第五章
工 程 数 学
制作：刘金莲
第五章
第五章
工 程 数 学
定义
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
一、直线方程
如果一个非零向量 s 可平移至直线 L
上, 则称 s 平行于 L,记作 s // L.
与直线平行的非零向量称为直线 L 的
方向向量,
第五章
工 程 数 学
思考：
?过一点且与已知直线平行的直线是唯一的,
?两点可确定一条直线,
几何上哪些条件可确定一条直线呢？
第五章
工 程 数 学
1,直线过定点，且方向向量已知，求直线方程
故有
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
(1)
给定空间一点 P0(x0,y0,z0),向量 s = (m,n,
p),则过 P0点以 s 为方向向量的直线 L是唯一确
定的, 设 P(x,y,z)为 L上任意一点，则 P0P // s.
),,,( 0000 zzyyxxPP ????
两向量平行的充要条件是它们的对应分量成比
例，而
第五章
工 程 数 学
一方面, 直线 L 上的点必满足方程 (1)，
反过来, 满足方程 (1)的点 P(x,y,z)必使 P0P // s.
即 P一定在 L上, 因此方程 (1)表示过点 (x0,y0,z0)
且以 s =(m,n,p)为方向向量的直线方程, 称为
直线的 对称式 (点向式 )方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
(1)
第五章
工 程 数 学
在 (1)式中令比例系数为 t,则有
x = x0+mt
y = y0+nt
z = z0+pt
t?R (2)
(2)式称为直线的 参数方程,当 t 取遍每一实数
时,P(x,y,z) 便是直线上的所有点,
第五章
工 程 数 学
注意, 方程 (1)中，当 m,n,p 中有一个或
两个为 0时，应仿照下面的举例来
理解,
例如：当 m=0,n,p?0时，
p
zz
n
yyxx 000
0
?????
理解为
p
zz
n
yy 00 ???
x = x0
第五章
工 程 数 学
当 m = 0,n = 0,p ? 0 时，
p
zzyyxx 000
00
?????
理解为
x = x0
y = y0
第五章
工 程 数 学
如果我们知道直线过两个已知点, 也
就知道了它的方向向量, 则由对称式方程
可求直线方程,
2,直线过两点，求直线方程
第五章
工 程 数 学
例 1.设一条直线过 M1(1,2,1),M2(2,?1,3)两
点，求此直线方程,
解,21 MMS ? =(2?1,?1 ?2,3?1)
故
z
zyx 1
3
2
1
1 ??
?
??? 为所求直线方程,
=(1,?3,2)
第五章
工 程 数 学
定义
二、平面方程
如果某非零向量 ? 与平面 ? 内不共
线的两向量垂直, 则称 ? 垂直于 ?, 记
作 ? ??,称垂直于平面的非零向量为该
平面的 法向量,
第五章
工 程 数 学
?过一点，与已知直线垂直的平面是唯一的,
?不在同一直线上的三点可确定一个平面,
?过定直线与直线外一点的平面是唯一的,
几何上，哪些条件可确定一个平面呢？
?M0
l0
? ? ?A BC ?M0
l0
思考：
第五章
工 程 数 学
1,点法式方程
设 M0(x0,y0,z0) 为平面 ? 上一点，它的
一个法向量为 n=(A,B,C),则 M0 和 n 便唯一
确定了平面 ?,下面来求 ? 的方程,
设 M(x,y,z) 为 ? 上任意一点，则
M0M=(x?x0,y ?y0,z ?z0),且 M0M ?n.
第五章
工 程 数 学
A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0 (3)
称 (3)为平面的 点法式方程,
M0M?n ? M0M?n=0因为
所以,平面的方程为
? A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0,
第五章
工 程 数 学
2,平面的三点式方程
设平面 ? 由三点 M1(x1,y1,z1),
M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 确定, 又设
M(x,y,z)为平面 ?上任意一点, 则三向
量 M1M,M1M2,M1M3共面, 故
0)( 31211 ??? MMMMMM
第五章
工 程 数 学
将混合积展开可得平面的 三点式方程 为
0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx (4)
特别地，当平面过点 A(a,0,0),B(0,b,0),
C(0,0,c)时,有
0
0
0 ?
?
?
?
ca
ba
zyax
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工 程 数 学
即 bcx + acy + abz = abc
当 abc ? 0 时,上式改写为
1??? czbyax
(5)
a b
c
x
y
z(5)式称为平面的 截距式方程,
第五章
工 程 数 学
3,平面的一般方程
从 (3)(4)(5)式看出，平面方程都可写成一
个关于 x,y,z 的三元一次方程：
Ax+By+Cz+D = 0 (6)
的形式,称 (6)式为平面的一般方程,每一平面
都对应着一个三元一次方程, 任意的关于 x,y,
z的三元一次方程在几何上表示一张平面,
第五章
工 程 数 学
特别地, 三元一次方程中系数 A,B,C,D
中有些为 0 时，表示一些特殊平面,
?当 D=0时，平面过原点
? 当 A=0时，平面法向量 n=(0,B,C),由于
n?i=0,故 n与 x 轴垂直，从而平面平行于 x 轴,
?A=B=0时，平面法向 n=(0,0,C),n // k,
即 n 垂直于 xOy 面，因而平面与 xOy 面平行,
其他情形可类似考虑,
第五章
工 程 数 学
2x?3y+4z=0 表示一个法向量为 n=(2,?3,4)
且过原点的平面 ;
x+y=1 是一张与 oz 轴平行的平面 ;
y=1 是平行于 xoz 面的平面,
例如，
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工 程 数 学
例 2.求平行于向量 a=(1,0,2),b=(3,?1,1)并经
过原点的平面方程,
解,设平面的法向量为 n,由于 n?a,n?b,则
n=a?b
113
201
?
?
kji
jki 52 ???
又因为平面过原点，故所求平面方程为
2x ?y+5z=0
第五章
工 程 数 学
例 3.求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
解 1,因 M1M2=(?3,4,?6),M1M3=(?2,3,?1),
所以平面的法向量 n=M1M2?M1M3; 即
132
643
??
???
kji
n kji ??? 914
由平面的点法式方程得所求平面方程为：
14(x?2)+9(y+1) ?(z?4)=0
即 14x+9y?z?15=0
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工 程 数 学
解 2,设 M=(x,y,z)为平面上一点
由 0),,(
31211 ?MMMMMM
得 0
132
643
412
?
?
??
??? zyx
即 14x+9y?z?15=0
第五章
工 程 数 学
4,直线作为平面的交线
我们知道，两平面若相交，其交线是一
条直线,
?1,A1x+Bly+C1z+D1=0
?2,A2x+B2y+C2z+D2=0
设两平面 ?1,?2 的方程分别为：
第五章
工 程 数 学
则方程组
A1x+Bly+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
(6)
就是两平面 ?1,?2的交线 L 的方程，称 (6)式
为空间直线的 一般方程,
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工 程 数 学
例 4.用对称式方程和参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0
2x ? y + 3z + 4 = 0
解,两平面法向量分别为 n1=(1,1,1),n2=(2,?1,3).
设直线方向向量为 s,则 s?n1,s ?n2,因此有
s = n1 ? n2
312
111
?
?
kji
kji 34 ???
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工 程 数 学
取 x0=1 代入方程组得
y + z = ?2
? y + 3z = ? 6
解之得 y0=0,z0= ?2,所以 (1,0,?2)是直线上的
点，故直线的对称式方程为：
3
2
14
1
?
??
??
? zyx
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工 程 数 学
直线的参数方程为
x = 1+4t,
y = ? t,
z = ?2 ?3t,
t?R,
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工 程 数 学
定义
三、直线与平面的位置关系
1,两直线的夹角
两直线的方向向量之间所夹的 锐角 定义
为 两直线的夹角,
?
L1 L
2
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设直线 L1 和 L2 的方向向量分别为
?由 s
1?s2= |s1| | s2 | cos (s1,s2) 易知两直线夹
角可由下面的 (7)式求出,
s1= (m1,n1,p1),s2= (m2,n2,p2),
第五章
工 程 数 学
定理 1
直线 L1与 L2 的夹角为
||||
||a r c c o s
21
21
SS
SS
?
???
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||a r c c o s
pnmpnm
ppnnmm
?????
??? (7)
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工 程 数 学
特别地,当
L1?L2? s1 ? s2 ? m1m2 +n1 n2 +p1 p2=0
L1//L2 ? s1 // s2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
时，2?? ?
L1?L2,
? = 0 时, L1//L2
因此，
第五章
工 程 数 学
定义
2,两平面之间的夹角
两平面的法向量之间所夹角的 锐角 定义
为 两平面的夹角,
设两平面 ?1,?2 的法向量分别为
n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),由两向量
的夹角计算公式及两平面夹角定义可得
两平夹角计算公式,
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工 程 数 学
定理
两平面夹角为：
||||
||a r c c o s
21
21
nn
nn ???
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
????
??? (10)
? 2
? 1
?
? ?
n2 n1
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工 程 数 学
特别地,两平面 ?1 与 ?2 垂直与平行的充
要条件分别为：
?1? ?2 ? n1 ? n2 ? A1A2 +B1B2 +C1 C2 = 0
? 1//?2 ? n1 // n2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
(11)
(12)
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工 程 数 学
3,直线与平面的夹角
设有平面 ?,直线 L,过直线 L 作垂直于
?的平面 ?1,?与 ?1 的交线 L1 称为 L 在平面 ?
上的 投影直线,
L
?
? 1
L1
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工 程 数 学
定义
直线 L 与其在平面 ? 上的投影直线 L1 的
夹角 ?称为直线 L 与平面 ? 的夹角,
L
?
?1
L1?
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工 程 数 学
设 L的方向向量为 s = (m,n,p),平面 ? 的
法向量为 n = (A,B,C),则 s 与 n 的夹角 ? 满足
||||c o s sn
sn ???
L 与其投影直线 L1之夹角 ? 同 ? 之间有如下关系
??? ?? 2
L1
Ln
? ?
?
)2( ??? ＋或 ?
n
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工 程 数 学
定理
因此 ? |c o s| ?,sin? 从而
,|||| ||s in sn sn ???
由此得如下结论：
||||
||a r c s in
sn
sn ???
直线 L 与平面 ? 的夹角为：
222222
||a r c s in
pnmCBA
CpBmAm
?????
???
(13)
第五章
工 程 数 学
特别地,当 ?= 0时,直线与平面平行，当
L ?? ? s // n ?
L //? ? s? n ? 0??? CpBnAm
(14)
(15)
时，2?? ?
直线与平面垂直,
p
C
n
B
m
A ??
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工 程 数 学
四、点到平面、点到直线的距离
1,点到平面的距离
设平面 ? 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,
M0(x0,y0,z0)是平面外一点, 任取平面上一点
M(x,y,z),则 MM0=(x0?x,y0 ?y,z0 ?z),点 M0
到平面 ? 的距离 d 就是 MM0 在平面 ?的法向量
n 上的投影的绝对值, 即
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工 程 数 学
||
|| 0
n
MMnd ??
222
000 |)()()(|
CBA
zzCyyBxxA
??
??????
而 M(x,y,z)是平面 ? 上一点，因此 Ax+By+Cz+D=0,
从而
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
??
???? (16)
? M
M0
n
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例如，点 (1,2,3)到平面 2x?3y+z ?4=0 的
距离为
222 1)3(2
|432312|
???
??????d,
14
5?
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工 程 数 学
2,点到直线的距离
例, 求点 (1,2,1)到直线
1
4
1
3
2
2 ????? zyx
的距离,
解,以 L 的方向向量为法向量作过 p0(1,2,1)
的平面 ?,
2(x?1)+(y ?2)+z ?1=0
即 2x+y+z?5=0 ?p0
? p1
L
?
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工 程 数 学
下面求出 L 与平面 ? 的交点 p1,
将 L 的参数方程
x = 2 + 2t
y = 3 + t
z = 4 + t
代入平面方程得 t = ?1,从而得交点 p1(0,2,3),
从而两点 p0 与 p1 的距离
520)1( || 2221 ?????pp
为所求点到直线距离,
?p0 ? p1
L
?
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工 程 数 学
因此
|||| 01 sMMds ???
故
||
|| 01
s
sMMd ??
?
?
M0
M1
d
s L
设直线外一点 M0 到直线 L的距离为 d,在
L 上取一点 M1,
|| 01 sMM ? 是以 MM0,s为邻边
的平行四边形的面积,
第五章
工 程 数 学
本节小结
空间平面
一般形式：
法点式：
截距式：
Ax+By+Cz+D=0.
.1??? rzqypx
00 ?? MMn
即 A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0
空间
直线
交面式
对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 )：
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
x = x0 + mt,
y = y0 + nt,
z = z0 + pt ;
即,0010 ?? MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
A1x+Bly+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影：
过直线的平面束中的垂直于已知平面
的平面与已知平面的交线 (交面式 ).
s1,s2 间夹角
n1,n2 间夹角
与 s1,n 间夹角互余
数量积
向量积
平行
相交
垂直
点到直线的距离
点到平面的距离
||
|| 0
s
sMMd ??
Ax+By+Cz+D=0
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
??
????
?
d
M
l
sM0
M0?
M1 n ??
n=(A,B,C)
作业,P134 2(2),(4),(6);
4；
5；
7;
11;
工 程 数 学
制作：刘金莲
第五章
第五章
工 程 数 学
定义
§ 4 三维欧氏空间中直线和平面方程
一、直线方程
如果一个非零向量 s 可平移至直线 L
上, 则称 s 平行于 L,记作 s // L.
与直线平行的非零向量称为直线 L 的
方向向量,
第五章
工 程 数 学
思考：
?过一点且与已知直线平行的直线是唯一的,
?两点可确定一条直线,
几何上哪些条件可确定一条直线呢？
第五章
工 程 数 学
1,直线过定点，且方向向量已知，求直线方程
故有
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
(1)
给定空间一点 P0(x0,y0,z0),向量 s = (m,n,
p),则过 P0点以 s 为方向向量的直线 L是唯一确
定的, 设 P(x,y,z)为 L上任意一点，则 P0P // s.
),,,( 0000 zzyyxxPP ????
两向量平行的充要条件是它们的对应分量成比
例，而
第五章
工 程 数 学
一方面, 直线 L 上的点必满足方程 (1)，
反过来, 满足方程 (1)的点 P(x,y,z)必使 P0P // s.
即 P一定在 L上, 因此方程 (1)表示过点 (x0,y0,z0)
且以 s =(m,n,p)为方向向量的直线方程, 称为
直线的 对称式 (点向式 )方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
(1)
第五章
工 程 数 学
在 (1)式中令比例系数为 t,则有
x = x0+mt
y = y0+nt
z = z0+pt
t?R (2)
(2)式称为直线的 参数方程,当 t 取遍每一实数
时,P(x,y,z) 便是直线上的所有点,
第五章
工 程 数 学
注意, 方程 (1)中，当 m,n,p 中有一个或
两个为 0时，应仿照下面的举例来
理解,
例如：当 m=0,n,p?0时，
p
zz
n
yyxx 000
0
?????
理解为
p
zz
n
yy 00 ???
x = x0
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当 m = 0,n = 0,p ? 0 时，
p
zzyyxx 000
00
?????
理解为
x = x0
y = y0
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如果我们知道直线过两个已知点, 也
就知道了它的方向向量, 则由对称式方程
可求直线方程,
2,直线过两点，求直线方程
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例 1.设一条直线过 M1(1,2,1),M2(2,?1,3)两
点，求此直线方程,
解,21 MMS ? =(2?1,?1 ?2,3?1)
故
z
zyx 1
3
2
1
1 ??
?
??? 为所求直线方程,
=(1,?3,2)
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定义
二、平面方程
如果某非零向量 ? 与平面 ? 内不共
线的两向量垂直, 则称 ? 垂直于 ?, 记
作 ? ??,称垂直于平面的非零向量为该
平面的 法向量,
第五章
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?过一点，与已知直线垂直的平面是唯一的,
?不在同一直线上的三点可确定一个平面,
?过定直线与直线外一点的平面是唯一的,
几何上，哪些条件可确定一个平面呢？
?M0
l0
? ? ?A BC ?M0
l0
思考：
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1,点法式方程
设 M0(x0,y0,z0) 为平面 ? 上一点，它的
一个法向量为 n=(A,B,C),则 M0 和 n 便唯一
确定了平面 ?,下面来求 ? 的方程,
设 M(x,y,z) 为 ? 上任意一点，则
M0M=(x?x0,y ?y0,z ?z0),且 M0M ?n.
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A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0 (3)
称 (3)为平面的 点法式方程,
M0M?n ? M0M?n=0因为
所以,平面的方程为
? A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0,
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2,平面的三点式方程
设平面 ? 由三点 M1(x1,y1,z1),
M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) 确定, 又设
M(x,y,z)为平面 ?上任意一点, 则三向
量 M1M,M1M2,M1M3共面, 故
0)( 31211 ??? MMMMMM
第五章
工 程 数 学
将混合积展开可得平面的 三点式方程 为
0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx (4)
特别地，当平面过点 A(a,0,0),B(0,b,0),
C(0,0,c)时,有
0
0
0 ?
?
?
?
ca
ba
zyax
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即 bcx + acy + abz = abc
当 abc ? 0 时,上式改写为
1??? czbyax
(5)
a b
c
x
y
z(5)式称为平面的 截距式方程,
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工 程 数 学
3,平面的一般方程
从 (3)(4)(5)式看出，平面方程都可写成一
个关于 x,y,z 的三元一次方程：
Ax+By+Cz+D = 0 (6)
的形式,称 (6)式为平面的一般方程,每一平面
都对应着一个三元一次方程, 任意的关于 x,y,
z的三元一次方程在几何上表示一张平面,
第五章
工 程 数 学
特别地, 三元一次方程中系数 A,B,C,D
中有些为 0 时，表示一些特殊平面,
?当 D=0时，平面过原点
? 当 A=0时，平面法向量 n=(0,B,C),由于
n?i=0,故 n与 x 轴垂直，从而平面平行于 x 轴,
?A=B=0时，平面法向 n=(0,0,C),n // k,
即 n 垂直于 xOy 面，因而平面与 xOy 面平行,
其他情形可类似考虑,
第五章
工 程 数 学
2x?3y+4z=0 表示一个法向量为 n=(2,?3,4)
且过原点的平面 ;
x+y=1 是一张与 oz 轴平行的平面 ;
y=1 是平行于 xoz 面的平面,
例如，
第五章
工 程 数 学
例 2.求平行于向量 a=(1,0,2),b=(3,?1,1)并经
过原点的平面方程,
解,设平面的法向量为 n,由于 n?a,n?b,则
n=a?b
113
201
?
?
kji
jki 52 ???
又因为平面过原点，故所求平面方程为
2x ?y+5z=0
第五章
工 程 数 学
例 3.求过点 M1(2,?1,4),M2(?1,3,?2) 和
M3(0,2,3) 的平面方程,
解 1,因 M1M2=(?3,4,?6),M1M3=(?2,3,?1),
所以平面的法向量 n=M1M2?M1M3; 即
132
643
??
???
kji
n kji ??? 914
由平面的点法式方程得所求平面方程为：
14(x?2)+9(y+1) ?(z?4)=0
即 14x+9y?z?15=0
第五章
工 程 数 学
解 2,设 M=(x,y,z)为平面上一点
由 0),,(
31211 ?MMMMMM
得 0
132
643
412
?
?
??
??? zyx
即 14x+9y?z?15=0
第五章
工 程 数 学
4,直线作为平面的交线
我们知道，两平面若相交，其交线是一
条直线,
?1,A1x+Bly+C1z+D1=0
?2,A2x+B2y+C2z+D2=0
设两平面 ?1,?2 的方程分别为：
第五章
工 程 数 学
则方程组
A1x+Bly+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
(6)
就是两平面 ?1,?2的交线 L 的方程，称 (6)式
为空间直线的 一般方程,
第五章
工 程 数 学
例 4.用对称式方程和参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0
2x ? y + 3z + 4 = 0
解,两平面法向量分别为 n1=(1,1,1),n2=(2,?1,3).
设直线方向向量为 s,则 s?n1,s ?n2,因此有
s = n1 ? n2
312
111
?
?
kji
kji 34 ???
第五章
工 程 数 学
取 x0=1 代入方程组得
y + z = ?2
? y + 3z = ? 6
解之得 y0=0,z0= ?2,所以 (1,0,?2)是直线上的
点，故直线的对称式方程为：
3
2
14
1
?
??
??
? zyx
第五章
工 程 数 学
直线的参数方程为
x = 1+4t,
y = ? t,
z = ?2 ?3t,
t?R,
第五章
工 程 数 学
定义
三、直线与平面的位置关系
1,两直线的夹角
两直线的方向向量之间所夹的 锐角 定义
为 两直线的夹角,
?
L1 L
2
第五章
工 程 数 学
设直线 L1 和 L2 的方向向量分别为
?由 s
1?s2= |s1| | s2 | cos (s1,s2) 易知两直线夹
角可由下面的 (7)式求出,
s1= (m1,n1,p1),s2= (m2,n2,p2),
第五章
工 程 数 学
定理 1
直线 L1与 L2 的夹角为
||||
||a r c c o s
21
21
SS
SS
?
???
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||a r c c o s
pnmpnm
ppnnmm
?????
??? (7)
第五章
工 程 数 学
特别地,当
L1?L2? s1 ? s2 ? m1m2 +n1 n2 +p1 p2=0
L1//L2 ? s1 // s2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
时，2?? ?
L1?L2,
? = 0 时, L1//L2
因此，
第五章
工 程 数 学
定义
2,两平面之间的夹角
两平面的法向量之间所夹角的 锐角 定义
为 两平面的夹角,
设两平面 ?1,?2 的法向量分别为
n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),由两向量
的夹角计算公式及两平面夹角定义可得
两平夹角计算公式,
第五章
工 程 数 学
定理
两平面夹角为：
||||
||a r c c o s
21
21
nn
nn ???
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
????
??? (10)
? 2
? 1
?
? ?
n2 n1
第五章
工 程 数 学
特别地,两平面 ?1 与 ?2 垂直与平行的充
要条件分别为：
?1? ?2 ? n1 ? n2 ? A1A2 +B1B2 +C1 C2 = 0
? 1//?2 ? n1 // n2 ?
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ??
(11)
(12)
第五章
工 程 数 学
3,直线与平面的夹角
设有平面 ?,直线 L,过直线 L 作垂直于
?的平面 ?1,?与 ?1 的交线 L1 称为 L 在平面 ?
上的 投影直线,
L
?
? 1
L1
第五章
工 程 数 学
定义
直线 L 与其在平面 ? 上的投影直线 L1 的
夹角 ?称为直线 L 与平面 ? 的夹角,
L
?
?1
L1?
第五章
工 程 数 学
设 L的方向向量为 s = (m,n,p),平面 ? 的
法向量为 n = (A,B,C),则 s 与 n 的夹角 ? 满足
||||c o s sn
sn ???
L 与其投影直线 L1之夹角 ? 同 ? 之间有如下关系
??? ?? 2
L1
Ln
? ?
?
)2( ??? ＋或 ?
n
第五章
工 程 数 学
定理
因此 ? |c o s| ?,sin? 从而
,|||| ||s in sn sn ???
由此得如下结论：
||||
||a r c s in
sn
sn ???
直线 L 与平面 ? 的夹角为：
222222
||a r c s in
pnmCBA
CpBmAm
?????
???
(13)
第五章
工 程 数 学
特别地,当 ?= 0时,直线与平面平行，当
L ?? ? s // n ?
L //? ? s? n ? 0??? CpBnAm
(14)
(15)
时，2?? ?
直线与平面垂直,
p
C
n
B
m
A ??
第五章
工 程 数 学
四、点到平面、点到直线的距离
1,点到平面的距离
设平面 ? 的方程为 Ax+By+Cz+D=0,
M0(x0,y0,z0)是平面外一点, 任取平面上一点
M(x,y,z),则 MM0=(x0?x,y0 ?y,z0 ?z),点 M0
到平面 ? 的距离 d 就是 MM0 在平面 ?的法向量
n 上的投影的绝对值, 即
第五章
工 程 数 学
||
|| 0
n
MMnd ??
222
000 |)()()(|
CBA
zzCyyBxxA
??
??????
而 M(x,y,z)是平面 ? 上一点，因此 Ax+By+Cz+D=0,
从而
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
??
???? (16)
? M
M0
n
第五章
工 程 数 学
例如，点 (1,2,3)到平面 2x?3y+z ?4=0 的
距离为
222 1)3(2
|432312|
???
??????d,
14
5?
第五章
工 程 数 学
2,点到直线的距离
例, 求点 (1,2,1)到直线
1
4
1
3
2
2 ????? zyx
的距离,
解,以 L 的方向向量为法向量作过 p0(1,2,1)
的平面 ?,
2(x?1)+(y ?2)+z ?1=0
即 2x+y+z?5=0 ?p0
? p1
L
?
第五章
工 程 数 学
下面求出 L 与平面 ? 的交点 p1,
将 L 的参数方程
x = 2 + 2t
y = 3 + t
z = 4 + t
代入平面方程得 t = ?1,从而得交点 p1(0,2,3),
从而两点 p0 与 p1 的距离
520)1( || 2221 ?????pp
为所求点到直线距离,
?p0 ? p1
L
?
第五章
工 程 数 学
因此
|||| 01 sMMds ???
故
||
|| 01
s
sMMd ??
?
?
M0
M1
d
s L
设直线外一点 M0 到直线 L的距离为 d,在
L 上取一点 M1,
|| 01 sMM ? 是以 MM0,s为邻边
的平行四边形的面积,
第五章
工 程 数 学
本节小结
空间平面
一般形式：
法点式：
截距式：
Ax+By+Cz+D=0.
.1??? rzqypx
00 ?? MMn
即 A(x?x0)+B(y?y0)+c(z?z0)=0
空间
直线
交面式
对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 )：
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
x = x0 + mt,
y = y0 + nt,
z = z0 + pt ;
即,0010 ?? MMMM
.
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
A1x+Bly+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
直线间夹角：
平面间夹角：
直线与平面间夹角：
直线在平面上的投影：
过直线的平面束中的垂直于已知平面
的平面与已知平面的交线 (交面式 ).
s1,s2 间夹角
n1,n2 间夹角
与 s1,n 间夹角互余
数量积
向量积
平行
相交
垂直
点到直线的距离
点到平面的距离
||
|| 0
s
sMMd ??
Ax+By+Cz+D=0
222
000 ||
CBA
DCzByAxd
??
????
?
d
M
l
sM0
M0?
M1 n ??
n=(A,B,C)
作业,P134 2(2),(4),(6);
4；
5；
7;
11;
