第七讲 泰勒 (Taylor)级数
罗朗 (Laurent)级数
? 1,泰勒展开定理
? 2,展开式的唯一性
? 3,简单初等函数的泰勒展开式
§ 4.3 泰勒 (Taylor)级数
1,泰勒 (Taylor)展开定理
现在研究与此相反的问题,
一个解析函数能否用幂级数表达?
(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函
数在解析点能否用幂级数表示？）
由 § 4.2幂级数的性质知,一个幂级数的和函数在
它的收敛圆内部是一个解析函数。
以下定理给出了肯定回答,
任何 解析函数 都一定 能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
?,2,1,0)(
!
1
:
)1()()(
,
,,)(
0
)(
0
0
0
00
??
??
???
?
?
?
?
nzf
n
c
zzczf
Rzz
DzRDzDzf
n
n
n
n
n
其中
时当上各点的最短距离
的边界到为内解析在区域设
级数的
处在
T a y l o r
zzf 0)(
D
k
?
0z ? ?
rzk
d
z
f
i
zf
n
c
k n
n
n
??
?
?? ?
?
0
1
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:
)(
2
1
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!
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?
?
分析,
代入 (1)得
D
k
?
0z
( * ))(
)(
)()(
)2),1 0
0
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0
n
n
n zzz
f
z
f
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?
有，比较
)2
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2
1
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k
d
z
f
i
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?
又
)1)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
)(
!
)(
)(
0
0
1
0
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01
0
0
0
0
)(
0
0
? ?
? ?
??
?
?
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k
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
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z
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zzd
z
f
i
zz
n
zf
zzc
?
?
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?
?
?
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z
)2()()(1
11
0
02
0
0
0
0
0
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?
?
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?
?
?
?
??
?
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?
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?
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?
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? ?? n
z
zz
z
zz
z
zz
zz ?????
,
1
11
)(
11
0
0000
z
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
注意到
,1
0
0 ??
?
?
q
z
zz
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? 0 0
0
0 )(
)()()(
n
n
n
z
zz
z
f
z
f
??
?
?
?
故
---(*)得证！
n
n
n zzz
f
)(
)(
)(
0
0
1
0
?
?
? ?
?
?
??
?
证明
(不讲 )
?
?
?
?????
k
d
z
f
i
zf
C a u c h ykz
Drzrzk
?
?
?
?
???
)(
2
1
)(
:,
,}{,:
00
积分公式由内任一点为
设
,1
0
0 ??
?
?
q
z
zz
?
?
0
0000 1
11
)(
11
z
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
)3(])(
)(1[
1
0
0
2
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
z
zz
z
zz
z
zz
z
?
???
级数处的在函数
逐项积分得沿着两端乘以
T a l o rzzf
zz
n
zf
zfzf
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
k
i
f
n
n
k
n
n
k
kk
0
0
0
)(
00
1
0
0
2
0
0
0
)(
)4()(
!
)(
)(')(
)(
)(
2
)(
)(
)(
2
)(
2
1)(
2
1
)(
,,
2
)(
??
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(不讲 )
!.
)(,
,,
)4(
0
0
0
0
证毕离的边界上各点的最短距到从
级数收敛半径至少等于处的解析点
在内即可及其内部包含在只要圆
可以任意增大的半径圆的圆域
为半径为中心，的收敛范围是以级数
Dz
T a y l o rz
zfDk
rkrz
rz
?
???
证明
(不讲 )
收敛圆周上.
只能在收敛半径还可以扩
不然的话,不可能在收敛圆外,奇点又
不可能在收敛圆内.所以奇点圆内解析
在收敛这是因为在收敛圆上,
?
?
?
?
奇点因此,大,
?
,
)()2( zf
?
?
?
??
0
00
,)(
)()(
zR
zf
zRT a l o rz
zfzf
即之间的距离,的最近的一个奇点
到等于从展开式的收敛半径的
在解析点那么有奇点,若(1)
2,展开式的唯一性
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
的 Taylor级数。
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样
的展开式是否唯一？
10
1
0021 )(')()(2)(' azfzznazzaazf
n
n ?????????
? ??
?? ????????? nn zzazzazzaazf )()()()( 0202010
事实上,设 f (z)用另外的方法展开为幂级数,
导性质得，，再由幂级数的逐项 求则 00 )( azf ?
??,2,1,0)(
!
1,
0
)( ?? nzf
n
a nn依此类推得，
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是 Talor
级数，因而是唯一的。
级数为：时当 T a y l o rz,00 ?
?? ????? n
n
z
n
f
z
f
zffzf
!
)0(
!2
)0(''
)0(')0()(
)(
2
---直接法
---间接法
? 代公式
? 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开
函数展开成 Taylor级数的方法,
.
!!3!2
1
),2,1,0(1)(
32
00
)(
????
????????
???
??
R
e
n
zzz
ze
nee
z
n
z
z
z
z
nz
该级数的收敛半径
在复平面上解析?
??
??
3,简单初等函数的泰勒展开式
.
0c o s,s i n,)(
展开式
的在求 T a l o rzzzezf z ??
例 1
解
?
?
?
?
?
? ?
??
?
? ??
??
?
??
?
?
00 !
)(
!
)(
2
1
2
s i n
n
n
n
nzizi
n
zi
n
zi
ii
ee
z?
?? ???????
?
)!2(
)1(
!4!2
1
)'( s i nc o s
242
n
zzz
zz
n
n
又
??? Rzz 它们的半径在全平面上解析，co s,s i n?
??
??
?
????
?
??
?
?
?
?
?
1
121
1
1212
!)!12(
)1(
!)!12(
2
2
1
k
kk
k
kk
k
z
k
zi
i
?
??
?
??
?
?
???????
1
121753
!)!12(
)1(
!7!5!3
s i n
k
kk
k
zzzz
zz ?
? 上述求 sinz,cosz展开式的方法即为间接法,
例 2 把下列函数展开成 z 的幂级数,
)1l n ()()3(
)1(
1
)()2(
1
1
)()1( 2 zzf
z
zf
z
zf ??
?
?
?
?
解
11
1
1
)1( 2 ???????
?
zzzz
z
n ???
1)1(1
)(1
1
1
1
???????
??
?
?
? zzz
zz
nn ??
(2)由幂级数逐项求导性质得,
? ?
1)1(321
)1(1
1
1
)1(
1
112
12
2
????????
????????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
znzzz
zzz
dz
d
zdz
d
z
nn
nn
??
??
:)1(,
)1(01)3(
逐项积分得的展开式两边沿将的路径
内任意取一条从在收敛圆
cc
zzz ???
1
1
)1(
3
1
2
)1l n (
1
3
2
??
?
???????
?
z
n
z
z
z
zz
n
n ??
?? ??????
? ?? ??
z nnz zz
dzzz d zdz
z
dz
00 00
)1(
1
? (1)另一方面，因 ln(1+z)在从 z=-1向左沿负
实轴剪开的平面内解析,ln(1+z)离原点最近的一
个奇点是 -1,?它的展开式的收敛范围为 ?z?<1,
1,
1
1
,1
)1(1
1
1
)2(
2
242
2
????
?
?
???????
?
Riz
z
R
xxx
x
nn
有两个奇点在复数域中容易看出看清楚,
在实数域中的不容易为什么它的收敛半径
在实数域中
?
??
定理
.
)()()2(
.)(
)()()1(
0
0
00
幂级数内可展成
在内解析在区域函数
数某一邻域内可展成幂级
的在解析在点函数
D
zfDzf
zzc
zzfzzf
n
n
n
?
?
?
?
?
?
解析在点小结,0)( zzf
级数。的某一邻域内可展成幂在点
。正向封闭路线的积分为
邻域内的任一条的某一邻域内连续且沿在点
方程。且满足
导数的某一邻域内有连续偏的实部和虚部在点
的某一邻域内可导。在点
0
0
0
0
)()4(
0
)()3(
)()2(
)()1(
zzf
zzf
RC
zzf
zzf
?
? 1,预备知识
? 2,双边幂级数
? 3,函数展开成双边幂级数
? 4,展开式的唯一性
§ 4.4 罗朗 (Laurent)级数
由 § 4.3 知,f (z) 在 z0 解析,则 f (z)总可以 在 z0
的某一个圆域 ?z - z0?<R 内 展开成 z - z0 的幂级数。
若 f (z) 在 z0 点不解析, 在 z0的邻域中就不可能展开成
z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<?z - z0?<R2 内解析,
那么,f (z)能否用 级数表示呢？
例如,
.11010:
,1,0
)1(
1
)(
内处处解析及圆环域
但在都不解析在
?????
??
?
?
zz
zz
zz
zf
??
?
???????
?
n
z
zzz
z
2
1
1
1
zzzz
zf
z
?
??
?
?
??
1
11
)1(
1
)(
,10 时当
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
)1(1
1
1
1
)1(
1
)(
,110
zzzz
zf
z 时当
??
??
??????
??????? ????
n
n
n
n
zzczzc
czzczzczf
)()(
)()()(
001
0
1
010
由此推想，若 f (z) 在 R 1<?z - z0?<R2 内解析,f (z)
可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即
? ?
??
??
?
???????
?
?
????????
?
?
?
??
1
2
11
)1()1(1
1
1
)1()1()1(1
1
1
n
n
z
zz
z
zzz
z
本节将讨论在以 z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解
析函数在 孤立奇点 邻域内的性质以及定义 留数
和计算留数的基础。
1,预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域
---见第三章第 18题
，：、
且
作圆周：解析
内在设
RzzrDDkk
RrRzzk
rzzk
RzzRDzf
????
???
??
???
0121
02
01
201
,
,,:
,:.
:)( D
z0
R1
R2
r R
k1 k2 D1
z
有，对 1Dz ??
?
?
?
?
?
?
?
?
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
kk ?? ?
?
?
?
12
)(
2
1)(
2
1)(
2,双边幂级数 ---含有正负幂项的级数
定义 形如
)1()()(
)()()(
0010
1
0100
??
??
???????
???????
?
?
?
?
??
???
?
n
n
n
n
n
n
n
zzczzcc
zzczzczzc
---双边幂级数
正幂项 (包括常数项 )部分,
)2()()()( 0010
0
0 ?? ?????????
?
?
n
n
n
n
n zzczzcczzc
都是常数及其中 ),2,1,0(0 ????ncz n
负幂项部分,
)3()()()( 0101
1
0 ?? ???????
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n zzczzczzc
级数 (2)是一幂级数，设收敛半径为 R2, 则级数 在
?z - z0?=R2 内收敛，且和为 s(z)+; 在 ?z - z0?=R 2外发散。
则若令对于级数,
1
),3(
0zz ?
??
级数发散。级数收敛则当
设其收敛半径为为幂级数级数对变数
RR
R
?? ??
?
,
,,)4(
)4()( 221
11
0 ?? ??????? ???
?
?
?
?
?
?
? ??
n
n
n
n
n
n
n
n cccczzc ????
)4(,
11
,
1
100
则级数代回得将
令
R
R
zzzz
??
??
??
.;)(,1010 发散当且和为收敛当 － RzzzsRzz ????
z0
R1
R2
有公共收敛域
21 RR ?
z0
R2
R1
无公共收敛域
21 RR ?
。且和收敛称
，此时，区域即圆环域：
有公共收敛及时，级数当且仅当
??
??
???
???
???
?
? )()()(,)(
)3()2(
0
201
21
zszszszzc
RzzR
RR
n
n
n
.
)()4(
2010
以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可
内的在级数 RzzRzzc
n
n
n
?????
?
???
?
????
???
0
21
0
0)3(
zz
RR
：
，，
收敛域为
此时
可以可以
。,发散处处称时当 ?
??
???
??
n
n
n zzcRR )()1( 021
(2)在圆环域的边界 ?z - z0?=R1,?z - z0?=R2上,
?
??
???
?
n
n
n zzc 。点 收敛，有些点发散可能有些)( 0
3,函数展开成双边幂级数
定理
.
)'5(),2,1,0(
)(
)(
2
1
:
)5()()(
,:)(
0
1
0
0
201
的任何一条简单闭曲线内绕是
其中
则内解析在设
zDc
ndz
zz
zf
i
c
zzczf
RzzRDzf
c
n
n
n
n
n
????
?
?
??
???
?
?
?
??
???
?
级数内的在称为 La u r e n tRzzRDzf 201:)( ???
展开式内的在称为 La u r e n tRzzRDzf 201:)( ???
证明 由复连通域上的 Cauchy
积分公式,
D
z0
R1
R2
r R
k1 k2 D1
z
( * ))(
2
1)(
2
1)(
12
?
?
?
?
?
?
?
?
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
kk ?? ?
?
?
?
记为 I1 记为 I2
，时，当 1
0
0
2 ??
?
?
z
zz
k
?
??
，时，当
记为
1
0
0
1 ???
?
? q
zz
z
k
?
??
)1(*)())(
)(
)(
2
1
(
0
001
00
1
2
???
?
?
?
?
?
???
?
?
n
n
n
n
k n
n
zzczzd
z
f
i
I ?
?
?
?
的推导得：重复 3§
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
n
zz
z
zz
z
zz )(
)(
)(
1
0
1
0
2
0
0
0
??
0
0000 1
11
)(
11
zz
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
? ???
)2(*)()()(
)(
)(
2
)(
)(
)(
2
)(
)(
2
)()(
2
1
0
2
02
1
01
1
0
0
1
0
2
0
1
0
2
11
11
???
?
?????????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
n
n
k
n
n
k
kk
zzczzczzc
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
zz
df
i
zz
d
z
f
i
I
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
:,
2
)(
1 逐项积分得并沿两边乘以 ki
f
?
?
式 (*1),(*2)中系数 cn的积分分别是在 k2,k1上进
行的，在 D内取绕 z0的简单闭曲线 c，由复合闭路
定理可将 cn写成统一式子,
),2,1,0(
)(
)(
2
1
1
0
????
?
? ? ? nd
z
f
i
c
k nn
?
?
?
?
?
??
???
??
n
n
n zzczf )()( 0
证毕！
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
洛朗级数的解析部分和主要部分。
?
.
)(,
!
)(
,
,0)1(
0
)(
解析的
内不是处处在相同
形式上与高阶导数公式系数时当
czf
n
zf
c
cn
n
n
n
??
?
但
(2)在许多实际应用中，经常遇到 f (z)在奇点
z0的邻域内解析，需要把 f (z)展成级数，那么
就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
洛朗级数的解析部分和主要部分。
4,展开式的唯一性
结论 一个在某一 圆环域内解析 的函数展开为含
有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是 f (z)
的洛朗级数。
事实上,
)6()()(
:)(
0
201
?
??
???
??
???
n
n
n
zzazf
RzzRDzf
可表示为
内解析，在设
?
??
???
??
n
n
n zaf )()( 0??
D
z0
R1
R2
c c
zDc
?? ?的简单闭曲线，
内任何一条绕为设 0
的正向积分得：并沿
为任一整数
将上式两边乘以
c
P
z
P
),(
)(
1
1
0
?
??
D
z0
R1
R2
c
?
?
?
?
??
?
?
?
?
d
z
f
i
a
iad
z
ad
z
f
c
pp
p
n
c
npn
c
p
?
? ??
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
)(
)(
2
1
2
)(
1
)(
)(
解得：
.
,
级数就是
展开成级数在圆环域内解析的函数由此可知
L a u r e n t
?
??
???
??
n
n
n zaf )()( 0??
? 由唯一性，将函数展开成 Laurent级数，可
用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方
法求函数在指定圆环域内的 Laurent展开式，只有
在个别情况下，才直接采用公式 (5')求 Laurent系
数的方法。
例 1
解
展开成洛朗级数。＋在求 ??? z
z
z
0
s i n
?
?
?
?
?
?
?
0
12
)!12(
)1(1s i n
n
nn
n
z
zz
z ???? z0
?? ??????
?
?
??
?
?
????
!5!3
1
!5!3
1 4253 zzzz
z
z
.03 级数内展开成＋在将 L a ur e ntz
z
e z
???
)
!!2
1(
1
!
1 2
3
0
33 ?? ??????? ?
?
? n
zz
z
zn
z
zz
e n
n
nz
例 2
解
例 3
解
.01 级数内展成在将 La u r e ntze z ????
??? ?????? nt t
n
tte
!
1
!2
1
1 2在复平面上，
?? ??????? n
znzz
e
z
t z
!
1
!2
11
1,
1
2
1
令
)0( ???? z
?? ????????
!!4!3
1
!2
111
23 n
zz
zzz
n
例 4
级数。的内展开成
（
在以下圆环域将
L a u r e n tz
ziiiziizi
zz
zf
0
2)(;21)(;10)
)2)(1(
1
)(
0
?
????????
??
?
x
y
o 1 2
21)( ?? zii
x
y
o 1 2
???? ziii 2)(
x
y
o 1 2
10) ?? zi（
解,
zz
zf
?
?
?
?
2
1
1
1
)(
2
1
1
2
1
1
1
)(
zz
zf
?
?
?
?故
1
2
110)( ?????
z
zzi ?
?
??
?
???????
0
1
2 )
2
1
1(
8
7
4
3
2
1
n
n
n zzz ?
)
42
1(
2
1
)1(
2
2 ??? ????????? zzzzz n
没
有
奇
点
2
1
1
2
1
1
1
11
2
1
1
1
)(
z
z
zzz
zf
?
?
?
??
?
?
?
?
1
2
2 ???
z
z?又 1
1
121)( ?????
z
zzii ?
??
?
?
?
?
?
?
???
?????????
?????????
0
1
1
2
1
2
2
2
1
842
1111
)
42
1(
2
1
)
11
1(
1
n
n
n
n
n
nn
z
z
zz
zzz
zz
zzz
???
??
1
2
22)( ????????
z
zzi i i ?
z
z
z
zzz
zf
2
1
11
1
1
11
2
1
1
1
)(
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
1
00
122111
n
n
nn
n
n
n zzzzz
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?????
432
22
731
42
1
111
1
1
zzz
zzzzzz
注意首项
次积分等计算来获得。
、逐次求导、逐泰勒展开式，经过代换
基本初等函数的展开式，可以利用已知
等函数的洛朗对于无理函数及其他初)1(
(2)对于 有理函数 的 洛朗展开式，首先把有理
函数分解成多项式与若干个最简分式之和，
然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的
形式。
小结：把 f (z)展成洛朗 ( Laurent )级数的方法,
级数。域内展开成
的去心邻在以点
将
L a ur e nt
zz
zz
zf
2,1
)2)(1(
1
)(
??
??
?
解 (1) 在 (最大的 )去心邻域
例 5
y
x o 1 2
)1(1
1
1
1
2
1
1
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
zzzz
zf
???????
?
??
??
?
?? ?
?
?
2
0
)2()1(1
1
1
)1(
1
1
zz
z
z
z
n
n
110 ??? z
(2) 在 (最大的 )去心邻域
120 ??? z
x o 1 2
)2(1
1
2
1
2
1
1
1
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
zzzz
zf
???????
?
?
???
?
? ?
?
?
2
0
)2()2(1
2
1
)2()1(
2
1
zz
z
z
z
n
n
n
内展开成幂级数。
在区域将
?????
?
?
?
10)2(
,1)1(
1
1
)(
z
ze
z
zf
z
练习,
?
这与唯一性并不矛盾。
不同的区域上的展式，级数展式，这是因为在
数由许多种不同的由此可以看出同一个函)1(
(2)根据区域判别级数方式,
在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒 (Taylor)级数,
在环域内需要把 f (z)展成洛朗 ( Laurent )级数。
?
(3) Laurent级数与 Taylor 级数的不同点,
? Taylor级数先展开求 R,找出收敛域。
? Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0
为中心，奇点为分隔点，找出 z0到无穷远
点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成
级数。
作业
? P143 12(1)(3),16(2)(3)
罗朗 (Laurent)级数
? 1,泰勒展开定理
? 2,展开式的唯一性
? 3,简单初等函数的泰勒展开式
§ 4.3 泰勒 (Taylor)级数
1,泰勒 (Taylor)展开定理
现在研究与此相反的问题,
一个解析函数能否用幂级数表达?
(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函
数在解析点能否用幂级数表示？）
由 § 4.2幂级数的性质知,一个幂级数的和函数在
它的收敛圆内部是一个解析函数。
以下定理给出了肯定回答,
任何 解析函数 都一定 能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
?,2,1,0)(
!
1
:
)1()()(
,
,,)(
0
)(
0
0
0
00
??
??
???
?
?
?
?
nzf
n
c
zzczf
Rzz
DzRDzDzf
n
n
n
n
n
其中
时当上各点的最短距离
的边界到为内解析在区域设
级数的
处在
T a y l o r
zzf 0)(
D
k
?
0z ? ?
rzk
d
z
f
i
zf
n
c
k n
n
n
??
?
?? ?
?
0
1
0
0
)(
:
)(
2
1
)(
!
1
?
?
?
?
?
分析,
代入 (1)得
D
k
?
0z
( * ))(
)(
)()(
)2),1 0
0
1
0
n
n
n zzz
f
z
f
?
?
?
? ?
?
?
??
?
?
?
有，比较
)2
)(
2
1
)( ?
?
?
k
d
z
f
i
zf ?
?
?
?
又
)1)(
)(
)(
2
1
)(
)(
)(
2
1
)(
!
)(
)(
0
0
1
0
0
01
0
0
0
0
)(
0
0
? ?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
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k
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n
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zzd
z
f
i
zz
n
zf
zzc
?
?
?
?
?
?
?
?
z
)2()()(1
11
0
02
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
? ?? n
z
zz
z
zz
z
zz
zz ?????
,
1
11
)(
11
0
0000
z
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
注意到
,1
0
0 ??
?
?
q
z
zz
?
?
?
?
? ?
?
?
?
? 0 0
0
0 )(
)()()(
n
n
n
z
zz
z
f
z
f
??
?
?
?
故
---(*)得证！
n
n
n zzz
f
)(
)(
)(
0
0
1
0
?
?
? ?
?
?
??
?
证明
(不讲 )
?
?
?
?????
k
d
z
f
i
zf
C a u c h ykz
Drzrzk
?
?
?
?
???
)(
2
1
)(
:,
,}{,:
00
积分公式由内任一点为
设
,1
0
0 ??
?
?
q
z
zz
?
?
0
0000 1
11
)(
11
z
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
)3(])(
)(1[
1
0
0
2
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
z
zz
z
zz
z
zz
z
?
???
级数处的在函数
逐项积分得沿着两端乘以
T a l o rzzf
zz
n
zf
zfzf
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
k
i
f
n
n
k
n
n
k
kk
0
0
0
)(
00
1
0
0
2
0
0
0
)(
)4()(
!
)(
)(')(
)(
)(
2
)(
)(
)(
2
)(
2
1)(
2
1
)(
,,
2
)(
??
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(不讲 )
!.
)(,
,,
)4(
0
0
0
0
证毕离的边界上各点的最短距到从
级数收敛半径至少等于处的解析点
在内即可及其内部包含在只要圆
可以任意增大的半径圆的圆域
为半径为中心，的收敛范围是以级数
Dz
T a y l o rz
zfDk
rkrz
rz
?
???
证明
(不讲 )
收敛圆周上.
只能在收敛半径还可以扩
不然的话,不可能在收敛圆外,奇点又
不可能在收敛圆内.所以奇点圆内解析
在收敛这是因为在收敛圆上,
?
?
?
?
奇点因此,大,
?
,
)()2( zf
?
?
?
??
0
00
,)(
)()(
zR
zf
zRT a l o rz
zfzf
即之间的距离,的最近的一个奇点
到等于从展开式的收敛半径的
在解析点那么有奇点,若(1)
2,展开式的唯一性
结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它
的 Taylor级数。
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样
的展开式是否唯一？
10
1
0021 )(')()(2)(' azfzznazzaazf
n
n ?????????
? ??
?? ????????? nn zzazzazzaazf )()()()( 0202010
事实上,设 f (z)用另外的方法展开为幂级数,
导性质得，，再由幂级数的逐项 求则 00 )( azf ?
??,2,1,0)(
!
1,
0
)( ?? nzf
n
a nn依此类推得，
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是 Talor
级数，因而是唯一的。
级数为：时当 T a y l o rz,00 ?
?? ????? n
n
z
n
f
z
f
zffzf
!
)0(
!2
)0(''
)0(')0()(
)(
2
---直接法
---间接法
? 代公式
? 由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分
析运算和 已知函数的展开式来展开
函数展开成 Taylor级数的方法,
.
!!3!2
1
),2,1,0(1)(
32
00
)(
????
????????
???
??
R
e
n
zzz
ze
nee
z
n
z
z
z
z
nz
该级数的收敛半径
在复平面上解析?
??
??
3,简单初等函数的泰勒展开式
.
0c o s,s i n,)(
展开式
的在求 T a l o rzzzezf z ??
例 1
解
?
?
?
?
?
? ?
??
?
? ??
??
?
??
?
?
00 !
)(
!
)(
2
1
2
s i n
n
n
n
nzizi
n
zi
n
zi
ii
ee
z?
?? ???????
?
)!2(
)1(
!4!2
1
)'( s i nc o s
242
n
zzz
zz
n
n
又
??? Rzz 它们的半径在全平面上解析，co s,s i n?
??
??
?
????
?
??
?
?
?
?
?
1
121
1
1212
!)!12(
)1(
!)!12(
2
2
1
k
kk
k
kk
k
z
k
zi
i
?
??
?
??
?
?
???????
1
121753
!)!12(
)1(
!7!5!3
s i n
k
kk
k
zzzz
zz ?
? 上述求 sinz,cosz展开式的方法即为间接法,
例 2 把下列函数展开成 z 的幂级数,
)1l n ()()3(
)1(
1
)()2(
1
1
)()1( 2 zzf
z
zf
z
zf ??
?
?
?
?
解
11
1
1
)1( 2 ???????
?
zzzz
z
n ???
1)1(1
)(1
1
1
1
???????
??
?
?
? zzz
zz
nn ??
(2)由幂级数逐项求导性质得,
? ?
1)1(321
)1(1
1
1
)1(
1
112
12
2
????????
????????
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
znzzz
zzz
dz
d
zdz
d
z
nn
nn
??
??
:)1(,
)1(01)3(
逐项积分得的展开式两边沿将的路径
内任意取一条从在收敛圆
cc
zzz ???
1
1
)1(
3
1
2
)1l n (
1
3
2
??
?
???????
?
z
n
z
z
z
zz
n
n ??
?? ??????
? ?? ??
z nnz zz
dzzz d zdz
z
dz
00 00
)1(
1
? (1)另一方面，因 ln(1+z)在从 z=-1向左沿负
实轴剪开的平面内解析,ln(1+z)离原点最近的一
个奇点是 -1,?它的展开式的收敛范围为 ?z?<1,
1,
1
1
,1
)1(1
1
1
)2(
2
242
2
????
?
?
???????
?
Riz
z
R
xxx
x
nn
有两个奇点在复数域中容易看出看清楚,
在实数域中的不容易为什么它的收敛半径
在实数域中
?
??
定理
.
)()()2(
.)(
)()()1(
0
0
00
幂级数内可展成
在内解析在区域函数
数某一邻域内可展成幂级
的在解析在点函数
D
zfDzf
zzc
zzfzzf
n
n
n
?
?
?
?
?
?
解析在点小结,0)( zzf
级数。的某一邻域内可展成幂在点
。正向封闭路线的积分为
邻域内的任一条的某一邻域内连续且沿在点
方程。且满足
导数的某一邻域内有连续偏的实部和虚部在点
的某一邻域内可导。在点
0
0
0
0
)()4(
0
)()3(
)()2(
)()1(
zzf
zzf
RC
zzf
zzf
?
? 1,预备知识
? 2,双边幂级数
? 3,函数展开成双边幂级数
? 4,展开式的唯一性
§ 4.4 罗朗 (Laurent)级数
由 § 4.3 知,f (z) 在 z0 解析,则 f (z)总可以 在 z0
的某一个圆域 ?z - z0?<R 内 展开成 z - z0 的幂级数。
若 f (z) 在 z0 点不解析, 在 z0的邻域中就不可能展开成
z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1<?z - z0?<R2 内解析,
那么,f (z)能否用 级数表示呢？
例如,
.11010:
,1,0
)1(
1
)(
内处处解析及圆环域
但在都不解析在
?????
??
?
?
zz
zz
zz
zf
??
?
???????
?
n
z
zzz
z
2
1
1
1
zzzz
zf
z
?
??
?
?
??
1
11
)1(
1
)(
,10 时当
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
???
)1(1
1
1
1
)1(
1
)(
,110
zzzz
zf
z 时当
??
??
??????
??????? ????
n
n
n
n
zzczzc
czzczzczf
)()(
)()()(
001
0
1
010
由此推想，若 f (z) 在 R 1<?z - z0?<R2 内解析,f (z)
可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即
? ?
??
??
?
???????
?
?
????????
?
?
?
??
1
2
11
)1()1(1
1
1
)1()1()1(1
1
1
n
n
z
zz
z
zzz
z
本节将讨论在以 z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解
析函数在 孤立奇点 邻域内的性质以及定义 留数
和计算留数的基础。
1,预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域
---见第三章第 18题
，：、
且
作圆周：解析
内在设
RzzrDDkk
RrRzzk
rzzk
RzzRDzf
????
???
??
???
0121
02
01
201
,
,,:
,:.
:)( D
z0
R1
R2
r R
k1 k2 D1
z
有，对 1Dz ??
?
?
?
?
?
?
?
?
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
kk ?? ?
?
?
?
12
)(
2
1)(
2
1)(
2,双边幂级数 ---含有正负幂项的级数
定义 形如
)1()()(
)()()(
0010
1
0100
??
??
???????
???????
?
?
?
?
??
???
?
n
n
n
n
n
n
n
zzczzcc
zzczzczzc
---双边幂级数
正幂项 (包括常数项 )部分,
)2()()()( 0010
0
0 ?? ?????????
?
?
n
n
n
n
n zzczzcczzc
都是常数及其中 ),2,1,0(0 ????ncz n
负幂项部分,
)3()()()( 0101
1
0 ?? ???????
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n zzczzczzc
级数 (2)是一幂级数，设收敛半径为 R2, 则级数 在
?z - z0?=R2 内收敛，且和为 s(z)+; 在 ?z - z0?=R 2外发散。
则若令对于级数,
1
),3(
0zz ?
??
级数发散。级数收敛则当
设其收敛半径为为幂级数级数对变数
RR
R
?? ??
?
,
,,)4(
)4()( 221
11
0 ?? ??????? ???
?
?
?
?
?
?
? ??
n
n
n
n
n
n
n
n cccczzc ????
)4(,
11
,
1
100
则级数代回得将
令
R
R
zzzz
??
??
??
.;)(,1010 发散当且和为收敛当 － RzzzsRzz ????
z0
R1
R2
有公共收敛域
21 RR ?
z0
R2
R1
无公共收敛域
21 RR ?
。且和收敛称
，此时，区域即圆环域：
有公共收敛及时，级数当且仅当
??
??
???
???
???
?
? )()()(,)(
)3()2(
0
201
21
zszszszzc
RzzR
RR
n
n
n
.
)()4(
2010
以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可
内的在级数 RzzRzzc
n
n
n
?????
?
???
?
????
???
0
21
0
0)3(
zz
RR
：
，，
收敛域为
此时
可以可以
。,发散处处称时当 ?
??
???
??
n
n
n zzcRR )()1( 021
(2)在圆环域的边界 ?z - z0?=R1,?z - z0?=R2上,
?
??
???
?
n
n
n zzc 。点 收敛，有些点发散可能有些)( 0
3,函数展开成双边幂级数
定理
.
)'5(),2,1,0(
)(
)(
2
1
:
)5()()(
,:)(
0
1
0
0
201
的任何一条简单闭曲线内绕是
其中
则内解析在设
zDc
ndz
zz
zf
i
c
zzczf
RzzRDzf
c
n
n
n
n
n
????
?
?
??
???
?
?
?
??
???
?
级数内的在称为 La u r e n tRzzRDzf 201:)( ???
展开式内的在称为 La u r e n tRzzRDzf 201:)( ???
证明 由复连通域上的 Cauchy
积分公式,
D
z0
R1
R2
r R
k1 k2 D1
z
( * ))(
2
1)(
2
1)(
12
?
?
?
?
?
?
?
?
d
z
f
i
d
z
f
i
zf
kk ?? ?
?
?
?
记为 I1 记为 I2
，时，当 1
0
0
2 ??
?
?
z
zz
k
?
??
，时，当
记为
1
0
0
1 ???
?
? q
zz
z
k
?
??
)1(*)())(
)(
)(
2
1
(
0
001
00
1
2
???
?
?
?
?
?
???
?
?
n
n
n
n
k n
n
zzczzd
z
f
i
I ?
?
?
?
的推导得：重复 3§
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
n
zz
z
zz
z
zz )(
)(
)(
1
0
1
0
2
0
0
0
??
0
0000 1
11
)(
11
zz
zzzzzzz
?
?
?
?
?
???
?
? ???
)2(*)()()(
)(
)(
2
)(
)(
)(
2
)(
)(
2
)()(
2
1
0
2
02
1
01
1
0
0
1
0
2
0
1
0
2
11
11
???
?
?????????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
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??
n
n
k
n
n
k
kk
zzczzczzc
d
z
f
i
zz
d
z
f
i
zz
df
i
zz
d
z
f
i
I
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
:,
2
)(
1 逐项积分得并沿两边乘以 ki
f
?
?
式 (*1),(*2)中系数 cn的积分分别是在 k2,k1上进
行的，在 D内取绕 z0的简单闭曲线 c，由复合闭路
定理可将 cn写成统一式子,
),2,1,0(
)(
)(
2
1
1
0
????
?
? ? ? nd
z
f
i
c
k nn
?
?
?
?
?
??
???
??
n
n
n zzczf )()( 0
证毕！
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
洛朗级数的解析部分和主要部分。
?
.
)(,
!
)(
,
,0)1(
0
)(
解析的
内不是处处在相同
形式上与高阶导数公式系数时当
czf
n
zf
c
cn
n
n
n
??
?
但
(2)在许多实际应用中，经常遇到 f (z)在奇点
z0的邻域内解析，需要把 f (z)展成级数，那么
就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
洛朗级数的解析部分和主要部分。
4,展开式的唯一性
结论 一个在某一 圆环域内解析 的函数展开为含
有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是 f (z)
的洛朗级数。
事实上,
)6()()(
:)(
0
201
?
??
???
??
???
n
n
n
zzazf
RzzRDzf
可表示为
内解析，在设
?
??
???
??
n
n
n zaf )()( 0??
D
z0
R1
R2
c c
zDc
?? ?的简单闭曲线，
内任何一条绕为设 0
的正向积分得：并沿
为任一整数
将上式两边乘以
c
P
z
P
),(
)(
1
1
0
?
??
D
z0
R1
R2
c
?
?
?
?
??
?
?
?
?
d
z
f
i
a
iad
z
ad
z
f
c
pp
p
n
c
npn
c
p
?
? ??
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
)(
)(
2
1
2
)(
1
)(
)(
解得：
.
,
级数就是
展开成级数在圆环域内解析的函数由此可知
L a u r e n t
?
??
???
??
n
n
n zaf )()( 0??
? 由唯一性，将函数展开成 Laurent级数，可
用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方
法求函数在指定圆环域内的 Laurent展开式，只有
在个别情况下，才直接采用公式 (5')求 Laurent系
数的方法。
例 1
解
展开成洛朗级数。＋在求 ??? z
z
z
0
s i n
?
?
?
?
?
?
?
0
12
)!12(
)1(1s i n
n
nn
n
z
zz
z ???? z0
?? ??????
?
?
??
?
?
????
!5!3
1
!5!3
1 4253 zzzz
z
z
.03 级数内展开成＋在将 L a ur e ntz
z
e z
???
)
!!2
1(
1
!
1 2
3
0
33 ?? ??????? ?
?
? n
zz
z
zn
z
zz
e n
n
nz
例 2
解
例 3
解
.01 级数内展成在将 La u r e ntze z ????
??? ?????? nt t
n
tte
!
1
!2
1
1 2在复平面上，
?? ??????? n
znzz
e
z
t z
!
1
!2
11
1,
1
2
1
令
)0( ???? z
?? ????????
!!4!3
1
!2
111
23 n
zz
zzz
n
例 4
级数。的内展开成
（
在以下圆环域将
L a u r e n tz
ziiiziizi
zz
zf
0
2)(;21)(;10)
)2)(1(
1
)(
0
?
????????
??
?
x
y
o 1 2
21)( ?? zii
x
y
o 1 2
???? ziii 2)(
x
y
o 1 2
10) ?? zi（
解,
zz
zf
?
?
?
?
2
1
1
1
)(
2
1
1
2
1
1
1
)(
zz
zf
?
?
?
?故
1
2
110)( ?????
z
zzi ?
?
??
?
???????
0
1
2 )
2
1
1(
8
7
4
3
2
1
n
n
n zzz ?
)
42
1(
2
1
)1(
2
2 ??? ????????? zzzzz n
没
有
奇
点
2
1
1
2
1
1
1
11
2
1
1
1
)(
z
z
zzz
zf
?
?
?
??
?
?
?
?
1
2
2 ???
z
z?又 1
1
121)( ?????
z
zzii ?
??
?
?
?
?
?
?
???
?????????
?????????
0
1
1
2
1
2
2
2
1
842
1111
)
42
1(
2
1
)
11
1(
1
n
n
n
n
n
nn
z
z
zz
zzz
zz
zzz
???
??
1
2
22)( ????????
z
zzi i i ?
z
z
z
zzz
zf
2
1
11
1
1
11
2
1
1
1
)(
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
2
1
00
122111
n
n
nn
n
n
n zzzzz
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?????
432
22
731
42
1
111
1
1
zzz
zzzzzz
注意首项
次积分等计算来获得。
、逐次求导、逐泰勒展开式，经过代换
基本初等函数的展开式，可以利用已知
等函数的洛朗对于无理函数及其他初)1(
(2)对于 有理函数 的 洛朗展开式，首先把有理
函数分解成多项式与若干个最简分式之和，
然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的
形式。
小结：把 f (z)展成洛朗 ( Laurent )级数的方法,
级数。域内展开成
的去心邻在以点
将
L a ur e nt
zz
zz
zf
2,1
)2)(1(
1
)(
??
??
?
解 (1) 在 (最大的 )去心邻域
例 5
y
x o 1 2
)1(1
1
1
1
2
1
1
1
)(
??
?
?
??
?
?
?
?
zzzz
zf
???????
?
??
??
?
?? ?
?
?
2
0
)2()1(1
1
1
)1(
1
1
zz
z
z
z
n
n
110 ??? z
(2) 在 (最大的 )去心邻域
120 ??? z
x o 1 2
)2(1
1
2
1
2
1
1
1
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
zzzz
zf
???????
?
?
???
?
? ?
?
?
2
0
)2()2(1
2
1
)2()1(
2
1
zz
z
z
z
n
n
n
内展开成幂级数。
在区域将
?????
?
?
?
10)2(
,1)1(
1
1
)(
z
ze
z
zf
z
练习,
?
这与唯一性并不矛盾。
不同的区域上的展式，级数展式，这是因为在
数由许多种不同的由此可以看出同一个函)1(
(2)根据区域判别级数方式,
在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒 (Taylor)级数,
在环域内需要把 f (z)展成洛朗 ( Laurent )级数。
?
(3) Laurent级数与 Taylor 级数的不同点,
? Taylor级数先展开求 R,找出收敛域。
? Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0
为中心，奇点为分隔点，找出 z0到无穷远
点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成
级数。
作业
? P143 12(1)(3),16(2)(3)
