第四讲 复变函数的积分
? § 3.1 复变函数积分的概念
? § 3.2 柯西 -古萨基本定理
? § 3.3 基本定理的推广
? § 3.4 原函数与不定积分
? § 3.5 柯西积分公式
? § 3.6 解析函数的高阶导数
? § 3.7 解析函数与调和函数的关系
第三章 复变函数的积分
? 1,有向曲线
? 2,积分的定义
? 3,积分存在的条件及其计算法
? 4,积分性质
§ 3.1 复变函数积分的概念
1,有向曲线
0)]('[)]('[],,[)(')('
)(
)(
)(
:
22
???
??
?
?
?
?
?
tytxCtytx
t
tyy
txx
C
且、
设
??
??
)1()()()()(,?? ???? ttiytxtzC
0)(')(' ?tztz 连续且
.平面上的一条光滑曲线zC ??
光滑或分段光滑曲线约定 ?C,).( 因而可求长
左边。的内部一直在观察者的一周
前进观察者顺此方向沿正方向闭曲线
C
C
,
,??
:的方向规定C
C A(起点 )
B(终点 )
C
C;,
,,,:
??
?
Cab
baba
记作为负则
为正若终点指定起点开曲线
2,积分的定义
BzzzA
nAB
n ??,,,:
)3(
10 ?小弧段
个任意分划成将
⌒
kkkkk zfzz ??? ? )()4( 1 ?? 作乘积
⌒
}{m a x,,
)()5(
1
11
1
k
nk
kkkkkk
n
k
kkn
SzzSzzz
zfS
??????
??
??
??
?
?
?
?
的长度为记
作和式
⌒
Dzzfw ?? )()1(设
定义
.
)2(
的一条光滑有向曲线
点内点为区域 BADC ?
D A
B
x
y
o
1?
1z
1?kz
k?
kz
1?nz
kz?
)2()(lim
1)(
0
Izf
n
k
kk
n
?
?
?
??
??
?
?
?
若
如何取无论如何分割 iC ?,
?
?
?
C
dzzf
BAC
zf
)(
,)(
)(
记作
的积分从
沿曲线为则称
)3()(l i m)(.,.
1
??? ??
?
??
n
k
kknC zfdzzfei ??
? ?
C
dzzfC )()1( 记作若闭曲线
?? ??? baC dttudzzftuzfbatC )()(),()(],,[:)2( 则
取极限求和取乘积分割 ???
2
,,)1(
22
ab
z d zabdz
baC
CC
?
??? ??
则的任一曲线表示连接点若特例：
0,0,)2( ?? ??
CC
zd zdzC 则表示闭曲线若
关。和
的形状还不仅因为
一般不能写成存在如果
方向有
与曲线有关,与
.,
Cbadzzf
dzzfdzzf
C
b
aC
,)(
)()()3(
?
??
3,积分存在的条件及其计算法
?
??
C
dzzfCzf
Cyxivyxuzf
.)(,)(,
),(),()(
存在即可积必沿上连续时
在光滑曲线当
定理
)4()( ??? ????
CCC
u d yv d xiv d yu d xdzzf且
.
)(
积分来计算实变函数的
可通过二个二元这个定理表明
第二型曲线
? C dzzf
?
? ??? C idydxivu ))((
记忆
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
vvuui
yyyxxxiyxz
????
???????? ??
),(),(
11
???????
令
)5(]),(),([
),(),(
11
11
??
??
??
??
????
????
n
k
kkk
n
k
kkk
n
k
kkk
n
k
kkk
yuxvi
yvxu
????
????
??
??
???????
n
k
kkkk
n
k
kkn yixivuzfS
11
))(()( ?
???
???
???
?????
?
????
CCC
CC
n
k
kk
n
n
n
dzzfdyyxudxyxvi
dyyxvdxyxuzfS
)()),(),((
)),(),(()(limlim
1
?
证明
.
0
实函数的曲线积分
时，均是当 ??
!),(),(
),(),(
存在、
、、
??
??
CC
CC
dyyxudxyxv
dyyxvdxyxu
都
故
上连续在
上连续在
C
yxvyxuCzf ),(),,(,)( ??
?
? ???? C dyyxudyyxvidyyxvdxyxu ]),(),([),(),(
一定存在。
是光滑曲线时，函数是：当推论
? c dzzf
Czf
)(
,)(1 连续
线积分来计算。
数的可以通过两个二元实函：推论 ?
c
dzzf )(2
?
??
??
??
)(
)(
)(
)(
)}('))()(()('))(),(({
)}('))(),(()('))(),(({)(
终
起
终
起
?
?
?
?
dttytytxutxtytxvi
dttytytxvtxtytxudzzf
C
?? ?? dttztzf )(')]([
? ??? ?? dttiytxtytxvitytxu ))(')(') ] ] } ((),([[)](),([{
?? ????,)()()(,ttiytxtzzC设光滑曲线
由曲线积分的计算法得
)6()(')]([)( ???? ??
?
?
dttztzfdzzf
C
???? ????
????
nCCCC
n
dzzfdzzf
CCCC
)()(
)()4
21
21
?
? 分段光滑曲线
.)()(
)()(,)5
估值定理
上满足在函数的长度为设
?????
?
?? MLdszfdzzf
MzfCzfLC
CC
4,积分性质
?? ??? CC dzzfdzzf )()()1
?? ? CC dzzfkdzzkf )()()2
??? ??? CCC dzzgdzzfdzzgzf )()()]()([)3
由积分定义得,
)10(
4
3
,??
?
?
?
?
?
? tty
tx
OAzd z
C
计算
例 1
?? ???? 10 )43()43( dtitiz d zC
21
0
2 )43(
2
1
)43( it d ti ???? ?
解
?? ??? CC i d ydxiyxz d z ))((
,,无关右边两个积分都与路径容易验证
2)43(
2
1)(,idzzfCOA
C
???? ?，其上积分的曲线连接
?? ???? CC xdyy d xiy d yxdx
又解
A
o x
y
.,
,
)(
01
0
为整数为半径的正向圆周
为中心表示以这里计算
nr
zC
zz
dz
C n? ??
例 2
??? 20,0 ???? irezzC
解
o x
y
?irezz ??
0
?
z
0z
r
C
?
?
?
?
?
???
??
??
?
?
?
00)s i n( c o s
02
2
0
2
02
0
ndnin
r
i
nidi
d
er
i
n
inn ?
?
?
?
???
??
?
? ??? C nzz
dz
1
0 )(
? ???
?
?
?
?
2
0 )1(1
d
er
i r e
nin
i
? ?
?
?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0
0 2
) ( ) ( 0 1 0 1 0 n
n i
z z
dz
z z
dz
r z z n C n
?
.
,0
应记住以后经常用到,
这个结果无关及这个结果与半径 zr
?
o x
y
iz ?? 10
1C
2C
3C)()2
)1
32
01
见图
的值计算
CCC
OzCC
dzz
C
??
??
?
例 3
10)1(:)1 1 ???? ttizC
解
12)1)(( 1
0
1
0
????? ??? t d tdtiittdzz
C
101:10:)2 32 ??????? titzCttzC
??? ??
32 CCC
dzzdzzdzz
iii d titt d t ???????? ?? 1)
2
1
(
2
1
)1(
1
0
1
0
.1;,1
,,
2
1
21
向的下半圆周，逆时针方是单位圆
顺时针方向的上半圆周是单位圆
其中的值计算
?
?
??
zC
zC
dzzdzz
CC
.0,:)1 1 ??? ??? iezC
解,
idtidieedzz ii
C
??
??
?? ???? ??? ? 00
1
.0,:)2 2 ???? ???iezC
idtidieedzz ii
C
??
??
?? ??? ???
??
? 00
2
例 4
分析 § 1的积分例子,
dzzfdzzfdzzf
C
zzf
B
ACC ???
?
)()()(
,)(1
＝与路径无关，即即，
的积分值相同，任意它沿连接起点及终点的
在全平面解析中例
解析。的非单连通区域内处处但在除去
即不解析的点为奇点
中例
0
0
0
,,
02
1
2
0
zz
zz
idz
zz
rzz
?
?
??
?
?
??
?
?
§ 3.2 Cauchy-Goursat基本定理
.
,)(3
有关的值与积分路径
在复平面上处处不解析中例
Cdzz
zzf
C?
?
由此猜想,复积分的值与路径无关或沿闭路的
积分值＝ 0的条件可能与被积函数的解析性及解
析区域的单连通有关。
先将条件加强些，作初步的探讨
")('
,)("
内连续在
且内处处解析在单连通设
Dzf
Divuzf ??
yxyx
yxyx
uvvuRC
Dvvuuvu
????
?
方程并满足都是连续的
内在以及它们的偏导数和
,
,,,
??? ????
??
CCc
u d yv d xiv d yu d xdzzf
DC
)(
,，又
???
???
????
?????
D
yx
c
D
yx
c
d x d yvuu d yv d x
d x d yuvv d yu d x
G r e e n
0)(
0)(
公式由
? ?? c dzzf 0)(
yyxx iuvivuzf ????)('?
.")('"
,1900
这一条件去掉了连续将
且定理的新证明给出了年
zf
C a u c h yG o u rs a t
"0)(
)(
"1825
??
c
dzzfC
Dzf
DC a u c h y
的积分
内沿任一条闭曲线在处处解析的
内单连通区域给出了年
.,)(' 内连续且在存在当时解析的定义为 Dzf
.
1851
简单证明
定理的上述给出了年 C a u c h yR i e m a n n
— Cauchy 定理
")(':"
,
内存在在改为从此解析函数的定义修
定理这就产生了著名的
Dzf
G o u rs a tC a u c h y ?
定理仍成立.连续,在
内解析在的边界为若
上BCBzf
BzfBC
??)(
,)(,)2(
.0)(
,)(
?? ?
C
dzzfBC
Bzzf
内任一条闭曲线为
内解析平面上单连通区域在设
Cauchy-Goursat基本定理,
.,
)(
,)1(
定理仍成立解析
上在
的边界为若
BCBzf
BC
??
? B
C
— 也称 Cauchy定理
(3)定理中曲线 C不必是简单的！如下图。
B B
C
推论 设 f (z)在单连通区域 B内解析，则对任意
两点 z0,z1∈ B,积分 ?c f (z)dz不依赖于连接起点
z0与终点 z1的曲线,即积分与路径无关 。
C
??? ?? 1
021
)()()( z
zCC
dzzfdzzfdzzf见上图
z1 z
0
C1
C2
C1
C2
z0
z1
.,
),(
,,,:
21
顺时针是逆时针
及每一条曲线互不包含也不相交闭曲线
的内部的简单是在闭其中
?
?
?
i
i
n
C
CC
CCCCDC ?
)2()()(
)1(0)(
,)(,.
1
21
? ??
?
?
?
???
?
?
?
??????
n
i
cc
n
i
dzzfdzzf
dzzf
DzfDB
CCCCB
或
则内解析在②且有界多连通区域
所围成的是由设① ?
复合闭路定理,
§ 3.3 基本定理推广 — 复合闭路定理
?? ???? ??????? ?
221121
)()(
LLLLccc
dzzfdzzf?
证明
0
)(
)(
'''
'''
?
?
?
?
?
HAFFEEAA
AEAFEA G F
dzzf
dzzf
?? ????
21 CCC设
D
C
c1
c2
B
L1
L2
L3
A A’
E
E’
F
F’
G
H
idz
zz
zC
C
?2
1
0
0
?
?
?有：
内的正向简单闭曲线
在包含如：对任意
说明
??? ??????
?
k
k
CCCC
CC
?21
:,,)1( 三者之间的关系
.,
:,)2(
按顺时针方向按逆时针方向
的特点与曲线的正向
k
k
CC
CC
???
??
??
???
????
??
?????
k
k
ccc
cccc
dzzfdzzfdzzf
dzzfdzzf
)()()(
)()(0)3(
1
21
?
?
??? ????
kccc
dzzfdzzfdzzf )()()(
1
?
?
?? ? 1 )()( cc dzzfdzzf此式说明一个解析函
数沿闭曲线的积分,
不因闭曲线在区域内
作连续变形而改变它
的积分值，只要在变
形过程中曲线不经过
的 f(z)的不解析点,
— 闭路变形原理
D
C C1
C1 C1
.
1:
12
2
任意正向简单闭曲线
在内的包含圆周计算 ??
?
?
?? zdzzz
z例
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2121
1
1
1
)
1
1
1
(
CCCC
dz
z
dz
z
dz
zz
原式
)0
1
,0
1
1
(
21
??
? ?? CC
dz
z
dz
z
?
iii
dz
z
dz
z CC
??? 422
1
1
1
12
???
?
?
? ??
解
?
C1 C2
1 x
y
o
.
1:
1
2
任意正向简单闭曲线
在内的包含圆周计算 ??
???
zdz
zz
练习
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2121
1
1
1
)
1
1
1
(
CCCC
dz
z
dz
z
dz
zz
原式
)0
1
,0
1
1
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21
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? ?? CC
dz
z
dz
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022
1
1
1
12
???
?
?
? ??
ii
dz
z
dz
z CC
??
解
?
C1 C2
1 x
y
o
作业
? P99 1,2,5,7(1)(2)
? § 3.1 复变函数积分的概念
? § 3.2 柯西 -古萨基本定理
? § 3.3 基本定理的推广
? § 3.4 原函数与不定积分
? § 3.5 柯西积分公式
? § 3.6 解析函数的高阶导数
? § 3.7 解析函数与调和函数的关系
第三章 复变函数的积分
? 1,有向曲线
? 2,积分的定义
? 3,积分存在的条件及其计算法
? 4,积分性质
§ 3.1 复变函数积分的概念
1,有向曲线
0)]('[)]('[],,[)(')('
)(
)(
)(
:
22
???
??
?
?
?
?
?
tytxCtytx
t
tyy
txx
C
且、
设
??
??
)1()()()()(,?? ???? ttiytxtzC
0)(')(' ?tztz 连续且
.平面上的一条光滑曲线zC ??
光滑或分段光滑曲线约定 ?C,).( 因而可求长
左边。的内部一直在观察者的一周
前进观察者顺此方向沿正方向闭曲线
C
C
,
,??
:的方向规定C
C A(起点 )
B(终点 )
C
C;,
,,,:
??
?
Cab
baba
记作为负则
为正若终点指定起点开曲线
2,积分的定义
BzzzA
nAB
n ??,,,:
)3(
10 ?小弧段
个任意分划成将
⌒
kkkkk zfzz ??? ? )()4( 1 ?? 作乘积
⌒
}{m a x,,
)()5(
1
11
1
k
nk
kkkkkk
n
k
kkn
SzzSzzz
zfS
??????
??
??
??
?
?
?
?
的长度为记
作和式
⌒
Dzzfw ?? )()1(设
定义
.
)2(
的一条光滑有向曲线
点内点为区域 BADC ?
D A
B
x
y
o
1?
1z
1?kz
k?
kz
1?nz
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)2()(lim
1)(
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k
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若
如何取无论如何分割 iC ?,
?
?
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C
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,)(
)(
记作
的积分从
沿曲线为则称
)3()(l i m)(.,.
1
??? ??
?
??
n
k
kknC zfdzzfei ??
? ?
C
dzzfC )()1( 记作若闭曲线
?? ??? baC dttudzzftuzfbatC )()(),()(],,[:)2( 则
取极限求和取乘积分割 ???
2
,,)1(
22
ab
z d zabdz
baC
CC
?
??? ??
则的任一曲线表示连接点若特例：
0,0,)2( ?? ??
CC
zd zdzC 则表示闭曲线若
关。和
的形状还不仅因为
一般不能写成存在如果
方向有
与曲线有关,与
.,
Cbadzzf
dzzfdzzf
C
b
aC
,)(
)()()3(
?
??
3,积分存在的条件及其计算法
?
??
C
dzzfCzf
Cyxivyxuzf
.)(,)(,
),(),()(
存在即可积必沿上连续时
在光滑曲线当
定理
)4()( ??? ????
CCC
u d yv d xiv d yu d xdzzf且
.
)(
积分来计算实变函数的
可通过二个二元这个定理表明
第二型曲线
? C dzzf
?
? ??? C idydxivu ))((
记忆
kkkkkkkkk
kkkkkkkkk
vvuui
yyyxxxiyxz
????
???????? ??
),(),(
11
???????
令
)5(]),(),([
),(),(
11
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11
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???
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?????
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n
n
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dzzfdyyxudxyxvi
dyyxvdxyxuzfS
)()),(),((
)),(),(()(limlim
1
?
证明
.
0
实函数的曲线积分
时，均是当 ??
!),(),(
),(),(
存在、
、、
??
??
CC
CC
dyyxudxyxv
dyyxvdxyxu
都
故
上连续在
上连续在
C
yxvyxuCzf ),(),,(,)( ??
?
? ???? C dyyxudyyxvidyyxvdxyxu ]),(),([),(),(
一定存在。
是光滑曲线时，函数是：当推论
? c dzzf
Czf
)(
,)(1 连续
线积分来计算。
数的可以通过两个二元实函：推论 ?
c
dzzf )(2
?
??
??
??
)(
)(
)(
)(
)}('))()(()('))(),(({
)}('))(),(()('))(),(({)(
终
起
终
起
?
?
?
?
dttytytxutxtytxvi
dttytytxvtxtytxudzzf
C
?? ?? dttztzf )(')]([
? ??? ?? dttiytxtytxvitytxu ))(')(') ] ] } ((),([[)](),([{
?? ????,)()()(,ttiytxtzzC设光滑曲线
由曲线积分的计算法得
)6()(')]([)( ???? ??
?
?
dttztzfdzzf
C
???? ????
????
nCCCC
n
dzzfdzzf
CCCC
)()(
)()4
21
21
?
? 分段光滑曲线
.)()(
)()(,)5
估值定理
上满足在函数的长度为设
?????
?
?? MLdszfdzzf
MzfCzfLC
CC
4,积分性质
?? ??? CC dzzfdzzf )()()1
?? ? CC dzzfkdzzkf )()()2
??? ??? CCC dzzgdzzfdzzgzf )()()]()([)3
由积分定义得,
)10(
4
3
,??
?
?
?
?
?
? tty
tx
OAzd z
C
计算
例 1
?? ???? 10 )43()43( dtitiz d zC
21
0
2 )43(
2
1
)43( it d ti ???? ?
解
?? ??? CC i d ydxiyxz d z ))((
,,无关右边两个积分都与路径容易验证
2)43(
2
1)(,idzzfCOA
C
???? ?，其上积分的曲线连接
?? ???? CC xdyy d xiy d yxdx
又解
A
o x
y
.,
,
)(
01
0
为整数为半径的正向圆周
为中心表示以这里计算
nr
zC
zz
dz
C n? ??
例 2
??? 20,0 ???? irezzC
解
o x
y
?irezz ??
0
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.
,0
应记住以后经常用到,
这个结果无关及这个结果与半径 zr
?
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)1
32
01
见图
的值计算
CCC
OzCC
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C
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?
例 3
10)1(:)1 1 ???? ttizC
解
12)1)(( 1
0
1
0
????? ??? t d tdtiittdzz
C
101:10:)2 32 ??????? titzCttzC
??? ??
32 CCC
dzzdzzdzz
iii d titt d t ???????? ?? 1)
2
1
(
2
1
)1(
1
0
1
0
.1;,1
,,
2
1
21
向的下半圆周，逆时针方是单位圆
顺时针方向的上半圆周是单位圆
其中的值计算
?
?
??
zC
zC
dzzdzz
CC
.0,:)1 1 ??? ??? iezC
解,
idtidieedzz ii
C
??
??
?? ???? ??? ? 00
1
.0,:)2 2 ???? ???iezC
idtidieedzz ii
C
??
??
?? ??? ???
??
? 00
2
例 4
分析 § 1的积分例子,
dzzfdzzfdzzf
C
zzf
B
ACC ???
?
)()()(
,)(1
＝与路径无关，即即，
的积分值相同，任意它沿连接起点及终点的
在全平面解析中例
解析。的非单连通区域内处处但在除去
即不解析的点为奇点
中例
0
0
0
,,
02
1
2
0
zz
zz
idz
zz
rzz
?
?
??
?
?
??
?
?
§ 3.2 Cauchy-Goursat基本定理
.
,)(3
有关的值与积分路径
在复平面上处处不解析中例
Cdzz
zzf
C?
?
由此猜想,复积分的值与路径无关或沿闭路的
积分值＝ 0的条件可能与被积函数的解析性及解
析区域的单连通有关。
先将条件加强些，作初步的探讨
")('
,)("
内连续在
且内处处解析在单连通设
Dzf
Divuzf ??
yxyx
yxyx
uvvuRC
Dvvuuvu
????
?
方程并满足都是连续的
内在以及它们的偏导数和
,
,,,
??? ????
??
CCc
u d yv d xiv d yu d xdzzf
DC
)(
,，又
???
???
????
?????
D
yx
c
D
yx
c
d x d yvuu d yv d x
d x d yuvv d yu d x
G r e e n
0)(
0)(
公式由
? ?? c dzzf 0)(
yyxx iuvivuzf ????)('?
.")('"
,1900
这一条件去掉了连续将
且定理的新证明给出了年
zf
C a u c h yG o u rs a t
"0)(
)(
"1825
??
c
dzzfC
Dzf
DC a u c h y
的积分
内沿任一条闭曲线在处处解析的
内单连通区域给出了年
.,)(' 内连续且在存在当时解析的定义为 Dzf
.
1851
简单证明
定理的上述给出了年 C a u c h yR i e m a n n
— Cauchy 定理
")(':"
,
内存在在改为从此解析函数的定义修
定理这就产生了著名的
Dzf
G o u rs a tC a u c h y ?
定理仍成立.连续,在
内解析在的边界为若
上BCBzf
BzfBC
??)(
,)(,)2(
.0)(
,)(
?? ?
C
dzzfBC
Bzzf
内任一条闭曲线为
内解析平面上单连通区域在设
Cauchy-Goursat基本定理,
.,
)(
,)1(
定理仍成立解析
上在
的边界为若
BCBzf
BC
??
? B
C
— 也称 Cauchy定理
(3)定理中曲线 C不必是简单的！如下图。
B B
C
推论 设 f (z)在单连通区域 B内解析，则对任意
两点 z0,z1∈ B,积分 ?c f (z)dz不依赖于连接起点
z0与终点 z1的曲线,即积分与路径无关 。
C
??? ?? 1
021
)()()( z
zCC
dzzfdzzfdzzf见上图
z1 z
0
C1
C2
C1
C2
z0
z1
.,
),(
,,,:
21
顺时针是逆时针
及每一条曲线互不包含也不相交闭曲线
的内部的简单是在闭其中
?
?
?
i
i
n
C
CC
CCCCDC ?
)2()()(
)1(0)(
,)(,.
1
21
? ??
?
?
?
???
?
?
?
??????
n
i
cc
n
i
dzzfdzzf
dzzf
DzfDB
CCCCB
或
则内解析在②且有界多连通区域
所围成的是由设① ?
复合闭路定理,
§ 3.3 基本定理推广 — 复合闭路定理
?? ???? ??????? ?
221121
)()(
LLLLccc
dzzfdzzf?
证明
0
)(
)(
'''
'''
?
?
?
?
?
HAFFEEAA
AEAFEA G F
dzzf
dzzf
?? ????
21 CCC设
D
C
c1
c2
B
L1
L2
L3
A A’
E
E’
F
F’
G
H
idz
zz
zC
C
?2
1
0
0
?
?
?有：
内的正向简单闭曲线
在包含如：对任意
说明
??? ??????
?
k
k
CCCC
CC
?21
:,,)1( 三者之间的关系
.,
:,)2(
按顺时针方向按逆时针方向
的特点与曲线的正向
k
k
CC
CC
???
??
??
???
????
??
?????
k
k
ccc
cccc
dzzfdzzfdzzf
dzzfdzzf
)()()(
)()(0)3(
1
21
?
?
??? ????
kccc
dzzfdzzfdzzf )()()(
1
?
?
?? ? 1 )()( cc dzzfdzzf此式说明一个解析函
数沿闭曲线的积分,
不因闭曲线在区域内
作连续变形而改变它
的积分值，只要在变
形过程中曲线不经过
的 f(z)的不解析点,
— 闭路变形原理
D
C C1
C1 C1
.
1:
12
2
任意正向简单闭曲线
在内的包含圆周计算 ??
?
?
?? zdzzz
z例
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2121
1
1
1
)
1
1
1
(
CCCC
dz
z
dz
z
dz
zz
原式
)0
1
,0
1
1
(
21
??
? ?? CC
dz
z
dz
z
?
iii
dz
z
dz
z CC
??? 422
1
1
1
12
???
?
?
? ??
解
?
C1 C2
1 x
y
o
.
1:
1
2
任意正向简单闭曲线
在内的包含圆周计算 ??
???
zdz
zz
练习
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
2121
1
1
1
)
1
1
1
(
CCCC
dz
z
dz
z
dz
zz
原式
)0
1
,0
1
1
(
21
??
? ?? CC
dz
z
dz
z
?
022
1
1
1
12
???
?
?
? ??
ii
dz
z
dz
z CC
??
解
?
C1 C2
1 x
y
o
作业
? P99 1,2,5,7(1)(2)
