同学们好
习 题
讨 论
课
大学物理
第 2页 共 26页
小结,稳恒磁场
1.掌握磁感应强度的定义及其物理意义。
22
m a x2
d
)(d
lI
FB ?
?
?
?
向电流元稳定平衡时的取方向：
受力最大时之值大小：
B
?
2,掌握毕－萨定律，掌握磁场叠加原理，能计算简
单几何形状的载流导体产生的稳恒磁场分布。
1) 毕－萨定律
2
0 ?d
π4
d
r
rlIB ???
??
?电流元产生的磁场 2
0
π4
s i nd
r
lI ??大小,
方向：右手法则
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第 3页 共 26页
2) 磁场叠加原理
?? iBB ??
3) 利用毕－萨定律和磁场叠加原理求 B?
具体步骤,
① 选取电流元或某些典型电流为积分元 ；
② 由毕－萨定律或典型电流磁场写出 ；
③ 选取坐标系，写出 在各坐标轴上的分量,
对每个分量积分；
④ 求出总磁感应强度的大小，并说明方向。
lI ?d
B?d
B?d
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第 4页 共 26页
作业 No.3 计算题 2
无限大导体平板电流的磁场 (面电流密度为 j)。
毕－萨定律和叠加原理求
xjI dd ?
r
IB
π2
dd 0??
由对称性,
0d ?? ? zz BB
?? xBB d
? ??? ?? 220 dπ2 zx xzj?
r
z
r
xjB ??? ??
π2
d c o sd 0??
2
a r c t g1
π2
00 j
z
x
z
zj ?? ??? ?
??
20j?
20
j?? x
B
o
??????????
z
z
xoj?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r ?
?
大学物理
第 5页 共 26页
4) 几种典型稳恒电流的磁场
① 有限长载流直导线
无限长载流直导线
)c o sc o s(π4 210 ??? ?? aIB
a
IB
π2
0??
③ 载流螺线管轴线上
无限长螺线管内部
? ? 2322
2
0
2 xR
IRB
?
? ?
R
IB
2
0??② 载流圆线圈轴线上 圆心处
)c o sc o s(2 210 ??? ?? nIB
nIB 0??
④ 载流细螺绕环 nIB 0??内 0?外B
⑤ 无限大载流平板
2
0 jB ??
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第 6页 共 26页
3,掌握磁感应线和磁通量的物理意义；理解磁场
高斯定理；能计算简单非均匀磁场中，某回路所包
围面积上的磁通量。
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1) 磁感应线
B?
B?
2) 磁通量
SBSBΦ m dc o sdd ???? ??
SBΦ Sm ?? d???
3) 磁场的高斯定理
0d ??? SBS ??
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第 7页 共 26页
4.理解安培环路定理的物理意义；掌握用安培环路
定理计算某些具有对称性载流导体产生的磁场分布。
1) 安培环路定理
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
2) 利用安培环路定理求 B?
具体步骤,
① 对磁场进行对称性分析；
② 根据磁场对称性的特点，选取相应的安培环路 ；
③ 根据环路定理列方程，并求出 ；
④ 求出 的大小，并说明方向。
L
? 内I
B?
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第 8页 共 26页
3) 几种典型稳恒电流的磁场
① 无限长均匀载流圆柱体
r
IB
π2
0??
外2
0
π2 R
IrB ??
内
② 无限长均匀载流圆筒 0?
内B
r
IB
π2
0??
外
③ 无限长载流平板
2
0 jB ??
5,理解运动电荷产生的磁场
3
0
π4 r
ruqB ??? ?? ?
2
0
π4
s i n
r
qu ??大小,
方向：右手法则
大学物理
第 9页 共 26页
解：用补偿法
原电流分布等效于,
实心圆柱电流
空腔部分反向电流
?
1I
?2I
原磁场为 21 BBB ??? ??
电流密度
22 ππ rR
Ij
??
21 π RjI ?
22 π rjI ?
电流
练习, P,83 12-9半径 R的长圆柱形导体内与轴线平行
地挖去一个半径为 r的圆柱形空腔,，电流 I在
截面内均匀分布，方向平行于轴线，求,
dOO ?21
1) 圆柱轴线上磁感应强度 Bo
2) 空心部分中任一点的 B R
r2O?1O P
dI ?
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第 10页 共 26页
2) 对空腔内任一点 P
设,
11 rPO ? 22 rPO ?
1r?
1B?
x
1I 1O
1L
y
P
由安培环路定理,
2
1011 π π2d1 rjrBlBL ?????
??
2
10
1
jrB ??得,
2
20
2
jrB ??同理可得,
d
IB
O π2
20
2
??
1) 由安培环路定理,
01 ?OB
)(π2 22
2
0
21 rRd
IrBBB
OOO ????
?
R
r2O?1O Pd
I ?
大学物理
第 11页 共 26页
1
110
1 2 r
rkjrB ??? ?? ?
2
220
2 2 r
rkjrB ??? ??? ?
21 BBB
??? ?? 10
2 rk
j ?? ?? ?
2
20
2 rk
jr ?? ?? ?
)(2 210 rrkj ??? ??? ? dkj ?? ?? 20?
d?空腔内为垂直于 的均匀磁场,
)π(2 22
0
rR
IdB
??
?
1r?
1B?
x
1I 1O
1L
y
P
2L2I?
2B?
O2
2r
d?
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第 12页 共 26页
形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
无限大载流平面上、下
……
nIB 0??
72.0 00 RNIB ??
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第 13页 共 26页
小结,磁场对电流及运动电荷的作用
(1) 掌握安培定律的物理意义；能用安培定律分析
和计算简单几何形状的载流导体在磁场中所受的安培
力。
安培力,
1) 电流元受磁场力作用的规律
BlIF ??? ?? dd
载流导线所受磁场力
BlIFF LL ???? ??? ?? dd
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第 14页 共 26页
B?
c
a
bI
I
如图所示, 在磁感应强度为 的均匀磁场中, 有一圆
形载流导线, a,b,c是其上三个长度相等的电流元,
则它们所受安培力大小的关系为,
(A) (B)
(C) (D)
B?
cba FFF ?? cba FFF ??
acb FFF ?? bca FFF ??
安培力的大小为
BlIF ??? ?? dd解,由安培定律
可知,
),ds i n (),ds i n (dd BlBllBIF ???? ??
所以
acb FFF ??
由图可知道, 在 b点 最大, c点次之, a点为 0 ),dsin ( Bl ??
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第 15页 共 26页
2) 磁场对电流的作用
具体步骤,
① 选取电流元,根据安培公式判断 的方
向，画出矢量图；
② 选取坐标系，分析力的对称性，写出 的分
量式；
③ 对 每个分量积分求出合力，并说明方向；
lI ?d F?d
F?d
F?d
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第 16页 共 26页
(2) 磁场对载流线圈的作用
具体步骤,
①求出线圈的磁矩 ；
②利用 求出大小，再由 与 的
叉乘判断 的方向。
mP
?
?s i nBPM m? mp? B
?
M?
(3) 理解磁力和磁力矩做功的计算方法
? ??? mΦIAA d
(I为恒量 )
(4) 掌握洛仑兹力公式及其物理意义，并能分析在
匀强磁场中电荷运动的规律。
磁场对运动电荷的作用即洛仑兹力 BvqF ??? ??
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第 17页 共 26页
一线圈由半径为 0.2m的 1/4圆弧 和相互垂直的二直
线组成, 通以电流 2A,把它放在磁感应强度为 0.5T的
均匀磁场中 (磁感应强度 的方向如图所示 )。 求,
(1) 线圈平面与磁场垂直时, 圆弧 所受的磁力；
(2) 线圈平面与磁场成 角时, 线圈所受的磁力矩 。
?AB
?60
B?
?AB
B
A O
I
B?
解, (1) 在均匀磁场中,所受的磁
力等于 所受的磁力 AB
?AB
N2 8 3.02 ???? R I BFF AB
AB
F?
(2) 线圈平面与磁场成,
则 与 的夹角为 。
?60
B?n? ?30
线圈的磁矩 nnISP
m ?102? 2???? ?
?
线圈所受磁力矩 m)(N1057.130s i n 2
m ???? ??BPM
的方向将驱使线圈法线转向与 平行 M? B?
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第 18页 共 26页
5.理解霍尔效应的机理及其应用
1) 霍尔效应,导体中通电流 I，
磁场 垂直于 I，在既垂直于 I，
又垂直于 方向出现电势差
?U。
B?
B?
??? B lvU
d
BIk
d
BI
qnq n ld
IBl ?? 1
霍尔电势差,
2)应用,? 测载流子密度 dqU BIn ??? ?
? 测载流子电性 — 半导体类型
? 磁流体发电 ……
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第 19页 共 26页
解, (1)因载流子所受磁力方向沿 y反方向，侧面 电
势较低，故载流子是 负电荷，这半导体是 N型半导体
A?
(2) 霍尔电压,可得载流子浓度
nea
IBU
AA ??
320 m/1086.2 个???
?AAe a U
IBn
例 1.如图所示，一块半导体样品的体积为 a?b?c，沿 x
方向有电流 I，在 z轴方向加有均匀磁场 。这时实验所
得的数据 a=0.10cm,b=0.35cm,c=1.0cm,I=1.0mA,
B=3000G,导体片两侧的电势差
。
(1)这半导体是正电荷导电 (P型 )
还是负电荷导电 (N型 )？
(2)求载流子浓度。
B?
mV55.6??AAU
z
x
y I
a
b
c A A?
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第 20页 共 26页
电场与带
电粒子的
相互作用
导体的静电平衡
电位移矢量
介质中高斯定理
电介质
极化
电场
能量
电
容
磁场与带
电粒子的
相互作用
磁场强度矢量
介质中安培环
路定理
顺磁质的磁化
抗磁质的磁化
物质
在电场中呈现导电性和介电性 —— 导体、电介质
在磁场中被磁化 —— 磁介质：顺磁、抗磁、铁磁
小结,物质中的静电场和稳恒磁场
大学物理
第 21页 共 26页
小结,物质中的静电场和稳恒磁场
(1) 理解导体的静电平衡条件；掌握导体达到静
电平衡时电荷及电场强度的分布特征；掌握存在
导体时静电场的 和 的计算方法。 E? U
求解, 的步骤,E? U
静电平衡条件
电荷守恒
导体上的
电荷分布
计算
(方法同前 )
E? U
(2) 掌握电容的定义及其物理意义；掌握电容器及电
容器储能的计算方法。
大学物理
第 22页 共 26页
(3)了解电介质的极化原理；掌握电介质的高斯
定理，以及, 的计算。 D? E?
(4) 掌握电容器的能量和电场能量的计算方法。
电介质中的高斯定理,
? ???S
S
qSD
内
0d
??
EDE
r
??? ??
?? 0
电容器的能量
UQUCCQW ????? 21)(212 2
2
电场能量
VEVEDVwW r
VVV e
d21d21d 20 ????? ???
电场能量密度 EDE
V
Ww
re 2
1
2
1 2
0 ??? ??
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第 23页 共 26页
例 2.一电容为 C的空气平行板电容器, 接端电压为
U的电源充电后随即断开, 试求把两个极板间距离增
大至 n倍时外力所作的功 。
n
C
nd
SC
d
SC ??? 00 ',??
。
外
)1(
2
1
)1(
2
1
22
'
2
222
??
?
??????
nCU
C
UCn
C
q
C
nq
WWA
解,充电后断开电源，极板上电量 q＝ CU保持不变。
两极板间距变化前后电容分别为
C
nq
C
qW
C
qW
2'2
1,
2
1 222 ??????
由功能原理，外力所作的功为
电容器储能分别为
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第 24页 共 26页
1Q
2Q?
1r?
2r?
1R
例 3,如图所示，一金属球的半径为 R1，带电 Q1；外
面一同心金属球壳带电 -Q2，内半径 R3、外半径 R4；在
两导体间充满两种均匀电介质 ?r1,?r2,
分界面是半径为 R2的球面。求总的电
场能量和外层电介质中的电场能。
解,分析导体上的自由电荷分布
Q1分布在内球表面上
球壳内表面带电 -Q1，外表面带电 Q1-Q2
由介质中的高斯定理和 D,E关系可得出各区域场强
分布为
大学物理
第 25页 共 26页
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
42
0
21
43
322
20
1
212
10
1
1
π4
0
π4
π4
0
Rr
r
QQ
RrR
RrR
r
Q
RrR
r
Q
Rr
E
r
r
?
??
??
1Q
2Q?
1r?
2r?
1R
总电场能
?? VEW d21 2? ?? rrE dπ421 22?
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40
2
21
3220
2
1
2110
2
1
2
2
0
21
0
2
2
20
1
20
2
2
10
1
10
π8
)(
)
11
(
π8
)
11
(
π8
d)
π4
(
2
1
d)
π4
(
2
1
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π4
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2
1
4
3
2
2
1
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QQ
RR
Q
RR
Q
V
r
QQ
V
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V
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Q
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rr
R
R
R
r
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??
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?????
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???
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??
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外层介质中的能量
)11(
π8
d)
π4
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2
1
3220
2
12
2
20
1
20
3
2 RR
QV
r
QW
r
R
R
r
r ???? ? ??????
习 题
讨 论
课
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第 2页 共 26页
小结,稳恒磁场
1.掌握磁感应强度的定义及其物理意义。
22
m a x2
d
)(d
lI
FB ?
?
?
?
向电流元稳定平衡时的取方向：
受力最大时之值大小：
B
?
2,掌握毕－萨定律，掌握磁场叠加原理，能计算简
单几何形状的载流导体产生的稳恒磁场分布。
1) 毕－萨定律
2
0 ?d
π4
d
r
rlIB ???
??
?电流元产生的磁场 2
0
π4
s i nd
r
lI ??大小,
方向：右手法则
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第 3页 共 26页
2) 磁场叠加原理
?? iBB ??
3) 利用毕－萨定律和磁场叠加原理求 B?
具体步骤,
① 选取电流元或某些典型电流为积分元 ；
② 由毕－萨定律或典型电流磁场写出 ；
③ 选取坐标系，写出 在各坐标轴上的分量,
对每个分量积分；
④ 求出总磁感应强度的大小，并说明方向。
lI ?d
B?d
B?d
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第 4页 共 26页
作业 No.3 计算题 2
无限大导体平板电流的磁场 (面电流密度为 j)。
毕－萨定律和叠加原理求
xjI dd ?
r
IB
π2
dd 0??
由对称性,
0d ?? ? zz BB
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? ??? ?? 220 dπ2 zx xzj?
r
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π2
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2
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j?? x
B
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z
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xoj?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r ?
?
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第 5页 共 26页
4) 几种典型稳恒电流的磁场
① 有限长载流直导线
无限长载流直导线
)c o sc o s(π4 210 ??? ?? aIB
a
IB
π2
0??
③ 载流螺线管轴线上
无限长螺线管内部
? ? 2322
2
0
2 xR
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R
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2
0??② 载流圆线圈轴线上 圆心处
)c o sc o s(2 210 ??? ?? nIB
nIB 0??
④ 载流细螺绕环 nIB 0??内 0?外B
⑤ 无限大载流平板
2
0 jB ??
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第 6页 共 26页
3,掌握磁感应线和磁通量的物理意义；理解磁场
高斯定理；能计算简单非均匀磁场中，某回路所包
围面积上的磁通量。
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1) 磁感应线
B?
B?
2) 磁通量
SBSBΦ m dc o sdd ???? ??
SBΦ Sm ?? d???
3) 磁场的高斯定理
0d ??? SBS ??
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第 7页 共 26页
4.理解安培环路定理的物理意义；掌握用安培环路
定理计算某些具有对称性载流导体产生的磁场分布。
1) 安培环路定理
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
2) 利用安培环路定理求 B?
具体步骤,
① 对磁场进行对称性分析；
② 根据磁场对称性的特点，选取相应的安培环路 ；
③ 根据环路定理列方程，并求出 ；
④ 求出 的大小，并说明方向。
L
? 内I
B?
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第 8页 共 26页
3) 几种典型稳恒电流的磁场
① 无限长均匀载流圆柱体
r
IB
π2
0??
外2
0
π2 R
IrB ??
内
② 无限长均匀载流圆筒 0?
内B
r
IB
π2
0??
外
③ 无限长载流平板
2
0 jB ??
5,理解运动电荷产生的磁场
3
0
π4 r
ruqB ??? ?? ?
2
0
π4
s i n
r
qu ??大小,
方向：右手法则
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第 9页 共 26页
解：用补偿法
原电流分布等效于,
实心圆柱电流
空腔部分反向电流
?
1I
?2I
原磁场为 21 BBB ??? ??
电流密度
22 ππ rR
Ij
??
21 π RjI ?
22 π rjI ?
电流
练习, P,83 12-9半径 R的长圆柱形导体内与轴线平行
地挖去一个半径为 r的圆柱形空腔,，电流 I在
截面内均匀分布，方向平行于轴线，求,
dOO ?21
1) 圆柱轴线上磁感应强度 Bo
2) 空心部分中任一点的 B R
r2O?1O P
dI ?
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第 10页 共 26页
2) 对空腔内任一点 P
设,
11 rPO ? 22 rPO ?
1r?
1B?
x
1I 1O
1L
y
P
由安培环路定理,
2
1011 π π2d1 rjrBlBL ?????
??
2
10
1
jrB ??得,
2
20
2
jrB ??同理可得,
d
IB
O π2
20
2
??
1) 由安培环路定理,
01 ?OB
)(π2 22
2
0
21 rRd
IrBBB
OOO ????
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R
r2O?1O Pd
I ?
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第 11页 共 26页
1
110
1 2 r
rkjrB ??? ?? ?
2
220
2 2 r
rkjrB ??? ??? ?
21 BBB
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2 rk
j ?? ?? ?
2
20
2 rk
jr ?? ?? ?
)(2 210 rrkj ??? ??? ? dkj ?? ?? 20?
d?空腔内为垂直于 的均匀磁场,
)π(2 22
0
rR
IdB
??
?
1r?
1B?
x
1I 1O
1L
y
P
2L2I?
2B?
O2
2r
d?
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第 12页 共 26页
形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
无限大载流平面上、下
……
nIB 0??
72.0 00 RNIB ??
大学物理
第 13页 共 26页
小结,磁场对电流及运动电荷的作用
(1) 掌握安培定律的物理意义；能用安培定律分析
和计算简单几何形状的载流导体在磁场中所受的安培
力。
安培力,
1) 电流元受磁场力作用的规律
BlIF ??? ?? dd
载流导线所受磁场力
BlIFF LL ???? ??? ?? dd
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第 14页 共 26页
B?
c
a
bI
I
如图所示, 在磁感应强度为 的均匀磁场中, 有一圆
形载流导线, a,b,c是其上三个长度相等的电流元,
则它们所受安培力大小的关系为,
(A) (B)
(C) (D)
B?
cba FFF ?? cba FFF ??
acb FFF ?? bca FFF ??
安培力的大小为
BlIF ??? ?? dd解,由安培定律
可知,
),ds i n (),ds i n (dd BlBllBIF ???? ??
所以
acb FFF ??
由图可知道, 在 b点 最大, c点次之, a点为 0 ),dsin ( Bl ??
大学物理
第 15页 共 26页
2) 磁场对电流的作用
具体步骤,
① 选取电流元,根据安培公式判断 的方
向，画出矢量图；
② 选取坐标系，分析力的对称性，写出 的分
量式；
③ 对 每个分量积分求出合力，并说明方向；
lI ?d F?d
F?d
F?d
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第 16页 共 26页
(2) 磁场对载流线圈的作用
具体步骤,
①求出线圈的磁矩 ；
②利用 求出大小，再由 与 的
叉乘判断 的方向。
mP
?
?s i nBPM m? mp? B
?
M?
(3) 理解磁力和磁力矩做功的计算方法
? ??? mΦIAA d
(I为恒量 )
(4) 掌握洛仑兹力公式及其物理意义，并能分析在
匀强磁场中电荷运动的规律。
磁场对运动电荷的作用即洛仑兹力 BvqF ??? ??
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第 17页 共 26页
一线圈由半径为 0.2m的 1/4圆弧 和相互垂直的二直
线组成, 通以电流 2A,把它放在磁感应强度为 0.5T的
均匀磁场中 (磁感应强度 的方向如图所示 )。 求,
(1) 线圈平面与磁场垂直时, 圆弧 所受的磁力；
(2) 线圈平面与磁场成 角时, 线圈所受的磁力矩 。
?AB
?60
B?
?AB
B
A O
I
B?
解, (1) 在均匀磁场中,所受的磁
力等于 所受的磁力 AB
?AB
N2 8 3.02 ???? R I BFF AB
AB
F?
(2) 线圈平面与磁场成,
则 与 的夹角为 。
?60
B?n? ?30
线圈的磁矩 nnISP
m ?102? 2???? ?
?
线圈所受磁力矩 m)(N1057.130s i n 2
m ???? ??BPM
的方向将驱使线圈法线转向与 平行 M? B?
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第 18页 共 26页
5.理解霍尔效应的机理及其应用
1) 霍尔效应,导体中通电流 I，
磁场 垂直于 I，在既垂直于 I，
又垂直于 方向出现电势差
?U。
B?
B?
??? B lvU
d
BIk
d
BI
qnq n ld
IBl ?? 1
霍尔电势差,
2)应用,? 测载流子密度 dqU BIn ??? ?
? 测载流子电性 — 半导体类型
? 磁流体发电 ……
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第 19页 共 26页
解, (1)因载流子所受磁力方向沿 y反方向，侧面 电
势较低，故载流子是 负电荷，这半导体是 N型半导体
A?
(2) 霍尔电压,可得载流子浓度
nea
IBU
AA ??
320 m/1086.2 个???
?AAe a U
IBn
例 1.如图所示，一块半导体样品的体积为 a?b?c，沿 x
方向有电流 I，在 z轴方向加有均匀磁场 。这时实验所
得的数据 a=0.10cm,b=0.35cm,c=1.0cm,I=1.0mA,
B=3000G,导体片两侧的电势差
。
(1)这半导体是正电荷导电 (P型 )
还是负电荷导电 (N型 )？
(2)求载流子浓度。
B?
mV55.6??AAU
z
x
y I
a
b
c A A?
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第 20页 共 26页
电场与带
电粒子的
相互作用
导体的静电平衡
电位移矢量
介质中高斯定理
电介质
极化
电场
能量
电
容
磁场与带
电粒子的
相互作用
磁场强度矢量
介质中安培环
路定理
顺磁质的磁化
抗磁质的磁化
物质
在电场中呈现导电性和介电性 —— 导体、电介质
在磁场中被磁化 —— 磁介质：顺磁、抗磁、铁磁
小结,物质中的静电场和稳恒磁场
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第 21页 共 26页
小结,物质中的静电场和稳恒磁场
(1) 理解导体的静电平衡条件；掌握导体达到静
电平衡时电荷及电场强度的分布特征；掌握存在
导体时静电场的 和 的计算方法。 E? U
求解, 的步骤,E? U
静电平衡条件
电荷守恒
导体上的
电荷分布
计算
(方法同前 )
E? U
(2) 掌握电容的定义及其物理意义；掌握电容器及电
容器储能的计算方法。
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第 22页 共 26页
(3)了解电介质的极化原理；掌握电介质的高斯
定理，以及, 的计算。 D? E?
(4) 掌握电容器的能量和电场能量的计算方法。
电介质中的高斯定理,
? ???S
S
qSD
内
0d
??
EDE
r
??? ??
?? 0
电容器的能量
UQUCCQW ????? 21)(212 2
2
电场能量
VEVEDVwW r
VVV e
d21d21d 20 ????? ???
电场能量密度 EDE
V
Ww
re 2
1
2
1 2
0 ??? ??
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例 2.一电容为 C的空气平行板电容器, 接端电压为
U的电源充电后随即断开, 试求把两个极板间距离增
大至 n倍时外力所作的功 。
n
C
nd
SC
d
SC ??? 00 ',??
。
外
)1(
2
1
)1(
2
1
22
'
2
222
??
?
??????
nCU
C
UCn
C
q
C
nq
WWA
解,充电后断开电源，极板上电量 q＝ CU保持不变。
两极板间距变化前后电容分别为
C
nq
C
qW
C
qW
2'2
1,
2
1 222 ??????
由功能原理，外力所作的功为
电容器储能分别为
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1Q
2Q?
1r?
2r?
1R
例 3,如图所示，一金属球的半径为 R1，带电 Q1；外
面一同心金属球壳带电 -Q2，内半径 R3、外半径 R4；在
两导体间充满两种均匀电介质 ?r1,?r2,
分界面是半径为 R2的球面。求总的电
场能量和外层电介质中的电场能。
解,分析导体上的自由电荷分布
Q1分布在内球表面上
球壳内表面带电 -Q1，外表面带电 Q1-Q2
由介质中的高斯定理和 D,E关系可得出各区域场强
分布为
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
42
0
21
43
322
20
1
212
10
1
1
π4
0
π4
π4
0
Rr
r
RrR
RrR
r
Q
RrR
r
Q
Rr
E
r
r
?
??
??
1Q
2Q?
1r?
2r?
1R
总电场能
?? VEW d21 2? ?? rrE dπ421 22?
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40
2
21
3220
2
1
2110
2
1
2
2
0
21
0
2
2
20
1
20
2
2
10
1
10
π8
)(
)
11
(
π8
)
11
(
π8
d)
π4
(
2
1
d)
π4
(
2
1
d)
π4
(
2
1
4
3
2
2
1
R
RR
Q
RR
Q
V
r
V
r
Q
V
r
Q
W
rr
R
R
R
r
r
R
R
r
r
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??
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?
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?
???
?
??
?
外层介质中的能量
)11(
π8
d)
π4
(
2
1
3220
2
12
2
20
1
20
3
2 RR
QV
r
QW
r
R
R
r
r ???? ? ??????
