同
学
们
好
大学物理
第 2页 共 25页
第三节 若干磁场分布的计算
一、电流的磁场
1,直线 电流的磁场
??? )c o sc o s(π4 210 方向??? aIB
无限长直电流
a
IB
π2
0??
2?B
O P
1?
A
Il
a
大学物理
第 3页 共 25页
练习,P.82 12-7 半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I，
求轴线上 。 B?
I
P
R
0d ?? ? yy BB
由对称性,
解,通电半圆柱面 ?
电流线 (无限长直电流 )集合
R
I
R
IBBB
x 2
0π
0 2
0
ππ2
ds in s ind ????? ???? ??
x?沿 方向
Id
B?d
R
P
??I?d
'dB?
? x
π
dd
πd
?? IR
R
II ???
R
I
R
IB
2
00
π2
d
π2
dd ??? ??
?d
y
大学物理
第 4页 共 25页
2
0
2
0
π4
d
π4
90s indd
r
lI
r
lIB ?? ?? ?
方向如图
xPRoI
2,求圆电流轴线上的磁场 (I,R)
lI ?d解,在圆电流上取电流元
l I?d r
B?d? ?
' dl I?
'dB?
各电流元在 点 大小相等,方向不同。由对称性,P B?d
? ?? ?? 0d BB
r
R
r
lIBBB ? ????
2
0
// π4
dc o sd ??
2
3)(2dπ4 22
2
0
π2
0
3
0
xR
IRl
r
IR R
?
?? ? ??
大学物理
第 5页 共 25页
讨论,
(2) 定义电流的磁矩 nSIP
m
?? ??
I规定正法线方向 与 指向成右旋关系 n?
电流所包围的面积,S
nRIPm ?? 2π??圆电流磁矩,
23)(π2 22
0
xR
PB m
??
?? ?圆电流轴线上磁场,
2322
2
0
)(2 xR
IRB
??
?
R
INBN
R
IB
2, ; 2
0
0
0
0
?? ?? 匝
(1) 圆心处磁场
0?x
大学物理
第 6页 共 25页
xB?(3) 画 曲线
xo
B
?? 8 00 R IB ?
R
I
R
IB
π4 8
3 00
0
?? ??
?
练习
I
o
R
o
R
I
0 ?B
大学物理
第 7页 共 25页
例 1,求无限长均匀载流圆柱体内外磁场。
在 平面内，作以 o为中心、半径 r的圆环 L;L上各点
等价,大小相等，方向沿切向。以 L为安培环路，逆
时针绕向为正
B?
I ?
?
o rP?
I R对称性分析,
? B?dId ro
P?
'dI
'dB?L
r
?? ????
)(
0 2d
L
iL IrBlB
穿过
??
?? ??
)(
0
2
L
iIrB
穿过?
?
大学物理
第 8页 共 25页
方向与 I 指向满足右旋关系 B?
:Rr ?
2
2
2
2 R
Irr
R
II ???? ?
?内
rRIrB ?? 202 ??内
:Rr ?
rr
IB 1
2
0 ??
?
?
外
II ?? 内
??
)(
0
2
L
iIrB
穿过?
?
B
o R r
r
1?r ?
ro PL L
大学物理
第 9页 共 25页
思考,无限长均匀载流直圆筒 B－ r 曲线？
方向与 I指向满足右旋关系
外B
? B
o R r
o rP?I
R
0?内B
r
IB
?
?
2
0?
外
大学物理
第 10页 共 25页
练习, 无限长均匀载流圆柱体 (R,I已知 )
如图，求通过面 S(2R?h)的磁通量。 I
h
RR
S
2
0
2 R
IrB
?
??
内
r
IB
?
?
2
0?
外
解,磁场分布
Sd Sd
微元分析法,rhS dd ?
SBSBSBΦ
sm
ddd
外内 ?? ?
???? ??
rh
R
IrR d
20 2
0??
?
? )2ln21(
4d2
02 0 ??? ?
?
?
?
? Ihrh
r
IR
R
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第 11页 共 25页
例 2,P,82 12-3 关于 亥姆霍兹圈
两个完全相同的 N 匝共轴密绕短线圈，其中心间距
与线圈半径 R相等，通同向平行等大电流 I。 求轴线上
O1,O2之间任一点 P的磁场。
720 00 RNI.B ?? 680 00201 RNI.BB ???
实验室用近似均匀磁场
xIP1O
匝N
R ?? R
R 匝N
o 2OI ???? 2322
2
0
])
2
([(2 xRR
N I RB
P
?
2
3])
2
([(2 22
2
0
xRR
NIR
??
?
解,
xo
1o
2B1B
2o
B
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第 12页 共 25页
例 3,均匀带电球面 (R,?),绕直径以 ?匀速旋转,求球心
处的磁感应强度 。 0B?
取半径 r的环带 ??? dπ2dd rRSq ???
????? ds inπ2 dd 2RqI ??
等效圆电流
旋转带电球面 许多环形电流 等效 解,?
?
R o
x
Id
r
?
?????
??????
?
ds i n
2
2
s i nds i n
)(2
d
d
3
0
3
222
0
22
2
0
2
3
R
R
RR
xr
Ir
B
?
?
?
?
?
???
????
?
R
RBB
0
π
0
30
3
2
ds in
2
d
?
?? ??
??? ?? RB 032?
写成矢量式,
大学物理
第 13页 共 25页
练习, P.82 12-5
求,?0 ?B已知,???,,, R
o R
??
?
?
思考,?d ?B?d ?I?d ?q
rrq dd ???
π2
dd qI ??
r
IB
2
dd 0??
RrBB
R
? ? ????? 0
0
0
π4
1d
π4
d ??? ??
???? ?? RB 00 π4 1?
写成矢量式,
rdr
大学物理
第 14页 共 25页
二,无限长直载流螺线管内磁场 (I,n已知,线密绕 )。
单位长度上的匝数
模型,螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
?????????
In,????????????????????????????????
l
Ro
n
lR ??,对邻近场点
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第 15页 共 25页
解,对称性分析
大学物理
第 16页 共 25页
电流对 ?轴线
的任意截面 П
镜像对称,所
以 磁场分布也
应该镜像对称。
B是轴矢量，镜
像反射后垂直分量不变，而与镜面平行的分量反向。
即要求,,
yy BB ??? zz BB ???xx BB ??
电流系统的绕轴旋转对称性要求,
yy BB ?? zz BB ??
0??? zy BB
螺线管内只具有沿轴向的相同分量 Bx
在螺线管外部 0?
外B
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第 17页 共 25页
0?外B?线密绕,
??
??????????
????????????????????????????????????B?2I 1
dc
ab
?作矩形安培环路如图，规定
? ??? ??? ??? ? ??? addccbL ba lBlBlBlBlB ?????????? ddddd
abBabB ?????? 000 co s ?
abnII ??? 内
abnIabB 0????
nIB 0??
由 安培环路定律,
无限长直螺
线管内为均
匀磁场
大学物理
第 18页 共 25页
nIB 0??解,等效于长直螺线管
单位长度上电流??nI
R??
练习,半径 R无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
??,,R已知,
?B?求,内部
???? RnIB 00 ??
π2π2
?? ???? R
L
NInI
大学物理
第 19页 共 25页
例 4.求载流螺绕环的磁场分布 (R1,R2,N,I已知 )。
?? ???? 内IrBlBL 0 π2d ???
0?外B:,21 RrRr ?? 0??
内I
:21 RrR ??
r
NIB
π2
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内NII ??
内
r
1?
r1RO
B
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???
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??????
??????????
? ? ???
???
?
?
? ? ? ? ? ? ???
??
?? ? ? ??
对称性分析,
环上各 方向,切向 B?
同心圆环
相等 点的集合
B?
以中心 O,半径 r 的圆环为安培环路 ?
r L
大学物理
第 20页 共 25页
rRRrhS )d(dd 12 ???
练习, 若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面
的磁通量。
rRR
r
NI
SBΦ m
)d(
π2
dd
12
0 ??
?
?
内
?
?
??
?
2
1
d
)(
π2
d
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0
R
R
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r
r
RR
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ΦΦ
?
1
2
12
0 ln)(
π2 R
RRRNI ?? ?
Sd
12 RRh ??
1R2R
I I
解,
大学物理
第 21页 共 25页
三、无限大导体平板电流的磁场 (电流沿 y方向，线
密度为 j,即沿 x方向、单位长度上的电流 )。
解一：叠加原理求
r
IBxjI
π2
dddd 0???
由对称性,
0d ?? ? zz BB
??????????
z
z
xoj?
Id
B?d
'dI
'dB?r'r ?
?
?? xBB d
? ??? ?? 220 dπ2 zx xzj?
r
z
r
xjB ??? ??
π2
d c o sd 0??
2
a r c t g1
π2
00 j
z
x
z
zj ?? ??? ?
??
20j?
20
j?? x
B
o
大学物理
第 22页 共 25页
解二：安培环路定理求
思考, 如果载流平面不是无限宽,
能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlB
L 0
2d ????? ?? 2
0 jB ??得,由,
z
?????????? xj? 选如图安培环路 ?
在对称性分析的基础上 l
大学物理
第 23页 共 25页
小结, 形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
无限大载流平面上、下
……
大学物理
第 24页 共 25页
四、运动电荷的磁场
密度 n，漂移速度 u?
lnSN d?则, 电流元中载流子数
设,电流元,截面积 S,载流子电量 q,lI ?d
3
0
1 π4
dd
r
rulnSqBNB ???? ??? ?
所以 电流元在场点 P处磁场为
3
0
π4
dd
r
rlIB ?
??
?? ?因为
nqSutqI ????
,?r? P B?d
IlI ?d ?
大学物理
第 25页 共 25页
每个载流子在场点 P处磁场
3
0
π4 r
ruqB ??? ?? ?
2
0
π4
s in
r
qu ??大小,
方向：右手法则
P
B?
u?电子绕核运动
P
B?
u?
-
+ 30 )(π4 r rueB ??? ???? ?
大学物理
第 26页 共 25页
小结, 熟悉典型问题结果
运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上,
长直载流螺线管，螺绕环 ……
用安培环路定理求解磁场分布的思路
? 由 求 。
?? ?? 内IlBL 0 d ??? B
?
? 对称性分析
? 选环路 L并规定绕向
用毕 — 萨定律求 分布的基本方法 B?
(1) 将电流视为电流元集合 (或典型电流集合 )。
(2) 由毕 — 沙定律 (或典型电流磁场公式 )得 。
(3) 由 叠加原理 （分量积分）。
B?d
BB ?? ?? d
学
们
好
大学物理
第 2页 共 25页
第三节 若干磁场分布的计算
一、电流的磁场
1,直线 电流的磁场
??? )c o sc o s(π4 210 方向??? aIB
无限长直电流
a
IB
π2
0??
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O P
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A
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第 3页 共 25页
练习,P.82 12-7 半径 R,无限长半圆柱金属面通电流 I，
求轴线上 。 B?
I
P
R
0d ?? ? yy BB
由对称性,
解,通电半圆柱面 ?
电流线 (无限长直电流 )集合
R
I
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2
0
2
0
π4
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90s indd
r
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方向如图
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2,求圆电流轴线上的磁场 (I,R)
lI ?d解,在圆电流上取电流元
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各电流元在 点 大小相等,方向不同。由对称性,P B?d
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第 5页 共 25页
讨论,
(2) 定义电流的磁矩 nSIP
m
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I规定正法线方向 与 指向成右旋关系 n?
电流所包围的面积,S
nRIPm ?? 2π??圆电流磁矩,
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(1) 圆心处磁场
0?x
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第 6页 共 25页
xB?(3) 画 曲线
xo
B
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R
I
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3 00
0
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练习
I
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R
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第 7页 共 25页
例 1,求无限长均匀载流圆柱体内外磁场。
在 平面内，作以 o为中心、半径 r的圆环 L;L上各点
等价,大小相等，方向沿切向。以 L为安培环路，逆
时针绕向为正
B?
I ?
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I R对称性分析,
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穿过
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方向与 I 指向满足右旋关系 B?
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第 9页 共 25页
思考,无限长均匀载流直圆筒 B－ r 曲线？
方向与 I指向满足右旋关系
外B
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R
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第 10页 共 25页
练习, 无限长均匀载流圆柱体 (R,I已知 )
如图，求通过面 S(2R?h)的磁通量。 I
h
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2
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第 11页 共 25页
例 2,P,82 12-3 关于 亥姆霍兹圈
两个完全相同的 N 匝共轴密绕短线圈，其中心间距
与线圈半径 R相等，通同向平行等大电流 I。 求轴线上
O1,O2之间任一点 P的磁场。
720 00 RNI.B ?? 680 00201 RNI.BB ???
实验室用近似均匀磁场
xIP1O
匝N
R ?? R
R 匝N
o 2OI ???? 2322
2
0
])
2
([(2 xRR
N I RB
P
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2
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2
([(2 22
2
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xRR
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解,
xo
1o
2B1B
2o
B
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第 12页 共 25页
例 3,均匀带电球面 (R,?),绕直径以 ?匀速旋转,求球心
处的磁感应强度 。 0B?
取半径 r的环带 ??? dπ2dd rRSq ???
????? ds inπ2 dd 2RqI ??
等效圆电流
旋转带电球面 许多环形电流 等效 解,?
?
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写成矢量式,
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第 13页 共 25页
练习, P.82 12-5
求,?0 ?B已知,???,,, R
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思考,?d ?B?d ?I?d ?q
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1d
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写成矢量式,
rdr
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第 14页 共 25页
二,无限长直载流螺线管内磁场 (I,n已知,线密绕 )。
单位长度上的匝数
模型,螺距为零，视为一系列平行圆电流紧密排列。
?????????
In,????????????????????????????????
l
Ro
n
lR ??,对邻近场点
大学物理
第 15页 共 25页
解,对称性分析
大学物理
第 16页 共 25页
电流对 ?轴线
的任意截面 П
镜像对称,所
以 磁场分布也
应该镜像对称。
B是轴矢量，镜
像反射后垂直分量不变，而与镜面平行的分量反向。
即要求,,
yy BB ??? zz BB ???xx BB ??
电流系统的绕轴旋转对称性要求,
yy BB ?? zz BB ??
0??? zy BB
螺线管内只具有沿轴向的相同分量 Bx
在螺线管外部 0?
外B
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第 17页 共 25页
0?外B?线密绕,
??
??????????
????????????????????????????????????B?2I 1
dc
ab
?作矩形安培环路如图，规定
? ??? ??? ??? ? ??? addccbL ba lBlBlBlBlB ?????????? ddddd
abBabB ?????? 000 co s ?
abnII ??? 内
abnIabB 0????
nIB 0??
由 安培环路定律,
无限长直螺
线管内为均
匀磁场
大学物理
第 18页 共 25页
nIB 0??解,等效于长直螺线管
单位长度上电流??nI
R??
练习,半径 R无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
??,,R已知,
?B?求,内部
???? RnIB 00 ??
π2π2
?? ???? R
L
NInI
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第 19页 共 25页
例 4.求载流螺绕环的磁场分布 (R1,R2,N,I已知 )。
?? ???? 内IrBlBL 0 π2d ???
0?外B:,21 RrRr ?? 0??
内I
:21 RrR ??
r
NIB
π2
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内NII ??
内
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???
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对称性分析,
环上各 方向,切向 B?
同心圆环
相等 点的集合
B?
以中心 O,半径 r 的圆环为安培环路 ?
r L
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第 20页 共 25页
rRRrhS )d(dd 12 ???
练习, 若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面
的磁通量。
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r
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Sd
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1R2R
I I
解,
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第 21页 共 25页
三、无限大导体平板电流的磁场 (电流沿 y方向，线
密度为 j,即沿 x方向、单位长度上的电流 )。
解一：叠加原理求
r
IBxjI
π2
dddd 0???
由对称性,
0d ?? ? zz BB
??????????
z
z
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Id
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j?? x
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解二：安培环路定理求
思考, 如果载流平面不是无限宽,
能否用叠加原理求解？
能否用安培环路定理求解？
jllBlB
L 0
2d ????? ?? 2
0 jB ??得,由,
z
?????????? xj? 选如图安培环路 ?
在对称性分析的基础上 l
大学物理
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小结, 形成均匀磁场的方法
长直载流螺线管
亥姆霍兹圈
圆柱载流导体内平行于轴线的空腔
无限大载流平面上、下
……
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四、运动电荷的磁场
密度 n，漂移速度 u?
lnSN d?则, 电流元中载流子数
设,电流元,截面积 S,载流子电量 q,lI ?d
3
0
1 π4
dd
r
rulnSqBNB ???? ??? ?
所以 电流元在场点 P处磁场为
3
0
π4
dd
r
rlIB ?
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?? ?因为
nqSutqI ????
,?r? P B?d
IlI ?d ?
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每个载流子在场点 P处磁场
3
0
π4 r
ruqB ??? ?? ?
2
0
π4
s in
r
qu ??大小,
方向：右手法则
P
B?
u?电子绕核运动
P
B?
u?
-
+ 30 )(π4 r rueB ??? ???? ?
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小结, 熟悉典型问题结果
运动点电荷，无限长直电流，圆电流轴线上,
长直载流螺线管，螺绕环 ……
用安培环路定理求解磁场分布的思路
? 由 求 。
?? ?? 内IlBL 0 d ??? B
?
? 对称性分析
? 选环路 L并规定绕向
用毕 — 萨定律求 分布的基本方法 B?
(1) 将电流视为电流元集合 (或典型电流集合 )。
(2) 由毕 — 沙定律 (或典型电流磁场公式 )得 。
(3) 由 叠加原理 （分量积分）。
B?d
BB ?? ?? d
