同学们好!
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第三节 电场的能量
一、电容
提高单位
水位所注
入的水量
容器储水能力 导体储存电荷能力 电容器储电能力
极板间距 线度
由于静电屏蔽,
值稳定。 C
??与周围导体、电
介质、带电体分
布有关。
提高单位电势
所增加的带电量
U
QC ?
两极板间电势差
为一个单位时,
极板的带电量。
U
QC
??
类比,
导体处于静电平衡时,U一定,q分布定;同一 U下,
导体形状不同,q 不同 ; ---- 导体容纳电的能力,电容
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二、电容的计算
孤立导体,周围无其他导体、电介质及带电体。
孤立导体电容 C
取决于本身形状,
大小,与其是否带
电无关。 由电容定义,RUQC 0π4 ???
则金属球电势,
R
QU
0π4 ?
?
令 0??U设其带电量为 Q
例 1.半径 R的孤立金属球的电容
电容器,由电介质隔开的 两金属薄片 组成的导体组
电容器极板
特点,将电场集中在有限空间
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例 2.推求平行板电容器,圆柱型电容器,球形电容器
公式,并总结求电容器电容的一般方法。
解,设极板带电量 Q
hLQrhDSDS ????? π2d ??
Lr
QDE
rr ???? 00 π2
??LrQD π2?
得,
求,C已知,.,,,21 rRRL ?
1R
2R
L
r?
作半径 r (R1< r < R2),高 h的同轴
圆柱面为高斯面。
rh S
?? ????
2
1
2
1
d
π2
d
0
R
Rr
R
R r
r
L
QrEU
??
??
1
2
0
lnπ2 RRLQ
r??
?
1
2
0
ln
π2
R
R
L
U
QC r???
?
?
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自学,P.97
r?
S
d
平行板电容器
d
SC r?? 0?
12
210π4
RR
RRC r
?
? ??
球形电容器
o
2R
1R r?
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总结, 求电容器电容的一般方法
2) 选高斯面,求 ?? ED
1) 设极板带电 Q
? ??? lEU ?? d3) 求电容器两极板间电势差
U
QC
??
4) 由电容定义
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练习, 计算两根平行长直导
线单位长度间的电容。 (设导线
半径为 a,中心相距为 d 。 )
??解,设单位长度带电
如图建立坐标
?E
)(π2π2 00 xdx ?? ?
?
?
?
0 (导体内)
(导体棒间 )
a
adx
xdx
lEU
ad
a
??
?
????? ? ?
?
ln
π
d)11(
π2
d
00 ?
?
?
???
a
d
a
adU
C
ln
π
ln
π 00 ???
?
?
?
?
?
a a
? ?d xo
? ??E?
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三、电容器的能量
电容器 (储能元件 )储能多少?
储能 = 过
程中反抗
电场力的
功。
计算
C
Qq
C
qAA Q
2
dd
2
0
??? ? ?
q
C
qqUA ddd ???
UQUCCQW ????? 21)(212 2
2
模型,将 Q由负极板移向
正极板的过程
极板电量
板间电压 UQ???00
0
0
Q?
U?
Q
qd?
q?
q?
U
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四、电场能量
1,电场能量密度
EDEVWw re 2121 20 ??? ??
以平行板电容器为例 EdU ??d SC r?? 0?
VEdEd SUCW rr 202202 2121)(21 ???? ?????
2,电场能量
VEVEDVwW r
VVV e
d21d21d 20 ????? ???
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例 3,用能量法推导球形电容器 (R1,R2,?r)电容公式。
)( π4 212
0
RrRrq
r
????
)( 0 1Rr ?
?E
)( 0 2Rr ?
取同心球壳为积分元
rrrqVEW
r
r
R
RrV
dπ4)π4(21d21 222
0
0
2
0
2
1
??? ?? ??????
21
12
0
2
π8 RR
RRq
r
??
??
2R
r?
1Ro
C
qW
2
2
?因为
12
21
0π4 RR
RRC
r ?? ??
q?解,设极板带电量 q?
q? Vd
r
rd
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要点,
保持与电源连接,V 不变,其 Q可
变。电源要做功;
断开电源,Q不变,电源不做功。
解,电容
a
b
L
C r
ln
π2 0??
?
拉出介质层后
C
a
b
L
C ??
ln
π2 0' ?
例 4,圆柱形电容器 ( a,b,L,?r 已知 )
1,保持与端电压 V 的电源连接,将介质层从电容器内
拉出,求外力的功。
2,断开电源,将介质层拉出,求外力的功。
L
r?
ab
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0)(22121 '
2
22' ?????? CCVCVVCW
1) 不断开电源
两板电势差 = 电源端电压 = V
保持 不变,电容器储能变化,
极板电量变化
0)( '' ?????? VCCCVVCQ
有电荷回流电源,电源做功,0)( '2 ?????? CCVQVA
?
由功能原理,WAA ???
?外
0)1(
ln
π
)(
2
1
)(
2
1
)()(
2
202'
22
2
?????
?????????????
V
a
b
L
VCC
VCCCCVCC
V
AWA
r
?
?
?外
L
r?
ab
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?C
F Q?
能量转换过程,外力做功 电场能减少 对电源充电
2) 断开电源
极板电量 Q不变,电源不做功,电容器储能变化。
0)11(222
2222
???????? CCVCCQCQW
L
r?
ab
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F
能量转换过程,
外力做功 电场能增加
C
CCCVWA
?
?????
2
)(2

0)1(
ln
π 20
??? V
a
b
L
r?
?
由功能原理
L
r?
ab
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思考题,
1,P,106 13-17
W,D,q,CEU,?
WEU,,?D,q C
插入电介质
不断电源
断开电源
不变量 增大量 减小量
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第四节 磁介质中的稳恒磁场(自学)
设真空中原来磁场的磁
感应强度为 B0,放入磁介
质后,磁介质因磁化而使
磁介质的磁感应强度变为
B,令,称 为相
对磁导率。
当,顺磁质
,抗磁质
,铁磁质
0B
B
r ??
r?
1?r?
1?r?
1??r?
1?r? 顺磁质 1??r?
H0?
o
B
?45
1?r? 抗磁质
1?r?
一、磁介质
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电介质 磁介质
分子
模型
分类
电偶极子 分子 电流 分子中所有电子,原子核固有磁矩的等效电流
有极分子
电 介 质
无极分子
电 介 质
0?ep? 0,??
ep
?
0?ep? 0,??
ep
?
顺磁质
抗磁质
0?mp? 0,??
mp
?
0?mp? 0,??
mp
?
无外磁场,






二、磁介质的磁化
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0B?
mp?
mp??
'L?
mF?
L?
顺磁质 BPM m ??? ??
转向; 产生与 反向的附加磁矩 。
mp
??0B
?
抗磁质,
0B?
相当于上图中两
种情况叠加,仍产
生与 反向的附加
磁矩。
外场中:磁化
L?
mp?
mF?
0B?
mp
??
'L?
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宏观效果
1,介质中总磁矩不为零
mP??
0B
?
mP??
mP??
mP?
mP?
mP??
mP??
mP?
mP?
顺磁质
0???? ??? mmm ppp ???
0B
?与 同向
抗磁质
0??? mp? 0B
?与 反向
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第 20页 共 28页
2,介质表面出现磁化电流
0B?
sI
L
S
?
0B
? sI
顺磁质
0B?
sI
L
S
?
0B
? sI
抗磁质
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描述方法
?? ??
内)( L
sL IlM
??
d
磁化电流,
nj
LS
nSI
V
pp
M
s
s
mm
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
定义磁化强度,
以抗磁质为例
0B?
sI
L
S
?
0B
? sI
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极化强度
极化电荷
V
pP e
??
? ??
nP???
?? ????
内)( SS
qSP ?? d
?? ??
)(穿过 L
sL IlM
?? d
磁化
强度 V ppM mm ? ??? ??
???
V
pM m
?
?? ? ??抗磁质 与 反向 0B
?
V
pM m
??
? ??顺磁质 与 同向 0B
?
磁化电流
Mjs ?
均产生与 反向的附加磁矩 0B?
mp??
抗磁质:只有 ??
mp?
顺磁质:转向 + 附加磁矩
?? mp? ?? mp? ??
mp
?
转向极化
位移极化
0?? ep?
电介质 磁介质
与场相互
作用机制
描 述
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0
0
)(
BBB
jIMB ss
???
??
???
??
??
0
0
),(
EEE
qPE
???
??
???
??
????? ??
电位移矢量,
PED ??? ?? 0?
?? ??
内)( SS
qSD 0d ??
介质中的高斯定理,
磁场强度, MBH ?
??
??
0?
?? ??
)(穿过 LL
IlH 0d ??
介质中的安培环路定理,
电介质 磁介质
介质中
的 场
基本规律
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安培环路定理,
?? ??
内)( LL
IlB 0d ?
??
?? ???
内)( LL
IlMB 0
0
d)(
???
?
令 MBH ?
??
??
0?
磁场强度
sI.I 0与空间 均有关。
?? ??
内)( LL
IlH 0d
?? 介质中的安培环路定理
? ??
内)( L
sII )( 00?
)d( 00 ? ? ??? L lMI ???
传导电流 磁化电流
三、介质中的安培环路定理
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对各向同性磁介质,HM m ?? ??
磁化率
只与穿过 L的传导电流代数和有关
?? ??
内)( LL
IlH 0d
??
介质中的安培环路定理
H
H
H
MHB
r
m
?
?
?
???
?
??
??
?
?
?
??
??
)1(
)(
0
0
0

MBH
???
??
0?
mr ??? 1
介质相对磁导率
r??? 0 ?
介质磁导率
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EP e ?? 0???
er ?? ?? 1
ED r ?? ?? 0?
HM m ?? ??
mr ?? ?? 1
HB r ?? ?? 0?
电介质 磁介质
其他对应
关 系
求解思路 D?
(1) 对称性分析,
选高斯面
(2) 由
求 ??
??
内)( SS
qSD 0d ??
(3) 由
求 r
DE ??
0
?? ?
E?
(1) 对称性分析,选安培环路
(2) 由
求 H?
?? ??
)(穿过 LL
IlH 0d ??
B?(3) 由 求 HB r ?? ?? 0?
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解,对称性分析
选如图同心圆环为安培环路
NIrHlHL ????? π2d ??
r
NIH
π2?
r
NIB r
π2
0 ???
r?
1R
12 RR ?
2R
2R
1R
N
O
L
例 1.已知一 正方形截面螺绕环
求,??r?
m,102,m10 2221 ?? ??? RR
A 1.0,200 ?? IN
Wb106 5???mΦ
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?? ???? 21 )d(π2d 120RR rSm rRRrNISBΦ ????
1
2
12
0 ln)(
π2 R
RRRNIr ?? ??
1
2
120 ln)(
π2
R
R
RRNI
Φ m
r
?
?
?
?
代入数据,m102, m10 2221 ?? ??? RR
A 1.0,2 0 0 ?? IN
Wb106 5???mΦ21 60?r?得,
?r很大且与 I有关,非常数,说明该磁介质非顺磁质,
也非抗磁质,而是铁磁质。
r?
1R
12 RR ?
2R
2R
1R
N
O
L
Sd