同学们好！
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第 2页 共 35页
本篇特点,
2) 场具有可入性，所以叠加原理地位重要。
3) 更多地运用高等数学手段，如用求空间矢量的通
量和环流的方法来描述场的规律。
1) 研究对象不再是分离的实物,而是连续分布的场,
(1) 用空间函数（如 等）描述其性质。
(2) 对电磁波中的可见光波段研究其波动特性。
BUE ??,,
4) 在四种基本相互作用中，电磁相互作用理论最成
熟。所以电磁相互作用和电磁场是全篇的重点。
5) 电相互作用是电磁学的基础，也是重点和难点。
第五篇 电磁场与电磁波
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第十一章 真空中的静电场
结构框图
场和场
的描述
库仑定律
静电场
的描述
电场
强度 高斯定理
环路定理 电势
静电场的
基本性质
电场对带电粒
子的作用
静电力叠加原理
要点
1) 两条基本实验定律,库仑定律，静电力叠加原理。
3) 两条基本定理,静电场高斯定理，环路定理。
------ 揭示静电场基本性质
2) 两个基本物理量,电场强度, 电势 。 UE ?
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第一节 场和场的描述
一、场的概念,标量场和矢量场
二、矢量场及其完备性描述
三、场强叠加原理
??
i
iAA
??
四、电场和磁场的描述
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第二节 静电的基本现象和实验规律
一、电荷
1,电荷与物质
电是物质的基本特性。带电多少称电荷量、电荷、电
量。单位是库仑 (C)。
2,电荷量子化
基本电荷单元 C10)0000046.06021892.1( 19????e
3,电荷守恒
4,电荷的相对论不变性
对无静电荷出入的系统，电荷量代数和不变。
系统的电量和其运动状态无关。
5,作用规律
同性相斥，异性相吸。
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二、库仑定律
中学,真空中，两个静止的点电荷间相互作用力
2
21
r
qqkF ?
静电力恒量 229 CmN109 ?????k
写成矢量式,
??1q 2q12r
?
21F?12F?
)(? )(?
)(?
?
1q 2q
12r? 21F?12F? ?
)(?
)( 122 211221 rrr qqkFF
???
???
02
21
3
21 r
r
qqk
r
rqqkF ??? ??
0r? 是单位矢量
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21212
0 mNC10858π4
1 ???????
k?
02
0
21
3
21
0 π4π4
1 r
r
qq
r
rqqF ???
??
??
,有理化, —— 为使以后的大量电磁学公式不出现 4?
因子，引入 真空电容率,即
适用范围, 目前认为在 10-17m ~ 107m范围均成立。
P.8 表 11.2-1验证库仑定律平方反比关系的实验结果
四种基本相互作用相对强度,
38132 1010 10 1 ???
强力 电磁力 弱力 引力
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例,在卢瑟福 ?粒子散射实验中,?粒子可达到离金原
子核 2?10-14 m处，它们相互斥力的大小为
N91
π4
792
2
0
???
r
eeF
?
三、电场力叠加原理
两点电荷间相互作用力不因其他电荷的存在而改变。
点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在
时对该电荷作用的 矢量和 。即
1q?
2q
nq
iq?
ir
?
?
?
?
iF
?
0q nFFFF
????? ????
21
i
i i
i r
r
qq ???
3
0
0
π4 ?
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英国法拉第,探索电磁力传递机制,由电极化现象和
磁化现象提出“场”的概念。
一、静电场
1.“场”概念的引入
17世纪 英国牛顿,力可以通过一无所有的空间以无穷大速
率传递，归纳力的数学形式而不必探求
力传递机制。
第三节 静电场及其描述
18世纪：力的超距作用思想风行欧洲大陆。
法国笛卡尔,力靠充满空间的“以太”的涡旋运动和弹性
形变传递。
电荷 电荷
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电荷 电场 电荷
19 世纪,英国麦克斯韦 建立电磁场方程，定量描述场
的性质和场运动规律。
20世纪,爱因斯坦,相对论加强了
场概念的重要性，质能关系揭示出
实物与场不能截然划分。场本身参
与能量和动量交换。光子理论认为
电磁场由光子组成，带电粒子通过
交换光子相互作用。
A B
?
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用, 来分别描述静电场的上述两项性质 E? U
2,静电场
相对于观察者静止的带电体周围的电场
静电场的对外表现,
(1) 场中任何带电体受电场力作用
—— 动量传递
(2) 带电体在电场中移动时，电场对带电
体做功
—— 能量传递
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二、电场强度
场源电荷,产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。
检验电荷,电量足够小的点电荷 q0
略去对 场源电荷
分布的影响
与场点对应
定义
0q
FE
??
?
大小,等于单位检验电荷在该点
所受电场力
单位,N/C ; V/m。
方向,与 受力方向相同 0q?
E?
:E? 空间矢量函数
研究静电场即对各种场源电荷求其 分布。 E?
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例, 求点电荷 q 所产生的电场中各点的电场强度。
3
0
π4
1
r
rqqF ??
??
3
0π4 r
rqE
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
0
3
0
3
0
π4
π4
π4
r
zq
E
r
yq
E
r
xq
E
z
y
x
?
?
?
q
0qr
?
3
00 π4 r
rq
q
FE
?
??
??
E?
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n
i
i EEEEE
?????? ????? ?
21
00
2
0
1
0 q
F
q
F
q
F
q
F n
?
?
???
????
由静 电场力叠加原理
ni i EEEEE
?????? ????? ?
21
静 电场强叠加原理,点电荷系电场中某点总场强等于
各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和。即
三、电场强度叠加原理
P
1q
2q
3q
iq
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r
r
q
q
FEr
r
qqF ?
??
??
3
00
3
0
0
π4π4 ??
????
2,点电荷系
i
i i
i r
r
qE ?? ??
3
0π4 ?
?
?
?
?
?
?
V
S
l
q
d
d
d
d
?
?
?
3
0π4
dd
r
qrE
?
??
? ?? EE ?? d3,连续分布带电体
E?d
qd
r?
P
E?1,点电荷 公式
?
?
?
?
?
?
zz
yy
xx
EE
EE
EE
d
d
d
E?
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例 1.求电偶极子的电场
电偶极子,相距很近的等量异号电荷
q? q?
l?电偶极矩,
lqp ?? ?
它是由电介质极化，电磁波的发射、接收，中性原
子间相互作用 …… 总结出的 理想模型 。
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(1) 轴线延长线上 A的场强
]
)
2
(
1
)
2
(
1
[
π4 220 lrlr
q
EEE
?
?
?
??? ??
?
2
2
20 )
4
(
2
π4 l
r
rlq
?
?
? 3
0π2 r
pE
?
??
?lr ??
q? q?l?
r
2l
A ?E??E?
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(2) 中垂面上 B的场强
)
π4
(
π4
3
0
3
0 ?
?
?
?
?? ????? r
rq
r
rqEEE
??
?????
(3) 一般情况,见 P.25 [例 1]
q? q?
l?
B
r
E?
?E?
?E
?
?r
??r?
3
0
3
0
3
0
π4
π4
)(
π4
r
p
r
lq
rr
r
q
?
??
?
?
??
??
????
??
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第 19页 共 35页
例 2,求长度为 l, 均匀带电直细棒的电场。
已知, 电荷线密度
场点
求,
?
),,( 21 ??aP
PE?
方向：与 x轴 夹 ?角
大小,
2
0π4
dd
r
xE
?
??
a
1?
P
2?
解,建立坐标系 xyo? y
x
O
xq dd ??取,
qd
rrqE ?
?
3
0π4
dd
??
E?d
r??
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第 20页 共 35页
各电荷元在 点场强方向不同，
应该用分量积分,
P
?
?
s i ndd
c o sdd
EE
EE
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
s in
π4
d
d
c o s
π4
d
d
2
0
2
0
??
? ?
??
??
r
x
EE
r
x
EE
yy
xx
统一变量,
?
???
22222
2
c s c
d c s cd c t g
axar
axax
???
???
x
ao
1?
y
P
qd
xEd
r??
yEd
E?d
2?
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第 21页 共 35页
)c o s( c o s
π4
ds in
π4
)s in( s in
π4
dc o s
π4
21
00
12
00
2
1
2
1
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
aa
E
aa
E
y
x
x
y
yxP
E
E
x
EEE
a r c t g
22
??
??
?夹角与
得,
讨论,
1) 棒延长线上一点
ixqE x
??
2
0π4
dd
??
2
0π4
blElb ?????
i
lbb
li
x
xE lb
b
???
)(π4π4
d
0
2
0 ?
?? ?
?
?
?
?
?
ao
1?
yP
2?
x P
b
dq
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即理想模型 — 无限长带电直线场强公式
a
EE y
0π2
?
???
2) 对靠近直线场点
a
EEE
la
yx
0
21
π2
0
,0
?
?
???
???
???? 棒长
常用公式可以求解,
.O,O
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第 23页 共 35页
四、高斯定理
1.电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场,对给定场源电荷求出其电场分布函
数 定性描述电场整体分布,电场线方法 。
E?
其上每点切向, 该点 方向。 E?电
场
线
通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比。
E?
实例
+ + + + + + + + + +
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第 24页 共 35页
均匀带电直导线
的电场线
电偶极子的电场线
一对正电荷的电场线
静电场电场线性质,
1) 电场线起始于正电荷（或无限远处），终止于负电荷
（或无限远处），不会在没有电荷处中断。
2) 任意两条电场线不会相交。
3) 电场线不形成闭合曲线。
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第 25页 共 35页
2.电通量
S
?? ESe?
?? ESe?
S
E
S
S
θ
?co sES?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面 的电通量。
面积元矢量,nSS ?? dd ?
面积元范围内 视为均匀 E?E
S
dS
θ
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第 26页 共 35页
? ???? ss ee SEΦΦ ?? dd
2) 通过曲面 S的电通量
1) 通过面元的电通量,
SESESEΦ e ?? d)c o sd(dd ???? ? ?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SEΦ ?? d
E S
dS
θ
0d
2
π
0d
2
π
0d
2
π
??
??
??
e
e
e
Φ
Φ
Φ
?
?
?
SEΦ e ?? dd ??
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第 27页 共 35页
? ?? se SEΦ ?? d
通过封闭曲面的电通量
规定, 封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
Φ
Φ
练习 1.空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面。
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面。
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面。
E?
n? n?
n?
S
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第 28页 共 35页
解答,1) 曲面为以电荷为中心的球面
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
? ? ? ??????
0
2
0
3
0
d
π4π4
dd
???
qS
r
q
r
SrqSEΦ
e
???? 与 r
无关
单个点电荷场中,由 +q 发出的电场线延伸到 ?,由 ?
而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、
不增加。
0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
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第 29页 共 35页
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
0?
qΦΦ
esse ???
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
S?
q
E?
0???seΦ
结论,
??? ?? Se SEΦ ?? d ? ?
? ?外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
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第 30页 共 35页
练习 2,空间有点电荷系 q1,q2,…,qn,求穿过空间任意
封闭曲面 S的电通量
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S内,S外，所有电荷的贡献。
穿过 S的电通量,
?
?? ??
?????
?????????
内qΦΦΦ
SESESESEΦ
enee
n
s
e
0
21
21
1
dddd
?
?
??
?
??????
只有 S内的电荷对穿过 S的电通量有贡献。
思考, 1) 是否存在 q 恰好在 S上的情况？
2)上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
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第 31页 共 35页
3.高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面 (高斯面 )的电通量等于
该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍。 01?
关于高斯定理的讨论,
(1) 式中各项的含义
高斯面,封闭曲面。,S
总场,S内外所有电荷均有贡献。,E?
真空电容率。,0?
S内的 净 电荷。, ?
内q
只有 S内电荷有贡献。
,eΦ
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 32页 共 35页
(2) 揭示了静电场中“场”和“源”的关系。
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 33页 共 35页
(3) 反映了库仑定律的平方反比关系。
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
(4)利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静
电场。
成立条件, 静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够以标
量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d ??
E?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
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第 34页 共 35页
以 S为高斯面,
? ? ????s s rESESE 2π4d0c o sd ???
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??由高斯定理,
)π4()( 20 rqE ??? 内
例 1,求均匀带电球体 (q,R)的电场分布。
oq P
R
EE ?? ?? dd
0r
q?d
E??d大小相等
方向沿径向 E?
E?
S面上各点彼此等价
对称性分析
作以 O为中心,r
为半径的球形面 S。 E?d
S
0rqd
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2
0π4 R
q
?
r? 21r?
E
O R r
2
0π4
, rqEqqRr ???? ? 外内
3
0
3
3
3
4
π4
π
3
4
π
,
R
qr
E
r
R
q
qRr
?
?
??? ?
内
内
)(
π4
)(
π4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
?
?
?
?
?
球体外区域 ~电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE?
oq PR
S
r r
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第 2页 共 35页
本篇特点,
2) 场具有可入性，所以叠加原理地位重要。
3) 更多地运用高等数学手段，如用求空间矢量的通
量和环流的方法来描述场的规律。
1) 研究对象不再是分离的实物,而是连续分布的场,
(1) 用空间函数（如 等）描述其性质。
(2) 对电磁波中的可见光波段研究其波动特性。
BUE ??,,
4) 在四种基本相互作用中，电磁相互作用理论最成
熟。所以电磁相互作用和电磁场是全篇的重点。
5) 电相互作用是电磁学的基础，也是重点和难点。
第五篇 电磁场与电磁波
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第 3页 共 35页
第十一章 真空中的静电场
结构框图
场和场
的描述
库仑定律
静电场
的描述
电场
强度 高斯定理
环路定理 电势
静电场的
基本性质
电场对带电粒
子的作用
静电力叠加原理
要点
1) 两条基本实验定律,库仑定律，静电力叠加原理。
3) 两条基本定理,静电场高斯定理，环路定理。
------ 揭示静电场基本性质
2) 两个基本物理量,电场强度, 电势 。 UE ?
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第 4页 共 35页
第一节 场和场的描述
一、场的概念,标量场和矢量场
二、矢量场及其完备性描述
三、场强叠加原理
??
i
iAA
??
四、电场和磁场的描述
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第 5页 共 35页
第二节 静电的基本现象和实验规律
一、电荷
1,电荷与物质
电是物质的基本特性。带电多少称电荷量、电荷、电
量。单位是库仑 (C)。
2,电荷量子化
基本电荷单元 C10)0000046.06021892.1( 19????e
3,电荷守恒
4,电荷的相对论不变性
对无静电荷出入的系统，电荷量代数和不变。
系统的电量和其运动状态无关。
5,作用规律
同性相斥，异性相吸。
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第 6页 共 35页
二、库仑定律
中学,真空中，两个静止的点电荷间相互作用力
2
21
r
qqkF ?
静电力恒量 229 CmN109 ?????k
写成矢量式,
??1q 2q12r
?
21F?12F?
)(? )(?
)(?
?
1q 2q
12r? 21F?12F? ?
)(?
)( 122 211221 rrr qqkFF
???
???
02
21
3
21 r
r
qqk
r
rqqkF ??? ??
0r? 是单位矢量
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第 7页 共 35页
21212
0 mNC10858π4
1 ???????
k?
02
0
21
3
21
0 π4π4
1 r
r
r
rqqF ???
??
??
,有理化, —— 为使以后的大量电磁学公式不出现 4?
因子，引入 真空电容率,即
适用范围, 目前认为在 10-17m ~ 107m范围均成立。
P.8 表 11.2-1验证库仑定律平方反比关系的实验结果
四种基本相互作用相对强度,
38132 1010 10 1 ???
强力 电磁力 弱力 引力
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第 8页 共 35页
例,在卢瑟福 ?粒子散射实验中,?粒子可达到离金原
子核 2?10-14 m处，它们相互斥力的大小为
N91
π4
792
2
0
???
r
eeF
?
三、电场力叠加原理
两点电荷间相互作用力不因其他电荷的存在而改变。
点电荷系对某点电荷的作用等于系内各点电荷单独存在
时对该电荷作用的 矢量和 。即
1q?
2q
nq
iq?
ir
?
?
?
?
iF
?
0q nFFFF
????? ????
21
i
i i
i r
r
qq ???
3
0
0
π4 ?
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第 9页 共 35页
英国法拉第,探索电磁力传递机制,由电极化现象和
磁化现象提出“场”的概念。
一、静电场
1.“场”概念的引入
17世纪 英国牛顿,力可以通过一无所有的空间以无穷大速
率传递，归纳力的数学形式而不必探求
力传递机制。
第三节 静电场及其描述
18世纪：力的超距作用思想风行欧洲大陆。
法国笛卡尔,力靠充满空间的“以太”的涡旋运动和弹性
形变传递。
电荷 电荷
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第 10页 共 35页
电荷 电场 电荷
19 世纪,英国麦克斯韦 建立电磁场方程，定量描述场
的性质和场运动规律。
20世纪,爱因斯坦,相对论加强了
场概念的重要性，质能关系揭示出
实物与场不能截然划分。场本身参
与能量和动量交换。光子理论认为
电磁场由光子组成，带电粒子通过
交换光子相互作用。
A B
?
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用, 来分别描述静电场的上述两项性质 E? U
2,静电场
相对于观察者静止的带电体周围的电场
静电场的对外表现,
(1) 场中任何带电体受电场力作用
—— 动量传递
(2) 带电体在电场中移动时，电场对带电
体做功
—— 能量传递
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二、电场强度
场源电荷,产生电场的点电荷、点电荷系、或带电体。
检验电荷,电量足够小的点电荷 q0
略去对 场源电荷
分布的影响
与场点对应
定义
0q
FE
??
?
大小,等于单位检验电荷在该点
所受电场力
单位,N/C ; V/m。
方向,与 受力方向相同 0q?
E?
:E? 空间矢量函数
研究静电场即对各种场源电荷求其 分布。 E?
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例, 求点电荷 q 所产生的电场中各点的电场强度。
3
0
π4
1
r
rqqF ??
??
3
0π4 r
rqE
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
0
3
0
3
0
π4
π4
π4
r
zq
E
r
yq
E
r
xq
E
z
y
x
?
?
?
q
0qr
?
3
00 π4 r
rq
q
FE
?
??
??
E?
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n
i
i EEEEE
?????? ????? ?
21
00
2
0
1
0 q
F
q
F
q
F
q
F n
?
?
???
????
由静 电场力叠加原理
ni i EEEEE
?????? ????? ?
21
静 电场强叠加原理,点电荷系电场中某点总场强等于
各点电荷单独存在时在该点产生的场强矢量和。即
三、电场强度叠加原理
P
1q
2q
3q
iq
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r
r
q
q
FEr
r
qqF ?
??
??
3
00
3
0
0
π4π4 ??
????
2,点电荷系
i
i i
i r
r
qE ?? ??
3
0π4 ?
?
?
?
?
?
?
V
S
l
q
d
d
d
d
?
?
?
3
0π4
dd
r
qrE
?
??
? ?? EE ?? d3,连续分布带电体
E?d
qd
r?
P
E?1,点电荷 公式
?
?
?
?
?
?
zz
yy
xx
EE
EE
EE
d
d
d
E?
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例 1.求电偶极子的电场
电偶极子,相距很近的等量异号电荷
q? q?
l?电偶极矩,
lqp ?? ?
它是由电介质极化，电磁波的发射、接收，中性原
子间相互作用 …… 总结出的 理想模型 。
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(1) 轴线延长线上 A的场强
]
)
2
(
1
)
2
(
1
[
π4 220 lrlr
q
EEE
?
?
?
??? ??
?
2
2
20 )
4
(
2
π4 l
r
rlq
?
?
? 3
0π2 r
pE
?
??
?lr ??
q? q?l?
r
2l
A ?E??E?
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(2) 中垂面上 B的场强
)
π4
(
π4
3
0
3
0 ?
?
?
?
?? ????? r
rq
r
rqEEE
??
?????
(3) 一般情况,见 P.25 [例 1]
q? q?
l?
B
r
E?
?E?
?E
?
?r
??r?
3
0
3
0
3
0
π4
π4
)(
π4
r
p
r
lq
rr
r
q
?
??
?
?
??
??
????
??
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例 2,求长度为 l, 均匀带电直细棒的电场。
已知, 电荷线密度
场点
求,
?
),,( 21 ??aP
PE?
方向：与 x轴 夹 ?角
大小,
2
0π4
dd
r
xE
?
??
a
1?
P
2?
解,建立坐标系 xyo? y
x
O
xq dd ??取,
qd
rrqE ?
?
3
0π4
dd
??
E?d
r??
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各电荷元在 点场强方向不同，
应该用分量积分,
P
?
?
s i ndd
c o sdd
EE
EE
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
s in
π4
d
d
c o s
π4
d
d
2
0
2
0
??
? ?
??
??
r
x
EE
r
x
EE
yy
xx
统一变量,
?
???
22222
2
c s c
d c s cd c t g
axar
axax
???
???
x
ao
1?
y
P
qd
xEd
r??
yEd
E?d
2?
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)c o s( c o s
π4
ds in
π4
)s in( s in
π4
dc o s
π4
21
00
12
00
2
1
2
1
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
aa
E
aa
E
y
x
x
y
yxP
E
E
x
EEE
a r c t g
22
??
??
?夹角与
得,
讨论,
1) 棒延长线上一点
ixqE x
??
2
0π4
dd
??
2
0π4
blElb ?????
i
lbb
li
x
xE lb
b
???
)(π4π4
d
0
2
0 ?
?? ?
?
?
?
?
?
ao
1?
yP
2?
x P
b
dq
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即理想模型 — 无限长带电直线场强公式
a
EE y
0π2
?
???
2) 对靠近直线场点
a
EEE
la
yx
0
21
π2
0
,0
?
?
???
???
???? 棒长
常用公式可以求解,
.O,O
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第 23页 共 35页
四、高斯定理
1.电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场,对给定场源电荷求出其电场分布函
数 定性描述电场整体分布,电场线方法 。
E?
其上每点切向, 该点 方向。 E?电
场
线
通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比。
E?
实例
+ + + + + + + + + +
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第 24页 共 35页
均匀带电直导线
的电场线
电偶极子的电场线
一对正电荷的电场线
静电场电场线性质,
1) 电场线起始于正电荷（或无限远处），终止于负电荷
（或无限远处），不会在没有电荷处中断。
2) 任意两条电场线不会相交。
3) 电场线不形成闭合曲线。
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2.电通量
S
?? ESe?
?? ESe?
S
E
S
S
θ
?co sES?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面 的电通量。
面积元矢量,nSS ?? dd ?
面积元范围内 视为均匀 E?E
S
dS
θ
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? ???? ss ee SEΦΦ ?? dd
2) 通过曲面 S的电通量
1) 通过面元的电通量,
SESESEΦ e ?? d)c o sd(dd ???? ? ?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SEΦ ?? d
E S
dS
θ
0d
2
π
0d
2
π
0d
2
π
??
??
??
e
e
e
Φ
Φ
Φ
?
?
?
SEΦ e ?? dd ??
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第 27页 共 35页
? ?? se SEΦ ?? d
通过封闭曲面的电通量
规定, 封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
Φ
Φ
练习 1.空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面。
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面。
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面。
E?
n? n?
n?
S
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解答,1) 曲面为以电荷为中心的球面
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
? ? ? ??????
0
2
0
3
0
d
π4π4
dd
???
qS
r
q
r
SrqSEΦ
e
???? 与 r
无关
单个点电荷场中,由 +q 发出的电场线延伸到 ?,由 ?
而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、
不增加。
0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
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第 29页 共 35页
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
0?
qΦΦ
esse ???
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
S?
q
E?
0???seΦ
结论,
??? ?? Se SEΦ ?? d ? ?
? ?外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
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第 30页 共 35页
练习 2,空间有点电荷系 q1,q2,…,qn,求穿过空间任意
封闭曲面 S的电通量
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S内,S外，所有电荷的贡献。
穿过 S的电通量,
?
?? ??
?????
?????????
内qΦΦΦ
SESESESEΦ
enee
n
s
e
0
21
21
1
dddd
?
?
??
?
??????
只有 S内的电荷对穿过 S的电通量有贡献。
思考, 1) 是否存在 q 恰好在 S上的情况？
2)上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
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第 31页 共 35页
3.高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面 (高斯面 )的电通量等于
该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍。 01?
关于高斯定理的讨论,
(1) 式中各项的含义
高斯面,封闭曲面。,S
总场,S内外所有电荷均有贡献。,E?
真空电容率。,0?
S内的 净 电荷。, ?
内q
只有 S内电荷有贡献。
,eΦ
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 32页 共 35页
(2) 揭示了静电场中“场”和“源”的关系。
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 33页 共 35页
(3) 反映了库仑定律的平方反比关系。
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
(4)利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静
电场。
成立条件, 静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够以标
量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d ??
E?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
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以 S为高斯面,
? ? ????s s rESESE 2π4d0c o sd ???
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??由高斯定理,
)π4()( 20 rqE ??? 内
例 1,求均匀带电球体 (q,R)的电场分布。
oq P
R
EE ?? ?? dd
0r
q?d
E??d大小相等
方向沿径向 E?
E?
S面上各点彼此等价
对称性分析
作以 O为中心,r
为半径的球形面 S。 E?d
S
0rqd
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第 35页 共 35页
2
0π4 R
q
?
r? 21r?
E
O R r
2
0π4
, rqEqqRr ???? ? 外内
3
0
3
3
3
4
π4
π
3
4
π
,
R
qr
E
r
R
q
qRr
?
?
??? ?
内
内
)(
π4
)(
π4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
?
?
?
?
?
球体外区域 ~电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE?
oq PR
S
r r
