1
§ 9.6 对称结构的计算
对称结构是几何形状,支座,刚度 都对称,
EI
EI EI
1、结构的对称性：
对称轴
对称轴
l/2
l/2
a/2 a/2
EI1
EI1
EI2
EI2
2、荷载的对称性：
对称荷载 —— 绕对称轴
对折后，对称轴两边的荷载
等值、作用点重合、同向。
反对称荷载 —— 绕对称
轴对这后，对称轴两边的荷
载等值、作用点重合、反向。
对称轴
对称轴
EI
EI
对称轴
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q P
P1 P1
对称荷载
对称轴
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q
P P1 P1
m
反对称荷载
2
任何荷载都可以分解成对称荷载 +反对称荷载。
P
P1 P2
一般荷载
a P/2
F F
对成荷载
a a P/2
W W
反对称荷载
P/2 a a P/2
P1=F+W,P2=W—F
3
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系 (荷载任意，仅用于力法 )
P
P2
一般荷载
X3
X2
X1
X2
X1=1
1M
X2=1 X2
2M
X3=1
3M
032233113 ???? ????
0
0
0
3333
2222121
1212111
???
????
????
P
P
P
X
XX
XX
?
??
??
力法方程降阶
如果荷载对称,MP对称，
Δ3P=0,X3=0；
如果荷载反对称,MP反对
称,Δ1P=0,Δ2P=0,X1= X2 =0。
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
4
EI
EI EI
① 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移, 内力
P P
C
uc=0,θc=0
P P
QC=0
QC
P C
等代结构
b）奇数跨对称结
构的等代结构是将
对称轴上的截面设
置成定向支座。
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
C
P
等代结构
P P
C
对称,uc=0,
θc=0
中柱,vc=0
P P
C
对称,uc=0
中柱,vc=0
P 等代结构
c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法,将对称轴
上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
NC NCMC
2）取等代结构计算 (对称或反对称荷载，适用于各种计算方法 )
5
P P
C
2EI
EI
EI EI
② 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
a）、位于对称轴上的截面的位移, 内力
P P
vc=0
P P
NC=0,MC=0
QC
P
C
等代结构
P
等代结构
P
等代结构
C
P P
C
2EI
P P
C
2EI
EI
EI
NC NCMC
c）偶数跨对称结构的等代结构
将中柱刚度折半，结点形式不变
b）奇数跨对称结构的等代结构是 将对称轴上的截面设置成支杆
7
198
103.5
81
135
kNm
例：绘制图示结构的内力图。
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
EI
6m
6m23kN
/m
等代结构的计算
103.5
81
135
M
K kN·m
198198
103.5
81
135
kNm
396
207
等代结构
利用对称性计算要点：
①选取等代结构；
②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；
③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；
④非对称荷载分成对称和分对称荷载。
EI
EI
2EI
EI
EI
6m 6m
6m
↑↑↑↑↑↑↑
46kN
/m
8
P
P
EI=常数 l
/2
l/2 l/2
P/2
P/2
l/2
P/2
l/2
l/4
P/2
l/2
l/4
X1
基本体系
l/2
X1=1
P/2
l/2
4
pl 1
MMp
解, ?11 x1+Δ1P=0
?11=
Δ1P=
EI
ll
EI 4
311
412
111 ??
?
??
?
? ?????
EI
PlPlllPll
EI 844821
1 2??
?
??
?
? ?????
X1=
6
Pl?
先叠加等代结构的弯矩图
12
Pl
6
Pl
12
Pl
9
作图示刚架的弯矩图。
EI=常数。
PP
P P
P
P
A
BC
P
C B
Pl/8 Pl/8
Pl/8 Pl/8
PP
P P
l/2 l/2 l/2 l/2 A
BC
l/2
l/2
10
例题：用力法计算图示结构并作 M图。 EI=常数。
2kN4kN.m
4m 4m 2m
4m
4kN.m
4m 4m
4m
4kN.m
4kN.m
X1=1
4
M
MP
4kN.m4
解, ?11 x1+Δ1P=0
4
3
11
1
1 ??
???
?
PX
644441
1 ????? P EIEI
3
256444
3
4244
2
11
11 ???
?
??
? ?????????
EIEI
1 3
3
4
1
M图 (kN.m)
2kN 2kN
11
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下
有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种：
1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
－ P
M=0
2）一集中力沿 一柱轴
作用，只有该柱有轴力,
－ P
M=0 M=0
3）无结点线位移的结构，
受结点集中力作用，只有轴力。
MP=0
MP=0 Δ1P=0 δ11>0
X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0
P P
P P
P
12
EI2
EI1 EI1
P
l
h
P/2 P/2 P/2 P/2
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
M=0
－ P/2
P/2
等代结构
X1
基本体系
l/2
l/2
M
X1=1
MP
P/2
Pl/2
EI
lPh
EI
lhPh
1
2
1
11 8222
1 ????
EI
l
EI
hl
2
3
1
2
244 ??
EI
lll
EI
lhl
21
11
1
3222
1
22 ?????????
lI
hIk
1
2?
l
Ph
k
k
216
6
???X
P
11
1
1
???
?
416
26 Ph
k
k ?
?
?
416
6 Ph
k
k ?
?
13
416
26 Ph
k
k ?
?
?
416
6 Ph
k
k ?
?
419
18 Ph
4
Ph
2
Ph
2
Ph
k很小
弱梁强柱
k很大
强梁弱柱
4
Ph
419
20 Ph
k=3
?荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有
关，而与各杆的刚度绝对值无关。
?内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，
内力也大。
lI
hIk
1
2?
14
例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。
EI=C
EA
P
P
a a
a
a
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
解：将荷载分为正对承和反对称两组
正对称结点荷载作
用下各杆弯矩为零
反对称荷载作用
取等代结构如下
1、取基本结构；
2、力法方程：
= +I=/
/
P/2
P/2
P/2
P/2
等
代
结
构
0
0
P/2
P/2
X1基
本
体
系01111 ??? PX?
X1=1
1M
2
3Pa
X1
MP2
Pa
3、绘 求系数
自由项
PMM,1
4、解方程：
28
15
11
11 PX P ????
?
EI
Pa
EI
a
P 4
5
3
7 3
1
3
11 ?????
5、按 绘弯矩图。
PMXMM ?? 11
15
1
27
15
1
27
)28( Pa?
M图
a
15
§ 9-7 超静定拱的计算方法
16m
3m
16
X1
?11
1H P???
jcos1N ?? 1
yM ??
? 01111 X p ???
?
2
11 dsEI
y? ? jcos 2 ds
EA
??
0
1 dsEI
yM
P ??? ?
2
1 ds
EA
N??? 21
11 dsEI
M? ?
EI
1
1 ds
MM P
p ?? ?
MP=M 0
j
X1=1
x
yX1=1
由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法
基本体系是曲梁，计算 Δ1P时一般只
考虑弯曲变形，
计算 δ11时，有时（在平拱中）还要
考虑轴向变形 jj cossin0 HQN ??? ?j sincos
0 HQQ ??
0 HyMM ??
求出 H后，内力的计算与三铰拱相同
即,三铰拱中：
f
MH C0?
两铰拱中：
?11
1H P???
17
MP=M 0
0 0＝
≠
E1A1
H=1X1=1
11 MN
?11
1H P???
MP=M 0
??? dsEIMM PP 11
? ??? dsEANdsEIM 212111?
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构
如果 E1A1→∞,则 H*→H,因而两者的受力状态基本相同。
如果 E1A1→0,则 H*→0,这时，带拉杆的三铰拱实际一
简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适
当的加大拉杆的刚度。
H*=1
11 MN
?? ?? dsEANdsEIM
2
1
2
1*
11?
11AE
l
11
11
*
11 AE
l?? ??
*
11
*
1*
?
PH ???? ???? PPP dsEI
MM
1
1*
1*
11
*
1*
?
PH ????
18
例,EI=常数，求 H。拱轴线方程为 ? ?xlxl fy ?? 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓q
ql81ql
8
3 ql
16
2
? ?xlqlM 810 ??? ?lxl2 <<
qxqlxM 221830 ??
f
qlH P
16
2
11
1 ????
?
? ? EIlfdxxlxl fEI l 15841 2
0
2
211 ??
??
?
? ?? ??
dxyMdxyEI lpl1 0 010 211 ???? ???
解, 简化假定,只考虑弯曲变形 ;近似地取
ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。
∴
(0<x<0.5l)
? ?
EI
q f l
dxxl
ql
y
EI
dxqxq l xy
EI
l
l
l
p
308
1
2
1
8
31
3
2
2
0
2
1
????
?
?
?
?
?
? ????
?
?
ql
64
2
ql
64
2
M
x x
上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。
如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的
影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两
铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。
M=M0 － Hyql162
M0
－ Hy
f
ql
f
M C
16
20
??
19
例：图示拱,EI=常数，求其水平推力 H。拱轴线方程为
? ?xlxl fy ?? 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
X1
对称荷载下，取三铰拱为基本体系，
其 MP=0∴ Δ1P=0,X1=Δ1P/δ11=0，
而 M= 0
11 ??? PMXM
M对称 =0
基本体系
＝
＋
在反对称荷载下，对称未知力 X1=0
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
X1
M反对称 =M1X1+MP=MP = M0-Hy
而 H=
f
MC0 =0
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
ql
64
2
ql
64
2
M0
= M0
M反对称
MP
20
对称无铰拱的计算
P1 P2
P1 P2C C1
O O1
P1 P2
X1
X2
X3
0
0
0
3333
2222121
1212111
???
????
????
P
P
P
X
XX
XX
?
??
??
X3
X2X2
X1 X1
对称的基本体系
o
y
x
jcos2 ???? N2yM
001 111 ??? QNM
? 21212112 ??? ??? dsEANNdsGAQQkdsEIMM
X1=1引起：
X2=1引起：
?0?? ???? dsEIadsEIy 1
??? dsEIy12? ? ??? dsEIay??
? ??
dsEI
dsEIy
a 1δ12= δ21=0 →
x’
O点的物理含义：
0
0
0
3333
2222
1111
???
???
???
p
p
p
X
X
X
?
?
?
jsin2 ???? N2xMX3=1引起：
??? ????? dsEAdsEIydsEIyM PP
22
222
cos j? EIEI
?? ??? dsdsM PP 111 1?
?? ??? dsxdsxM P
2
? EIEIP 333
22
例题 10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
l =10m
Φ0 Φ0
R R
f=2.5m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
D
O
q=10kN/m
x’
X2X2
X1 X1
Φ0 Φ0
R R
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
O
q=10kN/m
y
x
解,求 R和 φ0
R=6.25m
r a d9 2 7 3.0
6.0c o s
8.0s in
0
0
0
?
?
?
j
j
j
x
φ
RdsMEI
RdsMEI
yayMM
027.0
855.1
1
32
222
2
111
21
??
??
??????
?
?
?
?
mEIdsdsEIya
RayyRx
39.5
cossin
???
?????
??
jj
23
三铰拱的水平推力 505.28
1010
8
220
??????? kNfqlfMH C
350 507.51 ???? ??HHH %
q
qRdsMMEI
qRdsMMEI
xM
PP
PP
P
0223.0
224.0
2
4
22
3
11
2
????
????
?
?
?
mkNRaXXMM
mkNaRXXM
kNXH
BA,98.6)cos(
.76.2)(
7.51
021
210
2
?????
????
??
j
kNqRX
mkNqRX
P
P
7.51827.0
.1.47121.0
22
2
2
2
11
1
1
?????
?????
?
?
24
p
Φ0 Φ0
R R
D
O
X1
X2 X3合理拱轴线
M=0,Q=0,N=－ pRMP=0,P=0,NP=－ pR
例 10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
解,1）忽略轴向变形，取
三铰拱为基本体系。
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0
无铰拱和三铰拱均
处于无弯矩状态
pRpR
pR
2）考虑轴向变形，用弹
性中心法计算将精确的
内力状态分为：
X1
X2X2
y
x
cos
01
22
11
???
??
jN-yM
NM
① 不计轴向变形产生无弯矩状态
② 单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
cos0 2
21
?????? ?? jP
PP dsEA
pRds
EA
NN
，, －，, －，, －
基本体系
25
cos 22 ?? ?? j ds
EAEI
dsy2222
22 ?? ??? EA
dsN
EI
dsM
如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力在
忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产生不
大的弯矩，接近无弯矩状态。
X2X2
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
??
?
jj
j
j
jj
j
?
2s in
4
1
2
1s in
2s in
4
1
2
1
12
s in
0
0
0
0
00
2
0
11
1
2
1
h
R
pR
X
X
P
26
§ 9.9 温度改变、支座移动
时超静定结构的内力
由于超静定结构由多余约束，所以在
无荷载作用时，只要有发生变形的因素，
如温度改变、支座移动、材料收缩、制造
误差等，都可以产生内力（自内力）。
27
1、温度内力的计算 （仅自由项计算不同）
例 9-6 图示刚架施工时的温度为 15° C，使用期间（冬季）温度
如图。求温度变化产生的内力。 EI=常数。
－
35
°
－ 35°
－
35
°
+15°
+15
°
+15
°
40cm
8m
6m
X1
基本体系
=1
6 6
1?N
M
δ11X1+Δ1t=0
0 152
3515t ???
25 C?? o
)35(15t ????
50 C? o
11
4322
3
62
2
666861
EIEI ???
?
??
? ????????
6800? a
1 )81)(25()22/6686(6.0
50
t ????????? aa
11
11
XNN
XMM
?
?
11
1
1 74.15432
6800 EI
EIX
t ??????? aa
?
94.2
N=－ 15.74
M&N× αEI
+15°
+15
°
+15
°
－
35
°
－ 35°
－
35
°
?? ?±?it? MN h tt wawa 0
温度改变时的力法计算特点：
1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝
对值有关；
2）系数计算同前；
3）自由项计算
?? ?±?it? MN h tt wawa 0
28
t0C
2t0C
2t0C
2t0C2t0C
图示封闭框温度变化如图，
画出弯矩图的大致形状。
2t0C
2t0C
2t0C
2t0C2t0C
－ t0C
29
2,支座移动时的计算 ?
a
Δ1=δ11x1+Δ1c=－ a Δ1=δ11x1+Δ1c= θ Δ1=δ11x1+Δ1c= 0
X1=1
l
1M
X1=11
EI
l
3
Δ1c=
?????? ? lalEI ?23
δ11=
X1=
l
a
?????? ? lalEI ?3X1=
1.5 1
1M
1M
l/3 2l/3EI
l
3
3 Δ
1c=－ θl
δ11=
?
a
1）
X1
EI
l
4
3δ11= Δ1c=
l
a
2
3
2
3 ?? ?
?????? ? lalEI ?2
X1=?
?
??
?
? ?
l
a
l
EI ?3 M
EI l
a
X1 2) ?
a
X1 3)
X1=1
3)
1/l
1.5/l
θ
a θ
a
?
?
????
?
cR
dx
EI
M
C1
2
1
11?
2）系数计算同前；自由项 Δ iC=－ ∑ R·c c是基本体系支座位移。
3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关。
支座移动时的力法计算特点,1）取不同的基本体系计算时，
不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一
样。基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座
位移出现在方程的右边。
30
用力法求解单跨超静定梁
X1 X
2
Δ
1/l
1/lX2=1
1
2M
1M
X1=1
1
BC
AC
XX
XX
???
???
????
????
2222121
1212111
?????
l CC 21
??????
EI
ll
EI 63
1
2
11
2112 ??
????
EI
ll
EI 33
2
2
11
2211 ??
??????
????
??????
????
ll
EIX
ll
EIX
AB
BA
322
322
2
1
??
??
?????
????
lXEI
lX
EI
l
lXEI
lX
EI
l
B
A
36
63
21
21
?
?
ΔθA θ
B
X2
X1
31
θ
θ
l/3 2l/3
X2 X1
θ
X1=11/2
1M
θ X2
2M
3/2 1
?
l
EIX 2
1 ?
?
l
EIX 2
2 ??
?
C 2
3
2 ??
?
C 21 ???
?
EI
l
4
3
22 ?
?
EI
l
411
?
θ
4iθ
2iθ
M
当杆件两端为刚结或固定，且无相对侧移时，可在一端
及距该端 2/3处加铰选基本体系，可使相应付系数等零。
32
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23k
N/
m
6m
6mEI
EI
EI
A B
198
103.5
81
135
M
kNm
q=
23kN
/m
X1
基本体系
↑↑↑↑↑↑↑X1
X2
X2
Δ1=0
Δ2=0当 {
原结构与基本体系 受力和变形相同
=36
=－ 13.5
求原结构的位移就归
结求基本体系的位移。
X =1
6
M
C D
D
D
求 ΔDH 1 6= — — （ 2× 6× 135－ 6× 81）EI 6 1134= —— EI
虚拟的单位荷载可以
加在任一基本体系上，
计算结果相同。例,Δ
GV
G
G 1 3
M
1
1.56× 1.5 81 729=－ ——— ·— = － ——
2EI 2 4EI EIEI 47 2 9362 1 3 581)28138132(631 ???????
?
??
?
? ?????
§ 9.10 超静定结构位移计算
33
超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算
c1
c2
M N Q M N Q R
? ? ?? ?? ? ????? cRdsGA QQkdsEA NNdsEI MM
P=1
M N Q
t1 t2
M N Q
P=1
? ?? ?? ?? ?? ? ??????? dstNdsh tMdsGA QQkdsEA NNdsEI MM 0aa
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???
h
t??a t?a
0
34
? ?? ?
? ?? ?? ?
?
?
?
????
dstNds
h
t
M
ds
GA
QQk
ds
EA
NN
ds
EI
MM
0a
a?? cR
综合影响下的位移计算公式
?
a
EI l
?????? ? lalEI ?3 M
例 9-7 求例 9-5中超静定梁
跨中挠度。
P=1
l/4
1/2
? ? alalalEIllEI 16 516 3213214211 ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
??? ??
P=1l/2
l/2
? ? alllalEIllEI 16 516 3236522211 ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
???? ???
35
GA
Q
EA
N
EI
M
RQNM
***
****
、、
、、、
求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。
?
c
EI,l,t0,Δt
P=1
①
②
GA
kQt
EA
N
h
t
EI
M
NQM
、、
、、
0a
a ???
21*21 1 WcRT ?????? ?
dsGAkQQdstEANNdsh tEIMM ??? ??????? ???????? ??? *0** aa
dsGAkQQdsEANNdsEIMMW ??? ??? ***21
虚功
原理
12
*** Wds
GA
QkQds
EA
NNds
EI
MM ???? ???
而：
T12 =0
??? ????? cRdstNdsh tMct *0**),( aa
cR ???? ? *1 dstNds
h
tM ?? ???
0
** aa
36
Δc=
alalc 165163165163 ???????? ????? ??
－ ∑R*× c
3Pl/16 P=1
?
a
EI l例：求超静定梁跨中挠度。
5P/16
例：求超静定结构，
各杆 EI为常数，截
面为矩形,h=0.1l，
求 A点水平位移。
l
l/2 l/2
15°
15
°
15
°25°
A P=1
1/21/2
l/2
l/2
P=1
*M
*N
－
1/2
＋
1
－
1
dstNdsh tMAH ?? ???? 0** aa
10,200 ??? tt
lll aaa 10)5.0(20)0(1.010 ?????
37
例：求超静定结构，
各杆 EI为常数截面
为矩形,h=0.1l，
求 C点竖向位移。 l
l/2 l/2
15°
15
°
15
°25°
C P=1
P=1
*M
*N
dstNdsh tMAH ?? ???? 0** aa
10,200 ??? tt
lll
l
l
l
l
l
l
l
aa
a
24
40
3
2
2
1
20
42
1
40
3
2
40
3
2
1
1.0
10
???
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
??????????
40
3l
40
3l
－
3/40
－
1/2
－
1/2
解：在原超静定结
构上虚拟单位荷载，
并用力法求得其弯
矩图和轴力图。
38
1）重视校核工作，培养校核习惯。
2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；
或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。
3）计算书要整洁易懂，层次分明。
4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。
力法校核
1）阶段校核：
①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否
几何不变。
②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。
③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
§ 9.11超静定结构计算的校核
39
2）最后内力图总校核,a）平衡条件校核
4m2m2m
4m
200kN 75
125
15
22.5
11.3
＋ ＋
＋
－ －
Q图（ kN)
147.5 22.5
－
－
＋
＋3.7
11.3
N图（ kN)
150
100 60
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1
M图（ kN.m)
B
60
40
100 ∑M=0
200
3.7 75 15
147.5
11.3
22.5
∑X=3.7+11.3－ 15=0
∑Y=75+147.5－ 200 － 22.5 =0
40
δij=∫MjMi/EI× ds=δji
力法基本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件，
Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0 将它们展开得到力法方程
Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
其中,解方程，求多余未知力；
按 M=∑Mj·X j+MP
叠加最后弯矩图。ΔiP=∫MPMi/EI× ds
这样，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多
余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。
注意：这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计
算是不成立的。
2)变形条件的校核
δii=∫MiMi/EI× ds>0
???? ? Pijji dx
EI
MMdxX
EI
MM
? ???? ? Pjji dxMXM
EI
M
EI?
i dxMM
0??i? 0???? iPjij X? 即：δij ΔiP
41
M
4m2m2m
4m
200kN
150
100 60
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1
M图（ kN.m)
B
A
XA=1
4
4
200
3
80??
1 2
402044 ???
3
42
2
4100
2
4
??
????V
A 2
4200
2
1
??
? ???
X1=1
1 1
1
040????? 14215301??? ?????? 142603021 ??? ???4220401 ?????? ???? 1dsIM
?? ?? dsEIMM 0?? ? dsEIM
封闭框
结论,当结构只受荷载作用时,
沿封闭框形的 M/EI图形的
总面积应等于零。
42
X1=1
M1
1
1
1
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23kN
/m
6m
6mEI
EI
EI
A B
X1 X1=1
6 6
M1
198
103.5
81
135
M
kNm
?0
? ?68113562
6
6
??
??????
2
6
3
65.1032 ???
3
62
2
19861
1 ??
? ?????
EI
0?
? ? 1
2
681135
??
?????
3
2
2
6811
1 ??
? ????
EI
43
静
定
结
构
超
静
定
结
构
荷载作用 支座移动温度改变
内
力
变
形
位
移
内
力
变
形
位
移
由平衡条件求 不产生内力
不产生变形
综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
κ M=——EI ＋ αΔt——h ……
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
?? ?
? ?
?
?
?
??
ds
h
t
M
ds
EI
MM
a
?
? ?
?
??
cR
ds
EI
MM
?? ?
? ?
?
???
ds
EA
NN
ds
EI
MM
?? ? ??? dsEIMM ?? ? ???? dsh tM a ???? cR
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???,,
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???,,
0,th
t a?a? ???
?,,EANEIM ?? ??
44
超静定结构的特性：
1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系；
2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，
还必须考虑变形条件；
3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产
生内力。
4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特
征有关，即与刚度有关。
荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载外因引
起的内力与各杆的刚度绝对值有关。
5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较
高的防御能力。
6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小
局部的内力幅值和位移幅值。
l/2 l/2l/2 l/2
P
P
P
P
Pl/4Pl/4
46
§ 9.6 对称结构的计算
对称结构是几何形状,支座,刚度 都对称,
EI
EI EI
1、结构的对称性：
对称轴
对称轴
l/2
l/2
a/2 a/2
EI1
EI1
EI2
EI2
2、荷载的对称性：
对称荷载 —— 绕对称轴
对折后，对称轴两边的荷载
等值、作用点重合、同向。
反对称荷载 —— 绕对称
轴对这后，对称轴两边的荷
载等值、作用点重合、反向。
对称轴
对称轴
EI
EI
对称轴
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q P
P1 P1
对称荷载
对称轴
↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ q
P P1 P1
m
反对称荷载
2
任何荷载都可以分解成对称荷载 +反对称荷载。
P
P1 P2
一般荷载
a P/2
F F
对成荷载
a a P/2
W W
反对称荷载
P/2 a a P/2
P1=F+W,P2=W—F
3
3、利用对称性简化计算：
1）取对称的基本体系 (荷载任意，仅用于力法 )
P
P2
一般荷载
X3
X2
X1
X2
X1=1
1M
X2=1 X2
2M
X3=1
3M
032233113 ???? ????
0
0
0
3333
2222121
1212111
???
????
????
P
P
P
X
XX
XX
?
??
??
力法方程降阶
如果荷载对称,MP对称，
Δ3P=0,X3=0；
如果荷载反对称,MP反对
称,Δ1P=0,Δ2P=0,X1= X2 =0。
对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
4
EI
EI EI
① 对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。
a）位于对称轴上的截面的位移, 内力
P P
C
uc=0,θc=0
P P
QC=0
QC
P C
等代结构
b）奇数跨对称结
构的等代结构是将
对称轴上的截面设
置成定向支座。
对称,uc=0,θc=0
中柱,vc=0
P P
C
C
P
等代结构
P P
C
对称,uc=0,
θc=0
中柱,vc=0
P P
C
对称,uc=0
中柱,vc=0
P 等代结构
c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法,将对称轴
上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。
NC NCMC
2）取等代结构计算 (对称或反对称荷载，适用于各种计算方法 )
5
P P
C
2EI
EI
EI EI
② 对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。
a）、位于对称轴上的截面的位移, 内力
P P
vc=0
P P
NC=0,MC=0
QC
P
C
等代结构
P
等代结构
P
等代结构
C
P P
C
2EI
P P
C
2EI
EI
EI
NC NCMC
c）偶数跨对称结构的等代结构
将中柱刚度折半，结点形式不变
b）奇数跨对称结构的等代结构是 将对称轴上的截面设置成支杆
7
198
103.5
81
135
kNm
例：绘制图示结构的内力图。
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
EI
6m
6m23kN
/m
等代结构的计算
103.5
81
135
M
K kN·m
198198
103.5
81
135
kNm
396
207
等代结构
利用对称性计算要点：
①选取等代结构；
②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；
③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；
④非对称荷载分成对称和分对称荷载。
EI
EI
2EI
EI
EI
6m 6m
6m
↑↑↑↑↑↑↑
46kN
/m
8
P
P
EI=常数 l
/2
l/2 l/2
P/2
P/2
l/2
P/2
l/2
l/4
P/2
l/2
l/4
X1
基本体系
l/2
X1=1
P/2
l/2
4
pl 1
MMp
解, ?11 x1+Δ1P=0
?11=
Δ1P=
EI
ll
EI 4
311
412
111 ??
?
??
?
? ?????
EI
PlPlllPll
EI 844821
1 2??
?
??
?
? ?????
X1=
6
Pl?
先叠加等代结构的弯矩图
12
Pl
6
Pl
12
Pl
9
作图示刚架的弯矩图。
EI=常数。
PP
P P
P
P
A
BC
P
C B
Pl/8 Pl/8
Pl/8 Pl/8
PP
P P
l/2 l/2 l/2 l/2 A
BC
l/2
l/2
10
例题：用力法计算图示结构并作 M图。 EI=常数。
2kN4kN.m
4m 4m 2m
4m
4kN.m
4m 4m
4m
4kN.m
4kN.m
X1=1
4
M
MP
4kN.m4
解, ?11 x1+Δ1P=0
4
3
11
1
1 ??
???
?
PX
644441
1 ????? P EIEI
3
256444
3
4244
2
11
11 ???
?
??
? ?????????
EIEI
1 3
3
4
1
M图 (kN.m)
2kN 2kN
11
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下
有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种：
1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
－ P
M=0
2）一集中力沿 一柱轴
作用，只有该柱有轴力,
－ P
M=0 M=0
3）无结点线位移的结构，
受结点集中力作用，只有轴力。
MP=0
MP=0 Δ1P=0 δ11>0
X1= Δ1P/δ11=0 M=M1X1+MP=0
P P
P P
P
12
EI2
EI1 EI1
P
l
h
P/2 P/2 P/2 P/2
求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。
M=0
－ P/2
P/2
等代结构
X1
基本体系
l/2
l/2
M
X1=1
MP
P/2
Pl/2
EI
lPh
EI
lhPh
1
2
1
11 8222
1 ????
EI
l
EI
hl
2
3
1
2
244 ??
EI
lll
EI
lhl
21
11
1
3222
1
22 ?????????
lI
hIk
1
2?
l
Ph
k
k
216
6
???X
P
11
1
1
???
?
416
26 Ph
k
k ?
?
?
416
6 Ph
k
k ?
?
13
416
26 Ph
k
k ?
?
?
416
6 Ph
k
k ?
?
419
18 Ph
4
Ph
2
Ph
2
Ph
k很小
弱梁强柱
k很大
强梁弱柱
4
Ph
419
20 Ph
k=3
?荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有
关，而与各杆的刚度绝对值无关。
?内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，
内力也大。
lI
hIk
1
2?
14
例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。
EI=C
EA
P
P
a a
a
a
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
EI=C
EA
P/2
P/2
P/2
P/2
解：将荷载分为正对承和反对称两组
正对称结点荷载作
用下各杆弯矩为零
反对称荷载作用
取等代结构如下
1、取基本结构；
2、力法方程：
= +I=/
/
P/2
P/2
P/2
P/2
等
代
结
构
0
0
P/2
P/2
X1基
本
体
系01111 ??? PX?
X1=1
1M
2
3Pa
X1
MP2
Pa
3、绘 求系数
自由项
PMM,1
4、解方程：
28
15
11
11 PX P ????
?
EI
Pa
EI
a
P 4
5
3
7 3
1
3
11 ?????
5、按 绘弯矩图。
PMXMM ?? 11
15
1
27
15
1
27
)28( Pa?
M图
a
15
§ 9-7 超静定拱的计算方法
16m
3m
16
X1
?11
1H P???
jcos1N ?? 1
yM ??
? 01111 X p ???
?
2
11 dsEI
y? ? jcos 2 ds
EA
??
0
1 dsEI
yM
P ??? ?
2
1 ds
EA
N??? 21
11 dsEI
M? ?
EI
1
1 ds
MM P
p ?? ?
MP=M 0
j
X1=1
x
yX1=1
由于拱是曲杆 δ11Δ1P不能用图乘法
基本体系是曲梁，计算 Δ1P时一般只
考虑弯曲变形，
计算 δ11时，有时（在平拱中）还要
考虑轴向变形 jj cossin0 HQN ??? ?j sincos
0 HQQ ??
0 HyMM ??
求出 H后，内力的计算与三铰拱相同
即,三铰拱中：
f
MH C0?
两铰拱中：
?11
1H P???
17
MP=M 0
0 0＝
≠
E1A1
H=1X1=1
11 MN
?11
1H P???
MP=M 0
??? dsEIMM PP 11
? ??? dsEANdsEIM 212111?
落地式拱 带拉杆的拱作为屋盖结构
如果 E1A1→∞,则 H*→H,因而两者的受力状态基本相同。
如果 E1A1→0,则 H*→0,这时，带拉杆的三铰拱实际一
简支曲梁，对拱肋的受力是很不利的。
由此可见，为了减少拱肋的弯矩，改善拱的受力状应适
当的加大拉杆的刚度。
H*=1
11 MN
?? ?? dsEANdsEIM
2
1
2
1*
11?
11AE
l
11
11
*
11 AE
l?? ??
*
11
*
1*
?
PH ???? ???? PPP dsEI
MM
1
1*
1*
11
*
1*
?
PH ????
18
例,EI=常数，求 H。拱轴线方程为 ? ?xlxl fy ?? 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓q
ql81ql
8
3 ql
16
2
? ?xlqlM 810 ??? ?lxl2 <<
qxqlxM 221830 ??
f
qlH P
16
2
11
1 ????
?
? ? EIlfdxxlxl fEI l 15841 2
0
2
211 ??
??
?
? ?? ??
dxyMdxyEI lpl1 0 010 211 ???? ???
解, 简化假定,只考虑弯曲变形 ;近似地取
ds=dx,cosj=1(平拱,f/l<0.2)。
∴
(0<x<0.5l)
? ?
EI
q f l
dxxl
ql
y
EI
dxqxq l xy
EI
l
l
l
p
308
1
2
1
8
31
3
2
2
0
2
1
????
?
?
?
?
?
? ????
?
?
ql
64
2
ql
64
2
M
x x
上例，两铰拱与三铰拱的内力相等，这不是普遍性结论。
如果在别的荷载作用下，或在计算位移时不忽略轴向变形的
影响，两者内力不一定相等。但是，在一般荷载作用下，两
铰拱的推力与三铰拱的推力及内力通常是比较接近的。
M=M0 － Hyql162
M0
－ Hy
f
ql
f
M C
16
20
??
19
例：图示拱,EI=常数，求其水平推力 H。拱轴线方程为
? ?xlxl fy ?? 24
0.5l 0.5l
f
↓↓↓↓↓↓↓q
y
x
BA
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2
X1
对称荷载下，取三铰拱为基本体系，
其 MP=0∴ Δ1P=0,X1=Δ1P/δ11=0，
而 M= 0
11 ??? PMXM
M对称 =0
基本体系
＝
＋
在反对称荷载下，对称未知力 X1=0
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2 q/2
X1
M反对称 =M1X1+MP=MP = M0-Hy
而 H=
f
MC0 =0
＝
↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑
ql
64
2
ql
64
2
M0
= M0
M反对称
MP
20
对称无铰拱的计算
P1 P2
P1 P2C C1
O O1
P1 P2
X1
X2
X3
0
0
0
3333
2222121
1212111
???
????
????
P
P
P
X
XX
XX
?
??
??
X3
X2X2
X1 X1
对称的基本体系
o
y
x
jcos2 ???? N2yM
001 111 ??? QNM
? 21212112 ??? ??? dsEANNdsGAQQkdsEIMM
X1=1引起：
X2=1引起：
?0?? ???? dsEIadsEIy 1
??? dsEIy12? ? ??? dsEIay??
? ??
dsEI
dsEIy
a 1δ12= δ21=0 →
x’
O点的物理含义：
0
0
0
3333
2222
1111
???
???
???
p
p
p
X
X
X
?
?
?
jsin2 ???? N2xMX3=1引起：
??? ????? dsEAdsEIydsEIyM PP
22
222
cos j? EIEI
?? ??? dsdsM PP 111 1?
?? ??? dsxdsxM P
2
? EIEIP 333
22
例题 10-3 等截面圆弧无铰拱求内力。
l =10m
Φ0 Φ0
R R
f=2.5m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
D
O
q=10kN/m
x’
X2X2
X1 X1
Φ0 Φ0
R R
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
O
q=10kN/m
y
x
解,求 R和 φ0
R=6.25m
r a d9 2 7 3.0
6.0c o s
8.0s in
0
0
0
?
?
?
j
j
j
x
φ
RdsMEI
RdsMEI
yayMM
027.0
855.1
1
32
222
2
111
21
??
??
??????
?
?
?
?
mEIdsdsEIya
RayyRx
39.5
cossin
???
?????
??
jj
23
三铰拱的水平推力 505.28
1010
8
220
??????? kNfqlfMH C
350 507.51 ???? ??HHH %
q
qRdsMMEI
qRdsMMEI
xM
PP
PP
P
0223.0
224.0
2
4
22
3
11
2
????
????
?
?
?
mkNRaXXMM
mkNaRXXM
kNXH
BA,98.6)cos(
.76.2)(
7.51
021
210
2
?????
????
??
j
kNqRX
mkNqRX
P
P
7.51827.0
.1.47121.0
22
2
2
2
11
1
1
?????
?????
?
?
24
p
Φ0 Φ0
R R
D
O
X1
X2 X3合理拱轴线
M=0,Q=0,N=－ pRMP=0,P=0,NP=－ pR
例 10-4 求等截面圆形无铰拱在均匀水压力作用下的内力。
解,1）忽略轴向变形，取
三铰拱为基本体系。
Δ1P=0 Δ2P=0 Δ3P=0
无铰拱和三铰拱均
处于无弯矩状态
pRpR
pR
2）考虑轴向变形，用弹
性中心法计算将精确的
内力状态分为：
X1
X2X2
y
x
cos
01
22
11
???
??
jN-yM
NM
① 不计轴向变形产生无弯矩状态
② 单由轴向变形产生的附加内力状态
以无弯矩状态作基本体系
cos0 2
21
?????? ?? jP
PP dsEA
pRds
EA
NN
，, －，, －，, －
基本体系
25
cos 22 ?? ?? j ds
EAEI
dsy2222
22 ?? ??? EA
dsN
EI
dsM
如果在某一荷载作用下，三铰拱处于无弯矩状态，则在
同一荷载作用下，与三铰拱轴线形式相同的无铰拱的内力在
忽略轴向变形时也处于无弯矩状态；考虑轴向变形时产生不
大的弯矩，接近无弯矩状态。
X2X2
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
??
?
jj
j
j
jj
j
?
2s in
4
1
2
1s in
2s in
4
1
2
1
12
s in
0
0
0
0
00
2
0
11
1
2
1
h
R
pR
X
X
P
26
§ 9.9 温度改变、支座移动
时超静定结构的内力
由于超静定结构由多余约束，所以在
无荷载作用时，只要有发生变形的因素，
如温度改变、支座移动、材料收缩、制造
误差等，都可以产生内力（自内力）。
27
1、温度内力的计算 （仅自由项计算不同）
例 9-6 图示刚架施工时的温度为 15° C，使用期间（冬季）温度
如图。求温度变化产生的内力。 EI=常数。
－
35
°
－ 35°
－
35
°
+15°
+15
°
+15
°
40cm
8m
6m
X1
基本体系
=1
6 6
1?N
M
δ11X1+Δ1t=0
0 152
3515t ???
25 C?? o
)35(15t ????
50 C? o
11
4322
3
62
2
666861
EIEI ???
?
??
? ????????
6800? a
1 )81)(25()22/6686(6.0
50
t ????????? aa
11
11
XNN
XMM
?
?
11
1
1 74.15432
6800 EI
EIX
t ??????? aa
?
94.2
N=－ 15.74
M&N× αEI
+15°
+15
°
+15
°
－
35
°
－ 35°
－
35
°
?? ?±?it? MN h tt wawa 0
温度改变时的力法计算特点：
1）自内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝
对值有关；
2）系数计算同前；
3）自由项计算
?? ?±?it? MN h tt wawa 0
28
t0C
2t0C
2t0C
2t0C2t0C
图示封闭框温度变化如图，
画出弯矩图的大致形状。
2t0C
2t0C
2t0C
2t0C2t0C
－ t0C
29
2,支座移动时的计算 ?
a
Δ1=δ11x1+Δ1c=－ a Δ1=δ11x1+Δ1c= θ Δ1=δ11x1+Δ1c= 0
X1=1
l
1M
X1=11
EI
l
3
Δ1c=
?????? ? lalEI ?23
δ11=
X1=
l
a
?????? ? lalEI ?3X1=
1.5 1
1M
1M
l/3 2l/3EI
l
3
3 Δ
1c=－ θl
δ11=
?
a
1）
X1
EI
l
4
3δ11= Δ1c=
l
a
2
3
2
3 ?? ?
?????? ? lalEI ?2
X1=?
?
??
?
? ?
l
a
l
EI ?3 M
EI l
a
X1 2) ?
a
X1 3)
X1=1
3)
1/l
1.5/l
θ
a θ
a
?
?
????
?
cR
dx
EI
M
C1
2
1
11?
2）系数计算同前；自由项 Δ iC=－ ∑ R·c c是基本体系支座位移。
3）内力全由多余未知力引起，且与杆件刚度的绝对值有关。
支座移动时的力法计算特点,1）取不同的基本体系计算时，
不仅力法方程代表的位移条件不同，而且力法方程的形式也不一
样。基本体系的支座位移产生自由项。与多余未知力对应的支座
位移出现在方程的右边。
30
用力法求解单跨超静定梁
X1 X
2
Δ
1/l
1/lX2=1
1
2M
1M
X1=1
1
BC
AC
XX
XX
???
???
????
????
2222121
1212111
?????
l CC 21
??????
EI
ll
EI 63
1
2
11
2112 ??
????
EI
ll
EI 33
2
2
11
2211 ??
??????
????
??????
????
ll
EIX
ll
EIX
AB
BA
322
322
2
1
??
??
?????
????
lXEI
lX
EI
l
lXEI
lX
EI
l
B
A
36
63
21
21
?
?
ΔθA θ
B
X2
X1
31
θ
θ
l/3 2l/3
X2 X1
θ
X1=11/2
1M
θ X2
2M
3/2 1
?
l
EIX 2
1 ?
?
l
EIX 2
2 ??
?
C 2
3
2 ??
?
C 21 ???
?
EI
l
4
3
22 ?
?
EI
l
411
?
θ
4iθ
2iθ
M
当杆件两端为刚结或固定，且无相对侧移时，可在一端
及距该端 2/3处加铰选基本体系，可使相应付系数等零。
32
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23k
N/
m
6m
6mEI
EI
EI
A B
198
103.5
81
135
M
kNm
q=
23kN
/m
X1
基本体系
↑↑↑↑↑↑↑X1
X2
X2
Δ1=0
Δ2=0当 {
原结构与基本体系 受力和变形相同
=36
=－ 13.5
求原结构的位移就归
结求基本体系的位移。
X =1
6
M
C D
D
D
求 ΔDH 1 6= — — （ 2× 6× 135－ 6× 81）EI 6 1134= —— EI
虚拟的单位荷载可以
加在任一基本体系上，
计算结果相同。例,Δ
GV
G
G 1 3
M
1
1.56× 1.5 81 729=－ ——— ·— = － ——
2EI 2 4EI EIEI 47 2 9362 1 3 581)28138132(631 ???????
?
??
?
? ?????
§ 9.10 超静定结构位移计算
33
超静定结构在支座移动和温度改变下的位移计算
c1
c2
M N Q M N Q R
? ? ?? ?? ? ????? cRdsGA QQkdsEA NNdsEI MM
P=1
M N Q
t1 t2
M N Q
P=1
? ?? ?? ?? ?? ? ??????? dstNdsh tMdsGA QQkdsEA NNdsEI MM 0aa
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???
h
t??a t?a
0
34
? ?? ?
? ?? ?? ?
?
?
?
????
dstNds
h
t
M
ds
GA
QQk
ds
EA
NN
ds
EI
MM
0a
a?? cR
综合影响下的位移计算公式
?
a
EI l
?????? ? lalEI ?3 M
例 9-7 求例 9-5中超静定梁
跨中挠度。
P=1
l/4
1/2
? ? alalalEIllEI 16 516 3213214211 ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
??? ??
P=1l/2
l/2
? ? alllalEIllEI 16 516 3236522211 ?????
?
?
??
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
???? ???
35
GA
Q
EA
N
EI
M
RQNM
***
****
、、
、、、
求超静定结构因温度改变、支座移动产生的位移时，若选原结构建立虚拟力状态，计算将会更简单。
?
c
EI,l,t0,Δt
P=1
①
②
GA
kQt
EA
N
h
t
EI
M
NQM
、、
、、
0a
a ???
21*21 1 WcRT ?????? ?
dsGAkQQdstEANNdsh tEIMM ??? ??????? ???????? ??? *0** aa
dsGAkQQdsEANNdsEIMMW ??? ??? ***21
虚功
原理
12
*** Wds
GA
QkQds
EA
NNds
EI
MM ???? ???
而：
T12 =0
??? ????? cRdstNdsh tMct *0**),( aa
cR ???? ? *1 dstNds
h
tM ?? ???
0
** aa
36
Δc=
alalc 165163165163 ???????? ????? ??
－ ∑R*× c
3Pl/16 P=1
?
a
EI l例：求超静定梁跨中挠度。
5P/16
例：求超静定结构，
各杆 EI为常数，截
面为矩形,h=0.1l，
求 A点水平位移。
l
l/2 l/2
15°
15
°
15
°25°
A P=1
1/21/2
l/2
l/2
P=1
*M
*N
－
1/2
＋
1
－
1
dstNdsh tMAH ?? ???? 0** aa
10,200 ??? tt
lll aaa 10)5.0(20)0(1.010 ?????
37
例：求超静定结构，
各杆 EI为常数截面
为矩形,h=0.1l，
求 C点竖向位移。 l
l/2 l/2
15°
15
°
15
°25°
C P=1
P=1
*M
*N
dstNdsh tMAH ?? ???? 0** aa
10,200 ??? tt
lll
l
l
l
l
l
l
l
aa
a
24
40
3
2
2
1
20
42
1
40
3
2
40
3
2
1
1.0
10
???
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
??????????
40
3l
40
3l
－
3/40
－
1/2
－
1/2
解：在原超静定结
构上虚拟单位荷载，
并用力法求得其弯
矩图和轴力图。
38
1）重视校核工作，培养校核习惯。
2）校核不是重算，而是运用不同方法进行定量校核；
或根据结构的性能进行定性的判断或近似的估算。
3）计算书要整洁易懂，层次分明。
4）分阶段校核，及时发现小错误，避免造成大返工。
力法校核
1）阶段校核：
①计算前校核计算简图和原始数据，基本体系是否
几何不变。
②求系数和自由项时，先校核内力图，并注意正负号。
③解方程后校核多余未知力是否满足力法方程。
§ 9.11超静定结构计算的校核
39
2）最后内力图总校核,a）平衡条件校核
4m2m2m
4m
200kN 75
125
15
22.5
11.3
＋ ＋
＋
－ －
Q图（ kN)
147.5 22.5
－
－
＋
＋3.7
11.3
N图（ kN)
150
100 60
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1
M图（ kN.m)
B
60
40
100 ∑M=0
200
3.7 75 15
147.5
11.3
22.5
∑X=3.7+11.3－ 15=0
∑Y=75+147.5－ 200 － 22.5 =0
40
δij=∫MjMi/EI× ds=δji
力法基本体系与原结构等价的条件是 n个位移条件，
Δ1=0,Δ2=0,……Δ n=0 将它们展开得到力法方程
Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i,j=1,2,……n
其中,解方程，求多余未知力；
按 M=∑Mj·X j+MP
叠加最后弯矩图。ΔiP=∫MPMi/EI× ds
这样，超静定结构的最后弯矩图，与任意基本体系的任一多
余未知力的单位弯矩图图乘结果如果等于零，则满足变形条件。
注意：这个结论对温度改变或支座移动引起的超静定结构计
算是不成立的。
2)变形条件的校核
δii=∫MiMi/EI× ds>0
???? ? Pijji dx
EI
MMdxX
EI
MM
? ???? ? Pjji dxMXM
EI
M
EI?
i dxMM
0??i? 0???? iPjij X? 即：δij ΔiP
41
M
4m2m2m
4m
200kN
150
100 60
20
30
15
40I=2 I=2
I=1 I=1
M图（ kN.m)
B
A
XA=1
4
4
200
3
80??
1 2
402044 ???
3
42
2
4100
2
4
??
????V
A 2
4200
2
1
??
? ???
X1=1
1 1
1
040????? 14215301??? ?????? 142603021 ??? ???4220401 ?????? ???? 1dsIM
?? ?? dsEIMM 0?? ? dsEIM
封闭框
结论,当结构只受荷载作用时,
沿封闭框形的 M/EI图形的
总面积应等于零。
42
X1=1
M1
1
1
1
↑↑↑↑↑↑↑
q=
23kN
/m
6m
6mEI
EI
EI
A B
X1 X1=1
6 6
M1
198
103.5
81
135
M
kNm
?0
? ?68113562
6
6
??
??????
2
6
3
65.1032 ???
3
62
2
19861
1 ??
? ?????
EI
0?
? ? 1
2
681135
??
?????
3
2
2
6811
1 ??
? ????
EI
43
静
定
结
构
超
静
定
结
构
荷载作用 支座移动温度改变
内
力
变
形
位
移
内
力
变
形
位
移
由平衡条件求 不产生内力
不产生变形
综合考虑平衡条件和变形连续条件来求
κ M=——EI ＋ αΔt——h ……
静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表
?? ?
? ?
?
?
?
??
ds
h
t
M
ds
EI
MM
a
?
? ?
?
??
cR
ds
EI
MM
?? ?
? ?
?
???
ds
EA
NN
ds
EI
MM
?? ? ??? dsEIMM ?? ? ???? dsh tM a ???? cR
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???,,
GA
kQ
EA
N
EI
M ??? ???,,
0,th
t a?a? ???
?,,EANEIM ?? ??
44
超静定结构的特性：
1、超静定结构结构是有多余约束的几何不变体系；
2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，
还必须考虑变形条件；
3、温度改变、支座移动等非荷载外因对超静定结构会产
生内力。
4、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特
征有关，即与刚度有关。
荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关；非荷载外因引
起的内力与各杆的刚度绝对值有关。
5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较
高的防御能力。
6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小
局部的内力幅值和位移幅值。
l/2 l/2l/2 l/2
P
P
P
P
Pl/4Pl/4
46
