第五讲 原函数与不定积分
Cauchy积分公式
解析函数的高阶导数
? 1,原函数与不定积分的概念
? 2,积分计算公式
§ 3.4 原函数与不定积分
1,原函数与不定积分的概念
由 § 2基本定理的推论知：设 f (z)在单连通区
域 B内解析，则对 B中任意曲线 C,积分 ?c fdz与路
径无关，只与起点和终点有关。
当起点固定在 z0,终点 z在 B内变动,?c f (z)dz
在 B内就定义了一个变上限的单值函数，记作
?? zz dfzF
0
)1()()( ??
定理 设 f (z)在单连通区域 B内解析，则 F(z)在
B内解析，且
)()(' zfzF ?
定义 若函数 ? (z) 在区域 B内的导数等于 f (z),即
,称 ? (z)为 f (z)在 B内的原函数,
)()(' zfz ??
?? zz dfzF
0
)()( ??
上面定理表明 是 f (z)的一个
原函数。
设 H (z)与 G(z)是 f (z)的任何两个原函数,
)(,)()(
0)()()(')(')]'()([
为任意常数cczHzG
zfzfzHzGzHzG
???
???????
这表明,f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
(见第二章 § 2例 3)
? ?? czFdzzf )()(
2,积分计算公式
定义 设 F(z)是 f (z)的一个原函数，称 F(z)+c(c为
任意常数 )为 f (z)的不定积分，记作
定理 设 f (z)在单连通区域 B内解析,F(z)是 f (z)
的一个原函数，则
),()()()( 10011
0
BzzzFzFdzzf
z
z
?????
? 此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式,
? 但是要求函数是 解析 的,比以前的 连续 条件要强
例 1 计算下列积分,;3,3
,0Re,3
1
)1
2
ii
zzC
dz
zC
终点为起点为
为半圆周：其中
?
??
?
解 1)
3
2
|
12
11
,00Re
1
3
3
12
2
2
i
zdz
z
zz
z
i
i
C
?
??
?
??
?
??
?故
上解析，在?
3
2
3
1
9
31
2 2
2
2
2
22
i
d
e
i
d
e
ie
dz
z ii
i
C
??? ???
??
?
? ?
?
? ?
?
??：解
.,1
a r g
1
)2
的任意曲线终点为起点为
内：为单连通区域其中
z
zDC
dz
zC
?? ???
?
).(ln1lnln
1
1
ln,
1
Dzzzdz
z
z
zD
z
C
?????故
的一个原函数，是又内解析在?
解 2)
例 3 计算下列积分,
3
2
|
3
3
2 izdzz i
i
i
i
??? ?
?
??
? ?111
1
1
|
1
1 ???
?
?
?
?
?? nnnn
n
z
n
dzz ????
?
?
? ? iiizzzz d zz ii co ss i n|co ss i ns i n 0
0
?????
小结 求积分的方法
k
n
k
knc xfdzzf ?? ??
?
??
1
)(l i m)()1( ?
? ?? ???? u d yv d xiv d yu d xdzzfc )()2(
dttztzfdzzf
c
)()]([)()3( ?? ?? ?
?
0)(,,,)()4( ?? ?
c
dzzfBCBzf 则单连通解析若
)()(,)()(
,,)()5(
'1
0
1
0
zfzFzFdzzf
BBzf
z
z
z
z
???
则单连通内解析在若
利用 Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上
的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解
析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析
函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数
的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭
路积分的方法,
内 容 简 介
§ 3.5 Cauchy积分公式
0
)(
.
)(
,,
,)(,
0
0
0
00
一般
不解析在
则的一条闭曲线内围绕是
内解析在单连通设
?
?
?
?
?
?
?
C
dz
zz
zf
z
zz
zf
zDCBz
DzfD
?? ???
1 00
)()(
CC
dz
zz
zf
dz
zz
zf
的内部曲线
在内部的任意包含
由复合闭路定理得
CC
z
?
1
0
,
分析
D C
z0
C1
)(2
1
)(
)()(
0
0
0
0
00
1
1
zifdz
zz
zf
dz
zz
zf
dz
zz
zf
C
CC
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)}0({ 01 可充分小???? ??zzzC
)()(,0
)(,)(
0zfzf
zfCzf
?? 时当
上的函数值在的连续性
?
?
.,这就是下面的定理这个猜想是对的
D
C
z0
C1
∴ 猜想积分
特别取
定理 (Cauchy 积分公式 )
?内任意一点为
它的内部完全含于
曲线内任意一条正向简单闭是
内处处解析在设
Cz
D
DC
Dzf
0
)3
,
,)2
,)()1
? ?? C dzzz zfizf
0
0
)(
2
1)(
?
).(2
)(
lim:
,
)()(
.}{
0
0
0
00
0
zifdz
zz
zf
RKdz
zz
zf
dz
zz
zf
CRzzzK
KR
C K
??
?
?
?
?
?
?????
?
? ?
?
只须证明
无关的半径与
的内部设
?
证明
??
???
??
?
????????
? )(2
)(
,0,0:
0
0
0
zifdz
zz
zf
Rzz
K
即要证
??? ?????? kkk dzzzzfdzzz
zf
zifdz
zz
zf
0
0
0
0
0
1
)(
)(
)(2
)(
??
??
?
2
)()(
0
0 ??
?
?
? ??
KK
ds
R
ds
zz
zfzf
???? ??????????
??
?
)()(0,0
)()(l i m
00
0
0
zfzfRzz
zfzf
zz
?
? ?
?
?
k
dz
zz
zfzf
0
0 )()(
)(2
)(
l i m 0
0
0
zifdz
zz
zf
KR
??
?
? ?
?
? ??? C dzzz
zf
i
zf
0
0
)(
2
1)(
?
积分公式仍成立.
上连续及在内解析,
所围区域在( 1 ) 若定理条件改为
C a uc hyBBC
BCzf
,
)(
??
?
.
,
f(z),
C积分公式 (2)
定了内部任一处的值也就确
则它在区域确定在区域边界上的值一经
即若值来表示的值可以用它在边界的
内部任一点表明函数在C a uc hy
?
?
?
??
C
i
dz
zz
zf
i
zf
zzC
0
0
0
)(
2
1
)(
Re:)3(
?
?
则若?
一个解析函数在圆心处的值等于它在
圆周上的平均值,
?
?
?
? ?
?
?
?
?
2
0
0
Re
)Re(
2
1
dR i e
zf
i
i
i
i
? ??
? ?
?
?
2
0 0
)Re(
2
1
dzf i
??
?? ?
?
?44 3
2
1
1
)2
s i n
2
1
)1
zz
dz
zz
dz
z
z
i
）（求：
?
0s i n
s i n
2
1
)1
0
4
??
?
?
? z
z
zdz
z
z
i?
iii
dz
zz
dz
dz
zz
zf
zzz
??? 62212
3
2
1
)
3
2
1
1
()2
21)(
444
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
及
例 1
解
.1
12
2
线在内的任意简单正向曲为包含
求
?
?
?
?
zC
dz
zz
z
C
例 2
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
21
222
121212
CCC
dz
zz
z
dz
zz
z
dz
zz
z
解
C
C1 C2
1 x
y
o
??
?
?
?
?
?
?
21 1
12
1
12
CC
dz
z
z
z
dz
z
z
z
i
i
z
z
i
z
z
zz
C
?
??
4
2
12
2
1
12
10
?
?
?
?
?
?
??
积分公式由
).1('
,
173
)(,3
2
22
if
d
z
zfyxC
C
?
?
??
??? ?
求
表圆周设 ?
?
??例 3
解
)613(2]7)1(6[2)1('
3)76(2
30
)('
3)173(2
30
173
)(
173
2
2
2
??????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
??
??
?
iiiif
zzi
z
zf
zzzi
z
d
z
zf
zz
C
??
?
?
?
?
??
故
又
在全平面上处处解析，?
内 容 简 介
本节研究解析函数的无穷次可导性，并导
出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函
数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值
也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这
一点与实变函数有本质区别。
§ 6 解析函数的高阶导数
求导得两边在积分号下对
对积分公式
0
0
0
0
)(
)(
2
1
)(
z
Dzdz
zz
zf
i
zf
C
?
?
? ?
?
? ?? C dzzz
zf
i
zf 2
0
0 )(
)(
2
1
)('
?
???
?
?
C
dz
zz
zf
i
zf 3
0
0 )(
)(
2
!2
)("
?
),2,1(
)(
)(
2
!
)( 1
0
0
)( ??
?
? ? ? ndz
zz
zf
i
n
zf
C
n
n
?
形式上,
以下将对这些公式的正确性加以证明。
.,
)(
),2,1(
)(
)(
2
!
)(
,)(
0
0
0
)(
1
D
zDzfC
ndz
zz
zf
i
n
zf
n
zf
C
n
n
?
?
?
?
? ?
而且它的内部任意正向简单闭曲线
的内围绕的解析区域为在其中
阶导数为它的
的导数仍为解析函数解析函数
?
?
定理
证明 用数学归纳法和导数定义。
z
zfzzf
zfDz
n
z ?
???
???
?
??
)()(
l i m)('
.1
00
0
00
的情形先证
? ???? C dzzzz
zf
i
zzf
??
?
0
0
)(
2
1
)(
? ?? C dzzz
zf
i
zf
0
0
)(
2
1
)(
?
由柯西积分公式
?
??
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
???
C
CC
dz
zzzzz
zf
i
dz
zz
zf
dz
zzz
zf
ziz
zfzzf
))((
)(
2
1
)()(
2
1)()(
00
00
00
?
?
令为 I
?? ????
?
?
?
?
CC
dz
zzzzz
zzf
i
dz
zz
zf
i 20020 ))((
)(
2
1
)(
)(
2
1
??
?
?
????
?
?
????
?
?
C
C
ds
zzzzz
zfz
dz
zzzzz
zzf
I
2
00
2
00
)(
2
1
))((
)(
2
1
?
?
则有取则
上连续在上解析，在
,
2
1
m i n,)(,
)()(
0
dzzzdMzfM
CzfCzf
Cz
??????
?
?
?
?
dzzz
d
zzzzzz
dzz
dzz
21
,
2
11
,
0
00
0
0
?
???
????????
?
?
??
）（ *
)(
)(
2
1)()(
l i m)(' 2
0
00
00 ? ?
?
?
???
?
?? Cz
dz
zz
zf
iz
zfzzf
zf
?
从而有显然，
的长度）—
,0lim
(
0
3
?
??
?
I
CL
d
ML
zI
z?
?
?
.2)()( 的情形的方法可证式及推导再利用 ??? n
?
?
?
?
???
?
??
C
z
dz
zz
zf
i
z
zfzzf
zf
3
0
00
0
0
)(
)(
2
!2
)(')('
l i m)(''
?
依次类推，用数学归纳法可得
? ??? C nn dzzz
zf
i
n
zf 1
0
0
)(
)(
)(
2
!
)(
?
.,
)()(
无穷次可导内解析即在具有各阶导数
内在内解析平面上在定理表明
??
?
D
DzfDzzf
一个解析函数的导数仍为解析函数。
)(
!
2
)(
)(
,0)(1
0
zf
n
i
dz
zz
zf n
C n
?
?
?? ?
可计算积分用途
??
??
??
C
z
C
dz
z
e
dz
z
z
rzC
225
)1(
)2
)1(
c o s
)1
1:
?
求下列积分值
例 1
i
i
z
i
dz
z
z
z
zC
12
)(
!4
2
)( c o s
!15
2
)1(
c o s
c o s)1
5
4
1
)4(
5
?
?
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
）（
在全平面处处解析?
解
的内部不相交且在
取处不解析在
CCCizC
izCiz
iz
e
z
2122
1122
,:
:.
)(
)2
?
?
??
????
?
?
??? ??????
21
222222 )()()1( C
z
C
z
C
z
dz
zi
e
dz
zi
e
dz
z
e
??
?
?
?
?
?
?
21
2
2
2
2
)(
)(
)(
)(
C
z
C
z
dz
iz
iz
e
dz
iz
iz
e
iz
z
iz
z
iz
ei
iz
ei
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
22
)()!12(
2
)()!12(
2 ??
)
4
1s i n (2)1s i n1( c o s)1(
2
))(1(
2
2
?
?
?
?
?????
???
?
ii
ieei
ii
??? C n
z
dz
z
e
rzC,1:,)3 求下列积分值
? ? ?4 23 )1(
c o s
,)4
z
dz
zz
z?
求下列积分值
i?? )12( ?
)!1(
2
,1;2,1
?
????
n
i
nin
?
? 原式原式
作业
? P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)