1
?超静定次数的确定及力法基本概念
?超静定梁, 刚 架 和 排 架
?超 静 定 桁 架, 组 合 结 构 和 拱
?对称结构的计算
?支座移动和温度改变时的力法计算
?超静定结构的位移计算 和 计算校核
2
a) 静定结构
是无多余约束的几何不变体系。
b) 超静定结构
是有多余约束的几何不变体系。由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静
定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定
超静定次数 =多余约束的个数 =
多余未知力的个数
撤
除
约
束
的方
式：
（ 1）,撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
（ 2）撤除一个铰支座,撤除一个单铰或撤除一个滑动支
座，等于撤除两个约束。
（ 3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
把原结构变成静定结构
时所需撤除的约束个数
=未知力的个数 —平衡方程的个数
§ 9.1 超静定结构的组成和超静定次数
3
撤除约束时需要注意的几个问题：
（ 1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X3
X1 X2
X3
X1
X2
X3
X1
X1 X2
X3
（ 2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（ 3）内外多余约束都要撤除。
外部一次，内部六次
共七次超静定
（ 4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
1
撤除支杆 1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆
1 2
34
5
1,2,5
7
RB
当 ΔB=Δ1=0
=1
δ11
Δ1P
× X1
〓
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本
体系,然后让基本体系在受力方面
和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件
（变形协调条件）。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
〓
X1+
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
><X1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
=
§ 9.2力法的基本概念
8
求 X1方向位移的虚拟单位弯矩图
P=1l
X1=－ Δ1P /δ11 =3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
ql2/8
M图
=1
δ11
Δ1P
× X1
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
〓
X1+
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
MP
l
l,EI
X1=11M
?=D dxEIMM PP 11
?= dxEIMM 1111d
-=?
?
?
??
?-=
EI
qlllql
EI 84
3
23
11 42
=
?
?
???
?=
EI
lll
EI 33
2
2
1 32
叠加或按,PMXMM ?= 1
ql2/8
9
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
I1
I2 I2
8m
6m
q
q=20kN/m
X1
基本体系
160
MP
X1=1
M
6 6
解：
PMXMM ?= 11
= kEIk?
1
144288
kEI1
2
P EIEI =?
??=D
11
1
51206
3
160821
( )P k
kX
?-=
D-=
11
1
1 129
320
d
6
EI
?????=
1
11 3
2
2
666861d
PX =D? 1111 0d
kNK 980
21
-=
=
160
53.33
M图 (kN.m)
? 超静定结构由荷载产生的内力与
各杆刚度的相对比值有关,与各杆
刚度的绝对值无关。
q=20kN/m
I2=k I1
10
160
53.33
M图 (kN.m)
53.3353.33
kNQ
QM
CD
CDD
80
0833.53482033.53
=
=?--???=?
8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
C DQ
CD
80 160
80－
＋
－
8.9
＋
8.9
Q图 (kN)
8.9
80
NCA
NCD
?
?
-==
-==
kNNY
kNNX
CA
CD
800
9.80
－
－
－
80 80
8.9
N图 (kN)
11
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原
结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
§ 9.3力法方程的典型形式
12
↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
q ↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
↓↓↓↓↓↓↓↓ B
基本体系 X2 X1
X2
ΔBH=Δ 1
ΔBV=Δ2=0
=0
＝ ＝ ＋
＋
Δ1=Δ11＋ Δ12＋ Δ1P=0
=1
=1
× X2
δ21
Δ1P
δ12
δ22
Δ2P
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2 ＋ Δ2P＝ 0
δ11
× X1
含义,基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知
力方向上的位移应等于原结构相应的位移,实质上是位移条件。
主系数 δ ii表示基本体系由 Xi=1产生的 Xi方向上的位移
付系数 δ ik表示基本体系由 Xk =1产生的 Xi方向上的位移
自由项 Δ iP表示基本体系由荷载产生的 Xi方向上的位移
主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付
系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
??? ?=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
13
对于 n 次超静定结构有 n个多余未知力 X1,X2,…… X n，力法基
本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件，
Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0，将它们展开
δ11X1+ δ12X2+……+ δ 1nXn+ Δ 1P=0
δ21X1+ δ22X2+……+ δ 2nXn+ Δ 2P=0
δn1X1+ δn2X2+……+ δ nnXn+ Δ nP=0
…………………………………………
或：
(A)
Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
由上述，力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（ A）式求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=∑M i·Xi+MP 叠加最后弯矩图。
计算刚架的位移
时，只考虑弯矩的影
响。但高层建筑的柱
要考虑轴力影响，短
而粗的杆要考虑剪力
影响。
?
??
?
=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MM
ds
EI
MM
ds
EI
M
Pi
iP
ki
ik
i
ii
dd
14
§ 9.4 超静定刚架和排架
例题：
力法解图
示刚架 。
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23kN
/m
6m
6mEI
EI
EI
A B
C D
q=
23kN
/m
↑↑↑↑↑↑↑X1 X1
基本体系
X2
X2
X1 X1=1
6 6
M1
X2
X2
=1
6
6
M2 q=
23kN
/m
↑↑↑↑↑↑↑
414
MP
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2 ＋ Δ2P＝ 0
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，
4）用（ A）式求系数和自由项
5）解方程，求多余未知力
144X1+108X2－ 3726=0
108X1+288X2=0 X1=36，X
2=－ 13.5
6）按 M=∑Mi·X i+MP
叠加最后弯矩图
198
103.5
81
135
M
kNm
??? ?=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
14423 622 6611 =???=d 2112 1 0 82 666 dd ==??=
28863 622 66 322 =???=d 3 7 2 64 6334 1 461 -=??-=D P
02 =D P
15
3Pl/16
5Pl/32M
3Pl/16
5Pl/32M
3Pl/16
5Pl/32M Δ
1=δ11x1+Δ1p= 0
X1=1l 1M
X1=1
EI
l
3
δ11=
1
1M 2
1
1M
EI
l
3
3
EI
l
4
3δ11=
EI P
l/2 l/2
X1 2)P
Δ1=δ11x1+Δ1p= 0 Δ1=δ11x1+Δ1p= 0
1）
X1
P 3)PX
1
X1=1
PPl/2
MP
P
Pl/4
MP PPl/2 MP
EI
Pl
P 24
5 2
1 -=DEI
Pl
P 16
2
1 -=DEI
Pl
P 48
5 3
1 -=D
32
5
11
1
1
PlX P =D-=
d16
-3
11
1
1
PlX P =D-=
d16
5
11
1
1
PX P =D-=
d
δ11=
同一结构选不同的基本体系进行计算，则：
1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；
方程中的系数和自由项不同。
2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，
应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。
16
力法基本体系的合理选择
力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应
尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。
1、基本体系应含有较多的基本部分。
↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m X
1 X2
X1=1
1
1M
X2=1
2M
1
↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m
PM
ql2/8
22
3
11 3
22
3
2
2
1 dd ==????=
EI
aaaa
EI
22
3
11 3
2 dd ==
EI
a
图示连续梁，各跨的刚
度为 EI,跨度为 a.
EI
aaaa
EI 632
1 3
2112 =?
??== d
EI
a
6
3
2112 == dd
0,24218321 2
32
1 =D=??
??=D
PP EI
qaqaa
EI
0,24 2
3
1 =D=D PP EI
qa
0
3
2
6
0
2463
2
21
3
21
=?
=??
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
60,15
2
2
2
1
qaXqaX =-=
? ?= Pii MXMM
↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m
15
2qa
60
2qa
17
P
l l/2 l/2 l/2 l/2
EI=常数
PX1X2
1
1
X1=1
1M
2M
1
P
PM
Pl/4
EI
l=
11d
EI
l
322 =d
EI
l
62112 == dd
0,16 2
2
1 =D=D PP EI
Pl
88
3
88
6
2
1
Pl
X
Pl
X
=
-=
18
例题：用力法解图示刚架。 EI=常数。
l/2 l/2 l/2
l
P
A B
E D
C
P
A B
E D
C
X1=1
P
A B
E D
C
Pl/2
M
MP
01111 =D? PXd
l l
2l
l
3
5 3
EI
l=
3
22
2
5.02 lll
??
????
232223225.0111 llllllEI ??? ?????=d
( )
423
2
222
11 3
1 EI
PllllPl
EIp -=??-=D
20
3
11
1
1
PX p =D-=
d
3
7
× Pl/20
4
3
M
19
↓↓↓↓↓↓↓↓
P
l l
l
00 11 ==D Xp
X1=1
1M
P
MP
20
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
X1=1 1
1.5
1M
X2=1
2M
1
1/2
2l/
3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI=常数l
l
q
ql2/8
d
EI
l
12
7
22 =d EI
3l
411
=
EI
ql
PP 240
3
21 =D=D
140
2
21
qlXX -==
ql2/14
ql2/28
M
21
↑↑↑↑↑↑↑↑
12kN
/m
2m
4m
EI EI
2EI 2EI
↑↑↑↑↑↑↑↑
12kN
/m
X1
基本体系
X1=1
6
2 2
24
216
M1
MP
图乘
1 63 1 1 23 224δ
11=[———— +（ — - —— ） —–] ·2=——2EI 3 EI 2EI 3 3EI
Δ1PX
1= - —— = - 13.18(kN)
δ11 136.92
54
79.08
M
kN.m
6
EIEIEI
984
4
23
3
242
2
11 =??
??
?
??
? -?
EIP 4
36
3
2166
2
1
1
??=D
超静定排架计算。
23
l
l
P X1
X1=1
1
1 1
11
2-
2-
P
P
P
0
0
0 0P－ 2Δ
1=δ11X1+Δ1P=0
基本体系
N1
NP
δ11= 2) )21(4 ?= EAl)2(2 2 ?-?? lEA411( ??EAl=EA
2
1? lN
Δ1P=∑
EA
PlP
EA
lP
EA
l
EA
lNN P )221()]2)(2[(2)1(1 ?=--??=
P396.0-=P244 )221( ??-=X
11
1
1
D-=
d
-0.396P
-0.396P
PNXNN ?= 11
§ 9-5 超静定桁架和组合结构的计算
24
超静定组合结构的计算。 分析图示加劲梁
l/2 l/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
E1I1 E
2A2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
基本体系
X1=1
l/4
NM &
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8MP,NP=0
解,δ11X1+Δ1P=0 计算 δ 11Δ 1P时,可忽略梁的 Q和 N对位移的影响。
33
2
3
2211
3
248 AEh
c
AE
h
IE
l ???
11=
( ) ( )
33
2
2
22
2
21 AE cAE h h
c?-?
11 43
2
242
12 lll
IE=
2
1
2
1
11 EA
lNdx
EI
M ?=? ?d
11
4
348
5
IE
ql-=2
11
048528322 llqlIE ?-=111 EA lNNdxEIMM PPP ?=D ? ?
25
33
2
3
2211
3
11
4
11
1
1
248
384
5
AEh
c
AE
h
IE
l
IE
ql
X
P
??
=
D
-=
d
1111
11
XNNXNN
MXMM
P
P
=?=
?=
由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。
如 E2A2和 E3A3都趋于无穷大，则 X1趋于 5ql/8，横梁的弯矩图接近
于两跨连续梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/32
如 E2A2 或 E3A3趋于零，则 X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支
梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
26
?超静定次数的确定及力法基本概念
?超静定梁, 刚 架 和 排 架
?超 静 定 桁 架, 组 合 结 构 和 拱
?对称结构的计算
?支座移动和温度改变时的力法计算
?超静定结构的位移计算 和 计算校核
2
a) 静定结构
是无多余约束的几何不变体系。
b) 超静定结构
是有多余约束的几何不变体系。由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静
定结构区别于静定结构的基本特点。
超静定次数确定
超静定次数 =多余约束的个数 =
多余未知力的个数
撤
除
约
束
的方
式：
（ 1）,撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰
支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。
（ 2）撤除一个铰支座,撤除一个单铰或撤除一个滑动支
座，等于撤除两个约束。
（ 3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。
把原结构变成静定结构
时所需撤除的约束个数
=未知力的个数 —平衡方程的个数
§ 9.1 超静定结构的组成和超静定次数
3
撤除约束时需要注意的几个问题：
（ 1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
X3
X1 X2
X3
X1
X2
X3
X1
X1 X2
X3
（ 2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，
撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。
（ 3）内外多余约束都要撤除。
外部一次，内部六次
共七次超静定
（ 4）不要把原结构撤成几何
可变或几何瞬变体系
1
撤除支杆 1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆
1 2
34
5
1,2,5
7
RB
当 ΔB=Δ1=0
=1
δ11
Δ1P
× X1
〓
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本
体系,然后让基本体系在受力方面
和变形方面与原结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件
（变形协调条件）。
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
RB
〓
X1+
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
><X1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
=
§ 9.2力法的基本概念
8
求 X1方向位移的虚拟单位弯矩图
P=1l
X1=－ Δ1P /δ11 =3ql/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3ql/8
ql2/8
M图
=1
δ11
Δ1P
× X1
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
〓
X1+
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/2
MP
l
l,EI
X1=11M
?=D dxEIMM PP 11
?= dxEIMM 1111d
-=?
?
?
??
?-=
EI
qlllql
EI 84
3
23
11 42
=
?
?
???
?=
EI
lll
EI 33
2
2
1 32
叠加或按,PMXMM ?= 1
ql2/8
9
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例：
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
I1
I2 I2
8m
6m
q
q=20kN/m
X1
基本体系
160
MP
X1=1
M
6 6
解：
PMXMM ?= 11
= kEIk?
1
144288
kEI1
2
P EIEI =?
??=D
11
1
51206
3
160821
( )P k
kX
?-=
D-=
11
1
1 129
320
d
6
EI
?????=
1
11 3
2
2
666861d
PX =D? 1111 0d
kNK 980
21
-=
=
160
53.33
M图 (kN.m)
? 超静定结构由荷载产生的内力与
各杆刚度的相对比值有关,与各杆
刚度的绝对值无关。
q=20kN/m
I2=k I1
10
160
53.33
M图 (kN.m)
53.3353.33
kNQ
QM
CD
CDD
80
0833.53482033.53
=
=?--???=?
8m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m
C DQ
CD
80 160
80－
＋
－
8.9
＋
8.9
Q图 (kN)
8.9
80
NCA
NCD
?
?
-==
-==
kNNY
kNNX
CA
CD
800
9.80
－
－
－
80 80
8.9
N图 (kN)
11
1、超静定结构计算的总原则,
欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原
结构完全一样。
力法的特点：
基本未知量 ——多余未知力；
基本体系 ——静定结构；
基本方程 ——位移条件
（变形协调条件）。
位移法的特点：
基本未知量 ——
基本体系 ——
基本方程 ——
§ 9.3力法方程的典型形式
12
↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
q ↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
↓↓↓↓↓↓↓↓ B
基本体系 X2 X1
X2
ΔBH=Δ 1
ΔBV=Δ2=0
=0
＝ ＝ ＋
＋
Δ1=Δ11＋ Δ12＋ Δ1P=0
=1
=1
× X2
δ21
Δ1P
δ12
δ22
Δ2P
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2 ＋ Δ2P＝ 0
δ11
× X1
含义,基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知
力方向上的位移应等于原结构相应的位移,实质上是位移条件。
主系数 δ ii表示基本体系由 Xi=1产生的 Xi方向上的位移
付系数 δ ik表示基本体系由 Xk =1产生的 Xi方向上的位移
自由项 Δ iP表示基本体系由荷载产生的 Xi方向上的位移
主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付
系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。
??? ?=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
13
对于 n 次超静定结构有 n个多余未知力 X1,X2,…… X n，力法基
本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件，
Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0，将它们展开
δ11X1+ δ12X2+……+ δ 1nXn+ Δ 1P=0
δ21X1+ δ22X2+……+ δ 2nXn+ Δ 2P=0
δn1X1+ δn2X2+……+ δ nnXn+ Δ nP=0
…………………………………………
或：
(A)
Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
由上述，力法计算步骤可归纳如下：
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（ A）式求系数和自由项；
4）解方程，求多余未知力；
5）按 M=∑M i·Xi+MP 叠加最后弯矩图。
计算刚架的位移
时，只考虑弯矩的影
响。但高层建筑的柱
要考虑轴力影响，短
而粗的杆要考虑剪力
影响。
?
??
?
=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MM
ds
EI
MM
ds
EI
M
Pi
iP
ki
ik
i
ii
dd
14
§ 9.4 超静定刚架和排架
例题：
力法解图
示刚架 。
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23kN
/m
6m
6mEI
EI
EI
A B
C D
q=
23kN
/m
↑↑↑↑↑↑↑X1 X1
基本体系
X2
X2
X1 X1=1
6 6
M1
X2
X2
=1
6
6
M2 q=
23kN
/m
↑↑↑↑↑↑↑
414
MP
1）确定超静定次数，选取力法基本体系；
2）按照位移条件，列出力法典型方程；
δ11X1＋ δ12X2＋ Δ1P＝ 0
δ21X1＋ δ22X2 ＋ Δ2P＝ 0
3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，
4）用（ A）式求系数和自由项
5）解方程，求多余未知力
144X1+108X2－ 3726=0
108X1+288X2=0 X1=36，X
2=－ 13.5
6）按 M=∑Mi·X i+MP
叠加最后弯矩图
198
103.5
81
135
M
kNm
??? ?=
?
=D
?
=
?
=?=
0
0
0
,
0
0
0
,0
2
ds
EI
MMds
EI
MMds
EI
M Pi
iP
ki
ik
i
ii dd
14423 622 6611 =???=d 2112 1 0 82 666 dd ==??=
28863 622 66 322 =???=d 3 7 2 64 6334 1 461 -=??-=D P
02 =D P
15
3Pl/16
5Pl/32M
3Pl/16
5Pl/32M
3Pl/16
5Pl/32M Δ
1=δ11x1+Δ1p= 0
X1=1l 1M
X1=1
EI
l
3
δ11=
1
1M 2
1
1M
EI
l
3
3
EI
l
4
3δ11=
EI P
l/2 l/2
X1 2)P
Δ1=δ11x1+Δ1p= 0 Δ1=δ11x1+Δ1p= 0
1）
X1
P 3)PX
1
X1=1
PPl/2
MP
P
Pl/4
MP PPl/2 MP
EI
Pl
P 24
5 2
1 -=DEI
Pl
P 16
2
1 -=DEI
Pl
P 48
5 3
1 -=D
32
5
11
1
1
PlX P =D-=
d16
-3
11
1
1
PlX P =D-=
d16
5
11
1
1
PX P =D-=
d
δ11=
同一结构选不同的基本体系进行计算，则：
1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；
方程中的系数和自由项不同。
2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，
应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。
16
力法基本体系的合理选择
力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应
尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。
1、基本体系应含有较多的基本部分。
↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m X
1 X2
X1=1
1
1M
X2=1
2M
1
↓↓↓↓↓↓↓↓
2kN/m
PM
ql2/8
22
3
11 3
22
3
2
2
1 dd ==????=
EI
aaaa
EI
22
3
11 3
2 dd ==
EI
a
图示连续梁，各跨的刚
度为 EI,跨度为 a.
EI
aaaa
EI 632
1 3
2112 =?
??== d
EI
a
6
3
2112 == dd
0,24218321 2
32
1 =D=??
??=D
PP EI
qaqaa
EI
0,24 2
3
1 =D=D PP EI
qa
0
3
2
6
0
2463
2
21
3
21
=?
=??
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
60,15
2
2
2
1
qaXqaX =-=
? ?= Pii MXMM
↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m
15
2qa
60
2qa
17
P
l l/2 l/2 l/2 l/2
EI=常数
PX1X2
1
1
X1=1
1M
2M
1
P
PM
Pl/4
EI
l=
11d
EI
l
322 =d
EI
l
62112 == dd
0,16 2
2
1 =D=D PP EI
Pl
88
3
88
6
2
1
Pl
X
Pl
X
=
-=
18
例题：用力法解图示刚架。 EI=常数。
l/2 l/2 l/2
l
P
A B
E D
C
P
A B
E D
C
X1=1
P
A B
E D
C
Pl/2
M
MP
01111 =D? PXd
l l
2l
l
3
5 3
EI
l=
3
22
2
5.02 lll
??
????
232223225.0111 llllllEI ??? ?????=d
( )
423
2
222
11 3
1 EI
PllllPl
EIp -=??-=D
20
3
11
1
1
PX p =D-=
d
3
7
× Pl/20
4
3
M
19
↓↓↓↓↓↓↓↓
P
l l
l
00 11 ==D Xp
X1=1
1M
P
MP
20
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
X1=1 1
1.5
1M
X2=1
2M
1
1/2
2l/
3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
EI=常数l
l
q
ql2/8
d
EI
l
12
7
22 =d EI
3l
411
=
EI
ql
PP 240
3
21 =D=D
140
2
21
qlXX -==
ql2/14
ql2/28
M
21
↑↑↑↑↑↑↑↑
12kN
/m
2m
4m
EI EI
2EI 2EI
↑↑↑↑↑↑↑↑
12kN
/m
X1
基本体系
X1=1
6
2 2
24
216
M1
MP
图乘
1 63 1 1 23 224δ
11=[———— +（ — - —— ） —–] ·2=——2EI 3 EI 2EI 3 3EI
Δ1PX
1= - —— = - 13.18(kN)
δ11 136.92
54
79.08
M
kN.m
6
EIEIEI
984
4
23
3
242
2
11 =??
??
?
??
? -?
EIP 4
36
3
2166
2
1
1
??=D
超静定排架计算。
23
l
l
P X1
X1=1
1
1 1
11
2-
2-
P
P
P
0
0
0 0P－ 2Δ
1=δ11X1+Δ1P=0
基本体系
N1
NP
δ11= 2) )21(4 ?= EAl)2(2 2 ?-?? lEA411( ??EAl=EA
2
1? lN
Δ1P=∑
EA
PlP
EA
lP
EA
l
EA
lNN P )221()]2)(2[(2)1(1 ?=--??=
P396.0-=P244 )221( ??-=X
11
1
1
D-=
d
-0.396P
-0.396P
PNXNN ?= 11
§ 9-5 超静定桁架和组合结构的计算
24
超静定组合结构的计算。 分析图示加劲梁
l/2 l/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
E1I1 E
2A2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1
基本体系
X1=1
l/4
NM &
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8MP,NP=0
解,δ11X1+Δ1P=0 计算 δ 11Δ 1P时,可忽略梁的 Q和 N对位移的影响。
33
2
3
2211
3
248 AEh
c
AE
h
IE
l ???
11=
( ) ( )
33
2
2
22
2
21 AE cAE h h
c?-?
11 43
2
242
12 lll
IE=
2
1
2
1
11 EA
lNdx
EI
M ?=? ?d
11
4
348
5
IE
ql-=2
11
048528322 llqlIE ?-=111 EA lNNdxEIMM PPP ?=D ? ?
25
33
2
3
2211
3
11
4
11
1
1
248
384
5
AEh
c
AE
h
IE
l
IE
ql
X
P
??
=
D
-=
d
1111
11
XNNXNN
MXMM
P
P
=?=
?=
由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。
如 E2A2和 E3A3都趋于无穷大，则 X1趋于 5ql/8，横梁的弯矩图接近
于两跨连续梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/32
如 E2A2 或 E3A3趋于零，则 X1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支
梁的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
26
