同
学
们
好
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第 2页 共 31页
第四节 静电场的分布和电场对带电体的作用
静电场分布,电场强度和电势的分布
根据高斯定理求解 计算 方法 E?
根据 的定义和 叠加原理求解 E?E?
根据 与 的关系求解 E? U
掌握计算场强和电势的方法
计算 方法 U
场强积分法 (由定义求 )
电势叠加法
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第 3页 共 31页
? 根据 的定义和 叠加原理求解 E?E?
???
i
iEEr
rqE ???? ;
4 30??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
d
d
d)d,d( dd
yy
xx
yx
EE
EE
EEEEEq
???
① 取电荷元,求出
dq Ed?
③对各元场强积分，求出场强分量,,
xE yE zE
④求出合场强,并说明方向。
E
② 建立适当坐标系，写出 的分量 E?d
xE
?d
zE
?d
yE
?d
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第 4页 共 31页
? 根据高斯定理求解
①分析电场的对称性
②根据电场的对称性，选取相应的高斯面
③选取适当的坐标系列方程，求出,并说明方向。 E
?? ?? 内qSEs
0
1d
?
??
?选取高斯面的原则：要便于计算电通量，闭合面必
须通过待求场强的点。
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第 5页 共 31页
①求出场点的电势分布函数
②对电势函数求导
③求出,并说明方向。 E
? 根据 与 的关系求解 E? U
k
z
Uj
y
Ui
x
UUE ????
?
??
?
??
?
??????
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第 6页 共 31页
? 场强积分法 (由定义求 )
(1) 确定 分布 E?
(2) 选零势点和积分路径
(3) 由电势定义，计算
? ????
零势点 零势点
a a
a lElEU dc o sd ?
??
? 若路径上各段 的表达式不同，应分段积分。 E?
? 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
aU
? 积分与路径无关，可依题意选最简便的积分路径。
电荷有限分布选 电荷无限分布选 0??U 0?有限处U
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第 7页 共 31页
? 电势叠加法
? ??? UUUU i d 或
r
qU ??
04
1
??
(1) 将带电体划分为许多电荷元 qd
(2) 选零势点，写出 在场点的电势
qd Ud
(3) 由电势叠加原理，计算 U
点电荷系,
?? ??
i i
i
i r
qUU
04 ??
电荷连续分布的带电体,
?? ?? r qUU d4 1d
0??
?应用典型带电体的电势公式选取相同的零势点。
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第 8页 共 31页
一,电偶极子的电场
由叠加原理求解，见教材 P.25 ~ 27
二,连续分布带电体的电场
1,电荷线分布
均匀带电直细棒周围的电场,
)c o s( c o s
π4
ds in
π4
)s in( s in
π4
dc o s
π4
21
00
12
00
2
1
2
1
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
aa
E
aa
E
y
x
无限长带电直线,
a
EE y
0π2
?
???
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第 9页 共 31页
lRqlq dπ2dd ?? ?
r
r
qE ??
3
0π4
dd
?
?
各电荷元在 P点 方向不同，分布于一个圆锥面上,
将 分解为平行于 x轴的分量 和在垂直于 x轴平面
内的分量 。
E?d
E?d
?E
?d
//dE
?
例 1,均匀带电细圆环轴线上的电场
已知,q,R,场点 P(x) 求,
PE
?
o
R
x P
解,在圆环上取电荷元 dq
qd
E?d
? ?
r?
'dq
E??d
r??
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第 10页 共 31页
由对称性可知
0d ?? ? ?? EE
c o s
π4
d
2
0
// ????? r
qEE
2
3
22
0
π2
0
3
0
2
0
)(π4
d
π2
1
π4
π2
d
π4
1
Rx
qx
l
Rr
qx
r
x
R
lq
r
R
?
???
???
?
?
??
?
o
R
x P
q?d
E??d
r??
qd
E?d
? ?r
?
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第 11页 共 31页
2322
0 )(π4 Rx
iqxE
?
?
?
??
讨论, 环心处 0?E
0 ??? Ex
2
0π4 x
qERx
?
???
取极大值处
得由
2
0
d
d
E
R
x
x
E
???
o
R
x P
q?d
E??d
r??
qd
E?d
? ?r
?
2R?
2
R
E
xO
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第 12页 共 31页
求均匀带电圆环轴线上的电势分布。
在圆环上取点电荷,
令
qd
0??U
解,
xpxo
R
dq
r
2
1
)(π4
π4
d
d
22
0
0
0
xR
q
r
q
UU
q
?
?
?? ??
?
?
讨论, 环心处
0π4
0
?? RqU ?
0 ??? Ux
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第 13页 共 31页
为利用例 1结果简化计算 。 将无限大平面视为半径
R ? ?的圆盘 —— 由许多均匀带电圆环组成。
? ??
?
?
d
d
d
EE
E
q
思路,
rrq d π2d ??
2
322
0 )(π4
dd
rx
qxE
?
??
?
00 2
322
0
2
)(π4
dπ2
?
?
?
? ?
?
??? ??
rx
rrxE
例,无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度 ?)。
o
x
rd
r
2,电荷面分布
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第 14页 共 31页
结论,
(1)无限大带电平面产生与平面垂直的均匀电场
02?
??E
??
E? E?
??
E? E?
?? ??
E?
(2)两平行无限大带电平面（ ）的电场 ?? ??,
两平面间
两平面外侧 {??? ?? EEE 0
0?
?
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第 15页 共 31页
均匀带电圆环轴线上,
2322
0 )(π4 Rx
iqxE
?
?
?
??
无限长均匀带电直线,垂直于带电直线
rE 0π2 ?
??
无限大均匀带电平面,垂直于带电面
02?
??E
?典型带电体 分布,E?
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第 16页 共 31页
三、对称分布带电体的电场
1,球 对称分布带电体的电场
均匀带电球体 (q,R)的电场分布
)(
π4
)(
π4
3
0
3
0
Rr
r
rq
Rr
R
rq
E
?
?
?
?
?
?
?
?
球体外区域 ~电量集
中于球心的点电荷
球体内区域 rE ?
电势分布,
rrqrRqrrEURr
R
R
rP
dπ4dπ4d,2
0
3
0
??? ?? ????? ???
?
rrqrEURr
rP
dπ4d,2
0
?? ?? ???? ??
?
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第 17页 共 31页
练习 求均匀带电球面 (R,q)的电场分布。
对称分析,
1) 如果场分量 随 ?,?的变
化而变化，则其电场分布将不具备球
对称性。只有这两个分量都为 0。
?? EE,
选同心球面作高斯面
?? ???? 内qrESES
0
2 1π4d
?
??由高斯定理,
)π4()( 20 rqE ??? 内
rE
rE
2) 由于球面具有围绕球心作任意
旋转的对称性，所有同 r的各点
分量的大小相等，满足对称性原
理。所以,分量可以不为 0。
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第 18页 共 31页
如何理解带电球面 处 值突变？ ERr ?
带电面上场强 E突变是采用面模型的结果，实际问
题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面
模型而还其体密度分布的本来面目。
)(
π4
)(
3
0
Rr
r
rq
Rr
E ?
?
?
?
??
0
rRO
E
21 r?
电势分布,
rrqrEURr
RP
dπ4d,2
0
?? ?? ???? ??
?
rrqrEURr
rP
dπ4d,2
0
?? ?? ???? ???
U
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第 19页 共 31页
计算带电球层 (R1,R2,?)的电场分布。
1R
2R o
?
?? 内qrE
0
2π4
1
?
解：选一半径为 r 的球形高斯面 S
S r 由高斯定理
?? ???? 内qrESE
S 0
2 1π4d
?
??
?E
)(0 1Rr ?
)( )(
3 212
3
1
00
RrR
r
Rrq ?????
?
?
?
内
)( 3 )( π4 22
0
3
1
3
2
2
0
Rrr RRrq ??? ???
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第 20页 共 31页
21 RRO
cba
区区区
2
1RR
EEE
厚度
较大
厚度
较小
厚度为
零球面
21 RRO 21 RRO ?
r
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第 21页 共 31页
例, 求无限长均匀直带电细棒 (? )的电场。
对称性分析,
P点处合场强 垂直
于带电直线,与 P 地位等
价的点的集合为以带电
直线为轴的圆柱面 。
E?
高斯面,
取长 L 的圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S
r
?
PS
L
E
E
?
?
d
d '
'd
d
q
o
q
'dd EE ?? ?
2,轴对称的电场
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第 22页 共 31页
rLE
SESESE
π2
d0c o sd
2
π
c o sd
2
π
c o s
??
??? ???
侧下上
?
00
1
π2d
?
?
?
L
q
rLESE
S
??
???
?
?
内
??由高斯定理,
???? ???????
侧下上
SESESESE
S
???????? dddd
r
?
P
L
S
rE 0π2 ?
??所以
rO
E
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第 23页 共 31页
讨论,(1) 无限长均匀带电柱面的电场分布
r
E
Rr
E
Rr
0
π2
:
0
:
?
?
?
?
?
?
对称性分析, 视为
无限长均匀带电直
线的集合；
r
'dd EE ?? ?
o 选同轴圆柱型 高斯面 ；
由高斯定理计算 P
E?d
'dE?
E
O R r
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第 24页 共 31页
(2) 求无限长,均匀带电柱体的电场分布时，高
斯面如何选取？
(3) 当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，能
否用高斯定理求电场分布？
高
斯
面
l
r
高
斯
面
l r
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第 25页 共 31页
3,无限大均匀带电平面的电场 (电荷面密度 ?)
通常该点的场强 E(P)应该有 三个分量。相对
于 yx镜面,P点镜像变换到 P?点,满足对称原理。
相对于 yz,xz镜面,P点镜像变换到 P?点,要求
,与 yx面要求 矛盾 。
zyx EEE,、
zz EE
?? ???
0?? yx EE所以
xx EE
?? ???
yy EE
?? ???
yyxx EEEE ????,
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第 26页 共 31页
SE
SESESE
2
d
2
π
c o sd0c o sd0c o s
??
??? ???
侧右左
??
??? ?????
侧右左
SESESE ?????? ddd??? SE
S
?? d
02?
??E
02?
?
02?
??
x
o
E
其指向由 的符
号决定
?
σ
S
E?
00
1
2d
?
?
?
S
q
SESE
??
???
?
?
内
??由高斯定理,
大学物理
第 27页 共 31页
(2) 带电平面上电场强度突变的原因？
(3) 计算厚 h 的均匀带电无限
大平行气体层的电场分布。
（教材 P.37 例 10）
y
o
E
2
h
2
h?
讨论, (1) 本题是否还有其它构成高斯面的方法？
02?
??E
02?
?
02?
??
x
o
E
其指向由 的符
号决定
?
大学物理
第 28页 共 31页
总结, 由高斯定理求电场分布的步骤
1) 由电荷分布的对称性分析电场分布的对称性。
2) 在对称性分析的基础上选取高斯面。目的是使
能够积出。
（球对称、轴对称、面对称三种类型）
? ?s SE ?? d
3) 由高斯定理 求出电场的大小,
并说明其方向。
?? ?? 内qSES
0
1d
?
??
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第 29页 共 31页
练习, 无限大均匀带电平面 场中电势分布。 ??
? ? ? xaoa ?
?? ?? 电场分布
),( 0
)(
0
axax
axa
E
???
????
? ?
?
电荷无限分布，在有限远处选零势点。令,
沿 轴方向积分。 0?OUx
? ?
?
?
?????????
a
x a
aaxExEUax 0
00
)(0dd
?
?
?
?区域：
大学物理
第 30页 共 31页
? ?
?
?
?????????
a
x a
aaxExEUax 0
00
)(0dd
?
?
?
?区域：
,区域axa ???
0
0
0
))((d
?
?
?
? xxxEU
x
????? ?
,区域ax ?
00
0
))((0 dd
?
?
?
? aaxExEU a
x a
??????? ? ?
? ? ? xaoa ?
?? ??
U— x曲线如图所示
U
xaOa?
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第 31页 共 31页
四、电场对带电体的作用
带电量为 q的点电荷在电场 中受到的作用力为
EqF ?? ?
E?
连续分布带电体在非均匀电场中受到的作用力
E?
qqd
qEF dd ?? ?
qEFF dd ?? ?? ???
EpElqM e ????? ????
电偶极子在电场中受力矩作用
(P.39 图 11-4-20) E?+
-
q
q?F
?
F?