第八讲 留数
? 1,定义
? 2,分类
? 3,性质
? 4,零点与极点的关系
§ 5.1 孤立奇点
1,定义
例如
zezf
1)( ? ----z=0为孤立奇点
z
zf
1
s i n
1
)( ?
----z=0及 z=1/n? (n = ?1,?2,… )都是它的 奇点
1
1
)(
?
?
z
zf
----z=1为孤立奇点
定义
.)(,0
,)(
00
00
的孤立奇点为则称内解析
的某个去心邻域但在处不解析在若
zfzzz
zzzf
???? ~~~~~~~~~
x
y
o
这说明奇点未
必是孤立的。
的奇点存在，总有邻域内
不论多么小的去心在但
)(,
0,0
1
l i m
zf
z
nn
???
?? ?
?
的孤立奇点。
不是故
z
z
1
s i n
1
0?
2,分类
以下将 f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根
据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。 考察,
?? ?
?
??????
)!12(
)1(
!5!3
1
s i n
)1(
242
n
zzz
z
z nn
特点,没有负幂次项
?? ????????
???
?
???
?
?? !!211!!1)2(
1
0
1
0 n
zz
zn
z
n
z
zz
e n
n
n
n
nz
特点,只有有限多个负幂次项
?? ?????? ??? nz
n
zze z
!
1
!2
1
1)3( 21
1
特点,有无穷多个负幂次项
定义 设 z0是 f (z)的一个孤立奇点，在 z0 的去心邻域内,
若 f (z)的洛朗级数
?
?
?
??
0
0 )()()(
n
n
n zzczfi
没有负幂次项，称 z=z0为可去奇点 ;
)1,0()()()( 0 ???? ?
?
??
? mczzczfii m
mn
n
n
只有有限多个负幂次项，称 z=z0为 m 级极点 ;
?
?
???
??
n
n
n zzczfiii )()()( 0
有无穷多个负幂次项，称 z=z0为本性奇点。
~~~~~~~~
~~~~~~~~
~~~~~~~~
3,性质
.)()( 000 解析在补充定义,zzfczf ?
0
0
0 )(l i m)()(
0
czfzzczf
zz
n
n
n ????? ?
??
?
?
? 若 z0为 f (z)的可去奇点
)1,0()()( 0 ????? ?
??
??
? mczzczf m
mn
n
n
? 若 z0为 f (z)的 m (m ? 1) 级极点
)(
)(
1
)()(l i m
00
zg
zz
zfzf m
zz ?
?????
?
.0)()(
,)()()(:
00
2
0201
???
?????? ?????
zgzzzg
zzczzcczg mmm
内是解析函数且在
其中
?
?
42
2
)1)(1(
23
)(
??
??
?
zz
zz
zf
例如,
z=1为 f (z)的一个三级极点,z=?i为 f (z)的一级极点。
??
?
??
不存在，也不为
负幂次项的洛朗级数有无穷多项
)(lim
)(
zf
zf
n
? 若 z0为 f (z)的本性奇点
4,零点与极点的关系
定义 不恒等于 0的解析函数 f (z)如果能表示成
)()()( 0 zzzzf m ???
Nmzzz ??,)(,0)( 00 点解析在其中,??
则称 z=z0为 f (z) 的 m 级零点。
与三级零点。
的一级分别是与 3)1()(10 ???? zzzfzz
例如,
0)()()( 00
0
0 ???? ?
??
?
zczzcz
n
n
n ???
),)(,0)(( 00 Nmzzz ?? 点解析在??
.0)()1,,2,1,0(0)(
)()()(
0
)(
0
)(
0
?????
??
zfmnzf
zzzzf
mn
m
?
?定理
事实上,
必要性得证！
?
??
?
????
0
0 )()(
n
mn
n zzczf
0
!
)(
),1,,2,1,0(0)(
:
0
0
)(
0
)(
??
???
c
m
zf
mnzf
T a y l o r
m
n
而
级数的系数公式有由
?
充分性略！
的零点。均为与 3)1()(10 ???? zzzfzz
例如
zzzzf 6)1(6)1(12)(''' ?????
23 )1(3)1()(' ???? zzzzf又
0)1(' ?f?
)1(6)1(6)(" 2 ???? zzzzf
为一级零点0
0)1()0(' 3
??
???
z
f?
为三级零点1?? z
06)1(''' ??f0)1('' ?f
级极点的是若 mzfz )(0
定理,
.
)(
1
0 级零点的是 mzfz?
证明
)(
)(
1
)(
0
zg
zz
zf m
?
??
“?” 若 z0为 f (z)的 m 级极点
? ?0)(,)( 00 ?zgzzg 且解析在
)()()(
)(
1)(
)(
1
000 zzzhzzzgzzzf
mm ??????
? ?,0)(,)( 00 ?zhzzh 且解析在
，令 0
)(
1,0
)(
1l i m
00
???
? zfzfzz
?,
)(
1
0 级零点的是则 mzfz
则级零点的是”若“,
)(
1
0 mzfz?
)()(
)(
1
0 zzzzf
m ??? ? ?,0)(,)( 00 ?zzz ?? 且解析在
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
00
0 zzzzzzzfzz mm ?? ????? 时，当
? ?,0)(,)( 00 ?zzz ?? 且解析在
.)(0 级极点的是 mzfz?
。如果是极点指出它的级
的奇点，求
)1)(1(
)(
2 z
ez
z
zf
?
??
?例
解 显然,z=?i 是 (1+z2)的一级零点
?
?
,2,1,0)12(
)12()2()1(
1,01
?????
???????
????
kikz
ikkiLnz
ee
k
zz
故奇点为：
即
????
??
0)]12(s i n)12([ c o s
)'1(
)12()12(
???????
??
????
????
? ??
kik
ee
kiz
z
kiz
z?
的一级零点是 zk ekkiz ???????? 1),2,1,0()12( ?
.
)(),2,1()12(;)(
一级极点
的为
的二级极点为
zfkkiz
zfiz
k
?????
??
综合
级数。如果是极点，指出它的
孤立奇点，奇点类型，练习：考察下列函数的
)1(
1
)()1( 2
?
? z
ez
zf
z
z
zf
)1l n (
)()2(
?
?
1
1
)()5( 23
???
?
zzz
zf
zz
zf
s i n
1
)()6(
?
?
1
1
)()7( ?? zezf
? ? 3
22
s i n
)2()1(
)()8(
z
zz
zf
?
??
?
? ? 22 1
1
)()3(
?
?
zz
zf 3
s i n
)()4(
z
z
zf ?
? 1,留数的定义
? 2,留数定理
? 3,留数的计算规则
§ 5.2 留数 (Residue)
1,留数的定义
rzzzzczf
n
n
n ????? ?
??
???
00 0,)()(设
?? ?? ?
?
?
cc
ic
zz
dz
cdzzf
c
1
0
1
2)( ?
逐项积分得：线对上式两边沿简单闭曲
),)(( 00 在其内部包含的孤立奇点是 zczfz
?
?
?
??
的奇点所围成的区域内含有未必为
所围成的区域内解析在
)(0
)(0
)(
zfc
czf
dzzf
c
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点,f (z) 在 z0 邻域内
的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 f (z)
在 z0 的 留数,记作 Res [f (z),z0] 或 Res f (z0)。
由留数定义,Res [f (z),z0]= c–1 (1)
)2()(
2
1
]),([Re 10 dzzf
i
czzfs
c?
?? ?
?
故
2,留数定理
)3(]),([Re2)(
,
)(,,,,,
)(,
1
21
??
?
?
n
k
k
c
n
zzfsidzzf
cc
zfzzz
czfc
?
则上解析内及在
除此以外有限个孤立奇点
内有在函数是一条简单闭曲线设
?
定理
,),2,1(
,
围绕内孤立奇点将
曲线互不相交的正向简单闭用互不包含
k
k
zcnk
c
??
证明
D
c
zn
z1
z3 z2
?
? ??
?
?
?
?
n
k
k
n
k
cc
zzfs
dzzf
i
dzzf
i k
1
1
]),([Re
)(
2
1
)(
2
1
??
???? ????
ncccc
dzzfdzzfdzzfdzzf )()()()(
21
?
由复合闭路定理得,
用 2?i 除上式两边得,
??
?
?
n
k
kc zzfsidzzf
1
]),([Re2)( ?故
得证！
? 求沿闭曲线 c的积分，归之为求在 c中各孤立
奇点的留数。
一般求 Res [f (z),z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内
展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道
奇点的类型，对求留数更为有利。
0]),([Re0)( 010 ????? ? zzfsczzi 为可去奇点若
以下就三类孤立奇点进行讨论,
3,留数的计算规则
规则
有以下几条为极点时，求若 ]),([Re)( 00 zzfszzi i i ?
规则 I
)4()()(l i m]),([Re
,)(
00
0
0
zfzzzzfs
zfz
zz
??
?
?
的一级极点是若
?级极点的是若 mzfz )(0规则 II
? ? )5()()(l i m
)!1(
1
]),([Re 01
1
0
0
zfzz
dz
d
m
zzfs mm
m
zz
?
?
? ?
?
?
10
00
]),([Re
)()()(
?
??
??
??
???? ?
czzfs
zzczfzzii
n
n
展开
为本性奇点若
事实上,由条件
)0(,)(
)()()()(
010
1
01
2
020
?????
???????
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
czzcc
zzczzczzczf
?
?
得乘上式两边以,)( 0 mzz ?
?
?
???
??????? ?????
m
m
mm
m
zzc
zzczzcczfzz
)(
)()()()(
00
1
01010
???????
?
??
?
)(!)!1()}(){(
1
0101
1
zzmcmzfzz
dz
d
m
m
m
m
阶导数得两边求
? ?,)5(,)!1()()(lim 101
1
0
式移项得??
?
?
??? cmzfzz
dz
d m
m
m
zz
? 当 m=1时，式 (5)即为式 (4),
)6(
)('
)(
]),([Re,)(
0)(',0)(,0)(
,)(),(
)(
)(
)(
0
0
00
000
0
zQ
zP
zzfszfz
zQzQzP
zzQzP
zQ
zP
zf
?
????
?
且的一级极点是
处解析在设
规则 III
事实上,
,
)(
1
,)(
0)('0)(
00
00
的一级极点为从而的一级零点为
及
zQ
zzQz
zQzQ
?
???
? ?0)()()(1
)(
1
,00
0
?
?
? zzzz
zzzQ
??? 处解析且在因此
),0)(
,)()()(()(
1
)(
0
0
0
?
?
?
?
zg
zzPzzgzg
zz
zf
且
解析在故 ?
? ? 得证！0)('
)('
)(
)()(
)(
lim
)()(lim]),([Re
0
0
0
0
0
00
0
0
??
?
?
?
??
?
?
zQ
zQ
zP
zz
zQzQ
zP
zfzzzzfs
zz
zz
?? 由规则级极点的为则,)(0 zfz
? ? ??2 2)1( 25,z dzzz z计算
例 1
解
10
2
)1(
25
)(
2
??
?
?
?
?
zz
z
zz
z
zf
和一个二级极点极点
的内部有一个一级在
2
)1(
25l i m)(l i m]0),([Re
200 ???
???
?? z
zzzfzfs
zz
?由规则
}
)1(
25
)1{(
)!12(
1
l i m]1),([Re 22
1 ?
?
?
?
?
? zz
z
z
dz
d
zfs
z
II由规则
2
2
l i m)'
25
(l i m 2
11
??
?
?
?? zz
z
zz
0]1),([Re2]0),([Re2)(
2
???? ?
?
zfsizfsidzzf
z
??
2:
14
?
??
zcdz
z
z
c
正向计算例 2
解
内，都在圆周个一级极点有 cizf ??,1:4)(?
23 4
1
4)('
)(
zz
z
zQ
zP
?????由规则
0
4
1
4
1
4
1
4
1
2
]}),([Re]),([Re
]1),([Re]1),([{ R e2
1
4
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
i
izfsizfs
zfszfsi
dz
z
z
c
?
?
故
? ? 1 3
c o s
z
dz
z
z
计算
例 3
解
的三级极点有一个 0
c o s
)( 3 ?? z
z
z
zf
iizfsidz
z
z
z
??? ?????? ?
?
)
2
1
(2]0),([Re2
c o s
1 3
2
1
')'( c o sl i m
2
1
)]([
)!13(
1
l i m]0),([Re
0
3
2
2
0
???
?
?
??
?
?
z
zfz
dz
d
zfs
z
z
由规则
)(t a n Nnz d z
nz
??
?
?计算
例 4
解
),2,1,0(
2
1
,
2
0c o s
c o s
s i n
t a n
????????
??
kkzkz
z
z
z
z
即解得
令
?
??
?
?
?
?
0c s c)'( c o t
2
121
2 ???
???? kzkz
zz ????
得由规则为一级极点 III,
2
1
??? kz
),1,0(
1
)'( c o s
s i n
2
1
,t a nRe
2
1
???????
?
?
?
?
?
?
??
k
z
z
kzs
kz
??
?
?
? ? ninikzsizd z
nk
nz
4
2
2,t a nRe2t a n
2
1
2
1 ???
?
?
?
?
?
???? ??
??
? ?
????
故 由留数定理得,
? (1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留
数，不要死套规则。
6
s i n
)(
)()(
z
zz
zQ
zPzf ???
,)(0
01c o s)0("'0s i n)0("
0)c o s1()0('0)0(
00
0
的三级零点是
由于
zpz
zpzp
zpp
zz
z
??
?????
????
??
?
如
是 f (z)的三级极点 。
:)( 级数展开作若将 L a u r en tzf
"
s i n
l i m
)!13(
1
0,
s i n
Re 3
06 ??
?
??
? ?
?
??
?
?
??
? ?
??
? z
zz
z
zz
s
z
由规则
!5
1
0,
s i n
Re 6 ???
?
?
??
? ?
?
z
zz
s
?
?
???
?????
?
zz
zzzz
zz
zz
1
!5
11
!3
1
)]
!5
1
!3
1
([
1s i n
3
53
66
---该方法较规则 II更简单！
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
? ?
? 6
6
5
5
06
s i n
l i m
)!16(
1
0,
s i n
Re
z
zz
z
dz
d
z
zz
s
z
? (2) 由规则 II 的推导过程知，在使用规则 II
时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更
简单。
如
!5
1
)c o s(l i m
!5
1
)s i n(l i m
!5
1
05
5
0
??????
??
zzz
dz
d
zz
作 业
P147 1（ 1）（ 4）（ 7）
8（ 2）（ 4）（ 6）（ 8）
9（ 1）（ 2）（ 5）
? 1,定义
? 2,分类
? 3,性质
? 4,零点与极点的关系
§ 5.1 孤立奇点
1,定义
例如
zezf
1)( ? ----z=0为孤立奇点
z
zf
1
s i n
1
)( ?
----z=0及 z=1/n? (n = ?1,?2,… )都是它的 奇点
1
1
)(
?
?
z
zf
----z=1为孤立奇点
定义
.)(,0
,)(
00
00
的孤立奇点为则称内解析
的某个去心邻域但在处不解析在若
zfzzz
zzzf
???? ~~~~~~~~~
x
y
o
这说明奇点未
必是孤立的。
的奇点存在，总有邻域内
不论多么小的去心在但
)(,
0,0
1
l i m
zf
z
nn
???
?? ?
?
的孤立奇点。
不是故
z
z
1
s i n
1
0?
2,分类
以下将 f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根
据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。 考察,
?? ?
?
??????
)!12(
)1(
!5!3
1
s i n
)1(
242
n
zzz
z
z nn
特点,没有负幂次项
?? ????????
???
?
???
?
?? !!211!!1)2(
1
0
1
0 n
zz
zn
z
n
z
zz
e n
n
n
n
nz
特点,只有有限多个负幂次项
?? ?????? ??? nz
n
zze z
!
1
!2
1
1)3( 21
1
特点,有无穷多个负幂次项
定义 设 z0是 f (z)的一个孤立奇点，在 z0 的去心邻域内,
若 f (z)的洛朗级数
?
?
?
??
0
0 )()()(
n
n
n zzczfi
没有负幂次项，称 z=z0为可去奇点 ;
)1,0()()()( 0 ???? ?
?
??
? mczzczfii m
mn
n
n
只有有限多个负幂次项，称 z=z0为 m 级极点 ;
?
?
???
??
n
n
n zzczfiii )()()( 0
有无穷多个负幂次项，称 z=z0为本性奇点。
~~~~~~~~
~~~~~~~~
~~~~~~~~
3,性质
.)()( 000 解析在补充定义,zzfczf ?
0
0
0 )(l i m)()(
0
czfzzczf
zz
n
n
n ????? ?
??
?
?
? 若 z0为 f (z)的可去奇点
)1,0()()( 0 ????? ?
??
??
? mczzczf m
mn
n
n
? 若 z0为 f (z)的 m (m ? 1) 级极点
)(
)(
1
)()(l i m
00
zg
zz
zfzf m
zz ?
?????
?
.0)()(
,)()()(:
00
2
0201
???
?????? ?????
zgzzzg
zzczzcczg mmm
内是解析函数且在
其中
?
?
42
2
)1)(1(
23
)(
??
??
?
zz
zz
zf
例如,
z=1为 f (z)的一个三级极点,z=?i为 f (z)的一级极点。
??
?
??
不存在，也不为
负幂次项的洛朗级数有无穷多项
)(lim
)(
zf
zf
n
? 若 z0为 f (z)的本性奇点
4,零点与极点的关系
定义 不恒等于 0的解析函数 f (z)如果能表示成
)()()( 0 zzzzf m ???
Nmzzz ??,)(,0)( 00 点解析在其中,??
则称 z=z0为 f (z) 的 m 级零点。
与三级零点。
的一级分别是与 3)1()(10 ???? zzzfzz
例如,
0)()()( 00
0
0 ???? ?
??
?
zczzcz
n
n
n ???
),)(,0)(( 00 Nmzzz ?? 点解析在??
.0)()1,,2,1,0(0)(
)()()(
0
)(
0
)(
0
?????
??
zfmnzf
zzzzf
mn
m
?
?定理
事实上,
必要性得证！
?
??
?
????
0
0 )()(
n
mn
n zzczf
0
!
)(
),1,,2,1,0(0)(
:
0
0
)(
0
)(
??
???
c
m
zf
mnzf
T a y l o r
m
n
而
级数的系数公式有由
?
充分性略！
的零点。均为与 3)1()(10 ???? zzzfzz
例如
zzzzf 6)1(6)1(12)(''' ?????
23 )1(3)1()(' ???? zzzzf又
0)1(' ?f?
)1(6)1(6)(" 2 ???? zzzzf
为一级零点0
0)1()0(' 3
??
???
z
f?
为三级零点1?? z
06)1(''' ??f0)1('' ?f
级极点的是若 mzfz )(0
定理,
.
)(
1
0 级零点的是 mzfz?
证明
)(
)(
1
)(
0
zg
zz
zf m
?
??
“?” 若 z0为 f (z)的 m 级极点
? ?0)(,)( 00 ?zgzzg 且解析在
)()()(
)(
1)(
)(
1
000 zzzhzzzgzzzf
mm ??????
? ?,0)(,)( 00 ?zhzzh 且解析在
，令 0
)(
1,0
)(
1l i m
00
???
? zfzfzz
?,
)(
1
0 级零点的是则 mzfz
则级零点的是”若“,
)(
1
0 mzfz?
)()(
)(
1
0 zzzzf
m ??? ? ?,0)(,)( 00 ?zzz ?? 且解析在
)(
)(
1
)(
1
)(
1
)(
00
0 zzzzzzzfzz mm ?? ????? 时，当
? ?,0)(,)( 00 ?zzz ?? 且解析在
.)(0 级极点的是 mzfz?
。如果是极点指出它的级
的奇点，求
)1)(1(
)(
2 z
ez
z
zf
?
??
?例
解 显然,z=?i 是 (1+z2)的一级零点
?
?
,2,1,0)12(
)12()2()1(
1,01
?????
???????
????
kikz
ikkiLnz
ee
k
zz
故奇点为：
即
????
??
0)]12(s i n)12([ c o s
)'1(
)12()12(
???????
??
????
????
? ??
kik
ee
kiz
z
kiz
z?
的一级零点是 zk ekkiz ???????? 1),2,1,0()12( ?
.
)(),2,1()12(;)(
一级极点
的为
的二级极点为
zfkkiz
zfiz
k
?????
??
综合
级数。如果是极点，指出它的
孤立奇点，奇点类型，练习：考察下列函数的
)1(
1
)()1( 2
?
? z
ez
zf
z
z
zf
)1l n (
)()2(
?
?
1
1
)()5( 23
???
?
zzz
zf
zz
zf
s i n
1
)()6(
?
?
1
1
)()7( ?? zezf
? ? 3
22
s i n
)2()1(
)()8(
z
zz
zf
?
??
?
? ? 22 1
1
)()3(
?
?
zz
zf 3
s i n
)()4(
z
z
zf ?
? 1,留数的定义
? 2,留数定理
? 3,留数的计算规则
§ 5.2 留数 (Residue)
1,留数的定义
rzzzzczf
n
n
n ????? ?
??
???
00 0,)()(设
?? ?? ?
?
?
cc
ic
zz
dz
cdzzf
c
1
0
1
2)( ?
逐项积分得：线对上式两边沿简单闭曲
),)(( 00 在其内部包含的孤立奇点是 zczfz
?
?
?
??
的奇点所围成的区域内含有未必为
所围成的区域内解析在
)(0
)(0
)(
zfc
czf
dzzf
c
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点,f (z) 在 z0 邻域内
的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 f (z)
在 z0 的 留数,记作 Res [f (z),z0] 或 Res f (z0)。
由留数定义,Res [f (z),z0]= c–1 (1)
)2()(
2
1
]),([Re 10 dzzf
i
czzfs
c?
?? ?
?
故
2,留数定理
)3(]),([Re2)(
,
)(,,,,,
)(,
1
21
??
?
?
n
k
k
c
n
zzfsidzzf
cc
zfzzz
czfc
?
则上解析内及在
除此以外有限个孤立奇点
内有在函数是一条简单闭曲线设
?
定理
,),2,1(
,
围绕内孤立奇点将
曲线互不相交的正向简单闭用互不包含
k
k
zcnk
c
??
证明
D
c
zn
z1
z3 z2
?
? ??
?
?
?
?
n
k
k
n
k
cc
zzfs
dzzf
i
dzzf
i k
1
1
]),([Re
)(
2
1
)(
2
1
??
???? ????
ncccc
dzzfdzzfdzzfdzzf )()()()(
21
?
由复合闭路定理得,
用 2?i 除上式两边得,
??
?
?
n
k
kc zzfsidzzf
1
]),([Re2)( ?故
得证！
? 求沿闭曲线 c的积分，归之为求在 c中各孤立
奇点的留数。
一般求 Res [f (z),z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内
展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道
奇点的类型，对求留数更为有利。
0]),([Re0)( 010 ????? ? zzfsczzi 为可去奇点若
以下就三类孤立奇点进行讨论,
3,留数的计算规则
规则
有以下几条为极点时，求若 ]),([Re)( 00 zzfszzi i i ?
规则 I
)4()()(l i m]),([Re
,)(
00
0
0
zfzzzzfs
zfz
zz
??
?
?
的一级极点是若
?级极点的是若 mzfz )(0规则 II
? ? )5()()(l i m
)!1(
1
]),([Re 01
1
0
0
zfzz
dz
d
m
zzfs mm
m
zz
?
?
? ?
?
?
10
00
]),([Re
)()()(
?
??
??
??
???? ?
czzfs
zzczfzzii
n
n
展开
为本性奇点若
事实上,由条件
)0(,)(
)()()()(
010
1
01
2
020
?????
???????
?
?
?
?
?
?
?
m
m
m
czzcc
zzczzczzczf
?
?
得乘上式两边以,)( 0 mzz ?
?
?
???
??????? ?????
m
m
mm
m
zzc
zzczzcczfzz
)(
)()()()(
00
1
01010
???????
?
??
?
)(!)!1()}(){(
1
0101
1
zzmcmzfzz
dz
d
m
m
m
m
阶导数得两边求
? ?,)5(,)!1()()(lim 101
1
0
式移项得??
?
?
??? cmzfzz
dz
d m
m
m
zz
? 当 m=1时，式 (5)即为式 (4),
)6(
)('
)(
]),([Re,)(
0)(',0)(,0)(
,)(),(
)(
)(
)(
0
0
00
000
0
zQ
zP
zzfszfz
zQzQzP
zzQzP
zQ
zP
zf
?
????
?
且的一级极点是
处解析在设
规则 III
事实上,
,
)(
1
,)(
0)('0)(
00
00
的一级极点为从而的一级零点为
及
zQ
zzQz
zQzQ
?
???
? ?0)()()(1
)(
1
,00
0
?
?
? zzzz
zzzQ
??? 处解析且在因此
),0)(
,)()()(()(
1
)(
0
0
0
?
?
?
?
zg
zzPzzgzg
zz
zf
且
解析在故 ?
? ? 得证！0)('
)('
)(
)()(
)(
lim
)()(lim]),([Re
0
0
0
0
0
00
0
0
??
?
?
?
??
?
?
zQ
zQ
zP
zz
zQzQ
zP
zfzzzzfs
zz
zz
?? 由规则级极点的为则,)(0 zfz
? ? ??2 2)1( 25,z dzzz z计算
例 1
解
10
2
)1(
25
)(
2
??
?
?
?
?
zz
z
zz
z
zf
和一个二级极点极点
的内部有一个一级在
2
)1(
25l i m)(l i m]0),([Re
200 ???
???
?? z
zzzfzfs
zz
?由规则
}
)1(
25
)1{(
)!12(
1
l i m]1),([Re 22
1 ?
?
?
?
?
? zz
z
z
dz
d
zfs
z
II由规则
2
2
l i m)'
25
(l i m 2
11
??
?
?
?? zz
z
zz
0]1),([Re2]0),([Re2)(
2
???? ?
?
zfsizfsidzzf
z
??
2:
14
?
??
zcdz
z
z
c
正向计算例 2
解
内，都在圆周个一级极点有 cizf ??,1:4)(?
23 4
1
4)('
)(
zz
z
zQ
zP
?????由规则
0
4
1
4
1
4
1
4
1
2
]}),([Re]),([Re
]1),([Re]1),([{ R e2
1
4
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
?
?
i
izfsizfs
zfszfsi
dz
z
z
c
?
?
故
? ? 1 3
c o s
z
dz
z
z
计算
例 3
解
的三级极点有一个 0
c o s
)( 3 ?? z
z
z
zf
iizfsidz
z
z
z
??? ?????? ?
?
)
2
1
(2]0),([Re2
c o s
1 3
2
1
')'( c o sl i m
2
1
)]([
)!13(
1
l i m]0),([Re
0
3
2
2
0
???
?
?
??
?
?
z
zfz
dz
d
zfs
z
z
由规则
)(t a n Nnz d z
nz
??
?
?计算
例 4
解
),2,1,0(
2
1
,
2
0c o s
c o s
s i n
t a n
????????
??
kkzkz
z
z
z
z
即解得
令
?
??
?
?
?
?
0c s c)'( c o t
2
121
2 ???
???? kzkz
zz ????
得由规则为一级极点 III,
2
1
??? kz
),1,0(
1
)'( c o s
s i n
2
1
,t a nRe
2
1
???????
?
?
?
?
?
?
??
k
z
z
kzs
kz
??
?
?
? ? ninikzsizd z
nk
nz
4
2
2,t a nRe2t a n
2
1
2
1 ???
?
?
?
?
?
???? ??
??
? ?
????
故 由留数定理得,
? (1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留
数，不要死套规则。
6
s i n
)(
)()(
z
zz
zQ
zPzf ???
,)(0
01c o s)0("'0s i n)0("
0)c o s1()0('0)0(
00
0
的三级零点是
由于
zpz
zpzp
zpp
zz
z
??
?????
????
??
?
如
是 f (z)的三级极点 。
:)( 级数展开作若将 L a u r en tzf
"
s i n
l i m
)!13(
1
0,
s i n
Re 3
06 ??
?
??
? ?
?
??
?
?
??
? ?
??
? z
zz
z
zz
s
z
由规则
!5
1
0,
s i n
Re 6 ???
?
?
??
? ?
?
z
zz
s
?
?
???
?????
?
zz
zzzz
zz
zz
1
!5
11
!3
1
)]
!5
1
!3
1
([
1s i n
3
53
66
---该方法较规则 II更简单！
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
??
? ?
? 6
6
5
5
06
s i n
l i m
)!16(
1
0,
s i n
Re
z
zz
z
dz
d
z
zz
s
z
? (2) 由规则 II 的推导过程知，在使用规则 II
时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更
简单。
如
!5
1
)c o s(l i m
!5
1
)s i n(l i m
!5
1
05
5
0
??????
??
zzz
dz
d
zz
作 业
P147 1（ 1）（ 4）（ 7）
8（ 2）（ 4）（ 6）（ 8）
9（ 1）（ 2）（ 5）
