第三讲 解析函数的充要条件
初等函数
? 1,解析函数的充要条件
? 2,举例
§ 2.2 解析函数的充要条件
如果复变函数 w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y)在定
义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
本节从函数 u (x,y) 及 v (x,y) 的可导性，探求
函数 w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
问题 如何判断函数的解析性呢？
一, 解析函数的充要条件
yix
yxivyxuyyxxivyyxxu
???
???????????
?
)],(),([)],(),([
则可导
在点设函数
,
),(),()(
iyxz
yxivyxuzfw
??
???
?
?
???
z
zfzzf )()(
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
x
yxivyxuyxxivyxxu
z
zfzzf
zf
xx
x
z
?
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?
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???
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?
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???
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????
??
??
),(),(
l i m
),(),(
l i m
)],(),([)],(),([
l i m
)()(
l i m)(
00
0
0
)0( ????? yzzz若沿平行于实轴的方式
x
v
i
x
u
?
?
?
?
?
?
yi
yxvyyxv
i
yi
yxuyyxu
yi
yxivyxuyyxivyyxu
z
zfzzf
zf
yy
y
z
?
???
?
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?
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?
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????
??
??
),(),(
l i m
),(),(
l i m
)],(),([)],(),([
l i m
)()(
l i m)(
00
0
0 )0( ????? xzzz若沿平行于虚轴的方式
y
u
i
y
v
y
v
y
u
i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
y
u
x
v
y
v
x
u
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
zf
?
?
??
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(' 存在?
? 记忆
y
v
x
v
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
定义 方程
称为 Cauchy-Riemann方程 (简称 C-R方程 ),
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
定理 1 设 f (z) = u (x,y) + iv(x,y)在 D 内有定义,
则 f (z)在点 z=x+iy ∈ D处可导的充要条件是
u(x,y) 和 v(x,y) 在点 (x,y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
上述条件满足时,有
xyyyyxxx ivviuviuuivuzf ????????)('
证明
（ 由 f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导 函数 u(x,y),v(x,y)可微 ）。
?
"" ?
?
∵ 函数 w =f (z)点 z可导，即
)('
)()(
)( zf
z
zfzzf
z ?
?
???
???设
则 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1),且
z
zfzzf
zf
z ?
???
?
??
)()(
lim)('
0
0)(l i m
0
??
??
z
z
?
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy)
=(aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy)
+i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy)
令,f (z+Δz) ? f (z)=Δu+iΔv,f ?(z)= a+ib,
?(Δz)=?1+i?2 故（ 1）式可写为
因此 Δu=aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy,
Δv=bΔx+aΔy+?2Δx??1Δy
0)(l i m
0
?
?
z
z
??
?
? 0l i ml i m
2
0
01
0
0
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
y
x
y
x
0lim 21
0
0
?
?
?
?
? z
yx
y
x ?
????
?
?
0l i m 12
0
0
?
?
???
??
?? z
yx
y
x
??
所以 u(x,y),v(x,y)在点 (x,y)处可微,
（由函数 u(x,y),v (x,y)在点 (x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点 z=x+iy处可导） ?
"" ?
∵ u(x,y),v(x,y)在 (x,y)点可微，即,
yxy
y
u
x
x
u
u ?????
?
?
??
?
?
?? 21 ??
yxy
y
v
x
x
v
v ??????? 43 ??
?
?
?
?
?
?
)4,3,21(,0l i m
0
0
，其中 ??
??
??
kk
y
x
?
yixiy
y
v
i
y
u
x
x
v
i
x
u
viuzfzzf
???????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????????
)()()()(
)()(
4231
????
yixiz
x
v
i
x
uRC
???????
?
?
?
?
?
?
?
)()()( 4231 ????
方程由
0)(1||,1|| 31 ??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? i
z
x
z
y
z
x
?
x
v
i
x
u
z
zfzzf
zf
z ?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
)()(
l i m)(
0
z
y
i
z
x
i
x
u
i
z
u
z
zfzzf
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
)()(
)()(
4231 ????
定理 2 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内解析充要
条件是 u(x,y) 和 v(x,y)在 D内 可微，且
满足 Cauchy-Riemann方程
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切
的联系,当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可
以求出导数来,
? 利用该定理可以判断那些函数是不可导的,
使用时, i) 判别 u(x,y),v (x,y) 偏导数的连续性,
ii) 验证 C-R条件,
iii) 求导数,
y
v
y
u
ix
v
i
x
u
zf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
)('
? 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼
成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两
个实函数分别关于 x,y求导简单拼凑成的,
二, 举例
2)3( )s i n( c o s)()2(;)1( zwyiyezfzw x ???? ；
例 1 判定下列函数在何处可导，在何处解析,
解 (1) 设 z=x+iy w=x-iy u=x,v= -y 则
析。在全平面不可导，不解故 zw
y
v
x
u
y
v
x
v
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
01
解 (2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy,v= exsiny
在全平面可导，解析。故 )s i n( c o s)(
c o ss i n
s i nc o s
yiyezf
y
u
x
v
y
v
x
u
ye
y
v
ye
x
v
ye
y
u
ye
x
u
x
xx
xx
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
)(s i nc o s)(' zfyieye
x
vi
x
uzf xx ???
?
??
?
??
仅在点 z = 0处满足 C-R条件，故
。处可导，但处处不解析仅在 02 ?? zzw
解 (3) 设 z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2,v=0 则
0022 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
y
y
u
x
x
u
例 2 求证函数
.0
),(),(
2222
dz
dw
iyxz
yx
y
i
yx
x
yxivyxuw
处解析，并求在 ???
?
?
?
???
证明 由于在 z≠0处,u(x,y)及 v(x,y)都是可微函数,
且满足 C-R条件,
,
)( 222
22
yx
xy
y
v
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
222 )(
2
yx
xy
x
v
y
u
?
?
?
?
?
??
?
?
故函数 w=f (z)在 z≠0处解析，其导数为
2222
2
222222
22
1
)(
)(
)(
2
)(
zyx
iyx
yx
xy
i
yx
xy
x
v
i
x
u
z
w
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DzCzfDzzf ?????,)(,0)('若
例 3
复常数）()(
0
0
1
)('
2121
CiCCzfCvCu
vuvu
vu
i
ivuzf
yyxx
yyxx
??????
?????
??????证明
例 4 如果 f (z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数,
且 f ?(z)≠0，那么曲线族 u(x,y)=C1,
v(x,y)=C2必互相正交，这里 C1, C2常数,
那么在曲线的交点处,i)uy,vy 均不为零时,
由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1,
v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
yx uuk /1 ?? yx vvk /2 ??
0
1
)(' ?
?
?
?
?
?
?
y
v
y
u
i
zf? 0不全为与 y
v
y
u
?
?
?
?
?
解
利用 C-R方程 ux=vy,uy=-vx 有
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交,
ii) uy,vy中有一为零时，不妨设 uy=0，则 k1=∞,
k2=0（由 C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另
一条是铅直的,它们仍互相正交。
)(,,,,
)()( 2222
在复平面内处处解析取何值时问常数
若
zfdcba
ydxycxibyaxyxzf ??????
练习,
a=2,b=-1,c=-1,d=2
? 1,指数函数
? 2,三角函数和双曲函数
? 3,对数函数
? 4,乘幂与幂函数
? 5,反三角函数与反双曲函数
§ 2.3 初等函数
本节将实变函数的一些常用的初等函数
推广到复变函数情形，研究这些初等函数的
性质，并说明它的解析性。
内 容 简 介
一, 指数函数
它与实变指数函数有类似的性质,
0e x p)1( ?? zz )0e x p,( ?? xez事实上
xezzfxz ?? e x p)(,)2( 时为实数当 )0( ?y?
))2(12§( 的例见
??
?
?
?
??????
?
?
?,2,1,02)e x pA r g (
e x p
kkyz
ez x
)1()s i n( c o se x p)(
:e x p
yiyezzf
zziyxz
x ???
?? 如下的指数函数定义复变数对
定义
.e x p)( e x pe x p)()3( zzzzf ??? 且在复平面上处处解析，
右边
左边
设事实上
?
??
????
??
??
????
??
???
?
?
)e x p (
)]s i n ()[ c o s (
)]s i nc o sc o s( s i n
s i ns i nc o s[ c o s
)s i n( c o s)s i n( c o s
e x pe x p
)2,1(,
21
2121
2121
2121
2211
21
21
21
21
zz
yyiyye
yyyyi
yyyye
yiyeyiye
zz
jiyxz
xx
xx
xx
jjj
)ex p (ex pex p:)4( 2121 zzzz ??加法定理
.e x p ze z 代替为了方便，我们用以后
:)( 的周期性由加法定理可推得 zezf ?
ZkikTzfTzf ????,2),()( ?
.2
)()2s i n2( c o s
)2(,
22
为任意整数
事实上
kikT
zfekike
eeeikzf
zz
ikzikz
?
??
?
??
??
????
???
?
? 这个性质是实变指数函数所没有的。
z
z
xxzz
e
e
eyyiyyeee
1
11))s i n ()( c o s (
0
??
???????
?
??
?又
21
2
1
zz
z
z
e
e
e ?
??
没有幂的意义.
它的定义为仅仅是个符号
??,)s i n( c o s
,)1(
yiye
e
x
z
yiye
xz
iy s i nc o s:E u l e r
0)2(
??
?
公式
就得时,的实部特别当 到
?
)Im ( zie求
例 1
? ??i
e
?1
4
1
求
例 2
1?ze解方程例 3
xe y s in?
? ?ie ?1
2
2 41
?,2,1,02 ????? kikz
)2(
2
c o s
2
s i n
:,
s i nc o s
s i nc o s
,0
:
Ry
ee
y
i
ee
y
yiye
yiye
x
iyiyiyiy
iy
iy
??
?
?
?
?
??
??
?
??
?
从而得到时当
由指数函数的定义
二, 三角函数和双曲函数
推广到复变数情形
的正弦与余弦函数称为 z
ee
z
i
ee
z
zizizizi
??
?
?
?
?
??
)3(
2
c o s
2
s i n
定义
周期函数是及 ?2c o ss i n)1 ?Tzz
]c os
2
22
)2[ c os (
22)2()2(
z
ee
eeeeee
z
iziz
iiziizzizi
?
?
?
?
?
?
??
?
????? ????
?
zzzz s i n)'( c o sc o s)'( s i n
,)2
???
且在复平面上处处解析
zeeee
i
z iziziziz c o s)(
2
1)'(
2
1)'( s i n ????? ??
?正弦与余弦函数的性质
.co s,s i n)3 是偶函数是奇函数 zz
zzz
i
ee
z
iziz
c o s)c o s (;s i n
2
)s i n ( ????
?
??
?
同理
zize
z
iz s i nc o s
E u l e r,)3()4
??
成立公式对一切式由
思考题
.1c o s,1s i n:
,c o s,s i n
?? zz
zz
有类似的结果
是否与实变函数作为复变函数
三角公式的加法定理可推知一些
及指数函数由正弦和余弦函数定义)5
?
?
?
?
?
??
???
???
1c o ss i n
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz
iyxiyxiyx
iyxiyxiyx
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
???
???
)4(
2
s i n
2
c o s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i sh y
i
ee
iy
c h y
ee
iy
yy
yy
由正弦和余弦函数的定义得
?
?
?
???
???
?
x sh yix c h yiyx
x sh yix c h yiyx
c o ss i n)s i n (
s i nc o s)c o s (
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s i n
1
c s c
c o s
1
s e c
s i n
c o s
c o t
c o s
s i n
t a n ????
其它三角函数的定义 (详见 P51)
???
???
?
???
?
c h yiy
sh y
i
ee
iyy
yy
c o s
2
s i n
)4()7
当
式知由
)(0s i n,s i n)6 Zkkzzz ??? ?的根为即方程的零点
Zkkzz ??? ?
?
2
c o s 的零点为
.1s i n,1c o s 不再成立在复数范围内 ??? zz
)
1
(
t h z
c t h z
c h z
s h z
t h z ??
22
zzzz ee
c h z
ee
s h z
?? ?
?
?
?
定义
— 称为双曲正弦和双曲余弦函数
?双曲正弦和双曲余弦函数的性质
为周期的函数都是以,ich zs h z ?2)1
奇函数偶函数 ???? s h zch z,)2
.
,
,
一定是多值函数
反函数且是周期函数，故它的定义的
函数双曲函数均是由复指数三角函数
yi sh xyc h xiyxch
yc h i yyish i y
s i nc o s)(
c o ss i n)4
???
??由定义
析在整个复平面内处处解和 c h zs h z
c h zs h zs h zc h z ?? )'()'()3
三, 对数函数
定义 指数函数的反函数称为对数函数。即,
L n zw
zfwzze w
?
???
记作称为对数函数
的函数把满足
,
)()0(
)(2,ln Zkkvruree
rezivuw
iivu
i
??????
???
? ???
? 那么令
),1,0()2(ln ???????? kkirL n zw ??
),2,1,0(
)2( a r glnA r gln
????
?????
k
kzizzizL n z ?或
(1) 对数的定义
.2
,,
,)0(
的一个整数倍相差
其任意两个相异值即虚部无穷多角的一般值
的幅的虚部是的模的实自然对数；它实部是
它的的对数仍为复数这说明一个复数
?
zz
zz ?
的无穷多值函数是即 zL n zw ?,
)(,
)2(lna r gln,0
主值支的主值称为的一单值函数为
时当
记作
L n zL n z
zzizL n zk ????
)(2ln ZkkizL n z ??? ?
故
ikLn
iia
?
??
)12()1(
1ln)1l n (1
???
?????
,( 负数也有对数)
,Lnz1)
复数都有意义
对一切非零不仅对正数有意义?w
ZkikaLn z
azLn zaz
???
???
?2ln
lnln0 的主值当例如
ikaL n z
iazL n zaaz
?
?
)12(ln
lnln)0(
???
????? 的主值当
特别
?
(2) 对数函数的性质
.,这与实函数不同多值性
了对数函数的指数函数的周期性导致 2)
21
2
1
2121,)()1 L n zL n zz
z
LnL n zL n zzzLn ????
.ln:)2 处处连续在除去原点与负实轴外连续性 z
,a r glnln,zizz ??主值;ln 续除原点外在其它点均连其中 z
.a r g 连续在原点与负实轴上都不而 z
见 § 1-6例 1
.ln,在复平面内处处连续除原点及负实轴外 z?
0)'( ??? ??? eeez?
ze
d
dz
z
dz
d 111
)'( l n ?????
?
?
?
z
z
1
)'( l n ?即
.ln 析的除原点及负实轴外是解z?? ?
.ln:)3 平面内解析在除去原点与负实轴的解析性 z
z
L n z
L n z
1
)'( ?且
负实轴外均是解析的，的每个分支除了原点和
.,2 zie z 求设 ?例 4
?,1,02
2
2ln ????? kikiz ?
?
四, 乘幂 与幂函数 b
a bz
? 乘幂 ab
,0,,?aba 且为复数设
定义
.b L n ab ea ?定义乘幂
.,0,为实数实变数情形 ba ??
?kiaL n a 2ln ??? — 多值
— 一般为多值
)2( l n ?kiabb L n ab eea ????
.,它是单值函数为整数时b?
abab ebkibke lnln )2s i n2( c o s ??? ??
?? kbiabkiabb L n ab eeeea 2ln)2( l n ??? ?
为整数①当 b
)0,,( ?? qqp
q
p
b 且为互质的整数②当
)2( a r gln)2a r g( l n ?? kaiaikaiab qpqpqp eeea ??? ??
)1,3,2,1,0( ?? qk ?
)]2( a r gs i n)2( a r g[ c o sln ?? ka
q
pika
q
pe aqp ????
— q支
具有③一般而论 ba,.无穷多支
(2)当 b=1/n(n正整数 )时, 乘幂 ab与 a 的
n次根意义一致。
? (1)当 b=n(正整数 )时, 乘幂 ab与 a 的 n次幂
意义一致。
L n aL n aL n a eee ??
L n aL n aL n an L n an eea ????? ?
??? ?? ?
个n
aaaa ???
n
ka
n
nnn
ia
ikaiaL n a
ee
eea
?
?
2a r g1
111
ln
)2a r g( l n
?
?
??
??
)2a r gs i n2a r g( c o s
n
kai
n
kaa
n
?? ????
)12,1,0( ?? nk ?
n a?
ikikLn eee 22)21( l n21221 ?? ??? ?
)2()2( l n 22 ?? ?? ???? ??? kikiiii L n ii eeei
)2,1,0( ?k
)s i n ()c o s (
3
4
3
4
)2()2( l n
23
2
23
2
3
2
3
2
????
??
??
kk
kiikiiL n i
i
eeei
??
???
??
???
),2,1,0( ????k
)22s i n (22c o s ( ?? kik ??
)2,1,0( ????k
解
.1 322 的值和、求 ii i例 5
? 幂函数 zb
称为幂函数。
得为复变数中，取在乘幂,,bb zwza ?
定义
① 当 b = n (正整数 )
w=z n 在整个复平面上是单值解析函数
为正整数）② n
n
b (1?
n
kz
nnnn izikzizL n z eeeez
?? 2a r g1111 ln)2a r g( l n ???? ??
)2a r gs i n2a r g( c o s
n
kzi
n
kzzn ?? ????
)12,1,0( ?? nk ?n z?
.解析除原点与负实轴外处处的解析性由于 ?L n z
的反函数nwz ?
)()'(
,
1 单值分支
且解析除原点与负实轴外处处
??
?
?bb
b
bzz
zw
bzw ?,③一般而论 除去 为正整数外，多值函数,
当 b为无理数或复数时，无穷多值。
5,反三角函数与反双曲函数
详见 P52
? 重点,指数函数、对数函数,乘幂,
作 业
P67 2,
8,
15,
18
初等函数
? 1,解析函数的充要条件
? 2,举例
§ 2.2 解析函数的充要条件
如果复变函数 w = f (z) = u(x,y) + iv(x,y)在定
义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
本节从函数 u (x,y) 及 v (x,y) 的可导性，探求
函数 w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的
一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
问题 如何判断函数的解析性呢？
一, 解析函数的充要条件
yix
yxivyxuyyxxivyyxxu
???
???????????
?
)],(),([)],(),([
则可导
在点设函数
,
),(),()(
iyxz
yxivyxuzfw
??
???
?
?
???
z
zfzzf )()(
x
yxvyxxv
i
x
yxuyxxu
x
yxivyxuyxxivyxxu
z
zfzzf
zf
xx
x
z
?
???
?
?
???
?
?
???????
?
?
???
??
????
??
??
),(),(
l i m
),(),(
l i m
)],(),([)],(),([
l i m
)()(
l i m)(
00
0
0
)0( ????? yzzz若沿平行于实轴的方式
x
v
i
x
u
?
?
?
?
?
?
yi
yxvyyxv
i
yi
yxuyyxu
yi
yxivyxuyyxivyyxu
z
zfzzf
zf
yy
y
z
?
???
?
?
???
?
?
???????
?
?
???
??
????
??
??
),(),(
l i m
),(),(
l i m
)],(),([)],(),([
l i m
)()(
l i m)(
00
0
0 )0( ????? xzzz若沿平行于虚轴的方式
y
u
i
y
v
y
v
y
u
i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
y
u
x
v
y
v
x
u
y
u
i
y
v
x
v
i
x
u
zf
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(' 存在?
? 记忆
y
v
x
v
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
定义 方程
称为 Cauchy-Riemann方程 (简称 C-R方程 ),
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
定理 1 设 f (z) = u (x,y) + iv(x,y)在 D 内有定义,
则 f (z)在点 z=x+iy ∈ D处可导的充要条件是
u(x,y) 和 v(x,y) 在点 (x,y ) 可微，且满足
Cauchy-Riemann方程
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
上述条件满足时,有
xyyyyxxx ivviuviuuivuzf ????????)('
证明
（ 由 f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证
f (z)的可导 函数 u(x,y),v(x,y)可微 ）。
?
"" ?
?
∵ 函数 w =f (z)点 z可导，即
)('
)()(
)( zf
z
zfzzf
z ?
?
???
???设
则 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1),且
z
zfzzf
zf
z ?
???
?
??
)()(
lim)('
0
0)(l i m
0
??
??
z
z
?
Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy)
=(aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy)
+i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy)
令,f (z+Δz) ? f (z)=Δu+iΔv,f ?(z)= a+ib,
?(Δz)=?1+i?2 故（ 1）式可写为
因此 Δu=aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy,
Δv=bΔx+aΔy+?2Δx??1Δy
0)(l i m
0
?
?
z
z
??
?
? 0l i ml i m
2
0
01
0
0
???
?
?
?
?
??
?
?
?
?
y
x
y
x
0lim 21
0
0
?
?
?
?
? z
yx
y
x ?
????
?
?
0l i m 12
0
0
?
?
???
??
?? z
yx
y
x
??
所以 u(x,y),v(x,y)在点 (x,y)处可微,
（由函数 u(x,y),v (x,y)在点 (x,y)处可微及满足
C-R方程 f (z)在点 z=x+iy处可导） ?
"" ?
∵ u(x,y),v(x,y)在 (x,y)点可微，即,
yxy
y
u
x
x
u
u ?????
?
?
??
?
?
?? 21 ??
yxy
y
v
x
x
v
v ??????? 43 ??
?
?
?
?
?
?
)4,3,21(,0l i m
0
0
，其中 ??
??
??
kk
y
x
?
yixiy
y
v
i
y
u
x
x
v
i
x
u
viuzfzzf
???????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????????
)()()()(
)()(
4231
????
yixiz
x
v
i
x
uRC
???????
?
?
?
?
?
?
?
)()()( 4231 ????
方程由
0)(1||,1|| 31 ??
?
?
??
?
?
?
?
?
?? i
z
x
z
y
z
x
?
x
v
i
x
u
z
zfzzf
zf
z ?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
)()(
l i m)(
0
z
y
i
z
x
i
x
u
i
z
u
z
zfzzf
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
)()(
)()(
4231 ????
定理 2 函数 f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D内解析充要
条件是 u(x,y) 和 v(x,y)在 D内 可微，且
满足 Cauchy-Riemann方程
y
u
x
v
y
v
x
u
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
? 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切
的联系,当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可
以求出导数来,
? 利用该定理可以判断那些函数是不可导的,
使用时, i) 判别 u(x,y),v (x,y) 偏导数的连续性,
ii) 验证 C-R条件,
iii) 求导数,
y
v
y
u
ix
v
i
x
u
zf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
)('
? 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼
成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两
个实函数分别关于 x,y求导简单拼凑成的,
二, 举例
2)3( )s i n( c o s)()2(;)1( zwyiyezfzw x ???? ；
例 1 判定下列函数在何处可导，在何处解析,
解 (1) 设 z=x+iy w=x-iy u=x,v= -y 则
析。在全平面不可导，不解故 zw
y
v
x
u
y
v
x
v
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
01
解 (2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy,v= exsiny
在全平面可导，解析。故 )s i n( c o s)(
c o ss i n
s i nc o s
yiyezf
y
u
x
v
y
v
x
u
ye
y
v
ye
x
v
ye
y
u
ye
x
u
x
xx
xx
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
)(s i nc o s)(' zfyieye
x
vi
x
uzf xx ???
?
??
?
??
仅在点 z = 0处满足 C-R条件，故
。处可导，但处处不解析仅在 02 ?? zzw
解 (3) 设 z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2,v=0 则
0022 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
y
y
u
x
x
u
例 2 求证函数
.0
),(),(
2222
dz
dw
iyxz
yx
y
i
yx
x
yxivyxuw
处解析，并求在 ???
?
?
?
???
证明 由于在 z≠0处,u(x,y)及 v(x,y)都是可微函数,
且满足 C-R条件,
,
)( 222
22
yx
xy
y
v
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
222 )(
2
yx
xy
x
v
y
u
?
?
?
?
?
??
?
?
故函数 w=f (z)在 z≠0处解析，其导数为
2222
2
222222
22
1
)(
)(
)(
2
)(
zyx
iyx
yx
xy
i
yx
xy
x
v
i
x
u
z
w
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
DzCzfDzzf ?????,)(,0)('若
例 3
复常数）()(
0
0
1
)('
2121
CiCCzfCvCu
vuvu
vu
i
ivuzf
yyxx
yyxx
??????
?????
??????证明
例 4 如果 f (z)=u(x,y)+i v(x,y)是一解析函数,
且 f ?(z)≠0，那么曲线族 u(x,y)=C1,
v(x,y)=C2必互相正交，这里 C1, C2常数,
那么在曲线的交点处,i)uy,vy 均不为零时,
由隐函数求导法则知曲线族 u(x,y)=C1,
v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为
yx uuk /1 ?? yx vvk /2 ??
0
1
)(' ?
?
?
?
?
?
?
y
v
y
u
i
zf? 0不全为与 y
v
y
u
?
?
?
?
?
解
利用 C-R方程 ux=vy,uy=-vx 有
k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交,
ii) uy,vy中有一为零时，不妨设 uy=0，则 k1=∞,
k2=0（由 C-R方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另
一条是铅直的,它们仍互相正交。
)(,,,,
)()( 2222
在复平面内处处解析取何值时问常数
若
zfdcba
ydxycxibyaxyxzf ??????
练习,
a=2,b=-1,c=-1,d=2
? 1,指数函数
? 2,三角函数和双曲函数
? 3,对数函数
? 4,乘幂与幂函数
? 5,反三角函数与反双曲函数
§ 2.3 初等函数
本节将实变函数的一些常用的初等函数
推广到复变函数情形，研究这些初等函数的
性质，并说明它的解析性。
内 容 简 介
一, 指数函数
它与实变指数函数有类似的性质,
0e x p)1( ?? zz )0e x p,( ?? xez事实上
xezzfxz ?? e x p)(,)2( 时为实数当 )0( ?y?
))2(12§( 的例见
??
?
?
?
??????
?
?
?,2,1,02)e x pA r g (
e x p
kkyz
ez x
)1()s i n( c o se x p)(
:e x p
yiyezzf
zziyxz
x ???
?? 如下的指数函数定义复变数对
定义
.e x p)( e x pe x p)()3( zzzzf ??? 且在复平面上处处解析，
右边
左边
设事实上
?
??
????
??
??
????
??
???
?
?
)e x p (
)]s i n ()[ c o s (
)]s i nc o sc o s( s i n
s i ns i nc o s[ c o s
)s i n( c o s)s i n( c o s
e x pe x p
)2,1(,
21
2121
2121
2121
2211
21
21
21
21
zz
yyiyye
yyyyi
yyyye
yiyeyiye
zz
jiyxz
xx
xx
xx
jjj
)ex p (ex pex p:)4( 2121 zzzz ??加法定理
.e x p ze z 代替为了方便，我们用以后
:)( 的周期性由加法定理可推得 zezf ?
ZkikTzfTzf ????,2),()( ?
.2
)()2s i n2( c o s
)2(,
22
为任意整数
事实上
kikT
zfekike
eeeikzf
zz
ikzikz
?
??
?
??
??
????
???
?
? 这个性质是实变指数函数所没有的。
z
z
xxzz
e
e
eyyiyyeee
1
11))s i n ()( c o s (
0
??
???????
?
??
?又
21
2
1
zz
z
z
e
e
e ?
??
没有幂的意义.
它的定义为仅仅是个符号
??,)s i n( c o s
,)1(
yiye
e
x
z
yiye
xz
iy s i nc o s:E u l e r
0)2(
??
?
公式
就得时,的实部特别当 到
?
)Im ( zie求
例 1
? ??i
e
?1
4
1
求
例 2
1?ze解方程例 3
xe y s in?
? ?ie ?1
2
2 41
?,2,1,02 ????? kikz
)2(
2
c o s
2
s i n
:,
s i nc o s
s i nc o s
,0
:
Ry
ee
y
i
ee
y
yiye
yiye
x
iyiyiyiy
iy
iy
??
?
?
?
?
??
??
?
??
?
从而得到时当
由指数函数的定义
二, 三角函数和双曲函数
推广到复变数情形
的正弦与余弦函数称为 z
ee
z
i
ee
z
zizizizi
??
?
?
?
?
??
)3(
2
c o s
2
s i n
定义
周期函数是及 ?2c o ss i n)1 ?Tzz
]c os
2
22
)2[ c os (
22)2()2(
z
ee
eeeeee
z
iziz
iiziizzizi
?
?
?
?
?
?
??
?
????? ????
?
zzzz s i n)'( c o sc o s)'( s i n
,)2
???
且在复平面上处处解析
zeeee
i
z iziziziz c o s)(
2
1)'(
2
1)'( s i n ????? ??
?正弦与余弦函数的性质
.co s,s i n)3 是偶函数是奇函数 zz
zzz
i
ee
z
iziz
c o s)c o s (;s i n
2
)s i n ( ????
?
??
?
同理
zize
z
iz s i nc o s
E u l e r,)3()4
??
成立公式对一切式由
思考题
.1c o s,1s i n:
,c o s,s i n
?? zz
zz
有类似的结果
是否与实变函数作为复变函数
三角公式的加法定理可推知一些
及指数函数由正弦和余弦函数定义)5
?
?
?
?
?
??
???
???
1c o ss i n
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
22
212121
212121
zz
zzzzzz
zzzzzz
iyxiyxiyx
iyxiyxiyx
s i nc o sc o ss i n)s i n (
s i ns i nc o sc o s)c o s (
???
???
)4(
2
s i n
2
c o s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
i sh y
i
ee
iy
c h y
ee
iy
yy
yy
由正弦和余弦函数的定义得
?
?
?
???
???
?
x sh yix c h yiyx
x sh yix c h yiyx
c o ss i n)s i n (
s i nc o s)c o s (
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
s i n
1
c s c
c o s
1
s e c
s i n
c o s
c o t
c o s
s i n
t a n ????
其它三角函数的定义 (详见 P51)
???
???
?
???
?
c h yiy
sh y
i
ee
iyy
yy
c o s
2
s i n
)4()7
当
式知由
)(0s i n,s i n)6 Zkkzzz ??? ?的根为即方程的零点
Zkkzz ??? ?
?
2
c o s 的零点为
.1s i n,1c o s 不再成立在复数范围内 ??? zz
)
1
(
t h z
c t h z
c h z
s h z
t h z ??
22
zzzz ee
c h z
ee
s h z
?? ?
?
?
?
定义
— 称为双曲正弦和双曲余弦函数
?双曲正弦和双曲余弦函数的性质
为周期的函数都是以,ich zs h z ?2)1
奇函数偶函数 ???? s h zch z,)2
.
,
,
一定是多值函数
反函数且是周期函数，故它的定义的
函数双曲函数均是由复指数三角函数
yi sh xyc h xiyxch
yc h i yyish i y
s i nc o s)(
c o ss i n)4
???
??由定义
析在整个复平面内处处解和 c h zs h z
c h zs h zs h zc h z ?? )'()'()3
三, 对数函数
定义 指数函数的反函数称为对数函数。即,
L n zw
zfwzze w
?
???
记作称为对数函数
的函数把满足
,
)()0(
)(2,ln Zkkvruree
rezivuw
iivu
i
??????
???
? ???
? 那么令
),1,0()2(ln ???????? kkirL n zw ??
),2,1,0(
)2( a r glnA r gln
????
?????
k
kzizzizL n z ?或
(1) 对数的定义
.2
,,
,)0(
的一个整数倍相差
其任意两个相异值即虚部无穷多角的一般值
的幅的虚部是的模的实自然对数；它实部是
它的的对数仍为复数这说明一个复数
?
zz
zz ?
的无穷多值函数是即 zL n zw ?,
)(,
)2(lna r gln,0
主值支的主值称为的一单值函数为
时当
记作
L n zL n z
zzizL n zk ????
)(2ln ZkkizL n z ??? ?
故
ikLn
iia
?
??
)12()1(
1ln)1l n (1
???
?????
,( 负数也有对数)
,Lnz1)
复数都有意义
对一切非零不仅对正数有意义?w
ZkikaLn z
azLn zaz
???
???
?2ln
lnln0 的主值当例如
ikaL n z
iazL n zaaz
?
?
)12(ln
lnln)0(
???
????? 的主值当
特别
?
(2) 对数函数的性质
.,这与实函数不同多值性
了对数函数的指数函数的周期性导致 2)
21
2
1
2121,)()1 L n zL n zz
z
LnL n zL n zzzLn ????
.ln:)2 处处连续在除去原点与负实轴外连续性 z
,a r glnln,zizz ??主值;ln 续除原点外在其它点均连其中 z
.a r g 连续在原点与负实轴上都不而 z
见 § 1-6例 1
.ln,在复平面内处处连续除原点及负实轴外 z?
0)'( ??? ??? eeez?
ze
d
dz
z
dz
d 111
)'( l n ?????
?
?
?
z
z
1
)'( l n ?即
.ln 析的除原点及负实轴外是解z?? ?
.ln:)3 平面内解析在除去原点与负实轴的解析性 z
z
L n z
L n z
1
)'( ?且
负实轴外均是解析的，的每个分支除了原点和
.,2 zie z 求设 ?例 4
?,1,02
2
2ln ????? kikiz ?
?
四, 乘幂 与幂函数 b
a bz
? 乘幂 ab
,0,,?aba 且为复数设
定义
.b L n ab ea ?定义乘幂
.,0,为实数实变数情形 ba ??
?kiaL n a 2ln ??? — 多值
— 一般为多值
)2( l n ?kiabb L n ab eea ????
.,它是单值函数为整数时b?
abab ebkibke lnln )2s i n2( c o s ??? ??
?? kbiabkiabb L n ab eeeea 2ln)2( l n ??? ?
为整数①当 b
)0,,( ?? qqp
q
p
b 且为互质的整数②当
)2( a r gln)2a r g( l n ?? kaiaikaiab qpqpqp eeea ??? ??
)1,3,2,1,0( ?? qk ?
)]2( a r gs i n)2( a r g[ c o sln ?? ka
q
pika
q
pe aqp ????
— q支
具有③一般而论 ba,.无穷多支
(2)当 b=1/n(n正整数 )时, 乘幂 ab与 a 的
n次根意义一致。
? (1)当 b=n(正整数 )时, 乘幂 ab与 a 的 n次幂
意义一致。
L n aL n aL n a eee ??
L n aL n aL n an L n an eea ????? ?
??? ?? ?
个n
aaaa ???
n
ka
n
nnn
ia
ikaiaL n a
ee
eea
?
?
2a r g1
111
ln
)2a r g( l n
?
?
??
??
)2a r gs i n2a r g( c o s
n
kai
n
kaa
n
?? ????
)12,1,0( ?? nk ?
n a?
ikikLn eee 22)21( l n21221 ?? ??? ?
)2()2( l n 22 ?? ?? ???? ??? kikiiii L n ii eeei
)2,1,0( ?k
)s i n ()c o s (
3
4
3
4
)2()2( l n
23
2
23
2
3
2
3
2
????
??
??
kk
kiikiiL n i
i
eeei
??
???
??
???
),2,1,0( ????k
)22s i n (22c o s ( ?? kik ??
)2,1,0( ????k
解
.1 322 的值和、求 ii i例 5
? 幂函数 zb
称为幂函数。
得为复变数中，取在乘幂,,bb zwza ?
定义
① 当 b = n (正整数 )
w=z n 在整个复平面上是单值解析函数
为正整数）② n
n
b (1?
n
kz
nnnn izikzizL n z eeeez
?? 2a r g1111 ln)2a r g( l n ???? ??
)2a r gs i n2a r g( c o s
n
kzi
n
kzzn ?? ????
)12,1,0( ?? nk ?n z?
.解析除原点与负实轴外处处的解析性由于 ?L n z
的反函数nwz ?
)()'(
,
1 单值分支
且解析除原点与负实轴外处处
??
?
?bb
b
bzz
zw
bzw ?,③一般而论 除去 为正整数外，多值函数,
当 b为无理数或复数时，无穷多值。
5,反三角函数与反双曲函数
详见 P52
? 重点,指数函数、对数函数,乘幂,
作 业
P67 2,
8,
15,
18
