第六讲
解析函数与调和函数的关系
在 § 3.6我们证明了在 D内的解析函数,其导数
仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间
的关系。
内 容 简 介
§ 3.7 解析函数与调和函数的关系
.),(
)00
:
),(
2
2
2
2
内的调和函数为则称
即（
方程续偏导数且满足
内具有二阶连在若二元实变函数
Dyx
yx
L a p l a c e
Dyx
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
定义
内的调和函数。是，
内解析在区域若
Dyxvvyxuu
Dyxivyxuzf
),(),(
),(),()(
???
??
定理
证明,设 f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析，则
x
v
y
u
y
v
x
u
RC
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? 方程由
yx
v
y
u
xy
v
x
u
??
?
??
?
?
??
?
?
?
? 2
2
22
2
2
从而有
xy
v
yx
v
yxvyxu
??
?
?
??
?
?
?
22
.
),(),,(
具有任意阶的连续导数
理由解析函数高阶导数定
,0 D 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
内有故在 0 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
同理有
0,0 ???? vu
2
2
2
2
yx ?
?
?
?
?
??其中
即 u及 v 在 D内满足拉普拉斯 (Laplace)方程,
内的调和函数。是,Dyxvvyxuu ),(),( ???
.
),(),(D
,),(
的共轭调和函数
为函数内构成解析函数的调和在
称使得内的调和函数为设
yxuyxv
ivuDyxu ?
定义
上面定理说明,
.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D
.),(),(
),(),()(,
的共轭调和函数必为内在
内解析在即
yxuuyxvD
Dyxivyxuzf
?
???
由解析的概念得,
.,,
,:
的共轭调和函数必为调和函数
的两个方程内满足在
uvvu
vuvuRCD xyyx ????
.
,
,
一定解析
内就不在则内的两个调和函数区域
是任意选取的在若
DivuD
vu
?
现在研究反过来的问题,
.的共轭调和函数不是 yxuyxv ????
如
)11
)()()(
xyyx vuvu
zyxiyxivuzf
?????
??????
处处不解析
平面上在（ ?
由此，的共轭调和函数必须是方程，即
还必须满足及内解析在要想使
.
,
uv
RCvuDivu ??
.
),,(
),,(
ivu
yxv
RCyxu
?
?
从而构成解析函数程可求得它的虚部
方利用部已知一个解析函数的实
)),(( yxv虚部
)),(( yxu实部
0,
),(,
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
DyxuD
则函数
内的调和是区域一单连通区域设
内有连续一阶偏导数在、即 D
x
u
y
u
?
?
?
?
?,
dy
x
u
dx
y
u
dy
y
v
dx
x
v
x
u
xy
u
y
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()(且
),( yxdv
v?
?
)(),(
),(
),( 00
??
?
?
?
?
?
?? ? cdy
x
u
dx
y
u
yxv
yx
yx
.
.
内解析在
方程满足
Divu
RC
x
u
y
v
y
u
x
v
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.)(
),,()(
,),(
内解析在
使得式所确定的则
内调和函数在单连通设
Divuzf
yxv
Dyxu
??
?
定理
? 公式不用强记！可如下推出,
dy
x
v
dx
y
v
dy
y
v
dx
x
v
du
RC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 方程
由
然后两端积分。
由
求其共轭调和函数已知：
方程
dyudxudy
y
v
dx
x
v
dv
yxvyxu
xy
RC
???
?
?
?
?
?
?
?
:),(),,(
类似地,然后两端积分得,
)(),(
),(
),( 00
????? ? cdyvdxvyxu
yx
yx xy
? 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解
析函数的关系。
iifyxyxu
ivuzf
??????
??
1)(
)(
22
由下列条件求解析函数
例 1
dyyxdxxydy
y
v
dx
x
v
dv
xy
y
u
x
v
yx
x
u
y
v
)2()2(
22
????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?解
c
y
xy
x
cdyyxxdx
cdyyxdxxyyxv
yx
o
yx
?????
?????
?????
??
?
2
2
2
)2(
)2()2(),(
22
0
),(
)0,0(
曲线积分法
icziiciyx
i
iyx
cyxyxixyyxzf
????????
????????
222
2222
)
2
1
1()(
2
)(
)
2
1
2
2
1
()()(
故
2
)
2
1()(
2
1
1)
2
1(1)(
2
2
i
z
i
zfc
iici
i
iif
?????
???????? 代入上式得，?
?
)(
2
1
),(
2
1
zz
i
yzzx ????
)
22
(2
22
22
yx
ddxy
y d yxdxxdyy d x
????
????
dyyxdxxy
dy
y
v
dx
x
v
dv
)2()2( ????
?
?
?
?
?
??
又解
c
y
xy
x
yxv ?????
2
2
2
),(
22
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
凑
全
微
分
法
)(
2
22
2
x
y
xyvyx
y
v
???????
?
?
?
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
又解
偏
积
分
法
xyxy
x
v x
v
????
?
?
?
?
?
2)('2
?
?
c
x
x ???
2
)(
2
?
c
xy
xyyxv ?????
22
2),(
22
xx ??)('?
)2()2(
)('
yxiyx
iuuivuzf yxxx
????
????
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
又解
不
定
积
分
法
))(2(
)()(2
iyxi
iyxiiyx
???
????
? ? zi?? 2
icz
i
zf ?
?
?? 2
2
2
)(
? 1,复数列的极限
? 2,级数的概念
第 四 章 级 数
CH4§ 4.1 复数项级数
1,复数列的极限
定义
,),,2,1}({ nnnn iban ?? ＝其中设复数列,?? ?
，iba ???
又设复常数,
时的极限，当称为复数列那么
，恒有若
??
????????
n
NnN
n
n
}{
,,0,0
??
????
定理 1
.l i m,l i ml i m bbaa n
nnnnn
????
??????
??
证明
????
??
????????
??
??
n
n
n
NnN 恒有
即，”已知“
,,0,0
lim
.}{
,,l i m
??
????
收敛于此时，也称复数列
时，或当记作
n
nn
n
n ????
??
.lim,lim
)()()()(
22
bbaa
bbaa
bbaabbiaa
n
n
n
n
nnnn
nnnnn
??
?????????
?????????
????
故
又
??????
??
.l i m
)()(
22
,,0,0
l i m,l i m
???
??
??
?
??????
?????
??????????
???
??
????
n
n
nn
nnn
nn
n
n
n
n
bbaa
bbiaa
bbaaNnN
bbaa
故
又
，恒有
即,”已知“
2,级数的概念
?? ??????
?
?
n
n
n ???? 21
1
?
?
?????
n
i
inns
1
21 ???? ?
?级数的前面 n项的和
---级数的部分和
称为级数的和ss n
n
?
??
lim
称为收敛－级数 ?
?
? 1n
n?
不收敛
称为发散－级数 ?
?
? 1n
n?
---无穷级数
定义
),,,2,1}({}{ ???? niba nnn?
?设复数列,
?
?
?
?
?
?
? 收敛
若部分和数列 }{
n
s?
例 1
解
的敛散性。判别 ?
?
? 1 2
3
n
n
i
isi
i
s n
nn
n
j
jn 3lim),2
1
1(3
2
3
1
????
??
?
? 又?
.3,i且和为级数收敛?
定理 2
都收敛。和收敛级数 ???
?
?
?
?
?
?
?
111 n
n
n
n
n
n ba?
都收敛。和
由定理１，
??
????
?
?
?
?
??????
????
?
?????
???????
11
1111
lim,limlim
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
kn
ba
baibas
ibiaibas
??
????
证明
? 由定理 2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。
.0lim,?
?? nn
?
收敛的必要条件级数 ?
?
? 1n
n?
性质
定理 3
.
1111
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n
n
n
n ???? 收敛，且收敛若
证明
22
22
22
,
nnn
nnn
nnnnn
bab
baa
baiba
??
???
??????
收敛。得由定理
均绝对收敛，和
由比较判定法
?
??
?
?
?
?
?
?
1
11
2
n
n
n
n
n
n
ba
?
????
?
?
?
???
???
1111
,
n
n
n
n
n
k
k
n
k
k ?????
?
收敛.收敛若 ??
?
?
?
?
?
11 n
n
n
n ??
))1(:(
1
?
?
?
?
n
n
n
i例如
定义
.
111
11
条件收敛
为收敛，则称发散，而若
为绝对收敛；收敛，则称若
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
???
??
由定理 3的证明过程，及不等式,22 有
nnnn baba ???
定理 4
都收敛。和收敛级数 ???
?
?
?
?
?
?
?
111 n
n
n
n
n
n ba?
解
.)1(111)1(
11
2
1
发散收敛，发散,???
?
?
?
?
?
?
??
nnn n
i
nnn
?
绝对收敛。收敛,?? ?
?
?
?
?
?
?
??
00 0 !
)8(
!
8
!
8
)2(
n
n
n n
nn
n
i
nn
i
?
.)
2
)1(
(
2
1)1(
)3(
111
收敛收敛，收敛,???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n i
nn
?
例 2 否绝对收敛？下列级数是否收敛？是
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 11
)
2
)1(
()3(
!
)8(
)2()1(
1
)1(
n n
n
nn
n
i
nn
i
n
i
n
.
)1(
1
原级数非绝对收敛收敛，条件又 ?
?? ?
?n
n
n
?
例 3
的敛散性。讨论 ?
?
? 0 !n
n
n
z
解
敛。在复平面上处处绝对收
令
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
0
00
!
!!
,
n
n
r
n
n
n
n
n
z
e
n
r
n
z
rz
练习,
的敛散性。讨论 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
1
n
n
i
e
n
?
的敛散性。讨论 ?
?
? 0 2
c o s
n
n
in
2
c o s
nn ee
in
??
?
? 1,幂级数的概念
? 2,收敛定理
? 3,收敛圆与收敛半径
? 4,收敛半径的求法
? 5,幂级数的运算和性质
§ 4.2 幂级数
1,幂级数的概念
定义 ?设复变函数列,
)1()()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zfzfzfzf n
n
n
?,2,1,)}({ ?? nDzzf n
---称为复变函数项级数
?级数的最前面 n项的和
?
?
?????
n
k
knn zfzfzfzfzs
1
21 )()()()()( ?
---级数的部分和
,)1()(l i m),(
,)1(),()(l i m
00
0000
发散不存在，称级数 其和为
收敛在称级数若
zszs
zzszsDz
n
n
n
n
??
?
??
???
?
若级数 (1)在 D内处处收敛，其和为 z的函数
?? ＋)()()()( 21 zfzfzfzs n????
---级数 (1)的和函数
特殊情况，在级数 (1)中
得nnn zzczf )()( 0??
)2()(
0
0?
??
?
?
n
n
n zzc )3(0
0
0 ?
??
?
??
n
n
n zcz当
称为幂级数
并不失一般性。研究级数
中令在
)3(
)2()2(
0
0
?
??? ?
??
?k
k
n
czz ???
2,收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理,
定理 1 (阿贝尔 (Able)定理）
.,
,)0(
0
0
0
级数必绝对收敛的
则对满足收敛在⑴若级数
zzz
zzzc
n
n
n
?
???
??
?
.
,,00
级数必发散
的则对满足发散⑵若级数在 zzzzz ??
? ?
?
?
,2,1,0,
,,,,,m a x
0
0
2
02010
??
?
nMzc
zczczccM
n
n
N
N
故
取 ?
证明
，即则收敛 0lim,)1( 0
0
0 ???
??
?
? nn
n
n
n
n zczc?
?? ??????? nn zcNnN 000,恒有，，
1,
0
0 ??? q
z
z
zz 则若,
0
0
n
n
n
n
n
n Mqz
z
zczc ??
,
0
收敛由于 ?
??
?n
nMq,
0
收敛由比较判别法得 ?
??
?n
n
n zc
绝对收敛。?
??
?
?
0n
n
n zc
(2)用反证法,
3,收敛圆与收敛半径
收敛，，有设 ?
??
?
???
0
1011,
n
n
n zczzz
由 Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述
三种情况,
(i)若对所有正实数都收敛，级数 (3)在复平面上处
处收敛。
！收敛与假设矛盾，得证知由 ?
??
? 0
0)1(
n
n
n zc
(ii )除 z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时,
级数 (3)在复平面上除 z=0外处处发散。
.)3(
:
)3(
:
发散数
外，级在圆周
收敛；内，级数
定理，在圆周由
?
?
?
?
?
?
zc
z
cA b l e
.,0
,,0)(
0
0
发散使得
收敛使得
?
?
??
?
??
?
??
??
n
n
n
n
n
n
c
ci i i
??
??
显然,?< ?
否则，级数 (3)将在 ?处发散。
将收敛部分染成红色，发散
部分染成蓝色,?逐渐变大,
在 c?内部都是红色,?逐渐变
小，在 c?外部都是蓝色,
红、蓝色不会交错。 故
蓝两色的分界线。
为红、一定,Rzc R ??,
?
?
播放
R
Rc
? (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外
部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题
要具体分析。
定义 这个红蓝两色的分界圆周 cR叫做幂级数的
收敛圆；这个圆的半径 R叫做幂级数的收敛半径。
(ii)幂级数 (3)的收敛范围是以 0为中心，半径为 R
的圆域；幂级数 (2)的收敛范围是以 z0为中心,半径
为 R的圆域,
4,收敛半径的求法
的收敛半径求法，有关于幂级数 )3(
0
?
?
?n
n
n zc
定理 2
(比值法 )
??
?
?
?
???
???
????
???
?? ?
?
??
?
0
0
0/1
lim 1 R
c
c
n
n
n
，则若
zz
c
c
zc
zc
i
n
n
nn
n
n
n
n
?? ??? ?
??
?
?
??
1
1
1 limlim,0)( ?
证明
发散，时时，即当
绝对收敛；时即时当
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
,
1
1
,
1
,1
n
n
n
n
n
n
zczz
zczz
?
?
?
?
!,
0
1 矛盾收敛?
??
?n
n
n zc
.
1
:
0
也发散时，当以下证 ?
??
?
?
n
n
n zcz ?
,
1
,
0
00 收，外有一点设在用反证法 ?
??
?
?
n
n
n zczz ?
:
1
,011 定理得，由满足再取一点 A b l ezzz ??
?
.
1
,
1
0 ??
?? ?
??
?
Rzcz
n
n
n 故发散时，当
即发散,
0
0?
??
?
?
n
n
n zc
收敛都有时，对若 ?
??
?
??
0
0)(
n
n
n zczii ?;
0
???? ?
??
?
Rzc
n
n
n 故在复平面上处处收敛，
.,
,0)(
00
也发散发散，从而
有外，对一切时，除当
??
??
?
??
?
????
n
n
n
n
n
n
zczc
zziii ?
.0!0,
,,0
0
1101
0
00
????
??
?
?
??
?
??
?
Rzczzz
zcz
n
n
n
n
n
n
故收敛，矛盾，满足
则收敛否则，如果有一点
定理 3
(根值法 ) ?
?
?
?
?
???
???
????
??
??
?
?
??
?
0
0
0/1
lim Rcn
n
n
，则若
定理 3
(根值法 ) ?
?
?
?
?
???
???
????
??
??
?
?
??
?
0
0
0/1
lim Rcn
n
n
，则若
定理 2
(比值法 )
??
?
?
?
???
???
????
???
?? ?
?
??
?
0
0
0/1
lim 1 R
c
c
n
n
n
，则若
例 1
的收敛范围及和函数。
求幂级数 ?? ???????
?
?
n
n
n
zzzz
2
0
1
121 ?????? n
n zzzs ?又
z
z n
?
?
?
1
1
解
11l i m 1 ????
??
R
c
c
n
n
n
?
.
1
1
l i m,0l i m1
z
szz n
n
n
n ?
????
????
时，当?
.,0lim1 级数发散时，当 ???
??
n
n
zz?
综上
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.1;1
1
1
,
0
时当发散
时当且和函数为收敛
z
z
zz
n
n
例 2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形,
解 (1);)0()1(
1
?
?
?
?
n
p
n
p
n
z;)1)(( c h)2(
1
?
?
?
?
n
nz
n
i
.)
ln
()3(
1
n
n in
z??
?
n
n
n c
c 1
l i m ?
??
??? 1)1(l i m ??? ??
p
n n
n 1?? R
,1 时当 ?z
,1 时当 ??z
,
)1(
1
?
?
?
?
n
n
n
级数为
,
1
1
?
?
?n n
级数为
该级数收敛
该级数发散 p=1
p=2
,1 上在圆周 ?z ? ?
?
?
?
?
?
1 1
22,
1
n n
n
nn
z
是收敛的?
?该级数在收敛圆上是 处处 收敛的。
nn
i
nn
i
n
ee
n
i
c
n
i
n
i
n
1
c o s
1
s i n
1
c o s
1
s i n
1
c o s
2
1
)(
2
1
ch)2(
?
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
n
n
n c
c 1
l i m ?
??
??? 1
1
c o s
1
1
c o sl i m ?
?
?
?? nnn
1?? R
,11 上在圆周 ??z ? ?
?
?
?
?
??
1 1
)
1
( c o s)1)(ch(
n n
inn e
n
z
n
i ?
?
?
???
???
1
)1)(ch(,0)
1
( c o sl i m
n
nin
n
z
n
i
e
n
发散。??
综上
该级数发散。
该级数收敛,
时，当 11 ??z
时，当 11 ??z;)1)(( c h)2(
1
?
?
?
?
n
nz
n
i
2
22
)
2
(ln
1
ln
1
n
nn
nin
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???? R
2
2
2
lnln
2
ln)a r g (ln)l n ()3(
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
nin
ininiinin
其中：
?
n
n
n
n
n
n
n
c
2
22
)
2
(ln
1
limlim
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
故 0
)
2
(ln
1
l i m
2
1
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
n
n
.)
ln
()3(
1
n
n in
z??
?
故该级数在复平面上是处处收敛的,
5,幂级数的运算和性质
? 代数运算
2
0
1
0
)()( rRzgzbrRzfza
n
n
n
n
n
n ???? ??
?
?
?
?
设
Rzzgzfzbazbza
n
n
nn
n
n
n
n
n
n ??????? ???
?
?
?
?
?
?
)()()(
000
),m i n ( 21 rrR ?其中,Rzzgzf
zbabababazbza
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
??
?????? ???
?
?
??
?
?
?
?
),()(
)()()(
0
022110
00
?
---幂级数的加、减运算
---幂级数的乘法运算
rzgRzzg
rzzazf
n
n
n
??
?? ?
?
?
)()(
,)(
0
内解析，且在
设
Rzzgazgf
n
n
n ??? ?
?
? 0
)]([)]([
---幂级数的代换 (复合 )运算
? 幂级
数的代换运
算在函数展
成幂级数中
很有用,
例 3
.
)(
1
0
ab
azc
bz n
n
n
?
?
?
?
?
?
这里，复常数
的幂级数，表成形如把
解
)()(
11
abazbz ???
?
?
代换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
abzg
ab
azab
1
)(1
1
1
11
Rabaz
ab
az
ab
az
ab
az
zgzgzgzg
zg
n
n
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???????
?
,1
1)(,)]([)]([)(1
)(1
1
2
2
??
???
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
? abzg
ab
azababazbz
1
)(1
1
1
11
)()(
11
Razaz
ab
az
ab
az
ababzgabbz
n
n
????
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?? )(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
11
)(1
111
1
2
3
2
代换
展开
还原
? 分析运算
定理 4
Rzzfzc
n
n
n ???
?
?
)(
0
设
.)()( 内解析在 Rzzfi ??
Rzznczczczfii
n
n
n
n
n
n
n
n
n ???? ???
?
?
?
?
?
?
? 1
1
00
)'()'()(')(
zdzcdzzcdzzfiii
n
c
n
nc
n
n
nc ? ?? ??
?
?
?
?
??
00
)()(
---幂级数的逐项求导运算
---幂级数的逐项积分运算
??
?
?
?
?
?
0
1
0 1
)(
n
n
n
z
n
zc
df ??或 RazCRz ????,
作业
? P103 30(1)(2),31
? P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)
解析函数与调和函数的关系
在 § 3.6我们证明了在 D内的解析函数,其导数
仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间
的关系。
内 容 简 介
§ 3.7 解析函数与调和函数的关系
.),(
)00
:
),(
2
2
2
2
内的调和函数为则称
即（
方程续偏导数且满足
内具有二阶连在若二元实变函数
Dyx
yx
L a p l a c e
Dyx
?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
定义
内的调和函数。是，
内解析在区域若
Dyxvvyxuu
Dyxivyxuzf
),(),(
),(),()(
???
??
定理
证明,设 f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域 D内解析，则
x
v
y
u
y
v
x
u
RC
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? 方程由
yx
v
y
u
xy
v
x
u
??
?
??
?
?
??
?
?
?
? 2
2
22
2
2
从而有
xy
v
yx
v
yxvyxu
??
?
?
??
?
?
?
22
.
),(),,(
具有任意阶的连续导数
理由解析函数高阶导数定
,0 D 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
内有故在 0 2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
同理有
0,0 ???? vu
2
2
2
2
yx ?
?
?
?
?
??其中
即 u及 v 在 D内满足拉普拉斯 (Laplace)方程,
内的调和函数。是,Dyxvvyxuu ),(),( ???
.
),(),(D
,),(
的共轭调和函数
为函数内构成解析函数的调和在
称使得内的调和函数为设
yxuyxv
ivuDyxu ?
定义
上面定理说明,
.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D
.),(),(
),(),()(,
的共轭调和函数必为内在
内解析在即
yxuuyxvD
Dyxivyxuzf
?
???
由解析的概念得,
.,,
,:
的共轭调和函数必为调和函数
的两个方程内满足在
uvvu
vuvuRCD xyyx ????
.
,
,
一定解析
内就不在则内的两个调和函数区域
是任意选取的在若
DivuD
vu
?
现在研究反过来的问题,
.的共轭调和函数不是 yxuyxv ????
如
)11
)()()(
xyyx vuvu
zyxiyxivuzf
?????
??????
处处不解析
平面上在（ ?
由此，的共轭调和函数必须是方程，即
还必须满足及内解析在要想使
.
,
uv
RCvuDivu ??
.
),,(
),,(
ivu
yxv
RCyxu
?
?
从而构成解析函数程可求得它的虚部
方利用部已知一个解析函数的实
)),(( yxv虚部
)),(( yxu实部
0,
),(,
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
y
u
x
u
DyxuD
则函数
内的调和是区域一单连通区域设
内有连续一阶偏导数在、即 D
x
u
y
u
?
?
?
?
?,
dy
x
u
dx
y
u
dy
y
v
dx
x
v
x
u
xy
u
y
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()(且
),( yxdv
v?
?
)(),(
),(
),( 00
??
?
?
?
?
?
?? ? cdy
x
u
dx
y
u
yxv
yx
yx
.
.
内解析在
方程满足
Divu
RC
x
u
y
v
y
u
x
v
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.)(
),,()(
,),(
内解析在
使得式所确定的则
内调和函数在单连通设
Divuzf
yxv
Dyxu
??
?
定理
? 公式不用强记！可如下推出,
dy
x
v
dx
y
v
dy
y
v
dx
x
v
du
RC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 方程
由
然后两端积分。
由
求其共轭调和函数已知：
方程
dyudxudy
y
v
dx
x
v
dv
yxvyxu
xy
RC
???
?
?
?
?
?
?
?
:),(),,(
类似地,然后两端积分得,
)(),(
),(
),( 00
????? ? cdyvdxvyxu
yx
yx xy
? 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际
问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解
析函数的关系。
iifyxyxu
ivuzf
??????
??
1)(
)(
22
由下列条件求解析函数
例 1
dyyxdxxydy
y
v
dx
x
v
dv
xy
y
u
x
v
yx
x
u
y
v
)2()2(
22
????
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?解
c
y
xy
x
cdyyxxdx
cdyyxdxxyyxv
yx
o
yx
?????
?????
?????
??
?
2
2
2
)2(
)2()2(),(
22
0
),(
)0,0(
曲线积分法
icziiciyx
i
iyx
cyxyxixyyxzf
????????
????????
222
2222
)
2
1
1()(
2
)(
)
2
1
2
2
1
()()(
故
2
)
2
1()(
2
1
1)
2
1(1)(
2
2
i
z
i
zfc
iici
i
iif
?????
???????? 代入上式得，?
?
)(
2
1
),(
2
1
zz
i
yzzx ????
)
22
(2
22
22
yx
ddxy
y d yxdxxdyy d x
????
????
dyyxdxxy
dy
y
v
dx
x
v
dv
)2()2( ????
?
?
?
?
?
??
又解
c
y
xy
x
yxv ?????
2
2
2
),(
22
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
凑
全
微
分
法
)(
2
22
2
x
y
xyvyx
y
v
???????
?
?
?
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
又解
偏
积
分
法
xyxy
x
v x
v
????
?
?
?
?
?
2)('2
?
?
c
x
x ???
2
)(
2
?
c
xy
xyyxv ?????
22
2),(
22
xx ??)('?
)2()2(
)('
yxiyx
iuuivuzf yxxx
????
????
)
2
1
2
2
1
()()( 2222 cyxyxixyyxzf ????????
又解
不
定
积
分
法
))(2(
)()(2
iyxi
iyxiiyx
???
????
? ? zi?? 2
icz
i
zf ?
?
?? 2
2
2
)(
? 1,复数列的极限
? 2,级数的概念
第 四 章 级 数
CH4§ 4.1 复数项级数
1,复数列的极限
定义
,),,2,1}({ nnnn iban ?? ＝其中设复数列,?? ?
，iba ???
又设复常数,
时的极限，当称为复数列那么
，恒有若
??
????????
n
NnN
n
n
}{
,,0,0
??
????
定理 1
.l i m,l i ml i m bbaa n
nnnnn
????
??????
??
证明
????
??
????????
??
??
n
n
n
NnN 恒有
即，”已知“
,,0,0
lim
.}{
,,l i m
??
????
收敛于此时，也称复数列
时，或当记作
n
nn
n
n ????
??
.lim,lim
)()()()(
22
bbaa
bbaa
bbaabbiaa
n
n
n
n
nnnn
nnnnn
??
?????????
?????????
????
故
又
??????
??
.l i m
)()(
22
,,0,0
l i m,l i m
???
??
??
?
??????
?????
??????????
???
??
????
n
n
nn
nnn
nn
n
n
n
n
bbaa
bbiaa
bbaaNnN
bbaa
故
又
，恒有
即,”已知“
2,级数的概念
?? ??????
?
?
n
n
n ???? 21
1
?
?
?????
n
i
inns
1
21 ???? ?
?级数的前面 n项的和
---级数的部分和
称为级数的和ss n
n
?
??
lim
称为收敛－级数 ?
?
? 1n
n?
不收敛
称为发散－级数 ?
?
? 1n
n?
---无穷级数
定义
),,,2,1}({}{ ???? niba nnn?
?设复数列,
?
?
?
?
?
?
? 收敛
若部分和数列 }{
n
s?
例 1
解
的敛散性。判别 ?
?
? 1 2
3
n
n
i
isi
i
s n
nn
n
j
jn 3lim),2
1
1(3
2
3
1
????
??
?
? 又?
.3,i且和为级数收敛?
定理 2
都收敛。和收敛级数 ???
?
?
?
?
?
?
?
111 n
n
n
n
n
n ba?
都收敛。和
由定理１，
??
????
?
?
?
?
??????
????
?
?????
???????
11
1111
lim,limlim
)(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
kn
ba
baibas
ibiaibas
??
????
证明
? 由定理 2，复数项级数的收敛问题可归之为
两个实数项级数的收敛问题。
.0lim,?
?? nn
?
收敛的必要条件级数 ?
?
? 1n
n?
性质
定理 3
.
1111
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
n
n
n
n
n
n
n ???? 收敛，且收敛若
证明
22
22
22
,
nnn
nnn
nnnnn
bab
baa
baiba
??
???
??????
收敛。得由定理
均绝对收敛，和
由比较判定法
?
??
?
?
?
?
?
?
1
11
2
n
n
n
n
n
n
ba
?
????
?
?
?
???
???
1111
,
n
n
n
n
n
k
k
n
k
k ?????
?
收敛.收敛若 ??
?
?
?
?
?
11 n
n
n
n ??
))1(:(
1
?
?
?
?
n
n
n
i例如
定义
.
111
11
条件收敛
为收敛，则称发散，而若
为绝对收敛；收敛，则称若
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
???
??
由定理 3的证明过程，及不等式,22 有
nnnn baba ???
定理 4
都收敛。和收敛级数 ???
?
?
?
?
?
?
?
111 n
n
n
n
n
n ba?
解
.)1(111)1(
11
2
1
发散收敛，发散,???
?
?
?
?
?
?
??
nnn n
i
nnn
?
绝对收敛。收敛,?? ?
?
?
?
?
?
?
??
00 0 !
)8(
!
8
!
8
)2(
n
n
n n
nn
n
i
nn
i
?
.)
2
)1(
(
2
1)1(
)3(
111
收敛收敛，收敛,???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n
n i
nn
?
例 2 否绝对收敛？下列级数是否收敛？是
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0 11
)
2
)1(
()3(
!
)8(
)2()1(
1
)1(
n n
n
nn
n
i
nn
i
n
i
n
.
)1(
1
原级数非绝对收敛收敛，条件又 ?
?? ?
?n
n
n
?
例 3
的敛散性。讨论 ?
?
? 0 !n
n
n
z
解
敛。在复平面上处处绝对收
令
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
0
00
!
!!
,
n
n
r
n
n
n
n
n
z
e
n
r
n
z
rz
练习,
的敛散性。讨论 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
1
n
n
i
e
n
?
的敛散性。讨论 ?
?
? 0 2
c o s
n
n
in
2
c o s
nn ee
in
??
?
? 1,幂级数的概念
? 2,收敛定理
? 3,收敛圆与收敛半径
? 4,收敛半径的求法
? 5,幂级数的运算和性质
§ 4.2 幂级数
1,幂级数的概念
定义 ?设复变函数列,
)1()()()()( 21
1
?? ??????
?
?
zfzfzfzf n
n
n
?,2,1,)}({ ?? nDzzf n
---称为复变函数项级数
?级数的最前面 n项的和
?
?
?????
n
k
knn zfzfzfzfzs
1
21 )()()()()( ?
---级数的部分和
,)1()(l i m),(
,)1(),()(l i m
00
0000
发散不存在，称级数 其和为
收敛在称级数若
zszs
zzszsDz
n
n
n
n
??
?
??
???
?
若级数 (1)在 D内处处收敛，其和为 z的函数
?? ＋)()()()( 21 zfzfzfzs n????
---级数 (1)的和函数
特殊情况，在级数 (1)中
得nnn zzczf )()( 0??
)2()(
0
0?
??
?
?
n
n
n zzc )3(0
0
0 ?
??
?
??
n
n
n zcz当
称为幂级数
并不失一般性。研究级数
中令在
)3(
)2()2(
0
0
?
??? ?
??
?k
k
n
czz ???
2,收敛定理
同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理,
定理 1 (阿贝尔 (Able)定理）
.,
,)0(
0
0
0
级数必绝对收敛的
则对满足收敛在⑴若级数
zzz
zzzc
n
n
n
?
???
??
?
.
,,00
级数必发散
的则对满足发散⑵若级数在 zzzzz ??
? ?
?
?
,2,1,0,
,,,,,m a x
0
0
2
02010
??
?
nMzc
zczczccM
n
n
N
N
故
取 ?
证明
，即则收敛 0lim,)1( 0
0
0 ???
??
?
? nn
n
n
n
n zczc?
?? ??????? nn zcNnN 000,恒有，，
1,
0
0 ??? q
z
z
zz 则若,
0
0
n
n
n
n
n
n Mqz
z
zczc ??
,
0
收敛由于 ?
??
?n
nMq,
0
收敛由比较判别法得 ?
??
?n
n
n zc
绝对收敛。?
??
?
?
0n
n
n zc
(2)用反证法,
3,收敛圆与收敛半径
收敛，，有设 ?
??
?
???
0
1011,
n
n
n zczzz
由 Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述
三种情况,
(i)若对所有正实数都收敛，级数 (3)在复平面上处
处收敛。
！收敛与假设矛盾，得证知由 ?
??
? 0
0)1(
n
n
n zc
(ii )除 z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时,
级数 (3)在复平面上除 z=0外处处发散。
.)3(
:
)3(
:
发散数
外，级在圆周
收敛；内，级数
定理，在圆周由
?
?
?
?
?
?
zc
z
cA b l e
.,0
,,0)(
0
0
发散使得
收敛使得
?
?
??
?
??
?
??
??
n
n
n
n
n
n
c
ci i i
??
??
显然,?< ?
否则，级数 (3)将在 ?处发散。
将收敛部分染成红色，发散
部分染成蓝色,?逐渐变大,
在 c?内部都是红色,?逐渐变
小，在 c?外部都是蓝色,
红、蓝色不会交错。 故
蓝两色的分界线。
为红、一定,Rzc R ??,
?
?
播放
R
Rc
? (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外
部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题
要具体分析。
定义 这个红蓝两色的分界圆周 cR叫做幂级数的
收敛圆；这个圆的半径 R叫做幂级数的收敛半径。
(ii)幂级数 (3)的收敛范围是以 0为中心，半径为 R
的圆域；幂级数 (2)的收敛范围是以 z0为中心,半径
为 R的圆域,
4,收敛半径的求法
的收敛半径求法，有关于幂级数 )3(
0
?
?
?n
n
n zc
定理 2
(比值法 )
??
?
?
?
???
???
????
???
?? ?
?
??
?
0
0
0/1
lim 1 R
c
c
n
n
n
，则若
zz
c
c
zc
zc
i
n
n
nn
n
n
n
n
?? ??? ?
??
?
?
??
1
1
1 limlim,0)( ?
证明
发散，时时，即当
绝对收敛；时即时当
?
?
?
?
?
?
??
??
0
0
,
1
1
,
1
,1
n
n
n
n
n
n
zczz
zczz
?
?
?
?
!,
0
1 矛盾收敛?
??
?n
n
n zc
.
1
:
0
也发散时，当以下证 ?
??
?
?
n
n
n zcz ?
,
1
,
0
00 收，外有一点设在用反证法 ?
??
?
?
n
n
n zczz ?
:
1
,011 定理得，由满足再取一点 A b l ezzz ??
?
.
1
,
1
0 ??
?? ?
??
?
Rzcz
n
n
n 故发散时，当
即发散,
0
0?
??
?
?
n
n
n zc
收敛都有时，对若 ?
??
?
??
0
0)(
n
n
n zczii ?;
0
???? ?
??
?
Rzc
n
n
n 故在复平面上处处收敛，
.,
,0)(
00
也发散发散，从而
有外，对一切时，除当
??
??
?
??
?
????
n
n
n
n
n
n
zczc
zziii ?
.0!0,
,,0
0
1101
0
00
????
??
?
?
??
?
??
?
Rzczzz
zcz
n
n
n
n
n
n
故收敛，矛盾，满足
则收敛否则，如果有一点
定理 3
(根值法 ) ?
?
?
?
?
???
???
????
??
??
?
?
??
?
0
0
0/1
lim Rcn
n
n
，则若
定理 3
(根值法 ) ?
?
?
?
?
???
???
????
??
??
?
?
??
?
0
0
0/1
lim Rcn
n
n
，则若
定理 2
(比值法 )
??
?
?
?
???
???
????
???
?? ?
?
??
?
0
0
0/1
lim 1 R
c
c
n
n
n
，则若
例 1
的收敛范围及和函数。
求幂级数 ?? ???????
?
?
n
n
n
zzzz
2
0
1
121 ?????? n
n zzzs ?又
z
z n
?
?
?
1
1
解
11l i m 1 ????
??
R
c
c
n
n
n
?
.
1
1
l i m,0l i m1
z
szz n
n
n
n ?
????
????
时，当?
.,0lim1 级数发散时，当 ???
??
n
n
zz?
综上
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.1;1
1
1
,
0
时当发散
时当且和函数为收敛
z
z
zz
n
n
例 2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形,
解 (1);)0()1(
1
?
?
?
?
n
p
n
p
n
z;)1)(( c h)2(
1
?
?
?
?
n
nz
n
i
.)
ln
()3(
1
n
n in
z??
?
n
n
n c
c 1
l i m ?
??
??? 1)1(l i m ??? ??
p
n n
n 1?? R
,1 时当 ?z
,1 时当 ??z
,
)1(
1
?
?
?
?
n
n
n
级数为
,
1
1
?
?
?n n
级数为
该级数收敛
该级数发散 p=1
p=2
,1 上在圆周 ?z ? ?
?
?
?
?
?
1 1
22,
1
n n
n
nn
z
是收敛的?
?该级数在收敛圆上是 处处 收敛的。
nn
i
nn
i
n
ee
n
i
c
n
i
n
i
n
1
c o s
1
s i n
1
c o s
1
s i n
1
c o s
2
1
)(
2
1
ch)2(
?
?
?
?
?
?
?
????
???
?
?
n
n
n c
c 1
l i m ?
??
??? 1
1
c o s
1
1
c o sl i m ?
?
?
?? nnn
1?? R
,11 上在圆周 ??z ? ?
?
?
?
?
??
1 1
)
1
( c o s)1)(ch(
n n
inn e
n
z
n
i ?
?
?
???
???
1
)1)(ch(,0)
1
( c o sl i m
n
nin
n
z
n
i
e
n
发散。??
综上
该级数发散。
该级数收敛,
时，当 11 ??z
时，当 11 ??z;)1)(( c h)2(
1
?
?
?
?
n
nz
n
i
2
22
)
2
(ln
1
ln
1
n
nn
nin
c
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???? R
2
2
2
lnln
2
ln)a r g (ln)l n ()3(
?
?
?
?
?
?
??
????
?
?
nin
ininiinin
其中：
?
n
n
n
n
n
n
n
c
2
22
)
2
(ln
1
limlim
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
故 0
)
2
(ln
1
l i m
2
1
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
n
n
.)
ln
()3(
1
n
n in
z??
?
故该级数在复平面上是处处收敛的,
5,幂级数的运算和性质
? 代数运算
2
0
1
0
)()( rRzgzbrRzfza
n
n
n
n
n
n ???? ??
?
?
?
?
设
Rzzgzfzbazbza
n
n
nn
n
n
n
n
n
n ??????? ???
?
?
?
?
?
?
)()()(
000
),m i n ( 21 rrR ?其中,Rzzgzf
zbabababazbza
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
??
?????? ???
?
?
??
?
?
?
?
),()(
)()()(
0
022110
00
?
---幂级数的加、减运算
---幂级数的乘法运算
rzgRzzg
rzzazf
n
n
n
??
?? ?
?
?
)()(
,)(
0
内解析，且在
设
Rzzgazgf
n
n
n ??? ?
?
? 0
)]([)]([
---幂级数的代换 (复合 )运算
? 幂级
数的代换运
算在函数展
成幂级数中
很有用,
例 3
.
)(
1
0
ab
azc
bz n
n
n
?
?
?
?
?
?
这里，复常数
的幂级数，表成形如把
解
)()(
11
abazbz ???
?
?
代换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
abzg
ab
azab
1
)(1
1
1
11
Rabaz
ab
az
ab
az
ab
az
zgzgzgzg
zg
n
n
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???????
?
,1
1)(,)]([)]([)(1
)(1
1
2
2
??
???
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
? abzg
ab
azababazbz
1
)(1
1
1
11
)()(
11
Razaz
ab
az
ab
az
ababzgabbz
n
n
????
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?? )(
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
11
)(1
111
1
2
3
2
代换
展开
还原
? 分析运算
定理 4
Rzzfzc
n
n
n ???
?
?
)(
0
设
.)()( 内解析在 Rzzfi ??
Rzznczczczfii
n
n
n
n
n
n
n
n
n ???? ???
?
?
?
?
?
?
? 1
1
00
)'()'()(')(
zdzcdzzcdzzfiii
n
c
n
nc
n
n
nc ? ?? ??
?
?
?
?
??
00
)()(
---幂级数的逐项求导运算
---幂级数的逐项积分运算
??
?
?
?
?
?
0
1
0 1
)(
n
n
n
z
n
zc
df ??或 RazCRz ????,
作业
? P103 30(1)(2),31
? P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)
