第一章
工 程 数 学
第一章
工 程 数 学
第一章 行列式
第一章
工 程 数 学
§ 1,二元一次方程组与二阶行列式
一、二元一次方程组的求解公式
设关于 x1,x2 的二元一次方程组为
1212111 bxaxa ??
2222121 bxaxa ??
(1.1)
其中 a11,a12,a21,a22,b1,b2均为已知参数, 用
中学的消元法解此方程组,
第一章
工 程 数 学
时，得当 0 21122211 ?? aaaa
21122211
2121221
aaaa
babax
?
?? (1.2)
将它代入第一个方程并化简,得
21122211
1212112
aaaa
babax
?
?? (1.3)
第一章
工 程 数 学
式 (1.2)和 (1.3)给出了两个变量两个方程的
方程组 (1.1)的求解公式 (当 a11 a22 ? a12 a21 ?0
时 ),但公式 (1.2)与 (1.3)形 式复杂难记,
第一章
工 程 数 学
二、二阶行列式的概念
定义 定义二阶行列式
其中横排称为行,竖排称为列, 数 aij (i,j=1,2)
表示第 i 行第 j 列的元素,
2221
1211
aa
aa 21122211 aaaa ??
副对角线
主对角线
第一章
工 程 数 学
在方程组
1212111 bxaxa ??
2222121 bxaxa ??
中,若令
,
2221
1211
aa
aaD ?
,
222
121
1 ab
abD ?,
221
111
2 ba
baD ?
其中 D称为系数行列式,则当系数行列式 D ? 0时,
上述方程组的解可简记为
第一章
工 程 数 学
,11 DDx ? DDx 22 ? (1.4)
公式 (1.4)与公式 (1.2)及 (1.3)表示的是同一
式子,但显然公式 (1.4)简单易记得多,
公式 (1.4)称为解两个方程两个未知量的二
元一次方程组的 克莱姆 (Cramer)法则,
第一章
工 程 数 学
例,设 2x1+3x2=5
?3x1+x2=3 解此方程组,
解,?
13
32
?
?D
=2+9=11?0,
D
Dx 1
1 ??,11
4??
D
Dx 2
2 ?,11
21?
13
35
1 ?D
= ? 4,
,21 33 52 2 ???D
第一章
工 程 数 学
在 § 1中我们利用二阶行列式已得到了二
元一次方程组的求解公式, 但实际问题中,往
往要解多个变量的一次方程组 (称为线性方程
组 ),其中最简单, 最重要的是未知量的个数
与方程的个数相同的线性方程组, 因此有必要
引入高阶行列式的概念,
第一章
工 程 数 学
一、三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
122133113223312213
122331133221332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
其中 aij (i,j =1,2,3)表示第 i 行第 j 列上的元素,
§ 2 n 阶行列式
定义三阶行列式定义 1
第一章
工 程 数 学
三阶行列式的计算可如下图,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
?
?
?
+
+
+
第一章
工 程 数 学
例 1.求三阶行列式
,
123
142
108
??
?
解,原式 =32+4+0?12 ?(?16) ?0
=32+4?12 +16=40
第一章
工 程 数 学
以后我们将证明三元一次方程组
1313212111 bxaxaxa ???
2323222121 bxaxaxa ???
3333232131 bxaxaxa ???
的解将与它的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
密切相关,
第一章
工 程 数 学
二、排列与逆序数
为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,
先引 入排列和逆序数的概念,
将前 n 个自然数 1,2,…,n 按照某一顺
序排成一行,就称为一个 n 级排列, 其中若某两
数之间大数在前而小数在后,则称它们构成 一个
逆序, 一个排列中所有逆序数的总数称为该排列
的逆序数,
定义 2
第一章
工 程 数 学
n 级排 列 ( i1 i2… in ) 的逆 序数 记为
? (i1i2… in),简记为 ?, 例如,四级排列 2314 中,2
与 1,3与 1构成逆序,故 ? (2314) = 2; 再如六级
排列 243516 中,2与 1,4与 1,3与 1,5与 1,4与 3
均构成逆序,故 ? (243516) = 5.
第一章
工 程 数 学
奇偶排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排
列,逆序数为奇数的排列称为
奇排列,
如四级列 2314 是偶排列，而六级
排列 243516 为奇排列,
第一章
工 程 数 学
对换,将一个排列中两个位置上的数互换而其
余不动,则称对该排列作了一次对换,
如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对
换而得,而 ?(21534)=3,?(31524)=4,即经过对换
后排列的奇偶性改变了,
第一章
工 程 数 学
每一次对换改变排列的奇偶性,
定理 1
第一章
工 程 数 学
*证, 先考察相邻两个数字的对换, 设排列
(" … " 表不动的数字 ) 经 j,k的对换
… k j …
显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外,其它
任意两数的顺序并没有变,而 j 与 k 之间,若 j < k,
则经对换后构成逆序使排列的逆序数增加 1,若 j
> k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数
减少 1,总之, 排列的奇偶性改变了,
… j k …
变成排列
第一章
工 程 数 学
再看一般情形的对换, 设排列
… j i1i2 … im k …
经 j 与 k 对换变成排列
… k i1i2 … im j …
这可看作是通过一系列相邻对换得到的, 从排列 …
j i1i2 … im k … 出发把 k 与 im 对换,再与 im?1 对换,
一位位地向左移动,经 m 次相邻对换就变成了排
列 … j k i1i2 … im …,再把 j 一位一位地右移,经
m+1次相邻对换就变成 … k i1i2 … im j …,总共经过
2m+1 (奇数 )次对换, 排列的奇偶性也改变了,
第一章
工 程 数 学
由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶
排列各占一半
).2 !( 个即各有 n
第一章
工 程 数 学
三,n 阶行列式的定义
利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
332112322311312213
312312322113332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
中共 3!=6 项,其中一半带正号,一半带负号,
?(123)=0 ?(312)=2 ?(231)=2
?(321)=3 ?(132)=1 ?(213)=1
第一章
工 程 数 学
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ? ? ??
321
321 321)()1( jjjjjj aaa?
其中 ?是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 )求和,
三阶行列式可记为
第一章
工 程 数 学
2221
1211
aa
aa
D ?
? ?? 2121 21)()1( jjjj aa?
其中 ?是对所有二级排列 (j1j2) 求和,
同样,二阶行列式
第一章
工 程 数 学
仿此,可得
定义 3 定义 n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
其中 ?是对所有 n 级排列 ( j1j2… jn )求和,而 aij
仍称为第 i 行第 j 列的元素,
? ?? nnjjj aaa ?21 21 )1()( 21 njjj ??
第一章
工 程 数 学
由定义 3 可知,n 阶行列式是所有不在同
一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和,
且共有 n!项,其中一半带正号,一半带负号,
第一章
工 程 数 学
例 2,在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55的前
面应取什么符号?
解, 由于 ? (3 4 2 1 5) = 5,列下标为奇排列
? a13 a24 a32 a41a55 前应带负号。
第一章
工 程 数 学
例 3,计算下列 n 阶行列式
nnnn aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
1 ?
(称为 (下 )三角行列式 )
第一章
工 程 数 学
解, 由定义, D1中取自不同行不同列的 n个元素
的乘积, 除了 a11 a22 …ann外, 其余全为 0，
而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n),
?( 1 2 … n ) = 0,
D1= (?1)0 a11 a22… ann故
nnnn aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
1 ?
第一章
工 程 数 学
作为例 3的 特例，可知下面的 n阶行列式
(称为对角行列式 )
nn
nn
aaa
a
a
a
?
?
2211
22
11
?
第一章
工 程 数 学
例 4.计算 n 阶行列式
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
1,1
21,2
1
2
?
?
?
?
???
第一章
工 程 数 学
解,取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的
乘积,除 a1n a2,n-1 … an1 外,其余全为 0,而
a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n,n?1,…,1),
1)2()1()1,1,( ??????? ?? nnnn?
故 11,212 )1(2 )1( nnnnn aaaD ?????
2
)1( ?? nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
1,1
21,2
1
2
?
?
?
?
???
第一章
工 程 数 学
由例 4立即可知
11,22
)1(
)1( nn
nn
aa ??
?
??
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
第一章
工 程 数 学
在 n 阶行列式的定义中, 为了确定每一项
的符号, 把 n 个元素的行下标均按自然顺序排
列 。 事实上, 数的乘法是可交换的, 因而这 n
个元素相乘时次序可以是任意的,
定理 2 n 阶行列式的定义也可写成
? ??? nnnn jijijijjjiii aaaD ??? 22212121 )()()1( ??
第一章
工 程 数 学
证,将
nn jijiji aaa ?2211
重排使其行下标成自然顺序
njnjj aaa ??? ?21 21
由乘法交换律知 (2.4)与 (2.5)是相等的,
(2.4)
(2.5)
第一章
工 程 数 学
由于 (2.5) 是由 (2.4) 经过一系列元素的对
换得到的,而每作一次元素对换,相应的行下标
和列下标所成排列 i1 i2… in 和 j1 j2… jn 也同时作
了一次对换,由定理 1知行下标和列下标的排列
的逆序数同时改变奇偶性,因而行下标与列下
标的排列的逆序数之 和不改变奇偶性,
第一章
工 程 数 学
)()( 2121)1( nn jjjiii ?? ?? ??
)()12( 21)1( njjjn ?????? ?? ??
)( 21)1( njjj ????? ??
从而
nn
nn jijijijjjiii aaa ???
221
2121 1)()()1( ?? ??
n
n njjjjjj aaa
???
????? ??
21
21 21)()1( ?
于是
第一章
工 程 数 学
由定理 2还可知道,若将列下标按自然顺
序排列,则有
? ? ? ?? ?? niiiiii nn aaaD ?? 21 21211 ?
第一章
工 程 数 学
n阶行列式的定义有三种形式：
n
n njjjjjj aaaD ??
21
21 21)()1( ?? ??
niiiiii nn aaa ?? 21)( 2121)1( ?? ??
nn
nn jijijijjjiii aaa ???
2211
2121 )()()1( ?? ?? ??
小结
第一章
工 程 数 学
§ 3 行列式的性质与行列式的展开
按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨
论行列式的性质以简化行列式的计算,
第一章
工 程 数 学
n 阶行列式与它的转置行列式相等,
,
321
22221
11211
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
则 D = DT
即
性质 1
第一章
工 程 数 学
如：
,
53
42
54
32
?
第一章
工 程 数 学
*证,令
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
?
???
?
?,
1
1
nnn
nn
T
bb
bb
D
?
???
?
?
第一章
工 程 数 学
则 bij = aji ( i,j = 1,2 … n),由定义有
? ?? ??
n
n jnjjjjjT bbbD ??
21
21 21 )1( ?
? ? ? ?? ?? njjjjjj nn aaa ?? 21 21211 ?
=D
由性质 1 知行列式中对行成立的命题对列也成立,
第一章
工 程 数 学
由上节例 3及性质 1还可知
nnaaa ?2211?
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
??
?
?
21
2212
11
nnnn aaa
aa
a
?
???
?
上三角行列式 下三角行列式
三角行列式
第一章
工 程 数 学
性质 2
1
1
1
111
nnn
qnq
pnp
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
1
1
1
111
nnn
pnp
qnq
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
??
互换 n阶行列式的任意两行 (列 ),行
列式仅改变符号,
即
第一章
工 程 数 学
*证, 设
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
?
?
?
?
nnn
n
bb
bb
M
?
?
?
1
111
?
其中 M 为 D 经过互换第 p 行和第 q 行 (1? p < q ? n)
后得到,则
i?p,q 时,bij = aij ( j = 1,2,…,n);
i=p,q 时,bpj = aqj,bqj=apj( j = 1,2,…,n);
第一章
工 程 数 学
于是
? ?? nqpnqp njqjpjjjjjjj bbbbbM ?????? 211 21)()1( ?
? ?? ??
nqp
nqp njpjqjjjjjjj aaaaa ??????
21
1 21)1( ?
? ?? ??
npq
nqp njqjpjjjjjjj aaaaa ??????
21
1 21)1( ?
? ?? ???
nq
npq njpjjjjjjj aaaa ?????
21
1 21)1( ?
D??
第一章
工 程 数 学
若 n 阶行列式有两行 (列 )的对应元素相同,
则行列式为零,
这是因为行列式 D 的这两行互换后得
D = ?D,从而 D = 0
如二阶行列式
,8
75
31
??
而
8 31 75 ?
两者异号,
推论 1
第一章
工 程 数 学
把行列式的某行 (列 )的所有元素同乘
以 k,等于该行列式乘以数 k.
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
由性质 3可知,若行列式某行 (列 )有公因式则
可提出来,性质 3 的证明略,
性质 3
即
第一章
工 程 数 学
结合性质 2和性质 3,有
若 n 阶行列式有两行 (列 )对应元素成
比例,则该行列式为零,
若 n 阶行列式有某行 (列 )全为零,则行
列式为零,
推论 2
推论 3
第一章
工 程 数 学
性质 4
若 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素是两个
数的和,则该行列式等于两个行列式的和,
第一章
工 程 数 学
1
11211
nnn2n1
ini2i
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
?
21
''
2
'
1
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
?
nnnn
ininiiii
n
aaa
aaaaaa
aaa
?
???
?
???
?
21
2211
11211
??????
即
第一章
工 程 数 学
如
1543
21
??
47
21
1543
21 ?
??
= ?10
10)9(1
14
21
53
21
??????
?
?
而
14
21
53
21
?
??
即
第一章
工 程 数 学
性质 5
1
1
1
111
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
1
1
1
111
nnn
injniji
ini
n
aa
kaakaa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
??
?
把 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素乘以
数 k 后加到另一行 (列 )的对应元素上去,
行列式的值不变,
即
第一章
工 程 数 学
性质 5可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出,
如
1
74
21
??
???? 42744 21 1
10
21
??
?
两者相等
第一章
工 程 数 学
行列式有五条性质：
1,DT=D ;
2,互换行列式的两行 (列 )，行列式 仅 变号 ;
3,行列式某行 (列 )的公因式可提出；
4,行列式某行 (列 )的元素均为两数之和，则原
行列式等于另两行列式之和；
5,行列式某行 (列 )的各元素乘以数 k 后加到另
一行 (列 )对应元素上去，行列式的值不变；
小结
第一章
工 程 数 学
行列式还有三条推论：
1,行列式 D 有两行 (列 )各元素对应相同，
则 D=0；
2,行列式 D 有两行 (列 )各元素对应成比例，
则 D=0；
3,行列式 D 有某行 (列 )各元素全为零，则
D=0；
第一章
工 程 数 学
由上节例 2可知三角行列式简单易求,因此
对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为
一个与之相等的三角行列式,从而简化行列式
的计算,
为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示每 i 行,ci
以 k 加到第 i 行记作 ri+krj.
ji rr ?
，将第 j 行乘表第 i 列,交换 i,j 两行记作
第一章
工 程 数 学
例 1.计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
解,
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
3315
1120
4351
2131
??
?
??
?21 cc ?
第一章
工 程 数 学
72160
1120
6480
2131
?
?
?
?
?
72160
6480
1120
2131
?
?
?
?
r2?r1
r4+5r1
151000
10800
1120
2131
?
?
?
?
2
5000
10800
1120
2131
?
?
?
4025821 ????
r3+4r2
r4?8r2
34 4
5 rr ?
21 rr ?
第一章
工 程 数 学
例 2.计算 n 阶行列式
abbb
babb
bbab
bbba
?
?????
?
?
?
第一章
工 程 数 学
解：
abbb
babb
bbab
bbba
?
?????
?
?
?
)( 21 nccc ??? ?
)1(
)1(
)1(
)1(
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
??
??
??
??
第一章
工 程 数 学
000
000
000
)1(
ba
ba
ba
bbbbna
?
?
?
??
?
?????
?
?
?
? ? 1)()1( ???? nbabna
1rri ?
(i?1)
第一章
工 程 数 学
例 3.计算 n 阶行列式
0321
021
301
321
?
??
?
?
?
???
??
?
n
n
n
第一章
工 程 数 学
解：
0321
021
301
321
?
??
?
?
?
???
??
?
n
n
n
000
2300
2620
321
n
n
n
n
?
??
?
?
?
!321 nn ?????? ?
ri+r1
(i?1)
第一章
工 程 数 学
二、行列式按行 (列 )展开
计算行列式时,除将其化为三角行列式外,
还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至
二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,
为此引入余子式和代数余子式的概念,
第一章
工 程 数 学
在 n阶行列式中,去掉 aij(i,j =1,2,… n)所在的
行与所在列后剩下的 n?1 阶行列式称为元素
aij 的余子式,记为 Mij, 余子式 Mij带上符号
(?1)i+j 则称为元素 aij 的代数余子式,记为 Aij,
即 Aij= (?1)i+j Mij,
定义
第一章
工 程 数 学
,4 31 40 11 ????M 4)1( 111111 ??? ? MA
元素 a11=1的余子式和代数余子式分别为
如三阶行列式
312
401
321
??
?
中,
第一章
工 程 数 学
元素 a12= 2 的余子式和代数余子式分别为
,532 4112 ?????M ? ?,51 122112 ??? ? MA
312
401
321
??
?
而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为
,1
12
01
13 ??
??M ? ?,11 133113 ??? ? MA
第一章
工 程 数 学
通过直接计算可知
176401630
312
401
321
???????
??
?
而
131312121111 AaAaAa ?? 171352)4(1 ???????
两者相等,这个现象不是偶然的, 事实上,有
第一章
工 程 数 学
(Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一
行 (列 ) 的各元素与其对应的代数余子式
乘积之和,
D = ininiiii AaAaAa ??? ?2211
ikik
n
k
Aa?
?
?
1
或 D =
njnjjjjj AaAaAa ??? ?2211 kjkj
n
k
Aa?
?
?
1
),,2,1( ni ??
),,2,1( nj ??
定理 1
即
第一章
工 程 数 学
*证, 先证明等式
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
??
?????
??
?????
??
1,1,1
11,111,111
0000
??
??
ijij Aa?
(5.1)
第一章
工 程 数 学
为此考虑特殊情形
nn
nnnnnn
nn
nn
a
aaaa
aaaa
aaaa
000
,11,12,11,1
21,22221
11,11211
?
?
?????
?
?
?????
?
?
nnnn Aa? (5.2)
第一章
工 程 数 学
将上式左端表为
? ? ? ?? ? nnjjjjjj aaan ?? 221 211 1 ?
? ? ? ?? ??? nnjnjjjjj aaaa nn 12
1
21,1211 ??? nnnn Aa?
这就是 (5.2) 式,
(5.3)
其中只有 jn=n 时,
对所有 n 级排列,j1 j2 … jn?1 n求和就是对 n?1
级排列是 j1 j2 … jn?1 求和,且显然 ?? (j1 j2 … jn?1n )
= ? (j1 j2 … jn?1),故 (5.3) 式即为
nnja
才不会为零,这时和式
第一章
工 程 数 学
接下来将 (5.1)式左端的行列式的第 i 行
依次与其下面相邻的行对换,经 n?i 次对换后
换到第 n 行,然后再将第 j 列依次与其右边相
邻的列对换,经 n?j 次对换后换到第 n 列,这
时 aij 换到右下角的位置,由性质 2,式 (5.1)
左端的行列式等于
第一章
工 程 数 学
? ?? ? ? ?jnin ???? 1
0000
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111
ij
jinijijii
jinijijii
jnjj
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
??
???????
??
??
???????
??
???????
???????
??
第一章
工 程 数 学
由于经上述行列互换, 除第 i 行与第 j 列
元素外, 其它各行各列元素相对位置都没有改
变, 故上面行列式左上角的 n ? 1 阶行列式即
为 aij 的余子式 Mij,由 (5.2) 式得 (5.1) 式左端
的行列式为
? ?? ? ? ? ijijjnin Ma???? 1
? ?? ? ijijji Ma??? 1 ijij Aa?
于是 (5.1)式得证
第一章
工 程 数 学
下面证明定理,先把 D 写成如下形式,并
利用行列式性质 5 及 (5.1) 式有
0000000
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
???????????
第一章
工 程 数 学
00 00
21
2
11211
21
1
11211
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
??
?
??
?
? ??
第一章
工 程 数 学
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
ikik
n
k
Aa?
?
?
1
类似地按列证明便得
? ?njAaD kjkj
n
k
?,2,1
1
?? ?
?
第一章
工 程 数 学
Laplace展开定理又称为行列式按行 (列 )
展开的法则, 利用这一法则并结合行列式的
性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式
的计算,从而简化计算,
第一章
工 程 数 学
例 4,用 Laplace展开定理解例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
c1?2c3
c4+c3
0355
0100
13111
1115
??
??
?
第一章
工 程 数 学
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
21 rr ?
)5(3 ??r
11 26 )1()5( 31 ????? ?
? ? 4085 ?????
011
026
115
5 ??
055
026
115
??
?
第一章
工 程 数 学
例 5,计算 n 阶行列式
00
00
00
ab
ba
ba
?
?????
?
?
第一章
工 程 数 学
解, 将其直接按第一列展开,得
00
00
00
ab
ba
ba
?
?????
?
?
000
00
00
a
ba
ba
a
?
?????
?
?
?
00
0
00
)1(
1
b
ba
b
b
n
?
????
?
?
?
??
? ? 111 1 ??? ?????? nnn bbaa ? ? nnn ba ???? ? 11
第一章
工 程 数 学
例 6.计算 n 阶行列式
222
2322
2222
2221
n?
?????
?
?
?
第一章
工 程 数 学
解,
222
2322
2222
2221
n?
??
?
?
?
2000
0100
2222
0001
2
?
?
?
n
rr i
?
??
?
?
?
(i?2)
? ?
200
010
222
1
?
??
n?
??
?
?
? ? ? ?22121 ???????? n?? ? ! 22 ???? n
第一章
工 程 数 学
例 7.证明范德蒙 (Vandermonde) 行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
??
?
?
?
)(
1 jinij
xx ?? ?
???
其中 n ? 2,? 称为连乘号,这里表示所有可能的
xi ? xj (1? j < i ? n)的乘积,
第一章
工 程 数 学
证, 用数学归纳法,当 n = 2 时
12
12
2
11
xx
xx
D ???
结论正确,
假设对于 n?1 阶范德蒙行列式结论正确,
现在来证 n 阶的情形, 设法将 Dn 降阶,为此,从
第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1倍,得
第一章
工 程 数 学
)()(0
)()(0
0
111
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
n
n
??
??
??
?
??
?
????
?
?
?
)()(
)()(
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
??
??
??
?
??
?
???
?
?
第一章
工 程 数 学
? ? ? ?
? ? ? ?
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
??
??
??
?
??
?
???
?
?
? ? ? ?
11
22
2
2
112
??
???
n
n
n
n
n
xx
xx
xxxx
?
?
?
?
?
第一章
工 程 数 学
上式右端的行列式为 n?1 阶范德蒙行列式,
于是由归纳假设有
? ? ? ?ji
nij
nn xxxxxxD ???? ?
???2
112 )( ?
? ?ji
nij
xx ?? ?
???1
第一章
工 程 数 学
例 8,求四阶行列式
1111
3333
2222
tzyx
tzyx
tzyx
解, 此为四阶范德蒙行列式,于是
原式 = ? ?? ?? ? ? ?? ?ztytyzxtxzxy ?????? )(
第一章
工 程 数 学
关于代数余子式,还有下列定理
行列式的任一行 (列 )的所有元素与另
一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘
积之各等于零,
02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
或 0
2211 ???? njnijiji AaAaAa ?
定理 2
即
( i?j )
第一章
工 程 数 学
*证, 作行列式 ( i? j)
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
?
??
?
??
?
??
?
21
21
21
11211
第 i 行
第 j 行
第一章
工 程 数 学
则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同
外,其余各行均与 D 的对应元素相同, 由于
第 i 行与第 j 行各元素对应相同,故上行列
式为零,将其第 j 行展开可得
02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
02211 ???? njnijiji AaAaAa ?
类似地,有
第一章
工 程 数 学
例 9,设行列式为
23145
70213
11976
1111
?
求,
24232221 AAAA ??? 其中 Aij 为元素 aij
的代数余子式,
第一章
工 程 数 学
解,由定理 2 可知
24232221 1111 AAAA ????????
24232221 AAAA ???
2414231322122111 AaAaAaAa ????
0?
第一章
工 程 数 学
§ 4 克莱姆法则
有了 n 阶行列式 概念后, 可以把解二
元一次方程组的克莱姆法则加以推广 。
第一章
工 程 数 学
(克莱姆法则 ) 设 n 个变量 n 个方程
的线性方程组为
11212111 bxaxaxa nn ???? ?
22222121 bxaxaxa nn ???? ?
nnnnnn bxaxaxa ???? ?2211
(4.1)
………………
定理 1
第一章
工 程 数 学
如果系数行列式
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
? 0?
则方程组 (4.1)有唯一解,且解可表示为
,11 DDx ?,22 DDx ?,? D
Dx n
n ?
第一章
工 程 数 学
其中 Di ( i = 1,2,?,n)是用常数项 b1,b2,…,bn代
替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式,即
nninninn
nii
i
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
1,1,1
11,111,111
??
??
?
i=(1,2,…,n )
第一章
工 程 数 学
*证, 用行列式 D 的第 i 列各元素的代数余子式
A1i,A2i,…,Ani 分别乘以方程组 (4.1) 的第 1
个,第 2个,…,第 n个方程后相加得,
ikikn
n
k
kik
n
k
kik
n
k
xAaxAaxAa ??
?
?
???
?
????
?
?
???
?
???
?
?
???
?
???
??? 1
22
1
11
1
?
kik
n
k
Ab?
?
?
1
第一章
工 程 数 学
利用定理 3.1及 3.2可得
Dxi=Di (i=1,2,…,n)
从而当 D ? 0时方程组 (4.1)有唯一解
,11 DDx ?,22
D
Dx ?
D
Dx n
n ?
…,
第一章
工 程 数 学
例 1.求解线性方程组
12 4321 ???? xxxx
12 4321 ???? xxxx
2421 ??? xxx
1431 ??? xxx
第一章
工 程 数 学
解,
1101
1011
1211
2111
?
?
?
?D 10??
1101
1021
1211
2111
1
?
?
?
?D
8??
第一章
工 程 数 学
1111
1021
1211
2111
2
?
?
?D 9??
1101
1211
1111
2111
3
?
?
?D 5??
第一章
工 程 数 学
1101
2011
1211
1111
4
?
?
?D 3??
故
5
4
10
8
1 ??
??x
10
9
2 ?x
2
1
10
5
3 ??
??x
10
3
4 ?x
第一章
工 程 数 学
在方程组 (4.1)中,若 b1=b2=…= bn=0,即
01212111 ???? nn xaxaxa ?
02222121 ???? nn xaxaxa ?
…
02211 ???? nnnnn xaxaxa ?
则称之为齐次线性方程组, 而 (4.1)称为非齐
次的线性方程组, 显然 x1= x2 = … = xn = 0 是
(4.2) 的解 (零解 ).
(4.2)
第一章
工 程 数 学
关于齐次方程组 (4.2) 还有下列结论：
结论 1.若系数行列式 D? 0,则它只有零解,
结论 2,若齐次方程组有非零解, 则必有系数
行列式 D = 0.
工 程 数 学
第一章
工 程 数 学
第一章 行列式
第一章
工 程 数 学
§ 1,二元一次方程组与二阶行列式
一、二元一次方程组的求解公式
设关于 x1,x2 的二元一次方程组为
1212111 bxaxa ??
2222121 bxaxa ??
(1.1)
其中 a11,a12,a21,a22,b1,b2均为已知参数, 用
中学的消元法解此方程组,
第一章
工 程 数 学
时，得当 0 21122211 ?? aaaa
21122211
2121221
aaaa
babax
?
?? (1.2)
将它代入第一个方程并化简,得
21122211
1212112
aaaa
babax
?
?? (1.3)
第一章
工 程 数 学
式 (1.2)和 (1.3)给出了两个变量两个方程的
方程组 (1.1)的求解公式 (当 a11 a22 ? a12 a21 ?0
时 ),但公式 (1.2)与 (1.3)形 式复杂难记,
第一章
工 程 数 学
二、二阶行列式的概念
定义 定义二阶行列式
其中横排称为行,竖排称为列, 数 aij (i,j=1,2)
表示第 i 行第 j 列的元素,
2221
1211
aa
aa 21122211 aaaa ??
副对角线
主对角线
第一章
工 程 数 学
在方程组
1212111 bxaxa ??
2222121 bxaxa ??
中,若令
,
2221
1211
aa
aaD ?
,
222
121
1 ab
abD ?,
221
111
2 ba
baD ?
其中 D称为系数行列式,则当系数行列式 D ? 0时,
上述方程组的解可简记为
第一章
工 程 数 学
,11 DDx ? DDx 22 ? (1.4)
公式 (1.4)与公式 (1.2)及 (1.3)表示的是同一
式子,但显然公式 (1.4)简单易记得多,
公式 (1.4)称为解两个方程两个未知量的二
元一次方程组的 克莱姆 (Cramer)法则,
第一章
工 程 数 学
例,设 2x1+3x2=5
?3x1+x2=3 解此方程组,
解,?
13
32
?
?D
=2+9=11?0,
D
Dx 1
1 ??,11
4??
D
Dx 2
2 ?,11
21?
13
35
1 ?D
= ? 4,
,21 33 52 2 ???D
第一章
工 程 数 学
在 § 1中我们利用二阶行列式已得到了二
元一次方程组的求解公式, 但实际问题中,往
往要解多个变量的一次方程组 (称为线性方程
组 ),其中最简单, 最重要的是未知量的个数
与方程的个数相同的线性方程组, 因此有必要
引入高阶行列式的概念,
第一章
工 程 数 学
一、三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
122133113223312213
122331133221332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
其中 aij (i,j =1,2,3)表示第 i 行第 j 列上的元素,
§ 2 n 阶行列式
定义三阶行列式定义 1
第一章
工 程 数 学
三阶行列式的计算可如下图,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
?
?
?
+
+
+
第一章
工 程 数 学
例 1.求三阶行列式
,
123
142
108
??
?
解,原式 =32+4+0?12 ?(?16) ?0
=32+4?12 +16=40
第一章
工 程 数 学
以后我们将证明三元一次方程组
1313212111 bxaxaxa ???
2323222121 bxaxaxa ???
3333232131 bxaxaxa ???
的解将与它的系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
密切相关,
第一章
工 程 数 学
二、排列与逆序数
为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质,
先引 入排列和逆序数的概念,
将前 n 个自然数 1,2,…,n 按照某一顺
序排成一行,就称为一个 n 级排列, 其中若某两
数之间大数在前而小数在后,则称它们构成 一个
逆序, 一个排列中所有逆序数的总数称为该排列
的逆序数,
定义 2
第一章
工 程 数 学
n 级排 列 ( i1 i2… in ) 的逆 序数 记为
? (i1i2… in),简记为 ?, 例如,四级排列 2314 中,2
与 1,3与 1构成逆序,故 ? (2314) = 2; 再如六级
排列 243516 中,2与 1,4与 1,3与 1,5与 1,4与 3
均构成逆序,故 ? (243516) = 5.
第一章
工 程 数 学
奇偶排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排
列,逆序数为奇数的排列称为
奇排列,
如四级列 2314 是偶排列，而六级
排列 243516 为奇排列,
第一章
工 程 数 学
对换,将一个排列中两个位置上的数互换而其
余不动,则称对该排列作了一次对换,
如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对
换而得,而 ?(21534)=3,?(31524)=4,即经过对换
后排列的奇偶性改变了,
第一章
工 程 数 学
每一次对换改变排列的奇偶性,
定理 1
第一章
工 程 数 学
*证, 先考察相邻两个数字的对换, 设排列
(" … " 表不动的数字 ) 经 j,k的对换
… k j …
显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外,其它
任意两数的顺序并没有变,而 j 与 k 之间,若 j < k,
则经对换后构成逆序使排列的逆序数增加 1,若 j
> k,则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数
减少 1,总之, 排列的奇偶性改变了,
… j k …
变成排列
第一章
工 程 数 学
再看一般情形的对换, 设排列
… j i1i2 … im k …
经 j 与 k 对换变成排列
… k i1i2 … im j …
这可看作是通过一系列相邻对换得到的, 从排列 …
j i1i2 … im k … 出发把 k 与 im 对换,再与 im?1 对换,
一位位地向左移动,经 m 次相邻对换就变成了排
列 … j k i1i2 … im …,再把 j 一位一位地右移,经
m+1次相邻对换就变成 … k i1i2 … im j …,总共经过
2m+1 (奇数 )次对换, 排列的奇偶性也改变了,
第一章
工 程 数 学
由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶
排列各占一半
).2 !( 个即各有 n
第一章
工 程 数 学
三,n 阶行列式的定义
利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
332112322311312213
312312322113332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
中共 3!=6 项,其中一半带正号,一半带负号,
?(123)=0 ?(312)=2 ?(231)=2
?(321)=3 ?(132)=1 ?(213)=1
第一章
工 程 数 学
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ? ? ??
321
321 321)()1( jjjjjj aaa?
其中 ?是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 )求和,
三阶行列式可记为
第一章
工 程 数 学
2221
1211
aa
aa
D ?
? ?? 2121 21)()1( jjjj aa?
其中 ?是对所有二级排列 (j1j2) 求和,
同样,二阶行列式
第一章
工 程 数 学
仿此,可得
定义 3 定义 n 阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
其中 ?是对所有 n 级排列 ( j1j2… jn )求和,而 aij
仍称为第 i 行第 j 列的元素,
? ?? nnjjj aaa ?21 21 )1()( 21 njjj ??
第一章
工 程 数 学
由定义 3 可知,n 阶行列式是所有不在同
一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和,
且共有 n!项,其中一半带正号,一半带负号,
第一章
工 程 数 学
例 2,在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55的前
面应取什么符号?
解, 由于 ? (3 4 2 1 5) = 5,列下标为奇排列
? a13 a24 a32 a41a55 前应带负号。
第一章
工 程 数 学
例 3,计算下列 n 阶行列式
nnnn aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
1 ?
(称为 (下 )三角行列式 )
第一章
工 程 数 学
解, 由定义, D1中取自不同行不同列的 n个元素
的乘积, 除了 a11 a22 …ann外, 其余全为 0，
而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n),
?( 1 2 … n ) = 0,
D1= (?1)0 a11 a22… ann故
nnnn aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
1 ?
第一章
工 程 数 学
作为例 3的 特例，可知下面的 n阶行列式
(称为对角行列式 )
nn
nn
aaa
a
a
a
?
?
2211
22
11
?
第一章
工 程 数 学
例 4.计算 n 阶行列式
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
1,1
21,2
1
2
?
?
?
?
???
第一章
工 程 数 学
解,取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的
乘积,除 a1n a2,n-1 … an1 外,其余全为 0,而
a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n,n?1,…,1),
1)2()1()1,1,( ??????? ?? nnnn?
故 11,212 )1(2 )1( nnnnn aaaD ?????
2
)1( ?? nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
1,1
21,2
1
2
?
?
?
?
???
第一章
工 程 数 学
由例 4立即可知
11,22
)1(
)1( nn
nn
aa ??
?
??
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
第一章
工 程 数 学
在 n 阶行列式的定义中, 为了确定每一项
的符号, 把 n 个元素的行下标均按自然顺序排
列 。 事实上, 数的乘法是可交换的, 因而这 n
个元素相乘时次序可以是任意的,
定理 2 n 阶行列式的定义也可写成
? ??? nnnn jijijijjjiii aaaD ??? 22212121 )()()1( ??
第一章
工 程 数 学
证,将
nn jijiji aaa ?2211
重排使其行下标成自然顺序
njnjj aaa ??? ?21 21
由乘法交换律知 (2.4)与 (2.5)是相等的,
(2.4)
(2.5)
第一章
工 程 数 学
由于 (2.5) 是由 (2.4) 经过一系列元素的对
换得到的,而每作一次元素对换,相应的行下标
和列下标所成排列 i1 i2… in 和 j1 j2… jn 也同时作
了一次对换,由定理 1知行下标和列下标的排列
的逆序数同时改变奇偶性,因而行下标与列下
标的排列的逆序数之 和不改变奇偶性,
第一章
工 程 数 学
)()( 2121)1( nn jjjiii ?? ?? ??
)()12( 21)1( njjjn ?????? ?? ??
)( 21)1( njjj ????? ??
从而
nn
nn jijijijjjiii aaa ???
221
2121 1)()()1( ?? ??
n
n njjjjjj aaa
???
????? ??
21
21 21)()1( ?
于是
第一章
工 程 数 学
由定理 2还可知道,若将列下标按自然顺
序排列,则有
? ? ? ?? ?? niiiiii nn aaaD ?? 21 21211 ?
第一章
工 程 数 学
n阶行列式的定义有三种形式：
n
n njjjjjj aaaD ??
21
21 21)()1( ?? ??
niiiiii nn aaa ?? 21)( 2121)1( ?? ??
nn
nn jijijijjjiii aaa ???
2211
2121 )()()1( ?? ?? ??
小结
第一章
工 程 数 学
§ 3 行列式的性质与行列式的展开
按定义计算行列式较麻烦,因此有必要讨
论行列式的性质以简化行列式的计算,
第一章
工 程 数 学
n 阶行列式与它的转置行列式相等,
,
321
22221
11211
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
则 D = DT
即
性质 1
第一章
工 程 数 学
如：
,
53
42
54
32
?
第一章
工 程 数 学
*证,令
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
?
???
?
?,
1
1
nnn
nn
T
bb
bb
D
?
???
?
?
第一章
工 程 数 学
则 bij = aji ( i,j = 1,2 … n),由定义有
? ?? ??
n
n jnjjjjjT bbbD ??
21
21 21 )1( ?
? ? ? ?? ?? njjjjjj nn aaa ?? 21 21211 ?
=D
由性质 1 知行列式中对行成立的命题对列也成立,
第一章
工 程 数 学
由上节例 3及性质 1还可知
nnaaa ?2211?
222
11211
nn
n
n
a
aa
aaa
??
?
?
21
2212
11
nnnn aaa
aa
a
?
???
?
上三角行列式 下三角行列式
三角行列式
第一章
工 程 数 学
性质 2
1
1
1
111
nnn
qnq
pnp
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
1
1
1
111
nnn
pnp
qnq
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
??
互换 n阶行列式的任意两行 (列 ),行
列式仅改变符号,
即
第一章
工 程 数 学
*证, 设
,
1
111
nnn
n
aa
aa
D
?
?
?
?
nnn
n
bb
bb
M
?
?
?
1
111
?
其中 M 为 D 经过互换第 p 行和第 q 行 (1? p < q ? n)
后得到,则
i?p,q 时,bij = aij ( j = 1,2,…,n);
i=p,q 时,bpj = aqj,bqj=apj( j = 1,2,…,n);
第一章
工 程 数 学
于是
? ?? nqpnqp njqjpjjjjjjj bbbbbM ?????? 211 21)()1( ?
? ?? ??
nqp
nqp njpjqjjjjjjj aaaaa ??????
21
1 21)1( ?
? ?? ??
npq
nqp njqjpjjjjjjj aaaaa ??????
21
1 21)1( ?
? ?? ???
nq
npq njpjjjjjjj aaaa ?????
21
1 21)1( ?
D??
第一章
工 程 数 学
若 n 阶行列式有两行 (列 )的对应元素相同,
则行列式为零,
这是因为行列式 D 的这两行互换后得
D = ?D,从而 D = 0
如二阶行列式
,8
75
31
??
而
8 31 75 ?
两者异号,
推论 1
第一章
工 程 数 学
把行列式的某行 (列 )的所有元素同乘
以 k,等于该行列式乘以数 k.
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
由性质 3可知,若行列式某行 (列 )有公因式则
可提出来,性质 3 的证明略,
性质 3
即
第一章
工 程 数 学
结合性质 2和性质 3,有
若 n 阶行列式有两行 (列 )对应元素成
比例,则该行列式为零,
若 n 阶行列式有某行 (列 )全为零,则行
列式为零,
推论 2
推论 3
第一章
工 程 数 学
性质 4
若 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素是两个
数的和,则该行列式等于两个行列式的和,
第一章
工 程 数 学
1
11211
nnn2n1
ini2i
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
?
21
''
2
'
1
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
?
nnnn
ininiiii
n
aaa
aaaaaa
aaa
?
???
?
???
?
21
2211
11211
??????
即
第一章
工 程 数 学
如
1543
21
??
47
21
1543
21 ?
??
= ?10
10)9(1
14
21
53
21
??????
?
?
而
14
21
53
21
?
??
即
第一章
工 程 数 学
性质 5
1
1
1
111
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
1
1
1
111
nnn
injniji
ini
n
aa
kaakaa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
??
?
把 n 阶行列式的某行 (列 )的各元素乘以
数 k 后加到另一行 (列 )的对应元素上去,
行列式的值不变,
即
第一章
工 程 数 学
性质 5可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出,
如
1
74
21
??
???? 42744 21 1
10
21
??
?
两者相等
第一章
工 程 数 学
行列式有五条性质：
1,DT=D ;
2,互换行列式的两行 (列 )，行列式 仅 变号 ;
3,行列式某行 (列 )的公因式可提出；
4,行列式某行 (列 )的元素均为两数之和，则原
行列式等于另两行列式之和；
5,行列式某行 (列 )的各元素乘以数 k 后加到另
一行 (列 )对应元素上去，行列式的值不变；
小结
第一章
工 程 数 学
行列式还有三条推论：
1,行列式 D 有两行 (列 )各元素对应相同，
则 D=0；
2,行列式 D 有两行 (列 )各元素对应成比例，
则 D=0；
3,行列式 D 有某行 (列 )各元素全为零，则
D=0；
第一章
工 程 数 学
由上节例 2可知三角行列式简单易求,因此
对任一行列式,可利用行列式的性质,将其化为
一个与之相等的三角行列式,从而简化行列式
的计算,
为表达简捷,计算行列式时,以 ri 表示每 i 行,ci
以 k 加到第 i 行记作 ri+krj.
ji rr ?
，将第 j 行乘表第 i 列,交换 i,j 两行记作
第一章
工 程 数 学
例 1.计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
解,
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
3315
1120
4351
2131
??
?
??
?21 cc ?
第一章
工 程 数 学
72160
1120
6480
2131
?
?
?
?
?
72160
6480
1120
2131
?
?
?
?
r2?r1
r4+5r1
151000
10800
1120
2131
?
?
?
?
2
5000
10800
1120
2131
?
?
?
4025821 ????
r3+4r2
r4?8r2
34 4
5 rr ?
21 rr ?
第一章
工 程 数 学
例 2.计算 n 阶行列式
abbb
babb
bbab
bbba
?
?????
?
?
?
第一章
工 程 数 学
解：
abbb
babb
bbab
bbba
?
?????
?
?
?
)( 21 nccc ??? ?
)1(
)1(
)1(
)1(
abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
??
??
??
??
第一章
工 程 数 学
000
000
000
)1(
ba
ba
ba
bbbbna
?
?
?
??
?
?????
?
?
?
? ? 1)()1( ???? nbabna
1rri ?
(i?1)
第一章
工 程 数 学
例 3.计算 n 阶行列式
0321
021
301
321
?
??
?
?
?
???
??
?
n
n
n
第一章
工 程 数 学
解：
0321
021
301
321
?
??
?
?
?
???
??
?
n
n
n
000
2300
2620
321
n
n
n
n
?
??
?
?
?
!321 nn ?????? ?
ri+r1
(i?1)
第一章
工 程 数 学
二、行列式按行 (列 )展开
计算行列式时,除将其化为三角行列式外,
还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至
二阶行列式,因为二阶行列式的计算极为简单,
为此引入余子式和代数余子式的概念,
第一章
工 程 数 学
在 n阶行列式中,去掉 aij(i,j =1,2,… n)所在的
行与所在列后剩下的 n?1 阶行列式称为元素
aij 的余子式,记为 Mij, 余子式 Mij带上符号
(?1)i+j 则称为元素 aij 的代数余子式,记为 Aij,
即 Aij= (?1)i+j Mij,
定义
第一章
工 程 数 学
,4 31 40 11 ????M 4)1( 111111 ??? ? MA
元素 a11=1的余子式和代数余子式分别为
如三阶行列式
312
401
321
??
?
中,
第一章
工 程 数 学
元素 a12= 2 的余子式和代数余子式分别为
,532 4112 ?????M ? ?,51 122112 ??? ? MA
312
401
321
??
?
而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为
,1
12
01
13 ??
??M ? ?,11 133113 ??? ? MA
第一章
工 程 数 学
通过直接计算可知
176401630
312
401
321
???????
??
?
而
131312121111 AaAaAa ?? 171352)4(1 ???????
两者相等,这个现象不是偶然的, 事实上,有
第一章
工 程 数 学
(Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一
行 (列 ) 的各元素与其对应的代数余子式
乘积之和,
D = ininiiii AaAaAa ??? ?2211
ikik
n
k
Aa?
?
?
1
或 D =
njnjjjjj AaAaAa ??? ?2211 kjkj
n
k
Aa?
?
?
1
),,2,1( ni ??
),,2,1( nj ??
定理 1
即
第一章
工 程 数 学
*证, 先证明等式
nnjnnjjnn
ij
njjj
aaaaa
a
aaaaa
??
?????
??
?????
??
1,1,1
11,111,111
0000
??
??
ijij Aa?
(5.1)
第一章
工 程 数 学
为此考虑特殊情形
nn
nnnnnn
nn
nn
a
aaaa
aaaa
aaaa
000
,11,12,11,1
21,22221
11,11211
?
?
?????
?
?
?????
?
?
nnnn Aa? (5.2)
第一章
工 程 数 学
将上式左端表为
? ? ? ?? ? nnjjjjjj aaan ?? 221 211 1 ?
? ? ? ?? ??? nnjnjjjjj aaaa nn 12
1
21,1211 ??? nnnn Aa?
这就是 (5.2) 式,
(5.3)
其中只有 jn=n 时,
对所有 n 级排列,j1 j2 … jn?1 n求和就是对 n?1
级排列是 j1 j2 … jn?1 求和,且显然 ?? (j1 j2 … jn?1n )
= ? (j1 j2 … jn?1),故 (5.3) 式即为
nnja
才不会为零,这时和式
第一章
工 程 数 学
接下来将 (5.1)式左端的行列式的第 i 行
依次与其下面相邻的行对换,经 n?i 次对换后
换到第 n 行,然后再将第 j 列依次与其右边相
邻的列对换,经 n?j 次对换后换到第 n 列,这
时 aij 换到右下角的位置,由性质 2,式 (5.1)
左端的行列式等于
第一章
工 程 数 学
? ?? ? ? ?jnin ???? 1
0000
,1,11,11,11,1
,1,11,11,11,1
111,11,111
ij
jinijijii
jinijijii
jnjj
a
aaaaa
aaaaa
aaaaa
??
???????
??
??
???????
??
???????
???????
??
第一章
工 程 数 学
由于经上述行列互换, 除第 i 行与第 j 列
元素外, 其它各行各列元素相对位置都没有改
变, 故上面行列式左上角的 n ? 1 阶行列式即
为 aij 的余子式 Mij,由 (5.2) 式得 (5.1) 式左端
的行列式为
? ?? ? ? ? ijijjnin Ma???? 1
? ?? ? ijijji Ma??? 1 ijij Aa?
于是 (5.1)式得证
第一章
工 程 数 学
下面证明定理,先把 D 写成如下形式,并
利用行列式性质 5 及 (5.1) 式有
0000000
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
???????????
第一章
工 程 数 学
00 00
21
2
11211
21
1
11211
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?
?
??
00
21
11211
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
??
?
??
?
? ??
第一章
工 程 数 学
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
ikik
n
k
Aa?
?
?
1
类似地按列证明便得
? ?njAaD kjkj
n
k
?,2,1
1
?? ?
?
第一章
工 程 数 学
Laplace展开定理又称为行列式按行 (列 )
展开的法则, 利用这一法则并结合行列式的
性质,可把高阶行列式的计算化为低阶行列式
的计算,从而简化计算,
第一章
工 程 数 学
例 4,用 Laplace展开定理解例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
c1?2c3
c4+c3
0355
0100
13111
1115
??
??
?
第一章
工 程 数 学
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
21 rr ?
)5(3 ??r
11 26 )1()5( 31 ????? ?
? ? 4085 ?????
011
026
115
5 ??
055
026
115
??
?
第一章
工 程 数 学
例 5,计算 n 阶行列式
00
00
00
ab
ba
ba
?
?????
?
?
第一章
工 程 数 学
解, 将其直接按第一列展开,得
00
00
00
ab
ba
ba
?
?????
?
?
000
00
00
a
ba
ba
a
?
?????
?
?
?
00
0
00
)1(
1
b
ba
b
b
n
?
????
?
?
?
??
? ? 111 1 ??? ?????? nnn bbaa ? ? nnn ba ???? ? 11
第一章
工 程 数 学
例 6.计算 n 阶行列式
222
2322
2222
2221
n?
?????
?
?
?
第一章
工 程 数 学
解,
222
2322
2222
2221
n?
??
?
?
?
2000
0100
2222
0001
2
?
?
?
n
rr i
?
??
?
?
?
(i?2)
? ?
200
010
222
1
?
??
n?
??
?
?
? ? ? ?22121 ???????? n?? ? ! 22 ???? n
第一章
工 程 数 学
例 7.证明范德蒙 (Vandermonde) 行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
??
?
?
?
)(
1 jinij
xx ?? ?
???
其中 n ? 2,? 称为连乘号,这里表示所有可能的
xi ? xj (1? j < i ? n)的乘积,
第一章
工 程 数 学
证, 用数学归纳法,当 n = 2 时
12
12
2
11
xx
xx
D ???
结论正确,
假设对于 n?1 阶范德蒙行列式结论正确,
现在来证 n 阶的情形, 设法将 Dn 降阶,为此,从
第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1倍,得
第一章
工 程 数 学
)()(0
)()(0
0
111
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
D
n
n
n
n
nn
n
n
??
??
??
?
??
?
????
?
?
?
)()(
)()(
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
??
??
??
?
??
?
???
?
?
第一章
工 程 数 学
? ? ? ?
? ? ? ?
1
2
12
2
2
1122
112
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
n
n
n
n
nn
n
??
??
??
?
??
?
???
?
?
? ? ? ?
11
22
2
2
112
??
???
n
n
n
n
n
xx
xx
xxxx
?
?
?
?
?
第一章
工 程 数 学
上式右端的行列式为 n?1 阶范德蒙行列式,
于是由归纳假设有
? ? ? ?ji
nij
nn xxxxxxD ???? ?
???2
112 )( ?
? ?ji
nij
xx ?? ?
???1
第一章
工 程 数 学
例 8,求四阶行列式
1111
3333
2222
tzyx
tzyx
tzyx
解, 此为四阶范德蒙行列式,于是
原式 = ? ?? ?? ? ? ?? ?ztytyzxtxzxy ?????? )(
第一章
工 程 数 学
关于代数余子式,还有下列定理
行列式的任一行 (列 )的所有元素与另
一行 (列 )的对应元素的代数余子式乘
积之各等于零,
02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
或 0
2211 ???? njnijiji AaAaAa ?
定理 2
即
( i?j )
第一章
工 程 数 学
*证, 作行列式 ( i? j)
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
?
??
?
??
?
??
?
21
21
21
11211
第 i 行
第 j 行
第一章
工 程 数 学
则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同
外,其余各行均与 D 的对应元素相同, 由于
第 i 行与第 j 行各元素对应相同,故上行列
式为零,将其第 j 行展开可得
02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
02211 ???? njnijiji AaAaAa ?
类似地,有
第一章
工 程 数 学
例 9,设行列式为
23145
70213
11976
1111
?
求,
24232221 AAAA ??? 其中 Aij 为元素 aij
的代数余子式,
第一章
工 程 数 学
解,由定理 2 可知
24232221 1111 AAAA ????????
24232221 AAAA ???
2414231322122111 AaAaAaAa ????
0?
第一章
工 程 数 学
§ 4 克莱姆法则
有了 n 阶行列式 概念后, 可以把解二
元一次方程组的克莱姆法则加以推广 。
第一章
工 程 数 学
(克莱姆法则 ) 设 n 个变量 n 个方程
的线性方程组为
11212111 bxaxaxa nn ???? ?
22222121 bxaxaxa nn ???? ?
nnnnnn bxaxaxa ???? ?2211
(4.1)
………………
定理 1
第一章
工 程 数 学
如果系数行列式
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
? 0?
则方程组 (4.1)有唯一解,且解可表示为
,11 DDx ?,22 DDx ?,? D
Dx n
n ?
第一章
工 程 数 学
其中 Di ( i = 1,2,?,n)是用常数项 b1,b2,…,bn代
替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式,即
nninninn
nii
i
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
1,1,1
11,111,111
??
??
?
i=(1,2,…,n )
第一章
工 程 数 学
*证, 用行列式 D 的第 i 列各元素的代数余子式
A1i,A2i,…,Ani 分别乘以方程组 (4.1) 的第 1
个,第 2个,…,第 n个方程后相加得,
ikikn
n
k
kik
n
k
kik
n
k
xAaxAaxAa ??
?
?
???
?
????
?
?
???
?
???
?
?
???
?
???
??? 1
22
1
11
1
?
kik
n
k
Ab?
?
?
1
第一章
工 程 数 学
利用定理 3.1及 3.2可得
Dxi=Di (i=1,2,…,n)
从而当 D ? 0时方程组 (4.1)有唯一解
,11 DDx ?,22
D
Dx ?
D
Dx n
n ?
…,
第一章
工 程 数 学
例 1.求解线性方程组
12 4321 ???? xxxx
12 4321 ???? xxxx
2421 ??? xxx
1431 ??? xxx
第一章
工 程 数 学
解,
1101
1011
1211
2111
?
?
?
?D 10??
1101
1021
1211
2111
1
?
?
?
?D
8??
第一章
工 程 数 学
1111
1021
1211
2111
2
?
?
?D 9??
1101
1211
1111
2111
3
?
?
?D 5??
第一章
工 程 数 学
1101
2011
1211
1111
4
?
?
?D 3??
故
5
4
10
8
1 ??
??x
10
9
2 ?x
2
1
10
5
3 ??
??x
10
3
4 ?x
第一章
工 程 数 学
在方程组 (4.1)中,若 b1=b2=…= bn=0,即
01212111 ???? nn xaxaxa ?
02222121 ???? nn xaxaxa ?
…
02211 ???? nnnnn xaxaxa ?
则称之为齐次线性方程组, 而 (4.1)称为非齐
次的线性方程组, 显然 x1= x2 = … = xn = 0 是
(4.2) 的解 (零解 ).
(4.2)
第一章
工 程 数 学
关于齐次方程组 (4.2) 还有下列结论：
结论 1.若系数行列式 D? 0,则它只有零解,
结论 2,若齐次方程组有非零解, 则必有系数
行列式 D = 0.
