第六章
工 程 数 学
制作：刘金莲
x
y
z ( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章
第六章
工 程 数 学
本章主要讨论如下几个方面：
1) 线性变换的概念；
2) 线性变换和矩阵；
3) 线性变换的特征值与特征向量,
本章中如不特别申明，所考虑的数域都
是指实数域,
第六章
工 程 数 学
定义 1
§ 1 线性变换的概念
一、线性变换的概念
设 ? 是向量空间 V 到 其自身的一个映射，
如果 ? 满足,
1) ?(?+?) = ? (?)+ ? (? ),
2) ? (k?) = k? ( ? ),
其中 ?,?为 V中任意向量, k为任意实数
?有上面的性质也说成 ?保持向量的线性运算,
则称 ?是 V 的一个线性变换, ? (?)称为 ?在 ?下
的象，也可记为 ??,
第六章
工 程 数 学
(1) 向量空间中变换的写法
?, (x,y)?(x+y,x?y),(x,y) ? R2
? (x,y)=(x+y,x?y),(x,y) ? R2
注
第六章
工 程 数 学
注
(2)
)()()( 2121 ??????? kkkk ???
可简写成
? (?+?)= ? (?)+ ? (? ),
? (k?)= k? ( ? ),
第六章
工 程 数 学
例 1.R3 中 ? ( x,y,z) = (x,y,0) 是线性变换,
事实上,设 ? = ( x1,y1,z1),? =( x2,y2,z2)
? (? + ? ) = ? ( x1+ x2,y1 + y2,z1+ z2 )
= ( x1+ x2,y1 + y2,0 )
= ( x1,y1,0) +( x2,y2,0)
= ? (? ) + ? ( ? )
第六章
工 程 数 学
? (k? ) = ? (k x1,k y1,kz1 )
= ( k x1,k y1,0 )
= k (x1,y1,0 )
= k ? ( ? )
故 ? ( x,y,z) = (x,y,0) 是 R3 中线性变换，称
之为 R3 中向 xOy 面的投影变换,
x
y
z
( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章
工 程 数 学
例 2 在 R2 中，设 0≤ ? <2?,令
?,(x,y)? (x cos??ysin?,xsin? + ycos? )
则 ?是 R2 的一个线性变换,
称线性变换 ? 是绕
原点按逆时针方向旋转
?角的旋转变换,
x
y ( x,y)
0
?
第六章
工 程 数 学
事实上，由
? ((x,y)+(x1,y1))=? (x+x1,y+y1)
)]co s)(s i n)(,s i n)(co s)[( 1111 ???? yyxxyyxx ???????
)c o ss i n,s i nc o s( ???? yxyx ???
),(),( 11 yxyx ?? ??
)co ss i n,s i nco s( 1111 ???? yxyx ???
第六章
工 程 数 学
),()),(( kykxyxk ?? ?
)c o ss i n,s i nc o s( ???? kykxkykx ???
)c o ss i n,s i nc o s( ???? yxyxk ???
),( yxk??
故 ?是线性变换,
第六章
工 程 数 学
例 3向量空间 V 中,
?,?? ?,???V
?,?? 0,???V
显然 ?,? 都是线性变换, 分别称为 恒等变换 和
零变换,恒等变换记为 I, 零变换记为 0，即
I (?)= ?,0(?)=0.
第六章
工 程 数 学
例 4.R2中 ? ( x,y) = (x y,0),?是否是线性变换?
解,?(( x,y)+(x1,y1))
=( ( x+x1)( y+y1),0)
= ( xy,0 )+( x1y1,0 ) + (x1y,0)+(xy1,0 )
= ? ( x+x1,y+y1)
= ? ( x,y)+ ?( x1,y1) + (x1y,0)+(xy1,0 )
?? ( x,y)+ ?( x1,y1)
?? ( x,y) = (x y,0)不是线性变换,
第六章
工 程 数 学
例 5,下列变换：
?1:(a1,a2,…,an) ?(a1,0,0,…,0);
?2:(a1,a2,…,an) ?(a1,a2,a3,…,an?1,0);
?3:(a1,a2,…,an) ? k(a1,a2,a3,…,an);
?4:(a1,a2,…,an) ?
),,,(
11
2
1
1 ???
???
n
j
jnj
n
j
jjj
n
j
j ababab ?
其中 (a1,a2,…,an)是任一 n 维向量,bij为取定
实数 i,j=1,…,n,则 ?1,?2,?3,?4 都是 Rn 的线
性变换,
第六章
工 程 数 学
二、线性变换的性质
(1) ?( 0 ) = 0,? ( ?? )= ?? (? )
(2)
)( 2211 sskkk ???? ??? ?
);()()( 2211 sskkk ?????? ???? ?
(3) 若 ?1,?2,…,?s 线性相关，则 ? (?1 ),?
( ?2),…,? ( ?s)也线性相关,
第六章
工 程 数 学
§ 2 线性变换和矩阵
R2 中变换 ? (x,y)=(2x+y,x?3y) 是一个线性变换,
Teeeee )1,2)(,(2)1,2()0,1()( 21211 ????? ??
Teeeee )3,1)(,(3)3,1()1,0()( 21212 ??????? ??
???
?
???
?
?? 31
12),())(),((
2121 eeee ??
第六章
工 程 数 学
一、线性变换的矩阵
设 V 是一个 n 维向量空间,?1,?2,…,?n
是 V 的一组基, 对于 V 的一个线性变换 ?，
? (?1),? (?2),…,? (?n)是 V 中的 n 个向量,
它们能由 V 的基线性表出,
第六章
工 程 数 学
(1)
? (?1)=a11?1+ a21?2 + … an1?n,
? (?2)=a12?1+ a22?2 + … an2?n,
……………
? (?n)=a1n?1+ a2n?2 + … ann?n,
=(? 1,? 2,…,? n )
(? (?1),? (?2),…,? (?n))
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211 A
设
第六章
工 程 数 学
(? (?1),? (?2),…,? (?n) ) = (?1,?2,…,?n )A
称矩阵 A 为线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n 下
的矩阵,
记 ? (?1,?2,…,?n ) = (? (?1),? (?2),…,? (?n) )
则有 ? (?1,?2,…,?n ) = (?1,?2,…,?n )A
第六章
工 程 数 学
因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性
变换 ? 有唯一确定的 n 阶方阵 A 与它对应,
? A
在给定基下
一一对应
第六章
工 程 数 学
例 1.Rn 中恒等变换 I (?) = ? 在每一组基下的
矩阵为 n 阶单位阵,
Rn 中零变换 0(?)=0在任意基下的矩阵为
零矩阵,
例 2.Rn 中线性变换 ? (?) = k?,k?R,?在每
一组基下的矩阵为数量矩阵 kEn,
称线性变换 ? (?) = k?(k?R)为位似变换
第六章
工 程 数 学
例 3.求 R2 中旋转变换
? (x,y)= (xcos??ysin?,xsin? + ycos? )
在标准基 e1=(1,0),e2=(0,1)下的矩阵,
解,?(e1)=(cos?,sin? )=cos? ? e1+sin? ? e2
? (e2)=(?sin?,cos? )= ?sin? ? e1+cos? ? e2
???
?
???
? ??
??
????
c o ss i n
s i nc o s),())(),((
2121 eeee
第六章
工 程 数 学
若设 (x,y)的象 ? (x,y)在 e1,e2下的坐标为 (x',y')
则 x' = xcos? ? ysin?
y' = xsin? + ycos?
???
?
???
?
???
?
???
? ??
???
?
???
?
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
'
'
原象的坐标象的坐标
第六章
工 程 数 学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ??V,? 在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,
x2,…,xn ),设 ? (? )在基 ?1,?2,…,?n下的坐标
为 (y1,y2,…,yn ),则
nnyyy ????? ???? ?2211)(
),,,( 21 n??? ?? (3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
第六章
工 程 数 学
得 )()()()(
2211 nnxxx ???????? ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21 ))(,),(),(( ??????
(4)),,,( 21 n??? ??
由
nnxxx ???? ???? ?2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
A
?
2
1
第六章
工 程 数 学
将 (3)与 (4)比较得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
?
的
坐
标
?(?)
的
坐
标
?
的
矩
阵
第六章
工 程 数 学
定理 1
设 ?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组
基, 线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n 下的矩
阵为 A, 如果 ? 与 ? (? ) 在该基下的坐标
分别为 (x1,x2,…,xn) 和 (y1,y2,…,yn),则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
第六章
工 程 数 学
例 4 设 ? 是 R4 的一个线性变换, 对 ?(x1,x2,x3,
x4)?R4,?(x1,x2,x3,x4)=(2x1+x2,3x1?x3,x3,
x1+x4 ),求 ? 在标准基 ?1,?2,?3,?4下的矩阵,
解,?(?1)= ? (1,0,0,0)=(2,3,0,1)
=2?1+ 3?2+?4
? (?2)= ? (0,1,0,0)=(1,0,0,0) =?1
? (?3)= ? (0,0,1,0)=(0,?1,1,0)=??2 + ?3
? (?4)= ? (0,0,0,1)=(0,0,0,1) =?4
第六章
工 程 数 学
所以 ? 在 ?1,?2,?3,?4下的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1001
0100
0103
0012
A
因为 ))(),(),(),((
4321 ????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1001
0100
0103
0012
),,,( 4321 ????
第六章
工 程 数 学
设 ?1,?2,?,?n 和 ?1,?2,?,?n 是
向量空间 V 的两组基, 线性变 换 ? 在这
两组 基下的矩阵分别为 A 与 B,从基 ?1,
?2,?,?n到基 ?1,?2,?,?n的过渡矩阵是
T,则
三、同一线性变换在不同基下的矩阵
定理 2
B = T ?1AT.
第六章
工 程 数 学
? ?,),,()(),(),( 2121 Ann ????????? ?? ?
证 已知
? ?,),,()(),(),( 2121 Bnn ????????? ?? ?
Tnn ),,,(),,( 2121 ?????? ?? ?
于是 ? ? ),,()(),(),( 2121 nn ?????????? ?? ?
? ? ? ?TT nn ),,,(),,,( 2121 ???????? ?? ??
? ?Tn )(),(),( 21 ?????? ??
ATTn 121 ),,,( ?? ??? ?
即 B=T?1AT
?
?
?
?
? ATn ),,( 21 ??? ??
?
第六章
工 程 数 学
定义 1
设 A,B为两个 n 阶矩阵,如果存在可
逆矩阵 T,使得 B=T?1AT,则称 A 与 B 相似,
记作 A?B.
*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三
个性质,
1,反射性, A?A;
2,对称性, 如果 A?B,则 B?A;
3,传递性, 如果 A?B,B?C,则 A?C.
第六章
工 程 数 学
由定理 2知线性变换在不同基下的矩阵
是相似的 ; 反之,若两矩阵相似,那么它们可
以看作同一线性变换在不同基下的矩阵,
第六章
工 程 数 学
设 B=P?1AP,如果线性变换 ? 在基 ?1,
?2,?,?n下的矩阵为 A,且
则 ? 在基 ?1,?2,?,?n 下的矩阵为 B,
(?1,?2,?,?n) = (?1,?2,?,?n )P
定理 3
第六章
工 程 数 学
? 基 ?1,?2,?,?n下 A
? 基 (?1,?,? n)=(?1,?,?n)P B
B = P?1AP
下
第六章
工 程 数 学
例 2 设 R2 的线性变换 ? 为
?, (x1,x2)? (2x1+ 4x2,?x1),
求 ?在基 ?1=(1,?1),?2 =(?1,2)下的矩阵,
解,?在标准基 ?1,?2下的矩阵为
???
?
???
?
?? 01
42A
而由 ?1,?2 到 ? 1,? 2 的过渡矩阵为
???
?
???
?
?
??
21
11T
第六章
工 程 数 学
那么 ? 在 ? 1,? 2 下的矩阵为
B = T?1AT
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
??
?
?
?
???
?
?
?? ?
21
11
01
12
21
11 1
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
????
?
???
??
21
11
01
12
11
12
???
?
???
?
?
??
73
155
第六章
工 程 数 学
§ 3 特征值与特征向量
给定 n维 向量空间 V 的一个线性变换 ?,
是否存在 V的一组基, 使 ? 在此基下的矩阵为
对角形矩阵？
一个给定的 n 阶方阵, 能否相似于一个
对角形矩阵？
第六章
工 程 数 学
定义 1
一、矩阵的特征值与特征向量
1.矩阵的特征值与特征向量的概念
设 A 是一个 n 阶实矩阵,如果存在实数 ?
和非零的 n 维列向量 ?,使得
??? ?A
那么 ? 称为 A 的一个 特征值,? 称为 A 的
属于特征值 ? 的一个 特征向量,
第六章
工 程 数 学
? 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值
而言的, 一个特征向量不能属于不同的特
征值,
注 意
事实上, 若 A?=? 1?,A?=? 2?,则 ? 1? =? 2?,
即 (? 1?? 2) ? =0,而 ??0,故 ? 1=? 2,
第六章
工 程 数 学
注 意
?属于同一特征值的特征向量是不为唯一的,
事实上, 由 A X= ?0X 得 (A??0E ) X = 0.
解空间中除零向量外，都是 A 的属于 ?0 的
特征向量,
第六章
工 程 数 学
若 ?0 是 A 的特征值，则存在 X?0,使得
A X= ?0X,即
(A??0E )X=0
要上述齐次线性方程组有非零解，则须系数
行列式等于 0,即
|A??0E |=0
定义 2 称 |A??E |= 0 (或 | ?E ? A |= 0)为矩
阵 A 的 特征方程
第六章
工 程 数 学
求 A 的特征值就是求 |A??E | = 0 的全部
实根,对于特征值 ?0,齐次方程 (A??0E) X = 0
的所有非零解，就是 A 的属于 ?0 的特征向量,
易知,上 (下 )三角矩阵、对角矩阵的特征
值就是对角线元素,
2,矩阵的特征值与特征向量的求法
第六章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
122
212
221
A
例 1 求矩阵 的特征值与特征向量,
解, AE ??
122
212
221
???
???
???
?
?
?
?
)5()1( 2 ??? ??
所以 A 的特征值为 ?1(二重 )和 5.
第六章
工 程 数 学
将 ? = ?1代入齐次方程组 (?E?A)X=0得
0222 321 ???? xxx
它的基础解 系 为
,
1
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
0
2X
属于 ?1的全部特征向量为,
2211 XkXk ?,,21 Rkk ?
21,kk 不全为零,
第六章
工 程 数 学
再把特征值 ? = 5代入 (?E?A)X = 0得
0224 321 ??? xxx
0242 321 ???? xxx
0422 321 ???? xxx
它的基础解系为 X=(1,1,1)T.
则属于 5的全部特征向量为 kX.
第六章
工 程 数 学
定理 1
3,矩阵特征值与特征向量的性质
设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 ?1,?2,…,
?n,则
i
n
i
A ??
?
?
1
||
第六章
工 程 数 学
定理 2
若 ? 是矩阵 A 的特征值,X 是 A 属于 ?
的特征向量，则
(1) k?是 kA 的特征值 ( k?R );
(2) ?m 是 Am 的特征值 ( m是正整数 );
(3) 当 A 可逆时,??1是 A?1 的特征值,
且 X 仍是矩阵 kA,Am, A?1分别对应于特
征值 k?,?m, ??1 的特征向量,
第六章
工 程 数 学
证明, (1) 由 AX= ?X 有 (kA)X=(k?)X,
(2) 由 AX= ?X 可得
A (A X) =A (?X )= ?(AX )= ?(?X )
即 A2X= ?2X
重复上述步骤 m?2次,得
即 A m X= ?mX
第六章
工 程 数 学
(3) 当 A 可逆时,| A | ? 0,由定理 1知 ??0
A?1(AX) = A ?1(?X)
因此 A?1X= ? ?1 X
由 AX=?X 可得
X = ? A ?1X
第六章
工 程 数 学
定理 3
矩阵 A 和 AT 的特征值相同,
证明, 因为 (A?? E)T = AT ?? E
所以 | (A?? E)T | = | AT ?? E |
故 A,AT 有完全相同的特征值,
= | A?? E |
第六章
工 程 数 学
定理 4
相似矩阵有相同的特征 值,
证明, 设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B
因为 |?E?B| = | ?P?1P ?P?1AP|=|P?1 (?E?A)P |
= | P?1| · |?E?A | ·| P | =|?E?A |
所以 A 与 B 有相同的特征多项式，它们的特
征值全相同,
第六章
工 程 数 学
例 2,设
.
122
212
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?A
(1) 试求矩阵 A 的特征值；
(2) 利用 (1)小题的结果，求矩阵 E+A?1的
特征值，其中 E 是三阶单位矩阵,
第六章
工 程 数 学
解, 1) 矩阵 A 的特征方程为
122
212
221
||
??
??
???
??
?
?
?
? AE
0)5()1( 2 ???? ??
由此得矩阵 A 的特征值, 1,1,?5.
第六章
工 程 数 学
2) 由于矩阵 A 的特征值为 1,1,?5,可知 A?1的
特征值为 1,1,
,51?;0|| 1 ?? ?AE;0|)()11(| 1 ???? ?AEE;0|)(2| 1 ??? ?AEE
2 是 E+A?1 的特征值,
第六章
工 程 数 学
.0|)(54| 1 ??? ?AEE
于是，矩阵 E+A?1 的特征值为
.54,2,2
0|)51(| 1 ??? ?AE;0|)()151(| 1 ????? ?AEE
第六章
工 程 数 学
定义 3
二, 线性变换的特征值与特征向量
设 ? 是向量空间 V 的一个线性变换,
如果存在实数 ? 和 V 中一非零向量 ?,使
得
???? ?)(
那么 ? 称为 ? 的一个特征值,? 称为 ?
的属于特征值 ? 的一个特征向量,
1,线性变换的特征值与特征向量的概念
第六章
工 程 数 学
定理 5
2、线性变换的特征值与特征向量的求法
设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间 V 上线
性变换 ? 在一组基下的矩阵, 则 ? 是 ? 的
特征值的充要条件是 ?为 A 的特征值,
第六章
工 程 数 学
证明,设 ? 是 ? 的特征值,? 是 ? 属于 ? 的特征
向量, 则有
? (?)= ??
设 V 在基 ?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,即
? (?1,?2,…,?n)= (?1,?2,…,?n)A
(1)
(2)
第六章
工 程 数 学
Xn ))(,),(( 1 ???? ??
设 ? = x1?1+ x2?2+ …+ xn?n
(3)
因 ??0,故 X ? 0
? (? ) = x1 ? (?1 )?1+ x2 ? (?2 )+ …+ xn ? (?n )
=(?1,?2,…,?n)AX (4)
= (?1,?2,…,?n )X
??=(?1,?2,…,?n) ? X
AX= ? X,X ? 0由 ? ( ? )= ?? 得
第六章
工 程 数 学
则 ? (? )= ? (?1,?2,…,?n) X
= (?1,?2,…,?n) AX
= (?1,?2,…,?n) ? X
= ?? ?? 0
令 ?=(?1,?2,…,?n) X
反之，若 AX= ? X,X ? 0,
第六章
工 程 数 学
设 Rn 中线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n下
的矩阵为 A,则
?的特征值 = A 的特征值
? = (?1,?2,…,?n) X
A 的属于 ?0
的特征向量
? 的属于 ?0
的特征向量
第六章
工 程 数 学
求 ?的特征根与特征向量的步骤如下,
(1) 在线性空间 V 中取一组基 ?1,?2,? ?n,写出 ?
在这组基下的矩阵 A;
(2) 求出特征多项式 的全部实根,即求方程
|A??E |=0的根, 它就是 ? 的全部特征值,
(3) 把所有的特征值逐个地代入方程组 (A??E )X=0.
并 解方程组,它的非零解就是属于该特征值的
特征向量在所给基下的坐标,
第六章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
122
212
221
A
例 3 设线性变换 ? 在 V 的基 ?1,?2,?3 下的矩
阵为
求线性变换 ? 的特征值与特征向量,
解, )5()1(||
2 ????? ??? EA
所以 ?的 特征值为 ?1(二重 )和 5.
第六章
工 程 数 学
将特征值 ?1代入齐次方程组 (A??E )X =0,得
它的基础解 系 为,)1,0,1(
1 TX ?? TX )1,1,0(2 ??
因此 ? 的 属于 ?1的两个线性无关的特征向量为
,311 ??? ?? 322 ??? ??
0222 321 ??? xxx
?的 属于 ?1的全部特征向量为,
2211 ?? kk ?
其中 k1,k2 ? R,且 k1,k2不同时为零,
第六章
工 程 数 学
再把特征值 5代入 (A??E )X =0,得
0224 321 ???? xxx
0242 321 ??? xxx
0422 321 ??? xxx
它的基础解系为
.)1,1,1( TX ?
令,221 ???? ??? 则 ?的属于 5的全部特征向
.0,,?? kRkk ?量为
第六章
工 程 数 学
定义 5
定义 4
三、矩阵、线性变换可对角化的条件
如果 n 阶矩阵 A 相似于一对角阵,称
A 可以对角化,
如果向量空间 V 中存在一组基,使 V
的线性变换 ? 在这组基下的矩阵为对角形
矩阵, 则称 ? 可以对角化,
第六章
工 程 数 学
定理 6
1,矩阵可对角化的条件
n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A有 n
个线性无关的特征向量,
证明,先证必要性,
设 A 可对角化,则存在可逆矩阵 P,使
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
APP
?
?
?
?
2
1
1 ??
第六章
工 程 数 学
即 AP = P?
将矩阵 P 按列分块，记第 i 列为 Xi,
因此有
A(X1,X2,…,Xn)=(X1,X2,…,Xn)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
2
1
则 P=(X1,X2,…,Xn).
即 (A X1,A X2,…,A Xn)=(?1X1,?2X2,…,?nXn )
第六章
工 程 数 学
于是 AXi= ?iXi,( i=1,2,…,n )
所以 X1,X2,…,Xn 是 A 分别对应于特征值 ? 1,
? 2,…,? n 的特征向量,
由于 P 可逆，故 X1,X2,…,Xn 是线性无关的,
上述步骤每步可逆，充分性亦成立,
第六章
工 程 数 学
注意
? 若 A 可对角化, 即 A 相似于对角阵 ?,则
? 的主对角元素就是 A 的全部特征值,
?若 A可对角化，则由 A 的 n 个线性无关的
特征向量 X1,X2,…,Xn 可构造 P=(X1,X2,…,
Xn ),使 P?1AP=?,
若不记特征值 ? 排列的顺序，则 ? 是唯
一的，称 ? 为 A 的相似标准形
显然 P 不唯一,
第六章
工 程 数 学
定理 7
推论
矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量
是线性无关的,
若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相
同的特征值，则 A 可对角化,
第六章
工 程 数 学
定理 6'
2,线性变换可对角化的条件
n 维向量空间 V 的线性变换 ? 可对
角化的充要条件是 ? 有 n 个线性无关
的特征向量,
第六章
工 程 数 学
证明, 设 ? 可对角化,则存在 V 的一组基 ?1,?2,
? ?n,使 ? 在此基下的矩阵为对角形矩
阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
Λ
?
?
?
?
2
1
即 ? (?1,?2,…,?n)= (?1,?2,…,?n)?
第六章
工 程 数 学
则 ni
iii ?,2,1,)( ?? ????
反之,如果 ? 有 n 个线性无关的特征向量,
就取它们为基,则 ? 在此基下的矩阵就是对角
形矩阵,
因此 ?1,?2,? ?n 就是 ? 的 n 个线性无关
的特征向量,
第六章
工 程 数 学
例 4,设 3阶矩阵 A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3=3,
对应的特征向量依次为 ?1=(1,1,1)T,
?2=(1,2,4)T,?2=(1,3,9)T,?=(2,?2,1)T求
An ? ( n为自然数 ).
第六章
工 程 数 学
解 一, 将 ? 用 ?1,?2,?3 线性表出
即
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 +3 x3 = 1
x1 + 4x2 +9 x3 = 3
由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3941
1321
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2200
0210
1111
得唯一 解 (2,?2,1),故
.22 321 ???? ???
? = x1?1+ x2?2+ x3?3
第六章
工 程 数 学
)22( 321 ???? ??? nn AA
由于 A?i =?? i,An?i =?in? i,i=1,2,3.
故 An? = 2An? i? An?2+An? 3
= 2 ?1n? i? 2 ?2n?2+ ?1n? 3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
3
1
3
4
2
1
22
1
1
1
2 nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
23
12
1
322
322
322
nn
nn
nn
第六章
工 程 数 学
解二,
,
300
020
001
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? APP
其中,P = [?1,?2,?3],
1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
n
n,
300
020
001
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PP
n
n
n
第六章
工 程 数 学
?? 1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
n
n
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
300
020
001
941
321
111
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
23
13
1
322
322
322
nn
nn
nn
第六章
工 程 数 学
例 5.设矩阵 A 与 B 相似，其中
,
113
22
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? xA,
00
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
y
B
求 (1) x 和 y 的值；
(2) 求可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B,
第六章
工 程 数 学
解, (1) 因为 A~B,故其特征多项相同，即
| ?I?A | = | ?I?B |
(??2) = [?2?(x+1)??(x?2) ]
=(?+1) (??2)(??y)
令 ? =0,得 2(x ?2)=2y,即 y = x?2;
令 ? =1,得 y =?2,从而 x = 0;
第六章
工 程 数 学
(2) 由 (1) 知
,
113
202
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?A,
200
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
－
B
对应于 A 和 B 共同的特征值 ?1,2,?2的特
征向量为
?1 = ( 0,2,?1)T,
?2 = ( 0,1,1)T,
?3 = ( 1,0,?1)T,
第六章
工 程 数 学
则可逆矩阵
.
111
012
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?P
第六章
工 程 数 学
例 6,已知 ? =(1,1,?1)'是矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
21
35
312
b
aA
的一个特征向量,
(1) 试确定参数 a,b及特征向量 ? 所对应的特征值；
(2) 问 A 能否相似于对角阵？说有理由,
第六章
工 程 数 学
解, (1) 由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
1
1
1
21
35
212
)(
?
?
?
??
b
aAI
=0
即 ? + 1 = 0?? a ?2 = 0
? b ?? ?1 = 0
解得 a= ?3,b=0,?= ?1.
第六章
工 程 数 学
(2) 由
,
201
335
212
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?A
201
335
212
||
?
???
??
??
?
?
?
? AI
3)1( ?? ?
知 ? = ? 1是 A 的三重特征值,
第六章
工 程 数 学
因 ?I ?A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
101
325
213
.
000
110
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
秩 r (?I ?A)=2
从而 ? = ?1 对应的线性无关的特征向量只
有一个，故 A 不能相似于对角矩阵,
第六章
工 程 数 学
作业,P152 1(3)(4);
P157 3(1);
P159 3
p165 1(1)(3)
工 程 数 学
制作：刘金莲
x
y
z ( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章
第六章
工 程 数 学
本章主要讨论如下几个方面：
1) 线性变换的概念；
2) 线性变换和矩阵；
3) 线性变换的特征值与特征向量,
本章中如不特别申明，所考虑的数域都
是指实数域,
第六章
工 程 数 学
定义 1
§ 1 线性变换的概念
一、线性变换的概念
设 ? 是向量空间 V 到 其自身的一个映射，
如果 ? 满足,
1) ?(?+?) = ? (?)+ ? (? ),
2) ? (k?) = k? ( ? ),
其中 ?,?为 V中任意向量, k为任意实数
?有上面的性质也说成 ?保持向量的线性运算,
则称 ?是 V 的一个线性变换, ? (?)称为 ?在 ?下
的象，也可记为 ??,
第六章
工 程 数 学
(1) 向量空间中变换的写法
?, (x,y)?(x+y,x?y),(x,y) ? R2
? (x,y)=(x+y,x?y),(x,y) ? R2
注
第六章
工 程 数 学
注
(2)
)()()( 2121 ??????? kkkk ???
可简写成
? (?+?)= ? (?)+ ? (? ),
? (k?)= k? ( ? ),
第六章
工 程 数 学
例 1.R3 中 ? ( x,y,z) = (x,y,0) 是线性变换,
事实上,设 ? = ( x1,y1,z1),? =( x2,y2,z2)
? (? + ? ) = ? ( x1+ x2,y1 + y2,z1+ z2 )
= ( x1+ x2,y1 + y2,0 )
= ( x1,y1,0) +( x2,y2,0)
= ? (? ) + ? ( ? )
第六章
工 程 数 学
? (k? ) = ? (k x1,k y1,kz1 )
= ( k x1,k y1,0 )
= k (x1,y1,0 )
= k ? ( ? )
故 ? ( x,y,z) = (x,y,0) 是 R3 中线性变换，称
之为 R3 中向 xOy 面的投影变换,
x
y
z
( x,y,z)
(x,y,0)
0
第六章
工 程 数 学
例 2 在 R2 中，设 0≤ ? <2?,令
?,(x,y)? (x cos??ysin?,xsin? + ycos? )
则 ?是 R2 的一个线性变换,
称线性变换 ? 是绕
原点按逆时针方向旋转
?角的旋转变换,
x
y ( x,y)
0
?
第六章
工 程 数 学
事实上，由
? ((x,y)+(x1,y1))=? (x+x1,y+y1)
)]co s)(s i n)(,s i n)(co s)[( 1111 ???? yyxxyyxx ???????
)c o ss i n,s i nc o s( ???? yxyx ???
),(),( 11 yxyx ?? ??
)co ss i n,s i nco s( 1111 ???? yxyx ???
第六章
工 程 数 学
),()),(( kykxyxk ?? ?
)c o ss i n,s i nc o s( ???? kykxkykx ???
)c o ss i n,s i nc o s( ???? yxyxk ???
),( yxk??
故 ?是线性变换,
第六章
工 程 数 学
例 3向量空间 V 中,
?,?? ?,???V
?,?? 0,???V
显然 ?,? 都是线性变换, 分别称为 恒等变换 和
零变换,恒等变换记为 I, 零变换记为 0，即
I (?)= ?,0(?)=0.
第六章
工 程 数 学
例 4.R2中 ? ( x,y) = (x y,0),?是否是线性变换?
解,?(( x,y)+(x1,y1))
=( ( x+x1)( y+y1),0)
= ( xy,0 )+( x1y1,0 ) + (x1y,0)+(xy1,0 )
= ? ( x+x1,y+y1)
= ? ( x,y)+ ?( x1,y1) + (x1y,0)+(xy1,0 )
?? ( x,y)+ ?( x1,y1)
?? ( x,y) = (x y,0)不是线性变换,
第六章
工 程 数 学
例 5,下列变换：
?1:(a1,a2,…,an) ?(a1,0,0,…,0);
?2:(a1,a2,…,an) ?(a1,a2,a3,…,an?1,0);
?3:(a1,a2,…,an) ? k(a1,a2,a3,…,an);
?4:(a1,a2,…,an) ?
),,,(
11
2
1
1 ???
???
n
j
jnj
n
j
jjj
n
j
j ababab ?
其中 (a1,a2,…,an)是任一 n 维向量,bij为取定
实数 i,j=1,…,n,则 ?1,?2,?3,?4 都是 Rn 的线
性变换,
第六章
工 程 数 学
二、线性变换的性质
(1) ?( 0 ) = 0,? ( ?? )= ?? (? )
(2)
)( 2211 sskkk ???? ??? ?
);()()( 2211 sskkk ?????? ???? ?
(3) 若 ?1,?2,…,?s 线性相关，则 ? (?1 ),?
( ?2),…,? ( ?s)也线性相关,
第六章
工 程 数 学
§ 2 线性变换和矩阵
R2 中变换 ? (x,y)=(2x+y,x?3y) 是一个线性变换,
Teeeee )1,2)(,(2)1,2()0,1()( 21211 ????? ??
Teeeee )3,1)(,(3)3,1()1,0()( 21212 ??????? ??
???
?
???
?
?? 31
12),())(),((
2121 eeee ??
第六章
工 程 数 学
一、线性变换的矩阵
设 V 是一个 n 维向量空间,?1,?2,…,?n
是 V 的一组基, 对于 V 的一个线性变换 ?，
? (?1),? (?2),…,? (?n)是 V 中的 n 个向量,
它们能由 V 的基线性表出,
第六章
工 程 数 学
(1)
? (?1)=a11?1+ a21?2 + … an1?n,
? (?2)=a12?1+ a22?2 + … an2?n,
……………
? (?n)=a1n?1+ a2n?2 + … ann?n,
=(? 1,? 2,…,? n )
(? (?1),? (?2),…,? (?n))
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211 A
设
第六章
工 程 数 学
(? (?1),? (?2),…,? (?n) ) = (?1,?2,…,?n )A
称矩阵 A 为线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n 下
的矩阵,
记 ? (?1,?2,…,?n ) = (? (?1),? (?2),…,? (?n) )
则有 ? (?1,?2,…,?n ) = (?1,?2,…,?n )A
第六章
工 程 数 学
因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性
变换 ? 有唯一确定的 n 阶方阵 A 与它对应,
? A
在给定基下
一一对应
第六章
工 程 数 学
例 1.Rn 中恒等变换 I (?) = ? 在每一组基下的
矩阵为 n 阶单位阵,
Rn 中零变换 0(?)=0在任意基下的矩阵为
零矩阵,
例 2.Rn 中线性变换 ? (?) = k?,k?R,?在每
一组基下的矩阵为数量矩阵 kEn,
称线性变换 ? (?) = k?(k?R)为位似变换
第六章
工 程 数 学
例 3.求 R2 中旋转变换
? (x,y)= (xcos??ysin?,xsin? + ycos? )
在标准基 e1=(1,0),e2=(0,1)下的矩阵,
解,?(e1)=(cos?,sin? )=cos? ? e1+sin? ? e2
? (e2)=(?sin?,cos? )= ?sin? ? e1+cos? ? e2
???
?
???
? ??
??
????
c o ss i n
s i nc o s),())(),((
2121 eeee
第六章
工 程 数 学
若设 (x,y)的象 ? (x,y)在 e1,e2下的坐标为 (x',y')
则 x' = xcos? ? ysin?
y' = xsin? + ycos?
???
?
???
?
???
?
???
? ??
???
?
???
?
y
x
y
x
??
??
c o ss i n
s i nc o s
'
'
原象的坐标象的坐标
第六章
工 程 数 学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ??V,? 在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,
x2,…,xn ),设 ? (? )在基 ?1,?2,…,?n下的坐标
为 (y1,y2,…,yn ),则
nnyyy ????? ???? ?2211)(
),,,( 21 n??? ?? (3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
第六章
工 程 数 学
得 )()()()(
2211 nnxxx ???????? ???? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21 ))(,),(),(( ??????
(4)),,,( 21 n??? ??
由
nnxxx ???? ???? ?2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
A
?
2
1
第六章
工 程 数 学
将 (3)与 (4)比较得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
?
的
坐
标
?(?)
的
坐
标
?
的
矩
阵
第六章
工 程 数 学
定理 1
设 ?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组
基, 线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n 下的矩
阵为 A, 如果 ? 与 ? (? ) 在该基下的坐标
分别为 (x1,x2,…,xn) 和 (y1,y2,…,yn),则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn x
x
x
A
y
y
y
??
2
1
2
1
第六章
工 程 数 学
例 4 设 ? 是 R4 的一个线性变换, 对 ?(x1,x2,x3,
x4)?R4,?(x1,x2,x3,x4)=(2x1+x2,3x1?x3,x3,
x1+x4 ),求 ? 在标准基 ?1,?2,?3,?4下的矩阵,
解,?(?1)= ? (1,0,0,0)=(2,3,0,1)
=2?1+ 3?2+?4
? (?2)= ? (0,1,0,0)=(1,0,0,0) =?1
? (?3)= ? (0,0,1,0)=(0,?1,1,0)=??2 + ?3
? (?4)= ? (0,0,0,1)=(0,0,0,1) =?4
第六章
工 程 数 学
所以 ? 在 ?1,?2,?3,?4下的矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1001
0100
0103
0012
A
因为 ))(),(),(),((
4321 ????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1001
0100
0103
0012
),,,( 4321 ????
第六章
工 程 数 学
设 ?1,?2,?,?n 和 ?1,?2,?,?n 是
向量空间 V 的两组基, 线性变 换 ? 在这
两组 基下的矩阵分别为 A 与 B,从基 ?1,
?2,?,?n到基 ?1,?2,?,?n的过渡矩阵是
T,则
三、同一线性变换在不同基下的矩阵
定理 2
B = T ?1AT.
第六章
工 程 数 学
? ?,),,()(),(),( 2121 Ann ????????? ?? ?
证 已知
? ?,),,()(),(),( 2121 Bnn ????????? ?? ?
Tnn ),,,(),,( 2121 ?????? ?? ?
于是 ? ? ),,()(),(),( 2121 nn ?????????? ?? ?
? ? ? ?TT nn ),,,(),,,( 2121 ???????? ?? ??
? ?Tn )(),(),( 21 ?????? ??
ATTn 121 ),,,( ?? ??? ?
即 B=T?1AT
?
?
?
?
? ATn ),,( 21 ??? ??
?
第六章
工 程 数 学
定义 1
设 A,B为两个 n 阶矩阵,如果存在可
逆矩阵 T,使得 B=T?1AT,则称 A 与 B 相似,
记作 A?B.
*相似是矩阵之间的一种关系,它具有下面三
个性质,
1,反射性, A?A;
2,对称性, 如果 A?B,则 B?A;
3,传递性, 如果 A?B,B?C,则 A?C.
第六章
工 程 数 学
由定理 2知线性变换在不同基下的矩阵
是相似的 ; 反之,若两矩阵相似,那么它们可
以看作同一线性变换在不同基下的矩阵,
第六章
工 程 数 学
设 B=P?1AP,如果线性变换 ? 在基 ?1,
?2,?,?n下的矩阵为 A,且
则 ? 在基 ?1,?2,?,?n 下的矩阵为 B,
(?1,?2,?,?n) = (?1,?2,?,?n )P
定理 3
第六章
工 程 数 学
? 基 ?1,?2,?,?n下 A
? 基 (?1,?,? n)=(?1,?,?n)P B
B = P?1AP
下
第六章
工 程 数 学
例 2 设 R2 的线性变换 ? 为
?, (x1,x2)? (2x1+ 4x2,?x1),
求 ?在基 ?1=(1,?1),?2 =(?1,2)下的矩阵,
解,?在标准基 ?1,?2下的矩阵为
???
?
???
?
?? 01
42A
而由 ?1,?2 到 ? 1,? 2 的过渡矩阵为
???
?
???
?
?
??
21
11T
第六章
工 程 数 学
那么 ? 在 ? 1,? 2 下的矩阵为
B = T?1AT
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
??
?
?
?
???
?
?
?? ?
21
11
01
12
21
11 1
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
????
?
???
??
21
11
01
12
11
12
???
?
???
?
?
??
73
155
第六章
工 程 数 学
§ 3 特征值与特征向量
给定 n维 向量空间 V 的一个线性变换 ?,
是否存在 V的一组基, 使 ? 在此基下的矩阵为
对角形矩阵？
一个给定的 n 阶方阵, 能否相似于一个
对角形矩阵？
第六章
工 程 数 学
定义 1
一、矩阵的特征值与特征向量
1.矩阵的特征值与特征向量的概念
设 A 是一个 n 阶实矩阵,如果存在实数 ?
和非零的 n 维列向量 ?,使得
??? ?A
那么 ? 称为 A 的一个 特征值,? 称为 A 的
属于特征值 ? 的一个 特征向量,
第六章
工 程 数 学
? 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值
而言的, 一个特征向量不能属于不同的特
征值,
注 意
事实上, 若 A?=? 1?,A?=? 2?,则 ? 1? =? 2?,
即 (? 1?? 2) ? =0,而 ??0,故 ? 1=? 2,
第六章
工 程 数 学
注 意
?属于同一特征值的特征向量是不为唯一的,
事实上, 由 A X= ?0X 得 (A??0E ) X = 0.
解空间中除零向量外，都是 A 的属于 ?0 的
特征向量,
第六章
工 程 数 学
若 ?0 是 A 的特征值，则存在 X?0,使得
A X= ?0X,即
(A??0E )X=0
要上述齐次线性方程组有非零解，则须系数
行列式等于 0,即
|A??0E |=0
定义 2 称 |A??E |= 0 (或 | ?E ? A |= 0)为矩
阵 A 的 特征方程
第六章
工 程 数 学
求 A 的特征值就是求 |A??E | = 0 的全部
实根,对于特征值 ?0,齐次方程 (A??0E) X = 0
的所有非零解，就是 A 的属于 ?0 的特征向量,
易知,上 (下 )三角矩阵、对角矩阵的特征
值就是对角线元素,
2,矩阵的特征值与特征向量的求法
第六章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
122
212
221
A
例 1 求矩阵 的特征值与特征向量,
解, AE ??
122
212
221
???
???
???
?
?
?
?
)5()1( 2 ??? ??
所以 A 的特征值为 ?1(二重 )和 5.
第六章
工 程 数 学
将 ? = ?1代入齐次方程组 (?E?A)X=0得
0222 321 ???? xxx
它的基础解 系 为
,
1
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
0
2X
属于 ?1的全部特征向量为,
2211 XkXk ?,,21 Rkk ?
21,kk 不全为零,
第六章
工 程 数 学
再把特征值 ? = 5代入 (?E?A)X = 0得
0224 321 ??? xxx
0242 321 ???? xxx
0422 321 ???? xxx
它的基础解系为 X=(1,1,1)T.
则属于 5的全部特征向量为 kX.
第六章
工 程 数 学
定理 1
3,矩阵特征值与特征向量的性质
设 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为 ?1,?2,…,
?n,则
i
n
i
A ??
?
?
1
||
第六章
工 程 数 学
定理 2
若 ? 是矩阵 A 的特征值,X 是 A 属于 ?
的特征向量，则
(1) k?是 kA 的特征值 ( k?R );
(2) ?m 是 Am 的特征值 ( m是正整数 );
(3) 当 A 可逆时,??1是 A?1 的特征值,
且 X 仍是矩阵 kA,Am, A?1分别对应于特
征值 k?,?m, ??1 的特征向量,
第六章
工 程 数 学
证明, (1) 由 AX= ?X 有 (kA)X=(k?)X,
(2) 由 AX= ?X 可得
A (A X) =A (?X )= ?(AX )= ?(?X )
即 A2X= ?2X
重复上述步骤 m?2次,得
即 A m X= ?mX
第六章
工 程 数 学
(3) 当 A 可逆时,| A | ? 0,由定理 1知 ??0
A?1(AX) = A ?1(?X)
因此 A?1X= ? ?1 X
由 AX=?X 可得
X = ? A ?1X
第六章
工 程 数 学
定理 3
矩阵 A 和 AT 的特征值相同,
证明, 因为 (A?? E)T = AT ?? E
所以 | (A?? E)T | = | AT ?? E |
故 A,AT 有完全相同的特征值,
= | A?? E |
第六章
工 程 数 学
定理 4
相似矩阵有相同的特征 值,
证明, 设 A~B,则存在可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B
因为 |?E?B| = | ?P?1P ?P?1AP|=|P?1 (?E?A)P |
= | P?1| · |?E?A | ·| P | =|?E?A |
所以 A 与 B 有相同的特征多项式，它们的特
征值全相同,
第六章
工 程 数 学
例 2,设
.
122
212
221
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?A
(1) 试求矩阵 A 的特征值；
(2) 利用 (1)小题的结果，求矩阵 E+A?1的
特征值，其中 E 是三阶单位矩阵,
第六章
工 程 数 学
解, 1) 矩阵 A 的特征方程为
122
212
221
||
??
??
???
??
?
?
?
? AE
0)5()1( 2 ???? ??
由此得矩阵 A 的特征值, 1,1,?5.
第六章
工 程 数 学
2) 由于矩阵 A 的特征值为 1,1,?5,可知 A?1的
特征值为 1,1,
,51?;0|| 1 ?? ?AE;0|)()11(| 1 ???? ?AEE;0|)(2| 1 ??? ?AEE
2 是 E+A?1 的特征值,
第六章
工 程 数 学
.0|)(54| 1 ??? ?AEE
于是，矩阵 E+A?1 的特征值为
.54,2,2
0|)51(| 1 ??? ?AE;0|)()151(| 1 ????? ?AEE
第六章
工 程 数 学
定义 3
二, 线性变换的特征值与特征向量
设 ? 是向量空间 V 的一个线性变换,
如果存在实数 ? 和 V 中一非零向量 ?,使
得
???? ?)(
那么 ? 称为 ? 的一个特征值,? 称为 ?
的属于特征值 ? 的一个特征向量,
1,线性变换的特征值与特征向量的概念
第六章
工 程 数 学
定理 5
2、线性变换的特征值与特征向量的求法
设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间 V 上线
性变换 ? 在一组基下的矩阵, 则 ? 是 ? 的
特征值的充要条件是 ?为 A 的特征值,
第六章
工 程 数 学
证明,设 ? 是 ? 的特征值,? 是 ? 属于 ? 的特征
向量, 则有
? (?)= ??
设 V 在基 ?1,?2,…,?n下的矩阵为 A,即
? (?1,?2,…,?n)= (?1,?2,…,?n)A
(1)
(2)
第六章
工 程 数 学
Xn ))(,),(( 1 ???? ??
设 ? = x1?1+ x2?2+ …+ xn?n
(3)
因 ??0,故 X ? 0
? (? ) = x1 ? (?1 )?1+ x2 ? (?2 )+ …+ xn ? (?n )
=(?1,?2,…,?n)AX (4)
= (?1,?2,…,?n )X
??=(?1,?2,…,?n) ? X
AX= ? X,X ? 0由 ? ( ? )= ?? 得
第六章
工 程 数 学
则 ? (? )= ? (?1,?2,…,?n) X
= (?1,?2,…,?n) AX
= (?1,?2,…,?n) ? X
= ?? ?? 0
令 ?=(?1,?2,…,?n) X
反之，若 AX= ? X,X ? 0,
第六章
工 程 数 学
设 Rn 中线性变换 ? 在基 ?1,?2,…,?n下
的矩阵为 A,则
?的特征值 = A 的特征值
? = (?1,?2,…,?n) X
A 的属于 ?0
的特征向量
? 的属于 ?0
的特征向量
第六章
工 程 数 学
求 ?的特征根与特征向量的步骤如下,
(1) 在线性空间 V 中取一组基 ?1,?2,? ?n,写出 ?
在这组基下的矩阵 A;
(2) 求出特征多项式 的全部实根,即求方程
|A??E |=0的根, 它就是 ? 的全部特征值,
(3) 把所有的特征值逐个地代入方程组 (A??E )X=0.
并 解方程组,它的非零解就是属于该特征值的
特征向量在所给基下的坐标,
第六章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
122
212
221
A
例 3 设线性变换 ? 在 V 的基 ?1,?2,?3 下的矩
阵为
求线性变换 ? 的特征值与特征向量,
解, )5()1(||
2 ????? ??? EA
所以 ?的 特征值为 ?1(二重 )和 5.
第六章
工 程 数 学
将特征值 ?1代入齐次方程组 (A??E )X =0,得
它的基础解 系 为,)1,0,1(
1 TX ?? TX )1,1,0(2 ??
因此 ? 的 属于 ?1的两个线性无关的特征向量为
,311 ??? ?? 322 ??? ??
0222 321 ??? xxx
?的 属于 ?1的全部特征向量为,
2211 ?? kk ?
其中 k1,k2 ? R,且 k1,k2不同时为零,
第六章
工 程 数 学
再把特征值 5代入 (A??E )X =0,得
0224 321 ???? xxx
0242 321 ??? xxx
0422 321 ??? xxx
它的基础解系为
.)1,1,1( TX ?
令,221 ???? ??? 则 ?的属于 5的全部特征向
.0,,?? kRkk ?量为
第六章
工 程 数 学
定义 5
定义 4
三、矩阵、线性变换可对角化的条件
如果 n 阶矩阵 A 相似于一对角阵,称
A 可以对角化,
如果向量空间 V 中存在一组基,使 V
的线性变换 ? 在这组基下的矩阵为对角形
矩阵, 则称 ? 可以对角化,
第六章
工 程 数 学
定理 6
1,矩阵可对角化的条件
n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A有 n
个线性无关的特征向量,
证明,先证必要性,
设 A 可对角化,则存在可逆矩阵 P,使
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
APP
?
?
?
?
2
1
1 ??
第六章
工 程 数 学
即 AP = P?
将矩阵 P 按列分块，记第 i 列为 Xi,
因此有
A(X1,X2,…,Xn)=(X1,X2,…,Xn)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
2
1
则 P=(X1,X2,…,Xn).
即 (A X1,A X2,…,A Xn)=(?1X1,?2X2,…,?nXn )
第六章
工 程 数 学
于是 AXi= ?iXi,( i=1,2,…,n )
所以 X1,X2,…,Xn 是 A 分别对应于特征值 ? 1,
? 2,…,? n 的特征向量,
由于 P 可逆，故 X1,X2,…,Xn 是线性无关的,
上述步骤每步可逆，充分性亦成立,
第六章
工 程 数 学
注意
? 若 A 可对角化, 即 A 相似于对角阵 ?,则
? 的主对角元素就是 A 的全部特征值,
?若 A可对角化，则由 A 的 n 个线性无关的
特征向量 X1,X2,…,Xn 可构造 P=(X1,X2,…,
Xn ),使 P?1AP=?,
若不记特征值 ? 排列的顺序，则 ? 是唯
一的，称 ? 为 A 的相似标准形
显然 P 不唯一,
第六章
工 程 数 学
定理 7
推论
矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量
是线性无关的,
若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相
同的特征值，则 A 可对角化,
第六章
工 程 数 学
定理 6'
2,线性变换可对角化的条件
n 维向量空间 V 的线性变换 ? 可对
角化的充要条件是 ? 有 n 个线性无关
的特征向量,
第六章
工 程 数 学
证明, 设 ? 可对角化,则存在 V 的一组基 ?1,?2,
? ?n,使 ? 在此基下的矩阵为对角形矩
阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
Λ
?
?
?
?
2
1
即 ? (?1,?2,…,?n)= (?1,?2,…,?n)?
第六章
工 程 数 学
则 ni
iii ?,2,1,)( ?? ????
反之,如果 ? 有 n 个线性无关的特征向量,
就取它们为基,则 ? 在此基下的矩阵就是对角
形矩阵,
因此 ?1,?2,? ?n 就是 ? 的 n 个线性无关
的特征向量,
第六章
工 程 数 学
例 4,设 3阶矩阵 A 的特征值为 ?1=1,?2=2,?3=3,
对应的特征向量依次为 ?1=(1,1,1)T,
?2=(1,2,4)T,?2=(1,3,9)T,?=(2,?2,1)T求
An ? ( n为自然数 ).
第六章
工 程 数 学
解 一, 将 ? 用 ?1,?2,?3 线性表出
即
x1 + x2 + x3 = 1
x1 + 2x2 +3 x3 = 1
x1 + 4x2 +9 x3 = 3
由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3941
1321
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2200
0210
1111
得唯一 解 (2,?2,1),故
.22 321 ???? ???
? = x1?1+ x2?2+ x3?3
第六章
工 程 数 学
)22( 321 ???? ??? nn AA
由于 A?i =?? i,An?i =?in? i,i=1,2,3.
故 An? = 2An? i? An?2+An? 3
= 2 ?1n? i? 2 ?2n?2+ ?1n? 3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
9
3
1
3
4
2
1
22
1
1
1
2 nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
23
12
1
322
322
322
nn
nn
nn
第六章
工 程 数 学
解二,
,
300
020
001
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? APP
其中,P = [?1,?2,?3],
1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
n
n,
300
020
001
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PP
n
n
n
第六章
工 程 数 学
?? 1
300
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? PPA
n
n
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
2
300
020
001
941
321
111
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
??
?
23
13
1
322
322
322
nn
nn
nn
第六章
工 程 数 学
例 5.设矩阵 A 与 B 相似，其中
,
113
22
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? xA,
00
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
y
B
求 (1) x 和 y 的值；
(2) 求可逆矩阵 P,使得 P?1AP=B,
第六章
工 程 数 学
解, (1) 因为 A~B,故其特征多项相同，即
| ?I?A | = | ?I?B |
(??2) = [?2?(x+1)??(x?2) ]
=(?+1) (??2)(??y)
令 ? =0,得 2(x ?2)=2y,即 y = x?2;
令 ? =1,得 y =?2,从而 x = 0;
第六章
工 程 数 学
(2) 由 (1) 知
,
113
202
002
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?A,
200
020
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
－
B
对应于 A 和 B 共同的特征值 ?1,2,?2的特
征向量为
?1 = ( 0,2,?1)T,
?2 = ( 0,1,1)T,
?3 = ( 1,0,?1)T,
第六章
工 程 数 学
则可逆矩阵
.
111
012
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?P
第六章
工 程 数 学
例 6,已知 ? =(1,1,?1)'是矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
21
35
312
b
aA
的一个特征向量,
(1) 试确定参数 a,b及特征向量 ? 所对应的特征值；
(2) 问 A 能否相似于对角阵？说有理由,
第六章
工 程 数 学
解, (1) 由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
1
1
1
21
35
212
)(
?
?
?
??
b
aAI
=0
即 ? + 1 = 0?? a ?2 = 0
? b ?? ?1 = 0
解得 a= ?3,b=0,?= ?1.
第六章
工 程 数 学
(2) 由
,
201
335
212
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?A
201
335
212
||
?
???
??
??
?
?
?
? AI
3)1( ?? ?
知 ? = ? 1是 A 的三重特征值,
第六章
工 程 数 学
因 ?I ?A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
101
325
213
.
000
110
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
秩 r (?I ?A)=2
从而 ? = ?1 对应的线性无关的特征向量只
有一个，故 A 不能相似于对角矩阵,
第六章
工 程 数 学
作业,P152 1(3)(4);
P157 3(1);
P159 3
p165 1(1)(3)
