1
樊友景 编制
?授课内容
?习题课
2
?两 类 稳 定 问 题 概 述
?稳 定 问 题 的 分 析 方 法
?弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法
?弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法
?剪 力 对 临 界 荷 载 的 影 响
?组合压杆的稳定
?圆 环 和 圆 拱 的 稳 定 性
3
1,稳定演算的重要性
设
计
结
构
?强度演算
?刚度演算 最基本的必不可少
?稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构
趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算
日益重要。
2、平衡状态的三种情况
稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，
干扰消失，恢复原位。
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，
干扰消失，不能恢复原位。
中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。
§ 16-1 两类稳定问题概述
4
3、失稳,随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转
为不稳定平衡,这时原始平衡状态丧失其稳定性,
4、分支点失稳, 完善体系（或理想体系）,直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。
P
l/2
l/2
P
ΔO
?P1<Pcr=
2
2
l
EI?
1<Pcr
A
B
P 1P
cr
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
?P2>Pcr
Δ
C
Ⅰ (稳定 )
Ⅰ (不稳定 )
Ⅱ (大挠度理论 )
Ⅱ (小挠度理论 )
D
D′P 2
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态 (直线、弯曲）。
?分支点 B将原始平衡路径 Ⅰ
分为两段。在分支点 B出现
平衡的二重性。原始平衡有
稳定转变为不稳定。
?临界荷载、临界状态
2 > cr
5
Pcr Pcr
qcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
Pcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：平面弯曲
新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
分支点失稳的特点：
6
5、极值点失稳, 非完善体系,具有初曲率的压杆
承受偏心荷载的压杆
P P
P
ΔO
Pcr (大挠度理论 )
(小挠度理论 )
P e
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
稳定问题与强度问题的区别：
?强度问题是在稳定平衡状态下,? ??? ?m a x
当,小变形，进行线性分析（一阶分析）。P?? ?
当,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。P?? ?
重点是求
内力、
应力
?稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变
形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位
置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。
?非线性分析，叠加原理不再适用。
极值点失稳的特点：非完善体系
出现极值点失稳。平衡形式不出现分
支现象,P-Δ曲线具有极值点。结构的
变形形式并不发生质的改变，由于结
构的变形过大,结构将不能正常使用,
对于工程结构两种失稳形式都是
不允许的,因为它们或使得结构不能维
持原来的工作状态或使其丧失承载能
力,导致结构破坏,
7
P
l
k1、单自由度完善体系的分支点失稳
EI=
∞
1）按大挠度理论分析
P
θ
R
A
0)co s()s i n( ?? ?? lRlP
?sinklR ?
0)s i n)(c o s( ?? ?? lklP
P
θO
A
P cr
B
Ⅰ (稳定 )
Ⅰ (不稳定 )
Ⅱ (大挠度理论 )
不稳定平衡
Ⅱ (小挠度理论 )随遇平衡
0,??可能解
?c o sklP ?
klPcr ?
分支点 A处的临界平衡也是不稳定的。对于
这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，
按非完善体系进行稳定性演算。
2）按小挠度理论分析 θ <<1
0)( ?? ?lklP
0?? RlPl ? 0??
klPcr ?
小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当 θ较大时平
衡路径 Ⅱ 的下降 (上升 )趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。
注, 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。
2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项
（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项
（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。
6、两类稳定计算简例
8
P
l
k
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
EI=
∞
1）按大挠度理论分析 P
θ
R
A
0)c o s ()s i n ( ???? ???? RlPl
]s i n)[ s i n ( ??? ??? klR
])s i n (s i n1)[c o s ( ?? ??? ???? klP
:;0 得??ddP
ε
P/kl
θO
1
0.785
0.38
0.660
0.42 1.37 1.47 π/2
??? 31sin)s i n ( ??
2332 )sin1( ??? klP
cr P/kl
εO
1
0.2
0.660
0.1
0.785
0.3
0.556
这个非完善体系是极值点失稳,
Pcr 随 ε增大而减小,
9
])s i n (s i n1)[c o s ( ?? ??? ???? klP
2332 )s i n1( ??? klp
cr
P
l
k
EI=
∞
2）按小挠度理论分析
P
θ
R
A
]s i n)[ s i n ( ??? ??? klR
ε
P/kl
θO
设,ε<<1,θ<<1
klP
klP
cr ?
?
?
??
?
klP
klP
cr ?
?
?
??
?
0.4 0.8 1.2 1.6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
各曲线都以水平直线 P/kl=1
为渐近线,并得出相同的临界
荷载值 Pcr=kl
对于非完善体系，小挠度理
论不能得出随着 ε的增大 Pcr
会逐渐减小的结论,。
10
3、几点认识
1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值
点失稳。
2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉
点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径,但
平衡路径上出现极值点。
3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小
挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得
出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。
4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳
问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研
究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上
限考虑。
以下只讨论完善体系分支点失稳问题，
并由小挠度理论求临界荷载。
11
§ 16-2 有限自由度体系的稳定 —— 静力法和能量法
稳定计算最基本
最重要的方法
静力法：考虑临界状态的静力特征。
（平衡形式的二重性）
能量法：考虑临界状态的能量特征。
（势能有驻值，位移有非零解）
P
l
A
B
k
1、静力法,要点是利用临界状态平衡形式的
二重性，在原始平衡路径之外寻
找新的平衡 路径，确定分支点，
由此求临界荷载。 l
0?? AMPl ? ?k
0)( ?? ?kPl
0)( ?? ?kPl
θ=0，原始平衡
θ≠0，新平衡形式
l
kP
cr ?
0?? kPl
特征方程（稳定方程）临界荷载
MA=kθ
确定体系变形形式 (新的平衡形式 )的
独立位移参数的数目即稳定体系的自由度, P
转动刚
度系数 k
B′ λ
θ
EI=∞
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变
形状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数
的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方
程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程,D=0
它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
12
2、能量法,弹性体系的平衡方程 ?势能驻值原理 （对于弹性体系，
在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）
使结构的势能 Π为驻值，即,δΠ=0,Π=应变能 U+外力势能 UP
MA=kθ
2
2?
l?2sin2 2?l?)cos1( ?l l ?? MA=kθ
弹性应变能
22121 ?? kMU A ?? 荷载势能,
2
2
1 ?
l
Pl
PU P
??
??
221 )( ?? PlkUU P ????
应用势能驻值条件,
0)(:,0 ??? ??? Plkdd 得
位移有非零解则,
l
kP?
势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件,
但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种，
要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载
之间的关系。
P
l
A
B
k
B′ λ
θ
EI=∞
13
221 )( ?? PlkUU P ????
总势能是位移 θ的二次函数，
1） P<k/l, 当 θ≠0,Π恒大于零（ Π为正定） (即 U>UP表示体
系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位
置 )当 θ=0,Π为极小值 0。
对于稳定平衡状态，真实的位移使 Π为极小值
2） P>k/l, 当 θ≠0,Π恒小于零（ Π为负定） (即 U<UP表示体系缺
少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置 ) 。
当 θ=0,Π为极大值 0。原始的平衡状态是不稳定的。
3） P=k/l, 当 θ为任意值时,Π恒等于零 (即 U=UP) 。 体系处
于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载 Pcr=k/l 。
θ
ΠP<Pcr
θ
ΠP>Pcr
θ
ΠP=Pcr
结论：
1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。
2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表
述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。
3）当体系处于中性平衡 P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状
态，必有总势能 =0。
对于多自由度体系，结论仍然成立。
14
例 1：图示体系中 AB,BC,CD各杆为刚性杆。使用两种方
法求其临界荷载。
l l l
P
k k
A B C D
P
k k
y1 y2
λ
R1=ky1 R2=ky2
YA=Py1/l
YD=Py2/l
解,1）静力法
?设变形状态
求支座反力
?列变形状态 的平衡方程
AB B YM ?? ?左 0
DC C YM ?? ?右 0
02)(0 211 ????? ? PyllPylkyM
C C左
02)(0 122 ????? ? PyllPylkyM
B B右
0)2( 21 ??? PyyPkl
0)2( 21 ??? yPklPy
（ a）
如果系数行列式 ≠ 0
y1,y2为零，对应
原始平衡形式。
?如果系数行列式 =0
,不为零，对应
新的平衡形式。 02
2 ?
?
?
PklP
PPkl 0)2( 22 ??? PPkl
klP
klP
?
? 3
crP?
A
B C
D
1
1
1
1
2
1
2
1 ?
?
?
?
y
y
y
y
1
-1
对称问题可利用对称性做。
15
P
k k
y1 y2
λ
R1=ky1 R2=ky2
YA=Py1/l
YD=Py2/l
A
B C
D
2）能量法
?在新的平衡位
置各杆端的相
对水平位移
l
y
l yllllll
2
2122122122 )(s i n2c o s
?? ??????? ?? ?
)(1 222121 ??? yyyyl])([21 2221221 ????\ yyyyll?D点的水平位移
?弹性支座应变能,
)(2 2221 ?? yykU
?荷载势能,
)( 222121 ?????? yyyylPPU P l
?体系总势能, ])2(2)2[(2
1 2
221
2
1 ??????? yPklyPyyPkllUU P?
?势能驻
值条件, 0)2( 21 ??? yPklPy
0)2( 21 ??? PyyPkl0,0
21
?????? yy ??
?以后的计算步骤同静力法
能量法步骤,
① 给出新的平衡形式 ;② 写出
总势能表达式 ;③ 建立势能驻
值条件 ;④ 应用位移有非零解
的条件,得出特征方程 ; ⑤ 解
出特征值,其中最小的即临界
荷载 Pcr。
16
?体系总势能, ])2(2)2[(21 222121 ??????? yPklyPyyPkllUU P?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??? 2
2
22
21 )2(
)3)(()
2
(
2
2
Pkl
PklPklyy
Pkl
Py
l
Pkl
总势能 Π是位移 y1, y2的对称实数二次型。
?如果 P<kl/3=Pcr,Π是正定的。
?如果 kl/3< P<kl,Π是不定的。
?如果 P=kl/3=Pcr,Π是半正定的（当 y1=—y2 时,Π =0）。
?如果 P=kl,Π是半负定的（当 y1=y2 时,Π =0）。
?如果 P>kl,Π是负定的。
由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：
在荷载达到临界值的前后，势能 Π由正定过渡到非正定。
（或说：势能达极值，位移有非零值）
非
正
定
17
P
1?
2? P
l l
A
B
Ck
例 2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。
1、静力法,
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
2?k
( )21 ?? ?k
BC,( ) 0
211 ????? ??? klPM B
AC,0)(
221 ????? ??? klPM B
)2(0)(
)1(0)(
21
21
??
??
???
????
??
??
kPlPl
kkPl
?由位移参数不全为零得稳定方程并求解：
)3(030
2
2 ????
?
??
?
?????
?
?
??
?
?
?
l
k
l
kPP
kPlPl
kkPl 展开得：
l
kPP
l
kP
l
kP
cr 38.0,62.238.0 121 ????解得：
?求失稳曲线：
。实际的失稳曲线。）得代入（将 162.1138.0
2
1
1 ?? ?
?
l
kP
论上存在。。这种失稳曲线只在理）得代入（。将 1 62.01622
2
1
2
???
?
?
l
kP
262.1 ?
2?
实际失稳曲线
262.0 ??
2?
只是理论上存在的失稳曲线
18
2、能量法：
?外力势能：
P
1?
2? P
l l
A
B
Ck
2?k
( )21 ?? ?k
BCAB
P ll PU ???? ??l l
λ
22122s i n2c o s ?? ? lllll ????? )( 222121 ??l ??? l
( )22212 ?? ??? PlU P
?应变能,)22()( 2
2212121221212221 ??????? ?????? kkkU
?总势能,)()22(
22212122212121 ?????? ???????? PlkUU P
?根据势能驻值条件：
0)2(0
0)(0
21
2
21
1
??????
?
??
?????
?
??
??
?
??
?
kPlk
kkPl
?由位移参数不全为零得稳定方程：
式展开得,)3(0
2
??
?
?
?
?
?
?
?
kPlk
kkPl
?以下计算同静力法。
19
例 3：用静力法求图
示体系的临界荷载。
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
BC:
)1(0)
3
(0
0
3
21
22
????
????
??
??
l
EI
Pl
l
EI
PlM B
AC:
?由位移参数不全为零得稳定方程,0
36
30 ?
??
?
??
?
??
?
lEIPllEIPl
lEIPl
212221
3,63
l
EIPP
l
EIP
l
EIP
cr ????解得：
l
l
l
EI
2EI
EI=
∞
EI=
∞
A
B
C
P
1?
2?
B
A
B
C
P
2?
2
3 ?
l
EI
2
6 ?
l
EI
1?
036)( 2121 ?????? ???? lEIlEIPlM A
)2(0)3()6( 21 ????? ?? lEIPllEIPl
P
20
例 3：用能量法求图示体
系的临界荷载。
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?求变性能和外力势能：
)2(
2
3
6
2
13
2
1
2
2
2
1
1122
??
????
??
??
l
EI
l
EI
l
EI
U
l
l
l
EI
2EI
EI=
∞
EI=
∞
A
B
C
P
1?
2?
B
A
B
C
P
2?
2
3 ?
l
EI
1
6 ?
l
EI
1?
)(2)22( 2221
2
2
2
1 ????l ???????? PlllPPU
P
P
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 )22
3()
2
3()(
2)2(2
3 ?????? Pl
l
EIPl
l
EIPl
l
EIUU
P ???????????
crPl
EI
PPl
l
EI
l
EI
PPl
l
EI
22
0
2
2
21
0
1
1
3
0)
3
(0
6
0)
6
(0
2
1
??? ??????
?
??
??? ??????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
当杆件上无
外荷载作用
时，杆端力
的功 =变形能。
21
P
例 4：用静力法求图示体
系的临界荷载。 EI=∞
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
)1(0)2(
00)2()(:
21
122232
??????
????????????? ? ?
l
k
P
l
k
l
k
PkPMDC C ??
?由位移参数不全为零得稳定方程,02 2 ??????? ? ? lklkP lkPlk
l
kPP
l
kP
l
kP
cr ???? 121,
3解得：
A
l l lB C D
1?
2?
3?
( )21 ?? ?k ( )
23 ?? ?k
lll
2321211,,???????? ???00 ???? DA RM整体：
1? 2?
B’ C’
)2(0)2(
00)2()(:
21
211211
??????
????????????? ? ?
l
k
l
k
P
l
k
PkPMBA B ??
22
P
用能量法求图示体
系的临界荷载。 EI=∞
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?由位移参数不全
为零得稳定方程：
A
l l lB C D
1?
2?
3?
( )21 ?? ?k ( )
23 ?? ?k
lll
2321211,,???????? ???
1? 2?
B’ C’
?求变性能和外力势能：
( ) ( )? ?212221
2
23
2
21
22
2
)(
2
1
)(
2
1
????????
????
k
kkU ????
))((2 2212221 ??????????? lPPU P l
( ) ( )? ?212221 222 ??????????? kUU P ))((2 2212221 ???????? lP
0)25()4(0
0)4()25(0
21
2
21
1
????????
??
??
????????
??
??
PklklP
klPPkl
0254 425 ??? ?? PklklP klPPkl lkPPlkPlkP cr ???? 121,3解得：
23
D
l/2
E
P
l
CE l/2
D
l
P
利用对称性求
EI=∞
1、正对称失稳取半刚架如图：
取 θ1 为位移参数，设失
稳曲 线如图。
0)(,111 ?????? ? ? ??? kPlklPMDC C
l
kPP
cr ?? 1 所以：
00 ???? DRY整体：
PA
l l lB C D
C’
1?
1?k
0
l
kP ???
11 0?2、反对称失稳取半刚架如图：
取 θ1 为位移参数，设失
稳曲 线如图。 C
)( 21 ?? ?k
0
C’
1?2?
1212 2,2 ???? ??? l
l
0)3((,1211 ??????? ? ? ???? kPlklPMDC C ）
l
kP 30
21 ????
24
静力法的解题思路, 先对变形状态建立平衡方程，然后根据平
衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。
不同的是，平衡方程是
代数方程（有限自由度体系）
微分方程（无限自由度体系）
x
R
x
y
l
P
EI
)( RxPyyEI ?????
)(2 EIPxEIRyy ?????? ??
xPRxBxAy ??? ?? s i nc o s
.0,0,
.0,0,0
????
????
yylx
Ayx
0c o s
0s i n
??
??
P
R
lB
l
P
R
lB
??
?
01c o ss i n ???l ll?? ? lltg ?? ?
RxPyM ??
xEI Ry 2* ???特解：
§ 16-3 弹性压杆的稳定 —— 静力法
1、等界面压杆
25
2
3?
2
? ? l
y
4.493
ly ??ltgy ??
先由图解法求出近似解,αl=4.5
再由试算法求更准确的值：
ltglD ?? ??
1 3 7.0,6 3 7.4t a n5.4 ???? Dll ??,
3 0 4.1,0 9 6.3t a n4.4 ??? Dll ??,
0 6 8.0,4 2 2.4t a n49.4 ??? Dll ??,
048.0,443.4t a n491.4 ??? Dll ??,
028.0,464.4t a n492.4 ??? Dll ??,
008.0,485.4t a n493.4 ??? Dll ??,
012.0,506.4t a n494.4 ???? Dll ??,
2
2
)7.0( l
EI??
219.20 l
EI?
2
2)493.4(
l
EI?
2
2)(
l
EIl??2EIP
cr ??
26
θ
y
x
P
l 2
l 1
EI
例 5：求图示压杆的稳定方程。
解,1）选坐标系，取图示曲线的平衡形式，
建立平衡微分方程。 M=Py
MyEI ???? 02 ???? yy ?2）求解平衡微分方程
xBxAy ?? s i nc o s ??
EI
P??
3）由边界条件，可得一组与未知数（ A、
B,θ ）数目相等的齐次方程，位移有非
零解系数行列式应等于零，得出特征方程。
?? ?????
??
ylylx
yx
,,
0,0
21 时当
时当
0c o s
0s i n
0
1
21
??
??
?
???
??
lB
llB
A
特征方程：
01c o ss in
1
21 ???
l
llD
??
?
代入边
界条件
展开,21 lltg ?? ??
27
?刚性支承上等截面直杆的稳定
2
2
)7.0( l
EIP
cr
??
EI
2
2
l
EIP
cr
??
2
2
)2( l
EIP
cr
??
2
2
)5.0( l
EIP
cr
??
2
2
)(
:
l
EIP
cr ?
??通式
μ=1μ=0.7μ=2 μ=0.5 μ=1
材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：
长度系数 μ=2,1,0.7,0.5
约束加强，临界荷载提高。
l
2
2
l
EIP
cr
??
l/2
单根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型。
28
?具有弹性支承的等截面直杆的稳定
P
A
B
k
B′
x
y P
A
B
k
B′
x
y
P
A
B
k
x
y
l l
P
3i
3i
k=6i
29
可能发生反对称
失稳的计算简图
考虑下端转动刚度
特性的计算简图
EI1=∞ EI1=∞
P P P
EI EI EI
P
EI
k
P
EI
30
P P
EI
EI1 EI1
l
P
EI
EI1
l/2
P
EI1
l
EIk 6?
P
l
EIk 6?
或：反对称
失稳时
P P
EI
EI1 EI1
l
或：正对称
失稳时
P
EI
EI1
l/2
P
EI1
l
EIk 2?
P
l
EIk 2?
31
P
B
A
P
A
B
注意,对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中
压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同
时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可
按单根压杆进行计算。
32
例 6 试求图示排架的临界荷载和柱子 AB的计算长度。
P
I1 I2=nI1
B
A
D
C
EA=∞
A
P
B k
解,CD杆的作用用弹簧来代替
3
23
l
EIk?
x
y B
P
xy)( RxPyyEI ?????
)(
1
2
1
2
EI
Px
EI
Ryy ????? ??
xPRxBxAy ??? ?? s i nc o s
.0,,.0,0,0 ????????? yylxAyx
0c o s
s i n
??
???
P
R
lB
P
Rl
lB
??
?
Δ R=kΔ
0
1
c o s
1
s i n
?
?
P
l
kP
l
l
??
?
3
1
3)(
kl
EIllltg ??? ??
1） I2=0,k=0
??? ltgl ?? ???? ltg ? 2?? ?? l最小根
2
1
2
)2( l
EIP
cr
??
相当于悬臂柱，计算长度为 l0=2l
0c o s
0)
1
(s i n
?
?
?
????
P
k
lB
k
kP
l
lB
??
?
33
3
1
3)(
kl
EIllltg ??? ??
2） I2=∞,k=∞
ltgl ?? ?
相当于上端铰支、下端固定柱，
计算长度为 l0=0.7l2
2
)7.0( l
EI??
219.20 l
EIP
cr?
4 9 3.4?? l?
3）当 0<k<∞
当 I2=I1
3
13
l
EIk ?
3
)( 3llltg ??? ??
π/2<αl<4.493
试算法求解,
03 )(
3
???? llltgD ???
1 9 2.1,9 1 6.0,4.2 ???? Dltgl ?? 时当
5 1 8.1,1 8 5.2,0.2 ????? Dltgl ?? 时当
0 2 5.0,3 7 5.1,2.2 ????? Dltgl ?? 时当
00004.0,365.1,203.2 ????? Dltgl ?? 时当
2
1
2
2
12
)426.1(203.2 l
EI
l
EIP
cr
??? 计算长度为 l0=1.426l
34
x
y
l 1
l 2
l
I1
I2
P Pcr
两段的弹性曲线微分方程：
lxlPyyEI
lxPyyEI
??????
??????
1222
1111,0 0,0 当当
lxlyy
lxyy
??????
??????
12
2
22
11
2
11
,0
0,0
当
当
?
?
1
2
1 EI
P??
2
2
2,EI
P??
xBxAy
xBxAy
22222
11111
c o ss i n
c o ss i n
??
??
??
??解方程：
.,
0,
.00,0.
21211
2222
11
yyyylx
ltgBAylx
Byx
?????
?????
????
和，时连续条件：
时
时边界条件：
?
0)s i nc o s(c o s
0)c o ss i n(s i n
12122221111
121222111
???
???
llltgBlA
llltgBlA
??????
????
由系数行列式等于零
得稳定方程：
1
2
2
1
2211 I
Iltgltg ??
?
???
1
1
2
1
121
2
1
3 1 6.0
10
,,
10
1
??
?
??
???
EI
P
EI
P
ll
I
I
时，当
1 6 5.3)3 1 6.0( 2111 ?ltgltg ??
2
1
2
2
1
1
2
21
4
33.259 5 3.3
9 5 3.3
l
EI
l
EIP
l
cr
?
?
??
?
y1
y2
2、阶形压杆的稳定
35
x
y
l 1
l 2
l
I1
I2
P1
P2
例 16-4 阶形杆的稳定。（教材 P213)
解：弹性曲线微分方程：
lxlyPyPyEI
lxyPyEI
?????????
??????
12222122
11111,)( 0,
lxl
EI
Pyy
lxyy
???????
??????
1
2
22
2
2
22
11
2
11
,
0,0
?
?
1
12
1 EI
P??
2
212
2 EI
PP ???
2
2
2
22
22222
11111
c o ss i n
c o ss i n
EI
PxBxAy
xBxAy
?
??
??
????
??解方程：
.,
0,,00,0.
2121211
222211 yyyyylx ltgBAylxByx ??????? ????????? 和，，时连续条件,时时边界条件,?
0)s inc o s(c o s
0)c o ss in(s in
s in
12122221111
2
2
2
22
121222111
2111
???
?
?
???
??
llltgBlA
EI
P
llltgBlA
lA
??????
?
????
?
2?
y1
y2
P1
P2
36
0)s inc o s(c o s
0)c o ss in(s in
0s in
12122221111
2
2
2
22
121222111
2111
???
?
?
???
???
llltgBlA
EI
P
llltgBlA
lA
??????
?
????
?
位移参数不全
为零，应系数
行列式等于零：
0
0)s i nc o s(c o s
)c o ss i n(s i n
10s i n
121222111
2
2
2
2
1212211
11
?
??
???
?
llltgl
EI
P
llltgl
l
??????
?
????
?
1
21
2
1
2211t a n P
PPltgl ????
?
???展开后，得到特征方程：
这个方程只有当 I2/I1,l2/l1,P2/P1的
比值都给定时才能求解。 l 1
=2l
/3
l2=
l/3
I1
P1
5P1
,
1
1
1 EI
P??
1
1
1
2
21
2 25.1
6 ?? ????
EI
P
EI
PP
3
2
,
3
2
1
22
1
11
l
l
l
l
?
?
?
?
?
?
36232t a n
1
1
1
112 ???
P
Pl
?
?? 2 121211 4,332 lEIEIPl cr ???? ???
变截面（阶形
变化或连续变化）
杆件，都可采用能
量法较简捷地得到
满意的结果。
37
2）解平
衡微分方程；
静力法解题思路,1）对新的平衡形式列平衡微分方程；
3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程
组；
能量法解题思路,1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求
出总势能 Π ； 2）由势能驻值条件 δΠ = 0,得到包含待定参数
的齐次方程组； 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。
4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。
λ
P
l
,)(
1
??
?
n
i ii
xay ?
dxxaEIdxyEIU n
i ii
l l 2
10 0
2 ])([
2
1)(
2
1 ? ??? ?????
?
?
设变形曲线为：
dxyd 2)(21 ??l ? ?? l dxy
0
2)(
2
1l ? ? ?????
?
l n
i iip
dxxaPPU 0
1
2)]([
2 ?l
dxxaEIUU n
i ii
l
P
2
10
])([21 ? ??????
?
?? ? ? ??
?
l n
i ii
dxxaP 0
1
2)]([
2 ?
dx
ld
?
dx ?????l 2222 22)2(22s i n2)c o s1( tgdxdxdxdxdxd ?????? 2)(2 ydx ?
§ 16-4 弹性压杆的稳定 —— 能量法
38
dxxaEIUU n
i ii
l
P
2
10
])([21 ? ??????
?
?? ? ? ??
?
l n
i ii
dxxaP 0
1
2)]([
2 ?
有势能驻值条件，即
:),2,1(0 得nia
i
?????? ??
),2,1(0)(
1
nidxPEIa
n
i
jijij ???????????? ?
?
? ????
dxEIK iij ?? ??? ??? ( ? ??? dxPS jiij ??令：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
0
0
0
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
nnnnn
n
n
nnnn
n
n
a
a
a
SSS
SSS
SSS
KKK
KKK
KKK
( )? ? ? ?0][][ ?? aSK 展开是关于 P的 n次方程,其最小根即临界荷载。
上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。
0][][ ?? S
减少自由度相当于对体系施加约束，抗失稳能力提高。
39
例 7 能量法求临界荷载,
解：位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
1）设失稳曲线为抛物线 (纯弯下的挠曲线 )
2
1
2
1
21
8,)2(4,)(4
l
ay
l
xlay
l
xlxay ?????????
.1231664 23 lEIll EI ??01 Pa cr??
0)31664( 13 alPl EI ??
3
8)(
2
1 21
0
2
l
PadxyPU l
P ??? ???
,32)(21 3
2
1
0
2
l
EIadxyEIU l ?? ???
:,0
1a
??? 得由 ?
误差为 22%
因
为
所
设
挠
曲
线
不
满
足
力
的
边
界
条
件
。
甚
至
相
差
甚
远
，
故
精
度
较
差
。
40
另解：,位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
2）设失稳曲线为图 b
,164,21
22
???
?
???
? ?????????? lx
EI
QyxQ
EIEI
My
.102lEIPcr ?
960)(2
1
22
52
0
2
IE
lPQdxyPU l
P ??? ???
,96)(21
32
0
2
EI
lQdxyEIU l ?? ???
:0? 求得由 ?
Q
误差为 1.3%
如取均布荷载作用下的挠曲线,精度会更高,
)(964821
323
作的实功或,QEIlQEIQlQU ???
如用某一横向荷载
引起的挠曲线作为
失稳曲线，则体系
的应变能也可用该
荷载的实功来代替。
41
另解：位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
3）设失稳曲线为正弦线
l
x
layl
x
layl
xay ????? s i n,c o s,s i n
2
2
???????
)(4)(21 2
2
0
2
l
lPadxyPU l
P
???? ???
,)(4)(21 4
2
0
2
l
EIladxyEIU l ??? ???
.:,0 2
2
l
EIP
cr
?d? ?? 得由
4）讨论,*正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。
*抛物线不满足全部力的边界条件，精度最差。
*如果用某一横线荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则
体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。
42
例 16-6 求均匀竖向荷载作用下的临界荷载（ P218).
解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时，
设失稳曲线为正弦线
l
x
layl
x
layl
xay
2s in4,2c o s2,2s in 2
2 ?????
???????
,)(64)(21 4
2
0
2
l
EIladxyEIU l ??? ???
l
y
xq
EI
0??y
2
22
0
2
2
22
0
2
8149.02c o s8)(2
1
l
aqdx
l
xx
l
aqdxyqxU ll
P
??? ???????? ??
x
dx
dxyqxq x d 2)(21 ??l
微段 dx倾斜使该段以
上荷载向下移动，这
部分荷载作功为：
22
3
24
8
1 4 9.0
64 aql
aEIUU
P ?
? ?????
????? 0a 332 27.8149.08 lEIlEIq cr ??? ?
%5.5837.7 3 相比，误差为与精确解 lEI
所设失稳曲线能否满
足力的边界条件？
43
另解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时，
设失稳曲线为 (b)中 Q引起的挠曲线,
）（,2221 xlEIQyQxEIEIMy ?????????
0??y
22
62
0
22222
22
2
0
2
48)()(16)(2
1
IE
lqQxldxl
IE
qQdxyqxU ll
P ???????? ??
dxyqxq x d 2)(21 ??l
微段 dx倾斜使该段以
上荷载向下移动，这
部分荷载作功为：
22
6232
486 IE
lqQ
EI
lQUU
P ?????
????? 0Q 38 lEIq cr ?
%9.1837.7 3 相比，误差为与精确解 lEI
x
dxl
y
xq
EI
（ a）
y
x
Q
（ b）
作的实功）（ QEI lQEIQlQU 6321 323 ???
44
x
y
l
P
2I2
I2
I2
例 16-7图示变截面杆的
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
2
0 4
41)(
l
x
l
xIxI 求 Pcr
解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时,y=0
设变形曲线为三角级数：
?????????? l xal xal xay ??? 5s i n3s i ns i n 531
⑴ 先取第一项作为近似的变形曲线
l
xay ?s i n
1?
2
13
4
0
0
42
1
20
0
2
934.0
2
s i n)(])(4)(41[
2
))((
2
1
a
l
EI
dx
l
x
l
a
l
x
l
xEI
dxyxEIU
l
l
??
???
???
?
?
?
??
2
1
2
0
222
10
2
4149.0c o s)(2)(2 alPdxl
x
la
PdxyPPU ll
P
???l ????????? ??
2
0
2
2
2
13
4
0 8 6 8.149 3 4.0
2 l
EIla
l
EIP
cr
?
?
? ???
45
l
xa
l
xay ?? 3s i ns i n
31 ??
⑵ 再取前两项作为近似的变形曲线
)4.6837.19 3 4.0(
2
3
s in9s in])(4)(41[
2
))((
2
1
2
331
2
13
4
0
0
2
314
4
20
0
2
aaaa
l
EI
dx
l
x
a
l
x
a
ll
x
l
xEI
dxyxEIU
ll
???
?
?
?
?
?
?
??????? ??
?
???
)9(4)3c o s3c o s()(2)(2 232120 23120 2 aalPdxl xal xalPdxyPPU llP ??????????? ?? ????l
2
0
2
8 5 0.1 lEIP cr ???
0,0
21
?? ???? ?? aa由驻值条件：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0)
9
368.1(37.1
037.1)868.1(
3
0
2
2
1
31
0
2
2
a
EI
Pl
a
aa
EI
Pl
?
?
系数行列式等于零得到特征方程：
02.28)(05.17)(
0
2
2
2
0
2
2
??? EIPlEIPl ??
两次计算结果相对差值不到 1%，由此可知所得近
似结果的精确程度。
46
考虑剪力时压杆的挠度为,y=yM+yQ
M引起挠度
Q引起挠度
QM yyy ????????
⑴ 考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：
dx
h
l
P
EI
A
B
Q
Q dyQ
g
EI
My
M ????
dx
dM
GA
k
GA
Qk
dx
dy Q ??? g
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
dx
yd Q ?
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
EI
M
dx
yd ???
考虑弯矩和剪力影响
的挠曲线微分方程：
弯矩引起的曲率：
剪力引起的曲率计算：
§ 16-6 剪力对临界荷载的影响
47
β
⑵ 两端铰支的等截面压杆的临界荷载：
l
P
EI
A
B
x
y
y
yPMPyM ???????
01( ????????????? EIPyyGAkPyGAkPEIPyy ）
))/1((0 22 GAkPEI Pmymy ??????
mxBmxAy s i nc o s ??
??
??????
????
ml
mlmlBylx
Ayx
其最小根：
0s i n0s i n,0,
.0,0,0
e
e
e
e
e
cr
P
P
G
k
P
GA
kP
l
EI
l
EI
GA
k
P
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
l
EIP
e
?? 即欧拉临界荷载。
① 修正系数 β<1，故考虑剪力影响时，
临界荷载降低。
三号钢：
400
1,1
,1080,200 3
??
???
G
kk
M P aGM P a
e
e
?
?
则有：
② 在实体杆中，剪力对临界荷载影
响很小，通常忽略不计。
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
EI
M
dx
yd ???
48
Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成
反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆
的计算长度；也可设法提高惯性矩。
大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。
在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离
开一定的距离，获得较大的 I，增强稳定性。
为了保证他们能正常工作，在型钢的翼
缘上用一些扣件将它们连起来。
扣件 缀条式：斜杆、横杆与柱肢铰接。
P
缀板式：横杆与柱肢刚接。
P
d
b
组合压杆的临界荷载不仅与肢杆的横截
面面积有关，还与扣件的横截面面积、排列
形式和位置有关。组合压杆的临界荷载比截
面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小，
因为组合压杆中的剪力影响远比实体压杆中
的大。当 l/d>6时可用下式近似计算 Pcr。
e
e
cr P
GA
kPP ?? 1
1 以组合压杆情况下的剪力
影响代替。它代表单位剪
力作用下的切应变 γ。
§ 16-7 组合压杆的稳定
49
1、缀条式组合压杆
dtgGA
k 11dgg ??? ?? EA lN 211d
由于肢杆的界面比缀条的截面大的多
故只考虑缀条产生的位移。
。，横截面面积为，杆长为斜杆内力为；，横截面面积为，杆长为横杆内力为
q
p
A
d
A
tg
d
b
??
?
s inc o s
1
1 ??
，,)1c o ss i n 1(1)1c o ss i n 1( 2211 ???g???d tgAAEtgAAEd
pqpq
????
GA
kP
PP
e
e
cr
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1
，
)1
c o ss in
1(
2 ??? tgAAE
P
P
pq
e
e
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,22l EIPe ?? 22 2212 rAbAII ddd ???
Q=1
Q=1
δ11
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cr P
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A
A
A
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1
22
0
2
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c o ss in
(21
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?
?
??
?
。为实体杆计算的长细比
的是按回转半径 rrl,0 ?l
,22 2
0
2
2
22
l
?? dde A
l
rA
E
P ??
d
b
α
Ap
Aq
b
z
Ad
50
斜杆影响 横杆影响
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0
2
c o ss in2
21
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cr
A
A
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，
)
c o ss in
(21 22
0
2
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?
tgA
A
A
A
PP
p
d
q
d
e
cr
??
?
① Ap和 Aq>>Ad相当于肢杆间绝
对刚性联结临界荷载与惯性矩
为 I的实体杆的临界荷载相同。
② Ap和 Aq<<Ad相当于肢杆间绝
对柔性联结临界荷载 → 0。
③一般情况下组合压杆的临界
荷载比截面和柔度相同的实体
压杆的临界荷载要小。
④斜杆比横杆对临界荷载的影
响更大。
2
2
)( l
EI
?
??
??l
??
22
0
2
c o ss i n1 q
d
A
A??
计算长度系数 μ
2
0
271
l? q
d
A
A??
27
c o ss i n
60~30
2
2
?
??
?
?
故可取
，为一般 ??
比：缀条式组合压杆的长细
q
d
A
A
r
l 272
00 ???? l?l
?l
规范中采用公式
51
2、缀板式组合压杆 取刚架为计算简图
1/21/2
1/21/2
4d
2d
4d
P
d
d/2
d/2
b
1/21/2
1/2 1/2 I
dIb
设主肢反弯点
在结间中点，
剪力平均分配
与两肢杆。
δ11/2
δ11/2
g
bd EI
bd
EI
d
EI
dsM
1224
232
1
11 ??? ? ?d
dtgGA
k 11dgg ???
bd EI
bd
EI
d
d 1224
2
11 ??? dg
GA
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e
cr
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1
e
b
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e
e P
I
bd
I
d
E
P
P
22
)
1224
(1
??
??
随缀板间距的增大，
β 2将减小。 β 2<1
???? bdb EIII 故取一般情况下,
d
e
e
d
e
cr
Il
Id
P
P
EI
d
PP
2
222
24
1
24
1 ??
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52
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22
222
2
22
83.01
24
21
24
1
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l?? d
e
dd
d
e
d
e
cr
P
Arl
Ard
P
Il
Id
PP
?
?
?
?
?
?;/,2,
,
0
2
0 rlrAI
rI
d ?? ll 则：为按实体杆计算的长细比
，回转半径为面的形心轴的惯性矩为两个主肢截面对整个截
./,,
,
2
dddddd
dd
rdrAI
rI
?? ll 则：为在一个结间内的长细比
，回转半径为心轴的惯性矩为单个主肢截面对本身形
e
d
P22
0
2
0
ll
l
??
2
2
2
2
22
0
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0
)( l
EI
l
EIP
d
cr ?
??
ll
l ?
??
（缀板式）；2
0
22
0
l
ll? d??
计算长度系数
比：缀板式组合压杆的长细 22
00 dr
l ll?l?l ???? 规范中采用公式
综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。
①先求出相应的长度系数, （缀条式）??l?? 22
0
2
cossin1 q
d
A
A??
② 2
2
)( l
EIP
cr ?
??代入 求临界荷载。
2
0
22
0
l
ll? d??
53
Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成
反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆
的计算长度；也可设法提高惯性矩。 大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面
尺寸的前提下，使两个型钢离
开一定的距离，获得较大的 I，
增强稳定性。
为了保证他们能正常工作，
在型钢的翼缘上用一些扣件将
它们连起来。
扣件
缀条式：斜杆、横杆
与柱肢铰接。
P
缀板式：横杆
与柱肢刚接。
P
1、缀条式组合压杆
失稳时桁架中各杆只引起
附加轴力。
能量法：
l
xay ?s i n,?设
y
l
x
l
PaQ
l
x
PaPyM
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c o s
sin
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M
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c o s
c o s
c o s
s i n
??
??
??
??
条
肢
d
b
21 ?? b t gb t gd ??
θ1
θ2
组合压杆的稳定 (能量法 )
54
桁架应变能：
为杆长sEA sNU,2
2
??
??
?
?
?
??
?
?
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? ?????
n n bl xl abl xl an l xba
A
P
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1 1 2
c o s
2
c o s
1
c o s
2
c o s2
1
2
2211
)co s()co s()s i n(
2
1 ?????????
肢
式中 A肢 为弦杆面积,A1为上斜缀条面积,A2为下斜缀条面积。
一般缀条式组合压杆的结间数较多，可取 dxxd ?? ?
2
)( co s)( co s
)( s i n2)( s i n
0
2
1
2
0
2
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1
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l
x
d
l
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ldx
l
x
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l
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21 ?? b t gb t gd ??
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1
c o s
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x
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肢
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2
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3
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2
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A
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b
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肢肢由
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2
2 bAbAI 肢
肢式中 ??
55
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3
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2
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2
2
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1
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1
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1
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A
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b
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cr
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1
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A
A
A
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b
l
EIP
cr
肢肢
θ
P
56
PP
有交叉缀条的组合压杆的临界荷载，
仍按上式计算，但此时缀条面积要加倍。
1
2
2
1
2
22
2
2
c o ss i n2
1
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A
A
A
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b
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cr
肢肢
1
2
2
1
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1
2
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1
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1
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???
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???
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tgA
A
A
A
l
b
k
l
EI
kP cr
肢肢
实腹杆的临界荷载
k1组合杆的折减系数：与缀条和柱肢的截面
积比值有密切的关系。
.0,01 ?? crPk?当缀条面积很小时：
?当缀条面积很大时：
.,1 2
2
1 l
EIPk
cr
???
?一般情况下缀条式组合压杆的临界荷载总
小于同样惯性矩的实腹柱的临界荷载。
57
2
0
2
2
2
1 l
EI
l
EIkP
cr
?? ??组合压杆的计算长度
?
?
?
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?
?
?
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?????
???
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tgA
A
A
A
l
bl
k
l
P
EIl
cr 2
2
1
2
22
1
0 c o ssin21
肢肢
在工程中,水平缀条的轴力小影响小可忽略不计；
同时 30° < θ < 60°
27c o ss i n 2
2
????
缀条式组合压杆的计算长细比公式,
条
肢
条
肢
A
A
A
A
b
l
b
l 227227)
2
(
2
2
0
20 ????? ll
λ0是按回转半径为 r=b/2 的实腹杆算出的长细比,
58
2、缀板式组合压杆 P取刚架为计算简图
变
形
状
态
?作为一根杆件产生整体变形,
l
xay ?s i n,?设
l
x
lPaQl
xPaPyM ??? c o s,s i n ???
?作为一刚架在结间由 Q产生 MQ造成的局部变形,
EI
laPdx
EI
MU l
42
1 22
0
2
1 ???
Q/2 Q/2
Q/2Q/2
d/2
d/2
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2Qd
4Qd
d
d
l
x
l
Pa
EI
bd
EI
d
QdbQd
EI
QddQd
EI
dx
EI
M
U
l
2
2
2222
0
2
2
)(co s)
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(
2
1
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2
222
2
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2
242
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2
1
2
1
???
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????
??
板肢
板肢
dxxd ?? ?
2)( c o s)( c o s 0
2
1
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l
xd
l
x ln ???? ??
)1224(4
2222
2
板肢 EI
bd
EI
d
l
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59
2
肢l
EI
laPdx
EI
MU l
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1224(4
2222
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bd
EI
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PaU ?? ?
l
aPdxyPU l
P 4)(2
1 22
0
2 ???? ???
2
2
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12
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2
2
2
1224
10
l
EIk
EI
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EI
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l
EI
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da
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?
?
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?
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板肢
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2
2
2 12241
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?
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bd
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EIk ?组合压杆的计算长度
?
?
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?
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?
?
????
板肢 EI
bd
EI
d
l
EIl
P
EIl
cr 12242
1
2
2
2
0
??
如缀板刚度比柱肢刚度大很多,
2
2bA
I 肢?
22
0
22
20 83.0
24
2)
2
(
2 肢肢
肢 ll?l ?????
I
dA
b
l
b
l 22
0,肢规范取 lll ??肢肢肢肢
60
注意,
1、组合压杆的临界荷载等于实体压杆临界荷载乘
以折减系数：
12
2
2
2 12241
?
?
?
???
?
???
?
???
? ???
板肢 EI
bd
EI
d
l
EIk ?
1
2
2
1
2
22
1 cossin21
?
?
?
???
?
??
?
??
? ???
???
?
tgA
A
A
A
l
bk 肢肢 缀条式组合压杆
缀条式组合压杆
2、以上结果都是近似的，但实践表明，当节间数
较多时（不少于 6个 ），上述的近似解法能给出
相当满意的结果。
61
q0
q 0+
γf
f
A
C
B
圆环圆拱在径向均布荷载作用下
抛物线拱在竖向均布荷载作用下
悬 链 线 拱 在 填 土 荷 载作用下
?当荷载较小时都处于中心受压
?当荷载达到临界荷载时都突然
在轴线平面内偏离原位失稳。
A B
f C
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
§ 16-7 圆环圆拱的稳定
62
1、圆弧曲杆的弯曲平衡微分方程
EI
M
RdRR ????
11曲率的改变与弯矩之间的关系：
?? dd ?
ds
R+dR
因忽略轴向变形 ))(( ??? dddRRRdds ????
EI
M
ds
d
ds
dd ???? ??? )( a
EI
M
ds
d ??????
?d
ds
R
A
B
?d
ds
R
A
Bu
u+du
?d
ds
R
A
B
v
v+dv
B?
)( bvddudvduBBdu ??????? ??
求 A截面转角
R
u
ds
dv
R
u
ds
dv ???
)(11 2
2
22
2
??
?
d
du
d
vd
Rds
du
Rds
vd
ds
d ????
)(1 2
2
2 vd
vd
Rds
d ??
?
? )(2
2
2
cMEIRvd vd ???????
圆弧拱轴弯曲平衡微分方程,
因忽略轴向变形，所以：
截面转角沿轴向的变化率汲取率的改变
63
2、屈曲后截面弯矩
?d
q
R
N0
N0
qRN
q d sdN
?\
?
0
0 22
?
M M
M M
失稳前，拱内弯矩
剪力都是零，只有
轴力。
径向平衡：
在新的平衡位置，任一截面弯
矩可分解为两部分：①两铰拱
径向荷载引起的截面弯矩；②
拱脚反力矩引起的截面弯矩。
q
γ γ
φ
R
q
v
K′
Kq
N0
VA
HA
N0与截面以
左所有外力
平衡，所以
截面以左所
有外力对 K′
取矩等于 N0
对点 K′取矩。
q R vM K ?1
00
2M/l 2M/l
x
l/2 l/2
l
MxMxl
l
MM
K
2)2/(2
2 ?????
g
?
s in
s inMq R vM ??
g
?
sin
2
sin
Rl
Rx
?
?
g
?
s in
s in
2 MM K ??
64
对给定 γ的值求得满
足特征方程得最小
α值后，即可得无
铰拱的临界荷载
)(
2
2
2
cMEIRvd vd ??????? )s i ns i n( g?Mq R v ?
?g? s i ns i n)1(
23
2
2
EI
MR
EI
qRv
d
vd ???
g???? s i n,1,s i n
23
22
2
2
EI
MRC
EI
qRCv
d
vd ????? 其中：
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
q
γ γ
φ
R
0c o s
1
c o s0
0s in
1
s in0
000
2
2
?
?
?????
?
?
????
????
l
?
?g?g?
l
?
?gg?
?
C
Bv
C
Bv
Av
时，当
时，当
时，当
?gg?l?g? l?g tgtg ??? 0c o sc o s s i ns i n
3
2 )1(
R
EIq
cr ?? ?特征方程
无铰拱的临界荷载 （对应反对称的变形形式）
65
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
0s in)1(0
0s in
1
s in0
000
2
2
?????
?
?
????
????
?g?g?
l
?
?gg?
?
BM
C
Bv
Av
时，当
时，当
时，当
0s ins in)1(
0
0s in)1(
s ins in
2
2
??
?
?
l?g?
?g?
l?g
)1( 2
2
3 ?? g
?
R
EIq
cr
两铰拱的临界荷载 （对应反
对称的变形形式）
q
γ γ
φ
R
MEIRvd vd
2
2
2
????
)s in)1(c o s)1(( 222 ?????? ???? BAREIM
??g?g n??? 0s i n
或根据 M为 φ的奇
函数的条件得,
??? s i n)1( 22 ?? BREIM
0s i n)1(
0
2 ??
??
?g?
g?
B
M
得：
时，在由当
??g?g n??? 0s i n
66
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
)14( 2
2
3 ?? g
?
R
EIq
cr
MEIRvd vd
2
2
2
????
)s in)1(c o s)1(( 222 ?????? ???? BAREIM
根据 M为 φ的偶函数的条件得,
??? c o s)1( 22 ?? AREIM
0c o s)1(,0 2 ???? ?g?g? AM 得：时，在由当
20c o s
??g?g ???
q
γ γ
φ
R
三铰拱的临界荷载 （对应正
对称的变形形式）
l/2 l/2
f
为了应用上的方便，利用 gg s i n2),c o s1( RlRf ??? 将各种
等截面圆拱受均匀静水压力作用时的最小临界荷载写成如下形式
31 l
EIKq
cr ?
K1与拱的高垮比有关的临界荷载系数
67
樊友景 编制
?授课内容
?习题课
2
?两 类 稳 定 问 题 概 述
?稳 定 问 题 的 分 析 方 法
?弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法
?弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法
?剪 力 对 临 界 荷 载 的 影 响
?组合压杆的稳定
?圆 环 和 圆 拱 的 稳 定 性
3
1,稳定演算的重要性
设
计
结
构
?强度演算
?刚度演算 最基本的必不可少
?稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构
趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算
日益重要。
2、平衡状态的三种情况
稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，
干扰消失，恢复原位。
不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，
干扰消失，不能恢复原位。
中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。
§ 16-1 两类稳定问题概述
4
3、失稳,随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转
为不稳定平衡,这时原始平衡状态丧失其稳定性,
4、分支点失稳, 完善体系（或理想体系）,直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。
P
l/2
l/2
P
ΔO
?P1<Pcr=
2
2
l
EI?
1<Pcr
A
B
P 1P
cr
原始平衡状态是
稳定的是唯一的
?P2>Pcr
Δ
C
Ⅰ (稳定 )
Ⅰ (不稳定 )
Ⅱ (大挠度理论 )
Ⅱ (小挠度理论 )
D
D′P 2
原始平衡状态是不
稳定的。存在两种
不同形式的平衡状
态 (直线、弯曲）。
?分支点 B将原始平衡路径 Ⅰ
分为两段。在分支点 B出现
平衡的二重性。原始平衡有
稳定转变为不稳定。
?临界荷载、临界状态
2 > cr
5
Pcr Pcr
qcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
Pcr
原始平衡：轴向受压
新平衡形式：压弯组合
原始平衡：平面弯曲
新平衡形式：斜弯曲加扭转
结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定
而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，
这种现象带有突然性。
分支点失稳的特点：
6
5、极值点失稳, 非完善体系,具有初曲率的压杆
承受偏心荷载的压杆
P P
P
ΔO
Pcr (大挠度理论 )
(小挠度理论 )
P e
Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载
稳定问题与强度问题的区别：
?强度问题是在稳定平衡状态下,? ??? ?m a x
当,小变形，进行线性分析（一阶分析）。P?? ?
当,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。P?? ?
重点是求
内力、
应力
?稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变
形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位
置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。
?非线性分析，叠加原理不再适用。
极值点失稳的特点：非完善体系
出现极值点失稳。平衡形式不出现分
支现象,P-Δ曲线具有极值点。结构的
变形形式并不发生质的改变，由于结
构的变形过大,结构将不能正常使用,
对于工程结构两种失稳形式都是
不允许的,因为它们或使得结构不能维
持原来的工作状态或使其丧失承载能
力,导致结构破坏,
7
P
l
k1、单自由度完善体系的分支点失稳
EI=
∞
1）按大挠度理论分析
P
θ
R
A
0)co s()s i n( ?? ?? lRlP
?sinklR ?
0)s i n)(c o s( ?? ?? lklP
P
θO
A
P cr
B
Ⅰ (稳定 )
Ⅰ (不稳定 )
Ⅱ (大挠度理论 )
不稳定平衡
Ⅱ (小挠度理论 )随遇平衡
0,??可能解
?c o sklP ?
klPcr ?
分支点 A处的临界平衡也是不稳定的。对于
这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，
按非完善体系进行稳定性演算。
2）按小挠度理论分析 θ <<1
0)( ?? ?lklP
0?? RlPl ? 0??
klPcr ?
小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当 θ较大时平
衡路径 Ⅱ 的下降 (上升 )趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。
注, 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。
2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项
（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项
（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。
6、两类稳定计算简例
8
P
l
k
2、单自由度非完善体系的极值点失稳
EI=
∞
1）按大挠度理论分析 P
θ
R
A
0)c o s ()s i n ( ???? ???? RlPl
]s i n)[ s i n ( ??? ??? klR
])s i n (s i n1)[c o s ( ?? ??? ???? klP
:;0 得??ddP
ε
P/kl
θO
1
0.785
0.38
0.660
0.42 1.37 1.47 π/2
??? 31sin)s i n ( ??
2332 )sin1( ??? klP
cr P/kl
εO
1
0.2
0.660
0.1
0.785
0.3
0.556
这个非完善体系是极值点失稳,
Pcr 随 ε增大而减小,
9
])s i n (s i n1)[c o s ( ?? ??? ???? klP
2332 )s i n1( ??? klp
cr
P
l
k
EI=
∞
2）按小挠度理论分析
P
θ
R
A
]s i n)[ s i n ( ??? ??? klR
ε
P/kl
θO
设,ε<<1,θ<<1
klP
klP
cr ?
?
?
??
?
klP
klP
cr ?
?
?
??
?
0.4 0.8 1.2 1.6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
各曲线都以水平直线 P/kl=1
为渐近线,并得出相同的临界
荷载值 Pcr=kl
对于非完善体系，小挠度理
论不能得出随着 ε的增大 Pcr
会逐渐减小的结论,。
10
3、几点认识
1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值
点失稳。
2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉
点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径,但
平衡路径上出现极值点。
3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小
挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得
出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。
4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳
问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研
究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上
限考虑。
以下只讨论完善体系分支点失稳问题，
并由小挠度理论求临界荷载。
11
§ 16-2 有限自由度体系的稳定 —— 静力法和能量法
稳定计算最基本
最重要的方法
静力法：考虑临界状态的静力特征。
（平衡形式的二重性）
能量法：考虑临界状态的能量特征。
（势能有驻值，位移有非零解）
P
l
A
B
k
1、静力法,要点是利用临界状态平衡形式的
二重性，在原始平衡路径之外寻
找新的平衡 路径，确定分支点，
由此求临界荷载。 l
0?? AMPl ? ?k
0)( ?? ?kPl
0)( ?? ?kPl
θ=0，原始平衡
θ≠0，新平衡形式
l
kP
cr ?
0?? kPl
特征方程（稳定方程）临界荷载
MA=kθ
确定体系变形形式 (新的平衡形式 )的
独立位移参数的数目即稳定体系的自由度, P
转动刚
度系数 k
B′ λ
θ
EI=∞
用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变
形状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数
的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方
程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程,D=0
它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载。
12
2、能量法,弹性体系的平衡方程 ?势能驻值原理 （对于弹性体系，
在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）
使结构的势能 Π为驻值，即,δΠ=0,Π=应变能 U+外力势能 UP
MA=kθ
2
2?
l?2sin2 2?l?)cos1( ?l l ?? MA=kθ
弹性应变能
22121 ?? kMU A ?? 荷载势能,
2
2
1 ?
l
Pl
PU P
??
??
221 )( ?? PlkUU P ????
应用势能驻值条件,
0)(:,0 ??? ??? Plkdd 得
位移有非零解则,
l
kP?
势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件,
但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种，
要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载
之间的关系。
P
l
A
B
k
B′ λ
θ
EI=∞
13
221 )( ?? PlkUU P ????
总势能是位移 θ的二次函数，
1） P<k/l, 当 θ≠0,Π恒大于零（ Π为正定） (即 U>UP表示体
系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位
置 )当 θ=0,Π为极小值 0。
对于稳定平衡状态，真实的位移使 Π为极小值
2） P>k/l, 当 θ≠0,Π恒小于零（ Π为负定） (即 U<UP表示体系缺
少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置 ) 。
当 θ=0,Π为极大值 0。原始的平衡状态是不稳定的。
3） P=k/l, 当 θ为任意值时,Π恒等于零 (即 U=UP) 。 体系处
于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载 Pcr=k/l 。
θ
ΠP<Pcr
θ
ΠP>Pcr
θ
ΠP=Pcr
结论：
1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。
2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表
述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。
3）当体系处于中性平衡 P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状
态，必有总势能 =0。
对于多自由度体系，结论仍然成立。
14
例 1：图示体系中 AB,BC,CD各杆为刚性杆。使用两种方
法求其临界荷载。
l l l
P
k k
A B C D
P
k k
y1 y2
λ
R1=ky1 R2=ky2
YA=Py1/l
YD=Py2/l
解,1）静力法
?设变形状态
求支座反力
?列变形状态 的平衡方程
AB B YM ?? ?左 0
DC C YM ?? ?右 0
02)(0 211 ????? ? PyllPylkyM
C C左
02)(0 122 ????? ? PyllPylkyM
B B右
0)2( 21 ??? PyyPkl
0)2( 21 ??? yPklPy
（ a）
如果系数行列式 ≠ 0
y1,y2为零，对应
原始平衡形式。
?如果系数行列式 =0
,不为零，对应
新的平衡形式。 02
2 ?
?
?
PklP
PPkl 0)2( 22 ??? PPkl
klP
klP
?
? 3
crP?
A
B C
D
1
1
1
1
2
1
2
1 ?
?
?
?
y
y
y
y
1
-1
对称问题可利用对称性做。
15
P
k k
y1 y2
λ
R1=ky1 R2=ky2
YA=Py1/l
YD=Py2/l
A
B C
D
2）能量法
?在新的平衡位
置各杆端的相
对水平位移
l
y
l yllllll
2
2122122122 )(s i n2c o s
?? ??????? ?? ?
)(1 222121 ??? yyyyl])([21 2221221 ????\ yyyyll?D点的水平位移
?弹性支座应变能,
)(2 2221 ?? yykU
?荷载势能,
)( 222121 ?????? yyyylPPU P l
?体系总势能, ])2(2)2[(2
1 2
221
2
1 ??????? yPklyPyyPkllUU P?
?势能驻
值条件, 0)2( 21 ??? yPklPy
0)2( 21 ??? PyyPkl0,0
21
?????? yy ??
?以后的计算步骤同静力法
能量法步骤,
① 给出新的平衡形式 ;② 写出
总势能表达式 ;③ 建立势能驻
值条件 ;④ 应用位移有非零解
的条件,得出特征方程 ; ⑤ 解
出特征值,其中最小的即临界
荷载 Pcr。
16
?体系总势能, ])2(2)2[(21 222121 ??????? yPklyPyyPkllUU P?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
??? 2
2
22
21 )2(
)3)(()
2
(
2
2
Pkl
PklPklyy
Pkl
Py
l
Pkl
总势能 Π是位移 y1, y2的对称实数二次型。
?如果 P<kl/3=Pcr,Π是正定的。
?如果 kl/3< P<kl,Π是不定的。
?如果 P=kl/3=Pcr,Π是半正定的（当 y1=—y2 时,Π =0）。
?如果 P=kl,Π是半负定的（当 y1=y2 时,Π =0）。
?如果 P>kl,Π是负定的。
由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：
在荷载达到临界值的前后，势能 Π由正定过渡到非正定。
（或说：势能达极值，位移有非零值）
非
正
定
17
P
1?
2? P
l l
A
B
Ck
例 2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。
1、静力法,
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
2?k
( )21 ?? ?k
BC,( ) 0
211 ????? ??? klPM B
AC,0)(
221 ????? ??? klPM B
)2(0)(
)1(0)(
21
21
??
??
???
????
??
??
kPlPl
kkPl
?由位移参数不全为零得稳定方程并求解：
)3(030
2
2 ????
?
??
?
?????
?
?
??
?
?
?
l
k
l
kPP
kPlPl
kkPl 展开得：
l
kPP
l
kP
l
kP
cr 38.0,62.238.0 121 ????解得：
?求失稳曲线：
。实际的失稳曲线。）得代入（将 162.1138.0
2
1
1 ?? ?
?
l
kP
论上存在。。这种失稳曲线只在理）得代入（。将 1 62.01622
2
1
2
???
?
?
l
kP
262.1 ?
2?
实际失稳曲线
262.0 ??
2?
只是理论上存在的失稳曲线
18
2、能量法：
?外力势能：
P
1?
2? P
l l
A
B
Ck
2?k
( )21 ?? ?k
BCAB
P ll PU ???? ??l l
λ
22122s i n2c o s ?? ? lllll ????? )( 222121 ??l ??? l
( )22212 ?? ??? PlU P
?应变能,)22()( 2
2212121221212221 ??????? ?????? kkkU
?总势能,)()22(
22212122212121 ?????? ???????? PlkUU P
?根据势能驻值条件：
0)2(0
0)(0
21
2
21
1
??????
?
??
?????
?
??
??
?
??
?
kPlk
kkPl
?由位移参数不全为零得稳定方程：
式展开得,)3(0
2
??
?
?
?
?
?
?
?
kPlk
kkPl
?以下计算同静力法。
19
例 3：用静力法求图
示体系的临界荷载。
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
BC:
)1(0)
3
(0
0
3
21
22
????
????
??
??
l
EI
Pl
l
EI
PlM B
AC:
?由位移参数不全为零得稳定方程,0
36
30 ?
??
?
??
?
??
?
lEIPllEIPl
lEIPl
212221
3,63
l
EIPP
l
EIP
l
EIP
cr ????解得：
l
l
l
EI
2EI
EI=
∞
EI=
∞
A
B
C
P
1?
2?
B
A
B
C
P
2?
2
3 ?
l
EI
2
6 ?
l
EI
1?
036)( 2121 ?????? ???? lEIlEIPlM A
)2(0)3()6( 21 ????? ?? lEIPllEIPl
P
20
例 3：用能量法求图示体
系的临界荷载。
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?求变性能和外力势能：
)2(
2
3
6
2
13
2
1
2
2
2
1
1122
??
????
??
??
l
EI
l
EI
l
EI
U
l
l
l
EI
2EI
EI=
∞
EI=
∞
A
B
C
P
1?
2?
B
A
B
C
P
2?
2
3 ?
l
EI
1
6 ?
l
EI
1?
)(2)22( 2221
2
2
2
1 ????l ???????? PlllPPU
P
P
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1 )22
3()
2
3()(
2)2(2
3 ?????? Pl
l
EIPl
l
EIPl
l
EIUU
P ???????????
crPl
EI
PPl
l
EI
l
EI
PPl
l
EI
22
0
2
2
21
0
1
1
3
0)
3
(0
6
0)
6
(0
2
1
??? ??????
?
??
??? ??????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
当杆件上无
外荷载作用
时，杆端力
的功 =变形能。
21
P
例 4：用静力法求图示体
系的临界荷载。 EI=∞
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?分析受力列平衡方程：
)1(0)2(
00)2()(:
21
122232
??????
????????????? ? ?
l
k
P
l
k
l
k
PkPMDC C ??
?由位移参数不全为零得稳定方程,02 2 ??????? ? ? lklkP lkPlk
l
kPP
l
kP
l
kP
cr ???? 121,
3解得：
A
l l lB C D
1?
2?
3?
( )21 ?? ?k ( )
23 ?? ?k
lll
2321211,,???????? ???00 ???? DA RM整体：
1? 2?
B’ C’
)2(0)2(
00)2()(:
21
211211
??????
????????????? ? ?
l
k
l
k
P
l
k
PkPMBA B ??
22
P
用能量法求图示体
系的临界荷载。 EI=∞
?两个自由度，取 θ1 θ2
为位移参数，设失稳曲
线如图。
?由位移参数不全
为零得稳定方程：
A
l l lB C D
1?
2?
3?
( )21 ?? ?k ( )
23 ?? ?k
lll
2321211,,???????? ???
1? 2?
B’ C’
?求变性能和外力势能：
( ) ( )? ?212221
2
23
2
21
22
2
)(
2
1
)(
2
1
????????
????
k
kkU ????
))((2 2212221 ??????????? lPPU P l
( ) ( )? ?212221 222 ??????????? kUU P ))((2 2212221 ???????? lP
0)25()4(0
0)4()25(0
21
2
21
1
????????
??
??
????????
??
??
PklklP
klPPkl
0254 425 ??? ?? PklklP klPPkl lkPPlkPlkP cr ???? 121,3解得：
23
D
l/2
E
P
l
CE l/2
D
l
P
利用对称性求
EI=∞
1、正对称失稳取半刚架如图：
取 θ1 为位移参数，设失
稳曲 线如图。
0)(,111 ?????? ? ? ??? kPlklPMDC C
l
kPP
cr ?? 1 所以：
00 ???? DRY整体：
PA
l l lB C D
C’
1?
1?k
0
l
kP ???
11 0?2、反对称失稳取半刚架如图：
取 θ1 为位移参数，设失
稳曲 线如图。 C
)( 21 ?? ?k
0
C’
1?2?
1212 2,2 ???? ??? l
l
0)3((,1211 ??????? ? ? ???? kPlklPMDC C ）
l
kP 30
21 ????
24
静力法的解题思路, 先对变形状态建立平衡方程，然后根据平
衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。
不同的是，平衡方程是
代数方程（有限自由度体系）
微分方程（无限自由度体系）
x
R
x
y
l
P
EI
)( RxPyyEI ?????
)(2 EIPxEIRyy ?????? ??
xPRxBxAy ??? ?? s i nc o s
.0,0,
.0,0,0
????
????
yylx
Ayx
0c o s
0s i n
??
??
P
R
lB
l
P
R
lB
??
?
01c o ss i n ???l ll?? ? lltg ?? ?
RxPyM ??
xEI Ry 2* ???特解：
§ 16-3 弹性压杆的稳定 —— 静力法
1、等界面压杆
25
2
3?
2
? ? l
y
4.493
ly ??ltgy ??
先由图解法求出近似解,αl=4.5
再由试算法求更准确的值：
ltglD ?? ??
1 3 7.0,6 3 7.4t a n5.4 ???? Dll ??,
3 0 4.1,0 9 6.3t a n4.4 ??? Dll ??,
0 6 8.0,4 2 2.4t a n49.4 ??? Dll ??,
048.0,443.4t a n491.4 ??? Dll ??,
028.0,464.4t a n492.4 ??? Dll ??,
008.0,485.4t a n493.4 ??? Dll ??,
012.0,506.4t a n494.4 ???? Dll ??,
2
2
)7.0( l
EI??
219.20 l
EI?
2
2)493.4(
l
EI?
2
2)(
l
EIl??2EIP
cr ??
26
θ
y
x
P
l 2
l 1
EI
例 5：求图示压杆的稳定方程。
解,1）选坐标系，取图示曲线的平衡形式，
建立平衡微分方程。 M=Py
MyEI ???? 02 ???? yy ?2）求解平衡微分方程
xBxAy ?? s i nc o s ??
EI
P??
3）由边界条件，可得一组与未知数（ A、
B,θ ）数目相等的齐次方程，位移有非
零解系数行列式应等于零，得出特征方程。
?? ?????
??
ylylx
yx
,,
0,0
21 时当
时当
0c o s
0s i n
0
1
21
??
??
?
???
??
lB
llB
A
特征方程：
01c o ss in
1
21 ???
l
llD
??
?
代入边
界条件
展开,21 lltg ?? ??
27
?刚性支承上等截面直杆的稳定
2
2
)7.0( l
EIP
cr
??
EI
2
2
l
EIP
cr
??
2
2
)2( l
EIP
cr
??
2
2
)5.0( l
EIP
cr
??
2
2
)(
:
l
EIP
cr ?
??通式
μ=1μ=0.7μ=2 μ=0.5 μ=1
材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：
长度系数 μ=2,1,0.7,0.5
约束加强，临界荷载提高。
l
2
2
l
EIP
cr
??
l/2
单根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型。
28
?具有弹性支承的等截面直杆的稳定
P
A
B
k
B′
x
y P
A
B
k
B′
x
y
P
A
B
k
x
y
l l
P
3i
3i
k=6i
29
可能发生反对称
失稳的计算简图
考虑下端转动刚度
特性的计算简图
EI1=∞ EI1=∞
P P P
EI EI EI
P
EI
k
P
EI
30
P P
EI
EI1 EI1
l
P
EI
EI1
l/2
P
EI1
l
EIk 6?
P
l
EIk 6?
或：反对称
失稳时
P P
EI
EI1 EI1
l
或：正对称
失稳时
P
EI
EI1
l/2
P
EI1
l
EIk 2?
P
l
EIk 2?
31
P
B
A
P
A
B
注意,对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中
压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同
时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可
按单根压杆进行计算。
32
例 6 试求图示排架的临界荷载和柱子 AB的计算长度。
P
I1 I2=nI1
B
A
D
C
EA=∞
A
P
B k
解,CD杆的作用用弹簧来代替
3
23
l
EIk?
x
y B
P
xy)( RxPyyEI ?????
)(
1
2
1
2
EI
Px
EI
Ryy ????? ??
xPRxBxAy ??? ?? s i nc o s
.0,,.0,0,0 ????????? yylxAyx
0c o s
s i n
??
???
P
R
lB
P
Rl
lB
??
?
Δ R=kΔ
0
1
c o s
1
s i n
?
?
P
l
kP
l
l
??
?
3
1
3)(
kl
EIllltg ??? ??
1） I2=0,k=0
??? ltgl ?? ???? ltg ? 2?? ?? l最小根
2
1
2
)2( l
EIP
cr
??
相当于悬臂柱，计算长度为 l0=2l
0c o s
0)
1
(s i n
?
?
?
????
P
k
lB
k
kP
l
lB
??
?
33
3
1
3)(
kl
EIllltg ??? ??
2） I2=∞,k=∞
ltgl ?? ?
相当于上端铰支、下端固定柱，
计算长度为 l0=0.7l2
2
)7.0( l
EI??
219.20 l
EIP
cr?
4 9 3.4?? l?
3）当 0<k<∞
当 I2=I1
3
13
l
EIk ?
3
)( 3llltg ??? ??
π/2<αl<4.493
试算法求解,
03 )(
3
???? llltgD ???
1 9 2.1,9 1 6.0,4.2 ???? Dltgl ?? 时当
5 1 8.1,1 8 5.2,0.2 ????? Dltgl ?? 时当
0 2 5.0,3 7 5.1,2.2 ????? Dltgl ?? 时当
00004.0,365.1,203.2 ????? Dltgl ?? 时当
2
1
2
2
12
)426.1(203.2 l
EI
l
EIP
cr
??? 计算长度为 l0=1.426l
34
x
y
l 1
l 2
l
I1
I2
P Pcr
两段的弹性曲线微分方程：
lxlPyyEI
lxPyyEI
??????
??????
1222
1111,0 0,0 当当
lxlyy
lxyy
??????
??????
12
2
22
11
2
11
,0
0,0
当
当
?
?
1
2
1 EI
P??
2
2
2,EI
P??
xBxAy
xBxAy
22222
11111
c o ss i n
c o ss i n
??
??
??
??解方程：
.,
0,
.00,0.
21211
2222
11
yyyylx
ltgBAylx
Byx
?????
?????
????
和，时连续条件：
时
时边界条件：
?
0)s i nc o s(c o s
0)c o ss i n(s i n
12122221111
121222111
???
???
llltgBlA
llltgBlA
??????
????
由系数行列式等于零
得稳定方程：
1
2
2
1
2211 I
Iltgltg ??
?
???
1
1
2
1
121
2
1
3 1 6.0
10
,,
10
1
??
?
??
???
EI
P
EI
P
ll
I
I
时，当
1 6 5.3)3 1 6.0( 2111 ?ltgltg ??
2
1
2
2
1
1
2
21
4
33.259 5 3.3
9 5 3.3
l
EI
l
EIP
l
cr
?
?
??
?
y1
y2
2、阶形压杆的稳定
35
x
y
l 1
l 2
l
I1
I2
P1
P2
例 16-4 阶形杆的稳定。（教材 P213)
解：弹性曲线微分方程：
lxlyPyPyEI
lxyPyEI
?????????
??????
12222122
11111,)( 0,
lxl
EI
Pyy
lxyy
???????
??????
1
2
22
2
2
22
11
2
11
,
0,0
?
?
1
12
1 EI
P??
2
212
2 EI
PP ???
2
2
2
22
22222
11111
c o ss i n
c o ss i n
EI
PxBxAy
xBxAy
?
??
??
????
??解方程：
.,
0,,00,0.
2121211
222211 yyyyylx ltgBAylxByx ??????? ????????? 和，，时连续条件,时时边界条件,?
0)s inc o s(c o s
0)c o ss in(s in
s in
12122221111
2
2
2
22
121222111
2111
???
?
?
???
??
llltgBlA
EI
P
llltgBlA
lA
??????
?
????
?
2?
y1
y2
P1
P2
36
0)s inc o s(c o s
0)c o ss in(s in
0s in
12122221111
2
2
2
22
121222111
2111
???
?
?
???
???
llltgBlA
EI
P
llltgBlA
lA
??????
?
????
?
位移参数不全
为零，应系数
行列式等于零：
0
0)s i nc o s(c o s
)c o ss i n(s i n
10s i n
121222111
2
2
2
2
1212211
11
?
??
???
?
llltgl
EI
P
llltgl
l
??????
?
????
?
1
21
2
1
2211t a n P
PPltgl ????
?
???展开后，得到特征方程：
这个方程只有当 I2/I1,l2/l1,P2/P1的
比值都给定时才能求解。 l 1
=2l
/3
l2=
l/3
I1
P1
5P1
,
1
1
1 EI
P??
1
1
1
2
21
2 25.1
6 ?? ????
EI
P
EI
PP
3
2
,
3
2
1
22
1
11
l
l
l
l
?
?
?
?
?
?
36232t a n
1
1
1
112 ???
P
Pl
?
?? 2 121211 4,332 lEIEIPl cr ???? ???
变截面（阶形
变化或连续变化）
杆件，都可采用能
量法较简捷地得到
满意的结果。
37
2）解平
衡微分方程；
静力法解题思路,1）对新的平衡形式列平衡微分方程；
3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程
组；
能量法解题思路,1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求
出总势能 Π ； 2）由势能驻值条件 δΠ = 0,得到包含待定参数
的齐次方程组； 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。
4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。
λ
P
l
,)(
1
??
?
n
i ii
xay ?
dxxaEIdxyEIU n
i ii
l l 2
10 0
2 ])([
2
1)(
2
1 ? ??? ?????
?
?
设变形曲线为：
dxyd 2)(21 ??l ? ?? l dxy
0
2)(
2
1l ? ? ?????
?
l n
i iip
dxxaPPU 0
1
2)]([
2 ?l
dxxaEIUU n
i ii
l
P
2
10
])([21 ? ??????
?
?? ? ? ??
?
l n
i ii
dxxaP 0
1
2)]([
2 ?
dx
ld
?
dx ?????l 2222 22)2(22s i n2)c o s1( tgdxdxdxdxdxd ?????? 2)(2 ydx ?
§ 16-4 弹性压杆的稳定 —— 能量法
38
dxxaEIUU n
i ii
l
P
2
10
])([21 ? ??????
?
?? ? ? ??
?
l n
i ii
dxxaP 0
1
2)]([
2 ?
有势能驻值条件，即
:),2,1(0 得nia
i
?????? ??
),2,1(0)(
1
nidxPEIa
n
i
jijij ???????????? ?
?
? ????
dxEIK iij ?? ??? ??? ( ? ??? dxPS jiij ??令：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
0
0
0
2
1
21
22221
11211
21
22221
11211
nnnnn
n
n
nnnn
n
n
a
a
a
SSS
SSS
SSS
KKK
KKK
KKK
( )? ? ? ?0][][ ?? aSK 展开是关于 P的 n次方程,其最小根即临界荷载。
上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。
0][][ ?? S
减少自由度相当于对体系施加约束，抗失稳能力提高。
39
例 7 能量法求临界荷载,
解：位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
1）设失稳曲线为抛物线 (纯弯下的挠曲线 )
2
1
2
1
21
8,)2(4,)(4
l
ay
l
xlay
l
xlxay ?????????
.1231664 23 lEIll EI ??01 Pa cr??
0)31664( 13 alPl EI ??
3
8)(
2
1 21
0
2
l
PadxyPU l
P ??? ???
,32)(21 3
2
1
0
2
l
EIadxyEIU l ?? ???
:,0
1a
??? 得由 ?
误差为 22%
因
为
所
设
挠
曲
线
不
满
足
力
的
边
界
条
件
。
甚
至
相
差
甚
远
，
故
精
度
较
差
。
40
另解：,位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
2）设失稳曲线为图 b
,164,21
22
???
?
???
? ?????????? lx
EI
QyxQ
EIEI
My
.102lEIPcr ?
960)(2
1
22
52
0
2
IE
lPQdxyPU l
P ??? ???
,96)(21
32
0
2
EI
lQdxyEIU l ?? ???
:0? 求得由 ?
Q
误差为 1.3%
如取均布荷载作用下的挠曲线,精度会更高,
)(964821
323
作的实功或,QEIlQEIQlQU ???
如用某一横向荷载
引起的挠曲线作为
失稳曲线，则体系
的应变能也可用该
荷载的实功来代替。
41
另解：位移边界条件为：
当 x=0 和 x=l 时,y=0
l
P
EI
x
y
3）设失稳曲线为正弦线
l
x
layl
x
layl
xay ????? s i n,c o s,s i n
2
2
???????
)(4)(21 2
2
0
2
l
lPadxyPU l
P
???? ???
,)(4)(21 4
2
0
2
l
EIladxyEIU l ??? ???
.:,0 2
2
l
EIP
cr
?d? ?? 得由
4）讨论,*正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。
*抛物线不满足全部力的边界条件，精度最差。
*如果用某一横线荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则
体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。
42
例 16-6 求均匀竖向荷载作用下的临界荷载（ P218).
解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时，
设失稳曲线为正弦线
l
x
layl
x
layl
xay
2s in4,2c o s2,2s in 2
2 ?????
???????
,)(64)(21 4
2
0
2
l
EIladxyEIU l ??? ???
l
y
xq
EI
0??y
2
22
0
2
2
22
0
2
8149.02c o s8)(2
1
l
aqdx
l
xx
l
aqdxyqxU ll
P
??? ???????? ??
x
dx
dxyqxq x d 2)(21 ??l
微段 dx倾斜使该段以
上荷载向下移动，这
部分荷载作功为：
22
3
24
8
1 4 9.0
64 aql
aEIUU
P ?
? ?????
????? 0a 332 27.8149.08 lEIlEIq cr ??? ?
%5.5837.7 3 相比，误差为与精确解 lEI
所设失稳曲线能否满
足力的边界条件？
43
另解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时，
设失稳曲线为 (b)中 Q引起的挠曲线,
）（,2221 xlEIQyQxEIEIMy ?????????
0??y
22
62
0
22222
22
2
0
2
48)()(16)(2
1
IE
lqQxldxl
IE
qQdxyqxU ll
P ???????? ??
dxyqxq x d 2)(21 ??l
微段 dx倾斜使该段以
上荷载向下移动，这
部分荷载作功为：
22
6232
486 IE
lqQ
EI
lQUU
P ?????
????? 0Q 38 lEIq cr ?
%9.1837.7 3 相比，误差为与精确解 lEI
x
dxl
y
xq
EI
（ a）
y
x
Q
（ b）
作的实功）（ QEI lQEIQlQU 6321 323 ???
44
x
y
l
P
2I2
I2
I2
例 16-7图示变截面杆的
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
2
0 4
41)(
l
x
l
xIxI 求 Pcr
解, 当 x=0 时,y=0,x=l 时,y=0
设变形曲线为三角级数：
?????????? l xal xal xay ??? 5s i n3s i ns i n 531
⑴ 先取第一项作为近似的变形曲线
l
xay ?s i n
1?
2
13
4
0
0
42
1
20
0
2
934.0
2
s i n)(])(4)(41[
2
))((
2
1
a
l
EI
dx
l
x
l
a
l
x
l
xEI
dxyxEIU
l
l
??
???
???
?
?
?
??
2
1
2
0
222
10
2
4149.0c o s)(2)(2 alPdxl
x
la
PdxyPPU ll
P
???l ????????? ??
2
0
2
2
2
13
4
0 8 6 8.149 3 4.0
2 l
EIla
l
EIP
cr
?
?
? ???
45
l
xa
l
xay ?? 3s i ns i n
31 ??
⑵ 再取前两项作为近似的变形曲线
)4.6837.19 3 4.0(
2
3
s in9s in])(4)(41[
2
))((
2
1
2
331
2
13
4
0
0
2
314
4
20
0
2
aaaa
l
EI
dx
l
x
a
l
x
a
ll
x
l
xEI
dxyxEIU
ll
???
?
?
?
?
?
?
??????? ??
?
???
)9(4)3c o s3c o s()(2)(2 232120 23120 2 aalPdxl xal xalPdxyPPU llP ??????????? ?? ????l
2
0
2
8 5 0.1 lEIP cr ???
0,0
21
?? ???? ?? aa由驻值条件：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
0)
9
368.1(37.1
037.1)868.1(
3
0
2
2
1
31
0
2
2
a
EI
Pl
a
aa
EI
Pl
?
?
系数行列式等于零得到特征方程：
02.28)(05.17)(
0
2
2
2
0
2
2
??? EIPlEIPl ??
两次计算结果相对差值不到 1%，由此可知所得近
似结果的精确程度。
46
考虑剪力时压杆的挠度为,y=yM+yQ
M引起挠度
Q引起挠度
QM yyy ????????
⑴ 考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：
dx
h
l
P
EI
A
B
Q
Q dyQ
g
EI
My
M ????
dx
dM
GA
k
GA
Qk
dx
dy Q ??? g
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
dx
yd Q ?
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
EI
M
dx
yd ???
考虑弯矩和剪力影响
的挠曲线微分方程：
弯矩引起的曲率：
剪力引起的曲率计算：
§ 16-6 剪力对临界荷载的影响
47
β
⑵ 两端铰支的等截面压杆的临界荷载：
l
P
EI
A
B
x
y
y
yPMPyM ???????
01( ????????????? EIPyyGAkPyGAkPEIPyy ）
))/1((0 22 GAkPEI Pmymy ??????
mxBmxAy s i nc o s ??
??
??????
????
ml
mlmlBylx
Ayx
其最小根：
0s i n0s i n,0,
.0,0,0
e
e
e
e
e
cr
P
P
G
k
P
GA
kP
l
EI
l
EI
GA
k
P
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?
?
?
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?
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?
?
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
l
EIP
e
?? 即欧拉临界荷载。
① 修正系数 β<1，故考虑剪力影响时，
临界荷载降低。
三号钢：
400
1,1
,1080,200 3
??
???
G
kk
M P aGM P a
e
e
?
?
则有：
② 在实体杆中，剪力对临界荷载影
响很小，通常忽略不计。
2
2
2
2
dx
Md
GA
k
EI
M
dx
yd ???
48
Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成
反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆
的计算长度；也可设法提高惯性矩。
大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。
在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离
开一定的距离，获得较大的 I，增强稳定性。
为了保证他们能正常工作，在型钢的翼
缘上用一些扣件将它们连起来。
扣件 缀条式：斜杆、横杆与柱肢铰接。
P
缀板式：横杆与柱肢刚接。
P
d
b
组合压杆的临界荷载不仅与肢杆的横截
面面积有关，还与扣件的横截面面积、排列
形式和位置有关。组合压杆的临界荷载比截
面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小，
因为组合压杆中的剪力影响远比实体压杆中
的大。当 l/d>6时可用下式近似计算 Pcr。
e
e
cr P
GA
kPP ?? 1
1 以组合压杆情况下的剪力
影响代替。它代表单位剪
力作用下的切应变 γ。
§ 16-7 组合压杆的稳定
49
1、缀条式组合压杆
dtgGA
k 11dgg ??? ?? EA lN 211d
由于肢杆的界面比缀条的截面大的多
故只考虑缀条产生的位移。
。，横截面面积为，杆长为斜杆内力为；，横截面面积为，杆长为横杆内力为
q
p
A
d
A
tg
d
b
??
?
s inc o s
1
1 ??
，,)1c o ss i n 1(1)1c o ss i n 1( 2211 ???g???d tgAAEtgAAEd
pqpq
????
GA
kP
PP
e
e
cr
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1
，
)1
c o ss in
1(
2 ??? tgAAE
P
P
pq
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e
??
,22l EIPe ?? 22 2212 rAbAII ddd ???
Q=1
Q=1
δ11
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d
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cr P
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A
A
A
PP
1
22
0
2
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c o ss in
(21
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???l
?
?
??
?
。为实体杆计算的长细比
的是按回转半径 rrl,0 ?l
,22 2
0
2
2
22
l
?? dde A
l
rA
E
P ??
d
b
α
Ap
Aq
b
z
Ad
50
斜杆影响 横杆影响
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22
0
2
c o ss in2
21
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d
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A
A
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，
)
c o ss in
(21 22
0
2
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A
A
A
PP
p
d
q
d
e
cr
??
?
① Ap和 Aq>>Ad相当于肢杆间绝
对刚性联结临界荷载与惯性矩
为 I的实体杆的临界荷载相同。
② Ap和 Aq<<Ad相当于肢杆间绝
对柔性联结临界荷载 → 0。
③一般情况下组合压杆的临界
荷载比截面和柔度相同的实体
压杆的临界荷载要小。
④斜杆比横杆对临界荷载的影
响更大。
2
2
)( l
EI
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??
??l
??
22
0
2
c o ss i n1 q
d
A
A??
计算长度系数 μ
2
0
271
l? q
d
A
A??
27
c o ss i n
60~30
2
2
?
??
?
?
故可取
，为一般 ??
比：缀条式组合压杆的长细
q
d
A
A
r
l 272
00 ???? l?l
?l
规范中采用公式
51
2、缀板式组合压杆 取刚架为计算简图
1/21/2
1/21/2
4d
2d
4d
P
d
d/2
d/2
b
1/21/2
1/2 1/2 I
dIb
设主肢反弯点
在结间中点，
剪力平均分配
与两肢杆。
δ11/2
δ11/2
g
bd EI
bd
EI
d
EI
dsM
1224
232
1
11 ??? ? ?d
dtgGA
k 11dgg ???
bd EI
bd
EI
d
d 1224
2
11 ??? dg
GA
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e
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1
e
b
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e P
I
bd
I
d
E
P
P
22
)
1224
(1
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??
随缀板间距的增大，
β 2将减小。 β 2<1
???? bdb EIII 故取一般情况下,
d
e
e
d
e
cr
Il
Id
P
P
EI
d
PP
2
222
24
1
24
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52
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22
222
2
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83.01
24
21
24
1
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l?? d
e
dd
d
e
d
e
cr
P
Arl
Ard
P
Il
Id
PP
?
?
?
?
?
?;/,2,
,
0
2
0 rlrAI
rI
d ?? ll 则：为按实体杆计算的长细比
，回转半径为面的形心轴的惯性矩为两个主肢截面对整个截
./,,
,
2
dddddd
dd
rdrAI
rI
?? ll 则：为在一个结间内的长细比
，回转半径为心轴的惯性矩为单个主肢截面对本身形
e
d
P22
0
2
0
ll
l
??
2
2
2
2
22
0
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0
)( l
EI
l
EIP
d
cr ?
??
ll
l ?
??
（缀板式）；2
0
22
0
l
ll? d??
计算长度系数
比：缀板式组合压杆的长细 22
00 dr
l ll?l?l ???? 规范中采用公式
综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。
①先求出相应的长度系数, （缀条式）??l?? 22
0
2
cossin1 q
d
A
A??
② 2
2
)( l
EIP
cr ?
??代入 求临界荷载。
2
0
22
0
l
ll? d??
53
Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成
反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆
的计算长度；也可设法提高惯性矩。 大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面
尺寸的前提下，使两个型钢离
开一定的距离，获得较大的 I，
增强稳定性。
为了保证他们能正常工作，
在型钢的翼缘上用一些扣件将
它们连起来。
扣件
缀条式：斜杆、横杆
与柱肢铰接。
P
缀板式：横杆
与柱肢刚接。
P
1、缀条式组合压杆
失稳时桁架中各杆只引起
附加轴力。
能量法：
l
xay ?s i n,?设
y
l
x
l
PaQ
l
x
PaPyM
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c o s
sin
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M
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c o s
c o s
s i n
??
??
??
??
条
肢
d
b
21 ?? b t gb t gd ??
θ1
θ2
组合压杆的稳定 (能量法 )
54
桁架应变能：
为杆长sEA sNU,2
2
??
??
?
?
?
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?
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? ?????
n n bl xl abl xl an l xba
A
P
A
P
A
dP
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1 1 2
c o s
2
c o s
1
c o s
2
c o s2
1
2
2211
)co s()co s()s i n(
2
1 ?????????
肢
式中 A肢 为弦杆面积,A1为上斜缀条面积,A2为下斜缀条面积。
一般缀条式组合压杆的结间数较多，可取 dxxd ?? ?
2
)( co s)( co s
)( s i n2)( s i n
0
2
1
2
0
2
2
1
2
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l
x
d
l
x
ldx
l
x
d
l
x
l
n
l
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????
????
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21 ?? b t gb t gd ??
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0
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2
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0
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2
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3
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2
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1
c o s
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x
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laP
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ll
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肢
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3
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2
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b
l
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肢肢由
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2
2 bAbAI 肢
肢式中 ??
55
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3
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3
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2
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2
2
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1
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1
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b
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cr
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1
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A
A
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b
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cr
肢
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1
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1
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???
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tgA
A
A
A
l
b
l
EIP
cr
肢肢
θ
P
56
PP
有交叉缀条的组合压杆的临界荷载，
仍按上式计算，但此时缀条面积要加倍。
1
2
2
1
2
22
2
2
c o ss i n2
1
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?
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?
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???
???
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tgA
A
A
A
l
b
l
EIP
cr
肢肢
1
2
2
1
2
22
1
2
2
1
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1
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?
???
?
???
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tgA
A
A
A
l
b
k
l
EI
kP cr
肢肢
实腹杆的临界荷载
k1组合杆的折减系数：与缀条和柱肢的截面
积比值有密切的关系。
.0,01 ?? crPk?当缀条面积很小时：
?当缀条面积很大时：
.,1 2
2
1 l
EIPk
cr
???
?一般情况下缀条式组合压杆的临界荷载总
小于同样惯性矩的实腹柱的临界荷载。
57
2
0
2
2
2
1 l
EI
l
EIkP
cr
?? ??组合压杆的计算长度
?
?
?
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?
?
?
?
?????
???
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tgA
A
A
A
l
bl
k
l
P
EIl
cr 2
2
1
2
22
1
0 c o ssin21
肢肢
在工程中,水平缀条的轴力小影响小可忽略不计；
同时 30° < θ < 60°
27c o ss i n 2
2
????
缀条式组合压杆的计算长细比公式,
条
肢
条
肢
A
A
A
A
b
l
b
l 227227)
2
(
2
2
0
20 ????? ll
λ0是按回转半径为 r=b/2 的实腹杆算出的长细比,
58
2、缀板式组合压杆 P取刚架为计算简图
变
形
状
态
?作为一根杆件产生整体变形,
l
xay ?s i n,?设
l
x
lPaQl
xPaPyM ??? c o s,s i n ???
?作为一刚架在结间由 Q产生 MQ造成的局部变形,
EI
laPdx
EI
MU l
42
1 22
0
2
1 ???
Q/2 Q/2
Q/2Q/2
d/2
d/2
4Qd
2Qd
4Qd
d
d
l
x
l
Pa
EI
bd
EI
d
QdbQd
EI
QddQd
EI
dx
EI
M
U
l
2
2
2222
0
2
2
)(co s)
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(
2
1
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2
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2
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2
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(
2
1
2
1
???
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????
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板肢
板肢
dxxd ?? ?
2)( c o s)( c o s 0
2
1
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l
xd
l
x ln ???? ??
)1224(4
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2
板肢 EI
bd
EI
d
l
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59
2
肢l
EI
laPdx
EI
MU l
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1224(4
2222
2
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l
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l
aPdxyPU l
P 4)(2
1 22
0
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12
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2
2
2
1224
10
l
EIk
EI
bd
EI
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l
EI
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da
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?
?
?
?
?
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?
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板肢
由
12
2
2
2 12241
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?
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bd
EI
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EIk ?组合压杆的计算长度
?
?
?
?
?
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?
?
????
板肢 EI
bd
EI
d
l
EIl
P
EIl
cr 12242
1
2
2
2
0
??
如缀板刚度比柱肢刚度大很多,
2
2bA
I 肢?
22
0
22
20 83.0
24
2)
2
(
2 肢肢
肢 ll?l ?????
I
dA
b
l
b
l 22
0,肢规范取 lll ??肢肢肢肢
60
注意,
1、组合压杆的临界荷载等于实体压杆临界荷载乘
以折减系数：
12
2
2
2 12241
?
?
?
???
?
???
?
???
? ???
板肢 EI
bd
EI
d
l
EIk ?
1
2
2
1
2
22
1 cossin21
?
?
?
???
?
??
?
??
? ???
???
?
tgA
A
A
A
l
bk 肢肢 缀条式组合压杆
缀条式组合压杆
2、以上结果都是近似的，但实践表明，当节间数
较多时（不少于 6个 ），上述的近似解法能给出
相当满意的结果。
61
q0
q 0+
γf
f
A
C
B
圆环圆拱在径向均布荷载作用下
抛物线拱在竖向均布荷载作用下
悬 链 线 拱 在 填 土 荷 载作用下
?当荷载较小时都处于中心受压
?当荷载达到临界荷载时都突然
在轴线平面内偏离原位失稳。
A B
f C
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
§ 16-7 圆环圆拱的稳定
62
1、圆弧曲杆的弯曲平衡微分方程
EI
M
RdRR ????
11曲率的改变与弯矩之间的关系：
?? dd ?
ds
R+dR
因忽略轴向变形 ))(( ??? dddRRRdds ????
EI
M
ds
d
ds
dd ???? ??? )( a
EI
M
ds
d ??????
?d
ds
R
A
B
?d
ds
R
A
Bu
u+du
?d
ds
R
A
B
v
v+dv
B?
)( bvddudvduBBdu ??????? ??
求 A截面转角
R
u
ds
dv
R
u
ds
dv ???
)(11 2
2
22
2
??
?
d
du
d
vd
Rds
du
Rds
vd
ds
d ????
)(1 2
2
2 vd
vd
Rds
d ??
?
? )(2
2
2
cMEIRvd vd ???????
圆弧拱轴弯曲平衡微分方程,
因忽略轴向变形，所以：
截面转角沿轴向的变化率汲取率的改变
63
2、屈曲后截面弯矩
?d
q
R
N0
N0
qRN
q d sdN
?\
?
0
0 22
?
M M
M M
失稳前，拱内弯矩
剪力都是零，只有
轴力。
径向平衡：
在新的平衡位置，任一截面弯
矩可分解为两部分：①两铰拱
径向荷载引起的截面弯矩；②
拱脚反力矩引起的截面弯矩。
q
γ γ
φ
R
q
v
K′
Kq
N0
VA
HA
N0与截面以
左所有外力
平衡，所以
截面以左所
有外力对 K′
取矩等于 N0
对点 K′取矩。
q R vM K ?1
00
2M/l 2M/l
x
l/2 l/2
l
MxMxl
l
MM
K
2)2/(2
2 ?????
g
?
s in
s inMq R vM ??
g
?
sin
2
sin
Rl
Rx
?
?
g
?
s in
s in
2 MM K ??
64
对给定 γ的值求得满
足特征方程得最小
α值后，即可得无
铰拱的临界荷载
)(
2
2
2
cMEIRvd vd ??????? )s i ns i n( g?Mq R v ?
?g? s i ns i n)1(
23
2
2
EI
MR
EI
qRv
d
vd ???
g???? s i n,1,s i n
23
22
2
2
EI
MRC
EI
qRCv
d
vd ????? 其中：
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
q
γ γ
φ
R
0c o s
1
c o s0
0s in
1
s in0
000
2
2
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?????
?
?
????
????
l
?
?g?g?
l
?
?gg?
?
C
Bv
C
Bv
Av
时，当
时，当
时，当
?gg?l?g? l?g tgtg ??? 0c o sc o s s i ns i n
3
2 )1(
R
EIq
cr ?? ?特征方程
无铰拱的临界荷载 （对应反对称的变形形式）
65
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
0s in)1(0
0s in
1
s in0
000
2
2
?????
?
?
????
????
?g?g?
l
?
?gg?
?
BM
C
Bv
Av
时，当
时，当
时，当
0s ins in)1(
0
0s in)1(
s ins in
2
2
??
?
?
l?g?
?g?
l?g
)1( 2
2
3 ?? g
?
R
EIq
cr
两铰拱的临界荷载 （对应反
对称的变形形式）
q
γ γ
φ
R
MEIRvd vd
2
2
2
????
)s in)1(c o s)1(( 222 ?????? ???? BAREIM
??g?g n??? 0s i n
或根据 M为 φ的奇
函数的条件得,
??? s i n)1( 22 ?? BREIM
0s i n)1(
0
2 ??
??
?g?
g?
B
M
得：
时，在由当
??g?g n??? 0s i n
66
?????? s i n1s i nc o s 2 ???? CBAv
)14( 2
2
3 ?? g
?
R
EIq
cr
MEIRvd vd
2
2
2
????
)s in)1(c o s)1(( 222 ?????? ???? BAREIM
根据 M为 φ的偶函数的条件得,
??? c o s)1( 22 ?? AREIM
0c o s)1(,0 2 ???? ?g?g? AM 得：时，在由当
20c o s
??g?g ???
q
γ γ
φ
R
三铰拱的临界荷载 （对应正
对称的变形形式）
l/2 l/2
f
为了应用上的方便，利用 gg s i n2),c o s1( RlRf ??? 将各种
等截面圆拱受均匀静水压力作用时的最小临界荷载写成如下形式
31 l
EIKq
cr ?
K1与拱的高垮比有关的临界荷载系数
67
