第十讲
唯一决定分式线性映射的条件
? 1,分式线性映射的存在唯一性
? 2,举例
§ 3 唯一决定分式线性映射的条件
.
,,,,
有三个是独立的
实际只四个常数含有虽然 dcba
dcz
baz
w
?
?
?
:,
,,
我们有线性映射
就能决定一个分式只需给定三个条件所以
)3,2,1(:
:)(
,,
,,,
321
321
?? ??
?
kwzf
zf
wwww
zzzz
k
f
k
射存在唯一的分式线性映
相异的点平面上也任意给定三个在
异的点平面上任意给定三个相在
定理
1,分式线性映射的存在唯一性
)3,2,1(),3,2,1(
)3,2,1(),0(
?
?
?
???
???
?
?
?
k
dcz
baz
wkw
kzbcad
dcz
baz
w
k
k
kk
k
即
依次将设证明
)2,1(,
))((
))((
?
??
??
?? k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k因而有
)(
)(
))((
))((
))((
))((
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
dcz
dcz
zz
zz
bcadzz
dczdcz
dczdcz
bcadzz
ww
ww
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
)2,1(,
))((
))((
3
3
3 ???
??
?? k
dczdcz
bcadzz
ww
k
k
k
)1(
13
23
2
1
13
23
2
1 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
故
23
13
23
13
zz
zz
ww
ww
?
?
?
?
?
同理
)(
)(
1
2
dcz
dcz
?
?
? ① 式 (1)是三对点所确定的唯一的一个映射。
.1,,0
,,321)1(321
?
?? ??
等式两边依次同时变为
由
且
，，点点② wwwzzz
).(,,,
)1(
321 r a t i oc r os swwww ?的交比
个点左端的式子通常称为四式③
~~~~~~~~~~~~
所求分式线性映射
因此，式 (1)说明分式线性映射具有保交比不变性。
'.,
'
CCF
CC
F? ??将必存在分式线性映射点以后
上分别取定三个不同和在已知圆周
由分式线性映射的存在唯一性定理知,
以下讨论这个映射 会把 C的内部映射成什么？
中的另一个和是
的象而中的一个必然是的象定
则可以断外部平面分为内部把它的象
，外部为内部为平面划分为两个区域将
212
22111
21
21
)(
,,)(
,,'
,:
DDdF
dDDdFd
DDwC
ddzC?
(不可能把 d1的部分映
入 D1,d1的另一部分映入 D2),
,'',
),,(,,
211221
212121121
CQCwwDwDw
wwwwzzdzz
F
????
??
交于一点必与弧且
或直线段圆弧若线段设
⌒
⌒
.)21 被映射为同一点上zz
事实上,
1d
2d
F
?
1D
C
'C
2D
2z
1z
2w
1w
Q
!一对应性相矛盾这与分式线性映射的一
另一在线段上一个在圆周就有两个不同的点象
上某一点的又是由假设上某点的象它一定是
,(,
,21
C
zzQC
?
')(
),(),(,,,)2(
33
2211321
CzFw
zFwzFwCzzz
??
???? 则
.)(,;)(,)1(
21200
1110010
DdDzFw
DdDzFwdz
F
F
????
??????
若否则
若
由以上讨论给出 确定对应区域 的两个方法,
),(
,,
2111
321
'
321
在观察者左方的区域沿曲线方向绕行时
反之那么绕向相同时
的依的绕向与依若
DdDd
wwwCzzzC
FF
? ??? ??
????
1d
2d
C
2D
1D
'CF
?
事实上;,
)(,,,,
11
13211
Dd
zzFwwwz
F? ???应在观察者的左方
也看顺着的保角性由于在
,,1111 于是的一段法线作过 dzzzzCz ??
)(',
)(,,
1
11321
或者直线段正交的一段圆弧并与是过
象在观察者的左方看顺着
Cw
zzFzzzzz ??
21 Dd F? ??反之
2z
1z
3z
z
2w
1w
3w
w
.
,)(
角形区域圆周的弧所围成区域
这二点时当二圆周交点中的一个Ⅲ
? ??
?? ??
F
F;
,)(
直线所围成的区域
一圆弧与一圆周的弧所围成的区域
这二点时射成当二圆周上有一个点映Ⅱ
? ??
?
F;
,)(
区域
二圆弧所围成的圆周的弧所围成的 区域
这二成无穷远点时当二圆周上没有点 映射Ⅰ
? ??
F
由上一节和本节的讨论，还有以下 结论,
.
,
,,,,
,
要的作用
重分式线性映射起着十分的共形映射问题时
直线段所组成的区域直线圆弧由圆周边界
在处理性与保对称性分式线性映射具有保圆 ~~~~~~~~~ ~~~~~
?
.,
,,,,,
实轴必将实轴故
也为实数均为实数时当
?
?
?
?
w
dcz
baz
wdcba
k
k
k
.0)I m (0)I m ( 的分式线性映射求将 ??? wz例 1
解
2,举例
,),3,2,1(,即实轴上的点设 ???
?
?
? kRz
dcz
baz
w k
,,
)0(0
)(
'
2
实轴变成实轴是同向的即
时为实数且当又 ???
?
?
? bcadz
dcz
bcad
w
.,平面上半平面上半因此 wz ?
0)I m (0)I m (
,0,,,,
???
?
?
?
??
wz
dcz
baz
w
bcaddcba
将分式映射
线性且均为实数时即，当
u
v (w)
2w1w 3w2z1z 3z
x
y (z)
0)I m (0)I m ( ??? zz也将
①具有这一形式的映射
平面下半平面上半
将
为实数
其中②
wz
wz
bcad
dcba
dcz
baz
w
0)I m (0)I m (
0,
,,,,
???
??
?
?
?
.
,
:
13
23
2
1
13
23
2
1
321
321
即得
代入
相异的对应点
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
www
zzz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
可在实轴上取三对的映射
③求
,
0)I m (0)I m ( ??? wz
.0))2('ar g(,0)2(
,1
0)I m (
的分式线性映射
且满足条件的分式线性映射
映射成单位圆平面求将上半
??
?
?
iwiw
w
zz例 2
解
.1
,
,
,
?
??
?
w
单位圆它必将上半平面映射具有保圆性
分式线性的边界圆周那么实轴就相当于圆域
的圆域是半径为若我们把上半平面看成
?
???
????
?????
w
zzwR
wwz
?
??
?
由保对称性对称
关于实轴与又实轴
的圆心，即
,
,1
01
?
u
v
o
(w)
x
y (z)
o
?)(
)(
为常数k
z
z
kw
?
?
?
?
??
?
1,1,1
}1{
????
?
?
?????
kw
z
z
wwwRz
?
?
又
?
?
为任意实数设 ??iek ?
:
,
一般形式为
所求分式线性映射因此
)2()0)( I m (
)(
???
?
?
?
?
?
??
z
z
ew i
10)I m (
)2(,
??? wz
映射必将
式的分式线性
形如反之
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
iz
iz
e
iz
iz
ew
i
iw
ii
2
2
2
2
2)2(
0)2(,
??
?
即
式中取在
由条件进一步
?? ii eiiw
iz
i
ew
4
)2(',
)2(
4
' 2 ??
?
??
)
4
a r g (a r g)2('a r g
i
eiw i ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
iz
iz
iw
2
2
,
2
0)
2
( 从而有
?
?
?
?
).(
,
1,)1(
2 0 3
解法二见线性映射
由交比形式可求得分式上依次取三点
在轴上任意取定三点本题可在
P
wx ?
.,
10)I m (,)2(
且无穷多映射不唯一
的的任意性由于 ??? wz?
?
例 3
.11 的分式线性映射求将 ??? wz
01}1{ ????? wwzz 的中心设 ?
解
???? wz
?
?
1
1 的对称点关于由保对称性
)10( 的对称点是关于与 ???? www
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
z
z
k
z
z
k
z
z
kw
?
?
?
?
?
?
?
1
'
11
u
v (w)
?
?
1
x
y (z)
1 1
)'
(
?kk ??
其中
1
1
1
'1
1,111
??
?
?
?
??????
wkz
wzwz
?
?
代入上式得将
?
故实常数取
又
,'
,1'11
?
??
?iek
k
?
??????
的线性分式映射为11 ???? wz
)3()1(
1
????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
??
z
z
ew i
0)(',)(
0)I m (
0
0
??
????
iwwiw
Rwwz
变换使满足条件
的分式线性求将
例 4
解
)4(0
R
ww ???令
)5(2
10)I m (
?
?
?
?
???
iz
iz
e
z
i ?
?
?
有，由例
再将
0??? ?iz
u
v
o
(w)
x
y (z)
o
?
)(?
,1
0
0
0
????
???
?
?
Rww
ww
将
R
0w
)7(Re)6)(5(
)6()4(
0
0
??
?
?
??
????
iz
iz
ww
Rww
i ?
?
有复合
有由
先求得再由 0)(' ?iw
)(
2
2
22
1
Re)('
2
1
Re
)(
Re
?
??
??
?
??
??
?
?
???
?
ii
i
iz
i
iz
e
R
i
iw
iiz
iziz
dz
dw
即
ie i ????? ?????
2
0
2
0wiz
iz
Riw ?
?
?
?故
,
2,11
什么区域
下映成在映射圆弧所围区域
的二半径为与中心分别在
iz
iz
w
zz
?
?
?
???
例 5
解
????????
?
wizwiz
ii
0
,,交点且互相正交与两圆弧的交点为
.
2
角形区域
的为顶点张角为映射后的区域是以原点
?
?
22
)21()21(
12 1
?
???
?????
i
wCz取
)( 第三象限的点
第二象限的分角线由保角性 ??? '22 CC
第三象限的分角线???? '11 CC
x
y (z)
1 -1
i
-i
2c
1c
12 ?o
iz
izw
?
?? '2c
'1c
u
v (w)
o
作业
? P246 15(1)(2),16(1)(2)