课程名称 复变函数
教 材, 复变函数, (四版 )
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 24学时
教师姓名 __刘萍 __
课程简介
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复变函数的积分、级数、留数,
共形映射等。
复数与复变函数、解析函数,
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推
广和发展，它们之间有许多相似
之处。但又有不同之处，在学习
中要善于比较、区别、特别要注
意复数域上特有的那些性质与结
果。
背 景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。
为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实
数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复
数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又
得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数
看作不能接受的, 虚数, 。直到十八世纪，
J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等
人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了
复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体
力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接
受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。
A.L.Cauchy （ 1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-
1897)分别应用积分和级数研究复变函数，
G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性
质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的
巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗
透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体
力学和电学等方面也得到了很多的应用。
二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理
论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其
它分支的联系也日益密切。
第一讲 复数
? 1,复数的概念
? 2,代数运算
? 3,共轭 复数
CH1 § 1复数及其代数运算
? 一般,任意两个复数不能比较大小。
1,复数的概念
定义 对任意两实数 x,y,称 z=x+iy或 z=x+yi
为复数。
称为虚单位。其中 ii,1 2 ??
?复数 z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y,
(real part) (imaginary part)
0|| 22 ??? yxz
? 复数的模
0)I m ()R e (0
,,,222111212121
????
????????
zzz
iyxziyxzyyxxzz 其中
? 判断复数相等
定义 z1=x1+iy1与 z2=x2+iy2的和、差、积和商为,
z1± z2=(x1± x2)+i(y1± y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
)0(
|||| 222
2112
2
2
2121
2
1 ?????? z
z
yxyx
i
z
yyxx
z
z
z
2,代数运算
?四则运算
z1+z2=z2+z1；
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,
?运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。
（ 与实数相同 ）即,
?共轭复数的性质
2121 )()1( zzzz ???
2121 )( zzzz ?
2
1
2
1 )(
z
z
z
z
?
zz ?)2(
2||
1
z
z
z
?? 2222 )I m ()R e ()3( yxzzzz ????
)I m (2
)R e (2)4(
zizz
zzz
??
??
3.共轭复数
定义 若 z=x+iy,称 ?z=x-iy 为 z 的共轭复数,
(conjugate)
.,)(,
,43,55:1
2
1
2
1
21
虚部及它们的实部求
设例
z
z
z
z
iziz ?????
5
7
43
55
:
2
1
?
?
?
??
?
?
i
i
i
z
z
解
4
1
1
:2 ?
?
?
?
?
?
?
?
i
i
求例 i
i
i
?
?
?
1
1
)(.,
0aaaa
,3
01
1
-1nn
现实多项式的零点成对出也是其根则的根
是实系数方程证明若例
z
xxx
z
nn
?????
?
?
? ?2221221221 2:.4 zzzzzz ?????证明例
? 1,点的表示
? 2,向量表示法
? 3,三角表示法
? 4,指数表示法
§ 2 复数的表示方法
1,点的表示
),,( yxiyxz 一对有序实数易见,???
),(
),(),(
yxPiyxz
yxyxP
平面上的点
一对有序实数任意点
系，则在平面上取定直角坐标
????
?
此时，
表示的点，可用平面上坐标为复数,)( Pyxiyxz ???
平面复平面或—平面
虚轴—轴实轴—轴
z
yx
)( yxPiyxz,复平面上的点???点的表示,
? 数 z与点 z同义,
.
},{)(
iyxzOP
yxOPyxPiyxz
???
?????
表示可用向量
，点?
2,向量表示法
? 00 ???? OPz
z
yxrOPz
A r g:
,|||| 22
记作
辐角
模：
??
????
o x
y (z)
P(x,y)
rz ?
x
y
?
称向量的长度为复数 z=x+iy的 模 或 绝对值 ；
以正实轴 为始边,以 为终边的角的
弧度数 称为复数 z=x+iy的 辐角,(z≠0时 )
OP向量
辐角无穷多,Arg z=θ=θ0+2kπ,k∈ Z,
xyzz /)A r gt a n (0 ?? 时，
??? ??? 0
把其中满足 的 θ0称为辐角 Argz的主值,
记作 θ0=argz。 ? z=0时，辐角不确定。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
0,0
0,0a r c t a n
0,0
2
,0a r c t a n
a r g
yx
yx
x
y
yx
Ryx
x
y
z
计算
argz(z≠0)
的公式
? 当 z落于一,四象限时，不变。
? 当 z落于第二象限时，加 。
? 当 z落于第三象限时，减 。
2
a r c t a n
2
??
???
x
y
?
?
o x
y (z)
z1 z
2
1212
1212
)(
:
zzzz
zzzz
???
??? 三角不等式
由此得
由向量表示法知
之间的距离与点— 2112 zzzz ?
3,三角表示法
)s i n( c o s ?? irz ??
得由
?
?
?
?
?
?
?
s i n
c o s
ry
rx
4,指数表示法
得
公式再由
??? s i nc o s
:
ie
E u l e r
i ??
?irez ?
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。
例 1 用复数方程表示,
（ 1）过两点 zj=xj+iyj
(j=1,2)的直线；
（ 2）中心在点 (0,-1),
半径为 2的圆。
o x
y (z)
L z1 z2 z
解 （ 1） z=z1+t (z2-z1)
（ -∞<t <+∞）
2)()2( ??? iz
x
y (z)
O
(0,-1) 2
例 2 方程 表示
什么图形？ 3)R e ( ?zi
平行于实轴的直线
图形为故
设
3)R e (
3
)R e (
)(
?
??
??
??
??
??
zi
y
yzi
ixy
iyxizi
iyxz
?
解
3)R e( ?zi
注意, 复数的各种表示法可以相互转化,以适应
不同问题的需要,
.
5
c o s
5
s i n.5 式化为三角形式与指数形将例
??
iz ??
.,)3(3)2()1(.4 22 辐角的模求例 ??? eee ii
.,
2
31)4(3)3()2(1)1(.3
辐角及辐角主值的模
求例 iii ????
? 1,复数的 乘积与商
? 2,复数的 乘幂
? 3.复数的 方根
§ 3 复数的 乘幂 与 方根
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘,
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2e i(θ1+θ2)
1,乘积与商
因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
几何意义 将复数 z1按 逆时针 方向旋转一个角度
Argz2,再将其伸缩到 |z2|倍。
? 定理 1可推广到 n 个复数的乘积。
1?o
x
y (z)
1z
2?
z1z2
2?
z2
izzizz ????? 2121,,1.1 则设例
?,2,1,021 ????? mmA r g z ??
?,2,1,02
22
????? nnA r g z ?
?
?,2,1,02
2
)( 21 ?????
?
?? kkzzA r g
? ? ???? knm 2
2
2
2
3
?????代入上式
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1,
定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商,
两个复数的商的辐角等于被除数与除
数的辐角之差。
证明
)(
1
2
1
2 12 ?? ??? ie
r
r
z
z
z
? Argz=Argz2-Argz1 即,
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵ |z||z1|=|z2|及 Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
21 2211,?? ii erzerz ??设
设 z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证
明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。
?innn erz ??? ?由定义得
2.复数的 乘幂
定义 n个相同的复数 z 的乘积，称为 z 的 n次幂,
记作 z n，即 z n=z?z???z（ 共 n个）。
.
1
n
n
z
z ??
定义
特别：当 |z|=1时，即,zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
一棣模佛 (De Moivre)公式。
问题 给定复数 z=re i ?，求所有的满足 ωn=z 的
复数 ω。
n z??记
,,ze ni ?? ??? ? 由设 ??? iinn ree ?有
)(2,Zkknrn ????? ????
3.复数的 方根 （开方） ——乘方的逆运算
当 z≠0时，有 n个不同的 ω值与 相对应，每一
个这样的 ω值都称为 z 的 n次方根,
n z
n
ki
nn erz
??
?
2?
???
)2s i n2( c o s
n
ki
n
krn ???? ????
)1,,2,1,0( ?? nk ?
? 当 k=0,1,…, n-1时，可得 n个不同的根,
而 k取其它整数时，这些根又会重复出现。
几何上, 的 n个值是
以原点为中心,为半
径的圆周上 n个等分点,
即它们是内接于该圆周
的正 n边形的 n个顶点。
n z
n r
（见图）
如
)3,2,1,0()
4
2
4
s i n
4
2
4
( c o s2
1
8
4
?
?
?
?
?
??
k
k
i
k
i
k
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?
?
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x
y
o
0?
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8 2
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i?1
3 1:2 求例
).2,1,0(,
3
20
s i n
3
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c o s13 ?
??
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? k
k
i
k
? ?0s i n0c o s1,i???解
.
2
3
2
1
,
2
3
2
1
,1 210 ii ??????????即
? 1,区域的概念
? 2,简单曲线（或 Jordan曲线 )
? 3,单连通域与多连通域
§ 4 区 域
1,区域的概念
?邻域 复平面上以 z 0为中心，任意 δ> 0为半径的
圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的 δ（ 去心 ）邻域 。
记为 Ｕ (z0,δ) 即,
)),(( 0 ?zU ?
})0{),(( 00 ?? ???? zzzzU ?
}{),( 00 ?? ??? zzzzU
设 G是一平面上点集
内点 对任意 z0属于 G，若存在 Ｕ (z 0,δ),使该邻
域内的所有点都属于 G，则称 z 0是 G的内点。
0z
? ?
开集 若 G内的每一点都是
内点，则称 G是开集。
.的折线连接属于中任意两点均可用完全 DD连通 是指
?区域 设 D是一个开集,
且 D是连通的，称
D是一个区域。 D-区域
边界与边界点 已知点 P不属于 D，若点 P的任何
邻域中都包含 D中的点及不属于 D的点，则称 P是
D的边界点；
0z?
内点
外点
D的所有边界点组成 D的边界。
1z
2z
P
有界区域与无界区域
若存在 R > 0,对任意 z ∈ D,均有
z∈ G={z | |z|<R}，则 D是有界区域；否则无界。
?闭区域 区域 D与它的边界一起构成闭区域,.D记为
.,0
0
为半径的圆内所有的点以为圆点表示以 rz
rzz ??
.xyIm,Re 轴的直线轴和表示分别平行于?? ?? zz
.
,,
,,
.,
1020
201
几个点只是边界增加了一个或
它仍然是区域几个点如果在其中去掉一个或
组成它的边界由两个圆周
而且是有界的表示一个圆环
rzzrzz
rzzr
????
???
.0Im
,0Re
表示下半复平面
表示右半复平面
?
?
z
z
2,简单曲线（或 Jardan曲线 )
],[)()(),(
)(
)(
baCtytxbta
tyy
txx
???
??
?
?
?
?
?
、实变函数
表示为：平面上一条连续曲线可
令 z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ;
则曲线方程可记为,z=z(t),a≤t≤b
.
0)]('[)]('[],[)(')(' 22
则称该曲线为光滑的
且、若 ??? tytxbaCtytx
有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。
重点 设连续曲线 C,z=z(t),a≤t≤b,
对于 t1∈ (a,b),t2 ∈ [a,b],当 t1≠t2时，若 z(t1)=z(t2),
称 z(t1)为曲线 C的重点。
定义 称 没有重点 的连续曲线 C为简单曲线或
Jardan曲线 ;若简单曲线 C 满足 z(a)=z(b)时，则称
此曲线 C是简单 闭 曲线或 Jordan闭 曲线 。
z(a)=z(b)
简单闭曲线
z(t1)=z(t2)
不是简单闭曲线
3,单连通域与多连通域
简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C,z=z(t),t∈ [a,b]，把复
平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有
界区域，称为 C的内部；一个是无界区域，称为
C的外部；还有一个是它们的公共边界。
z(a)=z(b)
C
内部
外部
边界
定义 复平面上的一个区域 B,
如果 B内的任何简单闭曲线的
内部总在 B内,就称 B为单连通
域；非单连通域称为多连通域。
例如 |z|<R（ R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的。
单连通域 多连通域
多连通域 单连通域
作业
P31 1（２）（４）,
２,
８（３）（４）（５）,
１４（２）（４）,
２１（４）（８）（９）
２２（３）（４）（６）
教 材, 复变函数, (四版 )
西安交通大学高等数学教研室 编
总 学 时 24学时
教师姓名 __刘萍 __
课程简介
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分。
主要内容
复变函数的积分、级数、留数,
共形映射等。
复数与复变函数、解析函数,
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推
广和发展，它们之间有许多相似
之处。但又有不同之处，在学习
中要善于比较、区别、特别要注
意复数域上特有的那些性质与结
果。
背 景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。
为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实
数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复
数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又
得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数
看作不能接受的, 虚数, 。直到十八世纪，
J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等
人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了
复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体
力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接
受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。
A.L.Cauchy （ 1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-
1897)分别应用积分和级数研究复变函数，
G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性
质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的
巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗
透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体
力学和电学等方面也得到了很多的应用。
二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理
论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其
它分支的联系也日益密切。
第一讲 复数
? 1,复数的概念
? 2,代数运算
? 3,共轭 复数
CH1 § 1复数及其代数运算
? 一般,任意两个复数不能比较大小。
1,复数的概念
定义 对任意两实数 x,y,称 z=x+iy或 z=x+yi
为复数。
称为虚单位。其中 ii,1 2 ??
?复数 z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y,
(real part) (imaginary part)
0|| 22 ??? yxz
? 复数的模
0)I m ()R e (0
,,,222111212121
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????????
zzz
iyxziyxzyyxxzz 其中
? 判断复数相等
定义 z1=x1+iy1与 z2=x2+iy2的和、差、积和商为,
z1± z2=(x1± x2)+i(y1± y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
)0(
|||| 222
2112
2
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1 ?????? z
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z
2,代数运算
?四则运算
z1+z2=z2+z1；
z1z2=z2z1；
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3；
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,
?运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律。
（ 与实数相同 ）即,
?共轭复数的性质
2121 )()1( zzzz ???
2121 )( zzzz ?
2
1
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z
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)I m (2
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3.共轭复数
定义 若 z=x+iy,称 ?z=x-iy 为 z 的共轭复数,
(conjugate)
.,)(,
,43,55:1
2
1
2
1
21
虚部及它们的实部求
设例
z
z
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5
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55
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解
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现实多项式的零点成对出也是其根则的根
是实系数方程证明若例
z
xxx
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? ?2221221221 2:.4 zzzzzz ?????证明例
? 1,点的表示
? 2,向量表示法
? 3,三角表示法
? 4,指数表示法
§ 2 复数的表示方法
1,点的表示
),,( yxiyxz 一对有序实数易见,???
),(
),(),(
yxPiyxz
yxyxP
平面上的点
一对有序实数任意点
系，则在平面上取定直角坐标
????
?
此时，
表示的点，可用平面上坐标为复数,)( Pyxiyxz ???
平面复平面或—平面
虚轴—轴实轴—轴
z
yx
)( yxPiyxz,复平面上的点???点的表示,
? 数 z与点 z同义,
.
},{)(
iyxzOP
yxOPyxPiyxz
???
?????
表示可用向量
，点?
2,向量表示法
? 00 ???? OPz
z
yxrOPz
A r g:
,|||| 22
记作
辐角
模：
??
????
o x
y (z)
P(x,y)
rz ?
x
y
?
称向量的长度为复数 z=x+iy的 模 或 绝对值 ；
以正实轴 为始边,以 为终边的角的
弧度数 称为复数 z=x+iy的 辐角,(z≠0时 )
OP向量
辐角无穷多,Arg z=θ=θ0+2kπ,k∈ Z,
xyzz /)A r gt a n (0 ?? 时，
??? ??? 0
把其中满足 的 θ0称为辐角 Argz的主值,
记作 θ0=argz。 ? z=0时，辐角不确定。
?
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x
y
z
计算
argz(z≠0)
的公式
? 当 z落于一,四象限时，不变。
? 当 z落于第二象限时，加 。
? 当 z落于第三象限时，减 。
2
a r c t a n
2
??
???
x
y
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y (z)
z1 z
2
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1212
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zzzz
zzzz
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??? 三角不等式
由此得
由向量表示法知
之间的距离与点— 2112 zzzz ?
3,三角表示法
)s i n( c o s ?? irz ??
得由
?
?
?
?
?
?
?
s i n
c o s
ry
rx
4,指数表示法
得
公式再由
??? s i nc o s
:
ie
E u l e r
i ??
?irez ?
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程
（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方
程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。
例 1 用复数方程表示,
（ 1）过两点 zj=xj+iyj
(j=1,2)的直线；
（ 2）中心在点 (0,-1),
半径为 2的圆。
o x
y (z)
L z1 z2 z
解 （ 1） z=z1+t (z2-z1)
（ -∞<t <+∞）
2)()2( ??? iz
x
y (z)
O
(0,-1) 2
例 2 方程 表示
什么图形？ 3)R e ( ?zi
平行于实轴的直线
图形为故
设
3)R e (
3
)R e (
)(
?
??
??
??
??
??
zi
y
yzi
ixy
iyxizi
iyxz
?
解
3)R e( ?zi
注意, 复数的各种表示法可以相互转化,以适应
不同问题的需要,
.
5
c o s
5
s i n.5 式化为三角形式与指数形将例
??
iz ??
.,)3(3)2()1(.4 22 辐角的模求例 ??? eee ii
.,
2
31)4(3)3()2(1)1(.3
辐角及辐角主值的模
求例 iii ????
? 1,复数的 乘积与商
? 2,复数的 乘幂
? 3.复数的 方根
§ 3 复数的 乘幂 与 方根
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘,
两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。
证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1
z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2
则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2)
= r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
=r1r2e i(θ1+θ2)
1,乘积与商
因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
几何意义 将复数 z1按 逆时针 方向旋转一个角度
Argz2,再将其伸缩到 |z2|倍。
? 定理 1可推广到 n 个复数的乘积。
1?o
x
y (z)
1z
2?
z1z2
2?
z2
izzizz ????? 2121,,1.1 则设例
?,2,1,021 ????? mmA r g z ??
?,2,1,02
22
????? nnA r g z ?
?
?,2,1,02
2
)( 21 ?????
?
?? kkzzA r g
? ? ???? knm 2
2
2
2
3
?????代入上式
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1,
定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商,
两个复数的商的辐角等于被除数与除
数的辐角之差。
证明
)(
1
2
1
2 12 ?? ??? ie
r
r
z
z
z
? Argz=Argz2-Argz1 即,
由复数除法的定义 z=z2 /z1，即 z1z = z2
∵ |z||z1|=|z2|及 Argz1+Argz=Arg z2（ z1≠0）
21 2211,?? ii erzerz ??设
设 z=re iθ，由复数的乘法定理和数学归纳法可证
明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ。
?innn erz ??? ?由定义得
2.复数的 乘幂
定义 n个相同的复数 z 的乘积，称为 z 的 n次幂,
记作 z n，即 z n=z?z???z（ 共 n个）。
.
1
n
n
z
z ??
定义
特别：当 |z|=1时，即,zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
一棣模佛 (De Moivre)公式。
问题 给定复数 z=re i ?，求所有的满足 ωn=z 的
复数 ω。
n z??记
,,ze ni ?? ??? ? 由设 ??? iinn ree ?有
)(2,Zkknrn ????? ????
3.复数的 方根 （开方） ——乘方的逆运算
当 z≠0时，有 n个不同的 ω值与 相对应，每一
个这样的 ω值都称为 z 的 n次方根,
n z
n
ki
nn erz
??
?
2?
???
)2s i n2( c o s
n
ki
n
krn ???? ????
)1,,2,1,0( ?? nk ?
? 当 k=0,1,…, n-1时，可得 n个不同的根,
而 k取其它整数时，这些根又会重复出现。
几何上, 的 n个值是
以原点为中心,为半
径的圆周上 n个等分点,
即它们是内接于该圆周
的正 n边形的 n个顶点。
n z
n r
（见图）
如
)3,2,1,0()
4
2
4
s i n
4
2
4
( c o s2
1
8
4
?
?
?
?
?
??
k
k
i
k
i
k
?
?
?
?
?
x
y
o
0?
1?
2?
3?
8 2
2
i?1
3 1:2 求例
).2,1,0(,
3
20
s i n
3
20
c o s13 ?
??
?
??
? k
k
i
k
? ?0s i n0c o s1,i???解
.
2
3
2
1
,
2
3
2
1
,1 210 ii ??????????即
? 1,区域的概念
? 2,简单曲线（或 Jordan曲线 )
? 3,单连通域与多连通域
§ 4 区 域
1,区域的概念
?邻域 复平面上以 z 0为中心，任意 δ> 0为半径的
圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
的集合称为点 z 0 的 δ（ 去心 ）邻域 。
记为 Ｕ (z0,δ) 即,
)),(( 0 ?zU ?
})0{),(( 00 ?? ???? zzzzU ?
}{),( 00 ?? ??? zzzzU
设 G是一平面上点集
内点 对任意 z0属于 G，若存在 Ｕ (z 0,δ),使该邻
域内的所有点都属于 G，则称 z 0是 G的内点。
0z
? ?
开集 若 G内的每一点都是
内点，则称 G是开集。
.的折线连接属于中任意两点均可用完全 DD连通 是指
?区域 设 D是一个开集,
且 D是连通的，称
D是一个区域。 D-区域
边界与边界点 已知点 P不属于 D，若点 P的任何
邻域中都包含 D中的点及不属于 D的点，则称 P是
D的边界点；
0z?
内点
外点
D的所有边界点组成 D的边界。
1z
2z
P
有界区域与无界区域
若存在 R > 0,对任意 z ∈ D,均有
z∈ G={z | |z|<R}，则 D是有界区域；否则无界。
?闭区域 区域 D与它的边界一起构成闭区域,.D记为
.,0
0
为半径的圆内所有的点以为圆点表示以 rz
rzz ??
.xyIm,Re 轴的直线轴和表示分别平行于?? ?? zz
.
,,
,,
.,
1020
201
几个点只是边界增加了一个或
它仍然是区域几个点如果在其中去掉一个或
组成它的边界由两个圆周
而且是有界的表示一个圆环
rzzrzz
rzzr
????
???
.0Im
,0Re
表示下半复平面
表示右半复平面
?
?
z
z
2,简单曲线（或 Jardan曲线 )
],[)()(),(
)(
)(
baCtytxbta
tyy
txx
???
??
?
?
?
?
?
、实变函数
表示为：平面上一条连续曲线可
令 z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b ;
则曲线方程可记为,z=z(t),a≤t≤b
.
0)]('[)]('[],[)(')(' 22
则称该曲线为光滑的
且、若 ??? tytxbaCtytx
有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。
重点 设连续曲线 C,z=z(t),a≤t≤b,
对于 t1∈ (a,b),t2 ∈ [a,b],当 t1≠t2时，若 z(t1)=z(t2),
称 z(t1)为曲线 C的重点。
定义 称 没有重点 的连续曲线 C为简单曲线或
Jardan曲线 ;若简单曲线 C 满足 z(a)=z(b)时，则称
此曲线 C是简单 闭 曲线或 Jordan闭 曲线 。
z(a)=z(b)
简单闭曲线
z(t1)=z(t2)
不是简单闭曲线
3,单连通域与多连通域
简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C,z=z(t),t∈ [a,b]，把复
平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有
界区域，称为 C的内部；一个是无界区域，称为
C的外部；还有一个是它们的公共边界。
z(a)=z(b)
C
内部
外部
边界
定义 复平面上的一个区域 B,
如果 B内的任何简单闭曲线的
内部总在 B内,就称 B为单连通
域；非单连通域称为多连通域。
例如 |z|<R（ R>0）是单连通的；
0≤r<|z|≤R是多连通的。
单连通域 多连通域
多连通域 单连通域
作业
P31 1（２）（４）,
２,
８（３）（４）（５）,
１４（２）（４）,
２１（４）（８）（９）
２２（３）（４）（６）
