同学们好！
大学物理
第 2页 共 28页
结构框图
第十二章 真空中的稳恒磁场
真
空
中
的
稳
恒
磁
场
磁感应
强度
毕 -萨
定律
磁场的高斯定理
安培环路定理
磁场的
基本性质
洛仑
兹力
安培
定律
带电粒子在磁
场中的运动 霍耳效应
磁力和磁力矩 磁力的功
磁力
作用
磁现象 安培定律
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第 3页 共 28页
第一节 磁的基本现象和基本规律
一、磁铁的磁性
磁极：磁性特强的区域
N S
作用规律：同性磁极相互排斥,
异性磁极相互吸引。
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第 4页 共 28页
二、电流的磁效应
奥斯特实验表明：电流对
磁极有力的作用
磁铁对电流有作用
电流间有
相互作用
载流线圈的行为象一块磁铁
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第 5页 共 28页
磁现象解释：近距作用观点
磁场 磁极
磁极
电流 电流
电流、磁铁的本源一致：安培分子环流假说
本质,运动电荷激发磁场,磁场传递运动电荷间的相互
作用。
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第 6页 共 28页
三、安培定律
I1 I
2
11dlI
?
22dlI
?
12r?
12dF
?
2
12
121122
12
)?d(dd
r
rlIlIkF ???
???
SI中
?
?
4
0?k
真空 磁导率 270 N / A104 ??? ??
P.49 安培定律力方向的判断,
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第二节 稳恒磁场及其描述
一,磁感应强度 B?
如同静电场中
122
12
21
0
12 ?π4
1 r
r
qqF ??
?
?
将 q2看作试探电荷
Eqr
r
qqF ??
2122
12
1
0
212 ?π4
1 ????
?
BlI
r
rlIlIF ??
???
dd)?d(d
π4
d 222
12
1211220
12 ??
???? ?
2
12
12110 ?d
π4
d
r
rlIB ???
??
?
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对整个电流积分得
B?描述磁场的基本物理量是磁感应强度 。
? ??
1
2
12
12110 ?d
π4 L r
rlIB
??
?
单位,在国际单位制中 1[T]=1特斯拉
操作定义：试探电流元在磁场中受力
?s i nddd 22222 BlIBlIF ??? ???
?
?
?
向电流元稳定平衡时的取方向：
受力最大时之值大小：
B
?
22
m a x2
d
)(d
lI
FB ?
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二、毕奥 — 萨伐尔定律
求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为
电流元的集合
电流元磁场公式
磁场叠加原理 电流磁场分布
毕 — 萨定律：电流元产生磁
场的规律,与点电荷电场公
式作用地位等价。
2
0 ?d
π4
d
r
rlIB ???
??
?电流元产生的磁场
电流 L产生的磁场 ?? ????
LL r
rlIBB
2
0 ?d
π4
d
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?
,?
r?
P
B?d I
lI ?d
?
?L rlI 20 π4 s i nd ??大小,
方向：右手法则
B?
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2
0 ?d
π4
d
r
rlIB ???
??
?
试比较点电荷电场公式与电流元毕奥 — 萨伐尔定律
r
r
qE ?d
π4
1d
2
0
??
?
?
相同之处,
?都是元场源产生场的公式
元电荷或点电荷产生的电场
元电流产生的磁场
?场强都与 r 2 成反比
?都是计算场的理论基础
计算不能视为点电荷带电体产生的电场的基础
计算任意形状电流产生的磁场的基础
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第 11页 共 28页
不同之处,
?公式的来源不同
电场公式是直接从实验中总结出来；
磁场公式是概括闭合电流情况下的数据，间接得
到的。因为实际上得不到稳恒的电流元。
? 方向平行或反平行于 方向 (对应于 q的正负 )
方向垂直于 与 组成的平面,满足右旋关系
E?d r?
B?d lI ?d r?
? dE与 dq成正比
dB不仅与 Idl成正比,还和 夹角正弦成正比
? 一个点电荷能在它周围空间任一点激起电场
电流元在其延长线上不激发磁场
rlI ??与d
2
0 ?d
π4d r
rlIB ???
??
?r
r
qE ?d
π4
1d
2
0
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?
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例 1,直线电流的磁感应强度
21,,,??aI
已知,
求,分布 B?
2?B
ao P
1?
A
I
lI ?d解,在直电流 (AB)上取电流元
?? π4 s i ndd 20 方向rlIB ??
各电流元在 P点产生的 同向 B?d
? ???
B
A r
lIBB
2
0
π4
s indd ??
r??
lI ?d
l
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??
??
s i n s i n
dd c t g
2
aralal ????统一变量,
???
? ?
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π4
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π4
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a
I
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B
2?B
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1?
A
I
r??
lI ?d
l
0 0d ?? BBπ,0 或??
2,直导线及其延长线上点
讨论,1,无限长直电流
a
IB
π2 π,0
0
1
??? ???
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三、磁场的高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线
B?
B?
特点 闭合，或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联；
互不相交
2,磁通量 --通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
? B?S?d
Sd
SBSBΦ m dc o sdd ???? ??
微元分析法 (以平代曲，以不变代变 )
SBΦ Sm ?? d???
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0?mΦ
对封闭曲面，规定外法向为正
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
n?
? B?
?
B?
0?mΦ
0d ??? SBS ??
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
0d ??? SBS ??
磁场是无源场 磁感应线闭合成环，无头无尾
不存在磁单极。
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I
o
r
a b
l
练习 已知,I,a,b,l
求,
mΦ
SBΦ m ?? dd ??rlS dd ?
a
baIl
r
rIlSBΦ ba
aS
m
????? ?? ? ln
π2π2
dd 00 ????
?? 方向：rIB π2 0?
解,
Sd
比较
静电场
稳恒
磁场 0d ???S SB ?? 无源场
?? ?? 内qSES
0
1d
?
?? 有源场
高斯定理
0d ???L lE ?? 保守场
d ???L lB ??？
环路定理
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推导,
可由毕－沙定律出发严格证明
采用方法：以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流的磁场 （从特殊到一般）
????
)(0
d
L iL
IlB
穿过
?
??
o
I
L
??? lBL
??
d 0d ?? lBL
??
B?
r?
l?d
四、稳恒磁场的安培环路定理
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1) 选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平
面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其绕向与电
流成右旋关系。
1.导出,
?
?
? c o sd
2
d 0?? ??
LL
l
r
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2
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L
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B?
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若电流反向,
Il
r
I
l
r
I
lB
r
r
L
0
2
0
0
2
0
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2
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?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??? ?
??
o
L
I
与环路绕行方向成右旋关
系的电流对环流的贡献为
正，反之为负。
l?d
r
B?
B?
ro
L
I
l?d
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2) 在垂直于导线平面内，围绕电流的任意闭合路径
L
I B?
O
?
l?dr?
?? ?? LL lBlB dc o sd ???
?d
?? L rrI ??? d2 0
II 0
2
0
0 d
2
??
?
? ? ?? ?
若电流反向,
IlBL 0d ????? ??
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3)在垂直于导线平面内，但不围
绕电流的任意闭合路径 1B?
1? 2? 2B?
1dl
?
?d
2dl
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1r?
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21
??????? ?? ???????? II
LL
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献
对 无贡献
B?LL
lBL ?? d??
I
L
O
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I
L
4) 不在垂直于导线的平面，任意空间
闭合路径
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?? ???? ? LL lBlB //dd ????
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)dd( //llBL ??? ??? ? ?
//dl
?L?
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第 23页 共 28页
5) 空间存在多个长直电流时，其中 I1,I2,···,Ik是
被包围在 L内，而 Ik＋ 1,Ik＋ 2,···,In是在 L外的，
由磁场叠加原理
lBBBlB nLL ??????? d)(d 21 ?????? ??
)dd(
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1
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???
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? L nL k
L kLL
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1
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2,推广：稳恒磁场的安培环路定理
????
)(0
d
L iL
IlB
穿过
???
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线
积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与
真空磁导率的乘积。
B?
说
明
① 成立条件,稳恒电流的磁场
场中任一闭合回路 — 安培环路
环路上各点的总磁感应强度
LL（包括 内和 外的所有电流的贡献）
②,L
:B?
:
)(
?
L
iI
穿过
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和 L
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????
)(0
d
L iL
IlB
穿过
?
??
③ 电流 Ii 的正负规定,环路 的绕行方向与电流 Ii 方
向服从右手法则时，电流取正；相反则电流 取负。
L
例,
321
)(
IIII
L
i ????
穿过 21)(
3 III
L
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穿过
1I L
3I
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4I
L
I2 I
1
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?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
的环流,只与穿过环路的电流代数和有关 B?
与空间所有电流有关,B?
对 和 均有贡献 B? lB
L
?? d??
对 上各点 有贡献 B?L
安培环路定理揭示磁场是非保守场 (无势场，涡旋场 )
L穿过 的电流,
L不穿过 的电流,
lBL ?? d??对 无贡献
④
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0d ???S SB ??
?? ?? 内qSES
0
1d
?
??
无源场
有源场
高斯定理
0d ???L lE ??
?? ??
）（穿过 L
iL IlB 0d ?
??
环路定理 比较
静电场
稳恒
磁场
保守场（有势场）
非保守场（无势场）
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?安培环路定理的应用
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
适用条件,稳恒电流的磁场
求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有 某些 对称性,
求解步骤,① 磁场分布的 对称性分析 ；
B?
② 选择 恰当 的安培环路 L （待求场点必
须在 L 上 /能把 提到积分号外 / L 的几
何形状简单）；
③ 列方程 ；
④ 求出,并讨论结果。 B?
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结构框图
第十二章 真空中的稳恒磁场
真
空
中
的
稳
恒
磁
场
磁感应
强度
毕 -萨
定律
磁场的高斯定理
安培环路定理
磁场的
基本性质
洛仑
兹力
安培
定律
带电粒子在磁
场中的运动 霍耳效应
磁力和磁力矩 磁力的功
磁力
作用
磁现象 安培定律
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第一节 磁的基本现象和基本规律
一、磁铁的磁性
磁极：磁性特强的区域
N S
作用规律：同性磁极相互排斥,
异性磁极相互吸引。
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第 4页 共 28页
二、电流的磁效应
奥斯特实验表明：电流对
磁极有力的作用
磁铁对电流有作用
电流间有
相互作用
载流线圈的行为象一块磁铁
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第 5页 共 28页
磁现象解释：近距作用观点
磁场 磁极
磁极
电流 电流
电流、磁铁的本源一致：安培分子环流假说
本质,运动电荷激发磁场,磁场传递运动电荷间的相互
作用。
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三、安培定律
I1 I
2
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真空 磁导率 270 N / A104 ??? ??
P.49 安培定律力方向的判断,
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第二节 稳恒磁场及其描述
一,磁感应强度 B?
如同静电场中
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12
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将 q2看作试探电荷
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12
12110 ?d
π4
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对整个电流积分得
B?描述磁场的基本物理量是磁感应强度 。
? ??
1
2
12
12110 ?d
π4 L r
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??
?
单位,在国际单位制中 1[T]=1特斯拉
操作定义：试探电流元在磁场中受力
?s i nddd 22222 BlIBlIF ??? ???
?
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?
向电流元稳定平衡时的取方向：
受力最大时之值大小：
B
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22
m a x2
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lI
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二、毕奥 — 萨伐尔定律
求解电流磁场分布基本思路,
将电流视为
电流元的集合
电流元磁场公式
磁场叠加原理 电流磁场分布
毕 — 萨定律：电流元产生磁
场的规律,与点电荷电场公
式作用地位等价。
2
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?电流元产生的磁场
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P
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?L rlI 20 π4 s i nd ??大小,
方向：右手法则
B?
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2
0 ?d
π4
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?
试比较点电荷电场公式与电流元毕奥 — 萨伐尔定律
r
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qE ?d
π4
1d
2
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?
相同之处,
?都是元场源产生场的公式
元电荷或点电荷产生的电场
元电流产生的磁场
?场强都与 r 2 成反比
?都是计算场的理论基础
计算不能视为点电荷带电体产生的电场的基础
计算任意形状电流产生的磁场的基础
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不同之处,
?公式的来源不同
电场公式是直接从实验中总结出来；
磁场公式是概括闭合电流情况下的数据，间接得
到的。因为实际上得不到稳恒的电流元。
? 方向平行或反平行于 方向 (对应于 q的正负 )
方向垂直于 与 组成的平面,满足右旋关系
E?d r?
B?d lI ?d r?
? dE与 dq成正比
dB不仅与 Idl成正比,还和 夹角正弦成正比
? 一个点电荷能在它周围空间任一点激起电场
电流元在其延长线上不激发磁场
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2
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例 1,直线电流的磁感应强度
21,,,??aI
已知,
求,分布 B?
2?B
ao P
1?
A
I
lI ?d解,在直电流 (AB)上取电流元
?? π4 s i ndd 20 方向rlIB ??
各电流元在 P点产生的 同向 B?d
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B
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2
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??
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2
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1?
A
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2,直导线及其延长线上点
讨论,1,无限长直电流
a
IB
π2 π,0
0
1
??? ???
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第 14页 共 28页
三、磁场的高斯定理
切向：该点 方向
疏密：正比于该点 的大小 1.磁感应线
B?
B?
特点 闭合，或两端伸向无穷远； 与载流回路互相套联；
互不相交
2,磁通量 --通过磁场中某给定面的磁感应线的总条数
? B?S?d
Sd
SBSBΦ m dc o sdd ???? ??
微元分析法 (以平代曲，以不变代变 )
SBΦ Sm ?? d???
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第 15页 共 28页
0?mΦ
对封闭曲面，规定外法向为正
进入的磁感应线
穿出的磁感应线
n?
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? B?
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B?
0?mΦ
0d ??? SBS ??
3,磁场的高斯定理
穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零,
0d ??? SBS ??
磁场是无源场 磁感应线闭合成环，无头无尾
不存在磁单极。
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I
o
r
a b
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练习 已知,I,a,b,l
求,
mΦ
SBΦ m ?? dd ??rlS dd ?
a
baIl
r
rIlSBΦ ba
aS
m
????? ?? ? ln
π2π2
dd 00 ????
?? 方向：rIB π2 0?
解,
Sd
比较
静电场
稳恒
磁场 0d ???S SB ?? 无源场
?? ?? 内qSES
0
1d
?
?? 有源场
高斯定理
0d ???L lE ?? 保守场
d ???L lB ??？
环路定理
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推导,
可由毕－沙定律出发严格证明
采用方法：以无限长直电流的磁场为例验证
推广到任意稳恒电流的磁场 （从特殊到一般）
????
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穿过
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四、稳恒磁场的安培环路定理
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1) 选在垂直于长直载流导线的平面内，以导线与平
面交点 o为圆心，半径为 r 的圆周路径 L，其绕向与电
流成右旋关系。
1.导出,
?
?
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2
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LL
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若电流反向,
Il
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与环路绕行方向成右旋关
系的电流对环流的贡献为
正，反之为负。
l?d
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2) 在垂直于导线平面内，围绕电流的任意闭合路径
L
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若电流反向,
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3)在垂直于导线平面内，但不围
绕电流的任意闭合路径 1B?
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21
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LL
不穿过 的电流：对 上各点 有贡献
对 无贡献
B?LL
lBL ?? d??
I
L
O
大学物理
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I
L
4) 不在垂直于导线的平面，任意空间
闭合路径
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大学物理
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5) 空间存在多个长直电流时，其中 I1,I2,···,Ik是
被包围在 L内，而 Ik＋ 1,Ik＋ 2,···,In是在 L外的，
由磁场叠加原理
lBBBlB nLL ??????? d)(d 21 ?????? ??
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lBlBlB
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大学物理
第 24页 共 28页
2,推广：稳恒磁场的安培环路定理
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L iL
IlB
穿过
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稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线
积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与
真空磁导率的乘积。
B?
说
明
① 成立条件,稳恒电流的磁场
场中任一闭合回路 — 安培环路
环路上各点的总磁感应强度
LL（包括 内和 外的所有电流的贡献）
②,L
:B?
:
)(
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L
iI
穿过
穿过以 为边界的任意曲面的电流的代数和 L
大学物理
第 25页 共 28页
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d
L iL
IlB
穿过
?
??
③ 电流 Ii 的正负规定,环路 的绕行方向与电流 Ii 方
向服从右手法则时，电流取正；相反则电流 取负。
L
例,
321
)(
IIII
L
i ????
穿过 21)(
3 III
L
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穿过
1I L
3I
2I
4I
L
I2 I
1
大学物理
第 26页 共 28页
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)(
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L
iL IlB
穿过
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的环流,只与穿过环路的电流代数和有关 B?
与空间所有电流有关,B?
对 和 均有贡献 B? lB
L
?? d??
对 上各点 有贡献 B?L
安培环路定理揭示磁场是非保守场 (无势场，涡旋场 )
L穿过 的电流,
L不穿过 的电流,
lBL ?? d??对 无贡献
④
大学物理
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0d ???S SB ??
?? ?? 内qSES
0
1d
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??
无源场
有源场
高斯定理
0d ???L lE ??
?? ??
）（穿过 L
iL IlB 0d ?
??
环路定理 比较
静电场
稳恒
磁场
保守场（有势场）
非保守场（无势场）
大学物理
第 28页 共 28页
?安培环路定理的应用
?? ??
)(
0d
L
iL IlB
穿过
?
??
适用条件,稳恒电流的磁场
求解条件,电流分布 (磁场分布 )具有 某些 对称性,
求解步骤,① 磁场分布的 对称性分析 ；
B?
② 选择 恰当 的安培环路 L （待求场点必
须在 L 上 /能把 提到积分号外 / L 的几
何形状简单）；
③ 列方程 ；
④ 求出,并讨论结果。 B?
