立虚功方程，求未知力
虚功法的特点：
1、将平衡问题归结为几何问题求解；
2、直接建立荷载与未知力之间的关系，
而不需求其它未知力。
动画演示 T1
?
b
y
P
Xθ
b
y
P
θ
2、应用虚功原理求静定结构的约束力
?
作出机构可能发生的刚体虚
位移图；
2、应用虚功原理求静定结构的某一约束力 X的方法：
1）撤除与 X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度
的机构,使原来的约束力 X变成主动力。
2）沿 X方向虚设单位虚位移。
利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。
3）建立虚功方程，求未知力。
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
δX=1
1.5
0.75
YC
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2
虚功方程为,
YC× 1
0.75/a
+qa× 0.75 － qa2× 0.75/a － q× 1.5× 3a/2＝ 0
YC=2.25qa
?
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 QC
QC
1
0.50.25
虚功方程为,
QC× 1
0.25/a
+qa× 0.25 － qa2× 0.25/a － q× (1× 2a/2+0.5 × a/2 )＝ 0
QC=1.25qa ?
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2
0.5a0.25a
虚功方程为,
MA× 1
0.25
MA
1
a
(上拉 )
+qa× 0.25a － qa2× 0.25 +q× (a× 2a/2 － 0.5a × a/2
MA= － 0.75qa2
)＝ 0
?
?
3、应用虚功原理求静定结构的位移
b a
c
Δ
P=1
b
aPR
A =
建立虚功方程,PΔ+Rac=0 c
b
ac
b
aPP -=D?=?D 0 （ ↑）
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。
2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，
可以随意虚设，如设 P=1。
3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何
问题。
刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，
对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓T12 ＝ 0
三、刚体虚功原理
1
2
四、变形体系的虚功原理,状态 1是
满足平衡条件的力状态，状态 2是
满足变形连续条件的位移状态，状
态 1的外力在状态 2的位移上作的外
虚功等于状态 1的各微段的内力在
状态 2各微段的变形上作的内虚功
之和 变
12V 即,T12= 变
12V
证明
N1 N1+dN
Q1 Q1+dQ
↓↓↓↓M1 M1+dM
ds
ds
ds ε2ds
d?2=κ2ds
微段的变形可分为 ε2ds,γ2ds,κ2ds
???? ??== dsMdsQdsN1dVV 212121212 kge变变
变
12dV =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds
??? ?? dsMdsQdsN1 21212 kgeT12=
? ? ? ??? ??= dsMdsQdsNT 21212112 kge
≠
γ2ds
例：图 a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常
曲率的弯 曲 变形且 B点无线位移。现已知横梁的曲率为 κBC=
0.001m-1。 试应用虚功原理求立柱 AB的曲率 κAB。
8m
5m
A
B C
θA
θB
θB θC
M=1
M=1
虚设力系
解,虚功方程为：
10016.0
5
8 -== m
BCAB kk
15180 ××-××= ABBC kk
11 =×-× ? ? dxMAC kqq
θA=θB=θC
§ 8·3 单位荷载法
位移计算的一般公式
? ? ? ??? ??= dsMdsQdsNT 21212112 kge P1
P2t
1
t2
Ε2γ2κ2
位移状态 2
c1
c2
K
K‘
ΔKH
P=1
MQN
虚拟力状态 1
2R 1
R
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向
加上相应的广义单位力 P=1.
? ??( )??=?D× iiKH dsMQNcR 2221 kge
( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10)
(8–10)式是结构位移计算的一般公式,
注,1) 适用于静定结构和超静定结构 ;
2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的 ;
3) 产生位移的原因可以是各种因素 ;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变
形和轴向变形对位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积,当力与变形的
方向一致时,乘积取正。
荷载作用下的位移计算
( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10) ↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑
NP QP MP
EI
M
GA
kQ
EA
N
P
P
P
=
=
=
2
2
2
k
g
e
真实位
移状态
?? ??=D dsGAQQkds ?? dsEIMM PP?? EANN Pkp （ 8–15）
注,（ 1） EI,EA,GA是杆件截面度；
k是截面形状系数 k矩 =1.2,k圆 =10/9。
（ 2） NP,QP,MP实际荷载引起的内力，
是产生位移的原因；虚设单位荷载
引起的内力是 MQN,,
?? dsEIMM P
（ 5）桁架 Δ= ?? EANN P ds = ? lEANN P
（ 6）桁梁混合结构 ? ? ?? lEANNdsEIMM PP
用于梁式杆
用于桁架杆
（ 7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中
计算水平位移 时才考虑轴向
变形对位移的影响，即 ?? dsEI
MM P ??
EA
NN P+Δ=
（ 3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。
（ 4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 Δ=
Δ=
（ 8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系
（ 9）虚拟力状态,在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应
的广义单位荷载。
P=1 m=1
m=1m=1
P=1
P=1
l
1/l
1/l
A
B 求 A点的水平位移 求 A截面
的转角
求 AB两截面
的相对转角
求 AB两点
的相对位移 求 AB两点
连线的转角
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
例 8-4（ P148） 图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。
求 C的竖向位移。
柱
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q解,1)将 q化为
结点荷载 P=ql/4
4.5P 3.0P
2)求 N
3)求 NP
P
P
P
P/2P/2
0.287l 0.25l0.222l 0.25l
A
D
C
E G B
F l/12
l/12
2P 2P
§ 8·4 荷载作用下的位移计算举例
A
D
C
E G B
F
1
1/2 1/2
1.50 1.50
0 0
2)求 N
4)求 ΔC
?=D EA lNN PC
材料 杆件 NP AlN EAlNN P
钢筋
混凝土
钢筋
AD
CD
DE
CE
AE
EG
－ 1.58
－ 1.5
0
0
1.50
1.50
－ 4.74P
－ 4.42P
4.50P
3.00P
0.263l
0.263l
0.088l
0.278l
0.278l
0.222l
Ab
Ab
0.75Ab
Ag
3Ag
2Ag
1.97Pl/AbEb
1.84Pl/AbEb
0
0
0.63Pl/AgEg
0.5Pl/AgEg
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)·2
3)求 NP
P
P=1
例：求图示曲杆（ 1/4圆弧）顶点的竖向位移 Δ。
解,1）虚拟单位荷载
q cos=Q
qsin-=N
q sin-= RM
qcos=PQP
qsin-= PNP
qsin-= PRM P
虚拟荷载
3）位移公式为
QNM D?D?D=
PPP
GA
dsQQ
EA
dsNN
EI
dsMM ??=D ? ? ?
GA
PR
EA
PR
EI
PR ??=D
444
3 p
k pp
ds=Rdθ
θdθ
ds
钢筋混凝土结构 G≈0.4E
矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
1200
1<
D
D
M
ND
400
1<
DMQ
D
2=DM
N
AR
I
2
4
1
2 ?
??
?
?==
D
D
M
Q
R
h
GAR
EIk
可见剪切变形和轴向变
形引起的位移与弯曲变形
引起的位移相比可以忽略
不计。但对于深梁剪切变
形引起的位移不可忽略,
2）实际荷载
dGAPRdEAPREIPR ???
?
?
?
??= ? ? cossin2
0
2
0
3
q qk qq
p p2 2
h 101<R如
2
12
1
??
?
??
?=
R
h
P
l/2 l/2
EIA B
x1
x2
例：求图示等截面梁 B端转角。
解,1）虚拟单位荷载
m=1
MP（ x1） =Px/2 0≤x1≤l/2
MP（ x2） =P（ l－ x） /2
l/2 ≤x2≤l
l－ x (x)M = 0≤x≤l
EI
Pl
16
2
=－
EI
dxxlP
l
xdx
EI
Px
l
x l
l
l
2
)(
2 2
2
0
-－=－ ??
EI
dsMMl P
B 0=??
积分常可用图形相乘来代替
2） MP须分段写
? ki dsEIMM ??= kiCEI dxMMEI1
?? ?==D P EIydxEIMM 0w
= yEI 01 w×= xtgEI 01 wa
?= BA k dxxMtgEI1 a?? BA kM dxxtgMEIi 1 a是直线
?? ki dxEIMM直杆
α Mi
Mi=xtgα
y
x
Mk
dxx
y0
x0
ω
注, ① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件,a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标 y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
y0=x0tgα
§ 8·5 图乘法 位移计算举例
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
(a+l)/3 (b+l)/3
ω=hl/2
l
a b
h l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
h
3l/4 l/4 5l/8 3l/8
二次抛物线 ω=hl/3 二次抛物线 ω=2hl/3
4l/5 l/5
h
h
三次抛物线 ω=hl/4
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
h
n次抛物线 ω=hl/(n+1)
顶点
顶点 顶点
顶点
顶点
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或
P
l/2 l/2
EIA B
m=1
1/2
Pl/4
EI
PllPl
EIB 162
1
42
11 2-=?-=?
ql2/2
M
MP
MP
P=1l
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A B
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
例,求梁 B段转角。 例,求梁 B点竖向位移。
3l/4
M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P P
a a a
例：求图示梁中点的挠度。
PaPa
MP
P=1
3a/4 M
EI
Pa
Pa
aaaPa
EI
aa
24
23
2
22
2
23
2
2
1
3
4
3
2
=
?
?
?
???
?
???
?
?
? ?
=D
a/2 a/2
PaaaEI ??=D 343211
P
l/2 l/2C
例：求图示梁 C点的挠度。
MP
Pl
C
P=1 l/2
M
l/6
l
6 EI
Pl
12
3
=Pl
EIC 2
1 2=D
EI
Pl
48
5 3=
Pl
6
5×
?
?ll
EI
y
C 222
10 ?
?
? ××==D w
5Pl/6？
？
图乘法 位移计算举例
?? ?==D P EIydxEIMM 0w
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：
③竖标 y0
④ 面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
h
3l/4 l/4
二次抛物线 ω=hl/3
顶点
l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
顶点
a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
⑦ 非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
a b
dc
l/3 l/3 l/3
ω1
ω1
y1 y2
( )bcadbdacl ???= 22
6
?
?
dc?
?
? ?
3
2
3
bl?
2
dc
?
??
?
? ?
33
2al=
2
? yydxMM ki ?= 2211 ww
Mi
Mk
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线
同侧乘积取正，否则取负。
S = 9/6× （ 2× 6× 2 +2 × 4× 3
+6 × 3+4× 2） =111
（ 1）
3
2
6 4
9
S = 9/6× （－ 2× 6× 2+2× 0× 3
+6× 3－ 0× 2） = － 9
S=9/6× （ 2× 6× 2－ 2× 4× 3+6× 3－ 4× 2） =15
S = 9/6× （ 2× 6× 2+2× 4× 3－ 6× 3－ 4× 2） = 33
2
3
6
4（ 3）
9
（ 2）
32
6
4
9
（ 4）
2
3
6
9
＝
l
a b
dc
h
+ba
h
23
2 dchl ?( )22
6 bcadbdaclS ????=
b)非标准抛物线成直线形
例 8-8 （ P156）预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。
已知：板宽 1m，厚 2.5cm,混凝土容重为 25000N/m3,求 C点的挠度。
解,q=25000× 1× 0.025＝ 625N/m
I=1/12 × 100× 2.53cm4=1.3 × 10-6m4
E=3.3 × 1010N/m2
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
举例
2.2m 0.8mA B C
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
200
378
P=10.8
MP
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
2.2m 0.8m
A B C
ω1
y1
ω3
6.08.0433 =?=y
4.08.0212 -=?=y
533.08.0321 =?=y
( )85.0 1 332211 ??=D yyyEI www
3.538.0200313 =?=w
5552.2378322 =??=w
2202.2200211 =??=w
( ) cmm 2.01026.03.534.05 5 55 3 3.02 2 06 4 6 5.3 1 3 -=?-=???-?= -
y3
ω2
y2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑q
l
l
ql2/2
ql2/8
ql
ql/2
ql/2
MP
P=1
1
1
lω1 y1
ω2
y2
ω2 y3
B
M
23 =
ly
3
2
21 == yly
1283
2 32
3 ==
qllqlw
422
1
2
32
1 ===
qllql ww
8
3
2123
2
43
2
4
1 4222 =
?
?
???
? ??=
EI
qllqllqllql
EI
( )1 332211 ??=D M yyyEI www
1=N
0=NNP=0
900
1
93
4
3
4
8
3
2 1012
2
2
12
2
42 3
=====DD
=
l
h
bh
M
N
l
h
bhlAl
I
EI
ql
EA
ql
212
2
=××==D ? PN EAqlEAlqlEA lNN
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
6kN
6m
3m
3m
A
B
求 AB两点的相对水平位移。
36
18
9
MP P=1
P=1
6 3
M
)
( )??=
EI
-756
?
?×××? 3
3
2
2
318?
?
?
××××-?
EI 64
3636
3
11
?
??
×××-
2
6396
3
2(?
?
?
×?×-××?××-=D
EI 618336318263626
61
EI=常数
99
( ) 2718318185.4463666 ?-=????-?-
Sinpson法 ( )
( ) 有关误差与 ?4
210
02 4
6
2
0
y
yyy
xx
y d xS
x
x
??
-
?= ?
P=1
MP
ql2/2
l
l/2
A
B2EI EI
l/2
M
求 B点的竖向位移。
EI
ql
256
17 4=lllql
EI 2
5.0
2323
2
2
1 2 ??-
lqllqllqllqllEI 8222822265.021
2222
??
???
??
? ??
lql
EI
l
B 4
3
283
11 22 ??=D
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
ylqlEIB 2833121 0
2
??=D ?
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？
ql2/8
l/2？
ql2/32
y0
dxMMEI l P?? 0
2
1dxMM
EIEI
l
P??
?
???
? -=
021
11 1
dxEIMMdxEIMM l Pl P ?? ＋ 0
20 2
11
dxEIMMdxEIMM ll Pl PVB ?? ?=D
20 1 1
1
上式中的两项积分都是标准图形相乘。
如 l1=l/2,EI2=2EI1,则
1
3
256
17
EI
ql=
2
1 4
3
23
1
2
1 llql
EI
??
2
11 24
3
283
1
2
11 llql
EIEI
V
B ???
?
???
? -=D
MP
M
P=1
x
l1
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qA
BEI
2 EI1
ql2/2
l
ql2/8
l/2
－
1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t1
t2
t0 h h1
h2
t0=（ h1t2+h2t1） /h
Δ t=t2-t1
3）微段的变形
ds
dθ
at0ds
k=d?/ds =a（ t2-t1） ds/hds
= a?t/h
?=0 ( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10)
?? D±?it= MN h tt wawa 0
? ? ? ?D±= dsMh tdsNt aa 0
???? D±=Dit dsh tMdstN aa 0
该公式仅适用于静定结构
e=at0
at1ds
at2ds
直观确定。取绝对值计算，正负号
、升温为正；拉为正,MttN wD0
§ 8·6 温度改变而产生的位移计算
例 8-11求图示刚架 C点的竖向位移。各杆截面为矩形。
a
a
0?
?10?
?10?
C P=1 P=1
－ 1
a
M
N
1001052 0100 =-=D=?= tt
）（ aahth t NMc -?-=?D=D ? ? aawawa 52310
2
?????? ?-= haa 315a
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以 e=0,k=0
g=0。代入 ( ) ??? -??=D
iicRdsMQN 222 kge
(8–10)
得到,? ?-=D
KKic cR
仅用于静定结构
a
bl/2 l/2
h 1 1
0=AY
1=
B hX
0=BY=
1
A hX
( )弧度hacR -=-=D ?
§ 8·7 支座移动而产生的位移计算
应用条件,1)应力与应变成正比 ;
2)变形是微小的。
即,线性变形体系。
P1 P2 ①
F1 F2 ②
N1 M1 Q1
GA
kQ
EI
M
EA
N 2
022222 === gke
GA
kQ
EI
M
EA
N 1
011111 === gke
N2 M2 Q21、功的互等定理
?? ????? ?? dsGAQkQEIMMEANN 121212? =D= FW 1221
?? ????? ??= dsGAQkQEIMMEANN 212121? D= PW 2112
功的互等定理,在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②
的位移上作的功 W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功 W21。
即,W12= W21
§ 8·8互等定理
2、位移互等定理
P1 ①
P2 ②
（ 8-30） 位移互等定理：（ P166）
在任一线性变形体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应
的位移影响系数 δ21 等于由荷载 P2所引起的与荷载 P1相应的位移影
响系数 δ12 。或者说,由单位荷载 P1=1所引起的与荷载 P2相应的位移
δ21等于由单位荷载 P2=1所引起的与荷载 P1相应的位移 δ12 。
?21
?12
2112 dd =
j
ij
ij Pd
D=
PP
D=D
1
21
2
12
PP D=D 212121
称为位移影响系数，等于 Pj=1所引起的与 Pi相应的位移。
注意,1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。
2） δ12与 δ21不仅数值相等,量纲也相同。
3、反力互等定理 c 1
c 2
R11 R21
R22R12
j
ij
ij c
Rr =
c
R
c
R =
2
12
1
21
RcR ×?×= 22112 0
cRR ×?× 22111 0
称为反力影响系数，等于 cj=1所引起的与 ci相应的反力。
r12=r21 （ 8-31） 反力互等定理：（ P167）
在任一线性变形体系中，由位移 c1所引起的与位移 c2相应
的反力影响系数 r21 等于由位移 c2所引起的与位移 c1相应的反力影
响系数 r12 。或者说,由单位位移 c1=1所引起的与位移 c2相应的反力
r21等于由单位位移 c2=1所引起的与位移 c1相应的反力 r12 。
注意,1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。
2）反力互等定理仅用与超静定结构。
P
l/2 l/2
3Pl/16
C
A
①
θ
ΔC
②
例：已知图①结构的弯矩图
求同一结构②由于支座 A的转动
引起地 C点的挠度。
解,W12=W21
∵ T21=0
∴ W12=PΔC－ 3Pl/16× θ＝ 0
ΔC=3lθ /16
例：图示同一结构的两种状态，
求 Δ=？
P=1 ①
②m=1 m=1
A B
Δ=θA+ θB
θBθA
Δ
已知图 a梁支座 C上升 0.02m引起的 ΔD=0.03m/16,试绘图 b的 M图,
P
Rc
(b)
aa/2a/2
A B
C
D
ΔD
0.02m
(a)
Wab=0= Wba=P·ΔD+RC· ΔC
RC=－ 3P/32
3Pa/32
小结,
一、虚功原理 We=Wi
力,满足平衡
位移,变形连续
虚设位移 虚位移原理（求未知力）
虚功方程等价于平衡条件
虚力原理（求未知位移）
虚功方程等价于位移条件
虚设力系
? ? ?? lEANNdsEIMM PP ? ?- KK cR二,Δ=
刚架、梁 桁架 支座移动
组合结构、拱
?各项含义
?虚设广义单位荷载的方法
三、图乘法求位移 ?? ?==D P EIydxEIMM 0w
?图乘法求位移的适用条件
?y0的取法
?标准图形的面积和形心位置
?非标准图形乘直线形的处理方法
四、互等定理
?适用条件
?内容 W12= W21
2112 dd =
r12=r21
ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
lEI B
求 B点竖向位移
1
EI
qllqllllql
EIBV 24
11
283
2
3
2
2
3
2
11 422 =
??
?-
??
?=D
ql2/8
3ql2/2
MP
l M
4kN 4kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m
4m4m EI
A B求 θB
5kN
12
8
4
4
MP kN.m
1M kN.m
( ) EI3401475.06485.064 -=?
?
?????-?-?
( )EIB 5.012285.0641 ?
?
? ????-=q
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV 3
2804
3
485
3
553131 =
??
?
??
? ????=D
?结构位移计算的一般公式
?图 乘 法 及 举 例
?温度改变产生的位移计算
?支座移动产生的位移计算
?线弹性体 互等定理
§ 8·1 结构位移计算概述
a）验算结构的刚度；
b）为超静定结构的内力分析 打基础；
c）建筑起拱。
M Q N
κγε
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t
+t
不产生内力，
产生变形产生位移
b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
不产生内力和变形
产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求，如 l
D=bxd
wd=k
2
2
β
Δ
但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
a）荷载作用；
2,产生位移的原因主要有三种, ?
计算位移时，常假定,1） ζ=Eε； 2） 小变形； 3）具有理想
约束的体系。即,线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移
可用叠加原理。
1、计算位移有三个目的：
§ 8·2虚功原理
一、实功与虚功
实功是力在自身引起的位移上所作的功。如
T11,T22。 实功恒为正。
虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。
如 T12，如力与位移同向，虚功为正，如
力与位移反向，虚功为负
P1 P2Δ
11
Δ22Δ
12
荷载由零增大到 P1，其作用点的位移也由
零增大到 Δ11，对线弹性体系 P与 Δ成正比。
Δ
P
Δ11
P1
元功 dT=P·dΔ
T11=∫dT=SΔOAB
=1/2P1·Δ11
再加 P2,P2在自身引起的位移 Δ22上作的功
T22=1/2P2·Δ22
在 Δ12过程中,P1的值不变,T12=P1Δ12 Δ12与 P1无关
dT
O A
B
ΔKj
位移发生的位置
产生位移的原因
二、广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力 S；
与位有关的因素，称为广义位移 Δ。广义力与广义位移的关系是：
它们的乘积是虚功。即,T=SΔ
1）广义力是单个力 P，则广义位移是该力的作用点的全位移在
力的方向上的分量。
P
Δm β
2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角 β。
3）若广义力是等值、反向的一对力 P
P P
t
tA B
ΔBΔA
T=PΔA+PΔB =P（ ΔA+ΔB） =PΔ
这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两点间距的改变，即 AB两
点的相对位移。
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
A B
Δ
m m
?A ?B
T=m?A+m?B =m（ ? A+ ?B） =mΔ
这里 Δ是与广义力相应的广义位移。
表示 AB两截面的相对转角。
刚体虚功原理
静力分析的方法 基本方法：选分离体，列平衡方程。虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。
1、虚功原理
设在具有 理想约束 的 刚体体系 上作用任意的平衡力系,又设
体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移,则主动力在位移上
所作的 虚功 总和恒为零。
是指约束反力在可能位移
上所作虚功恒等于零的约束
作功的双方（平衡力系、
可能位移）彼此独立无关
虚功原理的应用 1）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚力原理）
a b
A C B
1）需设位移求未知力（虚位移原理）
PX求杠杆在图示位置平衡时 X的值。
ΔP
ΔX
X ΔX － PΔP=0
（ X－ P）
X
P
D
D
δP
1
δX =1,δP=b/a
PabPX P == dPX P =-? d 01
刚体内力在可能的位
移上所作虚功恒为零
1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡
方程。如（ c）式就是力矩平衡方程 ∑ MC＝ 0
2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方
便，可以随意虚设，如设 δX=1 。
3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解
静力平衡问题。
ΔX=0=0 （ c）
PabX =a
b
?
例 6-3 各段杆长为 a，求该机构在图示位置平衡时,P与 X的关系 。
Δ P
Δx
b
y
P
Xθ
1、虚设位移，建立位移之间的关系
,
Pctgq23=
PX PX 0=D-D
qdaP qcos3=D
q,daX qsin2=D
dady qqcos3=
dadb qq,sin2-=
ay qsin3=ab qcos2=
= PX
X
P
D
D
2、建立虚功方程，求未知力
虚功法的特点：
1、将平衡问题归结为几何问题求解；
2、直接建立荷载与未知力之间的关系，
而不需求其它未知力。
动画演示 T1
?
b
y
P
Xθ
b
y
P
θ
2、应用虚功原理求静定结构的约束力
?
作出机构可能发生的刚体虚
位移图；
2、应用虚功原理求静定结构的某一约束力 X的方法：
1）撤除与 X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度
的机构,使原来的约束力 X变成主动力。
2）沿 X方向虚设单位虚位移。
利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。
3）建立虚功方程，求未知力。
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
δX=1
1.5
0.75
YC
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2
虚功方程为,
YC× 1
0.75/a
+qa× 0.75 － qa2× 0.75/a － q× 1.5× 3a/2＝ 0
YC=2.25qa
?
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 QC
QC
1
0.50.25
虚功方程为,
QC× 1
0.25/a
+qa× 0.25 － qa2× 0.25/a － q× (1× 2a/2+0.5 × a/2 )＝ 0
QC=1.25qa ?
a 2a a 2a a
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2 q
F E D C B A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa qa2
0.5a0.25a
虚功方程为,
MA× 1
0.25
MA
1
a
(上拉 )
+qa× 0.25a － qa2× 0.25 +q× (a× 2a/2 － 0.5a × a/2
MA= － 0.75qa2
)＝ 0
?
?
3、应用虚功原理求静定结构的位移
b a
c
Δ
P=1
b
aPR
A =
建立虚功方程,PΔ+Rac=0 c
b
ac
b
aPP -=D?=?D 0 （ ↑）
1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。
2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便，
可以随意虚设，如设 P=1。
3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何
问题。
刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，
对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓T12 ＝ 0
三、刚体虚功原理
1
2
四、变形体系的虚功原理,状态 1是
满足平衡条件的力状态，状态 2是
满足变形连续条件的位移状态，状
态 1的外力在状态 2的位移上作的外
虚功等于状态 1的各微段的内力在
状态 2各微段的变形上作的内虚功
之和 变
12V 即,T12= 变
12V
证明
N1 N1+dN
Q1 Q1+dQ
↓↓↓↓M1 M1+dM
ds
ds
ds ε2ds
d?2=κ2ds
微段的变形可分为 ε2ds,γ2ds,κ2ds
???? ??== dsMdsQdsN1dVV 212121212 kge变变
变
12dV =N1ε2ds+Q1γ2ds+M1κ2ds
??? ?? dsMdsQdsN1 21212 kgeT12=
? ? ? ??? ??= dsMdsQdsNT 21212112 kge
≠
γ2ds
例：图 a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常
曲率的弯 曲 变形且 B点无线位移。现已知横梁的曲率为 κBC=
0.001m-1。 试应用虚功原理求立柱 AB的曲率 κAB。
8m
5m
A
B C
θA
θB
θB θC
M=1
M=1
虚设力系
解,虚功方程为：
10016.0
5
8 -== m
BCAB kk
15180 ××-××= ABBC kk
11 =×-× ? ? dxMAC kqq
θA=θB=θC
§ 8·3 单位荷载法
位移计算的一般公式
? ? ? ??? ??= dsMdsQdsNT 21212112 kge P1
P2t
1
t2
Ε2γ2κ2
位移状态 2
c1
c2
K
K‘
ΔKH
P=1
MQN
虚拟力状态 1
2R 1
R
需首先虚拟力状态
在欲求位移处沿所求位移方向
加上相应的广义单位力 P=1.
? ??( )??=?D× iiKH dsMQNcR 2221 kge
( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10)
(8–10)式是结构位移计算的一般公式,
注,1) 适用于静定结构和超静定结构 ;
2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的 ;
3) 产生位移的原因可以是各种因素 ;
4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变
形和轴向变形对位移的影响；
5) (8–10)右边四项乘积,当力与变形的
方向一致时,乘积取正。
荷载作用下的位移计算
( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10) ↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑↑
↑
NP QP MP
EI
M
GA
kQ
EA
N
P
P
P
=
=
=
2
2
2
k
g
e
真实位
移状态
?? ??=D dsGAQQkds ?? dsEIMM PP?? EANN Pkp （ 8–15）
注,（ 1） EI,EA,GA是杆件截面度；
k是截面形状系数 k矩 =1.2,k圆 =10/9。
（ 2） NP,QP,MP实际荷载引起的内力，
是产生位移的原因；虚设单位荷载
引起的内力是 MQN,,
?? dsEIMM P
（ 5）桁架 Δ= ?? EANN P ds = ? lEANN P
（ 6）桁梁混合结构 ? ? ?? lEANNdsEIMM PP
用于梁式杆
用于桁架杆
（ 7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中
计算水平位移 时才考虑轴向
变形对位移的影响，即 ?? dsEI
MM P ??
EA
NN P+Δ=
（ 3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。
（ 4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 Δ=
Δ=
（ 8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系
（ 9）虚拟力状态,在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应
的广义单位荷载。
P=1 m=1
m=1m=1
P=1
P=1
l
1/l
1/l
A
B 求 A点的水平位移 求 A截面
的转角
求 AB两截面
的相对转角
求 AB两点
的相对位移 求 AB两点
连线的转角
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
例 8-4（ P148） 图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。
求 C的竖向位移。
柱
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q解,1)将 q化为
结点荷载 P=ql/4
4.5P 3.0P
2)求 N
3)求 NP
P
P
P
P/2P/2
0.287l 0.25l0.222l 0.25l
A
D
C
E G B
F l/12
l/12
2P 2P
§ 8·4 荷载作用下的位移计算举例
A
D
C
E G B
F
1
1/2 1/2
1.50 1.50
0 0
2)求 N
4)求 ΔC
?=D EA lNN PC
材料 杆件 NP AlN EAlNN P
钢筋
混凝土
钢筋
AD
CD
DE
CE
AE
EG
－ 1.58
－ 1.5
0
0
1.50
1.50
－ 4.74P
－ 4.42P
4.50P
3.00P
0.263l
0.263l
0.088l
0.278l
0.278l
0.222l
Ab
Ab
0.75Ab
Ag
3Ag
2Ag
1.97Pl/AbEb
1.84Pl/AbEb
0
0
0.63Pl/AgEg
0.5Pl/AgEg
ΔC=Pl(3.81/AbEb+ 1.13/AgEg)·2
3)求 NP
P
P=1
例：求图示曲杆（ 1/4圆弧）顶点的竖向位移 Δ。
解,1）虚拟单位荷载
q cos=Q
qsin-=N
q sin-= RM
qcos=PQP
qsin-= PNP
qsin-= PRM P
虚拟荷载
3）位移公式为
QNM D?D?D=
PPP
GA
dsQQ
EA
dsNN
EI
dsMM ??=D ? ? ?
GA
PR
EA
PR
EI
PR ??=D
444
3 p
k pp
ds=Rdθ
θdθ
ds
钢筋混凝土结构 G≈0.4E
矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12
1200
1<
D
D
M
ND
400
1<
DMQ
D
2=DM
N
AR
I
2
4
1
2 ?
??
?
?==
D
D
M
Q
R
h
GAR
EIk
可见剪切变形和轴向变
形引起的位移与弯曲变形
引起的位移相比可以忽略
不计。但对于深梁剪切变
形引起的位移不可忽略,
2）实际荷载
dGAPRdEAPREIPR ???
?
?
?
??= ? ? cossin2
0
2
0
3
q qk qq
p p2 2
h 101<R如
2
12
1
??
?
??
?=
R
h
P
l/2 l/2
EIA B
x1
x2
例：求图示等截面梁 B端转角。
解,1）虚拟单位荷载
m=1
MP（ x1） =Px/2 0≤x1≤l/2
MP（ x2） =P（ l－ x） /2
l/2 ≤x2≤l
l－ x (x)M = 0≤x≤l
EI
Pl
16
2
=－
EI
dxxlP
l
xdx
EI
Px
l
x l
l
l
2
)(
2 2
2
0
-－=－ ??
EI
dsMMl P
B 0=??
积分常可用图形相乘来代替
2） MP须分段写
? ki dsEIMM ??= kiCEI dxMMEI1
?? ?==D P EIydxEIMM 0w
= yEI 01 w×= xtgEI 01 wa
?= BA k dxxMtgEI1 a?? BA kM dxxtgMEIi 1 a是直线
?? ki dxEIMM直杆
α Mi
Mi=xtgα
y
x
Mk
dxx
y0
x0
ω
注, ① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件,a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标 y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
④面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
y0=x0tgα
§ 8·5 图乘法 位移计算举例
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
(a+l)/3 (b+l)/3
ω=hl/2
l
a b
h l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
h
3l/4 l/4 5l/8 3l/8
二次抛物线 ω=hl/3 二次抛物线 ω=2hl/3
4l/5 l/5
h
h
三次抛物线 ω=hl/4
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
h
n次抛物线 ω=hl/(n+1)
顶点
顶点 顶点
顶点
顶点
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或
P
l/2 l/2
EIA B
m=1
1/2
Pl/4
EI
PllPl
EIB 162
1
42
11 2-=?-=?
ql2/2
M
MP
MP
P=1l
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A B
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
例,求梁 B段转角。 例,求梁 B点竖向位移。
3l/4
M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P P
a a a
例：求图示梁中点的挠度。
PaPa
MP
P=1
3a/4 M
EI
Pa
Pa
aaaPa
EI
aa
24
23
2
22
2
23
2
2
1
3
4
3
2
=
?
?
?
???
?
???
?
?
? ?
=D
a/2 a/2
PaaaEI ??=D 343211
P
l/2 l/2C
例：求图示梁 C点的挠度。
MP
Pl
C
P=1 l/2
M
l/6
l
6 EI
Pl
12
3
=Pl
EIC 2
1 2=D
EI
Pl
48
5 3=
Pl
6
5×
?
?ll
EI
y
C 222
10 ?
?
? ××==D w
5Pl/6？
？
图乘法 位移计算举例
?? ?==D P EIydxEIMM 0w
① ∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。
②图乘法的应用条件：
③竖标 y0
④ 面积 ω与竖标 y0在杆的同侧,ω y0 取正号，否则取负号。
⑤ 几种常见图形的面积和形心的位置：
h
3l/4 l/4
二次抛物线 ω=hl/3
顶点
l/2 l/2
h
二次抛物线 ω=2hl/3
顶点
a） EI=常数； b）直杆； c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
取在直线图形中，对应另一图形的形心处。
⑥ 当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法：
a）曲杆或 EI=EI（ x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M,MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
⑦ 非标准图形乘直线形
a）直线形乘直线形
a b
dc
l/3 l/3 l/3
ω1
ω1
y1 y2
( )bcadbdacl ???= 22
6
?
?
dc?
?
? ?
3
2
3
bl?
2
dc
?
??
?
? ?
33
2al=
2
? yydxMM ki ?= 2211 ww
Mi
Mk
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线
同侧乘积取正，否则取负。
S = 9/6× （ 2× 6× 2 +2 × 4× 3
+6 × 3+4× 2） =111
（ 1）
3
2
6 4
9
S = 9/6× （－ 2× 6× 2+2× 0× 3
+6× 3－ 0× 2） = － 9
S=9/6× （ 2× 6× 2－ 2× 4× 3+6× 3－ 4× 2） =15
S = 9/6× （ 2× 6× 2+2× 4× 3－ 6× 3－ 4× 2） = 33
2
3
6
4（ 3）
9
（ 2）
32
6
4
9
（ 4）
2
3
6
9
＝
l
a b
dc
h
+ba
h
23
2 dchl ?( )22
6 bcadbdaclS ????=
b)非标准抛物线成直线形
例 8-8 （ P156）预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。
已知：板宽 1m，厚 2.5cm,混凝土容重为 25000N/m3,求 C点的挠度。
解,q=25000× 1× 0.025＝ 625N/m
I=1/12 × 100× 2.53cm4=1.3 × 10-6m4
E=3.3 × 1010N/m2
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
举例
2.2m 0.8mA B C
折减抗弯刚度
0.85EI=3.6465 × 104Nm2
200
378
P=10.8
MP
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=625N/m
2.2m 0.8m
A B C
ω1
y1
ω3
6.08.0433 =?=y
4.08.0212 -=?=y
533.08.0321 =?=y
( )85.0 1 332211 ??=D yyyEI www
3.538.0200313 =?=w
5552.2378322 =??=w
2202.2200211 =??=w
( ) cmm 2.01026.03.534.05 5 55 3 3.02 2 06 4 6 5.3 1 3 -=?-=???-?= -
y3
ω2
y2
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑q
l
l
ql2/2
ql2/8
ql
ql/2
ql/2
MP
P=1
1
1
lω1 y1
ω2
y2
ω2 y3
B
M
23 =
ly
3
2
21 == yly
1283
2 32
3 ==
qllqlw
422
1
2
32
1 ===
qllql ww
8
3
2123
2
43
2
4
1 4222 =
?
?
???
? ??=
EI
qllqllqllql
EI
( )1 332211 ??=D M yyyEI www
1=N
0=NNP=0
900
1
93
4
3
4
8
3
2 1012
2
2
12
2
42 3
=====DD
=
l
h
bh
M
N
l
h
bhlAl
I
EI
ql
EA
ql
212
2
=××==D ? PN EAqlEAlqlEA lNN
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
6kN
6m
3m
3m
A
B
求 AB两点的相对水平位移。
36
18
9
MP P=1
P=1
6 3
M
)
( )??=
EI
-756
?
?×××? 3
3
2
2
318?
?
?
××××-?
EI 64
3636
3
11
?
??
×××-
2
6396
3
2(?
?
?
×?×-××?××-=D
EI 618336318263626
61
EI=常数
99
( ) 2718318185.4463666 ?-=????-?-
Sinpson法 ( )
( ) 有关误差与 ?4
210
02 4
6
2
0
y
yyy
xx
y d xS
x
x
??
-
?= ?
P=1
MP
ql2/2
l
l/2
A
B2EI EI
l/2
M
求 B点的竖向位移。
EI
ql
256
17 4=lllql
EI 2
5.0
2323
2
2
1 2 ??-
lqllqllqllqllEI 8222822265.021
2222
??
???
??
? ??
lql
EI
l
B 4
3
283
11 22 ??=D
EI
qlllql
EIB 84
3
23
11 42 =?=D
ylqlEIB 2833121 0
2
??=D ?
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？
ql2/8
l/2？
ql2/32
y0
dxMMEI l P?? 0
2
1dxMM
EIEI
l
P??
?
???
? -=
021
11 1
dxEIMMdxEIMM l Pl P ?? ＋ 0
20 2
11
dxEIMMdxEIMM ll Pl PVB ?? ?=D
20 1 1
1
上式中的两项积分都是标准图形相乘。
如 l1=l/2,EI2=2EI1,则
1
3
256
17
EI
ql=
2
1 4
3
23
1
2
1 llql
EI
??
2
11 24
3
283
1
2
11 llql
EIEI
V
B ???
?
???
? -=D
MP
M
P=1
x
l1
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qA
BEI
2 EI1
ql2/2
l
ql2/8
l/2
－
1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。
2）假设：温度沿截面高度为线性分布。
t1
t2
t0 h h1
h2
t0=（ h1t2+h2t1） /h
Δ t=t2-t1
3）微段的变形
ds
dθ
at0ds
k=d?/ds =a（ t2-t1） ds/hds
= a?t/h
?=0 ( ) ??? -??=D iicRdsMQN 222 kge (8–10)
?? D±?it= MN h tt wawa 0
? ? ? ?D±= dsMh tdsNt aa 0
???? D±=Dit dsh tMdstN aa 0
该公式仅适用于静定结构
e=at0
at1ds
at2ds
直观确定。取绝对值计算，正负号
、升温为正；拉为正,MttN wD0
§ 8·6 温度改变而产生的位移计算
例 8-11求图示刚架 C点的竖向位移。各杆截面为矩形。
a
a
0?
?10?
?10?
C P=1 P=1
－ 1
a
M
N
1001052 0100 =-=D=?= tt
）（ aahth t NMc -?-=?D=D ? ? aawawa 52310
2
?????? ?-= haa 315a
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以 e=0,k=0
g=0。代入 ( ) ??? -??=D
iicRdsMQN 222 kge
(8–10)
得到,? ?-=D
KKic cR
仅用于静定结构
a
bl/2 l/2
h 1 1
0=AY
1=
B hX
0=BY=
1
A hX
( )弧度hacR -=-=D ?
§ 8·7 支座移动而产生的位移计算
应用条件,1)应力与应变成正比 ;
2)变形是微小的。
即,线性变形体系。
P1 P2 ①
F1 F2 ②
N1 M1 Q1
GA
kQ
EI
M
EA
N 2
022222 === gke
GA
kQ
EI
M
EA
N 1
011111 === gke
N2 M2 Q21、功的互等定理
?? ????? ?? dsGAQkQEIMMEANN 121212? =D= FW 1221
?? ????? ??= dsGAQkQEIMMEANN 212121? D= PW 2112
功的互等定理,在任一线性变形体系中，状态①的外力在状态②
的位移上作的功 W12等于状态②的外力在状态①的位移上作的功 W21。
即,W12= W21
§ 8·8互等定理
2、位移互等定理
P1 ①
P2 ②
（ 8-30） 位移互等定理：（ P166）
在任一线性变形体系中，由荷载 P1所引起的与荷载 P2相应
的位移影响系数 δ21 等于由荷载 P2所引起的与荷载 P1相应的位移影
响系数 δ12 。或者说,由单位荷载 P1=1所引起的与荷载 P2相应的位移
δ21等于由单位荷载 P2=1所引起的与荷载 P1相应的位移 δ12 。
?21
?12
2112 dd =
j
ij
ij Pd
D=
PP
D=D
1
21
2
12
PP D=D 212121
称为位移影响系数，等于 Pj=1所引起的与 Pi相应的位移。
注意,1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。
2） δ12与 δ21不仅数值相等,量纲也相同。
3、反力互等定理 c 1
c 2
R11 R21
R22R12
j
ij
ij c
Rr =
c
R
c
R =
2
12
1
21
RcR ×?×= 22112 0
cRR ×?× 22111 0
称为反力影响系数，等于 cj=1所引起的与 ci相应的反力。
r12=r21 （ 8-31） 反力互等定理：（ P167）
在任一线性变形体系中，由位移 c1所引起的与位移 c2相应
的反力影响系数 r21 等于由位移 c2所引起的与位移 c1相应的反力影
响系数 r12 。或者说,由单位位移 c1=1所引起的与位移 c2相应的反力
r21等于由单位位移 c2=1所引起的与位移 c1相应的反力 r12 。
注意,1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。
2）反力互等定理仅用与超静定结构。
P
l/2 l/2
3Pl/16
C
A
①
θ
ΔC
②
例：已知图①结构的弯矩图
求同一结构②由于支座 A的转动
引起地 C点的挠度。
解,W12=W21
∵ T21=0
∴ W12=PΔC－ 3Pl/16× θ＝ 0
ΔC=3lθ /16
例：图示同一结构的两种状态，
求 Δ=？
P=1 ①
②m=1 m=1
A B
Δ=θA+ θB
θBθA
Δ
已知图 a梁支座 C上升 0.02m引起的 ΔD=0.03m/16,试绘图 b的 M图,
P
Rc
(b)
aa/2a/2
A B
C
D
ΔD
0.02m
(a)
Wab=0= Wba=P·ΔD+RC· ΔC
RC=－ 3P/32
3Pa/32
小结,
一、虚功原理 We=Wi
力,满足平衡
位移,变形连续
虚设位移 虚位移原理（求未知力）
虚功方程等价于平衡条件
虚力原理（求未知位移）
虚功方程等价于位移条件
虚设力系
? ? ?? lEANNdsEIMM PP ? ?- KK cR二,Δ=
刚架、梁 桁架 支座移动
组合结构、拱
?各项含义
?虚设广义单位荷载的方法
三、图乘法求位移 ?? ?==D P EIydxEIMM 0w
?图乘法求位移的适用条件
?y0的取法
?标准图形的面积和形心位置
?非标准图形乘直线形的处理方法
四、互等定理
?适用条件
?内容 W12= W21
2112 dd =
r12=r21
ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
lEI B
求 B点竖向位移
1
EI
qllqllllql
EIBV 24
11
283
2
3
2
2
3
2
11 422 =
??
?-
??
?=D
ql2/8
3ql2/2
MP
l M
4kN 4kN.m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m
4m4m EI
A B求 θB
5kN
12
8
4
4
MP kN.m
1M kN.m
( ) EI3401475.06485.064 -=?
?
?????-?-?
( )EIB 5.012285.0641 ?
?
? ????-=q
求 ΔDV
P P P
4m× 3=12m
3m
A
B
D
C
－ 8P
P=1
－ 4/3
0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
EA
PPPP
EADV 3
2804
3
485
3
553131 =
??
?
??
? ????=D
