1
?结构动力计算的特点和内容
?单自由度体系的 自由振动 和 强迫振动
?多自由度体系的自由振动和强迫振动
?无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动
?近似法求自振频率
?矩阵位移法求自振频率
2
1、结构动力计算的特点和内容
?动荷载与静荷载的区别
动荷载：大小、方向或位置随时间而变，
静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，
而且变得很快
或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。
?与静力计算的区别。 两者都是建立平衡方程，但动 力计
算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含
了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。
建立的方程是微分方程。
?动力计算的内容。 研究结构在动荷载作用下的动力反应
的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：
结构本身的动力特性,自振频率、阻尼、振型。（自由振动）
荷载的变化规律及其动力反应 。 （强迫振动）
2、动荷载分类。 按起变化规律及其作用特点可分为：
1）周期荷载：随时间作周期性变化 。（转动电机的偏心力）
§ 17-1 动力计算概述
3
偏心质量 m,偏心距 e,匀角速度 θ
惯性力,P=m θ2e,其竖向分量和
水平分量均为简谐荷载,
θt
P(t )
t
P
t
简谐荷载 （按正余弦规律变化） 一般周期荷载
2）冲击荷载,短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
t
P(t )
ttr
P
tr
P
3）随机荷载,(非确定性荷载 ) 荷载在将来任一时刻的数值无
法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
4
3、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为
体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由
度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一
个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
m
m>>m梁
m +αm梁 I I 2I
m+αm柱
厂房排架水平振动
时的计算简图
单自由度体系
三个自由度体系
5
水平振动时的计算体系
多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块
θ(t)
v(t)
u(t)
三个自由度 三个自由度
复杂体系可通过加支
杆限制质量运动的办
法确定体系的自由度
6
x
y(x)2）广义坐标法 将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线
?
?
?
n
i
ii xaxy
1
)()( ?
221,.,,,,??? 为满足位移边界条件已知函数,称为
形状函数,a1,a2,… an为待定的参数（广义坐标）。
?烟囱底部的位移条件, 0,0 ??
dx
dyy
于是近似设变形曲线为,
13221,...)( ????? nn xaxaxaxy
n个自由度体系
?简支梁的位移条件 y(0)=0,y(l)=0
于是近似设变形曲线为,
?
?
?
n
k
k l
xkaxy
1
s in)( ? n个自由度体系
7
几点注意：
1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。
2）体系的自由度与其超静定次数无关。
3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。
4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，
动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
8
单自由度体系动
力分析的 重要性
① 具有实际应用价值，或进行初步的估算。
②多自由度体系动力分析的基础。
自由振动 (固有振动 ),振动过程中没有干扰力作用，振动
是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。
一、自由振动微分方程的建立 （依据原理：达朗伯原理）
m
k
k y(t)y(t) m
1、刚度法
y
mky
从力系平衡角度建立的自由振动微分方程
2、柔度法
从位移协调角度建立的
自由振动微分方程
取振动体系为研究对象，
惯性力,δ=1/k
).,,,,,,, (0 akymy ??
..
my
..
my
..
myf I ??
..
).,,,,,, ()( bmyfy I ?? ???
..
§ 17-2 单自由度体系的自由振动
9
二、自由振动微分方程的解
)( mk?w
)sin()( aw ?? taty
sincos)( 00 www ?? tvtyty
)0( 020 ??? yCyy
cossin)( 21 ww ?? tCtCty y(t)
t
y0
－ y0
y(t )
t
v0/ω
－ v0/ω
T
t
a
－ a
T
α/ω
)(0 akyym ??.,02 yy ??? w..
)0( 010 w??? vCvy.
10
)sin()( aw ?? taty
sincos)( 00 www ?? tvtyty
0
01
v
ytg wa ??
2
2
02
0,
vya
w??0 cosav ?w ?0 sinay a?
sincoscossin tata wawa ??
振幅,
初始相位角,
三、结构的自振周期
)sin()( aw ?? taty )2( w??? ty))2(sin( aw?w ??? ta)2sin( ?aw ??? ta
周期函数的条件, y(t+T )=y(t )
)sin()( aw ?? taty 是周期函数,且周期是,
w
?2?T
频率,
?
w
2
1 ??
Tf
每秒钟内的振动次数,
圆频率, f
T ?
?w 22 ??
2π秒内的振动次数,
无阻尼自由振动是简谐振动
11
自振周期计算公式的几种形式,
g
stD? ?2
g
W? ??2m? ??2
k
m? ?2T ?
w
?2
圆频率计算
公式的几种形式,st
g
D?W
g?
?m
k?w
m
?
?
1
其中 δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质
点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。
k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动
方向施加的力。
Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为 W的荷载时质
点沿振动方向所产生的位移。
计算时可根据体系的具体情况，视 δ,k,Δst 三则中哪一
个最便于计算来选用。
一些重要性质：
（ 1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，
与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。
（ 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期
越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只
有从改变结构的质量或刚度着手。
（ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力
性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果
其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
W是质
点的重力
12
例 1：图示三根单跨梁,EI=常数，在梁中点有集中质量 m，
不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2
m m m
解,1）求 δ
EI
l
48
3
1 ??
P=13l/16
5l/32
P=1l/2
EI
lllll
EI
l
7 6 8
7)
32
5
216
3
22(6
1 32
1 ???????
EI
l
7 6 8
7 3
2 ?? EI
l
192
3
3 ??
3
1
1
481
ml
EI
m
??
?
w
3
2
2 7
7681
ml
EI
m
??
?
w
3
3
3
1 9 21
ml
EI
m
??
?
w
据此可得,ω1∷ ω2 ∷ ω3= 1∷ 1.512 ∷ 2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
13
l/2 l/2
m
l/2 l/2 k
1A
C B
33
96
)2/(
12
l
EI
l
EIQ
CB ????33
96
)2/(
12
l
EI
l
EIQ
CA ??
QCA QCB
3
192
l
EIQQk
CBCA ???
3
192
ml
EI
m
k ??w
例 2:求图示刚架的自振
频率。不计柱的质量。
EI EI
EI1=∞
m
l
h
1
3EI/h2 6EI/h2
6EI/h2
k
12EI/h33EI/h3
3
15
h
EIk ?
3
15
mh
EI
m
k ??w
14
27
4l
27
2l
9
l
1
1
3
l
EI
lllll
EI
l
4374
5)
9327
4
3
2(
6
1 33
11 ?????
3
11 5
4 3 7 41
ml
EI
m
??
?
w
l/3 2l/3
m例 3
例 4
l/2l
m
12l
EI
lllllll
EI 8
)
3
2
222
1
23
2
222
1(1 3
11 ????
3
11
81
ml
EI
m
??
?
w
15
1
θ
例 5 解法 1：求 k θ=1/h
MBA=kh = MBCk
1
h
m
I=∞ EI
B
A
C
lh
EI
l
EI 33 ?? ?
lmh
EI
m
k
2
11 3??w
2
3
lh
EIk ??
1
h
解法 2：求 δ
EI
lhhlh
EI 33
2
2
1 2
11 ???
2
11
31
mlh
EI
m
??
?
w
16
例 6
l
EI
m
k1
k11k11
k 3
3
l
EI解：求 k
311
3
l
EIkk ??
m
k
m
k lEI ??? 3311w
?对于静定结构一般计算柔度系数方便。
?如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架 )计算刚度系数方
便。
3
12
l
EI
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3
3
l
EI
两端刚结的杆的侧移刚度为：
17
强迫振动（受迫振动）,结构在荷载作用下的振动。
k y(t)
ym
ky
P(t ) m P(t )
P(t )
m
弹性力－ ky、惯性力
和荷载 P(t)之间的平衡方程为,
1、简谐荷载：
tmFtA ??w? s i ns i n)( 22 ???
tmFtAtA ??w?? sinsinsin 22 ???
tAy ?sin?
)( 22 w? ??
?
m
FA
tytm Fy st ?w??w?w sin)1( 1sin)1( 22222 ????
?
w
F
m
Fy
st ?? 2
单自由度体系强迫
振动的微分方程
特解：
my?
..
)(.,,,,,)( atPkymy ??
..
)1117()(2 ??? m tPyy w
..
my
..
m t
Fyy ?w sin2 ??..
§ 17-3 单自由度体系的强迫振动
18
最大静位移 yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生
的位移）。
tyy st ?
w?
s i n
1
1
22??
特解可写为：
通解可写为：
tytCtCy st ?
w?
ww s i n
1
1c o ss i n
2221 ????
设 t=0时的初始位移和
初始速度均为零，则：
0,1 2221 ???? CyC st w? w?
)sin( s i n
1
1
22 ttyy st ww
??
w?
?
?
?
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
按自振频率振动
按荷载频率振动
19
平稳阶段：
tyy st ?
w?
s i n
1
1
22??
最大动位移（振幅）为：
22m a x 1
1][
w??
? styy
22
m a x
1
1][
w?
?
?
??
sty
y
动力系数 β为：
1
0
2
3
1 2 3
w
?
?
重要的特性,
?当 θ/ω→0 时,β→1,荷载变
化得很慢，可当作静荷载处理。
?当 0<θ/ω<1时,β>1，并且随
θ/ω的增大而增大。
?当 θ/ω→1 时,β→∞ 。即当荷
载频率接近于自振频率时，振幅
会无限增大。称为“共振”。通常
把 0.75<θ/ω<1.25称为共振区。
?当 θ/ω>1时,β的绝对值随 θ/ω
的增大而减小。当 θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。
20
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各
截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内
力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动
力系数按静力方法来计算即可。
例：已知 m=300kg,EI=90× 105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。
2m
EI
m
k
Psinθt
2m
解,1)求 ω
kEI
l
2
1
2
1
48
3
21 ???? ???
EI
l
EI
l
EI
l
192
5
19248
333
????
1
3
11
16.1 3 4
5
1 9 21 ???? s
ml
EI
m ?
w
2)求 β
552.
1
1
22 ??? w??
mEIlPPy 35
333
max 1075.510901 9 2
4510205 5 2.1
1 9 2
5 ??
??
??????? ???
3)求 ymax,
Mmax
mkNlPM,04.31420552.141)(41m a x ?????? ?
21
例 17-3 有一简支梁（ I28b），惯性矩 I=7480cm4，截面系数
W=534cm3,E=2.1× 104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量
Q=35kN,转速 n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力
P=10kN,P的竖向分量为 Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动
的 动力系 数和 最大挠度 和 最大正应力 。梁长 l=4m.
解,1）求自振频率和荷载频率
SQlE Ig 1
343 4.574 0 0359 8 07 4 8 0101.24848 ????????
Sn 13.526050014.32602 ????? ??
2）求动力系数 β
88.5
4.573.521
1
1
1
2222 ????? w??
EI
Pl
EI
Qly
stst 4848
33
m a x ?? ???D?D
????? W lPQWPlWQl 4 )(44m a x ???
st
g
D?w
175.6MPa
必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质
点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由
度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
22b 3570c 4
3570 39.7
39.7 1.35
可见，对于本例，采
用较小的截面的梁既
可避免共振，又能获
得较好的经济效益。
52.3/57.4=0.91
325
149.2
22
2、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的
动力反应来推导
?瞬时冲量的动力反
应
设体系在 t=0时静止，
然后 有瞬时冲量 S作用。
P(t)
t
P
瞬时冲量 S引起的振动可视为
由初始条件引起的自由振动。
由动量定理：
tPSmv D??? 00
m
tP
m
Sv D??
0
00 ?y
Δt
tm Sty ww s i n)( ?
Δt
τ
t
t'
t'
tm Sty ?? ww sin)( )(sin ?ww ?? tm S
sincos )( 00 www ?? tvtyty
23
?任意荷载 P(t)的动力反应 P(t)
t
τ
?D
?? dPdS )(?
τ时刻的微分冲量对 t瞬时
(t > τ)引起的动力反应,
)(s i n)( ?ww ?? ?? tm dPdy
初始静止状态的单自由度体系
在任意荷载作用下的位移公式,
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
(Duhamel 积分 )…… （ 17-15）
初始位移 y0和初始速度 v0不为零在任意荷载作用下的位移公式,
??w?wwww dtPmtvtyty t )(s in)(1s inc o s)(
0
0
0 ???? ?
t
24
?几种荷载的动力反应
1）突加荷载
?
?
?
?
??
?tP
ttP
当
当
,
0,0)(
0
P(t)
t
P
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
??ww dtPmty t )(sin1)( 0 0 ??? )c o s1()c o s1(20 tyt
m
P
st www ????
yst=P0δ=P0/mω2
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π质点围绕静力平衡
位置作简谐振动
2)]([ m a x ??
sty
ty?
yst
yst
25
2）短时荷载
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同,)co s1()( tyty
st w??
阶段 Ⅱ (t>u)：无荷载，体系以 t=u时刻的位移
和速度 为初始条件作自由振动。
)c o s1()( uyuy st w??
uyuv st ww sin)( ?
sincos )( 00 www ?? tvtyty )(s i ns i n)(c o s)c o s1()( utuyutuyty stst ????? wwww
)c o s)((c o s tuty st ww ???
或者直接由 Duhamel积分作
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
??ww dtPmty u )(s i n1)( 0 0 ???
)c o s)(( c o s20 tut
m
P ww
w
??? )2(s i n2s i n2 utuy st ?? ww
26
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。
P(t)
t
P
P(t)
t
P
u
P(t)
t
P
u
)co s1()( tyty st w??
))(c o s1()( utyty st ??? w
当 0<ｔ < u
)co s1()( tyty st w??
当 ｔ > u
)co s1()( tyty st w?? ))(c o s1( uty st ??? w
)c o s)((c o s tuty st ww ??? )
2(s i n2s i n2
utuy
st ?? w
w
27
单自由度体系的强迫振动 (无阻尼 )
1、简谐荷载
稳态反应,tyy
st ?? s in?
m t
Fyy ?w sin2 ??..
2w? m
FFy
st ??
荷载幅值引起
的静位移
221
1
w?? ??
β动力系数
位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。
ymtmymyI st 22 s i n,??? ????惯性力
惯性力与位移同方向同时达到幅值。
stymI ?? 2m a x ?
动内力计算：
?当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系
数与位移动力系数相同。动内力幅值为,Md=βMst
Mst是动荷载幅值引起的静内力。
?当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力
系数与位移动力系数不相同。需先求出惯性力幅值，将其作用
在质点上，与动荷载幅值共同作用，按一般静力计算方法求内
力。
28
一般荷载作用下的动力反应利用瞬时冲量的动力反应推导
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
(Duhamel 积分 )…… （ 17-15）
1）突加荷载
?
?
?
?
??
?tP
ttP
当
当
,
0,0)(
0
P(t)
t
P
)co s1()( tyty st w??
yst=P0δ=P0/mω2
质点围绕静力平衡
位置作简谐振动
2)]([ m a x ??
sty
ty? y
st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
yst
yst
29
2）短时荷载
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同：
)co s1()( tyty st w??
阶段 Ⅱ (t>u)：
2
0
wm
Py
st ?
)2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ww
30
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
ωT
最大动反应
1）当 u >T/2 最大动位移
发生在阶段 Ⅰ
)co s1()( tyty st w??
styy 2m a x ?
2）当 u <T/2 最大动位移
发生在阶段 Ⅱ
β=2
)2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ww 2sin2m a x uyy st w?
2s i n2
uw? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
,2
2
1
,s i n2
T
u
T
u
T
u
当
当
?
?
T
u
β
1/6
1
1/2
2
动力系数反应谱
(β 与 T 和 μ 之间的关系曲线 )
31
3）线性渐增荷载
??
?
?
?
?
???
r
r
r
ttP
tt
t
tP
tP
当
当
,
0,)(
0
0
P(t)
t
P0
tr
这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel积分来求,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
rr
r
st
r
r
st
ttttt
t
y
tt
t
t
t
y
ty
当
当
,)}(sin{ s i n
1
1
,
sin
)(
ww
w
w
w
对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有
很大的关系。其动力系数的反应谱如下：
32
0 1.0 2.0 3.0 4.0 Ttr
1.4
1.2
1.0
1.6
1.8
2.0β
tr
P0
动力系数反应谱
动力系数 β介乎 1与 2之间。
如果升载很短,tr<T/4,则 β接近于 2,即相当于突加荷载情况。
如果升载很长,tr>4T,则 β接近于 1,即相当于静荷载情况。
常取外包虚线作为设计的依据。
33
t
y 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线
因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能 =0），故在
振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减
小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。
振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。
阻尼对振动的影响
34
忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。大体上
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
?产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内
摩擦；周围介质的阻力。
?阻尼力的确定：总与质点速度反向 ;大小与质点速度有如下关系：
①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
③与质点速度无关（如摩擦力）。
?粘滞阻尼力的分析比较简单,(因为 R(t)=－ Cy ).
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
35
?考虑阻尼的振动模型
y
ky
k
m
P(t )
P(t )
y
动平衡方程：
1、有阻尼的自由振动
w?w mcmk 2,??
( 阻尼比）
)1( 2 ?±?? ??wl
02 22 ??? w?wll)( ? ltCety设解为,特征方程为：
1)ξ<1（低阻尼）情况
21 ?www?wl ????? rri 其中
? ?tCtCey rrt ww?w s i nc o s 21 ?? ?
???
?
???
? ??? ? tyvtyey
r
r
r
t w
w
?ww?w s i nco s 00
0
c
)2317(...02 2 ???? yyy w?w
..,
)2217(...)( ???? tPkycymy
..,
cy
.
my
..
36
00
0
2
2
002
0
)(
)s i n (
yv
y
tg
yv
ya
taey
r
r
r
t
?w
w
a
w
?w
aw
?w
?
?
?
??
??
?
ae-ξωt
t
y
t
y
低阻尼 y- t曲线
无阻尼 y- t曲线
① 阻尼对自振频率的影响,
????? 而随 ?w?ww,1 2r
当 ξ<0.2,则 0.96<ωr/ω<1
在工程结构问题中 0.01<ξ<0.1
可近似取,
② 阻尼对振幅的影响,
振幅 ae-ξωt 随时间衰减,相邻两个振幅的比
)s i n (
))(s i n ()(1
aw
aw
?w
?w
?
???
?
??
?
tae
Ttae
y
y
r
t
r
Tt
k
k
振幅按等比级数递减,
TT rr ??,ww
常数?? ?? T
k
k e
y
y ?w1
37
r
T
k
k Te
y
y
w
??w?w?w 2lnln
1
???
?
称为振幅的对数递减率,
11
ln2 1ln2 1,1 2.0
??
?????
k
k
k
krr
y
y
y
y
?w
w
??w
w? 则如
nk
k
y
y
n ?? ln2
1
??
设 yk和 yk+n是相隔 n个周期的两个振幅则,
经过一个周期后,相邻两振幅 yk和 yk+1的比值的对数为,
2)ξ=1（临界阻尼）情况 )1( 2?±?? ??wl ??w l
tt etCCCey wl ???? )( 21
tetvtyy ww ???? ])1([ 00
)2317(.,,02 2 ???? yyy w?w
t
y
y 0
θ0
00 vtg ??
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
工程中常用此方法测定阻尼
39
临界阻尼常数 cr是 ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
w? mc 2? mkmc r 22 ?? w
rc
c??
阻尼比。反映阻尼
情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼,不出现振动，实际问题不常见。
2、有阻尼的强迫振动
① 单独由 v0引起的自由振动：
（低阻尼体系,ξ<1）
② 瞬时冲量 dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以 v0=Pdt/m，
y0=0为初始条件的自由振动：
tvey r
r
t w
w
?w s i n0??
tmP d tey r
r
t w
w
?w s i n??
③ 将荷载 P(t)的加载过程
看作一系列瞬时冲量
举例
)(s i n)( )( ?ww ?? ??w ?? ?? tem dPdy rt
r④ 总反应
??ww? ??w dtemPty rtt
r
)(s i n)()( )(0 ??? ??
???
?
???
? ??? ? tyvtye
r
r
r
t w
w
?ww?w s i nco s 00
0
P(t)
t
τ
?d
?? dPdS )(?
t
1=cr
40
（ 1）突加荷载 P0
)]sin( c o s1[)( 20 tte
m
Pty
r
r
r
t w
w
?ww
w
?w ??? ?
低阻尼 y- t曲线
无阻尼 y- t曲线
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
静
力
平
衡
位
置
具有阻尼的体系在
突加荷载作用下，
最初所引起的最大
位移接近于静位移
yst=P0/mω2的两倍，
然后逐渐衰减，最
后停留在静力平衡
位置。
41
（ 2）简谐荷载 P(t)=Fsinθt
设特解为,y=Asinθt+Bcosθt 代入（ 17-34）得：
222222222222
22
4)(
2,
4)( ?w??w
? w ?
?w??w
?w
??
??
??
??
m
FB
m
FA
? ?}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ww?w ?? ? +{Asinθt+Bcosθt}
齐次解加特解得到通解：
自由振动，因阻尼作用，
逐渐衰减、消失。
纯强迫振动，平稳振动，
振幅和周期不随时间而变,
结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯
强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－ α)
2
11
2
2
2
2
2
2
22
)(1
)(2
,41
2
1
w
?
w
??
a
w
?
?
w
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
????
??
?
tg
A
B
tg
yBAy
stP
振幅,yp，最大静力位移
yst=F/k=F/mω2
??
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
w
??
w
?
)3417(s i n2 2 ???? tmFyyy ?w?w
..,
tyty pp ?a?a c o ss i ns i nc o s ??
42
??
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
w
??
w
?
动力系数 β与频率比 θ/ω和阻尼比 ξ有关
4.0
3.0
2.0
1.0
0 1.0 2.0 3.0
β
θ/ω
ξ=0
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.3
ξ=0.5
ξ=1.0
几点讨论：
①随 ζ增大 β曲线渐趋平缓，
特别是在 θ/ω=1附近 β的
峰值下降的最为显著 。
②当 θ接近 ω时,β增加的
?? 2
1?
共振时
很快,ξ对 β的数值影响
也很大。在 0.75<θ/ω<1.25
(共振区 )内，阻尼大大地减
小了受迫振动的位移,因此,
为了研究共振时的动力反映,
阻尼的影响是不容忽略。 在
共振区之外阻尼对 β的影响
较小，可按无阻尼计算。
43
③ βmax并不发生在共振 θ/ω=1时,而发生在，
④ 由 y=yPsin(θt－ α) 可见，
只要有阻尼位移总滞后荷载
P=Fsinθt一个 相位角 α，
????? w? 2
1
12
1
12ma x ???? ?
2
1
)(1
)(2
w
?
w
??
a
?
? ?tg
但因 ξ很小，可近似地认为：
221 ?
w
? ??
?当 θ<<ω时,α→0 ° 体系振动得很慢,FI,R较小，动荷主
要由 S平衡,(即 P与 S反向 ),S与 y反向,y与 P基本上同步；
荷载可作静荷载处理。
?当 θ>>ω时,α→180 ° 体系振动得很快,FI很大,S,R相对
说来较小，动荷主要由 FI 平衡,FI 与 y同向,y与 P反向；
位移 y、弹性力 S，惯性力 FI,阻尼力 R分别为：
)c o s (),s i n (
),s i n (),s i n (
2 a??a??
a?a?
?????????
???????
tyccyRtymmyF
tkykyStyy
PP
I
PP,..
44
t?sin?21
m
F
w 2 tF
?sin??
k
mw?2 2??
tym P ?w?? sin2) ??
tymF PI 90?）?? sin(2 ??tkyS P ? ),90sin( ??? o
?当 θ=ω时,α→90 °
由此可见：共振时（ θ=ω）,S与 FI刚好互相平衡，
β yst
2
1
)(1
)(2
w
?
w
??
a
?
? ?tg
有无阻尼
均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位
移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力
与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。
k=mω2=mθ2 )c o s (
),s i n (
),s i n (
),s i n (
2
a??
a??
a?
a?
?????
????
?????
??
tyccyR
tymmyF
tkykyS
tyy
P
P
I
P
P
..
.
tycycR P ?? 90cos( ????? o.
=－ P(t)
45
⑤ 强迫振动时的能量转换
?振动荷载 Fsinθt在振动一个周期所输入的能量
dtytFdtdtdytFdytFdW P ???????? ??? s i ns i ns i n
.在时间段 dt内
在一个周期内
a???? s i ns i n20 FytdytPU pP ???? ?
.
在时间段 dt内
在一个周期内
???? 20 22 pR cytdcyU ??? ?
.
?粘滞阻尼力－ cy 在振动一个周期所消耗的能量.
dtcydtdtdycydycydW R ?????????? 2
.,,
当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动
不衰减,就必须经常补充以能量,当稳态振动时,UR=UP
a??? s i n2 Fycy pp ? a
? s i nc
Fy
p ??
222222 4)(
2s i n
?w??w
? w ?a
???
??
m
F
y
B
p
2
1
2
2
2
2
2
2
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
? ??
w
??
w
?
stP yy
46
⑥ 弹性动内力幅值的计算
?一般方法,由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达
到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和
惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。
惯性力与位移同时达到幅值。
荷载与
位移
无阻尼时同时达到幅值。
有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角 α。
?比例算法,单自由度体系且荷载作用在振动质点上 (动荷载
与惯性力同向 )时，产生振幅 yd的外力 P为,
FPFyyP stp ????? ????? 1111
这意味着,在位移达到幅值时,可用 βF代替惯性力和荷载的
共同作用,由此可知,将结构在 P=1作用下的内力图放大 βF倍就是
结构的弹性动内力图。
注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时
不必考虑阻尼力。
47
?结构动力计算的特点和内容
?单自由度体系的 自由振动 和 强迫振动
?多自由度体系的自由振动和强迫振动
?无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 度 振 动
?近似法求自振频率
?矩阵位移法求自振频率
2
1、结构动力计算的特点和内容
?动荷载与静荷载的区别
动荷载：大小、方向或位置随时间而变，
静荷载：大小、方向或位置不随时间而变，
而且变得很快
或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准是结构的自振频率。
?与静力计算的区别。 两者都是建立平衡方程，但动 力计
算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中 包含
了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间的函 数。
建立的方程是微分方程。
?动力计算的内容。 研究结构在动荷载作用下的动力反应
的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：
结构本身的动力特性,自振频率、阻尼、振型。（自由振动）
荷载的变化规律及其动力反应 。 （强迫振动）
2、动荷载分类。 按起变化规律及其作用特点可分为：
1）周期荷载：随时间作周期性变化 。（转动电机的偏心力）
§ 17-1 动力计算概述
3
偏心质量 m,偏心距 e,匀角速度 θ
惯性力,P=m θ2e,其竖向分量和
水平分量均为简谐荷载,
θt
P(t )
t
P
t
简谐荷载 （按正余弦规律变化） 一般周期荷载
2）冲击荷载,短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
t
P(t )
ttr
P
tr
P
3）随机荷载,(非确定性荷载 ) 荷载在将来任一时刻的数值无
法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
4
3、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为
体系的振动自由度。
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由
度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一
个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。
m
m>>m梁
m +αm梁 I I 2I
m+αm柱
厂房排架水平振动
时的计算简图
单自由度体系
三个自由度体系
5
水平振动时的计算体系
多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块
θ(t)
v(t)
u(t)
三个自由度 三个自由度
复杂体系可通过加支
杆限制质量运动的办
法确定体系的自由度
6
x
y(x)2）广义坐标法 将无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种方法假设震动曲线
?
?
?
n
i
ii xaxy
1
)()( ?
221,.,,,,??? 为满足位移边界条件已知函数,称为
形状函数,a1,a2,… an为待定的参数（广义坐标）。
?烟囱底部的位移条件, 0,0 ??
dx
dyy
于是近似设变形曲线为,
13221,...)( ????? nn xaxaxaxy
n个自由度体系
?简支梁的位移条件 y(0)=0,y(l)=0
于是近似设变形曲线为,
?
?
?
n
k
k l
xkaxy
1
s in)( ? n个自由度体系
7
几点注意：
1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。
2）体系的自由度与其超静定次数无关。
3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。
4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，
动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。
8
单自由度体系动
力分析的 重要性
① 具有实际应用价值，或进行初步的估算。
②多自由度体系动力分析的基础。
自由振动 (固有振动 ),振动过程中没有干扰力作用，振动
是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。
一、自由振动微分方程的建立 （依据原理：达朗伯原理）
m
k
k y(t)y(t) m
1、刚度法
y
mky
从力系平衡角度建立的自由振动微分方程
2、柔度法
从位移协调角度建立的
自由振动微分方程
取振动体系为研究对象，
惯性力,δ=1/k
).,,,,,,, (0 akymy ??
..
my
..
my
..
myf I ??
..
).,,,,,, ()( bmyfy I ?? ???
..
§ 17-2 单自由度体系的自由振动
9
二、自由振动微分方程的解
)( mk?w
)sin()( aw ?? taty
sincos)( 00 www ?? tvtyty
)0( 020 ??? yCyy
cossin)( 21 ww ?? tCtCty y(t)
t
y0
－ y0
y(t )
t
v0/ω
－ v0/ω
T
t
a
－ a
T
α/ω
)(0 akyym ??.,02 yy ??? w..
)0( 010 w??? vCvy.
10
)sin()( aw ?? taty
sincos)( 00 www ?? tvtyty
0
01
v
ytg wa ??
2
2
02
0,
vya
w??0 cosav ?w ?0 sinay a?
sincoscossin tata wawa ??
振幅,
初始相位角,
三、结构的自振周期
)sin()( aw ?? taty )2( w??? ty))2(sin( aw?w ??? ta)2sin( ?aw ??? ta
周期函数的条件, y(t+T )=y(t )
)sin()( aw ?? taty 是周期函数,且周期是,
w
?2?T
频率,
?
w
2
1 ??
Tf
每秒钟内的振动次数,
圆频率, f
T ?
?w 22 ??
2π秒内的振动次数,
无阻尼自由振动是简谐振动
11
自振周期计算公式的几种形式,
g
stD? ?2
g
W? ??2m? ??2
k
m? ?2T ?
w
?2
圆频率计算
公式的几种形式,st
g
D?W
g?
?m
k?w
m
?
?
1
其中 δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质
点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。
k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动
方向施加的力。
Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为 W的荷载时质
点沿振动方向所产生的位移。
计算时可根据体系的具体情况，视 δ,k,Δst 三则中哪一
个最便于计算来选用。
一些重要性质：
（ 1）自振周期与 且只与结构的质量和结构的刚度有关，
与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 a。
（ 2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期
越大（频率于小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度
越大，周期越小（频率于大）；要改变结构的自振周期，只
有从改变结构的质量或刚度着手。
（ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力
性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果
其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
W是质
点的重力
12
例 1：图示三根单跨梁,EI=常数，在梁中点有集中质量 m，
不考虑梁的质量，试比较三则者的自振频率。
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2
m m m
解,1）求 δ
EI
l
48
3
1 ??
P=13l/16
5l/32
P=1l/2
EI
lllll
EI
l
7 6 8
7)
32
5
216
3
22(6
1 32
1 ???????
EI
l
7 6 8
7 3
2 ?? EI
l
192
3
3 ??
3
1
1
481
ml
EI
m
??
?
w
3
2
2 7
7681
ml
EI
m
??
?
w
3
3
3
1 9 21
ml
EI
m
??
?
w
据此可得,ω1∷ ω2 ∷ ω3= 1∷ 1.512 ∷ 2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
13
l/2 l/2
m
l/2 l/2 k
1A
C B
33
96
)2/(
12
l
EI
l
EIQ
CB ????33
96
)2/(
12
l
EI
l
EIQ
CA ??
QCA QCB
3
192
l
EIQQk
CBCA ???
3
192
ml
EI
m
k ??w
例 2:求图示刚架的自振
频率。不计柱的质量。
EI EI
EI1=∞
m
l
h
1
3EI/h2 6EI/h2
6EI/h2
k
12EI/h33EI/h3
3
15
h
EIk ?
3
15
mh
EI
m
k ??w
14
27
4l
27
2l
9
l
1
1
3
l
EI
lllll
EI
l
4374
5)
9327
4
3
2(
6
1 33
11 ?????
3
11 5
4 3 7 41
ml
EI
m
??
?
w
l/3 2l/3
m例 3
例 4
l/2l
m
12l
EI
lllllll
EI 8
)
3
2
222
1
23
2
222
1(1 3
11 ????
3
11
81
ml
EI
m
??
?
w
15
1
θ
例 5 解法 1：求 k θ=1/h
MBA=kh = MBCk
1
h
m
I=∞ EI
B
A
C
lh
EI
l
EI 33 ?? ?
lmh
EI
m
k
2
11 3??w
2
3
lh
EIk ??
1
h
解法 2：求 δ
EI
lhhlh
EI 33
2
2
1 2
11 ???
2
11
31
mlh
EI
m
??
?
w
16
例 6
l
EI
m
k1
k11k11
k 3
3
l
EI解：求 k
311
3
l
EIkk ??
m
k
m
k lEI ??? 3311w
?对于静定结构一般计算柔度系数方便。
?如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架 )计算刚度系数方
便。
3
12
l
EI
一端铰结的杆的侧移刚度为：
3
3
l
EI
两端刚结的杆的侧移刚度为：
17
强迫振动（受迫振动）,结构在荷载作用下的振动。
k y(t)
ym
ky
P(t ) m P(t )
P(t )
m
弹性力－ ky、惯性力
和荷载 P(t)之间的平衡方程为,
1、简谐荷载：
tmFtA ??w? s i ns i n)( 22 ???
tmFtAtA ??w?? sinsinsin 22 ???
tAy ?sin?
)( 22 w? ??
?
m
FA
tytm Fy st ?w??w?w sin)1( 1sin)1( 22222 ????
?
w
F
m
Fy
st ?? 2
单自由度体系强迫
振动的微分方程
特解：
my?
..
)(.,,,,,)( atPkymy ??
..
)1117()(2 ??? m tPyy w
..
my
..
m t
Fyy ?w sin2 ??..
§ 17-3 单自由度体系的强迫振动
18
最大静位移 yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生
的位移）。
tyy st ?
w?
s i n
1
1
22??
特解可写为：
通解可写为：
tytCtCy st ?
w?
ww s i n
1
1c o ss i n
2221 ????
设 t=0时的初始位移和
初始速度均为零，则：
0,1 2221 ???? CyC st w? w?
)sin( s i n
1
1
22 ttyy st ww
??
w?
?
?
?
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；
平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
按自振频率振动
按荷载频率振动
19
平稳阶段：
tyy st ?
w?
s i n
1
1
22??
最大动位移（振幅）为：
22m a x 1
1][
w??
? styy
22
m a x
1
1][
w?
?
?
??
sty
y
动力系数 β为：
1
0
2
3
1 2 3
w
?
?
重要的特性,
?当 θ/ω→0 时,β→1,荷载变
化得很慢，可当作静荷载处理。
?当 0<θ/ω<1时,β>1，并且随
θ/ω的增大而增大。
?当 θ/ω→1 时,β→∞ 。即当荷
载频率接近于自振频率时，振幅
会无限增大。称为“共振”。通常
把 0.75<θ/ω<1.25称为共振区。
?当 θ/ω>1时,β的绝对值随 θ/ω
的增大而减小。当 θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。
20
当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各
截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的动内
力和动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动
力系数按静力方法来计算即可。
例：已知 m=300kg,EI=90× 105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1
求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。
2m
EI
m
k
Psinθt
2m
解,1)求 ω
kEI
l
2
1
2
1
48
3
21 ???? ???
EI
l
EI
l
EI
l
192
5
19248
333
????
1
3
11
16.1 3 4
5
1 9 21 ???? s
ml
EI
m ?
w
2)求 β
552.
1
1
22 ??? w??
mEIlPPy 35
333
max 1075.510901 9 2
4510205 5 2.1
1 9 2
5 ??
??
??????? ???
3)求 ymax,
Mmax
mkNlPM,04.31420552.141)(41m a x ?????? ?
21
例 17-3 有一简支梁（ I28b），惯性矩 I=7480cm4，截面系数
W=534cm3,E=2.1× 104kN/cm2。在跨度中点有电动机重量
Q=35kN,转速 n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力
P=10kN,P的竖向分量为 Psinθt。忽略梁的质量，试求强迫振动
的 动力系 数和 最大挠度 和 最大正应力 。梁长 l=4m.
解,1）求自振频率和荷载频率
SQlE Ig 1
343 4.574 0 0359 8 07 4 8 0101.24848 ????????
Sn 13.526050014.32602 ????? ??
2）求动力系数 β
88.5
4.573.521
1
1
1
2222 ????? w??
EI
Pl
EI
Qly
stst 4848
33
m a x ?? ???D?D
????? W lPQWPlWQl 4 )(44m a x ???
st
g
D?w
175.6MPa
必须特别注意，这种处理方法只适用于单自由度体系在质
点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由
度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。
22b 3570c 4
3570 39.7
39.7 1.35
可见，对于本例，采
用较小的截面的梁既
可避免共振，又能获
得较好的经济效益。
52.3/57.4=0.91
325
149.2
22
2、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的
动力反应来推导
?瞬时冲量的动力反
应
设体系在 t=0时静止，
然后 有瞬时冲量 S作用。
P(t)
t
P
瞬时冲量 S引起的振动可视为
由初始条件引起的自由振动。
由动量定理：
tPSmv D??? 00
m
tP
m
Sv D??
0
00 ?y
Δt
tm Sty ww s i n)( ?
Δt
τ
t
t'
t'
tm Sty ?? ww sin)( )(sin ?ww ?? tm S
sincos )( 00 www ?? tvtyty
23
?任意荷载 P(t)的动力反应 P(t)
t
τ
?D
?? dPdS )(?
τ时刻的微分冲量对 t瞬时
(t > τ)引起的动力反应,
)(s i n)( ?ww ?? ?? tm dPdy
初始静止状态的单自由度体系
在任意荷载作用下的位移公式,
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
(Duhamel 积分 )…… （ 17-15）
初始位移 y0和初始速度 v0不为零在任意荷载作用下的位移公式,
??w?wwww dtPmtvtyty t )(s in)(1s inc o s)(
0
0
0 ???? ?
t
24
?几种荷载的动力反应
1）突加荷载
?
?
?
?
??
?tP
ttP
当
当
,
0,0)(
0
P(t)
t
P
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
??ww dtPmty t )(sin1)( 0 0 ??? )c o s1()c o s1(20 tyt
m
P
st www ????
yst=P0δ=P0/mω2
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π质点围绕静力平衡
位置作简谐振动
2)]([ m a x ??
sty
ty?
yst
yst
25
2）短时荷载
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同,)co s1()( tyty
st w??
阶段 Ⅱ (t>u)：无荷载，体系以 t=u时刻的位移
和速度 为初始条件作自由振动。
)c o s1()( uyuy st w??
uyuv st ww sin)( ?
sincos )( 00 www ?? tvtyty )(s i ns i n)(c o s)c o s1()( utuyutuyty stst ????? wwww
)c o s)((c o s tuty st ww ???
或者直接由 Duhamel积分作
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
??ww dtPmty u )(s i n1)( 0 0 ???
)c o s)(( c o s20 tut
m
P ww
w
??? )2(s i n2s i n2 utuy st ?? ww
26
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。
P(t)
t
P
P(t)
t
P
u
P(t)
t
P
u
)co s1()( tyty st w??
))(c o s1()( utyty st ??? w
当 0<ｔ < u
)co s1()( tyty st w??
当 ｔ > u
)co s1()( tyty st w?? ))(c o s1( uty st ??? w
)c o s)((c o s tuty st ww ??? )
2(s i n2s i n2
utuy
st ?? w
w
27
单自由度体系的强迫振动 (无阻尼 )
1、简谐荷载
稳态反应,tyy
st ?? s in?
m t
Fyy ?w sin2 ??..
2w? m
FFy
st ??
荷载幅值引起
的静位移
221
1
w?? ??
β动力系数
位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。
ymtmymyI st 22 s i n,??? ????惯性力
惯性力与位移同方向同时达到幅值。
stymI ?? 2m a x ?
动内力计算：
?当动荷载作用在质点且与质点运动方向一致时，内力动力系
数与位移动力系数相同。动内力幅值为,Md=βMst
Mst是动荷载幅值引起的静内力。
?当动荷载不作用在质点或与质点运动方向不一致时，内力动力
系数与位移动力系数不相同。需先求出惯性力幅值，将其作用
在质点上，与动荷载幅值共同作用，按一般静力计算方法求内
力。
28
一般荷载作用下的动力反应利用瞬时冲量的动力反应推导
??w?w dtPmty t )(sin)(1)( 0 ???
(Duhamel 积分 )…… （ 17-15）
1）突加荷载
?
?
?
?
??
?tP
ttP
当
当
,
0,0)(
0
P(t)
t
P
)co s1()( tyty st w??
yst=P0δ=P0/mω2
质点围绕静力平衡
位置作简谐振动
2)]([ m a x ??
sty
ty? y
st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
yst
yst
29
2）短时荷载
?
?
?
?
?
?
??
?
?
ut
utP
t
tP
,0
0,
0,0
)( 0
P(t)
t
P
u
阶段 Ⅰ (0<t<u),与突加荷载相同：
)co s1()( tyty st w??
阶段 Ⅱ (t>u)：
2
0
wm
Py
st ?
)2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ww
30
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π
ωT
最大动反应
1）当 u >T/2 最大动位移
发生在阶段 Ⅰ
)co s1()( tyty st w??
styy 2m a x ?
2）当 u <T/2 最大动位移
发生在阶段 Ⅱ
β=2
)2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ww 2sin2m a x uyy st w?
2s i n2
uw? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
,2
2
1
,s i n2
T
u
T
u
T
u
当
当
?
?
T
u
β
1/6
1
1/2
2
动力系数反应谱
(β 与 T 和 μ 之间的关系曲线 )
31
3）线性渐增荷载
??
?
?
?
?
???
r
r
r
ttP
tt
t
tP
tP
当
当
,
0,)(
0
0
P(t)
t
P0
tr
这种荷载引起的动力反应同样可由 Duhamel积分来求,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
rr
r
st
r
r
st
ttttt
t
y
tt
t
t
t
y
ty
当
当
,)}(sin{ s i n
1
1
,
sin
)(
ww
w
w
w
对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有
很大的关系。其动力系数的反应谱如下：
32
0 1.0 2.0 3.0 4.0 Ttr
1.4
1.2
1.0
1.6
1.8
2.0β
tr
P0
动力系数反应谱
动力系数 β介乎 1与 2之间。
如果升载很短,tr<T/4,则 β接近于 2,即相当于突加荷载情况。
如果升载很长,tr>4T,则 β接近于 1,即相当于静荷载情况。
常取外包虚线作为设计的依据。
33
t
y 钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线
因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能 =0），故在
振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减
小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗。
振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。
阻尼对振动的影响
34
忽略阻尼影响时所得结果 能不能 反映实际结构的振动规律。大体上
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。 共振时的振幅较大但为有限值。
?产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内
摩擦；周围介质的阻力。
?阻尼力的确定：总与质点速度反向 ;大小与质点速度有如下关系：
①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。
②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。
③与质点速度无关（如摩擦力）。
?粘滞阻尼力的分析比较简单,(因为 R(t)=－ Cy ).
其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
35
?考虑阻尼的振动模型
y
ky
k
m
P(t )
P(t )
y
动平衡方程：
1、有阻尼的自由振动
w?w mcmk 2,??
( 阻尼比）
)1( 2 ?±?? ??wl
02 22 ??? w?wll)( ? ltCety设解为,特征方程为：
1)ξ<1（低阻尼）情况
21 ?www?wl ????? rri 其中
? ?tCtCey rrt ww?w s i nc o s 21 ?? ?
???
?
???
? ??? ? tyvtyey
r
r
r
t w
w
?ww?w s i nco s 00
0
c
)2317(...02 2 ???? yyy w?w
..,
)2217(...)( ???? tPkycymy
..,
cy
.
my
..
36
00
0
2
2
002
0
)(
)s i n (
yv
y
tg
yv
ya
taey
r
r
r
t
?w
w
a
w
?w
aw
?w
?
?
?
??
??
?
ae-ξωt
t
y
t
y
低阻尼 y- t曲线
无阻尼 y- t曲线
① 阻尼对自振频率的影响,
????? 而随 ?w?ww,1 2r
当 ξ<0.2,则 0.96<ωr/ω<1
在工程结构问题中 0.01<ξ<0.1
可近似取,
② 阻尼对振幅的影响,
振幅 ae-ξωt 随时间衰减,相邻两个振幅的比
)s i n (
))(s i n ()(1
aw
aw
?w
?w
?
???
?
??
?
tae
Ttae
y
y
r
t
r
Tt
k
k
振幅按等比级数递减,
TT rr ??,ww
常数?? ?? T
k
k e
y
y ?w1
37
r
T
k
k Te
y
y
w
??w?w?w 2lnln
1
???
?
称为振幅的对数递减率,
11
ln2 1ln2 1,1 2.0
??
?????
k
k
k
krr
y
y
y
y
?w
w
??w
w? 则如
nk
k
y
y
n ?? ln2
1
??
设 yk和 yk+n是相隔 n个周期的两个振幅则,
经过一个周期后,相邻两振幅 yk和 yk+1的比值的对数为,
2)ξ=1（临界阻尼）情况 )1( 2?±?? ??wl ??w l
tt etCCCey wl ???? )( 21
tetvtyy ww ???? ])1([ 00
)2317(.,,02 2 ???? yyy w?w
t
y
y 0
θ0
00 vtg ??
这条曲线仍具有衰减性，
但不具有波动性。
工程中常用此方法测定阻尼
39
临界阻尼常数 cr是 ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
w? mc 2? mkmc r 22 ?? w
rc
c??
阻尼比。反映阻尼
情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼,不出现振动，实际问题不常见。
2、有阻尼的强迫振动
① 单独由 v0引起的自由振动：
（低阻尼体系,ξ<1）
② 瞬时冲量 dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以 v0=Pdt/m，
y0=0为初始条件的自由振动：
tvey r
r
t w
w
?w s i n0??
tmP d tey r
r
t w
w
?w s i n??
③ 将荷载 P(t)的加载过程
看作一系列瞬时冲量
举例
)(s i n)( )( ?ww ?? ??w ?? ?? tem dPdy rt
r④ 总反应
??ww? ??w dtemPty rtt
r
)(s i n)()( )(0 ??? ??
???
?
???
? ??? ? tyvtye
r
r
r
t w
w
?ww?w s i nco s 00
0
P(t)
t
τ
?d
?? dPdS )(?
t
1=cr
40
（ 1）突加荷载 P0
)]sin( c o s1[)( 20 tte
m
Pty
r
r
r
t w
w
?ww
w
?w ??? ?
低阻尼 y- t曲线
无阻尼 y- t曲线
y st
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
y(t)
ωt
0 π 2π 3π 4π 5π
静
力
平
衡
位
置
具有阻尼的体系在
突加荷载作用下，
最初所引起的最大
位移接近于静位移
yst=P0/mω2的两倍，
然后逐渐衰减，最
后停留在静力平衡
位置。
41
（ 2）简谐荷载 P(t)=Fsinθt
设特解为,y=Asinθt+Bcosθt 代入（ 17-34）得：
222222222222
22
4)(
2,
4)( ?w??w
? w ?
?w??w
?w
??
??
??
??
m
FB
m
FA
? ?}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ww?w ?? ? +{Asinθt+Bcosθt}
齐次解加特解得到通解：
自由振动，因阻尼作用，
逐渐衰减、消失。
纯强迫振动，平稳振动，
振幅和周期不随时间而变,
结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯
强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－ α)
2
11
2
2
2
2
2
2
22
)(1
)(2
,41
2
1
w
?
w
??
a
w
?
?
w
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
????
??
?
tg
A
B
tg
yBAy
stP
振幅,yp，最大静力位移
yst=F/k=F/mω2
??
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
w
??
w
?
)3417(s i n2 2 ???? tmFyyy ?w?w
..,
tyty pp ?a?a c o ss i ns i nc o s ??
42
??
st
P
y
y?
2
1
2
2
2
2
2
2
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
w
??
w
?
动力系数 β与频率比 θ/ω和阻尼比 ξ有关
4.0
3.0
2.0
1.0
0 1.0 2.0 3.0
β
θ/ω
ξ=0
ξ=0.1
ξ=0.2
ξ=0.3
ξ=0.5
ξ=1.0
几点讨论：
①随 ζ增大 β曲线渐趋平缓，
特别是在 θ/ω=1附近 β的
峰值下降的最为显著 。
②当 θ接近 ω时,β增加的
?? 2
1?
共振时
很快,ξ对 β的数值影响
也很大。在 0.75<θ/ω<1.25
(共振区 )内，阻尼大大地减
小了受迫振动的位移,因此,
为了研究共振时的动力反映,
阻尼的影响是不容忽略。 在
共振区之外阻尼对 β的影响
较小，可按无阻尼计算。
43
③ βmax并不发生在共振 θ/ω=1时,而发生在，
④ 由 y=yPsin(θt－ α) 可见，
只要有阻尼位移总滞后荷载
P=Fsinθt一个 相位角 α，
????? w? 2
1
12
1
12ma x ???? ?
2
1
)(1
)(2
w
?
w
??
a
?
? ?tg
但因 ξ很小，可近似地认为：
221 ?
w
? ??
?当 θ<<ω时,α→0 ° 体系振动得很慢,FI,R较小，动荷主
要由 S平衡,(即 P与 S反向 ),S与 y反向,y与 P基本上同步；
荷载可作静荷载处理。
?当 θ>>ω时,α→180 ° 体系振动得很快,FI很大,S,R相对
说来较小，动荷主要由 FI 平衡,FI 与 y同向,y与 P反向；
位移 y、弹性力 S，惯性力 FI,阻尼力 R分别为：
)c o s (),s i n (
),s i n (),s i n (
2 a??a??
a?a?
?????????
???????
tyccyRtymmyF
tkykyStyy
PP
I
PP,..
44
t?sin?21
m
F
w 2 tF
?sin??
k
mw?2 2??
tym P ?w?? sin2) ??
tymF PI 90?）?? sin(2 ??tkyS P ? ),90sin( ??? o
?当 θ=ω时,α→90 °
由此可见：共振时（ θ=ω）,S与 FI刚好互相平衡，
β yst
2
1
)(1
)(2
w
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w
??
a
?
? ?tg
有无阻尼
均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现位
移为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力
与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。
k=mω2=mθ2 )c o s (
),s i n (
),s i n (
),s i n (
2
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a?
a?
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????
?????
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tyccyR
tymmyF
tkykyS
tyy
P
P
I
P
P
..
.
tycycR P ?? 90cos( ????? o.
=－ P(t)
45
⑤ 强迫振动时的能量转换
?振动荷载 Fsinθt在振动一个周期所输入的能量
dtytFdtdtdytFdytFdW P ???????? ??? s i ns i ns i n
.在时间段 dt内
在一个周期内
a???? s i ns i n20 FytdytPU pP ???? ?
.
在时间段 dt内
在一个周期内
???? 20 22 pR cytdcyU ??? ?
.
?粘滞阻尼力－ cy 在振动一个周期所消耗的能量.
dtcydtdtdycydycydW R ?????????? 2
.,,
当体系有阻尼时,振动过程中总有能量的损耗,为使振动
不衰减,就必须经常补充以能量,当稳态振动时,UR=UP
a??? s i n2 Fycy pp ? a
? s i nc
Fy
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stP yy
46
⑥ 弹性动内力幅值的计算
?一般方法,由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达
到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和
惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。
惯性力与位移同时达到幅值。
荷载与
位移
无阻尼时同时达到幅值。
有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角 α。
?比例算法,单自由度体系且荷载作用在振动质点上 (动荷载
与惯性力同向 )时，产生振幅 yd的外力 P为,
FPFyyP stp ????? ????? 1111
这意味着,在位移达到幅值时,可用 βF代替惯性力和荷载的
共同作用,由此可知,将结构在 P=1作用下的内力图放大 βF倍就是
结构的弹性动内力图。
注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时
不必考虑阻尼力。
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