1
3
14
4
35
23
?基本概念
?单元刚度矩阵 (局部坐标系 )(整体坐标系 )
?整体刚度矩阵 ( 连续梁 )(平面刚架 )
?等 效 结 点 荷 载
?计 算 步 骤 和 算 例
?忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析
?上机作业 （ 连 续 梁 程 序 设 计 ）
2
§ 13-1 概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，
三位一体的方法。
手算与电算的不同：
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。
矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是,
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条
件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有
限个简单单元的分析与集成问题。
有限单元法的两个基本环节：
1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵 (物理关系 )
2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程 (几何关系、平衡条件 )
3
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵
的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。
?杆端局部编码与局部坐标系
e
E,A,I
l
局部坐标系中的杆端位移分量
1u 2u1v 2v
2q1q
2M
2Y 2X1X
1M
1Y
局部坐标系中的杆端力分量
{ }=F
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
e
e
2
2
2
1
1
1
q
q
v
u
v
u
e
={ }D e
1 2
y
x
§ 13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
4
?单元刚度方程
F?D 方程
1q
1u
1v
2v
2q
2u
1X
1Y
1M
2X
2Y
2M
)(,,1221 uulNXNX -=D=-=
l l
EAN D=
)(),( 212211 uulEAXuulEAX --=-=
由虎克定律：
由转角位移方程，并考虑：
2 QY BA=
1,QY AB-=
12,vv -=D
( )2122122 12)(6 vv
l
EI
l
EIY --+-= qq
( )2122121 12)(6 vv
l
EI
l
EIY -++= qq
( )212212 642 vv
l
EI
l
EI
l
EIM -++= qq
( )212211 624 vv
l
EI
l
EI
l
EIM -++= qq
5
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
e
2
2
2
1
1
1
q
q
v
u
v
u
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
=? ?k e
e
（ 13— 5）
单元刚度方程
（ 13— 6）
单元刚
度矩阵
?单元刚度矩阵的性质
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。
63k
如 第 个杆端位移分量 =1时引起的第
个杆端力 2M
1q三 六ijk j i jD
jiij kk =?
反力互等定理
@
2
1
@
2221
1211
@
2
1
}{
}{
][][
][][
}{
}{
??
???
??
???
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?=
??
???
??
???
kk
kk
F
F@@@ }{][}{ D= kF
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。
4）第 k列元素分别表示当第 k个杆端位移 =1时引起的六个杆
端力分量。
5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。
不存在逆矩阵
0][ @ =k
{ }D e { }F e 正问题
力学
模型
将单元视为“两端有六个人工
控制的附加约束的杆件”{ }
D e 控制附加约束加以指定。
解的
性质 为任何值时，
{ }D e { }F e
都有唯一的解答。且总是一
个平衡力系，不可能是不平
衡力系。
{ }D e{ }F e 反问题
将单元视为“两端自由的杆
件”。{ }F e 直接加在自由端作为
指定的杆端力
{ }F e为不平衡力系时
没有静力解。
{ }D e
{ }F e 为平衡力系时
有无穷多组解。
{ }D e
1X
1Y
1M
2X2Y
2M
1X
1Y
1M
2X2Y
2M
@@@ }{][}{ D= kF
8
?特殊单元
?单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。
?特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除
与零杆端位移对应的行和列得到。
02211 ==== vuvu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
42
24
?为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元
的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算
机程序去自动形成。
?某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。
1 21q
2q
1 2
2M1M
9
?选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。
?选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各
单元的刚度矩阵
?单元坐标转换矩阵
1X
1Y
1M
2X
2Y
2M
y
xα
y
xα
11
111
111
11
111
111
c o ss in
s inc o s
c o ss in
s inc o s
MM
YXY
YXX
MM
YXY
YXX
=
+-=
+=
=
+-=
+=
??
??
??
??
§ 13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
10
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
@
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
@
2
2
2
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
M
Y
X
M
Y
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
100000
0c o ssin000
0sinc o s000
000100
0000c o ssin
0000sinc o s
??
??
??
??
? ?=T
单元坐标转换矩阵 [T]是一正交矩阵。 TTT ][][ 1 =-
同理：
?整体坐标系中的单元刚度矩阵
@@@ }{][}{ D= kF设,将（ a）、（ b）代入
（ a）
（ b）
@@@ }]{[][}]{[ D= TkFT
@@@ }]{[][][}]{[][ D= TkTFTT TT
@@ }]{[}{ FTF = @@ }{][}{ FTF T=?
@@ }]{[}{ D=D T @@ }{][}{ D=D? TT
@@@ }{][}{ D= kF
11
1）
ijk
表示在整体坐标系第 j个杆端位移分量 =1时引起的第 i个
杆端力分量。
2） [k]@ 是对称矩阵。
3）一般单元的 [k]@是奇异矩阵。
例 13-1 求图示刚架中各单元在整体
标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何
尺寸相同。 l=5m,A=0.5m2,I=1/24m4
E=3× 107kN/m2
44 1025,103 0 0 ?=?=
l
EI
l
EA
2
1
与 比较 @@@ }{][}{ D= kF @@@ }]{[][][}]{[][ D= TkTFTT TT[I ]
][][][][ @@ TkTk T=
[k]@,[k]@ 同阶,性质类似：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
][]0[
]0[][
][][
][][
][]0[
]0[][
][][
][][
22
11
@
2221
1211
22
11
@
2221
1211
T
T
kk
kk
T
T
kk
kk
T
T
12
解：（ 1）求 k e
k 1 k 2 == 50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104
（ 2）求 k e
? ? ? ? ? ? ? ?kkIT ==,
1 1
单元 α=90°2
1单元 α=0
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? -
=
100
001
010
100300
30120
00300
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
13
?结点力、结点位移、形成总刚度矩阵 (传统位移法 )
Δ1 Δ2 Δ3
F1 F2 F3
Δ1 Δ2 Δ3
F1 F2 F3
Δ1=1
Δ1×
K11 K21 K31
K12 K22 K32 Δ
2=1Δ
2×
K13 K23 K33
Δ3=1
Δ3×
3332321313
3232221212
3132121111
D+D+D=
D+D+D=
D+D+D=
KKKF
KKKF
KKKF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
KKK
KKK
KKK
F
F
F
F = K Δ
K 为整体刚度矩阵，简称总刚。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
333231
232221
131211
KKK
KKK
KKK
K
§ 13-4 连续梁的整体刚度矩阵
14
?整体刚度矩阵的性质
1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。
2） [K]中的元素 Kij表示第 j个结点位移分量 Δj=1（其它结点
位移分量 =0）时所产生的第 i个结点力。
3） [K]是对称矩阵。
4）如果引入支承条件,[K]是可逆矩阵。
?形成整体刚度矩阵
Δ2=1K12 K22 K32
1
12=D
1
1
2
k121 k221
2
11=D
2
k112 k212
结点发生单位位移
杆端发生单位位移
变形协调条件
产生附加约束中约束力 (总刚元素 )
产生杆端力 (单刚元素 )
平衡条件 总刚元素是由单刚元素集合而成
K22
k221 k112
k212
K32
15
?直接刚度法形成总刚 (刚度集成法 )
首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中编码不同。
单元结点位移总码按局
部码顺序排列而成的向
量称为, 单元定位向量,
{λ}。 e
单元 对应关系：局部码 →总码 单元定位向量 {λ} e
1
2
θA （ 1） → 1
θB （ 2） → 2 {λ} =
1 1
2
θB （ 1） → 2
θB （ 2） → 3 {λ} =
2 2
3
将各单元的单刚的行列局部码（ i）、（ j）换成对应的结点位
移总码 λi,λj,按此行列总码
将单刚元素送入总刚。即, k(i)(j)→
jiK ??
2
1
1
2
2
1 3
A
B C
(1) (2) (1) (2)
16
例 13-2 试求图示连续梁的整体刚度矩阵 [K]。
i1 i2 i3
1 2 3 01 2 3解,1）编码 凡给定
为零的结点位移分
量,其总码均编为零。
{λ} =1 12 {λ} =2 232）单元定位向量 {λ} =3 30
3）求单刚并集成总刚
[k] =1 4i1 2i12i
1 4i1
(1) (2)
↑ ↑
1 2
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=K
4i1 2i1
2i1 4i1
[k] =2 4i2 2i22i
2 4i2
(1) (2)
↑ ↑
2 3
+ 4i2 2i2
2i2 4i2[k] =3 4i3 2i32i
3 4i3
(1) (2)
↑ ↑
3 0
+ 4i3
1 2 3
1
2
3
0
0
在给节点位移编码时已经考
虑了支承条件。 (先处理法 )
17
1 n2 3
1 2 n+1
对于 n跨连续梁，有 n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：
4i1 2i1
2i1 4(i1+ i2)
0
2i2
4(i1+ i2)0 2i2 2i3
0
0
2in-1 4(In-1+ in) 2in
2in 4in0
0
0
[K]=
[K]n+1,n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。
)1,,3,2(2
),,3,2(44,4,4
111
11,1111
+???===
???=+===
---
-++
njiKK
njiiKiKiK
jjjjj
jjjjnnn
18
情况复杂：
1）结点位移分量增加到三个；
2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；
3）除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。
1、结点位移分量的统一编码 —— 总码
y
x
0
0 0
1
2 3 04 0 结点位移列阵,{Δ}=[Δ1 Δ2 Δ3 Δ4]T
=[uA vA θA θC]T
结点力列阵,{F}=[F1 F2 F3 F4]T
2、单元定位向量
2
1
1(1)
(2) (3) (4)(6) (5)
2
(1)
(2) (3)
(5)
(4) (6)
{λ} =1 [1 2 3 0 0 4]T
{λ} =2 [1 2 3 0 0 0]T
A C
B
§ 13-5 刚架的整体刚架矩阵
19
3、单元集成过程
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 2 3 0 0 4
[K]=
1 2 3 4
300 0 0 0
0 12 30
100
0 30 100 50
0 30 50
30
× 104
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
1 2 3 0 0 0
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
求单刚
20
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
铰结点处的两杆端结点应看
作半独立的两个结点（ C1和
C2） 它们的线位移相同，
角位移不同，
0
0 0
1
2 3
2
1A C1
B D
0
0 0
4
56
4
7
5
C2
3
4、铰结点的处理
线位移采用同码，
角位移采用异码。
2）单元定位向量：
{λ} =1 [1 2 3 4 5 6]T
{λ} =2 [1 2 3 0 0 0]T
{λ} =3 [4 5 7 0 0 0]T
3）按①②③次序进行单元集成：
21
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
30
0
50
0
-30
100
300
0
0
-300
0
0
0
12
30
0
-12
30
0
30
100
0
-30
50
0
-12
-30
0
12
-30
[K]=
104 ×
-300
0
0
300
0
0
1 2 3 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
4 5 7 0 0 0
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
－ 30?
22
1、整体刚度方程 {F}=[K]{Δ} …… （ a）
表示由 {Δ}→{ F}结点力 的关系式。反映了结点的刚度性质，
不涉及结构上的实际荷载。
2、位移法基本方程 →
∵ 在给结点位移分量编总码时，已考虑了结构的支承连接情况，
[K]是非奇异矩阵。
∴ 如果已知结构上的结点荷载 {P}，（ a）就是求结点位移 {Δ}
的位移法基本方程 。 {P}=[K]{Δ}…… （ b）
注：结点力与结点荷载的不同。结点力是发生给定的结点位移，
在结点上所需施加的力，它与体系的刚度有关，由刚度方
程确定。而结点荷载是给定的与体系无关。由结点荷载 产
生的未知结点位移由位移法基本方程求解。
3、等效结点荷载
平衡方程的荷载 {P}是作用在结点上的集中荷载，当荷载不
是结点集中荷载时，应化成等效结点荷载。
§ 13-6 等效结点荷载
23
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θ1 θ2 θ3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP2FP1 FP3
P2P1 P3
结点约束力 {FP}
=-FP2=-FP1 -FP3=
Δ1 Δ3Δ2 θ3==θ2=θ1等效结点荷载 {P}=－ {FP}
{Δ}可由位移法基本方程 (b)求得,注意：
?非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是，两者产生相同
结点位移。
?除了结点位移外，等效结点荷载与原荷载产生的其它位移
和内力并不相同。
?等效结点荷载为位移法基本体系附加约束中约束力的负值。
而约束力为各固端力之和。所以求结构等效结点荷载应该
先求出单元的等效结点荷载，它是单元固端力的负值。
0}{}{ =+ PFP
位移法方程：
}]{[}{ D= KP
24
4、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载
⑴ 局部坐标系中的单元固端约束力 { }
PF
e
⑵ 整体坐标系中的单元等效结点荷载
{ } ? ? { }PT FTP -=
e e
⑶ 整体结构的等效结点荷载 {P}
由各单元 {P} 中的元素按 {λ}在 {P}中进行定位并累加。e
⑷ 等效结点荷载与直接结点荷载叠加，即得结构的结点荷载。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4.8kN/m
2.5m
2.5m
5m
8kN
1
2
y
x
例 13-3 求图示结构的等效结点荷载 {P}.
{ }PF
e解,1)求
单元①
,.10
12
0
1
1
1
mkNM
kNY
X
P
P
P
-=
-=
=
mkNM
kNY
X
P
P
P
.10
12
0
2
2
2
=
-=
=
单元②
,.5
4
0
1
1
1
mkNM
kNY
X
P
P
P
=
=
=
mkNM
kNY
X
P
P
P
.5
4
0
2
2
2
-=
=
=
{ } ? ?TPF 1012010120 ---=①
{ } ? ?TPF 540540 -=②
25
2)求 { } ? ? { }①①
PT FTP -=
单元①的倾角 α1=0
1 2 3 0 0 4
单元②的倾角 α2=90°
1
2
3
0
0
0
{P}=
1
2
3
4
0
12
10
-10
+4
+0
－ 5
{ } ? ? { }
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-=-=
5
0
4
5
0
4
5
4
0
5
4
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
②②
P
T
FTP
{ } ? ? { } ? ?{ } ? ? TPPT FIFTP 101010120 -=-=-= ①①①
4
12
5
-10
{ } ? ?TPF 1012010120 ---=①
{ } ? ?TPF 540540 -=②
26
1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。
2）用式（ 13-6）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
3）用式（ 13-21）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵
4）用单元集成法形成整体刚度矩阵 [K]
5）形成整体结构的等效结点荷载
6）解方程 [K]{Δ}={P}，
求出结点位移 {Δ}。
7）求各杆杆端力
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θ1 θ2 θ3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP2FP1 FP3
P2P1 P3=-FP2=-FP1 -FP3=
Δ1 Δ3Δ2 θ3==θ2=θ1
固端力 {FP}@
杆端位移产生的杆端力
{P}
@][k
@][k
@}{F
@@ }{][ Dk
@@@@ }{}{][}{ PFkF +D=
计
算
步
骤
§ 13-7 计算步骤和算例
27
0
0 0
1
2 3
0
0 0
4
56
例 13-4:求内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,立柱 b2× h2=0.5m × 1m.
6m
12m
↑↑↑↑↑↑↑↑
1kN/m
2
1 3xy
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
解,1)原始数据及编码
28
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
?
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-
-
-
-
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l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
8.2794.60
94.631.20
003.83
][][ kk
1 3 9.1394.60
94.631.20
003.83
-
-
-
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
-
---
-
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
× 10－ 3
?
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?
?
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?
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?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
=
8.2747.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
8.2747.30
47.358.00
005.52
][ k
2
× 10－ 3
2)形成 [k]
29
3) 形成 [k] 单元①、③ (α=90o)坐标转换矩阵为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? -
=
=
100
001
010
8.2794.60
94.631.20
003.83
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
==
8.27094.6
03.830
94.6031.2
][][ kk
1 3
× 10－ 3
9.13094.6
03.830
94.6031.2
-
--
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
-
-
-
单元② (α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以, ][][ kk =2 2
4) 形成 [K]
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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=
0
0
0
3
2
1
}{?
1 2
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
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=
6
5
4
3
2
1
}{?
?
?
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?
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?
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?
?
?
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=
0
0
0
6
5
4
}{?
3
+ ][ 11k ③
+ ][ 11k ①
???
?
???
?=
][][
][][][
2221
1211
kk
kkK ② ②
② ②
30
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
--
-
-
--
-
-
-
-
-
-
=
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
][ K
× 10－ 3
5) 求等效节点荷载 {P}
?
?
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?
?
?
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?
?
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?
?
?
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=
3-
3
0
3
3
0
}F{:
P
固端力
1
?
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?
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?
?
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?
?
?
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?
?
=-=
3
0
3
3-
0
3
}{][{ P }
P
T
FT
1 1
单元在整体坐
标系中的等效
节点荷载
0
0
0
3
2
1
集成等
效节点
荷载
?
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0
0
0
3-
0
3
{ P }
31
6) 解基本方程
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-
--
-
-
-
-
-
-
?
-
0
0
0
3
0
3
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
10
6
5
4
3
2
1
3
?
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D
D
D
D
D
D
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
6
5
4
3
2
1
32
?
?
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-
=D
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
}{
②
7) 求杆端力 单元① T]0004.2813.58 4 7[}{ -=D1
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
① ① ① ①
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-
-
-
-
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49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
3
3
0
3
3
0
0
0
0
4.28
13.5
8 4 7
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
② ② ② ②
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-
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04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
3
33
?
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=D
0
0
0
5.96
13.5
824
}{
③
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
③ ③ ③ ③
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-
---
-
-
-
-
?
-
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
0
0
0
5.96
13.5
824
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
T]38.424.143.004.324.143.0[ ----
TF ]04.343.024.109.243.024.1[}{ --=
②
TF ]49.876.443.009.224.143.0[}{ ---=
①
8.49
2.09 3.04
4.38
M图
(kN.m)
4.76
＋
1.24
－
－
0.43 1.24
＋
1.24
Q图
(kN)
N=
0.4
3
N=－ 1.24
N=
－
0.4
3
N图
(kN)
34
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
在刚结点 A铰结点 C1和 C2处，
竖向位移均为零，故其编码
也应为零，另外它们的水平
位移分量都相等，因此它们
的水平位移应采用同码。
0
0 0
1
0 2
2
1A C1
B D
0
0 0
1
03
1
4
0
C2
32）单元定位向量：
{λ} =1 [1 0 2 1 0 3]T
{λ} =2 [1 0 2 0 0 0]T
{λ} =3 [1 0 4 0 0 0]T
3）按①②③次序进行单元集成：
§ 13-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
35
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 0 2 1 0 3
1 2 3 4
1
2
3
4
1
0
2
1
0
3
300 0－ 300 0
1000 +0 50
－ 300 +0+300 +0
0 50+0 100
1 0 2 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 0
0
0 0
100 50
50 100
+12 － 30
－ 30 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
100030
03000
3012
×
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
+12 － 30
－ 30 +100
[K]=
104 ×
36
例 13-5:求内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,立柱 b2× h2=0.5m × 1m
忽略轴向变形的影响。,
6m
12m
↑↑↑↑↑↑↑↑
1kN/m
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
解,1)原始数据及编码 0
0 0
1
0 2
0
0 0
1
03
2
1 3xy
37
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
?
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?
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?
?
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-
---
-
-
-
-
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
8.2794.60
94.631.20
003.83
][][ kk
1 3 9.1394.60
94.631.20
003.83
-
-
-
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
-
---
-
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
× 10－ 3
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
=
8.2747.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
8.2747.30
47.358.00
005.52
][ k
2
× 10－ 3
2)形成 [k]
38
3) 形成 [k] 单元①、③ (α=90o)坐标转换矩阵为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
?
?
?
?
?
?
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?
-
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?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
? -
=
=
100
001
010
8.2794.60
94.631.20
003.83
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
==
8.27094.6
03.830
94.6031.2
][][ kk
1 3
× 10－ 3
9.13094.6
03.830
94.6031.2
-
--
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
-
-
-
单元② (α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以, ][][ kk =2 2
4) 形成 [K]
?
?
?
?
?
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=
0
0
0
2
0
1
}{?
1 2
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=
3
0
1
2
0
1
}{?
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?
?
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=
0
0
0
3
0
1
}{?
3
39
1 0 2 0 0 0
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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-
-
-
-
-
---
?=
-
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
10][
3
k
①
1
0
2
0
0
0
2.31 － 6.94
27.8－ 6.94
?
?
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?
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-
-
-
-
-
---
?=
-
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
10][
3
k
③
3
1
0
3
0
+2.31 － 6.94
－ 6.94 27.8
?
?
?
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?
-
---
-
-
-
-
?=
-
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10][
3
k
②
1 0 2 1 0 3
1
3
+52.5 － 52.5 +0 +0
+52.5－ 52.5
+0 +27.8+0 13.9
+0 +0
+0 13.9 +27.8+0
4.62 － 6.94 － 6.94
－ 6.94 55.6 13.9
－ 6.94 13.9 55.6
1 2 3
1
2
3
[K]= 10－ 3×
40
5) 求等效节点荷载 {P}
?
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=
3-
3
0
3
3
0
}F{:
P
固端力
1
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?
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=-=
3
0
3
3-
0
3
}{][{ P }
P
T
FT
1 1
单元在整体坐
标系中的等效
节点荷载
0
0
0
2
0
1
集成等
效节点
荷载
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
0
3-
3
{ P }
6) 解基本方程
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=
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?
?
?
?
?
?
-
-
--
-
9.97
1.26
838
:
0
3
3
6.559.1394.6
9.136.5594.6
94.694.662.4
10 3
B
A
A
B
A
A uu
q
q
q
q 解得
41
?
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=D
9.97
0
838
1.26
0
838
}{
②
7) 求杆端力 单元① T]0001.2608 3 8[}{ =D1
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
① ① ① ①
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-
+
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?
-
---
-
-
-
-
?
-
41.8
75.4
0
09.2
25.1
0
3
3
0
3
3
0
0
0
0
1.26
0
8 3 8
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
② ② ② ②
?
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-
---
-
-
-
-
?
-
09.3
43.0
0
09.2
43.0
0
9.97
0
8 3 8
1.26
0
8 3 8
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
3
42
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
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=D
0
0
0
9.97
0
838
}{
③
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
③ ③ ③ ③
?
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?
-
---
-
-
-
-
?
-
47.4
25.1
0
09.3
25.1
0
0
0
0
9.97
0
838
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
T]47.425.1009.325.10[ ---
TF ]09.343.0009.243.00[}{ -=
②
TF ]41.875.4009.225.10[}{ --=
①
8.41
2.09 3.09
4.47
M图
(kN.m)
4.75
＋
1.25
－
－
0.43 1.25
＋
1.25
Q图
(kN)
N=
0.4
3
N=－ 1.25
N=
－
0.4
3
N图
(kN)
?由单元刚度方程求出的杆端轴
力为零。为什么？
?根据节点平衡由剪力求轴力。
TF ]04.343.024.109.243.024.1[}{ --=
②
TF ]49.876.443.009.224.143.0[}{ ---=
①
TF ]38.424.143.004.324.143.0[}{ ----=
③
?轴向变形影响不大。
43
?单元的刚度方程 (局部坐标）
u1 u2X1 X2
e1 2
)(),( 212211 uulEAXuulEAX --=-=
??
?
??
?
??
?
??
?
-
-=
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
11
11
u
u
l
EA
X
X
Y2
Y1
X1
X2
y
x
x
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-
-
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2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
l
EA
Y
X
Y
X
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-
-
=
??
??
??
??
co ssin00
sinco s00
00co ssin
00sinco s
T
注意：①桁架单元的结点转角不
是基本未知量。②无须求等效结
点荷载。③杆端力是由结点位移
产生的。
][][][][ @@ TkTk T=
@@@ }]{[][}{ D= TkF
§ 13-9 桁架及组合结构的整体分析
?坐标转换矩阵
?单元的刚度方程 (整体坐标）
44
3
l
l
10kN
10kN例 13-6 求图示桁架内力 (EA=常数 )。
解,1、编码如图 ； ⑥
①
②
③
④
⑤
1
2 4
{0} {0}
2、形成 @][k
6,5@,
0000
0101
0000
0101
2
][
4,3,2,1@,
0000
0101
0000
0101
][
@
@
=
?
?
?
?
?
?
?
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-
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=
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?
?
?
-
-
=
l
EA
k
l
EA
k
3、形成 [k]@
[k]② =[k]④ =[k]② =[k]④
单元①③ α=90°
???
?
???
?
-= 01
10][
11T
[k]① =[k]③ =
?
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l
EA
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=
01
10
00
01
01
10
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T10
00-
10 00-
10
00
10
00 ?
?
?
?
?
45
单元⑤ α=45°
??????-= 11 1121][ 11T
[k]⑤ =
?
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?
?
?
l
EA
22 ?
?
?
??
?
-??
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??
?
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? -=
=
11
11
00
01
11
11
22
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T11 11 -- --11 11
?
?
?
?
?
11 11 -- -- 11 11
单元⑤ α=135°
?????? ---= 11 1121][ 11T
[k]⑥ =
?
?
?
?
?
l
EA
22 ?
?
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?
--
-
??
?
??
?
??
?
??
?
-
--=
=
11
11
00
01
11
11
22
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T11 11 --11 11- -
?
?
?
?
?
11 11 -- 11
11
-
-
3
l
l
10kN
10kN
⑥
①
②
③
④
⑤
1
2 4
{0} {0}
4、集成总刚 [K]
T
T
]4321[}{
,]0021[}{
=
=
②
①
?
?
T
T
]0000[}{
]0043[}{
=
=
④
③
?
?
T
T
]0043[}{
]0021[}{
=
=
⑥
⑤
?
?
l
EA
K ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
--
-
=
35.135.000
35.035.101
0035.135.0
0135.035.1
][
5、节点荷载 T0]010-10[}{ =P
46
?
?
?
?
?
?
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-=
?
?
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?
?
?
?
?
?
-
--
-
?
0
0
10
10
35.135.000
35.035.101
0035.135.0
0135.035.1
D
D
C
C
v
u
v
u
l
EA
6、解基本方程
l
EA
v
u
v
u
D
D
C
C
?
??
?
?
?
??
?
?
?
-=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
58.5
36.21
42.14
94.26
7、杆端力计算
??
?
?
?
??
?
?
?
=D
...
...
...
...
}{ ①
??
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? -
=
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-
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-
-
?
?
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?
-
-
=D=
0
42.14
0
42.14
0
0
42.14
94.26
0100
1000
0001
0010
0000
0101
0000
0101
}]{[][}{ ①①① TkF
??
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-=
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-
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-
-
=D=
0
58.5
0
58.5
58.5
36.21
42.14
94.26
1000
0100
0010
0001
0000
0101
0000
0101
}]{[][}{ ②②② TkF
0
0
2
1
l
EA
?
??
?
?
?
??
?
?
?
-=D
0
0
42.14
94.26
} ①{ }
4
3
2
1
...
...
...
...
??
?
?
?
??
?
?
?
=D ②{ }
l
EA
?
??
?
?
?
??
?
?
?
-=
58.5
36.21
42.14
94.26
②
47
节点位
移分量
自由节点位移分量 (基本未知量，相应的节点荷载已知 )
受约束的位移分量 (已知量，相应的约束反力未知 )
先处理法
1、节点位移分量中不含受约束的支座位移，节点力分量中不
含未知的支座反力。
2、由单刚 考虑边界条件 [K] [Δ]
3、对于具有非刚性连接、支承节点较多且分散、不考虑轴向
变形的结构最为方便。可减少内存，提高计算速度。但要
对各节位移进行统一编码，形成各单元的定位向量。
后处理法
1、节点位移分量中含有受约束的支座位移，节点力分量中含
有未知的支座反力。
2、由单刚 考虑边界条件 [K] [Δ]]~[K (原始刚度矩阵,奇异 )
3、每个节点位移分量数相同,的阶数是节点总数乘节点位
移 分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点
多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。
]~[K
48
后处理法边界条件的处理
在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由 [k]@集成的
是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。
]~[K
}{}]{~[ PK =D 没有确定的位移解。位移边界条件处理的三种方法：
1、划行划列法 编制程序较复杂，不常采用。
2、主对角元置大数法 设第 i 个节点位移分量 (已知 )0di =D
?
?
?
?
?
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???=
?
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D
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D
???
D
D
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??????????????????
??????
??????????????????
??????
??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
0di =D
为了将第 i 个方程改为,
将 kii 置一大数如 R=1020
Pi 改为 Rd0
第 i 个方程变为,
00112211 dRdkRkk iiiii =D?=D+???+D+???+D+D
该法虽为近似处理，程序设计容易实现，故被广泛应用。
R Rd0
49
2、主对角元置 1法
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???=
?
?
?
?
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?
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D
???
D
???
D
D
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?
?
?
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??????
??????????????????
??????
??????????????????
??????
??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
}{}]{~[ PK =D
0di =D?第 i 个方程变为,
?为了不破坏总刚的对称性
第 i 列也作相应的处理。
?为了不影响其他方程，
荷载向量也要作相应的
改变。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???=
?
?
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D
???
D
???
D
D
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??????
??????????????????
??????
??????????????????
??????
??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
0 0 ··· 1 ··· 0 d0
0
0
···
1
···
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
???
??
-
-
0
0
022
011
dkP
d
dkP
dkP
nin
i
i 该法是精确的
处理方法，被
经常采用，但
不如主对角元
置大数简便。
50
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
在刚结点 A铰结点 C1和 C2处，
竖向位移均为零，故其编码
也应为零，另外它们的水平
位移分量都相等，因此它们
的水平位移应采用同码。
0
0 0
1
0 2
2
1A C1
B D
0
0 0
1
03
1
4
0
C2
3
形成图示刚架的整体刚度矩阵
2）单元定位向量：
3）按①②③次序进行单元集成：
{ } ? ?T301201=①?
{ } ? ?T000201=②?
{ } ? ?T000401=③?
51
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 0 2 1 0 3
1 2 3 4
1
2
3
4
1
0
2
1
0
3
300 0－ 300 0
1000 +0 50
－ 300 +0+300 +0
0 50+0 100
1 0 2 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 0
0
0 0
100 50
50 100
+12 － 30
－ 30 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
100030
03000
3012
×
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
+12 － 30
－ 30 +100
[K]=
104 ×
52
一、总框图
开始
输入原始数据
形成固端弯矩向量
形成节点荷载向量
形成整体刚度矩阵
解方程输出位移
求内力输出内力作内力图
结束
1
2
3
4
5
6
二、程序标识符
NE— 单元总数，
N— 节点位移总数，
NL— 左端支承信息，
NR— 右端支承信息，
NP— 跨中荷载数 。
BL(NE)— 单元杆长，
EI (NE)— 单元抗弯刚度，
M0(NE,2)— 单元固端弯矩，
KB(N,2)— 存放整体矩阵，
M(NE,2)— 单元杆端弯矩。
P(N)— 先放节点力偶,在放节点荷载,
解方程后存放节点位移,
NP(NP,4)— 非节点荷载信息数组,
§ 13-10 连续梁程序的框图设计
53
NP(NP,4)— 非节点荷载信息数组，其中：
NP(i,1)— 第 i 个跨中荷载作用的单元号；
NP(i,2)— 第 i 个跨中荷载荷载类型号；
（见表 13-1）
NP(i,3)— 均布荷载的长度或集中荷载到左端
的距离；
NP(i,2)— 第 i 个跨中荷载荷载值，向下为正。
54
j=1,4
输入 NP(i,j)
m=NP(i,1),XM=NP(i,2),a=NP(i,3),q=NP(i,4),l=BL(m)
SELECT CASE XM
横向
均布
荷载
横向
集中
荷载
集中
力偶
荷载
横向三
角形分
布荷载
M0(m,1)=M1,M0(m,2)=M2
i=1,NP形成固端弯矩
向量 M0(NE,2)
55
对于 n跨连续梁，不难导出整体刚度矩阵如下：
4i1 2i1
2i1 4(i1+ i2)
0
2i2
4(i1+ i2)0 2i2 2i3
0
0
2in-1 4(In-1+ in) 2in
2in 4in0
0
0
[K]=
1 e2 3
P2 PnP1 1 P2
56
i=1,NE
形成节点
荷载向量
P(1)= P(1)－ m0(1,1)
L=i－ NL
P(L)= P(L)－ m0(i－ 1,2) － m0(i,1)
P(n)= P(n)－ m0(NE,2)
NL=0
Y
N
NR=0
Y
N
看一下
57
3
14
4
35
23
?基本概念
?单元刚度矩阵 (局部坐标系 )(整体坐标系 )
?整体刚度矩阵 ( 连续梁 )(平面刚架 )
?等 效 结 点 荷 载
?计 算 步 骤 和 算 例
?忽略轴向变形的矩形刚架的整体分析
?上机作业 （ 连 续 梁 程 序 设 计 ）
2
§ 13-1 概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表达形式，以电子计算机作为计算手段，
三位一体的方法。
手算与电算的不同：
手算：怕繁，讨厌重复性的大量运算，追求机灵的计算技巧，
运算次数较少的方法。
电算：怕乱，讨厌头绪太多，零敲碎打的算法，追求计算过
程程序化，通用性强的方法。
矩阵位移法（有限单元法）的基本思路是,
先将结构离散成有限个单元，然后再将这些单元按一定条
件集合成整体。这样，就使一个复杂结构的计算问题转化为有
限个简单单元的分析与集成问题。
有限单元法的两个基本环节：
1）单元分析：建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵 (物理关系 )
2）整体分析：由单元刚度矩阵形集成整体刚度矩阵，建立结构的
位移法基本方程 (几何关系、平衡条件 )
3
单元刚度矩阵是用来表示杆端力与杆端位移之间的物理关系
的，不是新东西，但有几点新考虑：重新规定正负规则，以矩阵
的形式表示，讨论杆件单元的一般情况。
?杆端局部编码与局部坐标系
e
E,A,I
l
局部坐标系中的杆端位移分量
1u 2u1v 2v
2q1q
2M
2Y 2X1X
1M
1Y
局部坐标系中的杆端力分量
{ }=F
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
e
e
2
2
2
1
1
1
q
q
v
u
v
u
e
={ }D e
1 2
y
x
§ 13-2 单元刚度矩阵（局部坐标系）
4
?单元刚度方程
F?D 方程
1q
1u
1v
2v
2q
2u
1X
1Y
1M
2X
2Y
2M
)(,,1221 uulNXNX -=D=-=
l l
EAN D=
)(),( 212211 uulEAXuulEAX --=-=
由虎克定律：
由转角位移方程，并考虑：
2 QY BA=
1,QY AB-=
12,vv -=D
( )2122122 12)(6 vv
l
EI
l
EIY --+-= qq
( )2122121 12)(6 vv
l
EI
l
EIY -++= qq
( )212212 642 vv
l
EI
l
EI
l
EIM -++= qq
( )212211 624 vv
l
EI
l
EI
l
EIM -++= qq
5
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
e
2
2
2
1
1
1
q
q
v
u
v
u
e
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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-
---
-
-
-
-
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
=? ?k e
e
（ 13— 5）
单元刚度方程
（ 13— 6）
单元刚
度矩阵
?单元刚度矩阵的性质
1）单元刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。
2）其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端位移
引起的杆端力。
63k
如 第 个杆端位移分量 =1时引起的第
个杆端力 2M
1q三 六ijk j i jD
jiij kk =?
反力互等定理
@
2
1
@
2221
1211
@
2
1
}{
}{
][][
][][
}{
}{
??
???
??
???
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?=
??
???
??
???
kk
kk
F
F@@@ }{][}{ D= kF
6
3）单元刚度矩阵是对称矩阵。
4）第 k列元素分别表示当第 k个杆端位移 =1时引起的六个杆
端力分量。
5）一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。
不存在逆矩阵
0][ @ =k
{ }D e { }F e 正问题
力学
模型
将单元视为“两端有六个人工
控制的附加约束的杆件”{ }
D e 控制附加约束加以指定。
解的
性质 为任何值时，
{ }D e { }F e
都有唯一的解答。且总是一
个平衡力系，不可能是不平
衡力系。
{ }D e{ }F e 反问题
将单元视为“两端自由的杆
件”。{ }F e 直接加在自由端作为
指定的杆端力
{ }F e为不平衡力系时
没有静力解。
{ }D e
{ }F e 为平衡力系时
有无穷多组解。
{ }D e
1X
1Y
1M
2X2Y
2M
1X
1Y
1M
2X2Y
2M
@@@ }{][}{ D= kF
8
?特殊单元
?单元的某个或某些杆端位移的值已知为零。如梁单元、柱单元。
?特殊单元的单元刚度矩阵，可由一般单元的单元刚度矩阵删除
与零杆端位移对应的行和列得到。
02211 ==== vuvu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
-
---
-
-
-
-
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
k
42
24
?为了使计算过程程序化、标准化、自动化，只采用一般单元
的刚度矩阵作为标准形式。各种特殊单元的刚度矩阵有计算
机程序去自动形成。
?某些特殊单元的刚度矩阵是可逆的。
1 21q
2q
1 2
2M1M
9
?选局部坐标系推导单元刚度矩阵方便且单元刚度矩阵的形式简单。
?选整体坐标系是为进行整体分析。按一个统一的坐标系来建立各
单元的刚度矩阵
?单元坐标转换矩阵
1X
1Y
1M
2X
2Y
2M
y
xα
y
xα
11
111
111
11
111
111
c o ss in
s inc o s
c o ss in
s inc o s
MM
YXY
YXX
MM
YXY
YXX
=
+-=
+=
=
+-=
+=
??
??
??
??
§ 13-3 单元刚度矩阵（整体坐标系）
10
=
?
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@
2
2
2
1
1
1
M
Y
X
M
Y
X
@
2
2
2
1
1
1
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M
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X
M
Y
X
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?
?
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-
-
100000
0c o ssin000
0sinc o s000
000100
0000c o ssin
0000sinc o s
??
??
??
??
? ?=T
单元坐标转换矩阵 [T]是一正交矩阵。 TTT ][][ 1 =-
同理：
?整体坐标系中的单元刚度矩阵
@@@ }{][}{ D= kF设,将（ a）、（ b）代入
（ a）
（ b）
@@@ }]{[][}]{[ D= TkFT
@@@ }]{[][][}]{[][ D= TkTFTT TT
@@ }]{[}{ FTF = @@ }{][}{ FTF T=?
@@ }]{[}{ D=D T @@ }{][}{ D=D? TT
@@@ }{][}{ D= kF
11
1）
ijk
表示在整体坐标系第 j个杆端位移分量 =1时引起的第 i个
杆端力分量。
2） [k]@ 是对称矩阵。
3）一般单元的 [k]@是奇异矩阵。
例 13-1 求图示刚架中各单元在整体
标系中的单元刚度矩阵。设各杆的几何
尺寸相同。 l=5m,A=0.5m2,I=1/24m4
E=3× 107kN/m2
44 1025,103 0 0 ?=?=
l
EI
l
EA
2
1
与 比较 @@@ }{][}{ D= kF @@@ }]{[][][}]{[][ D= TkTFTT TT[I ]
][][][][ @@ TkTk T=
[k]@,[k]@ 同阶,性质类似：
?
?
?
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?
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=
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?
][]0[
]0[][
][][
][][
][]0[
]0[][
][][
][][
22
11
@
2221
1211
22
11
@
2221
1211
T
T
kk
kk
T
T
kk
kk
T
T
12
解：（ 1）求 k e
k 1 k 2 == 50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104
（ 2）求 k e
? ? ? ? ? ? ? ?kkIT ==,
1 1
单元 α=90°2
1单元 α=0
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 ?
?
?
?
?
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?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? -
=
100
001
010
100300
30120
00300
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
13
?结点力、结点位移、形成总刚度矩阵 (传统位移法 )
Δ1 Δ2 Δ3
F1 F2 F3
Δ1 Δ2 Δ3
F1 F2 F3
Δ1=1
Δ1×
K11 K21 K31
K12 K22 K32 Δ
2=1Δ
2×
K13 K23 K33
Δ3=1
Δ3×
3332321313
3232221212
3132121111
D+D+D=
D+D+D=
D+D+D=
KKKF
KKKF
KKKF
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D
D
D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
KKK
KKK
KKK
F
F
F
F = K Δ
K 为整体刚度矩阵，简称总刚。
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
333231
232221
131211
KKK
KKK
KKK
K
§ 13-4 连续梁的整体刚度矩阵
14
?整体刚度矩阵的性质
1）总刚是结点力用结点位移来表达的联系矩阵。
2） [K]中的元素 Kij表示第 j个结点位移分量 Δj=1（其它结点
位移分量 =0）时所产生的第 i个结点力。
3） [K]是对称矩阵。
4）如果引入支承条件,[K]是可逆矩阵。
?形成整体刚度矩阵
Δ2=1K12 K22 K32
1
12=D
1
1
2
k121 k221
2
11=D
2
k112 k212
结点发生单位位移
杆端发生单位位移
变形协调条件
产生附加约束中约束力 (总刚元素 )
产生杆端力 (单刚元素 )
平衡条件 总刚元素是由单刚元素集合而成
K22
k221 k112
k212
K32
15
?直接刚度法形成总刚 (刚度集成法 )
首先要注意同一个结点位移在整体中与在各单元中编码不同。
单元结点位移总码按局
部码顺序排列而成的向
量称为, 单元定位向量,
{λ}。 e
单元 对应关系：局部码 →总码 单元定位向量 {λ} e
1
2
θA （ 1） → 1
θB （ 2） → 2 {λ} =
1 1
2
θB （ 1） → 2
θB （ 2） → 3 {λ} =
2 2
3
将各单元的单刚的行列局部码（ i）、（ j）换成对应的结点位
移总码 λi,λj,按此行列总码
将单刚元素送入总刚。即, k(i)(j)→
jiK ??
2
1
1
2
2
1 3
A
B C
(1) (2) (1) (2)
16
例 13-2 试求图示连续梁的整体刚度矩阵 [K]。
i1 i2 i3
1 2 3 01 2 3解,1）编码 凡给定
为零的结点位移分
量,其总码均编为零。
{λ} =1 12 {λ} =2 232）单元定位向量 {λ} =3 30
3）求单刚并集成总刚
[k] =1 4i1 2i12i
1 4i1
(1) (2)
↑ ↑
1 2
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=K
4i1 2i1
2i1 4i1
[k] =2 4i2 2i22i
2 4i2
(1) (2)
↑ ↑
2 3
+ 4i2 2i2
2i2 4i2[k] =3 4i3 2i32i
3 4i3
(1) (2)
↑ ↑
3 0
+ 4i3
1 2 3
1
2
3
0
0
在给节点位移编码时已经考
虑了支承条件。 (先处理法 )
17
1 n2 3
1 2 n+1
对于 n跨连续梁，有 n+1个节点，不难导出整体刚度矩阵如下：
4i1 2i1
2i1 4(i1+ i2)
0
2i2
4(i1+ i2)0 2i2 2i3
0
0
2in-1 4(In-1+ in) 2in
2in 4in0
0
0
[K]=
[K]n+1,n+1是稀疏矩阵和带状矩阵。
)1,,3,2(2
),,3,2(44,4,4
111
11,1111
+???===
???=+===
---
-++
njiKK
njiiKiKiK
jjjjj
jjjjnnn
18
情况复杂：
1）结点位移分量增加到三个；
2）各杆方向不尽相同，要进行坐标变换；
3）除了刚结点，还要考虑铰结点等其它情况。
1、结点位移分量的统一编码 —— 总码
y
x
0
0 0
1
2 3 04 0 结点位移列阵,{Δ}=[Δ1 Δ2 Δ3 Δ4]T
=[uA vA θA θC]T
结点力列阵,{F}=[F1 F2 F3 F4]T
2、单元定位向量
2
1
1(1)
(2) (3) (4)(6) (5)
2
(1)
(2) (3)
(5)
(4) (6)
{λ} =1 [1 2 3 0 0 4]T
{λ} =2 [1 2 3 0 0 0]T
A C
B
§ 13-5 刚架的整体刚架矩阵
19
3、单元集成过程
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 2 3 0 0 4
[K]=
1 2 3 4
300 0 0 0
0 12 30
100
0 30 100 50
0 30 50
30
× 104
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
1 2 3 0 0 0
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
求单刚
20
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
铰结点处的两杆端结点应看
作半独立的两个结点（ C1和
C2） 它们的线位移相同，
角位移不同，
0
0 0
1
2 3
2
1A C1
B D
0
0 0
4
56
4
7
5
C2
3
4、铰结点的处理
线位移采用同码，
角位移采用异码。
2）单元定位向量：
{λ} =1 [1 2 3 4 5 6]T
{λ} =2 [1 2 3 0 0 0]T
{λ} =3 [4 5 7 0 0 0]T
3）按①②③次序进行单元集成：
21
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
30
0
50
0
-30
100
300
0
0
-300
0
0
0
12
30
0
-12
30
0
30
100
0
-30
50
0
-12
-30
0
12
-30
[K]=
104 ×
-300
0
0
300
0
0
1 2 3 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104
4 5 7 0 0 0
+12 +0 － 30
+0 +300 +0
－ 30 +0 +100
－ 30?
22
1、整体刚度方程 {F}=[K]{Δ} …… （ a）
表示由 {Δ}→{ F}结点力 的关系式。反映了结点的刚度性质，
不涉及结构上的实际荷载。
2、位移法基本方程 →
∵ 在给结点位移分量编总码时，已考虑了结构的支承连接情况，
[K]是非奇异矩阵。
∴ 如果已知结构上的结点荷载 {P}，（ a）就是求结点位移 {Δ}
的位移法基本方程 。 {P}=[K]{Δ}…… （ b）
注：结点力与结点荷载的不同。结点力是发生给定的结点位移，
在结点上所需施加的力，它与体系的刚度有关，由刚度方
程确定。而结点荷载是给定的与体系无关。由结点荷载 产
生的未知结点位移由位移法基本方程求解。
3、等效结点荷载
平衡方程的荷载 {P}是作用在结点上的集中荷载，当荷载不
是结点集中荷载时，应化成等效结点荷载。
§ 13-6 等效结点荷载
23
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θ1 θ2 θ3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP2FP1 FP3
P2P1 P3
结点约束力 {FP}
=-FP2=-FP1 -FP3=
Δ1 Δ3Δ2 θ3==θ2=θ1等效结点荷载 {P}=－ {FP}
{Δ}可由位移法基本方程 (b)求得,注意：
?非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是，两者产生相同
结点位移。
?除了结点位移外，等效结点荷载与原荷载产生的其它位移
和内力并不相同。
?等效结点荷载为位移法基本体系附加约束中约束力的负值。
而约束力为各固端力之和。所以求结构等效结点荷载应该
先求出单元的等效结点荷载，它是单元固端力的负值。
0}{}{ =+ PFP
位移法方程：
}]{[}{ D= KP
24
4、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载
⑴ 局部坐标系中的单元固端约束力 { }
PF
e
⑵ 整体坐标系中的单元等效结点荷载
{ } ? ? { }PT FTP -=
e e
⑶ 整体结构的等效结点荷载 {P}
由各单元 {P} 中的元素按 {λ}在 {P}中进行定位并累加。e
⑷ 等效结点荷载与直接结点荷载叠加，即得结构的结点荷载。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4.8kN/m
2.5m
2.5m
5m
8kN
1
2
y
x
例 13-3 求图示结构的等效结点荷载 {P}.
{ }PF
e解,1)求
单元①
,.10
12
0
1
1
1
mkNM
kNY
X
P
P
P
-=
-=
=
mkNM
kNY
X
P
P
P
.10
12
0
2
2
2
=
-=
=
单元②
,.5
4
0
1
1
1
mkNM
kNY
X
P
P
P
=
=
=
mkNM
kNY
X
P
P
P
.5
4
0
2
2
2
-=
=
=
{ } ? ?TPF 1012010120 ---=①
{ } ? ?TPF 540540 -=②
25
2)求 { } ? ? { }①①
PT FTP -=
单元①的倾角 α1=0
1 2 3 0 0 4
单元②的倾角 α2=90°
1
2
3
0
0
0
{P}=
1
2
3
4
0
12
10
-10
+4
+0
－ 5
{ } ? ? { }
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-=-=
5
0
4
5
0
4
5
4
0
5
4
0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
②②
P
T
FTP
{ } ? ? { } ? ?{ } ? ? TPPT FIFTP 101010120 -=-=-= ①①①
4
12
5
-10
{ } ? ?TPF 1012010120 ---=①
{ } ? ?TPF 540540 -=②
26
1）整理原始数据，进行局部编码和整体编码。
2）用式（ 13-6）形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
3）用式（ 13-21）形成整体坐标系中的单元刚度矩阵
4）用单元集成法形成整体刚度矩阵 [K]
5）形成整体结构的等效结点荷载
6）解方程 [K]{Δ}={P}，
求出结点位移 {Δ}。
7）求各杆杆端力
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
θ1 θ2 θ3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP2FP1 FP3
P2P1 P3=-FP2=-FP1 -FP3=
Δ1 Δ3Δ2 θ3==θ2=θ1
固端力 {FP}@
杆端位移产生的杆端力
{P}
@][k
@][k
@}{F
@@ }{][ Dk
@@@@ }{}{][}{ PFkF +D=
计
算
步
骤
§ 13-7 计算步骤和算例
27
0
0 0
1
2 3
0
0 0
4
56
例 13-4:求内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,立柱 b2× h2=0.5m × 1m.
6m
12m
↑↑↑↑↑↑↑↑
1kN/m
2
1 3xy
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
解,1)原始数据及编码
28
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
=
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
e
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==
8.2794.60
94.631.20
003.83
][][ kk
1 3 9.1394.60
94.631.20
003.83
-
-
-
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
-
---
-
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
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l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
× 10－ 3
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-
-
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8.2747.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
8.2747.30
47.358.00
005.52
][ k
2
× 10－ 3
2)形成 [k]
29
3) 形成 [k] 单元①、③ (α=90o)坐标转换矩阵为
? ?
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-
-
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001000
010000
000100
000001
000010
T
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=
100
001
010
8.2794.60
94.631.20
003.83
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
?
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-
-
==
8.27094.6
03.830
94.6031.2
][][ kk
1 3
× 10－ 3
9.13094.6
03.830
94.6031.2
-
--
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
-
-
-
单元② (α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以, ][][ kk =2 2
4) 形成 [K]
?
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}{?
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}{?
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0
0
0
6
5
4
}{?
3
+ ][ 11k ③
+ ][ 11k ①
???
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???
?=
][][
][][][
2221
1211
kk
kkK ② ②
② ②
30
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-
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--
-
-
-
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-
-
=
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
][ K
× 10－ 3
5) 求等效节点荷载 {P}
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3-
3
0
3
3
0
}F{:
P
固端力
1
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=-=
3
0
3
3-
0
3
}{][{ P }
P
T
FT
1 1
单元在整体坐
标系中的等效
节点荷载
0
0
0
3
2
1
集成等
效节点
荷载
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0
0
0
3-
0
3
{ P }
31
6) 解基本方程
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--
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0
0
0
3
0
3
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
6.5547.394.6
47.388.830
94.6081.54
10
6
5
4
3
2
1
3
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D
D
D
D
D
D
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
6
5
4
3
2
1
32
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-
=D
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
}{
②
7) 求杆端力 单元① T]0004.2813.58 4 7[}{ -=D1
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
① ① ① ①
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-
---
-
-
-
-
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-
49.8
76.4
43.0
09.2
24.1
43.0
3
3
0
3
3
0
0
0
0
4.28
13.5
8 4 7
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
② ② ② ②
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-
---
-
-
-
-
?
-
04.3
43.0
24.1
09.2
43.0
24.1
5.96
13.5
8 2 4
4.28
13.5
8 4 7
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
3
33
?
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?
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=D
0
0
0
5.96
13.5
824
}{
③
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
③ ③ ③ ③
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-
---
-
-
-
-
?
-
38.4
24.1
43.0
04.3
24.1
43.0
0
0
0
5.96
13.5
824
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
T]38.424.143.004.324.143.0[ ----
TF ]04.343.024.109.243.024.1[}{ --=
②
TF ]49.876.443.009.224.143.0[}{ ---=
①
8.49
2.09 3.04
4.38
M图
(kN.m)
4.76
＋
1.24
－
－
0.43 1.24
＋
1.24
Q图
(kN)
N=
0.4
3
N=－ 1.24
N=
－
0.4
3
N图
(kN)
34
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
在刚结点 A铰结点 C1和 C2处，
竖向位移均为零，故其编码
也应为零，另外它们的水平
位移分量都相等，因此它们
的水平位移应采用同码。
0
0 0
1
0 2
2
1A C1
B D
0
0 0
1
03
1
4
0
C2
32）单元定位向量：
{λ} =1 [1 0 2 1 0 3]T
{λ} =2 [1 0 2 0 0 0]T
{λ} =3 [1 0 4 0 0 0]T
3）按①②③次序进行单元集成：
§ 13-8 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析
35
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 0 2 1 0 3
1 2 3 4
1
2
3
4
1
0
2
1
0
3
300 0－ 300 0
1000 +0 50
－ 300 +0+300 +0
0 50+0 100
1 0 2 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 0
0
0 0
100 50
50 100
+12 － 30
－ 30 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
100030
03000
3012
×
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
+12 － 30
－ 30 +100
[K]=
104 ×
36
例 13-5:求内力。横梁 b1× h1=0.5m × 1.26m,立柱 b2× h2=0.5m × 1m
忽略轴向变形的影响。,
6m
12m
↑↑↑↑↑↑↑↑
1kN/m
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA柱
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
解,1)原始数据及编码 0
0 0
1
0 2
0
0 0
1
03
2
1 3xy
37
.1031.2
12
,1094.6
6
,108.27
4
,109.13
2
,103.83,1094.6
,6,
24
1
,5.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
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EI
lIA柱
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l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EA
k
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
][
22
2323
22
2323
e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
==
8.2794.60
94.631.20
003.83
][][ kk
1 3 9.1394.60
94.631.20
003.83
-
-
-
8.2794.609.1394.60
94.631.2094.631.20
003.83003.83
-
---
-
.1058.0
12
,1047.3
6
,108.27
4
,109.13
2
,105.52,1094.6
,12,
12
1
,63.0:
3
3
3
2
33
33
--
--
--
?=?=
?=?=
?=?=
===
l
EI
l
EI
l
EI
l
EI
l
EA
l
EI
lIA梁
× 10－ 3
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
-
---
-
-
-
-
=
8.2747.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
9.1347.30
47.358.00
005.52
8.2747.30
47.358.00
005.52
][ k
2
× 10－ 3
2)形成 [k]
38
3) 形成 [k] 单元①、③ (α=90o)坐标转换矩阵为
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
=
100000
001000
010000
000100
000001
000010
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? -
=
=
100
001
010
8.2794.60
94.631.20
003.83
100
001
010
]][[][][ 11111111 TkTk
T
?
?
?
?
?
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-
-
==
8.27094.6
03.830
94.6031.2
][][ kk
1 3
× 10－ 3
9.13094.6
03.830
94.6031.2
-
--
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
-
-
-
单元② (α=0o)坐标转换矩阵为单位矩阵所以, ][][ kk =2 2
4) 形成 [K]
?
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2
0
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0
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0
3
0
1
}{?
3
39
1 0 2 0 0 0
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-
-
-
---
?=
-
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
10][
3
k
①
1
0
2
0
0
0
2.31 － 6.94
27.8－ 6.94
?
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-
-
-
-
-
---
?=
-
8.27094.69.13094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
9.13094.68.27094.6
03.83003.830
94.6031.294.6031.2
10][
3
k
③
3
1
0
3
0
+2.31 － 6.94
－ 6.94 27.8
?
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-
---
-
-
-
-
?=
-
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10][
3
k
②
1 0 2 1 0 3
1
3
+52.5 － 52.5 +0 +0
+52.5－ 52.5
+0 +27.8+0 13.9
+0 +0
+0 13.9 +27.8+0
4.62 － 6.94 － 6.94
－ 6.94 55.6 13.9
－ 6.94 13.9 55.6
1 2 3
1
2
3
[K]= 10－ 3×
40
5) 求等效节点荷载 {P}
?
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=
3-
3
0
3
3
0
}F{:
P
固端力
1
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=-=
3
0
3
3-
0
3
}{][{ P }
P
T
FT
1 1
单元在整体坐
标系中的等效
节点荷载
0
0
0
2
0
1
集成等
效节点
荷载
?
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=
0
3-
3
{ P }
6) 解基本方程
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=
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-
-
--
-
9.97
1.26
838
:
0
3
3
6.559.1394.6
9.136.5594.6
94.694.662.4
10 3
B
A
A
B
A
A uu
q
q
q
q 解得
41
?
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=D
9.97
0
838
1.26
0
838
}{
②
7) 求杆端力 单元① T]0001.2608 3 8[}{ =D1
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
① ① ① ①
?
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-
---
-
-
-
-
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-
41.8
75.4
0
09.2
25.1
0
3
3
0
3
3
0
0
0
0
1.26
0
8 3 8
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
② ② ② ②
?
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-
---
-
-
-
-
?
-
09.3
43.0
0
09.2
43.0
0
9.97
0
8 3 8
1.26
0
8 3 8
8.2747.309.1347.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
9.1347.308.2747.30
47.358.0047.358.00
005.52005.52
10
3
42
?
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?
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=D
0
0
0
9.97
0
838
}{
③
=+D= }{}]{[][}{ PFTkF
③ ③ ③ ③
?
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-
---
-
-
-
-
?
-
47.4
25.1
0
09.3
25.1
0
0
0
0
9.97
0
838
100000
001000
010000
000100
000001
000010
8.2794.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
9.1394.60
94.631.20
003.83
8.2794.60
94.631.20
003.83
10
3
T]47.425.1009.325.10[ ---
TF ]09.343.0009.243.00[}{ -=
②
TF ]41.875.4009.225.10[}{ --=
①
8.41
2.09 3.09
4.47
M图
(kN.m)
4.75
＋
1.25
－
－
0.43 1.25
＋
1.25
Q图
(kN)
N=
0.4
3
N=－ 1.25
N=
－
0.4
3
N图
(kN)
?由单元刚度方程求出的杆端轴
力为零。为什么？
?根据节点平衡由剪力求轴力。
TF ]04.343.024.109.243.024.1[}{ --=
②
TF ]49.876.443.009.224.143.0[}{ ---=
①
TF ]38.424.143.004.324.143.0[}{ ----=
③
?轴向变形影响不大。
43
?单元的刚度方程 (局部坐标）
u1 u2X1 X2
e1 2
)(),( 212211 uulEAXuulEAX --=-=
??
?
??
?
??
?
??
?
-
-=
?
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2
1
2
1
11
11
u
u
l
EA
X
X
Y2
Y1
X1
X2
y
x
x
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-
-
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2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0101
0000
0101
v
u
v
u
l
EA
Y
X
Y
X
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?
-
-
=
??
??
??
??
co ssin00
sinco s00
00co ssin
00sinco s
T
注意：①桁架单元的结点转角不
是基本未知量。②无须求等效结
点荷载。③杆端力是由结点位移
产生的。
][][][][ @@ TkTk T=
@@@ }]{[][}{ D= TkF
§ 13-9 桁架及组合结构的整体分析
?坐标转换矩阵
?单元的刚度方程 (整体坐标）
44
3
l
l
10kN
10kN例 13-6 求图示桁架内力 (EA=常数 )。
解,1、编码如图 ； ⑥
①
②
③
④
⑤
1
2 4
{0} {0}
2、形成 @][k
6,5@,
0000
0101
0000
0101
2
][
4,3,2,1@,
0000
0101
0000
0101
][
@
@
=
?
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-
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-
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l
EA
k
l
EA
k
3、形成 [k]@
[k]② =[k]④ =[k]② =[k]④
单元①③ α=90°
???
?
???
?
-= 01
10][
11T
[k]① =[k]③ =
?
?
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l
EA
??
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??
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-??
?
??
?
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?
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? -
=
01
10
00
01
01
10
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T10
00-
10 00-
10
00
10
00 ?
?
?
?
?
45
单元⑤ α=45°
??????-= 11 1121][ 11T
[k]⑤ =
?
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?
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?
l
EA
22 ?
?
?
??
?
-??
?
??
?
??
?
??
? -=
=
11
11
00
01
11
11
22
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T11 11 -- --11 11
?
?
?
?
?
11 11 -- -- 11 11
单元⑤ α=135°
?????? ---= 11 1121][ 11T
[k]⑥ =
?
?
?
?
?
l
EA
22 ?
?
?
??
?
--
-
??
?
??
?
??
?
??
?
-
--=
=
11
11
00
01
11
11
22
]][[][][ 11111111
l
EA
TkTk T11 11 --11 11- -
?
?
?
?
?
11 11 -- 11
11
-
-
3
l
l
10kN
10kN
⑥
①
②
③
④
⑤
1
2 4
{0} {0}
4、集成总刚 [K]
T
T
]4321[}{
,]0021[}{
=
=
②
①
?
?
T
T
]0000[}{
]0043[}{
=
=
④
③
?
?
T
T
]0043[}{
]0021[}{
=
=
⑥
⑤
?
?
l
EA
K ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
--
-
=
35.135.000
35.035.101
0035.135.0
0135.035.1
][
5、节点荷载 T0]010-10[}{ =P
46
?
?
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-=
?
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-
--
-
?
0
0
10
10
35.135.000
35.035.101
0035.135.0
0135.035.1
D
D
C
C
v
u
v
u
l
EA
6、解基本方程
l
EA
v
u
v
u
D
D
C
C
?
??
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??
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?
?
-=
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58.5
36.21
42.14
94.26
7、杆端力计算
??
?
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??
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?
=D
...
...
...
...
}{ ①
??
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-
-
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-
-
=D=
0
42.14
0
42.14
0
0
42.14
94.26
0100
1000
0001
0010
0000
0101
0000
0101
}]{[][}{ ①①① TkF
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-
-
=D=
0
58.5
0
58.5
58.5
36.21
42.14
94.26
1000
0100
0010
0001
0000
0101
0000
0101
}]{[][}{ ②②② TkF
0
0
2
1
l
EA
?
??
?
?
?
??
?
?
?
-=D
0
0
42.14
94.26
} ①{ }
4
3
2
1
...
...
...
...
??
?
?
?
??
?
?
?
=D ②{ }
l
EA
?
??
?
?
?
??
?
?
?
-=
58.5
36.21
42.14
94.26
②
47
节点位
移分量
自由节点位移分量 (基本未知量，相应的节点荷载已知 )
受约束的位移分量 (已知量，相应的约束反力未知 )
先处理法
1、节点位移分量中不含受约束的支座位移，节点力分量中不
含未知的支座反力。
2、由单刚 考虑边界条件 [K] [Δ]
3、对于具有非刚性连接、支承节点较多且分散、不考虑轴向
变形的结构最为方便。可减少内存，提高计算速度。但要
对各节位移进行统一编码，形成各单元的定位向量。
后处理法
1、节点位移分量中含有受约束的支座位移，节点力分量中含
有未知的支座反力。
2、由单刚 考虑边界条件 [K] [Δ]]~[K (原始刚度矩阵,奇异 )
3、每个节点位移分量数相同,的阶数是节点总数乘节点位
移 分量数，整个分析过程便于编制通用程序。适用于节点
多支座约束少，考虑轴向变形的结构。但占用内存大。
]~[K
48
后处理法边界条件的处理
在后处理法中，由于没有考虑边界条件，由 [k]@集成的
是奇异矩阵，由单元集合成的体系是自由体，具有刚体位移。
]~[K
}{}]{~[ PK =D 没有确定的位移解。位移边界条件处理的三种方法：
1、划行划列法 编制程序较复杂，不常采用。
2、主对角元置大数法 设第 i 个节点位移分量 (已知 )0di =D
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???=
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D
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??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
0di =D
为了将第 i 个方程改为,
将 kii 置一大数如 R=1020
Pi 改为 Rd0
第 i 个方程变为,
00112211 dRdkRkk iiiii =D?=D+???+D+???+D+D
该法虽为近似处理，程序设计容易实现，故被广泛应用。
R Rd0
49
2、主对角元置 1法
?
?
?
?
?
?
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???=
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D
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??????????????????
??????
??????????????????
??????
??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
}{}]{~[ PK =D
0di =D?第 i 个方程变为,
?为了不破坏总刚的对称性
第 i 列也作相应的处理。
?为了不影响其他方程，
荷载向量也要作相应的
改变。
?
?
?
?
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???=
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D
???
D
D
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??????
??????????????????
??????
??????????????????
??????
??????
n
i
n
i
nnninn
iniiii
ni
ni
P
P
P
P
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
2
1
2
1
21
21
222221
111211
0 0 ··· 1 ··· 0 d0
0
0
···
1
···
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
???
??
-
-
0
0
022
011
dkP
d
dkP
dkP
nin
i
i 该法是精确的
处理方法，被
经常采用，但
不如主对角元
置大数简便。
50
1）结点位移分量的统一编码 —— 总码
在刚结点 A铰结点 C1和 C2处，
竖向位移均为零，故其编码
也应为零，另外它们的水平
位移分量都相等，因此它们
的水平位移应采用同码。
0
0 0
1
0 2
2
1A C1
B D
0
0 0
1
03
1
4
0
C2
3
形成图示刚架的整体刚度矩阵
2）单元定位向量：
3）按①②③次序进行单元集成：
{ } ? ?T301201=①?
{ } ? ?T000201=②?
{ } ? ?T000401=③?
51
50300
30120
003 0 0
-
-
-
1 0 0300
30120
003 0 0
50300
30120
003 0 0
--
-
1 0 0300
30120
003 0 0
-
-
× 104[k] =
1
1 0 2 1 0 3
1 2 3 4
1
2
3
4
1
0
2
1
0
3
300 0－ 300 0
1000 +0 50
－ 300 +0+300 +0
0 50+0 100
1 0 2 0 0 0
k 2 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
-
100030
03000
3012
× 104 0
0
0 0
100 50
50 100
+12 － 30
－ 30 +100
k 3 =
50030
03000
30012
-
--
100030
03000
30012
-
-
50030
03000
30012
-
-
100030
03000
3012
×
1 0 4 0 0 0
1
0
4
0
0
0
+12 － 30
－ 30 +100
[K]=
104 ×
52
一、总框图
开始
输入原始数据
形成固端弯矩向量
形成节点荷载向量
形成整体刚度矩阵
解方程输出位移
求内力输出内力作内力图
结束
1
2
3
4
5
6
二、程序标识符
NE— 单元总数，
N— 节点位移总数，
NL— 左端支承信息，
NR— 右端支承信息，
NP— 跨中荷载数 。
BL(NE)— 单元杆长，
EI (NE)— 单元抗弯刚度，
M0(NE,2)— 单元固端弯矩，
KB(N,2)— 存放整体矩阵，
M(NE,2)— 单元杆端弯矩。
P(N)— 先放节点力偶,在放节点荷载,
解方程后存放节点位移,
NP(NP,4)— 非节点荷载信息数组,
§ 13-10 连续梁程序的框图设计
53
NP(NP,4)— 非节点荷载信息数组，其中：
NP(i,1)— 第 i 个跨中荷载作用的单元号；
NP(i,2)— 第 i 个跨中荷载荷载类型号；
（见表 13-1）
NP(i,3)— 均布荷载的长度或集中荷载到左端
的距离；
NP(i,2)— 第 i 个跨中荷载荷载值，向下为正。
54
j=1,4
输入 NP(i,j)
m=NP(i,1),XM=NP(i,2),a=NP(i,3),q=NP(i,4),l=BL(m)
SELECT CASE XM
横向
均布
荷载
横向
集中
荷载
集中
力偶
荷载
横向三
角形分
布荷载
M0(m,1)=M1,M0(m,2)=M2
i=1,NP形成固端弯矩
向量 M0(NE,2)
55
对于 n跨连续梁，不难导出整体刚度矩阵如下：
4i1 2i1
2i1 4(i1+ i2)
0
2i2
4(i1+ i2)0 2i2 2i3
0
0
2in-1 4(In-1+ in) 2in
2in 4in0
0
0
[K]=
1 e2 3
P2 PnP1 1 P2
56
i=1,NE
形成节点
荷载向量
P(1)= P(1)－ m0(1,1)
L=i－ NL
P(L)= P(L)－ m0(i－ 1,2) － m0(i,1)
P(n)= P(n)－ m0(NE,2)
NL=0
Y
N
NR=0
Y
N
看一下
57
