第九讲 共形映射
分式线性映射
? 1,曲线的切线
? 2,导数的几何意义
? 3,共形映射的概念
§ 1 共形映射的概念
],[)(,???? ttzzC
.移动的方向增大时点它的正向取 zt
1,曲线的切线
.
)()(
00
0
方向相同
与向量则割线的方向向量
t
tzttz
pp
?
???
，的参数分别为
对应取若
tt
PPCPPttz
,
,,,),,(,0)('
0
0000 ??? ??
设连续曲线
)(tzz ?:C
?
o x
y (z)
0P
P
方向。
增大的对应于参数割线 tpp 0
?
T
)(tzz ?:C
?
o x
y (z)
0P
P
的极限位置：割线方向 pp 0
t
tzttz
tz
t ?
???
?
??
)()(
lim)(' 00
00
.0 正向一致处的切向量且方向与在曲线— CpC
).('a r g
,
)(',
),,(,0)('
0
00
00
tz
tzzC
ttz
?
???
?
??
它的倾角就是切向量
有切线在则曲线
若
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
?
.
)(')1( 00
方向之间的夹角轴正向与
处切线的点曲线
正
在
x
zCtA r g z ??
定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线
称为有向光滑曲线,
之间的夹角.
就是它们的两条切线
两曲线正向之间的夹角
交点处
若曲线
向
正
在,
)2(
02
1
zC
C
相交于点
与曲线
:2C )(2 tzz ?
)(1 tzz ?:1C
o x
y (z)
0z
?
~~~~~~~~~~
2,解析函数 导数的几何意义 (辐角和模 )
,0)(',,)( 00 ??? zfDzDzfw 且内解析在区域设
],[)(:
:0
???? ttzzC
zD
引一条有向光滑曲线内过在
.)( 00 增大方向的曲线，正向取过点— tzfw ??
)(),( 000 tzzt ?? ??取 0)(' 0 ?tz
则
)]([:)(:
)(
tzfwwtzzCz
zfw
????
?
平面上平面上 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
0)(')(')(' 000 ?? tzzftw?
)(')(')(' 000 tAr g zzAr g ftAr g w ???
?? 记 ?
)(')(')(' 000 tA r g ztA r g wzA r g f ??即
?? ???
(1) 即
)(tzz ?:C
o
(z)
x
y
o
v
(w)
u
)]([ tzfw ?:?
)( zfw ?
?
?
'T
?
T
0z
0w
.,
))((
,
0
?记作的转动角
在点经映射原曲线间的夹角为
正向之线的切线正向与映射后曲称曲线
轴的正向相同轴与轴和轴与若视
z
zfwC
C
vyux
?
?
~~~~~~~
)(')(')(' 000 tA r g ztA r g wzA r g f ????? 即??
'T
u
?
x
T
?
0z 0
w
?
则有关及点仅与映射式由,)()1( 0zzfw ??
的几何意义( 1 ) 导数幅角 A r g f ' ( z )
.
)()0)(')(('
0
00
的转动角映射后在点
经过是曲线①
z
zfwCzfzA r gf ??
~~~~~~~~~
.
,
动角的不变性
转这种性质称为映射具有与方向无关
的形状的大小及方向与曲线转动角② C?
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
2?
.,),2,1(
)()(
)2,1(,)2,1(
21
00
0
?????
??
??
的夹角为的曲线
下映射为相交于点在变换
的夹角为在点设
i
zfwzfw
iCziC
i
ii
?
o x
y (z)
1C
2C
1?
0z
)( zfw ?
?
12 ?????
2?
1? 1?
2?
o
v
u
(w)
0w
1212
)2,1()1(
??
??
??????
???? iii有，由式
???? —— 保角性
12 ??? ??
由上述讨论我们有
??不变的性质
线间夹角的大小与方向这种映射具有保持两曲
保角性
),,(),(,,2121210
)(
210 ???????
?
CCwCCz
zfw
的过的过
的几何意义( 2 ) 模 f ' ( z )
.;
,
0
0
00
之间的弧长与上的对应点表示
之间的一段弧长与上的点表示用
且设
ww
zzCs
ewwwrezzz
ii
??
?
????????
?
?
??
1lim1lim
00
?
?
?
?
?
?
???? ??
w
s
z
z
?
)3(limlim)('
00
0 sz
s
s
w
zf
zz ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
?
的在称之为曲线 00 )(' zCzf ??,伸缩率
C
o
(z)
x
y
o
v
(w)
u
?
)( zfw ?
?0z
0w
z
z?
w
w?
s?
??
???
?
均不变处点
在同一时沿任何曲线作映射的形状方向无关
而与曲线有关及与映射易见
)('
,,
,)()(',
00
00
zfAz
f
zzfwzf
.伸缩率不变性
3,共形映射的概念
.)(
)(,
)(
00
00
是共形映射在为共形的，或称在
则称映射变性具有保角性和伸缩率不
的邻域内有定义，且在在设
zzfwz
zfw
zzzfw
?
?
?
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~
定义
.)(
)(
内是共形映射在区域
则称内每一点都是共形的，在若
Dzfw
Dzfw
?
?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
:由定义及以上分析有
为伸缩率。为转动角且
映射，保角是共形
点解析且在若
)(',)('
)()(
,0)(')(
00
00
zfzA rg f
zfw
zfzzfw
?
??
??
?
定理
? 若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对
值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映
射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映
射。
~~~~~~~~~~~~
~~
~~~~~~~~~~~~ ~~
~~~~~~~~~~~~~~~~
0)(')(
)(
0000 ???
??
zfzfwDz
Dzzfw设
（忽略高阶无穷小）
（忽略高阶无穷小）
?? )(':
)('
)('
)()(
00
)(
0
0
0
0
0
0
zfwwzz
zzfw
zf
zz
zfzf
z
w
zfw
zz
?????
????
??
?
?
?
?
?
?
?
那么圆
?又
?
射的原因.这就是为什么称共形映
? 1,分式线性映射的定义
? 2,分式线性映射的性质
§ 2 分式线性映射
1,分式线性映射的定义
定义
.,,,,是复常数其中称为分式线性映射 dcba
)1()0( ???
?
?
? bcad
dcz
baz
w映射
~~~~~~~~~~~~~
? 。是必要的0??? bcad
).(0' 常数复否则 cww ???
2)(')1( dcz
bcad
w
?
?
??
:
)2(
上有定义
数在整个扩充平面补充定义使分式线性函
.0
/
/
0
?????
?
?
?
??
???
??
wzc
zca
cdz
wc
时，定义，在
，
时
时
当
当
为双线性映射.故又称
,逆映射仍为分式线性的则,
dcz
baz
w
bcad
acw
bdw
z
dcz
baz
w
?
?
?
????
?
??
??
?
?
? 0))(()3(
~~~~~~~~~~
分式线性映射 (1)总可以分解成下述三种特殊
映射的复合,
z
wiiiaazwiibzwi
1
)()0()()( ?????
称为,平移 整线性 反演
)(
1
1
)(
)(
c
a
B
c
adbc
AB
dcz
A
dczc
adbc
c
a
c
d
zc
c
ad
b
c
d
za
w
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
? BAzd
b
z
d
a
w
dcz
baz
wc ?????
?
?
??,时当 0
，时当 0?c
事实上,
),( 复常数BA
.
1
,2
1
21
复合而成
和由 BAwdcz
dcz
baz
w ?????
?
?
?? ?
?
??
bzwi ??)(
.
2
1 是一个平移映射故 bzw
byv
bxu
???
?
?
?
??
??
azwii ?)(
.,
)(
射是旋转和伸缩合成的映倍后就得
或缩短伸长再将先转一个角度把
azww
azz
??
?? ??
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
21 ibbbiyxzivuw ??????设
)(,???? ?? ???? iii erwearez 则设
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
见图）关于圆的对称点名词介绍 (:
.
','
',
2
对称于圆周
关与则称满足
若在半直线上有两点
rz
ppropop
pp
?
??
定义
~~~~~~~~
r
o x
y
P
'P
? 规定无穷远点的对称点为圆心 o
~~~~~~~~~~~~~~~~~
' 呢的对称点找到关于圆周如何由 przp ?
.'
,','
,,
,
即互为对称点与那么
交于与的垂线
作由连接切线
作圆周的从在圆外设
pp
popTp
opToppT
pp
o
'P
T
P
z
wi i i
1
)( ? 11,1 ww
z
w ??令
?? ii e
r
wwe
rz
w ?????? 111 11
)s i n( c o s
)s i n( c o s
??
??
?
?
irrez
irrez
i
i
???
???
?
设;,1
1
11 在同一射线上与 wzrrwz ????
).()2
.1)1
1
1
见图关于实轴对称的点即得作出点
的对称点关于圆周作出点
ww
wzz ?
1
o x,u
y,v
1w
z
w
的几何作图
z
w
1
?
.1,1 对称关于 ?? zwz
2,分式线性映射的性质
.
,
性质出一般分式线性映射的
从而得射的性质先讨论以上三种特殊映
保角性)1(
的情况对于
z
wiii
1
)( ?
?? ????
?????????
wz
wzwzwz
a r g,a r g;111111
若
?
通常称为反演变换因此映射
z
w
1
?
)2§(0;0
)()(
见第一章????????
??
wzwz
zfwzfw
)0(
1
' 2 ?
?
? z
z
w?又
.,
1
,
即为一共形映射形的在扩充复平面上处处共
映射处夹角的定义后适当规定
z
w ???
)0()(),( ??? abazwiii 的复合映射对
.0)'(' 是共形映射????? abazw?
:,有以下结论而成的
三种特殊映射复合由于分式线性映射是由
（详见 P195）
~~~~~~~~~
定理 1
.,且具有保角性对应的
平面上是一一分式线性映射在扩充复
保圆性)2(
Lwlz
wCz
bazw
bazw
bazw
平面上的直线平面上的直线
平面上的圆周平面上的圆周
伸缩的合成映射旋转是平移
??
??
?
???
??,,,?
.,
,
即具有保圆性圆周
映射成在扩充复平面上把圆周
那么穷大的圆周若把直线看作是半径无
bazw ??
~~~~~~~
0,0
,
1
)(
/1/1
?? ??????? ???
?
?? zwzw
zz
z
wi i i对于
,
1
ivu
z
wiyxz ?????令
2222 yx
y
v
yx
x
u
?
?
?
?
?
2222 vu
v
y
vu
u
x
?
?
?
?
?或
得代入将
z
wiyxz
1
???
0)(:
0)(:
22
22
1
??????? ??
??????
?
acvbuvud
dcybxyxaC
z
w
?
?
?
?
?
直线直线
圆周直线
直线圆周
圆周圆周
???
???
???
??
Cda
Cda
Cda
Cda
0,0
0,0
0,0
0,
.
,
具有保圆性
那么反演变换就的圆把直线看成是半径为 ?
.,即具有保圆性平面上的圆周成扩充
平面上圆周映射分式线性映射将扩充
w
z
定理 2
保对称性)3(
.
,
,
21
21
的一对对称点是关于象圆与点
它们的象在分式线性映射下对对称点
的一平面上圆周是关于设点
?
?
ww
Czzz定理 3
? 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点
趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若
有一点映射成无穷远点，它映射成直线 。
作业
? P245 1,7,8(1)(5)
分式线性映射
? 1,曲线的切线
? 2,导数的几何意义
? 3,共形映射的概念
§ 1 共形映射的概念
],[)(,???? ttzzC
.移动的方向增大时点它的正向取 zt
1,曲线的切线
.
)()(
00
0
方向相同
与向量则割线的方向向量
t
tzttz
pp
?
???
，的参数分别为
对应取若
tt
PPCPPttz
,
,,,),,(,0)('
0
0000 ??? ??
设连续曲线
)(tzz ?:C
?
o x
y (z)
0P
P
方向。
增大的对应于参数割线 tpp 0
?
T
)(tzz ?:C
?
o x
y (z)
0P
P
的极限位置：割线方向 pp 0
t
tzttz
tz
t ?
???
?
??
)()(
lim)(' 00
00
.0 正向一致处的切向量且方向与在曲线— CpC
).('a r g
,
)(',
),,(,0)('
0
00
00
tz
tzzC
ttz
?
???
?
??
它的倾角就是切向量
有切线在则曲线
若
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
?
.
)(')1( 00
方向之间的夹角轴正向与
处切线的点曲线
正
在
x
zCtA r g z ??
定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线
称为有向光滑曲线,
之间的夹角.
就是它们的两条切线
两曲线正向之间的夹角
交点处
若曲线
向
正
在,
)2(
02
1
zC
C
相交于点
与曲线
:2C )(2 tzz ?
)(1 tzz ?:1C
o x
y (z)
0z
?
~~~~~~~~~~
2,解析函数 导数的几何意义 (辐角和模 )
,0)(',,)( 00 ??? zfDzDzfw 且内解析在区域设
],[)(:
:0
???? ttzzC
zD
引一条有向光滑曲线内过在
.)( 00 增大方向的曲线，正向取过点— tzfw ??
)(),( 000 tzzt ?? ??取 0)(' 0 ?tz
则
)]([:)(:
)(
tzfwwtzzCz
zfw
????
?
平面上平面上 ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~
0)(')(')(' 000 ?? tzzftw?
)(')(')(' 000 tAr g zzAr g ftAr g w ???
?? 记 ?
)(')(')(' 000 tA r g ztA r g wzA r g f ??即
?? ???
(1) 即
)(tzz ?:C
o
(z)
x
y
o
v
(w)
u
)]([ tzfw ?:?
)( zfw ?
?
?
'T
?
T
0z
0w
.,
))((
,
0
?记作的转动角
在点经映射原曲线间的夹角为
正向之线的切线正向与映射后曲称曲线
轴的正向相同轴与轴和轴与若视
z
zfwC
C
vyux
?
?
~~~~~~~
)(')(')(' 000 tA r g ztA r g wzA r g f ????? 即??
'T
u
?
x
T
?
0z 0
w
?
则有关及点仅与映射式由,)()1( 0zzfw ??
的几何意义( 1 ) 导数幅角 A r g f ' ( z )
.
)()0)(')(('
0
00
的转动角映射后在点
经过是曲线①
z
zfwCzfzA r gf ??
~~~~~~~~~
.
,
动角的不变性
转这种性质称为映射具有与方向无关
的形状的大小及方向与曲线转动角② C?
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
2?
.,),2,1(
)()(
)2,1(,)2,1(
21
00
0
?????
??
??
的夹角为的曲线
下映射为相交于点在变换
的夹角为在点设
i
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iCziC
i
ii
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o x
y (z)
1C
2C
1?
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2?
o
v
u
(w)
0w
1212
)2,1()1(
??
??
??????
???? iii有，由式
???? —— 保角性
12 ??? ??
由上述讨论我们有
??不变的性质
线间夹角的大小与方向这种映射具有保持两曲
保角性
),,(),(,,2121210
)(
210 ???????
?
CCwCCz
zfw
的过的过
的几何意义( 2 ) 模 f ' ( z )
.;
,
0
0
00
之间的弧长与上的对应点表示
之间的一段弧长与上的点表示用
且设
ww
zzCs
ewwwrezzz
ii
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?
?
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1lim1lim
00
?
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?
?
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?
?
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?
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的在称之为曲线 00 )(' zCzf ??,伸缩率
C
o
(z)
x
y
o
v
(w)
u
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)( zfw ?
?0z
0w
z
z?
w
w?
s?
??
???
?
均不变处点
在同一时沿任何曲线作映射的形状方向无关
而与曲线有关及与映射易见
)('
,,
,)()(',
00
00
zfAz
f
zzfwzf
.伸缩率不变性
3,共形映射的概念
.)(
)(,
)(
00
00
是共形映射在为共形的，或称在
则称映射变性具有保角性和伸缩率不
的邻域内有定义，且在在设
zzfwz
zfw
zzzfw
?
?
?
~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~
定义
.)(
)(
内是共形映射在区域
则称内每一点都是共形的，在若
Dzfw
Dzfw
?
?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
:由定义及以上分析有
为伸缩率。为转动角且
映射，保角是共形
点解析且在若
)(',)('
)()(
,0)(')(
00
00
zfzA rg f
zfw
zfzzfw
?
??
??
?
定理
? 若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对
值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映
射。从而，定义中的共形映射称为第一类共形映
射。
~~~~~~~~~~~~
~~
~~~~~~~~~~~~ ~~
~~~~~~~~~~~~~~~~
0)(')(
)(
0000 ???
??
zfzfwDz
Dzzfw设
（忽略高阶无穷小）
（忽略高阶无穷小）
?? )(':
)('
)('
)()(
00
)(
0
0
0
0
0
0
zfwwzz
zzfw
zf
zz
zfzf
z
w
zfw
zz
?????
????
??
?
?
?
?
?
?
?
那么圆
?又
?
射的原因.这就是为什么称共形映
? 1,分式线性映射的定义
? 2,分式线性映射的性质
§ 2 分式线性映射
1,分式线性映射的定义
定义
.,,,,是复常数其中称为分式线性映射 dcba
)1()0( ???
?
?
? bcad
dcz
baz
w映射
~~~~~~~~~~~~~
? 。是必要的0??? bcad
).(0' 常数复否则 cww ???
2)(')1( dcz
bcad
w
?
?
??
:
)2(
上有定义
数在整个扩充平面补充定义使分式线性函
.0
/
/
0
?????
?
?
?
??
???
??
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zca
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wc
时，定义，在
，
时
时
当
当
为双线性映射.故又称
,逆映射仍为分式线性的则,
dcz
baz
w
bcad
acw
bdw
z
dcz
baz
w
?
?
?
????
?
??
??
?
?
? 0))(()3(
~~~~~~~~~~
分式线性映射 (1)总可以分解成下述三种特殊
映射的复合,
z
wiiiaazwiibzwi
1
)()0()()( ?????
称为,平移 整线性 反演
)(
1
1
)(
)(
c
a
B
c
adbc
AB
dcz
A
dczc
adbc
c
a
c
d
zc
c
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b
c
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w
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??
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?
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??
?
???
? BAzd
b
z
d
a
w
dcz
baz
wc ?????
?
?
??,时当 0
，时当 0?c
事实上,
),( 复常数BA
.
1
,2
1
21
复合而成
和由 BAwdcz
dcz
baz
w ?????
?
?
?? ?
?
??
bzwi ??)(
.
2
1 是一个平移映射故 bzw
byv
bxu
???
?
?
?
??
??
azwii ?)(
.,
)(
射是旋转和伸缩合成的映倍后就得
或缩短伸长再将先转一个角度把
azww
azz
??
?? ??
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
21 ibbbiyxzivuw ??????设
)(,???? ?? ???? iii erwearez 则设
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
见图）关于圆的对称点名词介绍 (:
.
','
',
2
对称于圆周
关与则称满足
若在半直线上有两点
rz
ppropop
pp
?
??
定义
~~~~~~~~
r
o x
y
P
'P
? 规定无穷远点的对称点为圆心 o
~~~~~~~~~~~~~~~~~
' 呢的对称点找到关于圆周如何由 przp ?
.'
,','
,,
,
即互为对称点与那么
交于与的垂线
作由连接切线
作圆周的从在圆外设
pp
popTp
opToppT
pp
o
'P
T
P
z
wi i i
1
)( ? 11,1 ww
z
w ??令
?? ii e
r
wwe
rz
w ?????? 111 11
)s i n( c o s
)s i n( c o s
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??
?
?
irrez
irrez
i
i
???
???
?
设;,1
1
11 在同一射线上与 wzrrwz ????
).()2
.1)1
1
1
见图关于实轴对称的点即得作出点
的对称点关于圆周作出点
ww
wzz ?
1
o x,u
y,v
1w
z
w
的几何作图
z
w
1
?
.1,1 对称关于 ?? zwz
2,分式线性映射的性质
.
,
性质出一般分式线性映射的
从而得射的性质先讨论以上三种特殊映
保角性)1(
的情况对于
z
wiii
1
)( ?
?? ????
?????????
wz
wzwzwz
a r g,a r g;111111
若
?
通常称为反演变换因此映射
z
w
1
?
)2§(0;0
)()(
见第一章????????
??
wzwz
zfwzfw
)0(
1
' 2 ?
?
? z
z
w?又
.,
1
,
即为一共形映射形的在扩充复平面上处处共
映射处夹角的定义后适当规定
z
w ???
)0()(),( ??? abazwiii 的复合映射对
.0)'(' 是共形映射????? abazw?
:,有以下结论而成的
三种特殊映射复合由于分式线性映射是由
（详见 P195）
~~~~~~~~~
定理 1
.,且具有保角性对应的
平面上是一一分式线性映射在扩充复
保圆性)2(
Lwlz
wCz
bazw
bazw
bazw
平面上的直线平面上的直线
平面上的圆周平面上的圆周
伸缩的合成映射旋转是平移
??
??
?
???
??,,,?
.,
,
即具有保圆性圆周
映射成在扩充复平面上把圆周
那么穷大的圆周若把直线看作是半径无
bazw ??
~~~~~~~
0,0
,
1
)(
/1/1
?? ??????? ???
?
?? zwzw
zz
z
wi i i对于
,
1
ivu
z
wiyxz ?????令
2222 yx
y
v
yx
x
u
?
?
?
?
?
2222 vu
v
y
vu
u
x
?
?
?
?
?或
得代入将
z
wiyxz
1
???
0)(:
0)(:
22
22
1
??????? ??
??????
?
acvbuvud
dcybxyxaC
z
w
?
?
?
?
?
直线直线
圆周直线
直线圆周
圆周圆周
???
???
???
??
Cda
Cda
Cda
Cda
0,0
0,0
0,0
0,
.
,
具有保圆性
那么反演变换就的圆把直线看成是半径为 ?
.,即具有保圆性平面上的圆周成扩充
平面上圆周映射分式线性映射将扩充
w
z
定理 2
保对称性)3(
.
,
,
21
21
的一对对称点是关于象圆与点
它们的象在分式线性映射下对对称点
的一平面上圆周是关于设点
?
?
ww
Czzz定理 3
? 在分式线性映射下，圆周或直线上没有点
趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若
有一点映射成无穷远点，它映射成直线 。
作业
? P245 1,7,8(1)(5)
