第二章
工 程 数 学
一、设 A,B为任意两个 n 阶方阵，证明
| AB | = | A | | B |
本章进一步结果
第二章
工 程 数 学
(1)先证明以下引理：
一个 n 阶方阵 A 总可以经过第三种行和
列的初等变换化为一个对角矩阵,
,
2
1
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并且
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分两步证明,
第二章
工 程 数 学
证,如果 A 的第一行和第一列的元素不
全为零，则总可以通过第三种初等变换使左
上角的元素不为零，于是再通过适当的第三
种初等变换可以把 A 化为
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(1)
第二章
工 程 数 学
如果 A 的第一行和第一列的元素全为零, 则
A已经具有 (1)的形式, 对 A1 进行同样的考虑,
易知可用第三种初等变换逐步把 A 化为对角
矩阵, 根据行列式的性质, 有
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第二章
工 程 数 学
(2) 下面来证明 | AB | = | A | | B |
先看一下特殊情形，即 A 是一个对角矩阵
的情形，设
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第二章
工 程 数 学
令 B=(bij),则
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11121111
因此由行列式的性质得
|||||||| 21 BABdddAB n ?? ?
第二章
工 程 数 学
A=P1P2… PsAPs+1… Pq
现在看一般情形, 由引理知, 可以通过第
三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 A,并且
有 |A| = |A|,反过来, 矩阵 A 也可以通过对 A 施
行第三种初等变换而得到, 这就是说, 存在着
一系列的 P(i,j(?)) 型矩阵 P1,P2,…,Pq,使
故 AB=P1P2… Ps A Ps+1… PqB
第二章
工 程 数 学
由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因
对它施行第三种初等 变换而改变, 换一句话
说, 用一些 P(i,j(?)) 型的初等矩阵乘以一个
n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式, 因此,
注意到 A 是一个对角矩阵, 我们有
第二章
工 程 数 学
|||| 121 BPPAPPPAB qss ?? ??
|| 1 BPPA qs ???
|||| 1 BPPA qs ???
|||| BA?
|||| BA?
第二章
工 程 数 学
上述结论可推广到 m 个矩阵的情形,
设 A1,A2,…,Am为 m个 n阶方阵，则
|A 1A 2… A m |=|A 1||A 2 |… |A m |
第二章
工 程 数 学
二, 证明：对矩阵施行初等变换, 矩阵的秩
不变,
证,只要证明每一种初等行变换都不改变矩
阵的秩就行了,
1) 设对 A 施行第一种初等行变换后成为
B,则因行列式交换两 行仅改变符号, 而 B
的每一子式与 A 中对应的子式或者相等, 或
者仅改变符号, 故秩不变
第二章
工 程 数 学
2) 设对 A 施行第二种初等行变换后而成为 B，
则因行列式的某一行乘以 ?(??0)等于行列
式乘以 ?,而 B 的子式与 A 中对应的子式
或者相等, 或者仅差 ? 倍, 故秩不变,
第二章
工 程 数 学
3) 设 A 经过第三种初等行变换后成为 B,且
r(A)=r,下面证 r(B)≤r(A),且 r(A) ≤r(B),则
有 r(A)=r(B).
不失一般性，设 A 的第 i 行各元素乘以数
?后加到第 j 行对应元素上去而成为 B,即
第二章
工 程 数 学
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第二章
工 程 数 学
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第二章
工 程 数 学
设 Mr+1 是 B 的任 一个 r+1 阶子式，这时
有三种情况：
(i) Mr+1不含 B 的第 j 行,则由于 A 与 B 除
第 j 行外各行均相同，故 Mr+1也是 A 的一个
r+1 阶子式，因 r(A)=r,故 Mr+1=0;
(ii) Mr+1含 B 中第 j 行且含第 i 行,则由
行列式的性质知,Mr+1的值等于 A 中含第 i
行和第 j 行相应元素的对应子式，故 Mr+1=0;
第二章
工 程 数 学
(iii) Mr+1只含 B中第 j 行而不含第 i 行，则
由行列式的性质有
Mr+1=N r+1+?Pr+1
这里 Nr+1和 Pr+1均是 A的 r+1 阶子式，它们均
为零，故 Mr+1=0
第二章
工 程 数 学
由于 Mr+1只含有上述三种情况，故 B 的
任一个 r+1 阶子式全为零，由此 r(B)≤r(A)=r.
另一方面，又可将 A 看成 B 经第 i 行乘
以 (??)后加到第 j 行得来的，故同样有
r(A)≤r(B).
故 r(A) = r(B)
工 程 数 学
一、设 A,B为任意两个 n 阶方阵，证明
| AB | = | A | | B |
本章进一步结果
第二章
工 程 数 学
(1)先证明以下引理：
一个 n 阶方阵 A 总可以经过第三种行和
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第二章
工 程 数 学
证,如果 A 的第一行和第一列的元素不
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第二章
工 程 数 学
如果 A 的第一行和第一列的元素全为零, 则
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第二章
工 程 数 学
(2) 下面来证明 | AB | = | A | | B |
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第二章
工 程 数 学
A=P1P2… PsAPs+1… Pq
现在看一般情形, 由引理知, 可以通过第
三种初等变换把 A 化为一个对角矩阵 A,并且
有 |A| = |A|,反过来, 矩阵 A 也可以通过对 A 施
行第三种初等变换而得到, 这就是说, 存在着
一系列的 P(i,j(?)) 型矩阵 P1,P2,…,Pq,使
故 AB=P1P2… Ps A Ps+1… PqB
第二章
工 程 数 学
由于任意一个 n 阶矩阵的行列式不会因
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说, 用一些 P(i,j(?)) 型的初等矩阵乘以一个
n 阶矩阵后不改变这个矩阵的行列式, 因此,
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第二章
工 程 数 学
|||| 121 BPPAPPPAB qss ?? ??
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第二章
工 程 数 学
上述结论可推广到 m 个矩阵的情形,
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第二章
工 程 数 学
二, 证明：对矩阵施行初等变换, 矩阵的秩
不变,
证,只要证明每一种初等行变换都不改变矩
阵的秩就行了,
1) 设对 A 施行第一种初等行变换后成为
B,则因行列式交换两 行仅改变符号, 而 B
的每一子式与 A 中对应的子式或者相等, 或
者仅改变符号, 故秩不变
第二章
工 程 数 学
2) 设对 A 施行第二种初等行变换后而成为 B，
则因行列式的某一行乘以 ?(??0)等于行列
式乘以 ?,而 B 的子式与 A 中对应的子式
或者相等, 或者仅差 ? 倍, 故秩不变,
第二章
工 程 数 学
3) 设 A 经过第三种初等行变换后成为 B,且
r(A)=r,下面证 r(B)≤r(A),且 r(A) ≤r(B),则
有 r(A)=r(B).
不失一般性，设 A 的第 i 行各元素乘以数
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第二章
工 程 数 学
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工 程 数 学
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第二章
工 程 数 学
设 Mr+1 是 B 的任 一个 r+1 阶子式，这时
有三种情况：
(i) Mr+1不含 B 的第 j 行,则由于 A 与 B 除
第 j 行外各行均相同，故 Mr+1也是 A 的一个
r+1 阶子式，因 r(A)=r,故 Mr+1=0;
(ii) Mr+1含 B 中第 j 行且含第 i 行,则由
行列式的性质知,Mr+1的值等于 A 中含第 i
行和第 j 行相应元素的对应子式，故 Mr+1=0;
第二章
工 程 数 学
(iii) Mr+1只含 B中第 j 行而不含第 i 行，则
由行列式的性质有
Mr+1=N r+1+?Pr+1
这里 Nr+1和 Pr+1均是 A的 r+1 阶子式，它们均
为零，故 Mr+1=0
第二章
工 程 数 学
由于 Mr+1只含有上述三种情况，故 B 的
任一个 r+1 阶子式全为零，由此 r(B)≤r(A)=r.
另一方面，又可将 A 看成 B 经第 i 行乘
以 (??)后加到第 j 行得来的，故同样有
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故 r(A) = r(B)
