第二讲 复变函数与解析函数
? 1,复变函数的定义
? 2,映射的概念
? 3,反函数或逆映射
§ 5 复变函数
1,复变函数的定义 — 与实变函数定义相类似
定义
).(
,,,
,
zfw
zw
ivuwGzf
iyxzG
?
????
??
记作
）的函数（简称复变函数是复变数则称复变数
与之对应就有一个或几个使得
存在法则的非空集合是一个复数设
?
是多值函数.值，称多个
是单值函数;值，称一个若
)(
)(
zfwz
zfwz
?
?
。论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨
面区域（定义域）的定义集合，常常是平— )( zfG
函数值集合—},)({* GzzfwwG ???
),(),(
)()(
),();,(
yxivyxu
iyxfzfw
vuivuwyxiyxz
??
????
???????
),(),( yxvvyxuu ??故
),(),()( yxvvyxuuivuzfw ??????
x y iyxiyxivuw
ivuwiyxzzw
2)()(
222
2
???????
?????
则
令
例 1
xyvyxuzw 2222 ??????
例 2
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
??
2222
1
1
1
1)(
yx
iy
yx
xzf若已知
.)( 的函数表示成将 zzf
z
zzf
1
)( ??
)(
2
1
),(
2
1
,zz
i
yzzxiyxz ?????? 则设
o x
y (z)
G
o u
v (w)
G*
w=f(z)
在几何上,w=f(z)可以看作,
).(() ( *)( 变换平面）的映射平面 wGwzGz zfw ??? ??? ?
的原象。称为，而映象的象点为称 wzzw )(
定义域 函数值集合
2,映射的概念 —— 复变函数的几何意义
z
w=f(z)
w
? 以下不再区分函数与映射（变换）。
? 在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
函数问题时，可借助于几何直观,
?复变函数的几何意义是一个映射（变换）
.所构成的映射研究 zw ?例 3
?
???
i
i
rez
reirz
???
??? )s i n( c o s设
解
— 关于实轴对称的一个映射
?见图 1-1~1-2
— 旋转变换 (映射 )
即，)s i ns i n()s i nc o s(
))(s i n( c o s
????
??
yxiyx
iyxiivuw
????
?????
?见图 2
.( 实常数）所构成的映射研究 ?? zew i?例 4
)( ?????? ?????? iiiii rereezewrez设
解
?
?
?
??
??
??
??
s i ns i n
s i nc o s
yxv
yxu
o x
y (z)
x,u
y,v (z),(w)
o
x,u
y,v (z),(w)
o
?
图 1-1
图 1-2 图 2
u
v (w)
o
.2 所构成的映射研究 zw ?例 5
o x
y (z)
o u
v (w)
?2
?
o x
y (z)
o u
v (w)
6
?
3
?
422 ?? yx
2zw ?
2zw ?
2zw ?
2zw ?
3,反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 为 z=w2的反函数或逆映射
zw ?
)1,0(2
2
???
???
kezzw
k
?
∴ 为多值函数,2支,
定义 设 w =f (z) 的定义集合为 G,函数值集合为 G*
Gz ? *)( Gwzfw ??? ?? ?
*Gw ? ?? ???
? )()( wzGz ?或几个一个
则称 z=?(w)为 w=f(z)的反函数（ 逆映射 ）,
Gzzfz
Gwwfw
???
???
)]([
)]([ *
?
?
当反函数单值时
显然有
) ] )([( zfz ??一般
是一一对应的。与集合是一一的。也称集合
映射都是单值的，则称函数
逆映射和其反函数映射当函数
?
??
?
GG
zfwwz
zfw
)()()(
)()()(
?
例 已知映射 w= z3,求区域 0<argz< 在平面 w上的象。
3
?
例
1:,
1 22
平面上怎样的曲线映射成
被平面上的曲线判断已知映射
w
yxz
z
w ???
? 1,函数的极限
? 2,运算性质
? 3.函数的连续性
§ 6 复变函数的极限与连续性
1,函数的极限
Azfzz
AzfzzzfA
Azfzz
AzUzzfw
zz
??
??
??????????
??????
?
????
)(
)(lim)(
,)(,0,
,0),,(),(
0
0
0
)0
0
0
时，或当
时的极限，记作当为则称
有时当）（
，若存在数设
（
?
定义
u
v (w)
o
A
?
x
y (z)
o
?
0z
)( zfw ?
几何意义,
当变点 z一旦进
入 z0 的充分小去
心邻域时,它的象
点 f(z)就落入 A的
一个预先给定的
ε邻域中
? (1) 意义中 的方式是任意的,
与一元实变函数相比较要求更高,
0zz ?
(2) A是复数,
2,运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系,
000 ),(),()( iyxziyxzyxivyxuzf ??????设
定理 1
(3) 若 f(z)在 处有极限,其极限 是唯一的,
0z
0
),(),(
0
),(),(
00 ),(lim
),(lim
)(lim
00
00
0 vyxv
uyxu
ivuAzf
yxyx
yxyx
zz ?
?
????
?
?
?
则
? ?
B
A
zg
zg
zf
zg
zf
ABzgzfzgzf
BAzgzfzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zz
zzzzzz
zzzzzz
zzzz
???
??
?????
??
?
?
?
?
???
???
??
)0)(l i m(
)(l i m
)(l i m
)(
)(
l i m
)(l i m)(l i m)()(l i m
)(l i m)(l i m)()(l i m
,)(l i m)(l i m
0
0
0
0
000
000
00
则若
定理 2
? 以上定理用极限定义证 !
例 1
.)( 22 在平面上处处有极限证明 yxiyxw ????
例 2
.0)( 时的极限在求 ??? z
z
z
z
zzf
例 3
.0Re)( 时的极限不存在在证明 ?? zzzzf
在平面上处处有极限22,yxyx ???
.)0,0(
)(2
)( 22
22
处极限不存在在
yx
yx
zf
?
?
??
3.函数的连续性
定义
.
)()()(lim,;)(;)()()(lim
0
00
00
0
0
处连续上点在曲线
，则称且、若
内连续在内处处连续，则称若在区域
处连续在，则称若
zC
zfzfzfCzz
DzfD
zzfzfzf
zz
zz
??
?
?
?
.
),(),(lim
),(),(lim
),(),()(
00
),(),(
00
),(),(
000
00
00
yxvyxv
yxuyxu
iyxz
yxivyxuzf
yxyx
yxyx
?
?
?
??
??
?
?
处连续在
设
定理 3
例 4 证明 f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。
上不连续。
在负实轴
在负实轴上
a r g
a r gl i m
a r gl i m
)0)(0,(
)2(
0
0
z
z
z
xxP
y
y
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
故不连续。
在原点没有定义，
a r g)()1( zzf ??
证明
x
y (z)
o
z
z
)0,( xP?
定理 4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0)
仍为连续函数 ;
连续函数的复合函数仍为连续函数。
.0
)(
)(
)(
)(
10
点外处处连续在复平面内除分母为
的；在整个复平面内是连续
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
MzfMCzf
C
???? )(,0)( 在曲线上恒有上连续在若
内的曲线段为闭曲线或端点包括在设曲线
有界性,
第二章 解析函数
? 第一节 解析函数的概念
? 第二节 函数解析的充要条件
? 第三节 初等函数
? 1,复变函数的导数定义
? 2,解析函数的概念
§ 2.1 解析函数的概念
一, 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数 w=f (z) z∈ D,且 z0,z0 +Δz∈ D,
如果极限 存在，则称函数
f (z)在点 z0处可导。称此极限值为 f (z)在 z0的导数,
记作
z
zfzzf
z ?
???
??
)()(l i m 00
0
z
zfzzf
dz
dw
zf
z
zz ?
???
??
??
?
)()(
l i m)(' 00
00
0
如果 w=f(z)在区域 D内处处可导，则称
f (z)在区域 D内可导 。
? (1) Δ z→0 是在平面区域上以任意方式趋于零。
? (2) z=x+iy,Δ z=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz) -f(z)
.Re)(,可导在平面上的任何点都不证明 zzf ?例 1
z
zzz
z
f
?
????
?
? )R e ()R e (:证明
yix
xxx
???
???
?
yix
x
???
?
?
??
?
?
?
????
????;0,0;1,0
zfz
zfz
时取纯虚数趋于当
时取实数趋于当,l i m
0
不存在
z
f
z ?
??
??
(2)求导公式与法则
① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0,
② (zn)?=nzn-1 (n是自然数 ),
证明 对于复平面上任意一点 z0，有
1
0
0
1
00
21
0
0
0
))((
lim
limlim
0
00
?
???
?
??
?
?
????
?
?
?
?
?
?
n
nnn
zz
nn
zzzz
nz
zz
zzzzzz
zz
zz
z
?
?
----实函数中求导法则的推广
③ 设函数 f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)± g (z)]? =f? (z)± g?(z),
[f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z)
)0)((,
)(
)(')()()(''
)(
)(
2
?
?
??
?
?
?
?
?
zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
.
0
)(
)(
)(
)(
10
处可导
点外）处在复平面上（除分母为
导；在整个复平面上处处可
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
④ 复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z),
其中 w=g(z)。
⑤ 反函数的导数,其中, w=f (z)
与 z=?(w)互为单值的反函数，且 ??(w)?0。
)('
1
)('
w
zf
?
?
)(,;),()(,
2
2
的可导性复函数中
内可导在实函数中
zzf
xxf
?
?????
?思考题
例 3 问：函数 f (z)=x+2yi是否可导？
!
0,02
0,012
l i m
0
不存在
时当
时当
?
?
?
?
????
????
?
???
???
?
?? yx
xy
yix
yix
z
)('
1
1)5()( 22 zf
z
zzzf,求已知
?
???
例 2
解
2
2
)1(
1
)52)(5(2)(
?
?????
z
zzzzf
yix
yixiyyxx
z
zfzzf
z
z
???
???????
?
?
???
??
??
)2()(2
l i m
)()(
l i m
0
0
?
解
.2)( 处处不可导故函数 yixzf ??
例 4 证明 f (z)=zRez只在 z=0处才可导。
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
??
?
??
?
??
??
时不存在
时
0!))( R e (l i m
00
Re
l i m
0
0
z
yix
x
zzz
z
z
zz
z
z
z
zzzzz
z
zzzzzz
z
z
?
?????
?
?
?????
??
??
Re)R e (
lim
Re)R e ()(
lim
0
0
证明
不存在！
时当
时当
?
?
?
?
????
????
?
???
?
?? 0,01
0,00
lim
0 yx
xy
yix
x
z
?
? (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数
在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为 Δ z→0 是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续,
但处处不可导的例题是很困难的,
但在复变函数中，却轻而易举 。
(3)可导与连续
若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续, ?
??
? ? ? ?
? ?
连续在所以
由此可得
则令
有时使得当
则可导在若证明
000
0
000
0
0
00
0
00
0
)(),()(l i m
,)()()(
,0l i m),(
)()(
,)(
)()(
,,0
,0,0,)(:
zzfzfzzf
zzzzfzfzzf
zzf
z
zfzzf
z
zf
z
zfzzf
z
zzf
z
z
???
?????????
????
?
???
??
???
?
???
???
????
??
??
?
??
??
??
二, 解析函数的概念
定义 如果函数 w=f (z)在 z0及 z0的某个邻域内处处
可导，则称 f (z)在 z0解析；
如果 f (z)在区域 D内每一点都解析，则称
f (z)在 D内解析，或称 f (z)是 D内的解析函数
(全纯函数或正则函数）。
如果 f (z)在点 z0不解析，就称 z0是 f (z)的奇点。
? (1) w=f (z) 在 D 内解析 在 D内可导。
(2) 函数 f (z)在 z0 点可导，未必在 z0解析。
?
例如
(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数；
(2) w=1/z，除去 z=0点外，是整个复平面上的解析
函数；
(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析 (见例 4)。
定理 1 设 w=f (z)及 w=g(z)是区域 D内的解析函数,
则 f (z)± g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时 )
均是 D内的解析函数。
.)0(
)(
)(
)(
)(
10
的解析函数点外除分母为是复平面上
函数；是整个复平面上的解析
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,
h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析,h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数 w=f [g(z)]在 D内处处解析。 ?
作 业
P34 26,
27
P66 3(2)(4)
? 1,复变函数的定义
? 2,映射的概念
? 3,反函数或逆映射
§ 5 复变函数
1,复变函数的定义 — 与实变函数定义相类似
定义
).(
,,,
,
zfw
zw
ivuwGzf
iyxzG
?
????
??
记作
）的函数（简称复变函数是复变数则称复变数
与之对应就有一个或几个使得
存在法则的非空集合是一个复数设
?
是多值函数.值，称多个
是单值函数;值，称一个若
)(
)(
zfwz
zfwz
?
?
。论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨
面区域（定义域）的定义集合，常常是平— )( zfG
函数值集合—},)({* GzzfwwG ???
),(),(
)()(
),();,(
yxivyxu
iyxfzfw
vuivuwyxiyxz
??
????
???????
),(),( yxvvyxuu ??故
),(),()( yxvvyxuuivuzfw ??????
x y iyxiyxivuw
ivuwiyxzzw
2)()(
222
2
???????
?????
则
令
例 1
xyvyxuzw 2222 ??????
例 2
??
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
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2222
1
1
1
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yx
iy
yx
xzf若已知
.)( 的函数表示成将 zzf
z
zzf
1
)( ??
)(
2
1
),(
2
1
,zz
i
yzzxiyxz ?????? 则设
o x
y (z)
G
o u
v (w)
G*
w=f(z)
在几何上,w=f(z)可以看作,
).(() ( *)( 变换平面）的映射平面 wGwzGz zfw ??? ??? ?
的原象。称为，而映象的象点为称 wzzw )(
定义域 函数值集合
2,映射的概念 —— 复变函数的几何意义
z
w=f(z)
w
? 以下不再区分函数与映射（变换）。
? 在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y
之间的对应关系，以便在研究和理解复变
函数问题时，可借助于几何直观,
?复变函数的几何意义是一个映射（变换）
.所构成的映射研究 zw ?例 3
?
???
i
i
rez
reirz
???
??? )s i n( c o s设
解
— 关于实轴对称的一个映射
?见图 1-1~1-2
— 旋转变换 (映射 )
即，)s i ns i n()s i nc o s(
))(s i n( c o s
????
??
yxiyx
iyxiivuw
????
?????
?见图 2
.( 实常数）所构成的映射研究 ?? zew i?例 4
)( ?????? ?????? iiiii rereezewrez设
解
?
?
?
??
??
??
??
s i ns i n
s i nc o s
yxv
yxu
o x
y (z)
x,u
y,v (z),(w)
o
x,u
y,v (z),(w)
o
?
图 1-1
图 1-2 图 2
u
v (w)
o
.2 所构成的映射研究 zw ?例 5
o x
y (z)
o u
v (w)
?2
?
o x
y (z)
o u
v (w)
6
?
3
?
422 ?? yx
2zw ?
2zw ?
2zw ?
2zw ?
3,反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 为 z=w2的反函数或逆映射
zw ?
)1,0(2
2
???
???
kezzw
k
?
∴ 为多值函数,2支,
定义 设 w =f (z) 的定义集合为 G,函数值集合为 G*
Gz ? *)( Gwzfw ??? ?? ?
*Gw ? ?? ???
? )()( wzGz ?或几个一个
则称 z=?(w)为 w=f(z)的反函数（ 逆映射 ）,
Gzzfz
Gwwfw
???
???
)]([
)]([ *
?
?
当反函数单值时
显然有
) ] )([( zfz ??一般
是一一对应的。与集合是一一的。也称集合
映射都是单值的，则称函数
逆映射和其反函数映射当函数
?
??
?
GG
zfwwz
zfw
)()()(
)()()(
?
例 已知映射 w= z3,求区域 0<argz< 在平面 w上的象。
3
?
例
1:,
1 22
平面上怎样的曲线映射成
被平面上的曲线判断已知映射
w
yxz
z
w ???
? 1,函数的极限
? 2,运算性质
? 3.函数的连续性
§ 6 复变函数的极限与连续性
1,函数的极限
Azfzz
AzfzzzfA
Azfzz
AzUzzfw
zz
??
??
??????????
??????
?
????
)(
)(lim)(
,)(,0,
,0),,(),(
0
0
0
)0
0
0
时，或当
时的极限，记作当为则称
有时当）（
，若存在数设
（
?
定义
u
v (w)
o
A
?
x
y (z)
o
?
0z
)( zfw ?
几何意义,
当变点 z一旦进
入 z0 的充分小去
心邻域时,它的象
点 f(z)就落入 A的
一个预先给定的
ε邻域中
? (1) 意义中 的方式是任意的,
与一元实变函数相比较要求更高,
0zz ?
(2) A是复数,
2,运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系,
000 ),(),()( iyxziyxzyxivyxuzf ??????设
定理 1
(3) 若 f(z)在 处有极限,其极限 是唯一的,
0z
0
),(),(
0
),(),(
00 ),(lim
),(lim
)(lim
00
00
0 vyxv
uyxu
ivuAzf
yxyx
yxyx
zz ?
?
????
?
?
?
则
? ?
B
A
zg
zg
zf
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zf
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BAzgzfzgzf
BzgAzf
zz
zz
zz
zz
zzzzzz
zzzzzz
zzzz
???
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?????
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???
???
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)0)(l i m(
)(l i m
)(l i m
)(
)(
l i m
)(l i m)(l i m)()(l i m
)(l i m)(l i m)()(l i m
,)(l i m)(l i m
0
0
0
0
000
000
00
则若
定理 2
? 以上定理用极限定义证 !
例 1
.)( 22 在平面上处处有极限证明 yxiyxw ????
例 2
.0)( 时的极限在求 ??? z
z
z
z
zzf
例 3
.0Re)( 时的极限不存在在证明 ?? zzzzf
在平面上处处有极限22,yxyx ???
.)0,0(
)(2
)( 22
22
处极限不存在在
yx
yx
zf
?
?
??
3.函数的连续性
定义
.
)()()(lim,;)(;)()()(lim
0
00
00
0
0
处连续上点在曲线
，则称且、若
内连续在内处处连续，则称若在区域
处连续在，则称若
zC
zfzfzfCzz
DzfD
zzfzfzf
zz
zz
??
?
?
?
.
),(),(lim
),(),(lim
),(),()(
00
),(),(
00
),(),(
000
00
00
yxvyxv
yxuyxu
iyxz
yxivyxuzf
yxyx
yxyx
?
?
?
??
??
?
?
处连续在
设
定理 3
例 4 证明 f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。
上不连续。
在负实轴
在负实轴上
a r g
a r gl i m
a r gl i m
)0)(0,(
)2(
0
0
z
z
z
xxP
y
y
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
故不连续。
在原点没有定义，
a r g)()1( zzf ??
证明
x
y (z)
o
z
z
)0,( xP?
定理 4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0)
仍为连续函数 ;
连续函数的复合函数仍为连续函数。
.0
)(
)(
)(
)(
10
点外处处连续在复平面内除分母为
的；在整个复平面内是连续
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
MzfMCzf
C
???? )(,0)( 在曲线上恒有上连续在若
内的曲线段为闭曲线或端点包括在设曲线
有界性,
第二章 解析函数
? 第一节 解析函数的概念
? 第二节 函数解析的充要条件
? 第三节 初等函数
? 1,复变函数的导数定义
? 2,解析函数的概念
§ 2.1 解析函数的概念
一, 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数 w=f (z) z∈ D,且 z0,z0 +Δz∈ D,
如果极限 存在，则称函数
f (z)在点 z0处可导。称此极限值为 f (z)在 z0的导数,
记作
z
zfzzf
z ?
???
??
)()(l i m 00
0
z
zfzzf
dz
dw
zf
z
zz ?
???
??
??
?
)()(
l i m)(' 00
00
0
如果 w=f(z)在区域 D内处处可导，则称
f (z)在区域 D内可导 。
? (1) Δ z→0 是在平面区域上以任意方式趋于零。
? (2) z=x+iy,Δ z=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz) -f(z)
.Re)(,可导在平面上的任何点都不证明 zzf ?例 1
z
zzz
z
f
?
????
?
? )R e ()R e (:证明
yix
xxx
???
???
?
yix
x
???
?
?
??
?
?
?
????
????;0,0;1,0
zfz
zfz
时取纯虚数趋于当
时取实数趋于当,l i m
0
不存在
z
f
z ?
??
??
(2)求导公式与法则
① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0,
② (zn)?=nzn-1 (n是自然数 ),
证明 对于复平面上任意一点 z0，有
1
0
0
1
00
21
0
0
0
))((
lim
limlim
0
00
?
???
?
??
?
?
????
?
?
?
?
?
?
n
nnn
zz
nn
zzzz
nz
zz
zzzzzz
zz
zz
z
?
?
----实函数中求导法则的推广
③ 设函数 f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)± g (z)]? =f? (z)± g?(z),
[f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z)
)0)((,
)(
)(')()()(''
)(
)(
2
?
?
??
?
?
?
?
?
zg
zg
zgzfzgzf
zg
zf
.
0
)(
)(
)(
)(
10
处可导
点外）处在复平面上（除分母为
导；在整个复平面上处处可
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
④ 复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z),
其中 w=g(z)。
⑤ 反函数的导数,其中, w=f (z)
与 z=?(w)互为单值的反函数，且 ??(w)?0。
)('
1
)('
w
zf
?
?
)(,;),()(,
2
2
的可导性复函数中
内可导在实函数中
zzf
xxf
?
?????
?思考题
例 3 问：函数 f (z)=x+2yi是否可导？
!
0,02
0,012
l i m
0
不存在
时当
时当
?
?
?
?
????
????
?
???
???
?
?? yx
xy
yix
yix
z
)('
1
1)5()( 22 zf
z
zzzf,求已知
?
???
例 2
解
2
2
)1(
1
)52)(5(2)(
?
?????
z
zzzzf
yix
yixiyyxx
z
zfzzf
z
z
???
???????
?
?
???
??
??
)2()(2
l i m
)()(
l i m
0
0
?
解
.2)( 处处不可导故函数 yixzf ??
例 4 证明 f (z)=zRez只在 z=0处才可导。
?
?
?
??
?
?
?
???
?
???
??
?
??
?
??
??
时不存在
时
0!))( R e (l i m
00
Re
l i m
0
0
z
yix
x
zzz
z
z
zz
z
z
z
zzzzz
z
zzzzzz
z
z
?
?????
?
?
?????
??
??
Re)R e (
lim
Re)R e ()(
lim
0
0
证明
不存在！
时当
时当
?
?
?
?
????
????
?
???
?
?? 0,01
0,00
lim
0 yx
xy
yix
x
z
?
? (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数
在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为 Δ z→0 是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(2) 在高等数学中要举出一个处处连续,
但处处不可导的例题是很困难的,
但在复变函数中，却轻而易举 。
(3)可导与连续
若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续, ?
??
? ? ? ?
? ?
连续在所以
由此可得
则令
有时使得当
则可导在若证明
000
0
000
0
0
00
0
00
0
)(),()(l i m
,)()()(
,0l i m),(
)()(
,)(
)()(
,,0
,0,0,)(:
zzfzfzzf
zzzzfzfzzf
zzf
z
zfzzf
z
zf
z
zfzzf
z
zzf
z
z
???
?????????
????
?
???
??
???
?
???
???
????
??
??
?
??
??
??
二, 解析函数的概念
定义 如果函数 w=f (z)在 z0及 z0的某个邻域内处处
可导，则称 f (z)在 z0解析；
如果 f (z)在区域 D内每一点都解析，则称
f (z)在 D内解析，或称 f (z)是 D内的解析函数
(全纯函数或正则函数）。
如果 f (z)在点 z0不解析，就称 z0是 f (z)的奇点。
? (1) w=f (z) 在 D 内解析 在 D内可导。
(2) 函数 f (z)在 z0 点可导，未必在 z0解析。
?
例如
(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数；
(2) w=1/z，除去 z=0点外，是整个复平面上的解析
函数；
(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析 (见例 4)。
定理 1 设 w=f (z)及 w=g(z)是区域 D内的解析函数,
则 f (z)± g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时 )
均是 D内的解析函数。
.)0(
)(
)(
)(
)(
10
的解析函数点外除分母为是复平面上
函数；是整个复平面上的解析
由以上讨论
zQ
zP
zR
zazaazP
n
n
?
????
?
?
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,
h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析,h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数 w=f [g(z)]在 D内处处解析。 ?
作 业
P34 26,
27
P66 3(2)(4)
