第四章
工 程 数 学
制作：刘金莲
第四章
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
第四章
工 程 数 学
本章主要应用矩阵理论、向量空间理
论研究线性方程组，主要内容如下：
一、线性方程组的消元解法
二、齐次线性方程组有非零解的条件及
解的结构
三、非齐次线性方程组有解的条件及解
的结构
第四章
工 程 数 学
§ 1,线性方程组的消元解法
一、线性方程组的形式
设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
(1)
注意, m 可以大于 n,小于 n,等于 n.
第四章
工 程 数 学
记,
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
X
?
.
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mb
b
b
b
?
则 (1)式可写成如下矩阵形式：
AX = b (2)
称 A 为线性方程组的系数矩阵,
第四章
工 程 数 学
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即
A=(?1,?2,…,?n )
则方程组又可写成向量形式,
x1?1+ x2?2+ …+ xn?n=b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
AX
?
?
2
1
21
),,,( ???
nnxxx ??? ???? 2211
第四章
工 程 数 学
记,],[
21
222221
111211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
bAA
?
?????
?
?
称 A 为线性方程组的增广矩阵,
当方程 组 右边的常数项不全为 0,即 b?0
时, 称 AX=b 为非齐次线性方程组, 而称
AX=0 为齐次线性方程组,
第四章
工 程 数 学
二、线性方程组的消元解法
消元法的三种基本运算包括：
1,对换两个方程的位置；
2,用一个数去乘一个方程加到另一个方程上；
3,用一个非零数去乘一个方程,
这三种运算称为线性方程组的 初等变换,
第四章
工 程 数 学
定理
AX = b A = [A,b]
D = [D,d],DX = d
同解方程 初等行变换
一一对应
一一对应
设将方程 AX=b 的增广矩阵 A=[A,b]
进 行初 等行变 换所 得到的 矩阵 为
D=[D,d],则 D 所对应的方程 DX=d 与
原方程 AX=b同解,
第四章
工 程 数 学
例 1,解线性方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2?5x3 = 2
2x1+3x2?4x3= 3
第四章
工 程 数 学
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3432
2521
1111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1610
1610
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
1610
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
1610
1701
第四章
工 程 数 学
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
x1+ 7x3=1
x2?6x3=1
它与原方程组同解，取 x3=C,得 x1= 1?7C,x2=1+6C,
即原方程组解为
x1= 1?7C
x2= 1+6C,其中 C为任意实数,
x3= C
将解写成向量形式 (x1,x2,x3)T=(1?7C,1+6C,C )T.
第四章
工 程 数 学
例 1中, 方程组的解含有任意常数, 称之
为方程组的 一般解或通解,
若向量 ? 是 AX=b 的解, 且不含任意常
数, 则称 ?是 AX=b 的一个 特解,
第四章
工 程 数 学
例 2求下列线性方程组的解：
x1–x2+5x3–x4=0
x1+x2–2x3+3x4=0
3x1 –x2+8x3+x4=0
x1+3x2–9x3+7x4=0
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
7931
1813
3211
1511
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
81440
4720
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
解,
第四章
工 程 数 学
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
023 431 ??? xxx
0227 432 ??? xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
710
1
2
301
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
第四章
工 程 数 学
211 2
3 CCx ???
212 22
7 CCx ??
C1,C2 ? R,
取 x3=C1,x4=C2 得方程组的解为：
第四章
工 程 数 学
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵
进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同
解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种
利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法
称为 高斯消元法 (或 矩阵消元法 ).
第四章
工 程 数 学
§ 2,齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
齐次线性方程组形如
AX=0
或 x1?1+x2?2+…+ xn?n=0 (5)
方程组显然有解 X =(0,…,0) T=0
(4)
系数矩阵 A 满足什么条件,AX=0 有非零解？
其非零解是否唯一？其通解的形式如何？
第四章
工 程 数 学
AX=0 有非零解的充要条件是系数
阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n,
一、齐次线性方程组有非零解的条件
定理 1
第四章
工 程 数 学
证,Ax=0有非零解,
?存在不全为零的实数 x1,x2,…,xn 使
x1?1+x2?2+…+ xn?n=0,
?向量组 ?1,?2,…,? n 线性相关,
?向量组 ?1,?2,…,? n 的秩小于 n.
? r(A)<n.
第四章
工 程 数 学
推论 1 AX=0只有零解 ? r(A)=n.
当方程个数 m小于未知数个数 n时，
AX=0必有非零解,
当 m=n 时,AX=0有非零解 ? | A |=0.
AX=0只有零解 ? | A |?0.
推论 2
推论 3
第四章
工 程 数 学
例 1,当 ? 为何值时，方程组
x1+ ?1x2+x3=0
x1? x2+x3=0
?x1+ x2+2x3=0
(1) 有非零解 ; (2)只有零解,
第四章
工 程 数 学
解,设方程系数阵为 A,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21
111
11
?
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
210
111
010
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
200
010
111
当 ?=2或 ?= ?1时,r(A)=2<3,方程组有非零解,
当 ??2且 ???1时，方程组只有零解,
第四章
工 程 数 学
定理 2
二、齐次线性方程组解的结构
设 X1,X2 是方程组 AX=0 的解，则
?1X1+ ?2X2 也是 AX=0 的解，其中 ?1,?2
为任意实数,
证,因为 AX1=0,AX2=0，
所以 ?1x1+ ?2x2 也是 AX=0 的解,
而 A(?1X1+ ?2X2 )=?1 A X1+ ?2 A X2 =0,
第四章
工 程 数 学
记 S 为 AX=0 的解的全体，由定理 2知 S
对向量加法和数乘两种运算是封闭的，所以
S 构成一个向量空间，称为 AX=0的 解空间,
回顾与思考：
? 向量空间的基有哪些特点？
? 向量空间的基唯一吗？
第四章
工 程 数 学
由向量空间理论我们知道：
(1) 向量空间的基是一组线性无关的向量，且
向量空间中的任一向量可由基线性表示；
(2) 向量空间的基是不唯一的。
所以, AX=0 的解空间的基是不唯一的；
只要找到了解空间的一组基, 便找到了方程
的所有解 。
第四章
工 程 数 学
定理 3
定义 线性方程组 AX=0 的解空间的一组基
称为 AX=0 的 基础解系,
设 AX=0的系数阵 A 的秩 r(A)=r < n,
则 AX=0 的解空间是 n?r 维的 (AX=0 的基
础解系含 n?r 个解向量 ).
第四章
工 程 数 学
证,因为 r(A)=r < n,
所以 A 至少有一个 r 阶子式不为零, 而
所有 r+1 阶子式全为零,
不妨设 A 的左上角的一个 r 阶子式不为
零, 此时用初等行变换将 A化为阶梯形形如
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
由此得 AX=0 的同解方程组如下：
c11x1+c12x2+…+ c1r xr+c1,r+1 xr+1+…+ c1nxn=0
c22x2+…+ c2r xr+c2,r+1 xr+1+…+ c2nxn=0
crr xr+cr,r+1 xr+1+…+ crnxn=0
………………
第四章
工 程 数 学
逐步回代可得方程组的一般解为
x1=d11xr+1+d12xr+2+…+ d1,n?rxn
x2=d21xr+1+d22xr+2+…+ d2,n?rxn
(6)………………
xr=dr1xr+1+dr2xr+2+…+ dr,n?rxn
其中 xr+1,…,xn为任意实数,
第四章
工 程 数 学
将 xr+1,xr+2,…,xn 取下列 n?r 组值
,
0
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
r
r
x
x
x
,
0
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
?
…,
第四章
工 程 数 学
则可得 n?r 个解向量：
X1=[d11,…,dr1,1,0,…,0] T
X2=[d12,…,dr2,0,1,…,0] T
…………
Xn?r=[d1,n?r,…,dr,n?r,0,…,1] T
易知 X1,X2,…,Xn?r 线性无关,
下证 AX=0 的每一解均可由 X1,X2,…,Xn?r
线性表示,
第四章
工 程 数 学
将一般解中的自由未知量 xr+1,xr+2,…,xn
任取一组数,k1,k2,…,kn?r,得相应解为
x1=k1d11+k2d12+…+ kn?rd1,n?r
x2=k1d21+k2d22+…+ kn?rd2,n?r
………………
xr=k1dr1+k2dr2+…+ kn?rdr,n?r
xr+1=k1
xr+2= k2
xn = kn?r
………………
第四章
工 程 数 学
写成向量形式：
X=[x1,…,xn]T=k1X1+k2X2+…+ kn?rXn?r
所以 X1,X2,…,Xn?r 是 AX=0 的解空间的一组
基，从而 AX=0 的解空间是 n?r 维的,
注意,上述证明过程提供了求基础解系的方法,
第四章
工 程 数 学
对于 n 元 齐次线性方程组 AX=0
(1) 当 r(A)=n 时，方程组只有零解；
(2) 当 r(A)=r <n 时，方程组有穷多组解，且
基础解系含 n?r个解向量,
若 ?1,?2,…,?n?r 是 AX=0 的基础解系，
则 AX=0 的通解为
X=c1?1+ c2?2+ …+ cn ?r ?n?r
其中 c1,c2,…,cn?r 为任意实数,
第四章
工 程 数 学
例 2求下列线性方程组的基础解系：
x1–x2+5x3–x4=0
x1+x2–2x3+3x4=0
3x1 –x2+8x3+x4=0
x1+3x2–9x3+7x4=0
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
7931
1813
3211
1511
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
81440
4720
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
解,
第四章
工 程 数 学
? r(A)=2<4,原方程组有无穷多组解，
x3,x4为自由未知量，其一般解为：
431 2
3 xxx ???
432 22
7 xxx ??
x3,x4任取。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
710
1
2
301
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
第四章
工 程 数 学
取 x3=1,x4=0,得
431 2
3 xxx ???
432 22
7 xxx ??
x3,x4任取,
,231 ??x,272 ?x
取 x3=0,x4=1,得,11 ??x,22 ??x
所以得基础解系
,)0,1,27,23( T1 ???
.)1,0,2,1( T2 ????
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
2
1
x
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
0
2
1
0
1
2
7
2
3
21
kk
.)1,0,2,1()0,1,27,23( 21 为基础解系，故,TT ????? ??
将一般解写成向量形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
1
21
21
2
2
7
2
3
k
k
kk
kk
第四章
工 程 数 学
作业,P102 2(3),6
P106 1(1),2(1)
课外练习：
设 ?1,?2,…,?s为线性方程组 AX=0 的
一个基础解系, ? 1 = t1?1+t2?2,?2=
t1?2+t2?3,…,?s= t1?s+t2?1,其中 t1,t2 为实
常数, 试问 t1,t2 满足什么关系时,?1,? 2,…,
? s也为 AX=0 的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
定理 1
§ 3,非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
一、非齐次线性方程组 AX=b 有解的条件
线性方程组 AX=b有解, 则称方程组
AX=b 相容,
线性方程组 AX=b有解 ? r(A) = r( A )
第四章
工 程 数 学
证明思路：
AX=b有解
A 的列向量组的秩等于
A 的列向量组的秩
b 可表示成 A 的列
向量组的线性组合
r( A )=r ( A )
第四章
工 程 数 学
证,将 AX=b 表示成向量形式
x1?1+x2?2+ …+ xn?n=b
因此,AX=b 有解等价于 b 可表示成 ?1,
?2,…,?n 的线性组合,
第四章
工 程 数 学
一方面, 如果 AX=b 有解, 即 b可表示成
?1,?2,…,?n 的线性组合,
r(A)=r( A ).
则 b,?1,?2,…,?n 线性相关，
所以两向量组的秩相等，从而
故向量组 ?1,?2,…,?n 的极大无关组也
是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组，
第四章
工 程 数 学
rjjj ???,,,21 ?
也是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组,
所以 b 可由
另一方面, 若 r(A)= r(A)=r,
所以
线性表示，从而
rjjj ???,,,21 ?
b可由 ?1,?2,…,?n 线性表示,
则 ?1,?2,…,?n 的一个极大无关组
AX=b有解 ? r(A)=r( A )
第四章
工 程 数 学
记 },,,2,1,|{ 2211 niRM inn ?? ?????? ???????
它是 Rm 的子空间，称之为矩阵 A 的 列空间,
AX=b有解
? b 属于 A的列空间
? r(A)=r ( A )
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
000
00
0
,1
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
nr
rnrrrr
nrr
nrr
c
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
定理 2.
二、非齐次线性方程组 AX=b 的解的结构
非齐次线性方程组 AX=b 的通解为
AX=b 的一个特解与相应齐次线性方程
组 AX=0 的通解之和,
第四章
工 程 数 学
证明,设 ? 是 AX=b 的一个解,r(A)=r,
A?=b,A?i=0,i=1,2,…,n?r,
从而对于任意常数 C1,C2,…,Cn?r 有
A(?+c1?1 +…+ cn?r ?n?r)= A?+c1A?1 +…+ cn?r A?n?r=b
?1,?2,…,?n?r 是 AX=0 的一个基础解系，
则有
即 X= ?+c1?1 +…+ cn?r ?n?r是 AX=b 的解,
第四章
工 程 数 学
又设 ?1(?1??)为 AX=b的任一解,即 A?1=b,则
A(?1??)=A?1?A? =b?b=0,即 ?1??是 AX=0 的解,
?1??= l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
即 ?1=? + l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
这就证明了 AX=b 的任意解可表示成 AX=b 的一个
特解与 AX=0 的基础解系的解向量的线性组合之和,
所以，存在不全为零的常数 l1,l2,…,ln ?r,使
第四章
工 程 数 学
X=?+ l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
AX=b 的通解结构式：
其中 ? 为 AX=b 的一个特解,r(A)=r(A)=r,l1,
l2,…,ln ?r 为任意常数,?1,?2,…,?n ?r 为 AX=0
的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
由定理 2知，当 AX=0 只有零解时,AX=b
的解是唯一的，因此有：
(1) 当 r(A)=r(A)=n 时,AX=b 有唯一解；
(2) 当 r(A)=r(A)<n 时,AX=b 有无穷多组解；
(3) 当 r(A)?r(A) 时,AX=b无解,
第四章
工 程 数 学
例 1,设矩阵
,
11
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
A,
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
－
?
已知线性方程组 AX=? 有解但不唯一，
试求 a的值,
第四章
工 程 数 学
解法一：
][ ?AA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
211
111
111
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
2)2)(1(00
0110
111
aaa
aa
a
所以 a = ?2.
要 AX=?有解但不唯 一，必须 r(A)=r(A)<3
第四章
工 程 数 学
解法二,因 AX=?有解且不唯一，所以
11
11
11
||
a
a
a
A ?,0)2()1(
2 ????? aa
当 a= ?2时,r(A)=r(A)<3,方程有解且不唯 一,
因 r(A)?r(A),故 方程无解,
当 a=1时,r(A)=1,r(A)=2,
第四章
工 程 数 学
例 2.下列方程组是否有解？若有则求其通解,
2x+3y+z = 1
x+y–2z = 2
4x+7y+7z = –1
x+3y+8z = – 4
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4831
1774
2211
1132
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
61020
91530
3510
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4831
1774
1132
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
3510
2211
解,
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
3510
5701
? r(A)=r(A)=2<3,原方程组有无穷多组解,
第四章
工 程 数 学
x1 = 5+7x3
x2 = –3–5x3
x3任取
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
k
k
k
53
75
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
3
5
1
5
7
k
取 x3=k,将一般解写成向量形式
原方程组一般解为
第四章
工 程 数 学
例 3 判断 ? 为何值时，方程组
?x1+x2+x3=1
x1+?x2+x3=?
x1+x2+?x3=?2
有唯一解，无穷多解，无解,
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
211
11
111
??
??
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
32
2
2
1110
110
11
???
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
11
11 2
?
??
??解：
第四章
工 程 数 学
i) 当 ??1且 ?? –2时,r(A)=r(A)=3,此时方程组
有唯一解；
ii) 当 ?= –2时,r(A)=2,r(A)=3,此时方程组无解；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
第四章
工 程 数 学
iii) 当 ?=1时,r(A)=r(A)=1,此时方程组有无穷
多组解，且
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
1111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
第四章
工 程 数 学
取 x2,x3 为自由未知量，其通解为：
x1=1–x2–x3,x2,x3?R,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
2
1
211
k
k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
21 kk
得同解方程
x1+x2+x3 =1
k1,k2?R,
第四章
工 程 数 学
定理 3.
设 X1,X2 是 AX=b(b?0) 的解,则
X1?X2 是 AX=0 的解,
第四章
工 程 数 学
例 4,设四元非齐次线性方程组的系数
矩阵的秩为 3,已知 ?1,?2,?3 是它
的三个解向量, 且 ?1=(2,3,4,5)T,
?2 +?3=(1,2,3,4)T,求该方程组的
通解,
第四章
工 程 数 学
解,设四元非齐次方程组为 AX=b,
则 A?1=b,A?2=b,A?3=b.
又
32
32
2
1
2
1
2 ??
?? AAA ??? bbb ???
2
1
2
1
第四章
工 程 数 学
则
2
321 ??? ?? 是 AX=0 的解,
3)( ?Ar?
0?? AX 的基础解系只含一个解向量，
故 AX=b 的通解为
).2( 3211 ???? ???? kX
).3,25,2,23()5,4,3,2( T k??
第四章
工 程 数 学
例 5.设 A 是 n 阶矩阵，证明：非齐次线性方
程组 AX=b 对任何 b 都有解的充要条件
是 | A |?0.
证,?若 |A| ?0,则 A可逆
所以对任何 b,由 AX=b
可得 X=A?1b
第四章
工 程 数 学
?若方程组 AX=b 对任何 b 都有解，
则取 b=(1,0,…,0) T,(0,1,0,…,0) T,…,(0,…,0,1) T
可得相应解 X1,X2,…,Xn,记 B=(X1,…,Xn)
由于 A(X1,X2,…,Xn)=B=E
故 A 可逆，从而 | A |?0
第四章
工 程 数 学
例 6.已知 ?1,?2,?3,?4是线性方程组 AX=0 的
一个基础解系，若
?1= ?1+t?2,?2= ?2+t?3,
?3= ?3+t?4,?4= ?4+t?1,
讨论实数 t 满足什么关系时, ? 1,? 2,? 3,?4
也是 AX=0 的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
解,由于齐次线性方程组的解的线性组合仍
是该方程组的解, 故 ? 1,? 2,? 3,?4 是
AX=0 的解,
因此，当且仅当 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，
? 1,? 2,? 3,?4 是基础解系,
第四章
工 程 数 学
( ? 1,? 2,? 3,?4 ) =(?1,?2,?3,?4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
001
t
t
t
t
(?1,?2,?3,?4)C?=
由于
第四章
工 程 数 学
记 B=( ? 1,? 2,? 3,?4 ),A=(?1,?2,?3,?4)
则有 | B | = | A | ·| C |,
即 | A | ?0.
所以 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关 ? | B | ?0 ? | C | ?0,
又 ?1,?2,?3,?4 线性无关,
第四章
工 程 数 学
即,01
100
010
001
001
||
4
???? t
t
t
t
t
C
故 t??1时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的基础解系,
第四章
工 程 数 学
显然 ? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的解
设 k1 ? 1+ k2 ? 2+ k3 ? 3+ k4 ?4 =0
则有 k1( ?1+t?2)+k2(?2+t?3)+k3(?3+t?4)+k4(?4+t?1)=0
另 解：
即 (k1+ t k4)?1+(k2+ t k1)?2+(k3+ t k2)?3+(k4+ t k3)?4=0
第四章
工 程 数 学
由于 ?1,?2,?3,?4 线性无关，则有
k1+ t k4 = 0
t k1 + k2 = 0
t k2+ k3 = 0
t k3+ k4 = 0
要 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，则须上述关于 k1,
k2,k3,k4的齐次线性相关组只有零解
第四章
工 程 数 学
故系数行列式
.01
100
010
001
001
||
4
???? t
t
t
t
t
C
所以 t??1时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的基础解系,
第四章
工 程 数 学
AX=0 有非零解 ? r(A)<n ；
AX=b
有唯一解 ? r(A)=r(A)=n ；
有无穷多组解 ? r(A)=r(A)<n ；
无解 ? r(A)?r(A).
第四章
工 程 数 学
X=?+ l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
AX=b 的通解结构式：
设 r(A)=r(A)=r,?1,?2,…,?n ?r 是 AX=0
的一个基础解系,? 是 AX=b 的一个特解,
则
AX=0 的通解,
X=l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
作业,P102 5
P110 1.(4),2(1),3.
工 程 数 学
制作：刘金莲
第四章
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
第四章
工 程 数 学
本章主要应用矩阵理论、向量空间理
论研究线性方程组，主要内容如下：
一、线性方程组的消元解法
二、齐次线性方程组有非零解的条件及
解的结构
三、非齐次线性方程组有解的条件及解
的结构
第四章
工 程 数 学
§ 1,线性方程组的消元解法
一、线性方程组的形式
设 n 个元 m 个方程的线性方程组为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
……………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
(1)
注意, m 可以大于 n,小于 n,等于 n.
第四章
工 程 数 学
记,
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
X
?
.
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mb
b
b
b
?
则 (1)式可写成如下矩阵形式：
AX = b (2)
称 A 为线性方程组的系数矩阵,
第四章
工 程 数 学
(3)
若将系数阵 A 按每个列为一子块进行分块，即
A=(?1,?2,…,?n )
则方程组又可写成向量形式,
x1?1+ x2?2+ …+ xn?n=b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
AX
?
?
2
1
21
),,,( ???
nnxxx ??? ???? 2211
第四章
工 程 数 学
记,],[
21
222221
111211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
bAA
?
?????
?
?
称 A 为线性方程组的增广矩阵,
当方程 组 右边的常数项不全为 0,即 b?0
时, 称 AX=b 为非齐次线性方程组, 而称
AX=0 为齐次线性方程组,
第四章
工 程 数 学
二、线性方程组的消元解法
消元法的三种基本运算包括：
1,对换两个方程的位置；
2,用一个数去乘一个方程加到另一个方程上；
3,用一个非零数去乘一个方程,
这三种运算称为线性方程组的 初等变换,
第四章
工 程 数 学
定理
AX = b A = [A,b]
D = [D,d],DX = d
同解方程 初等行变换
一一对应
一一对应
设将方程 AX=b 的增广矩阵 A=[A,b]
进 行初 等行变 换所 得到的 矩阵 为
D=[D,d],则 D 所对应的方程 DX=d 与
原方程 AX=b同解,
第四章
工 程 数 学
例 1,解线性方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2?5x3 = 2
2x1+3x2?4x3= 3
第四章
工 程 数 学
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3432
2521
1111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1610
1610
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
1610
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
1610
1701
第四章
工 程 数 学
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
x1+ 7x3=1
x2?6x3=1
它与原方程组同解，取 x3=C,得 x1= 1?7C,x2=1+6C,
即原方程组解为
x1= 1?7C
x2= 1+6C,其中 C为任意实数,
x3= C
将解写成向量形式 (x1,x2,x3)T=(1?7C,1+6C,C )T.
第四章
工 程 数 学
例 1中, 方程组的解含有任意常数, 称之
为方程组的 一般解或通解,
若向量 ? 是 AX=b 的解, 且不含任意常
数, 则称 ?是 AX=b 的一个 特解,
第四章
工 程 数 学
例 2求下列线性方程组的解：
x1–x2+5x3–x4=0
x1+x2–2x3+3x4=0
3x1 –x2+8x3+x4=0
x1+3x2–9x3+7x4=0
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
7931
1813
3211
1511
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
81440
4720
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
解,
第四章
工 程 数 学
最后一个矩阵所对应的线性方程组为
023 431 ??? xxx
0227 432 ??? xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
710
1
2
301
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
第四章
工 程 数 学
211 2
3 CCx ???
212 22
7 CCx ??
C1,C2 ? R,
取 x3=C1,x4=C2 得方程组的解为：
第四章
工 程 数 学
上述求解过程是将线性方程组的增广矩阵
进行初等行变换化阶梯形，从而得到简化的同
解方程组，达到消元与求解方程的目的，这种
利用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法
称为 高斯消元法 (或 矩阵消元法 ).
第四章
工 程 数 学
§ 2,齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
齐次线性方程组形如
AX=0
或 x1?1+x2?2+…+ xn?n=0 (5)
方程组显然有解 X =(0,…,0) T=0
(4)
系数矩阵 A 满足什么条件,AX=0 有非零解？
其非零解是否唯一？其通解的形式如何？
第四章
工 程 数 学
AX=0 有非零解的充要条件是系数
阵 A 的秩 r(A) 小于未知数的个数 n,
一、齐次线性方程组有非零解的条件
定理 1
第四章
工 程 数 学
证,Ax=0有非零解,
?存在不全为零的实数 x1,x2,…,xn 使
x1?1+x2?2+…+ xn?n=0,
?向量组 ?1,?2,…,? n 线性相关,
?向量组 ?1,?2,…,? n 的秩小于 n.
? r(A)<n.
第四章
工 程 数 学
推论 1 AX=0只有零解 ? r(A)=n.
当方程个数 m小于未知数个数 n时，
AX=0必有非零解,
当 m=n 时,AX=0有非零解 ? | A |=0.
AX=0只有零解 ? | A |?0.
推论 2
推论 3
第四章
工 程 数 学
例 1,当 ? 为何值时，方程组
x1+ ?1x2+x3=0
x1? x2+x3=0
?x1+ x2+2x3=0
(1) 有非零解 ; (2)只有零解,
第四章
工 程 数 学
解,设方程系数阵为 A,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
21
111
11
?
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
210
111
010
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
200
010
111
当 ?=2或 ?= ?1时,r(A)=2<3,方程组有非零解,
当 ??2且 ???1时，方程组只有零解,
第四章
工 程 数 学
定理 2
二、齐次线性方程组解的结构
设 X1,X2 是方程组 AX=0 的解，则
?1X1+ ?2X2 也是 AX=0 的解，其中 ?1,?2
为任意实数,
证,因为 AX1=0,AX2=0，
所以 ?1x1+ ?2x2 也是 AX=0 的解,
而 A(?1X1+ ?2X2 )=?1 A X1+ ?2 A X2 =0,
第四章
工 程 数 学
记 S 为 AX=0 的解的全体，由定理 2知 S
对向量加法和数乘两种运算是封闭的，所以
S 构成一个向量空间，称为 AX=0的 解空间,
回顾与思考：
? 向量空间的基有哪些特点？
? 向量空间的基唯一吗？
第四章
工 程 数 学
由向量空间理论我们知道：
(1) 向量空间的基是一组线性无关的向量，且
向量空间中的任一向量可由基线性表示；
(2) 向量空间的基是不唯一的。
所以, AX=0 的解空间的基是不唯一的；
只要找到了解空间的一组基, 便找到了方程
的所有解 。
第四章
工 程 数 学
定理 3
定义 线性方程组 AX=0 的解空间的一组基
称为 AX=0 的 基础解系,
设 AX=0的系数阵 A 的秩 r(A)=r < n,
则 AX=0 的解空间是 n?r 维的 (AX=0 的基
础解系含 n?r 个解向量 ).
第四章
工 程 数 学
证,因为 r(A)=r < n,
所以 A 至少有一个 r 阶子式不为零, 而
所有 r+1 阶子式全为零,
不妨设 A 的左上角的一个 r 阶子式不为
零, 此时用初等行变换将 A化为阶梯形形如
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
由此得 AX=0 的同解方程组如下：
c11x1+c12x2+…+ c1r xr+c1,r+1 xr+1+…+ c1nxn=0
c22x2+…+ c2r xr+c2,r+1 xr+1+…+ c2nxn=0
crr xr+cr,r+1 xr+1+…+ crnxn=0
………………
第四章
工 程 数 学
逐步回代可得方程组的一般解为
x1=d11xr+1+d12xr+2+…+ d1,n?rxn
x2=d21xr+1+d22xr+2+…+ d2,n?rxn
(6)………………
xr=dr1xr+1+dr2xr+2+…+ dr,n?rxn
其中 xr+1,…,xn为任意实数,
第四章
工 程 数 学
将 xr+1,xr+2,…,xn 取下列 n?r 组值
,
0
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
r
r
x
x
x
,
0
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
?
…,
第四章
工 程 数 学
则可得 n?r 个解向量：
X1=[d11,…,dr1,1,0,…,0] T
X2=[d12,…,dr2,0,1,…,0] T
…………
Xn?r=[d1,n?r,…,dr,n?r,0,…,1] T
易知 X1,X2,…,Xn?r 线性无关,
下证 AX=0 的每一解均可由 X1,X2,…,Xn?r
线性表示,
第四章
工 程 数 学
将一般解中的自由未知量 xr+1,xr+2,…,xn
任取一组数,k1,k2,…,kn?r,得相应解为
x1=k1d11+k2d12+…+ kn?rd1,n?r
x2=k1d21+k2d22+…+ kn?rd2,n?r
………………
xr=k1dr1+k2dr2+…+ kn?rdr,n?r
xr+1=k1
xr+2= k2
xn = kn?r
………………
第四章
工 程 数 学
写成向量形式：
X=[x1,…,xn]T=k1X1+k2X2+…+ kn?rXn?r
所以 X1,X2,…,Xn?r 是 AX=0 的解空间的一组
基，从而 AX=0 的解空间是 n?r 维的,
注意,上述证明过程提供了求基础解系的方法,
第四章
工 程 数 学
对于 n 元 齐次线性方程组 AX=0
(1) 当 r(A)=n 时，方程组只有零解；
(2) 当 r(A)=r <n 时，方程组有穷多组解，且
基础解系含 n?r个解向量,
若 ?1,?2,…,?n?r 是 AX=0 的基础解系，
则 AX=0 的通解为
X=c1?1+ c2?2+ …+ cn ?r ?n?r
其中 c1,c2,…,cn?r 为任意实数,
第四章
工 程 数 学
例 2求下列线性方程组的基础解系：
x1–x2+5x3–x4=0
x1+x2–2x3+3x4=0
3x1 –x2+8x3+x4=0
x1+3x2–9x3+7x4=0
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
7931
1813
3211
1511
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
81440
4720
4720
1511
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
解,
第四章
工 程 数 学
? r(A)=2<4,原方程组有无穷多组解，
x3,x4为自由未知量，其一般解为：
431 2
3 xxx ???
432 22
7 xxx ??
x3,x4任取。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
2
2
710
1
2
301
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
0000
2
2
710
1511
第四章
工 程 数 学
取 x3=1,x4=0,得
431 2
3 xxx ???
432 22
7 xxx ??
x3,x4任取,
,231 ??x,272 ?x
取 x3=0,x4=1,得,11 ??x,22 ??x
所以得基础解系
,)0,1,27,23( T1 ???
.)1,0,2,1( T2 ????
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
3
2
1
x
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
0
2
1
0
1
2
7
2
3
21
kk
.)1,0,2,1()0,1,27,23( 21 为基础解系，故,TT ????? ??
将一般解写成向量形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
1
21
21
2
2
7
2
3
k
k
kk
kk
第四章
工 程 数 学
作业,P102 2(3),6
P106 1(1),2(1)
课外练习：
设 ?1,?2,…,?s为线性方程组 AX=0 的
一个基础解系, ? 1 = t1?1+t2?2,?2=
t1?2+t2?3,…,?s= t1?s+t2?1,其中 t1,t2 为实
常数, 试问 t1,t2 满足什么关系时,?1,? 2,…,
? s也为 AX=0 的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
定理 1
§ 3,非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
一、非齐次线性方程组 AX=b 有解的条件
线性方程组 AX=b有解, 则称方程组
AX=b 相容,
线性方程组 AX=b有解 ? r(A) = r( A )
第四章
工 程 数 学
证明思路：
AX=b有解
A 的列向量组的秩等于
A 的列向量组的秩
b 可表示成 A 的列
向量组的线性组合
r( A )=r ( A )
第四章
工 程 数 学
证,将 AX=b 表示成向量形式
x1?1+x2?2+ …+ xn?n=b
因此,AX=b 有解等价于 b 可表示成 ?1,
?2,…,?n 的线性组合,
第四章
工 程 数 学
一方面, 如果 AX=b 有解, 即 b可表示成
?1,?2,…,?n 的线性组合,
r(A)=r( A ).
则 b,?1,?2,…,?n 线性相关，
所以两向量组的秩相等，从而
故向量组 ?1,?2,…,?n 的极大无关组也
是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组，
第四章
工 程 数 学
rjjj ???,,,21 ?
也是 b,?1,?2,…,?n 的极大无关组,
所以 b 可由
另一方面, 若 r(A)= r(A)=r,
所以
线性表示，从而
rjjj ???,,,21 ?
b可由 ?1,?2,…,?n 线性表示,
则 ?1,?2,…,?n 的一个极大无关组
AX=b有解 ? r(A)=r( A )
第四章
工 程 数 学
记 },,,2,1,|{ 2211 niRM inn ?? ?????? ???????
它是 Rm 的子空间，称之为矩阵 A 的 列空间,
AX=b有解
? b 属于 A的列空间
? r(A)=r ( A )
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
00
0
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
rnrrrr
nrr
nrr
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
000
00
0
,1
1,
21,2222
11,111211
???
???????
???
??
???????
??
??
nr
rnrrrr
nrr
nrr
c
ccc
cccc
ccccc
第四章
工 程 数 学
定理 2.
二、非齐次线性方程组 AX=b 的解的结构
非齐次线性方程组 AX=b 的通解为
AX=b 的一个特解与相应齐次线性方程
组 AX=0 的通解之和,
第四章
工 程 数 学
证明,设 ? 是 AX=b 的一个解,r(A)=r,
A?=b,A?i=0,i=1,2,…,n?r,
从而对于任意常数 C1,C2,…,Cn?r 有
A(?+c1?1 +…+ cn?r ?n?r)= A?+c1A?1 +…+ cn?r A?n?r=b
?1,?2,…,?n?r 是 AX=0 的一个基础解系，
则有
即 X= ?+c1?1 +…+ cn?r ?n?r是 AX=b 的解,
第四章
工 程 数 学
又设 ?1(?1??)为 AX=b的任一解,即 A?1=b,则
A(?1??)=A?1?A? =b?b=0,即 ?1??是 AX=0 的解,
?1??= l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
即 ?1=? + l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
这就证明了 AX=b 的任意解可表示成 AX=b 的一个
特解与 AX=0 的基础解系的解向量的线性组合之和,
所以，存在不全为零的常数 l1,l2,…,ln ?r,使
第四章
工 程 数 学
X=?+ l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
AX=b 的通解结构式：
其中 ? 为 AX=b 的一个特解,r(A)=r(A)=r,l1,
l2,…,ln ?r 为任意常数,?1,?2,…,?n ?r 为 AX=0
的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
由定理 2知，当 AX=0 只有零解时,AX=b
的解是唯一的，因此有：
(1) 当 r(A)=r(A)=n 时,AX=b 有唯一解；
(2) 当 r(A)=r(A)<n 时,AX=b 有无穷多组解；
(3) 当 r(A)?r(A) 时,AX=b无解,
第四章
工 程 数 学
例 1,设矩阵
,
11
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
A,
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
－
?
已知线性方程组 AX=? 有解但不唯一，
试求 a的值,
第四章
工 程 数 学
解法一：
][ ?AA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
211
111
111
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
2)2)(1(00
0110
111
aaa
aa
a
所以 a = ?2.
要 AX=?有解但不唯 一，必须 r(A)=r(A)<3
第四章
工 程 数 学
解法二,因 AX=?有解且不唯一，所以
11
11
11
||
a
a
a
A ?,0)2()1(
2 ????? aa
当 a= ?2时,r(A)=r(A)<3,方程有解且不唯 一,
因 r(A)?r(A),故 方程无解,
当 a=1时,r(A)=1,r(A)=2,
第四章
工 程 数 学
例 2.下列方程组是否有解？若有则求其通解,
2x+3y+z = 1
x+y–2z = 2
4x+7y+7z = –1
x+3y+8z = – 4
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4831
1774
2211
1132
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
61020
91530
3510
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4831
1774
1132
2211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
3510
2211
解,
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
3510
5701
? r(A)=r(A)=2<3,原方程组有无穷多组解,
第四章
工 程 数 学
x1 = 5+7x3
x2 = –3–5x3
x3任取
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
k
k
k
53
75
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
3
5
1
5
7
k
取 x3=k,将一般解写成向量形式
原方程组一般解为
第四章
工 程 数 学
例 3 判断 ? 为何值时，方程组
?x1+x2+x3=1
x1+?x2+x3=?
x1+x2+?x3=?2
有唯一解，无穷多解，无解,
第四章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
211
11
111
??
??
?
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
32
2
2
1110
110
11
???
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
11
11 2
?
??
??解：
第四章
工 程 数 学
i) 当 ??1且 ?? –2时,r(A)=r(A)=3,此时方程组
有唯一解；
ii) 当 ?= –2时,r(A)=2,r(A)=3,此时方程组无解；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
第四章
工 程 数 学
iii) 当 ?=1时,r(A)=r(A)=1,此时方程组有无穷
多组解，且
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
1111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
2
2
)1)(1()2)(1(00
)1(110
11
????
????
??
第四章
工 程 数 学
取 x2,x3 为自由未知量，其通解为：
x1=1–x2–x3,x2,x3?R,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
x
x
X
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
2
1
211
k
k
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
0
0
1
1
0
1
0
1
1
21 kk
得同解方程
x1+x2+x3 =1
k1,k2?R,
第四章
工 程 数 学
定理 3.
设 X1,X2 是 AX=b(b?0) 的解,则
X1?X2 是 AX=0 的解,
第四章
工 程 数 学
例 4,设四元非齐次线性方程组的系数
矩阵的秩为 3,已知 ?1,?2,?3 是它
的三个解向量, 且 ?1=(2,3,4,5)T,
?2 +?3=(1,2,3,4)T,求该方程组的
通解,
第四章
工 程 数 学
解,设四元非齐次方程组为 AX=b,
则 A?1=b,A?2=b,A?3=b.
又
32
32
2
1
2
1
2 ??
?? AAA ??? bbb ???
2
1
2
1
第四章
工 程 数 学
则
2
321 ??? ?? 是 AX=0 的解,
3)( ?Ar?
0?? AX 的基础解系只含一个解向量，
故 AX=b 的通解为
).2( 3211 ???? ???? kX
).3,25,2,23()5,4,3,2( T k??
第四章
工 程 数 学
例 5.设 A 是 n 阶矩阵，证明：非齐次线性方
程组 AX=b 对任何 b 都有解的充要条件
是 | A |?0.
证,?若 |A| ?0,则 A可逆
所以对任何 b,由 AX=b
可得 X=A?1b
第四章
工 程 数 学
?若方程组 AX=b 对任何 b 都有解，
则取 b=(1,0,…,0) T,(0,1,0,…,0) T,…,(0,…,0,1) T
可得相应解 X1,X2,…,Xn,记 B=(X1,…,Xn)
由于 A(X1,X2,…,Xn)=B=E
故 A 可逆，从而 | A |?0
第四章
工 程 数 学
例 6.已知 ?1,?2,?3,?4是线性方程组 AX=0 的
一个基础解系，若
?1= ?1+t?2,?2= ?2+t?3,
?3= ?3+t?4,?4= ?4+t?1,
讨论实数 t 满足什么关系时, ? 1,? 2,? 3,?4
也是 AX=0 的一个基础解系,
第四章
工 程 数 学
解,由于齐次线性方程组的解的线性组合仍
是该方程组的解, 故 ? 1,? 2,? 3,?4 是
AX=0 的解,
因此，当且仅当 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，
? 1,? 2,? 3,?4 是基础解系,
第四章
工 程 数 学
( ? 1,? 2,? 3,?4 ) =(?1,?2,?3,?4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
001
t
t
t
t
(?1,?2,?3,?4)C?=
由于
第四章
工 程 数 学
记 B=( ? 1,? 2,? 3,?4 ),A=(?1,?2,?3,?4)
则有 | B | = | A | ·| C |,
即 | A | ?0.
所以 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关 ? | B | ?0 ? | C | ?0,
又 ?1,?2,?3,?4 线性无关,
第四章
工 程 数 学
即,01
100
010
001
001
||
4
???? t
t
t
t
t
C
故 t??1时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的基础解系,
第四章
工 程 数 学
显然 ? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的解
设 k1 ? 1+ k2 ? 2+ k3 ? 3+ k4 ?4 =0
则有 k1( ?1+t?2)+k2(?2+t?3)+k3(?3+t?4)+k4(?4+t?1)=0
另 解：
即 (k1+ t k4)?1+(k2+ t k1)?2+(k3+ t k2)?3+(k4+ t k3)?4=0
第四章
工 程 数 学
由于 ?1,?2,?3,?4 线性无关，则有
k1+ t k4 = 0
t k1 + k2 = 0
t k2+ k3 = 0
t k3+ k4 = 0
要 ? 1,? 2,? 3,?4 线性无关，则须上述关于 k1,
k2,k3,k4的齐次线性相关组只有零解
第四章
工 程 数 学
故系数行列式
.01
100
010
001
001
||
4
???? t
t
t
t
t
C
所以 t??1时,? 1,? 2,? 3,?4 是 AX=0 的基础解系,
第四章
工 程 数 学
AX=0 有非零解 ? r(A)<n ；
AX=b
有唯一解 ? r(A)=r(A)=n ；
有无穷多组解 ? r(A)=r(A)<n ；
无解 ? r(A)?r(A).
第四章
工 程 数 学
X=?+ l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
AX=b 的通解结构式：
设 r(A)=r(A)=r,?1,?2,…,?n ?r 是 AX=0
的一个基础解系,? 是 AX=b 的一个特解,
则
AX=0 的通解,
X=l1 ?1+l2 ?2+ …+ ln ?r ?n ?r
作业,P102 5
P110 1.(4),2(1),3.
