1
影响线的概念
静力法作影响线
结 点 荷 载 下 的 影响 线
机动法作影响线
影响线的应用
简 支 梁 的 内 力 包络 图
2
§ 7.1 移动荷载和影响线的概念
?移动荷载作用下内力计算特点,结构内力随荷载的移动而变化,为此需要
研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即
荷载的最不利位置）。
?研究方法,先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律,再根据叠加原理
解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。
P=1
RB
x
Y=R
B
1
?影响线的定义,当 P=1在结构上移动时，用来表示某一量值 Z变
化规律的图形，称为该量值 Z的影响线。
?在 Z的影响线中,横标表示的是 P=1的作用位置；
?竖标表示的是量值 Z的值。
如在 RB影响线中的竖标 yD表示的是：
当 P=1移动到 点时，产生的 支座反力。
?Z的影响线与量值 Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力
的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。
D B
yD
D
P=1
3
以自变量 x表示 P=1的作
用位置，通过平衡方程，建
立反力和内力的影响线函数
并作影响线
［ 0,a）
1、支座反力影响线
∑MA=0 RB=x/l ［ 0,l］
∑MB=0RA=（ l-x） /l ［ 0,l］
1＋
1 ＋
RB.影响线
RA.影响线
2、剪力影响线
C
a b
当 P=1在 AC上移时取 CB
MC QC R
B
∑Y=0QC =－
= =（ L-x） /l
RB=－ x/l
a/l—
当 P=1在 CB上移时取 AC
RA QC
MC
∑Y=0QC= （ a,l］RA
b/l +
QC.影响线
RA
A
RB.
B
、弯矩影响线
∑MC=MC－ RB× b=0 ［ 0,a］MC=x/l× b
∑MC=MC－ RA× =0
ab/l ＋
MC.影响线
C Bb
A Ca
MC=（ l－ x） l× a ［ a,l］
x P=1
l
§ 7.2 静力法作单跨静定梁的影响线
4
a/l—
b/l +
QC,I.L
ab/l ＋
MC.I.L
RB.
B
1＋
1 ＋
RB.I.L
RA.I.L
C
a b
x P=1
l
RA
A单跨静定梁的影响线特点,
?反力影响线是一条直线；
?剪力影响线是两条平行线；
?弯矩影响线是两条直线组
成的折线。
5
C
a b
x P=1
L
ab/L M图(kN.m)
P=1kN
Ca b
L
ab/L
＋
MC.I.L(m)
弯矩影响线与弯矩图的比较
影响线
弯矩图
荷载位置 截面位置 横坐标 竖坐标 yD
不变变
不变 变
单位移动
荷载位置
截面位置
yD
D
yD
D
单位移动荷载移到 D点时,
产生的 C截面的弯矩
C点的固定荷载作用下,
产生的 D截面的弯矩
6
RB=x/L [0,L]
当 P=1在 AC上移动 QC=-x/L （ 0,a）
当 P=1在 CB上移动 QC=（ L-x） /L
Ca bx P=1
LR
A
A B
RB.
当 P=1在 EC上时：
QC=-RB=-x/L
（ -L1,a）
当 P=1在 CF上时：
QC=RA=（ L-x） /L
（ a,L+L2）
RB=x/L （ -L1,L+L2）
伸臂梁的影响线
由平衡条件可得,
故欲作伸臂梁的反
力及支座间的截面内
力影响线，可先作简
支梁的影响线，然后
向伸臂上延伸。 +
1
-
RB.I.L
a/L
b/L
-
++
-QC.I.L
ab/L
+_
_
Mc.I.L
D
当 在 D以里移动
时 D截面内力等于零，
故伸臂上截面内力
影响线在该截面以外
的伸臂段上才有非零
值。 MD.I.L - d
在 D以外移动时 D
截面才有内力
d
+ 1
QD.I.L
L1 a bL L2
P=1x
A BC
RA RB
E F
7
d85 d4
3d16
15
横梁 纵梁
主梁
A BC E F
RA R
B
l=4dd/2 d/2
D
P=1
MD影响线
P=1 P=1
D
x P=1
P=1
dxd? dx
d
xd
d
xddM
D ??
???
4
3
8
5
结点荷载下影响线特点
1、在结点处，结点荷载与
直接荷载的影响线竖标相同。
2、相邻结点之间影响线为
一直线。
结点荷载下影响线作法
1、以虚线画出直接荷载
作用下有关量值的影响线。
2、以实线连接相邻结点
处的竖标，即得结点荷载作
用下该量值的影响线。
MD.I.L
＋
I.L.QCE
1/2
1/4
＋
－
CMLI.4
3d
§ 7-3 结点荷载作用
下梁的影响线
8
l=6d
A CB D E F G
h?任一轴力影响线在相邻结点之间为
直线。
?反力影响线与简
支梁相同。
§ 7-4静力法作桁架的影响线
9
P=1
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
?任一轴力影响线
在相邻结点之间为
直线。
?反力影响线与简
支梁相同。
1
1
Nbc
RA RG
Nbc=－ RA× 2d/h (P=1在 C以右时）
NCD
同理,NCD=+Mc0/h
?平行弦桁架 弦杆
影响线可由相应梁
结点的弯矩影响线
竖标除以 h得到。
上弦杆为压
下弦杆为拉。
P=1
＋
4d/3/h
I.L.NCD
I.L.Nbc
4d/3
4d/3/h
－
P=1P=1 P=1P=1
或,Nbc=－ MC0/hN
bc=－ RＧ × 4d/h (P=1在 C以左时）
10
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
P=1
x
A CB D E F G
2
2
RA RG
RA RG
P=1P=1
I.L.Yb
C
0BCbC QY ?
1/6
2/3
＋
－
NbC
?平行弦桁架 斜
杆轴力的 YbC影响
线就是 ± 梁的节
间剪力 QBC0影响线。
右下斜为正，右
上斜为负。
P=1在 B以右时
YbC=RA
P=1在 B以左时
YbC=－ RＧ
可概括为一个式子
11
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
P=1
x
A CB D E F G
RA RG
RA RG
P=1P=1
0CDcC QN ??
NcC
1
1
1/2
1/3
＋
－ I.L.N
cC
1/6
?竖杆轴力 NcC影响
线就是负的梁的节
间剪力 QCD0影响线。
作桁架影响线时要
注意区分是上弦承
载，还是下弦承载。
下承
上承
0bccC QN ??
2/3
－
＋
I.L.NcC
P=1在 D以右时
NcC＝－ RA
P=1在 C以左时
NcC＝ RG
可概括为一个式子
在 CD之间为直线
12
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
I.L.NdD=0
下承
上承I.L.N
dD
－
1
P=1
h
P=1 P=1P=1 P=1P=1
?任一轴力影响线 在相邻结点之
间为直线。
?平行弦桁架
① 弦杆影响线可由相应梁结点
的弯矩影响线竖标除以 h得到。
上弦杆为压下弦杆为拉。
② 斜杆轴力的 YbC影响线就是 ±
梁的节间剪力 QBC0影响线。右下
斜为正，右上斜为负。
③ 竖杆轴力 NcC影响线就是 ± 梁
的节间剪力 QCD0影响线。作桁架
影响线时要注意区分是上弦承载，
还是下弦承载。
④ 静定结构某些量值的影响线，
常可转换为其它量值的影响线来
绘制。
13
绘制影响线的方法 静力法,列影响线方程,作影响线,机动法,根据虚功原理,将作影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
机动法的优点,不经计算快速的绘出影响线的形状。 P=1x
a b
l
C
P=1
Z(x)
δZ
δP(x)
zP
Pz
xxZ
xPxZ
??
??
)()(
0)()(
??
??
1
1
机动法作影响线的步骤：
1）撤除与 Z相应的约束，代以未知力。
2）使体系沿 Z的正方向发生虚位移，
作出荷载作用点的竖向虚位移图，即 Z的
影响线轮廓。
3）再令 δ Z=1，定出影响线竖标的值。
4）基线以上为正的影响线,基线以下
为负的影响线，
＋
－
§ 7-5机动法作影响线
14
b/l
a/l
I.L.QC
P=1
CQ
C
P=1x
a b
l
C
＋
－－
P=1
C
P=1x
a b
l
C
1 b
＋
－
ab/l
I.L.MC
所作虚位移图要满足支承连接条件！
15
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
1 1m
1/4
3/4
9/4
9/2
9/4
I.L.MK
＋＋
－－－
I.L.Mk(m)
1/4
3/4
9/4
9/2
9/4
16
Qk
11/4 3/4
1/4
3/4
3/2
3/4
＋＋＋
－－－ I.L.Q
K
MC
1
1
I.L.QK
I.L.MC
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
1/4 3/4
1/4
3/4
3/2
3/4
2
2I.LMC(m)
＋
－
1
17
1
2
1
RD
1 1.5
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
I.L.QE
I.L.RD
I.L.QE
＋＋
－
1
2
1
＋
I.L.RD
1.5
QE
18
1） 求 影响量
b/l
a/l
＋
－ I.L.Q
C
y1
P1
y2
P2
y3
P3
a）集中荷载
QC=P1y1+ P2y2 + P3y3
一般说来,Z=∑ Piyi
a b
l
C
a b
l
↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A B
qdx
b）均布荷载
dω=ydx
QC=qω 正的影响线取正面积
ydxq BA? ?yqdxQ BAC ?? wdq B
A
? ?
b/l
a/l
＋
－
y
x dx
QC ? ydxq B
A?
β
ξ
? 0yqc×
? 0qc×tg xb×?? qdtg xxb
x?? dtgq bx
ξ0
定理,当一组平行力作用在影
响线的同一直线段上时，
这组平行力产生的影响等
于其合力产生的影响。
I.L.QC
y0
c
§ 7-6影响线的应用
19
例：利用影响线求图示梁 K截面的弯矩。
64 5 4
I.L.MK (m)
MK=P1y1+ P2y2 +q1ω1+q2ω2－ q3ω3－ mθ
=100× 4＋ 100× 5＋ 50 ×
1
2 ω
3
ω2ω1
6－ 30 × 1.518＋ 30×
＝ 1925kN.m
6m 3m 6m 6m3m 3m 3m
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
100kN 100kN 50kN/m 30kN/m
K 30kN.m
－ 30× 1/3
1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量
一般说来,Z=∑ Piyi +qω－ m tgθ 集中力偶影响梁计算
21
2）利用影响线求荷载的最不利位置
如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置
称为荷载最不利位置。
判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密
的荷载放在影响线竖标较大的部位。
a）单个移动集中荷载：
a b
l
－
＋
P
b）可按任意方式分布的移动均布荷载：
－
＋＋I.L.Z
求 Z的最大值 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓求 Z的最小值
c）行列荷载（间距不变的一系列移动荷载）
22
2m 12m
K
P1=P P2=2P
4m
5/3 4/3 1 2/3
I.L.MK(m)
P1=P P2=2P
MK
x
P1=P P2=2P
10P/3 8P/3
MK=P1y1+P2y2
=P1× 5/3+P2× 1=11P/311P/3
P1=P P2=2P
2P/3
1=P P2=2P 1=P P2=2P
x
MK的综合
影响线
P1=P P2=2P
满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫 临界荷载,与此对
应的行列荷载位置，称为 临界位置 。
3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是
临界荷载。
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。
2) MK的极值表现为尖点值。其特点是,a）有一集中力 Pcr位于
影响线顶点上。 b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点,MK的值均
减少。
23
Z影响线
P1 P2 P3 P4 P5 P6
R1 R2 R3临界荷载
的判断条件
3
y2y
1y
1y
D
2yD
3y
D
α1>0
α2>0 α
3<0
≤0 当 Δx＞ 0时 (右移 ) ∑Ritgαi≤0当 Δx＜ 0时 (左移 ) ∑R
itgαi ≥0
Z成为极大值条件,
≥ 0 当 Δx＞ 0时 (右移 ) ∑Ritgαi ≥ 0当 Δx＜ 0时 (左移 ) ∑Ritgαi ≤ 0
Z成为极小值条件,
ii xt gy ?D?D
????? ii yRyRyRyRZ 332211 ?? D?D?D iiii tgRxyRZ ?
?D?D ii tgRxZ ?
?D?D ii tgRxZ ?
R1 R2 R3
Dx Dx Dx
1)Z达极值时，荷载稍向左、
右偏移,∑ Ritanα i必变号。
2)有一集中力 Pcr位于影响
线顶点上。
24
Z达极值 (极大或极小 )的临界荷载的判别条件,
a）有一集中力位于影响线的顶点；
b）行列荷载稍向左、右移动时,∑Ri tgαi必须变
号。
确定荷载最不利位置的步骤：
1）选一集中力 Pcr将它放在影响线的顶点 ;
2）当 Pcr在影响线顶点稍左或稍右时分别求 ∑Ri tgαi
的值。如果 ∑Ri tgαi变号（或由零变为非零）,Pcr为临
界荷载。如果 ∑Ri tgαi不变号，该集中力不是临界荷载。
3）对每个临界位置可求出 Z的一个极值，然后从各
极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的
荷载最不利位置。
25∑Ritgαi=360× 1/8+127.8× (－ 0.25/4)+226.8× (－ 0.75/6)=+8.7>0
P1=P2=P3=P4=P5=90kN
P2 P3 P4P1 P5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=37.8kN/m
1.51.5 1.5 1.5 1.5 30m
8m 4m 6m
1.0 0.75
α1
α3
α2
Z影响线
P2 P3 P4P1 P5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=37.8kN/m
1.51.5 1.5 1.5 1.5 30m
tgα1=1/8 tgα2=－ 0.25/4 tgα3=－ 0.75/6
荷载稍向右移, R1=270kN R2=90× 2＋ 37.8× 1=217.8kN
R3=37.8× 6=226.8kN
∑Ritgαi=270× 1/8+217.8× (－ 0.25/4)+226.8× (－ 0.75/6)=－ 8.2＜ 0
荷载稍向左移, R1=360kN R2=90＋ 37.8× 1=127.8kN
R3=37.8× 6=226.8kN
kN455?2 675.012 75.081.08.37 ????? ×?×??906.090×?Z 185.68585.390 ????? ????
所以 P4是个临界荷载。
（中 — 活载）
8
5.6
8
5
8
5.3 0.81
26
当影响线为三角形时,P
cr
R左 R右
tgα=c/a
tgβ=c/b
荷载右移：
α β
c
a b
荷载左移：
b
R
a
PR
b
RP
a
R
cr
cr
右左
右左
?
?
?
? 当影响线为三角形时，临界位
置的特点是：有一集中力 Pcr在
影响线的顶点，将 Pcr计入那边
那边荷载的平均集度就大。
如 Z的达极大值
? iitgR ? =R左 tgα－ (Pcr＋ R右 )tgβ≤0
=(R左 ＋ Pcr)tgα－ R右 tgβ≥0? iitgR ?
27
15m 25m
C
70kN 130 50 100 50 100
4m 5m 4m 15m 4m
25
200
15
13070
15
70
>?
25
200130 ?< M
C=70× 6.88+130× 9.38+50× 7.50
+100× 6.00+50× 0.38
＝ 2694kN.m
9.386.88 7.50 6.00 0.38
MC影响线 (m)
例 7-8 (P125) 求 C截面的最大弯矩。
(汽－ 15级）
∴ 130kN是临界荷载
28
100kN 50 130 70 100 50
4m 5m 4m 15m 4m
25
220130
15
150
>15150 ?
25
220130 ?<
15m 25m
C
MC影响线 (m)
9.386.25 7.88 0.753.75 2.25
MC=100× 3.75+50× 6.25+130× 9.38
+70× 7.88+100× 2.25 +50 × 0.75
＝ 2720kN.m
Mcmax=2720kN.m
∴ 130kN是临界荷载
29
1）简支梁的 包络图：
将移动荷载作用下
简支梁中各个截面产生
的最大（小）内力值用
曲线连接起来，得到的
图形称为 简支梁的内力
包络图。
Px=ξ
MCmax=ξ(l-ξ)P/l
0.25Pl0.21Pl
0.09Pl
M包络图
Cξ
12m
ξ(l-ξ)/l
＋ MC影响线
① 单个集中力
§ 7-7简支梁的包络图和绝对最大弯矩
30
ξ
12m
ξ(l-ξ)/l
＋ M4影响线
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5P
1=P2=P3=P4=82kN
1 2 3 4 5 6 7 8 9
100
M4max=559kN.m
559 M包络图（ kN.m)Q包络图（ kN)
212
153
94.3
41.7
574 578
弯矩包络图 × 动力系数 +M静 =据以设计的弯矩包络图
② 行列荷载
31
弯矩影响线与弯矩图的比较
影响线
弯矩图
荷载位置 截面位置 横坐标 竖坐标 yD
不变变
不变 变
单位移动
荷载位置
截面位置
单位移动荷载移到 D点时,
产生的 C截面的弯矩
C点的固定荷载移作用下,
产生的 D截面的弯矩
弯矩
包络图 变 变 截面位置
在实际移动荷载作用下,
D截面可能产生的最大弯矩
与弯矩包络图的比较
32
2）简支梁的 绝对最大弯矩,移动荷载作用下简支梁
各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为 简支梁的绝
对最大弯矩 。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生
的最大弯矩。
绝对最大弯矩与两个未知因素有关：
（ 1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？
（ 2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？
计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。
计算途径：任取一个集中力 Pcr求行列荷载移动过程中 Pcr作用
点产生的弯矩最大值 Mmax计算公式，利用这个公
式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中 最大
的，就是绝对最大弯矩。
经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截面弯矩取得最
大值的临界荷载下面。
33
P1 Pcr Pn-1 Pn
x Ra推导 P
cr弯矩最大值的算式
由 ∑MB＝ 0
crMxl
axlR ????
A l
axlRR ???
axllR ??? 0)2(
dx
dM ?0
crMRAxxM ??)(
RA
alx ??
22 （ 7— 9）
crmxa Ml
alRM ?
?
??
?
? ?? 1
22
2
（ 7— 10）
l/2 l/2
a/2 a/2
Mcr=Pcr以左梁上荷载对 Pcr
作用点的力矩之和。
?（ 7— 9）说明 Pcr作用点的弯矩为
最大时，梁的中线正好平分 Pcr与 R
的间距。
?Pcr与 R的间距 a可由合力矩定理确
定。 R在 Pcr 右 a为正。
?注意 R是梁上实有荷载。安排 Pcr
与 R的位置时，有些荷载进入或离
开梁，这时应重新计算合力 R的值
和位置。
34
例 7-9 (P129)
12m
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5
P1=P2=P3=P4=82kN
先求 P2作用点的最大弯矩。
R=4× 82=328kN,R作用在
P2与 P3中间。 a=0.75m
M max mkN.578)5.182582(121275.0212328
2
?????????? ???
mkN.5785.382121275.0212328
2
???????? ??MlalRM cr122
2
max ??
??
?
? ??
再求 P3作用点的最大弯矩。 R=4× 82=328kN,R作用在 P2与 P3
中间。 a=－ 0.75m
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5
35
l
,当竖向单位
移动荷载在梁上移动时，表
示某一指定位移 δkP与荷载位
置 x 的关系曲线，即为 δkP位
移的影响线。
P=1x
δkP
P=1x
δkP
P=1x
δkP
*位移影响线
δkPδkP影响线 δkP
KM
l
ab
Pk=1
a b
δPK
PM
l
xlx )( ?位移 δ
KP的影响线等于固
定荷载 PK=1作用于 K点时
引起的竖向位移图。
于是，将求位移影响
线的问题，转变为求在固
定荷载 PK=1作用下的位移
图问题。 P
K=1作用下的位移图
由位移互等定理得：
δ KP=δ PK
?? dxEI MMx kPkP )(?
36
3
xl?
a
P=1x
A B
例：试作图示等截面简支
梁 B截面的角位移影响线。
解：①作单位竖向移动荷
载 P=1作用下的 MP。
l
xlx )( ?
MP
② 在 B截面施加单位力
偶 MB=1,并作 MB图。
③ 求影响线方程。 A BM=1
1M
B
④ 绘制影响线。
EI
xlx
l
xl
l
l
xlx
EI
EI
dsMM
BP
B
6
)(
3
)()(
2
11
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
l
xl
3
?
4
l
4
l
4
l
4
l
EI
l
128
5 2
EI
l
128
8 2 EIl1285 2
单元测试
37
影响线的概念
静力法作影响线
结 点 荷 载 下 的 影响 线
机动法作影响线
影响线的应用
简 支 梁 的 内 力 包络 图
2
§ 7.1 移动荷载和影响线的概念
?移动荷载作用下内力计算特点,结构内力随荷载的移动而变化,为此需要
研究内力的变化规律、变化范围及最大值，和产生最大值的荷载位置（即
荷载的最不利位置）。
?研究方法,先研究单位移动荷载作用下的内力变化规律,再根据叠加原理
解决移动荷载作用下的内力计算问题,以及最不利荷载的位置问题。
P=1
RB
x
Y=R
B
1
?影响线的定义,当 P=1在结构上移动时，用来表示某一量值 Z变
化规律的图形，称为该量值 Z的影响线。
?在 Z的影响线中,横标表示的是 P=1的作用位置；
?竖标表示的是量值 Z的值。
如在 RB影响线中的竖标 yD表示的是：
当 P=1移动到 点时，产生的 支座反力。
?Z的影响线与量值 Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力
的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。
D B
yD
D
P=1
3
以自变量 x表示 P=1的作
用位置，通过平衡方程，建
立反力和内力的影响线函数
并作影响线
［ 0,a）
1、支座反力影响线
∑MA=0 RB=x/l ［ 0,l］
∑MB=0RA=（ l-x） /l ［ 0,l］
1＋
1 ＋
RB.影响线
RA.影响线
2、剪力影响线
C
a b
当 P=1在 AC上移时取 CB
MC QC R
B
∑Y=0QC =－
= =（ L-x） /l
RB=－ x/l
a/l—
当 P=1在 CB上移时取 AC
RA QC
MC
∑Y=0QC= （ a,l］RA
b/l +
QC.影响线
RA
A
RB.
B
、弯矩影响线
∑MC=MC－ RB× b=0 ［ 0,a］MC=x/l× b
∑MC=MC－ RA× =0
ab/l ＋
MC.影响线
C Bb
A Ca
MC=（ l－ x） l× a ［ a,l］
x P=1
l
§ 7.2 静力法作单跨静定梁的影响线
4
a/l—
b/l +
QC,I.L
ab/l ＋
MC.I.L
RB.
B
1＋
1 ＋
RB.I.L
RA.I.L
C
a b
x P=1
l
RA
A单跨静定梁的影响线特点,
?反力影响线是一条直线；
?剪力影响线是两条平行线；
?弯矩影响线是两条直线组
成的折线。
5
C
a b
x P=1
L
ab/L M图(kN.m)
P=1kN
Ca b
L
ab/L
＋
MC.I.L(m)
弯矩影响线与弯矩图的比较
影响线
弯矩图
荷载位置 截面位置 横坐标 竖坐标 yD
不变变
不变 变
单位移动
荷载位置
截面位置
yD
D
yD
D
单位移动荷载移到 D点时,
产生的 C截面的弯矩
C点的固定荷载作用下,
产生的 D截面的弯矩
6
RB=x/L [0,L]
当 P=1在 AC上移动 QC=-x/L （ 0,a）
当 P=1在 CB上移动 QC=（ L-x） /L
Ca bx P=1
LR
A
A B
RB.
当 P=1在 EC上时：
QC=-RB=-x/L
（ -L1,a）
当 P=1在 CF上时：
QC=RA=（ L-x） /L
（ a,L+L2）
RB=x/L （ -L1,L+L2）
伸臂梁的影响线
由平衡条件可得,
故欲作伸臂梁的反
力及支座间的截面内
力影响线，可先作简
支梁的影响线，然后
向伸臂上延伸。 +
1
-
RB.I.L
a/L
b/L
-
++
-QC.I.L
ab/L
+_
_
Mc.I.L
D
当 在 D以里移动
时 D截面内力等于零，
故伸臂上截面内力
影响线在该截面以外
的伸臂段上才有非零
值。 MD.I.L - d
在 D以外移动时 D
截面才有内力
d
+ 1
QD.I.L
L1 a bL L2
P=1x
A BC
RA RB
E F
7
d85 d4
3d16
15
横梁 纵梁
主梁
A BC E F
RA R
B
l=4dd/2 d/2
D
P=1
MD影响线
P=1 P=1
D
x P=1
P=1
dxd? dx
d
xd
d
xddM
D ??
???
4
3
8
5
结点荷载下影响线特点
1、在结点处，结点荷载与
直接荷载的影响线竖标相同。
2、相邻结点之间影响线为
一直线。
结点荷载下影响线作法
1、以虚线画出直接荷载
作用下有关量值的影响线。
2、以实线连接相邻结点
处的竖标，即得结点荷载作
用下该量值的影响线。
MD.I.L
＋
I.L.QCE
1/2
1/4
＋
－
CMLI.4
3d
§ 7-3 结点荷载作用
下梁的影响线
8
l=6d
A CB D E F G
h?任一轴力影响线在相邻结点之间为
直线。
?反力影响线与简
支梁相同。
§ 7-4静力法作桁架的影响线
9
P=1
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
?任一轴力影响线
在相邻结点之间为
直线。
?反力影响线与简
支梁相同。
1
1
Nbc
RA RG
Nbc=－ RA× 2d/h (P=1在 C以右时）
NCD
同理,NCD=+Mc0/h
?平行弦桁架 弦杆
影响线可由相应梁
结点的弯矩影响线
竖标除以 h得到。
上弦杆为压
下弦杆为拉。
P=1
＋
4d/3/h
I.L.NCD
I.L.Nbc
4d/3
4d/3/h
－
P=1P=1 P=1P=1
或,Nbc=－ MC0/hN
bc=－ RＧ × 4d/h (P=1在 C以左时）
10
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
P=1
x
A CB D E F G
2
2
RA RG
RA RG
P=1P=1
I.L.Yb
C
0BCbC QY ?
1/6
2/3
＋
－
NbC
?平行弦桁架 斜
杆轴力的 YbC影响
线就是 ± 梁的节
间剪力 QBC0影响线。
右下斜为正，右
上斜为负。
P=1在 B以右时
YbC=RA
P=1在 B以左时
YbC=－ RＧ
可概括为一个式子
11
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
P=1
x
A CB D E F G
RA RG
RA RG
P=1P=1
0CDcC QN ??
NcC
1
1
1/2
1/3
＋
－ I.L.N
cC
1/6
?竖杆轴力 NcC影响
线就是负的梁的节
间剪力 QCD0影响线。
作桁架影响线时要
注意区分是上弦承
载，还是下弦承载。
下承
上承
0bccC QN ??
2/3
－
＋
I.L.NcC
P=1在 D以右时
NcC＝－ RA
P=1在 C以左时
NcC＝ RG
可概括为一个式子
在 CD之间为直线
12
§ 7-4静力法作桁架的影响线
l=6d
A CB D E F G
a cb d e f g
h
I.L.NdD=0
下承
上承I.L.N
dD
－
1
P=1
h
P=1 P=1P=1 P=1P=1
?任一轴力影响线 在相邻结点之
间为直线。
?平行弦桁架
① 弦杆影响线可由相应梁结点
的弯矩影响线竖标除以 h得到。
上弦杆为压下弦杆为拉。
② 斜杆轴力的 YbC影响线就是 ±
梁的节间剪力 QBC0影响线。右下
斜为正，右上斜为负。
③ 竖杆轴力 NcC影响线就是 ± 梁
的节间剪力 QCD0影响线。作桁架
影响线时要注意区分是上弦承载，
还是下弦承载。
④ 静定结构某些量值的影响线，
常可转换为其它量值的影响线来
绘制。
13
绘制影响线的方法 静力法,列影响线方程,作影响线,机动法,根据虚功原理,将作影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
机动法的优点,不经计算快速的绘出影响线的形状。 P=1x
a b
l
C
P=1
Z(x)
δZ
δP(x)
zP
Pz
xxZ
xPxZ
??
??
)()(
0)()(
??
??
1
1
机动法作影响线的步骤：
1）撤除与 Z相应的约束，代以未知力。
2）使体系沿 Z的正方向发生虚位移，
作出荷载作用点的竖向虚位移图，即 Z的
影响线轮廓。
3）再令 δ Z=1，定出影响线竖标的值。
4）基线以上为正的影响线,基线以下
为负的影响线，
＋
－
§ 7-5机动法作影响线
14
b/l
a/l
I.L.QC
P=1
CQ
C
P=1x
a b
l
C
＋
－－
P=1
C
P=1x
a b
l
C
1 b
＋
－
ab/l
I.L.MC
所作虚位移图要满足支承连接条件！
15
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
1 1m
1/4
3/4
9/4
9/2
9/4
I.L.MK
＋＋
－－－
I.L.Mk(m)
1/4
3/4
9/4
9/2
9/4
16
Qk
11/4 3/4
1/4
3/4
3/2
3/4
＋＋＋
－－－ I.L.Q
K
MC
1
1
I.L.QK
I.L.MC
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
1/4 3/4
1/4
3/4
3/2
3/4
2
2I.LMC(m)
＋
－
1
17
1
2
1
RD
1 1.5
1m 3m 1m 3m 1m 2m 2m 1m
P=1
H A K B E C F D G
I.L.QE
I.L.RD
I.L.QE
＋＋
－
1
2
1
＋
I.L.RD
1.5
QE
18
1） 求 影响量
b/l
a/l
＋
－ I.L.Q
C
y1
P1
y2
P2
y3
P3
a）集中荷载
QC=P1y1+ P2y2 + P3y3
一般说来,Z=∑ Piyi
a b
l
C
a b
l
↓↓↓↓↓↓↓↓
q
A B
qdx
b）均布荷载
dω=ydx
QC=qω 正的影响线取正面积
ydxq BA? ?yqdxQ BAC ?? wdq B
A
? ?
b/l
a/l
＋
－
y
x dx
QC ? ydxq B
A?
β
ξ
? 0yqc×
? 0qc×tg xb×?? qdtg xxb
x?? dtgq bx
ξ0
定理,当一组平行力作用在影
响线的同一直线段上时，
这组平行力产生的影响等
于其合力产生的影响。
I.L.QC
y0
c
§ 7-6影响线的应用
19
例：利用影响线求图示梁 K截面的弯矩。
64 5 4
I.L.MK (m)
MK=P1y1+ P2y2 +q1ω1+q2ω2－ q3ω3－ mθ
=100× 4＋ 100× 5＋ 50 ×
1
2 ω
3
ω2ω1
6－ 30 × 1.518＋ 30×
＝ 1925kN.m
6m 3m 6m 6m3m 3m 3m
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
100kN 100kN 50kN/m 30kN/m
K 30kN.m
－ 30× 1/3
1）利用影响线求各种固定荷载作用下的影响量
一般说来,Z=∑ Piyi +qω－ m tgθ 集中力偶影响梁计算
21
2）利用影响线求荷载的最不利位置
如果荷载移动到某个位置，使某量达到最大值，则此位置
称为荷载最不利位置。
判断荷载最不利位置的一般原则：应当把数值大、排列密
的荷载放在影响线竖标较大的部位。
a）单个移动集中荷载：
a b
l
－
＋
P
b）可按任意方式分布的移动均布荷载：
－
＋＋I.L.Z
求 Z的最大值 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓求 Z的最小值
c）行列荷载（间距不变的一系列移动荷载）
22
2m 12m
K
P1=P P2=2P
4m
5/3 4/3 1 2/3
I.L.MK(m)
P1=P P2=2P
MK
x
P1=P P2=2P
10P/3 8P/3
MK=P1y1+P2y2
=P1× 5/3+P2× 1=11P/311P/3
P1=P P2=2P
2P/3
1=P P2=2P 1=P P2=2P
x
MK的综合
影响线
P1=P P2=2P
满足这种条件的位于影响线顶点的集中力叫 临界荷载,与此对
应的行列荷载位置，称为 临界位置 。
3）临界荷载不只一个，但也并非行列荷载中的每一个荷载都是
临界荷载。
1) 当行列荷载移动时,MK按折线规律变化。
2) MK的极值表现为尖点值。其特点是,a）有一集中力 Pcr位于
影响线顶点上。 b)将行列荷载自此向左或向右稍移一点,MK的值均
减少。
23
Z影响线
P1 P2 P3 P4 P5 P6
R1 R2 R3临界荷载
的判断条件
3
y2y
1y
1y
D
2yD
3y
D
α1>0
α2>0 α
3<0
≤0 当 Δx＞ 0时 (右移 ) ∑Ritgαi≤0当 Δx＜ 0时 (左移 ) ∑R
itgαi ≥0
Z成为极大值条件,
≥ 0 当 Δx＞ 0时 (右移 ) ∑Ritgαi ≥ 0当 Δx＜ 0时 (左移 ) ∑Ritgαi ≤ 0
Z成为极小值条件,
ii xt gy ?D?D
????? ii yRyRyRyRZ 332211 ?? D?D?D iiii tgRxyRZ ?
?D?D ii tgRxZ ?
?D?D ii tgRxZ ?
R1 R2 R3
Dx Dx Dx
1)Z达极值时，荷载稍向左、
右偏移,∑ Ritanα i必变号。
2)有一集中力 Pcr位于影响
线顶点上。
24
Z达极值 (极大或极小 )的临界荷载的判别条件,
a）有一集中力位于影响线的顶点；
b）行列荷载稍向左、右移动时,∑Ri tgαi必须变
号。
确定荷载最不利位置的步骤：
1）选一集中力 Pcr将它放在影响线的顶点 ;
2）当 Pcr在影响线顶点稍左或稍右时分别求 ∑Ri tgαi
的值。如果 ∑Ri tgαi变号（或由零变为非零）,Pcr为临
界荷载。如果 ∑Ri tgαi不变号，该集中力不是临界荷载。
3）对每个临界位置可求出 Z的一个极值，然后从各
极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的
荷载最不利位置。
25∑Ritgαi=360× 1/8+127.8× (－ 0.25/4)+226.8× (－ 0.75/6)=+8.7>0
P1=P2=P3=P4=P5=90kN
P2 P3 P4P1 P5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=37.8kN/m
1.51.5 1.5 1.5 1.5 30m
8m 4m 6m
1.0 0.75
α1
α3
α2
Z影响线
P2 P3 P4P1 P5
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q=37.8kN/m
1.51.5 1.5 1.5 1.5 30m
tgα1=1/8 tgα2=－ 0.25/4 tgα3=－ 0.75/6
荷载稍向右移, R1=270kN R2=90× 2＋ 37.8× 1=217.8kN
R3=37.8× 6=226.8kN
∑Ritgαi=270× 1/8+217.8× (－ 0.25/4)+226.8× (－ 0.75/6)=－ 8.2＜ 0
荷载稍向左移, R1=360kN R2=90＋ 37.8× 1=127.8kN
R3=37.8× 6=226.8kN
kN455?2 675.012 75.081.08.37 ????? ×?×??906.090×?Z 185.68585.390 ????? ????
所以 P4是个临界荷载。
（中 — 活载）
8
5.6
8
5
8
5.3 0.81
26
当影响线为三角形时,P
cr
R左 R右
tgα=c/a
tgβ=c/b
荷载右移：
α β
c
a b
荷载左移：
b
R
a
PR
b
RP
a
R
cr
cr
右左
右左
?
?
?
? 当影响线为三角形时，临界位
置的特点是：有一集中力 Pcr在
影响线的顶点，将 Pcr计入那边
那边荷载的平均集度就大。
如 Z的达极大值
? iitgR ? =R左 tgα－ (Pcr＋ R右 )tgβ≤0
=(R左 ＋ Pcr)tgα－ R右 tgβ≥0? iitgR ?
27
15m 25m
C
70kN 130 50 100 50 100
4m 5m 4m 15m 4m
25
200
15
13070
15
70
>?
25
200130 ?< M
C=70× 6.88+130× 9.38+50× 7.50
+100× 6.00+50× 0.38
＝ 2694kN.m
9.386.88 7.50 6.00 0.38
MC影响线 (m)
例 7-8 (P125) 求 C截面的最大弯矩。
(汽－ 15级）
∴ 130kN是临界荷载
28
100kN 50 130 70 100 50
4m 5m 4m 15m 4m
25
220130
15
150
>15150 ?
25
220130 ?<
15m 25m
C
MC影响线 (m)
9.386.25 7.88 0.753.75 2.25
MC=100× 3.75+50× 6.25+130× 9.38
+70× 7.88+100× 2.25 +50 × 0.75
＝ 2720kN.m
Mcmax=2720kN.m
∴ 130kN是临界荷载
29
1）简支梁的 包络图：
将移动荷载作用下
简支梁中各个截面产生
的最大（小）内力值用
曲线连接起来，得到的
图形称为 简支梁的内力
包络图。
Px=ξ
MCmax=ξ(l-ξ)P/l
0.25Pl0.21Pl
0.09Pl
M包络图
Cξ
12m
ξ(l-ξ)/l
＋ MC影响线
① 单个集中力
§ 7-7简支梁的包络图和绝对最大弯矩
30
ξ
12m
ξ(l-ξ)/l
＋ M4影响线
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5P
1=P2=P3=P4=82kN
1 2 3 4 5 6 7 8 9
100
M4max=559kN.m
559 M包络图（ kN.m)Q包络图（ kN)
212
153
94.3
41.7
574 578
弯矩包络图 × 动力系数 +M静 =据以设计的弯矩包络图
② 行列荷载
31
弯矩影响线与弯矩图的比较
影响线
弯矩图
荷载位置 截面位置 横坐标 竖坐标 yD
不变变
不变 变
单位移动
荷载位置
截面位置
单位移动荷载移到 D点时,
产生的 C截面的弯矩
C点的固定荷载移作用下,
产生的 D截面的弯矩
弯矩
包络图 变 变 截面位置
在实际移动荷载作用下,
D截面可能产生的最大弯矩
与弯矩包络图的比较
32
2）简支梁的 绝对最大弯矩,移动荷载作用下简支梁
各个截面产生的最大弯矩中的最大者，称为 简支梁的绝
对最大弯矩 。它是荷载移动过程中，简支梁中可能产生
的最大弯矩。
绝对最大弯矩与两个未知因素有关：
（ 1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？
（ 2）行列荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？
计算依据：绝对最大弯矩必然发生在某一集中力的作用点。
计算途径：任取一个集中力 Pcr求行列荷载移动过程中 Pcr作用
点产生的弯矩最大值 Mmax计算公式，利用这个公
式求出每个集中力作用点的弯矩最大值其中 最大
的，就是绝对最大弯矩。
经验表明：绝对最大弯矩常发生在，梁中央截面弯矩取得最
大值的临界荷载下面。
33
P1 Pcr Pn-1 Pn
x Ra推导 P
cr弯矩最大值的算式
由 ∑MB＝ 0
crMxl
axlR ????
A l
axlRR ???
axllR ??? 0)2(
dx
dM ?0
crMRAxxM ??)(
RA
alx ??
22 （ 7— 9）
crmxa Ml
alRM ?
?
??
?
? ?? 1
22
2
（ 7— 10）
l/2 l/2
a/2 a/2
Mcr=Pcr以左梁上荷载对 Pcr
作用点的力矩之和。
?（ 7— 9）说明 Pcr作用点的弯矩为
最大时，梁的中线正好平分 Pcr与 R
的间距。
?Pcr与 R的间距 a可由合力矩定理确
定。 R在 Pcr 右 a为正。
?注意 R是梁上实有荷载。安排 Pcr
与 R的位置时，有些荷载进入或离
开梁，这时应重新计算合力 R的值
和位置。
34
例 7-9 (P129)
12m
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5
P1=P2=P3=P4=82kN
先求 P2作用点的最大弯矩。
R=4× 82=328kN,R作用在
P2与 P3中间。 a=0.75m
M max mkN.578)5.182582(121275.0212328
2
?????????? ???
mkN.5785.382121275.0212328
2
???????? ??MlalRM cr122
2
max ??
??
?
? ??
再求 P3作用点的最大弯矩。 R=4× 82=328kN,R作用在 P2与 P3
中间。 a=－ 0.75m
P3 P4P1 P2
3.5 3.51.5
35
l
,当竖向单位
移动荷载在梁上移动时，表
示某一指定位移 δkP与荷载位
置 x 的关系曲线，即为 δkP位
移的影响线。
P=1x
δkP
P=1x
δkP
P=1x
δkP
*位移影响线
δkPδkP影响线 δkP
KM
l
ab
Pk=1
a b
δPK
PM
l
xlx )( ?位移 δ
KP的影响线等于固
定荷载 PK=1作用于 K点时
引起的竖向位移图。
于是，将求位移影响
线的问题，转变为求在固
定荷载 PK=1作用下的位移
图问题。 P
K=1作用下的位移图
由位移互等定理得：
δ KP=δ PK
?? dxEI MMx kPkP )(?
36
3
xl?
a
P=1x
A B
例：试作图示等截面简支
梁 B截面的角位移影响线。
解：①作单位竖向移动荷
载 P=1作用下的 MP。
l
xlx )( ?
MP
② 在 B截面施加单位力
偶 MB=1,并作 MB图。
③ 求影响线方程。 A BM=1
1M
B
④ 绘制影响线。
EI
xlx
l
xl
l
l
xlx
EI
EI
dsMM
BP
B
6
)(
3
)()(
2
11
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ??
l
xl
3
?
4
l
4
l
4
l
4
l
EI
l
128
5 2
EI
l
128
8 2 EIl1285 2
单元测试
37
