同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 29页
上讲内容
? 描述场的 基本方法
用 空间坐标点 描述场的分布。
用其矢量的 通量 和 环流 表示场的性质。
? 静电的基本现象和实验规律
物质的电同性；电荷间的相互作用规律。
? 静电场及其描述
,场”概念的引入
? 电场强度的定义,
0q
FE ?? ?
? 场强叠加原理
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第 3页 共 29页
四、高斯定理
1.电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场,对给定场源电荷求出其电场分布函
数 定性描述电场整体分布,电场线方法 。
E?
其上每点切向, 该点 方向。 E?电
场
线
通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比。
E?
实例
+ + + + + + + + + +
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第 4页 共 29页
均匀带电直导线
的电场线
电偶极子的电场线
一对正电荷的电场线
静电场电场线性质,
1) 电场线起始于正电荷（或无限远处），终止于负电荷
（或无限远处），不会在没有电荷处中断。
2) 任意两条电场线不会相交。
3) 电场线不形成闭合曲线。
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2.电通量
S
?? ESe?
?? ESe?
S
E
S
S
θ
?co sES?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面 的电通量。
面积元矢量,nSS ?? dd ?
面积元范围内 视为均匀 E?E
S
dS
θ
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? ???? ss ee SEΦΦ ?? dd
2) 通过曲面 S的电通量
1) 通过面元的电通量,
SESESEΦ e ?? d)c o sd(dd ???? ? ?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SEΦ ?? d
E S
dS
θ
0d
2
π
0d
2
π
0d
2
π
??
??
??
e
e
e
Φ
Φ
Φ
?
?
?
SEΦ e ?? dd ??
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第 7页 共 29页
? ?? se SEΦ ?? d
通过封闭曲面的电通量
规定, 封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
Φ
Φ
练习 1.空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面。
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面。
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面。
E?
n? n?
n?
S
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第 8页 共 29页
解答,1) 曲面为以电荷为中心的球面
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
? ? ? ??????
0
2
0
3
0
d
π4π4
dd
???
qS
r
q
r
SrqSEΦ
e
???? 与 r
无关
单个点电荷场中,由 +q 发出的电场线延伸到 ?,由 ?
而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、
不增加。
0?q
S
E?
r
0?q
S
E?
r
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第 9页 共 29页
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
0?
qΦΦ
esse ???
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
q
S
E?
S?
S?
q
S
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
S?
q
E?
0???seΦ
结论,
??? ?? Se SEΦ ?? d ? ?
? ?外在
内在
Sq
Sqq
0
0?
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练习 2,空间有点电荷系 q1,q2,…,qn,求穿过空间任意
封闭曲面 S的电通量
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S内,S外，所有电荷的贡献。
穿过 S的电通量,
?? ?? ????????? SESESESEΦ nse ????????? dddd 21
只有 S内的电荷对穿过 S的电通量有贡献。
思考, 1) 是否存在 q 恰好在 S上的情况？
2)上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
enee ΦΦΦ ???? ?21 ??
内q
0
1
?
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第 11页 共 29页
3.高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面 (高斯面 )的电通量等于
该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍。 01?
关于高斯定理的讨论,
(1) 式中各项的含义
高斯面,封闭曲面。,S
总场,S内外所有电荷均有贡献。,E?
真空电容率。,0?
S内的 净 电荷。, ?
内q
只有 S内电荷有贡献。
,eΦ
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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(2) 揭示了静电场中“场”和“源”的关系。
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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(3) 反映了库仑定律的平方反比关系。
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
(4)利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静
电场。
成立条件, 静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够以标
量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d ??
E?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
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以 S为高斯面,
? ? ????s s rESESE 2π4d0c o sd ???
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??由高斯定理,
)π4()( 20 rqE ??? 内
例 1,求均匀带电球体 (q,R)的电场分布。
oq P
R
EE ?? ?? dd
0r
q?d
E??d大小相等
方向沿径向 E?
E?
S面上各点彼此等价
对称性分析
作以 O为中心,r
为半径的球形面 S。 E?d
S
0rqd
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2
0π4 R
q
?
r? 21r?
E
O R r
2
0π4
, rqEqqRr ???? ? 外内
3
0
3
3
3
4
π4
π
3
4
π
,
R
qr
E
r
R
q
qRr
?
?
??? ?
内
内
)(
π4
)(
π4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
?
?
?
?
?
球体外区域 ~电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE?
oq PR
S
r r
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第 16页 共 29页
五,环路定理 电势
1,静电力的功
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关。
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
场源电荷,
检验电荷,0q
q
EqF ?? 0?
q
a
ar?
b
0q
L
br
?
2
0
0
3
0
0
π4
d
π4
ddd
r
rqq
r
lrqqlFA
??
?????
????
r?
r??
E?
l?d
)11(π4π4d
0
0
2
0
0
baL
r
r rr
qq
r
q d rqAA b
a
???? ? ? ??
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第 17页 共 29页
2.环路定理
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关，即 静电力是保守力。
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场 。
0dd 0 ????? ? ? lEqlFA L L ????
静电场中任意闭合路径
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。反映
了 静电场是保守力场 。
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d ??
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3.电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
? ???????
??????
b
a
baabFe
P
WWWWlEqA
WEA
)(d0
??
保
令
0?bW
得
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有。 0q
:/ 0qW a 取决于电场分布、场点位置和零势点选取 与场中检验电荷 无关。可用以描述静电场
自身的特性。
0q
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4.电势
? ???
零势点
a
a
a lEq
WU ?? d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或
将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
静电场中 a,b两点的电势差等于将单位正电荷由 a
沿任意路径移至 b过程中静电力做的功。
注意, (1) U 为空间标量函数。
(2) U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 Uab与零势点选取无关。
大学物理
第 20页 共 29页
(3) 遵从叠加原理,(零势点相同 )
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在
时在该点产生的电势的代数和。
?? iUU
(4) 由保守力与其相关势能的关系,
UU
q
W
q
F
E
WEqF
g ra d)(
00
0
?????????
????
?
?
??
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率。指向 降低
的方向。
UE
?
U
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给出又一种求 的方法,E?
)(
,,
k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
z
U
E
y
U
E
x
U
E zyx
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?? UE g r ad???
5.电势的计算 (两种基本方法 )
(1) 场强积分法 (由定义求 )
(A) 确定 分布 E?
(B) 选零势点和便于计算的积分路径
(C) 由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
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第 22页 共 29页
注意,
? 若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值。
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
一般,场源电荷有限分布选 0??U
场源电荷无限分布 不 选 0??U
许多实际问题中选
0?地球U
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第 23页 共 29页
例 2.求点电荷 q场中的电势分布。
解,
3
0π4 r
rqE
?
??
?
令 0??U
沿径向积分
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
π4π4
d
π4
d
d
??
?
??
?
???
?
? ?
?
? ? ???
q
r?
P
O E?
U
ro
r1?
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第 24页 共 29页
(2) 叠加法
(A) 将带电体划分为电荷元 。 qd
(C) 由叠加原理得 。
? ??? UUUU i d 或
(B) 选零势点，写出 在场点的电势 。 Udqd
例 3.求电偶极子的电势分布。
q? q?l?
P
r?
r
?r
解,
?? ?? UUU
??
????
r
q
r
q
00 π4
1
π4
1
??
2
0π4
1
r
rp e ?? ???
?
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第 25页 共 29页
n? nEU ???由电势相等的点组成的面叫 等势面 满足方程
? ? CzyxU ?,,
等势面的疏密反映了场的强弱
六、场强与电势的关系
1,等势面
2312 UU ???
当常量 C取等间隔数值时,可以得
到一系列的等势面
1U
2U
3U
2,电力线与等势面的关系
ba
b
a
UUlE ??? ? ?? d
等势 = 0
lE ?? d?
因为 a,b 任取
所以处处有
(1) 电力线处处垂直等势面
在等势面上任取两点 a,b,则
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第 26页 共 29页
(2) 电力线指向电势降的方向
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第 27页 共 29页
3,电场强度与电势的关系
ba
b
a
UUlE ??? ?
??
d
l
UE
l ?
???
UlE l dd ??
即电场强度在 l 方向的分量值等于
电势在 l 方向的 方向导数
哪个方向导数最大？ ----- 最大的方向导数叫 梯度
a
b
E?
l?d
E?
l 方向 lE
kzjyix
???
?
??
?
??
?
???
梯度算符 在直角
坐标系
中
z
U
E
y
U
E
z
y
?
?
??
?
?
??
x
UE
x ?
???
UUE g r a d??????
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第 28页 共 29页
???
?
???
? ??
?? rr
q 11
π4 0?
?? ?? UUU证,
r ??l
?
?
c o s
2
c o s
2
l
rr
l
rr
??
??
?
?
2
c o s
rrr
lrr
?
??
??
?? ?
例 4.证明电偶极子在空间任一点电场强度为
? ?? ?rrpprE ??3π4 1 3
0
???? ??
?
?
l?q? q?
P
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x
y
o
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?
r
z
lqp
?
?
?c o s
??
代入 将
?r
?
?r
?
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2
3222
0 )(π4 zyx
pzU
??
?
?
2
5222
0 )(
3
π4 zyx
xpz
x
UE
x
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?
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5
0
3
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2
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P
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x
y
o
r?
?
?r
?
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?
学
们
好
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第 2页 共 29页
上讲内容
? 描述场的 基本方法
用 空间坐标点 描述场的分布。
用其矢量的 通量 和 环流 表示场的性质。
? 静电的基本现象和实验规律
物质的电同性；电荷间的相互作用规律。
? 静电场及其描述
,场”概念的引入
? 电场强度的定义,
0q
FE ?? ?
? 场强叠加原理
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四、高斯定理
1.电场线
, 空间矢量函数
定量研究电场,对给定场源电荷求出其电场分布函
数 定性描述电场整体分布,电场线方法 。
E?
其上每点切向, 该点 方向。 E?电
场
线
通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小,
即其疏密与场强的大小成正比。
E?
实例
+ + + + + + + + + +
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均匀带电直导线
的电场线
电偶极子的电场线
一对正电荷的电场线
静电场电场线性质,
1) 电场线起始于正电荷（或无限远处），终止于负电荷
（或无限远处），不会在没有电荷处中断。
2) 任意两条电场线不会相交。
3) 电场线不形成闭合曲线。
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2.电通量
S
?? ESe?
?? ESe?
S
E
S
S
θ
?co sES?
通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过
该面 的电通量。
面积元矢量,nSS ?? dd ?
面积元范围内 视为均匀 E?E
S
dS
θ
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第 6页 共 29页
? ???? ss ee SEΦΦ ?? dd
2) 通过曲面 S的电通量
1) 通过面元的电通量,
SESESEΦ e ?? d)c o sd(dd ???? ? ?
3) 通过封闭曲面的电通量
? ?? se SEΦ ?? d
E S
dS
θ
0d
2
π
0d
2
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0d
2
π
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e
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e
Φ
Φ
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?
?
SEΦ e ?? dd ??
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? ?? se SEΦ ?? d
通过封闭曲面的电通量
规定, 封闭曲面外法向为正
穿入的电场线
穿出的电场线 00??
e
e
Φ
Φ
练习 1.空间有点电荷 q,求下列情况下穿过曲面的电通量
1) 曲面为以电荷为中心的球面。
2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面。
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面。
E?
n? n?
n?
S
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解答,1) 曲面为以电荷为中心的球面
0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
? ? ? ??????
0
2
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3
0
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无关
单个点电荷场中,由 +q 发出的电场线延伸到 ?,由 ?
而来的电场线到 -q 终止。在无电荷处，电场线不中断、
不增加。
0?q
S
E?
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S
E?
r
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2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面
0?
qΦΦ
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0:0 ?? eΦq
0:0 ?? eΦq
q
S
E?
S?
S?
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S
E?
3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面
S?
q
E?
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结论,
??? ?? Se SEΦ ?? d ? ?
? ?外在
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Sq
Sqq
0
0?
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练习 2,空间有点电荷系 q1,q2,…,qn,求穿过空间任意
封闭曲面 S的电通量
1q
2q
nq
S
曲面上各点处电场强度,
nEEEE
????? ????
21
包括 S内,S外，所有电荷的贡献。
穿过 S的电通量,
?? ?? ????????? SESESESEΦ nse ????????? dddd 21
只有 S内的电荷对穿过 S的电通量有贡献。
思考, 1) 是否存在 q 恰好在 S上的情况？
2)上述结论与库仑定律 有何关系？ 21 rF ?
enee ΦΦΦ ???? ?21 ??
内q
0
1
?
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第 11页 共 29页
3.高斯定理
静电场中，通过任意封闭曲面 (高斯面 )的电通量等于
该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍。 01?
关于高斯定理的讨论,
(1) 式中各项的含义
高斯面,封闭曲面。,S
总场,S内外所有电荷均有贡献。,E?
真空电容率。,0?
S内的 净 电荷。, ?
内q
只有 S内电荷有贡献。
,eΦ
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 12页 共 29页
(2) 揭示了静电场中“场”和“源”的关系。
电场线有头有尾
:q?
:q?
发出 条电场线，是电场线的“头”
吸收 条电场线，是电场线的“尾”
0?q
0?q
“头”,
“尾”,源”
静电场的重要性质 —— 静电场是 有源场
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 13页 共 29页
(3) 反映了库仑定律的平方反比关系。
??? ?? 内qSES
0
1d
?
??
(4)利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静
电场。
成立条件, 静电场
求解条件,电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 中的 能够以标
量形式提到积分号外，从而简便地求出 分布。
? ?s SE d ??
E?
E?
常见类型,场源电荷分布
球对称性
轴对称性
面对称性
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第 14页 共 29页
以 S为高斯面,
? ? ????s s rESESE 2π4d0c o sd ???
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??由高斯定理,
)π4()( 20 rqE ??? 内
例 1,求均匀带电球体 (q,R)的电场分布。
oq P
R
EE ?? ?? dd
0r
q?d
E??d大小相等
方向沿径向 E?
E?
S面上各点彼此等价
对称性分析
作以 O为中心,r
为半径的球形面 S。 E?d
S
0rqd
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2
0π4 R
q
?
r? 21r?
E
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2
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, rqEqqRr ???? ? 外内
3
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3
0
Rr
r
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Rr
R
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E
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?
?
球体外区域 ~电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE?
oq PR
S
r r
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五,环路定理 电势
1,静电力的功
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关，
与所通过的路径无关。
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
场源电荷,
检验电荷,0q
q
EqF ?? 0?
q
a
ar?
b
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L
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2
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π4
d
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0
0
2
0
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baL
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2.环路定理
由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关，
与所通过的路径无关，即 静电力是保守力。
凡保守力都有与其相关的势能,静电场是有势场 。
0dd 0 ????? ? ? lEqlFA L L ????
静电场中任意闭合路径
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零。反映
了 静电场是保守力场 。
静电场环路定理,
路径上各点的总场强
? ??L lE 0d ??
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3.电势能 W
在场中某点的电势能等于将 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。
0q0q
由
? ???????
??????
b
a
baabFe
P
WWWWlEqA
WEA
)(d0
??
保
令
0?bW
得
? ??
零势点
a
a lEqW
??
d0
:aW 静电场与场中电荷 共同拥有。 0q
:/ 0qW a 取决于电场分布、场点位置和零势点选取 与场中检验电荷 无关。可用以描述静电场
自身的特性。
0q
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4.电势
? ???
零势点
a
a
a lEq
WU ?? d
0
静电场中某点电势等于单位正电荷在该点具有的电势能，或
将单位正电荷由该点移至零势点过程中静电力所做的功。
电势差,
? ????
b
a
baab lEUUU
??
d
静电场中 a,b两点的电势差等于将单位正电荷由 a
沿任意路径移至 b过程中静电力做的功。
注意, (1) U 为空间标量函数。
(2) U 具有相对意义，其值与零势点选取有关,
但 Uab与零势点选取无关。
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(3) 遵从叠加原理,(零势点相同 )
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷单独存在
时在该点产生的电势的代数和。
?? iUU
(4) 由保守力与其相关势能的关系,
UU
q
W
q
F
E
WEqF
g ra d)(
00
0
?????????
????
?
?
??
静电场中某点的场强等于该点电势梯度的负值 。
即,是 沿电场线方向的空间变化率。指向 降低
的方向。
UE
?
U
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给出又一种求 的方法,E?
)(
,,
k
z
U
j
y
U
i
x
U
E
z
U
E
y
U
E
x
U
E zyx
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?? UE g r ad???
5.电势的计算 (两种基本方法 )
(1) 场强积分法 (由定义求 )
(A) 确定 分布 E?
(B) 选零势点和便于计算的积分路径
(C) 由电势定义
? ????
零势点 零势点
计算
a a
aa UlElEU dc o sd ?
??
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注意,
? 若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值。
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
一般,场源电荷有限分布选 0??U
场源电荷无限分布 不 选 0??U
许多实际问题中选
0?地球U
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例 2.求点电荷 q场中的电势分布。
解,
3
0π4 r
rqE
?
??
?
令 0??U
沿径向积分
r
q
r
rq
r
rrq
lEU
r
P r
0
2
0
3
0
π4π4
d
π4
d
d
??
?
??
?
???
?
? ?
?
? ? ???
q
r?
P
O E?
U
ro
r1?
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(2) 叠加法
(A) 将带电体划分为电荷元 。 qd
(C) 由叠加原理得 。
? ??? UUUU i d 或
(B) 选零势点，写出 在场点的电势 。 Udqd
例 3.求电偶极子的电势分布。
q? q?l?
P
r?
r
?r
解,
?? ?? UUU
??
????
r
q
r
q
00 π4
1
π4
1
??
2
0π4
1
r
rp e ?? ???
?
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n? nEU ???由电势相等的点组成的面叫 等势面 满足方程
? ? CzyxU ?,,
等势面的疏密反映了场的强弱
六、场强与电势的关系
1,等势面
2312 UU ???
当常量 C取等间隔数值时,可以得
到一系列的等势面
1U
2U
3U
2,电力线与等势面的关系
ba
b
a
UUlE ??? ? ?? d
等势 = 0
lE ?? d?
因为 a,b 任取
所以处处有
(1) 电力线处处垂直等势面
在等势面上任取两点 a,b,则
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(2) 电力线指向电势降的方向
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3,电场强度与电势的关系
ba
b
a
UUlE ??? ?
??
d
l
UE
l ?
???
UlE l dd ??
即电场强度在 l 方向的分量值等于
电势在 l 方向的 方向导数
哪个方向导数最大？ ----- 最大的方向导数叫 梯度
a
b
E?
l?d
E?
l 方向 lE
kzjyix
???
?
??
?
??
?
???
梯度算符 在直角
坐标系
中
z
U
E
y
U
E
z
y
?
?
??
?
?
??
x
UE
x ?
???
UUE g r a d??????
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???
?
???
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?? rr
q 11
π4 0?
?? ?? UUU证,
r ??l
?
?
c o s
2
c o s
2
l
rr
l
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2
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rrr
lrr
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??
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例 4.证明电偶极子在空间任一点电场强度为
? ?? ?rrpprE ??3π4 1 3
0
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l?q? q?
P
z
x
y
o
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?
r
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代入 将
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2
3222
0 )(π4 zyx
pzU
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?
2
5222
0 )(
3
π4 zyx
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x
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5
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3
π4 r
xzp
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π4 5
2
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