同学们好 ！
习 题
讨 论
课
大学物理
第 2页 共 28页
?两条基本实验定律, 库仑定律，静电力叠加原理。
?两条基本定理,静电场高斯定理，环路定理。
------ 揭示静电场基本性质
?两个基本物理量,电场强度, 电势 。 UE ?
静电场
库仑定律
电场
强度 高斯定理
环路定理 电势
静电场
的基本
性质
静电力叠加原理 电相互作用
电通量
大学物理
第 3页 共 28页
基本要求
1,了解电荷量子化、电荷守恒；
2,掌握库仑定律及其适用条件、电场力叠加原理 ；
3,理解电场强度概念，掌握场强叠加原理；
4,理解电通量概念，掌握静电场的高斯定理；
5,理解电势概念，掌握静电场的环路定理；
6,了解场强和电势的关系；
7,掌握计算场强（三种方法）和电势（两种）的
方法。
大学物理
第 4页 共 28页
? 电场强度的定义,
? 库仑定律,
3
0
21
4 r
rqqF
??
??
?
0q
FE
??
?
? 场强叠加原理,
??
i
iEE
??
? 电通量,
SEΦ se ?? d?? ?
? 高斯定理,?? ??
内qSEs
0
1d
?
??
? 环路定理,0d ???
L lE
??
基本知识点
大学物理
第 5页 共 28页
? 电势差,
? 电势,? ??? 零势点
P
P
P lEq
WU ?? d
lEUUU baba ?? d????? ?
? 电势叠加原理,?
?
i
iUU
? 电场力做功,? ?
baab UUqA ??
? 场强与电势的微分关系,
kzUjyUixUUE
????
?
??
?
??
?
??????
基本知识点
大学物理
第 6页 共 28页
根据高斯定理求解 计算 方法 E?
根据 的定义和 叠加原理求解 E?E?
根据 与 的关系求解 E? U
基本要求
掌握计算场强和电势的方法
计算 方法 U
场强积分法 (由定义求 )
电势叠加法
大学物理
第 7页 共 28页
典型静电场
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
3
04 r
rqE
??
??
?
23)(4
1
22
0 xR
iqxE
??
??
??
带电直线）?? (
2 0 r
E
??
?
3
04
,0 rrqEE ??
???
?? 外内
带电平面）?? ( 2
0?
?E
大学物理
第 8页 共 28页
典型静电场
点电荷,
均匀带电圆环
轴线上,
均匀带电球面,
r
qU
04??
?
2
1)(4 22
0 xR
qU
?
?
??
r
qU
04 ??
?外
R
qU
04 ??
?内
无限长均匀带电直线,
r
rE 0
0
ln
2 ??
???
大学物理
第 9页 共 28页
例 1,一无限长圆柱面电荷面密度为
? = ?0cos?,式中 ?为半径 R与 x轴之间
的夹角。求圆柱轴线上一点的场强。
x
y
z
R o ?
x
y
o ?
R
dl=Rd?
E?d
解, 圆柱面 = ?平行于轴的长直线
R
R
R
l
RE 0
0
00 π2
dc o s
π2
d
π2
dd
?
???
?
?
?
? ???
0
02
2
0
0
0
2
dc o s
π2
c o sdd
?
?
??
?
?
?
?
????
???
?
? ? EEE xx
0dc o ss i n
π2
s i ndd
2
0
0
0 ???
???
?
??
???
?
?
?
?
EEE yy
iEE x ???
0
0
2 ?
????
大学物理
第 10页 共 28页
思考, (1) 用哪种方法求解?
(2)?d ?q
叠加法,??? EEq ?? ddd
例 2,求均匀带电半球面 (R,?已知 ) 球心处电场。
对否？
xySq dπ2dd ???? ??
???? dc o sπ2dπ2d RRlyq ?????
╳
√
x
R
?
o
y
将半球面视为由许多圆环拼成。
E?d xxo? x
y
R
ld
大学物理
第 11页 共 28页
(3) 的大小，方向？ E?d
?
?
???
?
?
?
d
2
s i nc os
π4
ds i n
)(π4
d
d
0
3
0
22
0
2
3
??
?
?
R
qR
xy
qx
E
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
因为各圆环在 O点处 同向,可直接积分。
E?d
E?d
ld
xxo? x
y
R
0
0
0
0 4d2
s i nc o sd 2
?
??
?
???? ??? ? ?EE 沿 方向。 x?
沿 方向 。 x?
大学物理
第 12页 共 28页
例 3,求半径 R，电荷体密度 ( k为常数,),
带电球体内外的场强。
rk?? Rr ?
思考, (1) 选用哪种方法求解更方便？
未破坏电场分布的球对称性,
用高斯定理求解方便 。
rk??
选高斯面 EqSE
s
???
1d
0
求内?? ??
?
R
?
O
S
(2) 选同心球面 S (r ?)高斯面 ? ????
s rESE
2π4d ??
r?
( 3 ) ?? 内q
rrd
22
0 0
π2dπ4d, kRrr
r
kVqRr R R ?????? ? ?? ?
内
22
0 0
π2dπ4d, krrr
r
kVqRr r r ?????? ? ?? ?
内
大学物理
第 13页 共 28页
(4) 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??
(5) 对结果的定性理解,
2rq ?
内
2
1
rE ? 总效果 大小为恒量 内E
2
0
2
0
2
2
r
kR
E
k
E
?
?
?
?
外
内
得,沿径向
R
?
O
S
r?
rrd
o
R r
E
02?
k
2
1
r?
大学物理
第 14页 共 28页
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但 随 变化规律未破坏面对
称性。
x?
在 ?x?? L处,P区与 N区电荷的电场相互抵消,
0?E
例 4.半导体 PN结阻挡层内外的电场。 (P.41,11 -13)
已知, PN结阻挡层内电荷体密度分布
)(
),( 0)(
LxL
LxLx
axx ???
???
?
?
?
???
求,电场分布
N P - - - -
- - - -
- - - -
+ +
+ + + +
+ + +
+ +
xLOL ?
大学物理
第 15页 共 28页
,Lx ?
选如图高斯面
? ? ?
?
??????????
?
左 右 侧
SESESESE
SE
S
??????
??
ddd
d
0c o s0 ?? ?E?
穿入
)(21dd 22 xLSaxSaxVq L
x
????????? ? ?? ?内
xxLaE ??? )(2 22
0?
所以
方向沿
? ???S qSE 内
0
1d
?
??由高斯定理,
xLxOL ?
SE ? ?
?? PN
大学物理
第 16页 共 28页
例 5,在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖
去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 O2与带电球体中
心 O1 相距为 a [(R2+ a )< R1],(P.40 11-10) 求空腔内任一
点电场 。
思考, (1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
? 2E?
1O
1R
? 2Oa?
2R
P1r? 1E?2E?
2r?
大学物理
第 17页 共 28页
(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
?rE ?? ?
3
1
0
2
11 π3
41π4 rrE ??? ?
?
3
2
0
2
22 π3
41π4 rrE ??? ?
? 0
2
2 3?
?rE ?? ?
0
21
0
21 3)(3 ?
?
?
? arrEEE
P
??????
?????
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1O
1R
? 2Oa?
2R
P1r? 1E?2E?
2r?
S2 S
1
1O
1R
? 2Oa?
2R
PE?
大学物理
第 18页 共 28页
(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
?
02?
??E
E?
?? ??
0?
??E
……
1O
1R
? 2Oa?
2R
PE?
大学物理
第 19页 共 28页
例 6,求均匀带电球壳腔内任意点电势
1R
2R
o? P
已知,?,,
21 RR
求,
PU
解,将带电球壳视为许多均匀带
电球面的集合
取半径, 厚 的球壳为电荷元,rr d rrq dπ4d 2 ??? ?
0??U令 在腔内产生的电势,qd,
00
2
0
d
π4
dπ4
π4
dd
?
?
?
?
?
rr
r
rr
r
qU ????
)(
2
dd 2122
00
2
1
RRrrUU
R
R
???? ? ?
?
?
?
?
即：腔内各点等势
由叠加原理,
r
rd
大学物理
第 20页 共 28页
例 7,在与面电荷密度 ? 的无限大均匀带电平板相距
a 处有一点电荷 q，求点电荷至平板垂线中点处的电
势 UP。
解一,点电荷 q在 P处电势
2
π4 0
1 a
qU
?
?
?
00
21 4π2 ?
?
?
a
a
qUUU
P ????
无限大带电平板在 P处电势,
22 02
aEdU ????
?
?
对不对？
2
aO
Pq x
?
a
大学物理
第 21页 共 28页
错在那里？
零电势点不统一不能叠加
0
0
2
1
??
?? ?
aUU
UU
解二,选共同的零势点
0?aU
0
2
0 2π4 ?
?
? ?? x
qE场强积分法,
000
2
0
4π4
d)
2π4
(
dd
2
2
?
?
??
?
?
a
a
q
x
x
q
xElEU
a
a
P
a
xP
a
a
????
???
?
? ?
??
2
aO
Pq x
?
a
大学物理
第 22页 共 28页
练习 已知,U–x曲线如图。 求 E–x曲线。
x
o
U
x
o
E
x
UE
?
???
大学物理
第 23页 共 28页
例 8,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。 ),( ?R
解,场强积分法
先由高斯定理求电场分布
选高 h半径 r的同轴圆柱面为
高斯面
?? ???? 内qrhESES
0
1π2d
?
??
hRqRr 2π ??? ? ?内
r
RE
0
2
2?
??
外
径向
02?
? rE ?
内 hrqRr
2π ??? ? ?内 径向
R
?
R?
h S r
大学物理
第 24页 共 28页
令 r = 0 处 U= 0,沿径向积分
? ? ????
0 0
02
dd
r r
rrrEU
?
? ????
内内
? ???
0
0
2
0 4
d
2 r
rrr
?
?
?
?
0
2
0
2
4ln2 ?
?
?
? R
r
RR ??
? ? ????
R
r R
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???
dd
0
内外外
h
R
S
? r
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0
00
2
2
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2
d
R
R
r
rr
r
rR
?
?
?
?
E
r
1?
r?
U
对数曲线
2r?
R ro
大学物理
第 25页 共 28页
例 9,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
解, 叠加法
将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d ? 0??U令
π8
dd
22
0
?? ? ???
L
LP axL
xqUU
? a
LaL
L
q 22
0
lnπ4 ??? ?
(1)
r
qU
0π4
dd
??
)(π8 d
2122
0 axL
xq
?? ?
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y
qd
r
大学物理
第 26页 共 28页
)(π8
d
)(π4
d
d
0
0
xbL
xq
xb
q
U
?
?
?
?
?
?
?? ?? ???
L
LP xbL
xqUU
)(π8
dd
0?
Lb
Lb
L
q
?
?? ln
π8 0?
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y
qd
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
大学物理
第 27页 共 28页
例 10,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
qE
?
静电场特性,
有源 高斯定理
保守 环路定理
作如图扇形环路 abcd
d c ba
? ? ????ba dc lElE 0dd ????所以
lEcdab ?? d,??? 上因为
大学物理
第 28页 共 28页
大小不等。而
上路径相等、又
E
bcda
?
（电力线密度不同）
?? ??? adcb lElE
????
dd
? ? ? ? ? ??????????L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
??????????
所以
违反静电场环路定理,图所示电场不是静电场。
qE
? d c b
a
习 题
讨 论
课
大学物理
第 2页 共 28页
?两条基本实验定律, 库仑定律，静电力叠加原理。
?两条基本定理,静电场高斯定理，环路定理。
------ 揭示静电场基本性质
?两个基本物理量,电场强度, 电势 。 UE ?
静电场
库仑定律
电场
强度 高斯定理
环路定理 电势
静电场
的基本
性质
静电力叠加原理 电相互作用
电通量
大学物理
第 3页 共 28页
基本要求
1,了解电荷量子化、电荷守恒；
2,掌握库仑定律及其适用条件、电场力叠加原理 ；
3,理解电场强度概念，掌握场强叠加原理；
4,理解电通量概念，掌握静电场的高斯定理；
5,理解电势概念，掌握静电场的环路定理；
6,了解场强和电势的关系；
7,掌握计算场强（三种方法）和电势（两种）的
方法。
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第 4页 共 28页
? 电场强度的定义,
? 库仑定律,
3
0
21
4 r
rqqF
??
??
?
0q
FE
??
?
? 场强叠加原理,
??
i
iEE
??
? 电通量,
SEΦ se ?? d?? ?
? 高斯定理,?? ??
内qSEs
0
1d
?
??
? 环路定理,0d ???
L lE
??
基本知识点
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第 5页 共 28页
? 电势差,
? 电势,? ??? 零势点
P
P
P lEq
WU ?? d
lEUUU baba ?? d????? ?
? 电势叠加原理,?
?
i
iUU
? 电场力做功,? ?
baab UUqA ??
? 场强与电势的微分关系,
kzUjyUixUUE
????
?
??
?
??
?
??????
基本知识点
大学物理
第 6页 共 28页
根据高斯定理求解 计算 方法 E?
根据 的定义和 叠加原理求解 E?E?
根据 与 的关系求解 E? U
基本要求
掌握计算场强和电势的方法
计算 方法 U
场强积分法 (由定义求 )
电势叠加法
大学物理
第 7页 共 28页
典型静电场
点电荷,
均匀带电圆环轴线上,
无限长均匀带电直线,
均匀带电球面,
无限大均匀带电平面,
3
04 r
rqE
??
??
?
23)(4
1
22
0 xR
iqxE
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??
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带电直线）?? (
2 0 r
E
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?
3
04
,0 rrqEE ??
???
?? 外内
带电平面）?? ( 2
0?
?E
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第 8页 共 28页
典型静电场
点电荷,
均匀带电圆环
轴线上,
均匀带电球面,
r
qU
04??
?
2
1)(4 22
0 xR
qU
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?
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r
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?外
R
qU
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?内
无限长均匀带电直线,
r
rE 0
0
ln
2 ??
???
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第 9页 共 28页
例 1,一无限长圆柱面电荷面密度为
? = ?0cos?,式中 ?为半径 R与 x轴之间
的夹角。求圆柱轴线上一点的场强。
x
y
z
R o ?
x
y
o ?
R
dl=Rd?
E?d
解, 圆柱面 = ?平行于轴的长直线
R
R
R
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dc o s
π2
d
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0 ???
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???
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EEE yy
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????
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第 10页 共 28页
思考, (1) 用哪种方法求解?
(2)?d ?q
叠加法,??? EEq ?? ddd
例 2,求均匀带电半球面 (R,?已知 ) 球心处电场。
对否？
xySq dπ2dd ???? ??
???? dc o sπ2dπ2d RRlyq ?????
╳
√
x
R
?
o
y
将半球面视为由许多圆环拼成。
E?d xxo? x
y
R
ld
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第 11页 共 28页
(3) 的大小，方向？ E?d
?
?
???
?
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?
d
2
s i nc os
π4
ds i n
)(π4
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0
3
0
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0
2
3
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R
qR
xy
qx
E
(4) 能不能由 直接积分？ 积分限如何确定？ Ed
因为各圆环在 O点处 同向,可直接积分。
E?d
E?d
ld
xxo? x
y
R
0
0
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0 4d2
s i nc o sd 2
?
??
?
???? ??? ? ?EE 沿 方向。 x?
沿 方向 。 x?
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第 12页 共 28页
例 3,求半径 R，电荷体密度 ( k为常数,),
带电球体内外的场强。
rk?? Rr ?
思考, (1) 选用哪种方法求解更方便？
未破坏电场分布的球对称性,
用高斯定理求解方便 。
rk??
选高斯面 EqSE
s
???
1d
0
求内?? ??
?
R
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O
S
(2) 选同心球面 S (r ?)高斯面 ? ????
s rESE
2π4d ??
r?
( 3 ) ?? 内q
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22
0 0
π2dπ4d, kRrr
r
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内
22
0 0
π2dπ4d, krrr
r
kVqRr r r ?????? ? ?? ?
内
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第 13页 共 28页
(4) 电场强度的大小，方向？
由高斯定理,
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??
(5) 对结果的定性理解,
2rq ?
内
2
1
rE ? 总效果 大小为恒量 内E
2
0
2
0
2
2
r
kR
E
k
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外
内
得,沿径向
R
?
O
S
r?
rrd
o
R r
E
02?
k
2
1
r?
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第 14页 共 28页
解,对称性分析
虽然电荷非均匀分布，但 随 变化规律未破坏面对
称性。
x?
在 ?x?? L处,P区与 N区电荷的电场相互抵消,
0?E
例 4.半导体 PN结阻挡层内外的电场。 (P.41,11 -13)
已知, PN结阻挡层内电荷体密度分布
)(
),( 0)(
LxL
LxLx
axx ???
???
?
?
?
???
求,电场分布
N P - - - -
- - - -
- - - -
+ +
+ + + +
+ + +
+ +
xLOL ?
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,Lx ?
选如图高斯面
? ? ?
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??????????
?
左 右 侧
SESESESE
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0c o s0 ?? ?E?
穿入
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所以
方向沿
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0
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??由高斯定理,
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SE ? ?
?? PN
大学物理
第 16页 共 28页
例 5,在半径 R1,体电荷密度 ? 的均匀带电球体内挖
去一个半径 R2的球形空腔。空腔中心 O2与带电球体中
心 O1 相距为 a [(R2+ a )< R1],(P.40 11-10) 求空腔内任一
点电场 。
思考, (1) 选用何种方法求解？
挖去空腔 —— 失去球对称性,
能否恢复对称性？补偿法！
半径 R 1均匀带电实心球体在 P点的场强,
半径 R 2均匀带电实心球体在 P点的场强,2E?
1E?
所求场强 而, 均可由高斯定理求出。
21 EEE P
??? ?? 1E
? 2E?
1O
1R
? 2Oa?
2R
P1r? 1E?2E?
2r?
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(2) 作高斯面 求, 21,SS 21,EE ??
0
1
1 3?
?rE ?? ?
3
1
0
2
11 π3
41π4 rrE ??? ?
?
3
2
0
2
22 π3
41π4 rrE ??? ?
? 0
2
2 3?
?rE ?? ?
0
21
0
21 3)(3 ?
?
?
? arrEEE
P
??????
?????
腔内为平行于
的均匀电场！
aoo ??21
1O
1R
? 2Oa?
2R
P1r? 1E?2E?
2r?
S2 S
1
1O
1R
? 2Oa?
2R
PE?
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(3) 思考,请总结获得均匀电场的方法
?
02?
??E
E?
?? ??
0?
??E
……
1O
1R
? 2Oa?
2R
PE?
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例 6,求均匀带电球壳腔内任意点电势
1R
2R
o? P
已知,?,,
21 RR
求,
PU
解,将带电球壳视为许多均匀带
电球面的集合
取半径, 厚 的球壳为电荷元,rr d rrq dπ4d 2 ??? ?
0??U令 在腔内产生的电势,qd,
00
2
0
d
π4
dπ4
π4
dd
?
?
?
?
?
rr
r
rr
r
qU ????
)(
2
dd 2122
00
2
1
RRrrUU
R
R
???? ? ?
?
?
?
?
即：腔内各点等势
由叠加原理,
r
rd
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例 7,在与面电荷密度 ? 的无限大均匀带电平板相距
a 处有一点电荷 q，求点电荷至平板垂线中点处的电
势 UP。
解一,点电荷 q在 P处电势
2
π4 0
1 a
qU
?
?
?
00
21 4π2 ?
?
?
a
a
qUUU
P ????
无限大带电平板在 P处电势,
22 02
aEdU ????
?
?
对不对？
2
aO
Pq x
?
a
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错在那里？
零电势点不统一不能叠加
0
0
2
1
??
?? ?
aUU
UU
解二,选共同的零势点
0?aU
0
2
0 2π4 ?
?
? ?? x
qE场强积分法,
000
2
0
4π4
d)
2π4
(
dd
2
2
?
?
??
?
?
a
a
q
x
x
q
xElEU
a
a
P
a
xP
a
a
????
???
?
? ?
??
2
aO
Pq x
?
a
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练习 已知,U–x曲线如图。 求 E–x曲线。
x
o
U
x
o
E
x
UE
?
???
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例 8,求无限长均匀带电圆柱体 电势分布。 ),( ?R
解,场强积分法
先由高斯定理求电场分布
选高 h半径 r的同轴圆柱面为
高斯面
?? ???? 内qrhESES
0
1π2d
?
??
hRqRr 2π ??? ? ?内
r
RE
0
2
2?
??
外
径向
02?
? rE ?
内 hrqRr
2π ??? ? ?内 径向
R
?
R?
h S r
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令 r = 0 处 U= 0,沿径向积分
? ? ????
0 0
02
dd
r r
rrrEU
?
? ????
内内
? ???
0
0
2
0 4
d
2 r
rrr
?
?
?
?
0
2
0
2
4ln2 ?
?
?
? R
r
RR ??
? ? ????
R
r R
rErEU ?
???
dd
0
内外外
h
R
S
? r
?? ??
0
00
2
2
d
2
d
R
R
r
rr
r
rR
?
?
?
?
E
r
1?
r?
U
对数曲线
2r?
R ro
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例 9,电量 q均匀分布在长为 2L的细棒上 。求,
(1) 细棒中垂面上距细棒中心 a处 P点的电势 。
(2) 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势。
解, 叠加法
将带电细棒视为点电荷集合
xLqq d2d ? 0??U令
π8
dd
22
0
?? ? ???
L
LP axL
xqUU
? a
LaL
L
q 22
0
lnπ4 ??? ?
(1)
r
qU
0π4
dd
??
)(π8 d
2122
0 axL
xq
?? ?
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y
qd
r
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)(π8
d
)(π4
d
d
0
0
xbL
xq
xb
q
U
?
?
?
?
?
?
?? ?? ???
L
LP xbL
xqUU
)(π8
dd
0?
Lb
Lb
L
q
?
?? ln
π8 0?
L? o L?q
Pa
b? x? ??
?
'P
y
qd
(2) 求 细棒延长线上距细棒中心 b处 P?点的电势
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例 10,证明电力线如图分布的电场不可能是静电场。
qE
?
静电场特性,
有源 高斯定理
保守 环路定理
作如图扇形环路 abcd
d c ba
? ? ????ba dc lElE 0dd ????所以
lEcdab ?? d,??? 上因为
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大小不等。而
上路径相等、又
E
bcda
?
（电力线密度不同）
?? ??? adcb lElE
????
dd
? ? ? ? ? ??????????L
b
a
c
b
d
c
a
d
lElElElElE 0ddddd
??????????
所以
违反静电场环路定理,图所示电场不是静电场。
qE
? d c b
a
