第十一讲
? 1,幂函数
? 2,指数函数
§ 4 几个初等函数所构成的映射
1.幂函数
)2( 为自然数?? nzw n
)0(01 ??? ? z
dz
dw
nz
dz
dw n
?
???
?
?
??
nrerzw
ewrez
ninnn
ii
?????
??
又
令
幂函数,
.
,
处处共形
所构成的映射由平面内除去原点外在 nzwz ??
.11:
,,
??????
?
wzrwrz
zw
n
n
特别
映射下在由此可见
)(00:
00
正实轴映射成正实轴特形
射线
???
???
??
???? n
x
y (z)
0?
nzw ?
00 0)
2
(0 ??
?
?? n
n
?????? 角形域角形域
u
v (w)
0?? n?
??
?
? 20
2
0 ?????
n
特别：
x
y (z)
n
?2
nzw ? 上岸
下岸
u
v (w)
.0
,2,
0
处没有保角性在
映射时倍这一映射后变了原来的
处角形域的张角经过从这里可以看出在
??
??
?
zzw
nn
z
n
.角形域常采用幂函数如果要把角形域 ?
幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角
形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成
了原来的 n倍，因此,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~
.1
4
a r g0 的一个映射求将 ???? wz ?
x
y (z)
u
v (w)
)(?
4
?
4z??
i
iw
?
??
?
?
iz
izw
?
??
4
4
i
例 1
解,
.a r g 00
21
的一个映射月牙域
的所围成的交角为与求将图中由圆弧
???
?
???? w
cc
1c 2c
-i
x
y (z)
?
?
?
)(
iz
izi
?
???
i
1
1
u
v (w)
0?
?
?? 0iew ?
)(20
iz
iz
ew
i
?
?
?
?
?
?
例 2
zew ?:指数函数
2,指数函数
.
0'
是全平面上的共形映射z
z
ew
ew
??
???
)2(???????? yeewiyxz xi ??? ?设
cewcz ???? 圆：常数直线,Re
由此可知
11Im,ccz ???? ?射线：常数直线
awaaz ??????? a r g0)20(Im0 ?
带形区域 角形区域
x
y (z)
ia
zew ?
u
v (w)
aw ?arg
0arg ?w
a
）对应的
它们之间的点是一一平面沿正实轴剪开的
特形：
.
,(
2a r g02Im0
w
wz ?? ?????
若需把因此
角形域
把水平带形域所构成的映射的特点是由
,
a r g0)2()I m (0
:
awaaz
ew
z
??????
?
?
.用指数函数带形域映射成角形域常
x
y (z)
i?2
上岸
下岸
zew ? u
v (w)
.1)I m (0 的一个映射映射成求将 ??? wz ?
x
y (z)
?i
ze??
)(?
u
v (w)
i
iw
?
??
?
?
i
ie
iew
z
z
?
??
例 3
解
.0)I m (Re ??? zbza 映射成上半平面求把带形域
x
y (z)
a b
1
)( 1z
ab
azz
?
??
1 ?i
)( 2z
12 ziz ??
2zew ?
ab
azi
ew ?
?
?
?
例 4
解
u
v (w)
映射成什么区域？
将半带形域：问：
?
?
?
??
????
?
?)I m (0
0)R e (
z
z
ew
z
x
y (z)
?i
u
v (w)
zew ?
10)R e ( 0 ???? ewz 圆：直线：
00)I m (,??? ?射线：直线 z
??? ??? 射线：直线 )I m (,z
E
A B
D
C
''''' EDCBA
A B C D E ?
例 5
解
'D 'E 'A 'B
'C
)0)( I m (1
)I m (0
0)R e (
??
?
?
?
??
????
?
zw
z
z
ew
z
映射成半单位圆
将半带形域：
?
答,
)0)( I m (1
)I m (0
)R e (0
??
?
?
?
??
????
??
?
zw
z
z
ew
z
半单位圆映射成
将半带形域：同理
?
x
y (z)
?i
u
v (w)
的映射。上半平面
映射成求将半带形域：
0)I m (
)I m (0
)R e (0
?
?
?
?
??
????
z
z
z
?
x
y (z)
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1
1
1
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z
z
z
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2)
1
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???
?
?
z
z
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ew
例 6
)( 1z
u
v (w)
的映射。单位圆
映射成求将扇形域：
1
10
2
ar g0
?
?
?
?
?
?
??
??
w
z
z
?
解 见 P244
2222
2222
)1()1(
)1()1(
???
???
?
ziz
ziz
w
例 7
作业
? P246 19(1)(3)(8)(9)
? 1,幂函数
? 2,指数函数
§ 4 几个初等函数所构成的映射
1.幂函数
)2( 为自然数?? nzw n
)0(01 ??? ? z
dz
dw
nz
dz
dw n
?
???
?
?
??
nrerzw
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ii
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又
令
幂函数,
.
,
处处共形
所构成的映射由平面内除去原点外在 nzwz ??
.11:
,,
??????
?
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zw
n
n
特别
映射下在由此可见
)(00:
00
正实轴映射成正实轴特形
射线
???
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??
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x
y (z)
0?
nzw ?
00 0)
2
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n
?????? 角形域角形域
u
v (w)
0?? n?
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? 20
2
0 ?????
n
特别：
x
y (z)
n
?2
nzw ? 上岸
下岸
u
v (w)
.0
,2,
0
处没有保角性在
映射时倍这一映射后变了原来的
处角形域的张角经过从这里可以看出在
??
??
?
zzw
nn
z
n
.角形域常采用幂函数如果要把角形域 ?
幂函数所构成的映射特点：把以原点为顶点的角
形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成
了原来的 n倍，因此,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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.1
4
a r g0 的一个映射求将 ???? wz ?
x
y (z)
u
v (w)
)(?
4
?
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i
iw
?
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?
?
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?
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4
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例 1
解,
.a r g 00
21
的一个映射月牙域
的所围成的交角为与求将图中由圆弧
???
?
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cc
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-i
x
y (z)
?
?
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0?
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)(20
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?
?
?
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?
例 2
zew ?:指数函数
2,指数函数
.
0'
是全平面上的共形映射z
z
ew
ew
??
???
)2(???????? yeewiyxz xi ??? ?设
cewcz ???? 圆：常数直线,Re
由此可知
11Im,ccz ???? ?射线：常数直线
awaaz ??????? a r g0)20(Im0 ?
带形区域 角形区域
x
y (z)
ia
zew ?
u
v (w)
aw ?arg
0arg ?w
a
）对应的
它们之间的点是一一平面沿正实轴剪开的
特形：
.
,(
2a r g02Im0
w
wz ?? ?????
若需把因此
角形域
把水平带形域所构成的映射的特点是由
,
a r g0)2()I m (0
:
awaaz
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z
??????
?
?
.用指数函数带形域映射成角形域常
x
y (z)
i?2
上岸
下岸
zew ? u
v (w)
.1)I m (0 的一个映射映射成求将 ??? wz ?
x
y (z)
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)(?
u
v (w)
i
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i
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例 3
解
.0)I m (Re ??? zbza 映射成上半平面求把带形域
x
y (z)
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1
)( 1z
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1 ?i
)( 2z
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?
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例 4
解
u
v (w)
映射成什么区域？
将半带形域：问：
?
?
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?)I m (0
0)R e (
z
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y (z)
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10)R e ( 0 ???? ewz 圆：直线：
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A B
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A B C D E ?
例 5
解
'D 'E 'A 'B
'C
)0)( I m (1
)I m (0
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zw
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映射成半单位圆
将半带形域：
?
答,
)0)( I m (1
)I m (0
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z
z
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半单位圆映射成
将半带形域：同理
?
x
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u
v (w)
的映射。上半平面
映射成求将半带形域：
0)I m (
)I m (0
)R e (0
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z
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1
-1 1
1
1
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例 6
)( 1z
u
v (w)
的映射。单位圆
映射成求将扇形域：
1
10
2
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?
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?
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?
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z
z
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解 见 P244
2222
2222
)1()1(
)1()1(
???
???
?
ziz
ziz
w
例 7
作业
? P246 19(1)(3)(8)(9)
