第二章
工 程 数 学
第二章
工 程 数 学
第二章 矩阵理论
第二章
工 程 数 学
本章主要讨论以下五个方面的问题：
1,矩阵的概念
2,矩阵的各种运算
3,方阵与分块矩阵
4,矩阵的初等变换与矩阵的秩
5,逆矩阵的概念性质及求法
第二章
工 程 数 学
§ 1,矩阵的概念
实际问题中有些事物可用一个简单的量
来表示, 如 3头牛, 10斤米, 5米布料等, 但还
有很多事物不能简单地用一个量来表示, 如
物质调运方案, 设要将 A1,A2两个仓库中的
某种商品运到 B1,B2,B3,B4四个商店, 若用文
字说明调运方案, 则很哆嗦, 要说明每个仓
库运往每个商店的商品数, 若表示成数表
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
24232221
14131211
aaaa
aaaa
其中 aij( i=1,2; j=1,2,3,4)表示第 i 个仓库运往
第 j 个商店的商品数，则这种表示法比文字叙
述简单方便得多。
2x1+3x2?x3=5
3x1?x2+x3=4
?4x1+x2+7x3=1
再如方程组
第二章
工 程 数 学
显然方程 组的解由未知量 x1,x2,x3 的系数及右
边的常数项唯一确定, 若将 x1,x2,x3的次序排定
后，上述方程 组可用数表
?
?
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?
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?
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1714
4113
5132
简单地表示，这种数表就是所谓的矩阵,
第二章
工 程 数 学
由 m?n个数 aij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 有
序地排列成 m 行 (横排 ) n 列 (竖排 )的数表
?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)m?n,通
常用大写字母 A,B,C,… 表示, m 行 n 列的矩
阵 A 也写成 Am?n,构成矩阵的每个数称为矩阵
的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行第 j 列的元素,
定义
第二章
工 程 数 学
有几种特殊的矩阵,
1) 只有一行的矩阵 (a1,a2,…,an) 称为行矩阵；
?
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?
?
?
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na
a
a
?
2
1
2) 只有一列的矩阵 称为列矩阵 ;
3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若
强调零矩阵是 m 行 n 列的，则记为 Om?n.
第二章
工 程 数 学
规定, 两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相
等 (称它们同型 )，且对应元素也相等，即
若 A=(aij)m?n,B=(bij)m?n,
aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
则称 A 与 B 相等，记作 A=B.
注意, 不同型的零矩阵是不相等的。
第二章
工 程 数 学
有了矩阵的概念后, m 个方程 n 个未知量的线
性方程组
a11x1+a12x2+…+ a1nxn = b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn = b2
…………
am1x1+am2x2+…+ amnxn = bm
第二章
工 程 数 学
与 m 行 n+1 列矩阵
?
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mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
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?????
?
?
21
222221
111211
形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线
性方程组的求解,
第二章
工 程 数 学
例 1.写出线性方程组
2x1+ x2?5x3+4x4=8
x1 ?3 x2 ?5x4=9
2 x2 ?x3 + 2x4 =5
x1+4 x2?7x3+6x4=0
所确定的矩阵,
第二章
工 程 数 学
解,所求矩阵为
?
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?
?
?
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??
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06741
52120
95031
84512
第二章
工 程 数 学
§ 2,矩阵的运算
1,矩阵的加法和减法
设有两个 m?n 矩阵 A=(aij)m?n,B=(bij)m?n,
则矩阵
nmijcC ?? )( nmijij ba ??? )(
称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C=A+B.
注意,只有同型的矩阵才能进行加法运算,
定义 1
第二章
工 程 数 学
易知，矩阵的加法满足下列运算规律：
(i) 交换律,A+B=B+A ;
(ii) 结合律,(A+B)+C=A+(B+C) ;
(iii) A+O=A,
这里 A,B,C,O 均为 m?n 矩阵,
第二章
工 程 数 学
设矩阵 A=(aij)m?n,则称矩阵 (?aij)m?n 为矩阵
A 的负矩阵，记为 ?A,即
nmijaA ???? )(
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???
???
???
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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????
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?
21
22221
11211
显然 A+(?A)=O
第二章
工 程 数 学
利用负矩阵，定义矩阵的减法为
A?B = A+(?B)
=(aij ? bij )m?n,
同样，两矩阵只有同型，才能进行减法运算,
第二章
工 程 数 学
2,数与矩阵的乘法
设 ? 为常数,矩阵 A=(aij)m?n,则称矩阵
(? aij) m?n 为数 ? 与矩阵 A的乘积，记为
?A,即
nmijaA ?? )(??
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
???
???
???
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????
?
?
21
22221
11211
定义 2
第二章
工 程 数 学
易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律：
(i) 结合律,(??)A=?(?)A=? (?A) ;
(ii) 分配律,?(A+B)= ? A+ ? B,
(iii) 1?A=A,(?1)? A= ? A,
其中 A,B均为 m?n 矩阵,而 ?,? 为常数,
(?+? )A = ? A+ ? A ;
第二章
工 程 数 学
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?
??
?
??
??
??
?
??
? ??
315
0112
103
1343解, 3A?2B
??
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??
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6210
022
309
3912
??
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??
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??
921
31110
例 1,设
,
103
134
??
?
??
? ??A
求 3A?2B.
,
315
011
??
?
??
?
??
??B
第二章
工 程 数 学
3,矩阵与矩阵的乘法
设矩阵 A=(aik)m?s,B=(bkj)s?n,则定义 A
与 B 的乘积 C 为
C =AB
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2
1
21
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???
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??
????
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????
sj
j
j
isii
b
b
b
aaa
nmsjisjiji bababa ????? )( 2211 ?
注意,只有第一个矩阵的列数等于第二个
矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘,
定义 3
第二章
工 程 数 学
例 2.设矩阵
,012 301 ?
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??A
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?
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?
?
?
??
02
11
14
B
求乘积 AB 和 BA,
解,
23
32 02
11
14
012
301
?
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?
?
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??
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?AB
=
1?4+0?(?1)+3?2
2?4+1?(?1)+0?2
1?1+0?1+3?0
2?1+1?1+0?0 2237
110
?
??
?
??
??
第二章
工 程 数 学
32
23
012
301
02
11
14
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?
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?
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??BA
33
602
311
1216
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?
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??
由例 2可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至 A
与 B可以相乘, 而 B与 A则不能相乘, 故通常把
AB说成, A右乘以 B”或, B 左乘以 A”.
第二章
工 程 数 学
例 3.设
,11 11 ?
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??
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???A,12
12
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??B
,31 32 ?
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??C,52
51
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试证, (1) AB=O,(2) AC=AD.
证, 1)
??
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??
?
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??? 12
12
11
11AB
??
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??
??
00
00 =O
第二章
工 程 数 学
2)
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???
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??? 31
32
11
11AC
??
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?? 03
03
??
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??
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??
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??? 52
51
11
11AD
??
?
??
?
?? 03
03
故 AC=AD
由例 3知矩阵乘法不满足消去律，且两个
非零矩阵的乘积可能是零阵,
第二章
工 程 数 学
1)在数与数的乘法中,ab=ba (交换律 )
在 /矩阵的乘法中,AB ? AC
比较：
2)在数与数的乘法中,ab=ac (a ? 0 )
? b=c (消去律 )
在矩阵的乘法中,AB = AC ? B = C
3)在数与数的乘法中,ab= 0 ) ? a=0 或 b=0
在矩阵的乘法中,AB = O ? A = O或 B=O
第二章
工 程 数 学
虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，
但可以证明它满足下列运算规律,
(1)结合律, (AB)C=A(BC);
(2)分配律,A(B+C) =AB+AC，
(B+C) A =BA+CA;
(3) ?(AB)=(?A)B=A(?B),?为常数,
第二章
工 程 数 学
方程组的矩阵表示：
设方程组为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
………………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
第二章
工 程 数 学
令,
，
?
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?
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?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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????
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21
22221
11211
系数矩阵
,
2
1
?
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?
?
?
?
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nx
x
x
X
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,
2
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
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mb
b
b
B
?
则上述方程组可用矩阵表示为 AX=B.
第二章
工 程 数 学
4,矩阵的转置
将 m?n 矩阵 A 的行和列互换而顺序不
变，得到的 n?m 矩阵称为 A 的转置矩
阵，记作 AT 或 A'.
如
428642
7531
?
??
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??
??A
.
87
65
43
21
24 ?
?
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T
A
定义 4
第二章
工 程 数 学
可以证明，矩阵的转置满足下列规律：
1) (AT)T=A;
2) (A+B)T=AT+BT;
3) (?A)T=?AT,?为常数；
4) (AB)T=BTAT.
4)的结论可推广到多个矩阵的情况，即
(A1A2… An)T=AnT? A2T A1T
第二章
工 程 数 学
*证 4),设 A=(aij)m?s,B=(bij)s?n,则 (AB)T 是 n?m
矩阵, 而 AT 是 s?m 矩阵,BT 是 n ?s 矩
阵,故 BTAT 也是 n ?m 矩阵,
又 (AB)T 中第 i 行第 j 列的元素是 AB 中
第 j 行第 i 列的元素,即
sijsijij bababa ??? ?2211
( j=1,2,…,n; i=1,2,…,m)
第二章
工 程 数 学
b1i aj1 + b2i aj2+ …+ bsi ajs
= aj1 b1i + aj2 b2i + …+ ajs bsi
( j=1,2,…,n; i=1,2,…,m)
故 (AB)T=BTAT
而 BT 的第 i 行为 (b1i,b2i,…,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,aj2,…,ajs)T,故 BTAT 中第 i 行第 j 列的元素为
第二章
工 程 数 学
例 4.设矩阵
,201 013
32 ?
??
?
??
?
??A
,
114
311
010
33 ?
?
?
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?
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?B
求 (AB)T.
解 (一 )：
33
32 114
311
010
201
013
?
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?AB ?
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?
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218
341
23
23
14
81
)(
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???? TAB
第二章
工 程 数 学
解 (二 ),TTT ABAB ?)( T
T
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201
013
114
111
410
2333
20
01
13
130
111
410
??
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23
23
14
81
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???
第二章
工 程 数 学
§ 3.方阵与分块矩阵
一、方阵
行数与列数相同的矩阵称为方阵，其行
数 (列数 )称为该矩阵的阶,
如 n?n 矩阵 A 称为 n阶方阵，简记为 An,
第二章
工 程 数 学
若 A为 n阶方阵，则可定义幂的运算，记
A?A=A2,A?A ?A =A3,A ?A … A= Ak
k个
显然有 Ak?Al=Ak+l
(Ak) l=Akl (其中 k,l均为正整数 )
第二章
工 程 数 学
设 A,B均为 n 阶方阵，一般地
(AB)k ? AkBk
kkk BAABABABAB ??? ?? )(
注意：
第二章
工 程 数 学
方阵 A 构成的行列式记为 |A| 或 detA,若
|A|?0,则称 A 为非奇异 (非退化 )的；若 |A|=0,
则称 A 为奇异的,
A与 |A| 不同, 前者是矩阵, 它只是一个
,数表,, 后者表行列式, 它是一个特定的
,数,, 且只有方阵才有它对应的行列式,
注意,
第二章
工 程 数 学
由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：
1) |?A|= ?n| A |;
2) |AB|= | A || B |;
3) |Am|= | A |m,
其中 A,B均为 n阶方阵,?为常数,m为正整数,
由以上结论可知，非奇异方阵的积仍是非
奇异方阵, 又 | A |=| AT |,故阵的转置矩阵也是
非奇异方阵,
第二章
工 程 数 学
有几种重要的方阵以后常用到：
1) 单位矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
?
nE
第二章
工 程 数 学
对任何矩阵 Am?n或 An?m,有
Am?nEn= Am?n,EnAn?m= An?m
故 En在矩阵的乘法运算中，其作用类似于数
的乘法运算中的,1”.
若不强调矩阵的阶，则将单位矩阵简记为 E.
第二章
工 程 数 学
2) 对角矩阵
特别,当 a11=a22=…= ann=k 时,称为数量矩阵，即
?
?
?
?
?
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k
k
k
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= kE
?
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1
1
1
?
k
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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nna
a
a
?
22
11
第二章
工 程 数 学
对于对角阵，有
k
nna
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
nn
k
k
a
a
a
?
22
11
第二章
工 程 数 学
3) 三角矩阵,分为上三角矩阵和下三角矩阵两种
上三角矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
aa
aaa
??
?
?
222
11211
下三角矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn aaa
aa
a
?
???
21
2221
11
第二章
工 程 数 学
4) 对称阵,若 AT=A,即 aij=aji( i,j=1,2,…,n),则
称 A 为对称阵，如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
101
042
123
A
即为一个三阶对称阵,
对称阵的特点是,它的元素关于主对角
线对应相等,
第二章
工 程 数 学
5) 反对称阵,若 AT=?A,即 aij=?aji(i=1,2,…,n),
则称为 A 为反对称阵, 这时 aii=0( i=1,2,…,n)，
即反对称阵的主对角线上元素全为零, 如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
032
301
210
A
为三阶反对称阵,
第二章
工 程 数 学
例 1.设 A 为任一方阵，证明 A+AT为对称阵，
A?AT为反对称阵,
证, (A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT
(A?AT)T=AT ?(AT)T=AT ? A= ? (A ? AT)
故 A+AT为对称阵，而 A?AT为反对称阵,
第二章
工 程 数 学
二、分块矩阵
将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵横线分成
许多的矩阵，每个小矩阵称为 A 的子块，以子
块作元素的矩阵 A 称为分块矩阵,
如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2104
1352
4703
4211
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3231
2221
1211
AA
AA
AA
第二章
工 程 数 学
其中
,03 1111 ?
?
?
??
???A,
47
42
12 ??
?
??
?
??A
A21=(2,5),A22=(3,1),
A31=(4,0),A32=(1,2),
为分块矩阵 A 的子块,
将矩阵进行分块后, 大矩阵之间的运算可
转化为若干个小矩阵的运算, 这样可简化运算,
第二章
工 程 数 学
对于同一矩阵，可以根据其不同的特点或不同
需要进行不同的划分，如上述矩阵边可划分成
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2104
1352
4703
4211
，
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?
?
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2104
1352
4703
4211
.
2104
1352
4703
4211
等
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
第二章
工 程 数 学
在对分块矩阵进行运算时, 要注意以下几点：
1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵
进行相同的划分，以保证对应子块同型；
2) 进行乘法运算时，要使对第一个矩阵列
的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能
保证对应子块能相乘；
3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分
块矩阵转置后，再将每个子块转置,
第二章
工 程 数 学
若矩阵 A经过某种分块后，能划分成如下形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mA
A
A
A
?
2
1
其中 A,A2,…,Am 均为方阵，则称 A 为准对角
矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质, 如
第二章
工 程 数 学
如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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3
2
1
210000
112000
015000
000600
000041
000023
A
A
A
就是一个准对角矩阵,
第二章
工 程 数 学
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩
一、矩阵的初等变换
在中学时用高斯消元法解线性方程组时，
要将一个较复杂的方程组变为一个较简单的
同解方程组，往往需将某些方程进行下列三
种变形：
第二章
工 程 数 学
1) 互换两个方程的位置；
2) 将某个方程两边同时乘以一个不为零的
常数 ?；
3) 将某个方程乘以一个数 ?后加到另一个方
程上去，
若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变
形实际上是对方程组对应的矩阵进行变形，
这种变形就是矩阵的初等变换,
第二章
工 程 数 学
对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的
初等行变换,
1) 互换矩阵的两行 (记作 ri?rj);
2) 以数 ??0 乘以矩阵的某一行 (记作 ri??);
3) 将矩阵的某一行各元素乘以数 ? 后加
到另一行的对应元素上去 (记作 ri+?rj ).
将行换成列，则称为矩阵的初等列变换
(所用记号将 r 换成 c )
定义 1
第二章
工 程 数 学
矩阵的初等行变换与列变换统称为 矩阵
的初等变换,
如：
?
?
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421
103
112 c1?c2
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412
130
121
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
630
130
121r3+(?2)r1
第二章
工 程 数 学
二、初等矩阵
单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到
的矩阵称为初等矩阵,
初等矩阵共三种：
第二章
工 程 数 学
?
?
?
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1
1
01
1
10
1
1
),(
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1) ri?rj,得
第 i行
第 j行
第二章
工 程 数 学
2) ri??(??0),得
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1
1
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第 i 行
第二章
工 程 数 学
3) ri+?rj,得
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1
1
1
1
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?jiP
第 i 行
第 j 行
第二章
工 程 数 学
三种列变换也同样对应上三种初等矩阵
E ci?cj P (i,j)
E ci?? P (i(? ))
E cj+?ci P (i,j(? ))
第二章
工 程 数 学
设 A是一个 m?n 矩阵，则对 A 施行一次初
等行变换相当于 A 左乘以一个相应的初等
矩阵；对 A 施行一次列变换，相当于 A 右
乘以一个相应的初等矩阵,
可以验证：
定理 1.
第二章
工 程 数 学
如
?
?
?
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?
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?
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??
411
014
122
A
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?
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122
014
411 =A
1
而
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001
010
100
)3,1( AP
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411
014
122
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??
122
014
411 =A
1
第二章
工 程 数 学
又如
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411
014
122
A
c1?c3
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114
410
221 =A
2
而
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001
010
100
411
014
122
)3,1(AP
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??
114
410
221
于是，矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算,
=A2
第二章
工 程 数 学
三、矩阵的秩
设 A 为 m?n 矩阵, 在 A 中任取 k 行 k 列
(1≤k≤min(m,n) ),由这 k 行 k 列交叉处的
k2 个元素 (不改变它们的相对位置 )所构成
的行列式称为 A 的一个 k 阶子式
定义 2
第二章
工 程 数 学
选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一
阶子式，选择 A 的第一、三行及二、三列,
,
320
001
142
||
?
?
?A
,32 14 ??
的三阶子式为
如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
320
001
142
A
而 A 的唯一则得 A 的一个二阶子式
第二章
工 程 数 学
定义 2
A的不为零的子式的最高阶数称为 A 的秩，
记为 r(A).
m?n矩阵 A 的 k 阶子式共有 个 kmkn CC
(1≤k≤min(m,n)),这些子式中有的为零，有的
不为零，对于不为零的子式，有
第二章
工 程 数 学
由上定义可知
(1) 若 A 为 m?n 矩阵则 r(A)≤m 且 r(A) ≤n
(2) 若 A 为 n?n 矩阵则 r(A)≤n:
?r(A)=n,|A|?0(非奇异阵 )称 A为满秩阵,
?r(A)<n,|A|=0(奇异方阵 )称 A为降秩阵,
第二章
工 程 数 学
关于矩阵的秩，有
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零,
而所有 k+1 阶子式全为零, 则 r(A)=k.
证,由于 A的所有 k+1阶子式全为零, 则 A的任
一 k+2 阶子式按某行 (列 )展开后必为零,
进而全部高于 k+1 阶的子式全为零, 又 A
中至少有一个 k 阶子式不为零,故 r(A)=k
定理 2.
第二章
工 程 数 学
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变,
利用定义 4或定理 2求矩阵的秩较困难，因
为 A 的各阶子式的值不易看出来，因此需要借
助矩阵的初等变换,
可以证明
于是利用定理 3可以通过初等 行变换 把矩
阵变成较简单的形式，从而直接看出矩阵的秩,
定理 3.
第二章
工 程 数 学
例 1.求矩阵
?
?
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?
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??
?
4431
2013
1211
A
的秩,
解：
?
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?
4431
2013
1211
A
r2?3r1
r3?r1
?
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5640
5640
1211
r3?r2
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??
0000
5640
1211 =A
1
第二章
工 程 数 学
上面最后一个矩阵
04 40 11 ???
故 r(A1)=2,从而 r(A)=2.
称为 阶梯形矩阵,易知 A1 的任一三阶子式全
为零，而可找到一个二阶子式不为零，如
?
?
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?
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?
0000
5640
1211
1A
第二章
工 程 数 学
用初等 行变换 求矩阵的秩的步骤,
?
?
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?
?
?
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?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
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21
22221
11211
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0000
00
0
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?????
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??
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行变换
右端矩阵称为阶梯型矩阵，有 r 行不全为零，则
A的秩为 r.
第二章
工 程 数 学
例 2.求
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?
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???
???
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11011
11110
02220
21110
A
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?
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?
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?
?
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???
???
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02220
11110
21110
11011
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?
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?
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???
???
?
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11011
11110
02220
21110
A 的秩,
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
44000
30000
21110
11011
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
21110
1101
? A的秩为 4.
第二章
工 程 数 学
例 3.已知矩阵
?
?
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?
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?
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?
?
2540
002
1121
tA 的秩为 2,求 t 的值,
解：
?
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?
?
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??
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?
2540
002
1121
tA
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???
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2540
2240
1121
t
?
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??
0300
2240
1121
t
t－
－
? r(A)=2 ? 3 ? t =0,即 t =3
第二章
工 程 数 学
若对阶梯形矩阵再施行 列变换,则可化为
最简形式：
?
?
?
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000
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00000
00100
00010
00001
??
???????
??
???????
??
??
右端 矩阵 称为 A 的标准形，其左上角为一个
r 阶单位阵 ( r = r( A )),其余元素全为零,
第二章
工 程 数 学
由上可知, 秩为 r 的 m?n 矩阵有相同的
标准型, 且若 A 为 n 阶满秩阵 (r(A)=n,|A|?0),
则 A 的标准型为 n 阶单位阵 E.
第二章
工 程 数 学
例 4.求例 2中 A 的标准型,
解, A 行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
30000
44000
21110
11011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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30000
44000
21110
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
00010
00001
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10000
01000
00010
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
01000
00100
00010
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
04000
00010
00001
第二章
工 程 数 学
§ 5.可逆矩阵
一、逆矩阵的定义
设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵
B,使 AB=BA=E
则称 B 为 A 的逆矩阵，此时也称 A 可逆,
由定义 1可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则
A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆的,
定义 1
第二章
工 程 数 学
若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵
是唯一的,
证,设 B,C均为 A的逆矩阵，则
C=CE=C(AB)=(CA)B=EB=B
故 A 的逆矩阵是唯一的,
由矩阵 A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的
逆矩阵为 A?1.
定理 1.
第二章
工 程 数 学
例 1.设 a11a22… ann?0,则由定义可直接验证对角
矩阵的逆矩阵
1
22
11
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
nna
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
nna
a
a
?
第二章
工 程 数 学
例 2.若方阵 A1,A2,…,Am 均可逆，则准对角
矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mA
A
A
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
mA
A
A
?
第二章
工 程 数 学
二、矩阵可逆的条件及求逆公式
设 n 阶方阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
Aij为元素 aij 的代数余子式 (i,j=1,2,…,n),
定义 2
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
?
21
32313
22212
12111
*
称为矩阵 A 的伴随矩阵,
则矩阵
第二章
工 程 数 学
例 3.求矩阵
??
?
??
??
2221
1211
aa
aaA 的伴随矩阵 A*.
解,A11=a22,A12= ?a21,A21= ?a12,A22=a11
.*
1121
1222
?
?
?
?
?
?
?
?
??
aa
aa
A
第二章
工 程 数 学
例 4.求三阶矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A 的伴随矩阵 A*.
解, A11=2,A12= ?3,A13 = 2,
A21=6,A22= ?6,A23 = 2,
A31= ?4,A32= 5,A33 = ?2,
故
.
222
563
462
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第二章
工 程 数 学
且 *
||
11 A
AA ?
?
其中 A* 为 A 的伴随矩阵,
方阵 A 可逆 ? | A |?0,
证,必要性,设 A 可逆，则 ?A?1,使
AA?1 =E,
则 | A | | A?1 |=| AA?1 |=| E |=1
故 | A |?0,
定理 2.
第二章
工 程 数 学
充分性,设 | A |?0,记 A=(aij)n?n,由 Laplace展开
定理有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
?
????
?
?
21
22221
11211
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
?
????
?
?
21
22221
11211
=| A | E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
||
||
||
A
A
A
?
第二章
工 程 数 学
=| A | E
?AA*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
?
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21
22221
11211
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
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?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
||
||
||
A
A
A
?
第二章
工 程 数 学
于是
EAAAAAA ??? )|| 1()|| 1( **
从而
*1
||
1 A
AA ?
?
第二章
工 程 数 学
例 5.设
,
2221
1211 ?
?
?
??
??
aa
aaA,021122211 ?? aaaa 求 A?1.
解,?
,
2221
1211 ?
?
?
??
??
aa
aaA
,
1121
1222*
??
?
??
?
?
??
aa
aaA | A |?0,
*1
||
1 A
AA ??
? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
1121
1222
21122211
1
aa
aa
aaaa
第二章
工 程 数 学
例 6.设,
5400
3200
0052
0021
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A 求 A?1.
解,令
,52 211 ?
?
?
??
??A,
54
32
2 ??
?
??
??A
则
??
?
??
??
2
1
0
0
A
AA 为准对角矩阵,
且 | A1 |=5?4=1?0,
|| 1
*
11
1 A
AA ??,
12
25
??
?
??
?
?
??
第二章
工 程 数 学
| A2 |=10?12= ? 2?0,
|| 2
*
21
2 A
AA ??
??
?
??
?
?
???
24
35
2
1
??
?
??
?
?
??
12
2325
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
??
1
2
1
11
0
0
A
AA,
1200
232500
0012
0025
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
第二章
工 程 数 学
例 7.求例 3中 A 的逆矩阵,
解,由例 3知
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
222
563
462
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第二章
工 程 数 学
02
343
122
321
|| ???A而
*1
||
1 A
AA ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
222
563
462
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
25323
231
第二章
工 程 数 学
由定理 2还可得
设 A,B均为 n 阶方程，若 AB=E(或
BA=E),则 B=A?1
证,? |A| |B | = | AB | = | E | = 1
且 A ?1=A ?1 E=A ?1 (AB)=(A ?1 A)B=B
则 |A|?0,A 可逆
推论：
第二章
工 程 数 学
三、逆矩阵的性质
矩阵的逆满足下列性质：
1) (A?1) ?1 =A ; 2);1)( 11 ?? ? AA ??
3) (AT)?1 =(A?1) T; 4) (AB)?1 =B ?1 A?1;
5)
11 ||
||
1|| ?? ?? A
A
A
6) 若 AB=AC 且 A 可逆 ?B=C
第二章
工 程 数 学
性质 4还可推广到 m 个方阵的情形，即
.)( 11121121 ??? ? AAAAAA mm ??
特别,(Am)?1=(A?1)m
第二章
工 程 数 学
四、用初等行变换求逆矩阵
若方阵 A 可逆，则存在有限个初
等矩阵 P1,P2,…,Pm,使
A=P1 P2 … Pm
定理 3.
第二章
工 程 数 学
证,?A可逆，则 r(A)=n,从而 A 的标准形为 n
阶单位矩阵 E,于是存在有限次初等变换，
使 A 化为 E ； 反之，也存在有限次初等
变换使 E 化为 A,故 ?P1,P2,…,Pm使
P1 P2 … Ps EPs+1 … Pm =A
即 A=P1P2… Pm
第二章
工 程 数 学
显然初等矩阵的行列式均不为零, 即
P1,P2,…,Pm 均可逆, 且逆矩阵仍为初等矩阵,
由
A=P1,P2,…,Pm
得 1
11211 ???? ? PPPA m ? EPPP m 11121 ???? ?
APPPAAE m 111211 ???? ?? ?
而
第二章
工 程 数 学
由上两式知,A 经过一系列初等行变换变
为 E, 则 E 经过同样的行变换变为 A?1,即
( A|E ) 初等行变换 (E | A?1)
EPPPA m 111211 ???? ? ?
APPPE m 11121 ???? ?
第二章
工 程 数 学
例 8.设
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A 求 A
?1.
解,(A|E)=
343
122
321
100
010
001
620
520
321
??
??
103
012
001
?
?
第二章
工 程 数 学
100
520
201
?
??
?
111
012
011
??
?
?
100
020
001
?
?
111
563
231
??
?
?
第二章
工 程 数 学
100
010
001
111
25323
231
?
??
?
故
?
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??
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??
111
25323
231
1A
第二章
工 程 数 学
五、逆矩阵的应用
1) 解方程
设 n 个方程 n个未知量的线性方程组为
AX=B
其中 A=(aij)n?n,若 | A |?0,则 A?1 存在，且
X=A ?1 B
.|| 1 * BAA?
这实际上是克莱姆法则的矩阵表示，若求
出 A?1,则能得到方程组的解,
第二章
工 程 数 学
例 9.设方程组为
x1+2x2+3x3=1
2x1+2x2+x3=?1
3x1+4x2+3x3=3
解此方程组,
解,令,
343
122
321
?
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?
?
?
?
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?A,
3
1
1
?
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??B,
3
2
1
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?
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?
x
x
x
X
原方程组为 AX=B,X=A?1 B
由于 | A |=2?0,A可逆，故
第二章
工 程 数 学
而
,
111
25323
231
1
?
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?
?
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??A
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3
2
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x
x
x
X BA
1??
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?
111
25323
231
?
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?
3
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
9
8
即 x1= ?8,x2= 9,x3= ?3.
第二章
工 程 数 学
17
213
124
021
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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??
?
31
52
41
213
124
021
X
2) 解矩阵方程
例 10.设
解：
?
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31
52
41
213
124
021
1
X
?0
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
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31
52
41
652
1211
245
17
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
356
3716
615
17
1
第二章
工 程 数 学
例 11.设 A,B为三阶矩阵,I 为三阶单位
阵，满足
AB+I=A2+B
又已知,
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 B.
第二章
工 程 数 学
解,由 AB+I=A2+B ? AB?B=A2?I
? (A?I)B =( A?I )( A+I )
,
001
010
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? IA? | A?I |?0,A?I 可逆,
故 B=A+I
?
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?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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100
010
001
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
201
030
102
工 程 数 学
第二章
工 程 数 学
第二章 矩阵理论
第二章
工 程 数 学
本章主要讨论以下五个方面的问题：
1,矩阵的概念
2,矩阵的各种运算
3,方阵与分块矩阵
4,矩阵的初等变换与矩阵的秩
5,逆矩阵的概念性质及求法
第二章
工 程 数 学
§ 1,矩阵的概念
实际问题中有些事物可用一个简单的量
来表示, 如 3头牛, 10斤米, 5米布料等, 但还
有很多事物不能简单地用一个量来表示, 如
物质调运方案, 设要将 A1,A2两个仓库中的
某种商品运到 B1,B2,B3,B4四个商店, 若用文
字说明调运方案, 则很哆嗦, 要说明每个仓
库运往每个商店的商品数, 若表示成数表
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
24232221
14131211
aaaa
aaaa
其中 aij( i=1,2; j=1,2,3,4)表示第 i 个仓库运往
第 j 个商店的商品数，则这种表示法比文字叙
述简单方便得多。
2x1+3x2?x3=5
3x1?x2+x3=4
?4x1+x2+7x3=1
再如方程组
第二章
工 程 数 学
显然方程 组的解由未知量 x1,x2,x3 的系数及右
边的常数项唯一确定, 若将 x1,x2,x3的次序排定
后，上述方程 组可用数表
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1714
4113
5132
简单地表示，这种数表就是所谓的矩阵,
第二章
工 程 数 学
由 m?n个数 aij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) 有
序地排列成 m 行 (横排 ) n 列 (竖排 )的数表
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记为 (aij)m?n,通
常用大写字母 A,B,C,… 表示, m 行 n 列的矩
阵 A 也写成 Am?n,构成矩阵的每个数称为矩阵
的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行第 j 列的元素,
定义
第二章
工 程 数 学
有几种特殊的矩阵,
1) 只有一行的矩阵 (a1,a2,…,an) 称为行矩阵；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
na
a
a
?
2
1
2) 只有一列的矩阵 称为列矩阵 ;
3) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 O,若
强调零矩阵是 m 行 n 列的，则记为 Om?n.
第二章
工 程 数 学
规定, 两个矩阵 A 和 B 若行数相等，列数也相
等 (称它们同型 )，且对应元素也相等，即
若 A=(aij)m?n,B=(bij)m?n,
aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)
则称 A 与 B 相等，记作 A=B.
注意, 不同型的零矩阵是不相等的。
第二章
工 程 数 学
有了矩阵的概念后, m 个方程 n 个未知量的线
性方程组
a11x1+a12x2+…+ a1nxn = b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn = b2
…………
am1x1+am2x2+…+ amnxn = bm
第二章
工 程 数 学
与 m 行 n+1 列矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
?
?????
?
?
21
222221
111211
形成一一对应，于是可利用矩阵来研究线
性方程组的求解,
第二章
工 程 数 学
例 1.写出线性方程组
2x1+ x2?5x3+4x4=8
x1 ?3 x2 ?5x4=9
2 x2 ?x3 + 2x4 =5
x1+4 x2?7x3+6x4=0
所确定的矩阵,
第二章
工 程 数 学
解,所求矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
06741
52120
95031
84512
第二章
工 程 数 学
§ 2,矩阵的运算
1,矩阵的加法和减法
设有两个 m?n 矩阵 A=(aij)m?n,B=(bij)m?n,
则矩阵
nmijcC ?? )( nmijij ba ??? )(
称为矩阵 A 与 B 的和，记为 C=A+B.
注意,只有同型的矩阵才能进行加法运算,
定义 1
第二章
工 程 数 学
易知，矩阵的加法满足下列运算规律：
(i) 交换律,A+B=B+A ;
(ii) 结合律,(A+B)+C=A+(B+C) ;
(iii) A+O=A,
这里 A,B,C,O 均为 m?n 矩阵,
第二章
工 程 数 学
设矩阵 A=(aij)m?n,则称矩阵 (?aij)m?n 为矩阵
A 的负矩阵，记为 ?A,即
nmijaA ???? )(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
显然 A+(?A)=O
第二章
工 程 数 学
利用负矩阵，定义矩阵的减法为
A?B = A+(?B)
=(aij ? bij )m?n,
同样，两矩阵只有同型，才能进行减法运算,
第二章
工 程 数 学
2,数与矩阵的乘法
设 ? 为常数,矩阵 A=(aij)m?n,则称矩阵
(? aij) m?n 为数 ? 与矩阵 A的乘积，记为
?A,即
nmijaA ?? )(??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
???
???
???
?
????
?
?
21
22221
11211
定义 2
第二章
工 程 数 学
易知，数与矩阵的乘法满足下列运算规律：
(i) 结合律,(??)A=?(?)A=? (?A) ;
(ii) 分配律,?(A+B)= ? A+ ? B,
(iii) 1?A=A,(?1)? A= ? A,
其中 A,B均为 m?n 矩阵,而 ?,? 为常数,
(?+? )A = ? A+ ? A ;
第二章
工 程 数 学
??
?
??
?
??
??
??
?
??
? ??
315
0112
103
1343解, 3A?2B
??
?
??
?
??
??
??
?
??
? ??
6210
022
309
3912
??
?
??
?
?
??
921
31110
例 1,设
,
103
134
??
?
??
? ??A
求 3A?2B.
,
315
011
??
?
??
?
??
??B
第二章
工 程 数 学
3,矩阵与矩阵的乘法
设矩阵 A=(aik)m?s,B=(bkj)s?n,则定义 A
与 B 的乘积 C 为
C =AB
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
21
??
???
??
??
????
?
????
sj
j
j
isii
b
b
b
aaa
nmsjisjiji bababa ????? )( 2211 ?
注意,只有第一个矩阵的列数等于第二个
矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘,
定义 3
第二章
工 程 数 学
例 2.设矩阵
,012 301 ?
?
?
??
??A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
02
11
14
B
求乘积 AB 和 BA,
解,
23
32 02
11
14
012
301
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?AB
=
1?4+0?(?1)+3?2
2?4+1?(?1)+0?2
1?1+0?1+3?0
2?1+1?1+0?0 2237
110
?
??
?
??
??
第二章
工 程 数 学
32
23
012
301
02
11
14
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??BA
33
602
311
1216
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
由例 2可知矩阵乘法不满足交换律,有时甚至 A
与 B可以相乘, 而 B与 A则不能相乘, 故通常把
AB说成, A右乘以 B”或, B 左乘以 A”.
第二章
工 程 数 学
例 3.设
,11 11 ?
?
?
??
?
???A,12
12
??
?
??
?
?
??B
,31 32 ?
?
?
??
?
??C,52
51
??
?
??
? ??D
试证, (1) AB=O,(2) AC=AD.
证, 1)
??
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??? 12
12
11
11AB
??
?
??
??
00
00 =O
第二章
工 程 数 学
2)
??
?
??
?
???
?
??
?
??? 31
32
11
11AC
??
?
??
?
?? 03
03
??
?
??
? ?
??
?
??
?
??? 52
51
11
11AD
??
?
??
?
?? 03
03
故 AC=AD
由例 3知矩阵乘法不满足消去律，且两个
非零矩阵的乘积可能是零阵,
第二章
工 程 数 学
1)在数与数的乘法中,ab=ba (交换律 )
在 /矩阵的乘法中,AB ? AC
比较：
2)在数与数的乘法中,ab=ac (a ? 0 )
? b=c (消去律 )
在矩阵的乘法中,AB = AC ? B = C
3)在数与数的乘法中,ab= 0 ) ? a=0 或 b=0
在矩阵的乘法中,AB = O ? A = O或 B=O
第二章
工 程 数 学
虽然矩阵乘法不满足交换律、消去律等，
但可以证明它满足下列运算规律,
(1)结合律, (AB)C=A(BC);
(2)分配律,A(B+C) =AB+AC，
(B+C) A =BA+CA;
(3) ?(AB)=(?A)B=A(?B),?为常数,
第二章
工 程 数 学
方程组的矩阵表示：
设方程组为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=b2
………………
am1x1+am2x2+…+ amnxn=bm
第二章
工 程 数 学
令,
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
系数矩阵
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
X
?
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mb
b
b
B
?
则上述方程组可用矩阵表示为 AX=B.
第二章
工 程 数 学
4,矩阵的转置
将 m?n 矩阵 A 的行和列互换而顺序不
变，得到的 n?m 矩阵称为 A 的转置矩
阵，记作 AT 或 A'.
如
428642
7531
?
??
?
??
??A
.
87
65
43
21
24 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
T
A
定义 4
第二章
工 程 数 学
可以证明，矩阵的转置满足下列规律：
1) (AT)T=A;
2) (A+B)T=AT+BT;
3) (?A)T=?AT,?为常数；
4) (AB)T=BTAT.
4)的结论可推广到多个矩阵的情况，即
(A1A2… An)T=AnT? A2T A1T
第二章
工 程 数 学
*证 4),设 A=(aij)m?s,B=(bij)s?n,则 (AB)T 是 n?m
矩阵, 而 AT 是 s?m 矩阵,BT 是 n ?s 矩
阵,故 BTAT 也是 n ?m 矩阵,
又 (AB)T 中第 i 行第 j 列的元素是 AB 中
第 j 行第 i 列的元素,即
sijsijij bababa ??? ?2211
( j=1,2,…,n; i=1,2,…,m)
第二章
工 程 数 学
b1i aj1 + b2i aj2+ …+ bsi ajs
= aj1 b1i + aj2 b2i + …+ ajs bsi
( j=1,2,…,n; i=1,2,…,m)
故 (AB)T=BTAT
而 BT 的第 i 行为 (b1i,b2i,…,bsi),AT 的第 j 列为
(aj1,aj2,…,ajs)T,故 BTAT 中第 i 行第 j 列的元素为
第二章
工 程 数 学
例 4.设矩阵
,201 013
32 ?
??
?
??
?
??A
,
114
311
010
33 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
求 (AB)T.
解 (一 )：
33
32 114
311
010
201
013
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?AB ?
?
?
??
?
?
??
218
341
23
23
14
81
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? TAB
第二章
工 程 数 学
解 (二 ),TTT ABAB ?)( T
T
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
201
013
114
111
410
2333
20
01
13
130
111
410
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
23
23
14
81
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
第二章
工 程 数 学
§ 3.方阵与分块矩阵
一、方阵
行数与列数相同的矩阵称为方阵，其行
数 (列数 )称为该矩阵的阶,
如 n?n 矩阵 A 称为 n阶方阵，简记为 An,
第二章
工 程 数 学
若 A为 n阶方阵，则可定义幂的运算，记
A?A=A2,A?A ?A =A3,A ?A … A= Ak
k个
显然有 Ak?Al=Ak+l
(Ak) l=Akl (其中 k,l均为正整数 )
第二章
工 程 数 学
设 A,B均为 n 阶方阵，一般地
(AB)k ? AkBk
kkk BAABABABAB ??? ?? )(
注意：
第二章
工 程 数 学
方阵 A 构成的行列式记为 |A| 或 detA,若
|A|?0,则称 A 为非奇异 (非退化 )的；若 |A|=0,
则称 A 为奇异的,
A与 |A| 不同, 前者是矩阵, 它只是一个
,数表,, 后者表行列式, 它是一个特定的
,数,, 且只有方阵才有它对应的行列式,
注意,
第二章
工 程 数 学
由行列式的性质及矩阵的乘法可以证明：
1) |?A|= ?n| A |;
2) |AB|= | A || B |;
3) |Am|= | A |m,
其中 A,B均为 n阶方阵,?为常数,m为正整数,
由以上结论可知，非奇异方阵的积仍是非
奇异方阵, 又 | A |=| AT |,故阵的转置矩阵也是
非奇异方阵,
第二章
工 程 数 学
有几种重要的方阵以后常用到：
1) 单位矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
?
nE
第二章
工 程 数 学
对任何矩阵 Am?n或 An?m,有
Am?nEn= Am?n,EnAn?m= An?m
故 En在矩阵的乘法运算中，其作用类似于数
的乘法运算中的,1”.
若不强调矩阵的阶，则将单位矩阵简记为 E.
第二章
工 程 数 学
2) 对角矩阵
特别,当 a11=a22=…= ann=k 时,称为数量矩阵，即
?
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?
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k
k
k
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= kE
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1
1
1
?
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
nna
a
a
?
22
11
第二章
工 程 数 学
对于对角阵，有
k
nna
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
22
11
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
k
nn
k
k
a
a
a
?
22
11
第二章
工 程 数 学
3) 三角矩阵,分为上三角矩阵和下三角矩阵两种
上三角矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
aa
aaa
??
?
?
222
11211
下三角矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn aaa
aa
a
?
???
21
2221
11
第二章
工 程 数 学
4) 对称阵,若 AT=A,即 aij=aji( i,j=1,2,…,n),则
称 A 为对称阵，如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
101
042
123
A
即为一个三阶对称阵,
对称阵的特点是,它的元素关于主对角
线对应相等,
第二章
工 程 数 学
5) 反对称阵,若 AT=?A,即 aij=?aji(i=1,2,…,n),
则称为 A 为反对称阵, 这时 aii=0( i=1,2,…,n)，
即反对称阵的主对角线上元素全为零, 如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
032
301
210
A
为三阶反对称阵,
第二章
工 程 数 学
例 1.设 A 为任一方阵，证明 A+AT为对称阵，
A?AT为反对称阵,
证, (A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT
(A?AT)T=AT ?(AT)T=AT ? A= ? (A ? AT)
故 A+AT为对称阵，而 A?AT为反对称阵,
第二章
工 程 数 学
二、分块矩阵
将矩阵 A 用若干条贯穿矩阵的纵横线分成
许多的矩阵，每个小矩阵称为 A 的子块，以子
块作元素的矩阵 A 称为分块矩阵,
如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2104
1352
4703
4211
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3231
2221
1211
AA
AA
AA
第二章
工 程 数 学
其中
,03 1111 ?
?
?
??
???A,
47
42
12 ??
?
??
?
??A
A21=(2,5),A22=(3,1),
A31=(4,0),A32=(1,2),
为分块矩阵 A 的子块,
将矩阵进行分块后, 大矩阵之间的运算可
转化为若干个小矩阵的运算, 这样可简化运算,
第二章
工 程 数 学
对于同一矩阵，可以根据其不同的特点或不同
需要进行不同的划分，如上述矩阵边可划分成
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2104
1352
4703
4211
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2104
1352
4703
4211
.
2104
1352
4703
4211
等
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
第二章
工 程 数 学
在对分块矩阵进行运算时, 要注意以下几点：
1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵
进行相同的划分，以保证对应子块同型；
2) 进行乘法运算时，要使对第一个矩阵列
的分法与第二个矩阵行的分法一致，这样才能
保证对应子块能相乘；
3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分
块矩阵转置后，再将每个子块转置,
第二章
工 程 数 学
若矩阵 A经过某种分块后，能划分成如下形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mA
A
A
A
?
2
1
其中 A,A2,…,Am 均为方阵，则称 A 为准对角
矩阵，它有着与对角矩阵类似的性质, 如
第二章
工 程 数 学
如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
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?
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??
3
2
1
210000
112000
015000
000600
000041
000023
A
A
A
就是一个准对角矩阵,
第二章
工 程 数 学
§ 4.矩阵的初等变换与矩阵的秩
一、矩阵的初等变换
在中学时用高斯消元法解线性方程组时，
要将一个较复杂的方程组变为一个较简单的
同解方程组，往往需将某些方程进行下列三
种变形：
第二章
工 程 数 学
1) 互换两个方程的位置；
2) 将某个方程两边同时乘以一个不为零的
常数 ?；
3) 将某个方程乘以一个数 ?后加到另一个方
程上去，
若用矩阵来讨论线性方程组，则上述变
形实际上是对方程组对应的矩阵进行变形，
这种变形就是矩阵的初等变换,
第二章
工 程 数 学
对矩阵施行下列三种变换均称为矩阵的
初等行变换,
1) 互换矩阵的两行 (记作 ri?rj);
2) 以数 ??0 乘以矩阵的某一行 (记作 ri??);
3) 将矩阵的某一行各元素乘以数 ? 后加
到另一行的对应元素上去 (记作 ri+?rj ).
将行换成列，则称为矩阵的初等列变换
(所用记号将 r 换成 c )
定义 1
第二章
工 程 数 学
矩阵的初等行变换与列变换统称为 矩阵
的初等变换,
如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
421
103
112 c1?c2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
412
130
121
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
630
130
121r3+(?2)r1
第二章
工 程 数 学
二、初等矩阵
单位矩阵 E 经过一次初等变换后得到
的矩阵称为初等矩阵,
初等矩阵共三种：
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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1
1
01
1
10
1
1
),(
?
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??
?
?
jiP
1) ri?rj,得
第 i行
第 j行
第二章
工 程 数 学
2) ri??(??0),得
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?
?
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?
?
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?
?
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1
1
1
1
))((
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??iP
第 i 行
第二章
工 程 数 学
3) ri+?rj,得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
1
1
1
1
))(,(
?
??
?
?
?
?jiP
第 i 行
第 j 行
第二章
工 程 数 学
三种列变换也同样对应上三种初等矩阵
E ci?cj P (i,j)
E ci?? P (i(? ))
E cj+?ci P (i,j(? ))
第二章
工 程 数 学
设 A是一个 m?n 矩阵，则对 A 施行一次初
等行变换相当于 A 左乘以一个相应的初等
矩阵；对 A 施行一次列变换，相当于 A 右
乘以一个相应的初等矩阵,
可以验证：
定理 1.
第二章
工 程 数 学
如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
411
014
122
A
r1?r3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
122
014
411 =A
1
而
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
010
100
)3,1( AP
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
411
014
122
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
122
014
411 =A
1
第二章
工 程 数 学
又如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
411
014
122
A
c1?c3
?
?
?
?
?
?
?
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?
114
410
221 =A
2
而
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?
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?
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??
001
010
100
411
014
122
)3,1(AP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
114
410
221
于是，矩阵的初等变换可看成矩阵的一种运算,
=A2
第二章
工 程 数 学
三、矩阵的秩
设 A 为 m?n 矩阵, 在 A 中任取 k 行 k 列
(1≤k≤min(m,n) ),由这 k 行 k 列交叉处的
k2 个元素 (不改变它们的相对位置 )所构成
的行列式称为 A 的一个 k 阶子式
定义 2
第二章
工 程 数 学
选取第一行、第一列的元素 2 则为 A 的个一
阶子式，选择 A 的第一、三行及二、三列,
,
320
001
142
||
?
?
?A
,32 14 ??
的三阶子式为
如：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
320
001
142
A
而 A 的唯一则得 A 的一个二阶子式
第二章
工 程 数 学
定义 2
A的不为零的子式的最高阶数称为 A 的秩，
记为 r(A).
m?n矩阵 A 的 k 阶子式共有 个 kmkn CC
(1≤k≤min(m,n)),这些子式中有的为零，有的
不为零，对于不为零的子式，有
第二章
工 程 数 学
由上定义可知
(1) 若 A 为 m?n 矩阵则 r(A)≤m 且 r(A) ≤n
(2) 若 A 为 n?n 矩阵则 r(A)≤n:
?r(A)=n,|A|?0(非奇异阵 )称 A为满秩阵,
?r(A)<n,|A|=0(奇异方阵 )称 A为降秩阵,
第二章
工 程 数 学
关于矩阵的秩，有
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零,
而所有 k+1 阶子式全为零, 则 r(A)=k.
证,由于 A的所有 k+1阶子式全为零, 则 A的任
一 k+2 阶子式按某行 (列 )展开后必为零,
进而全部高于 k+1 阶的子式全为零, 又 A
中至少有一个 k 阶子式不为零,故 r(A)=k
定理 2.
第二章
工 程 数 学
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变,
利用定义 4或定理 2求矩阵的秩较困难，因
为 A 的各阶子式的值不易看出来，因此需要借
助矩阵的初等变换,
可以证明
于是利用定理 3可以通过初等 行变换 把矩
阵变成较简单的形式，从而直接看出矩阵的秩,
定理 3.
第二章
工 程 数 学
例 1.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
4431
2013
1211
A
的秩,
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
4431
2013
1211
A
r2?3r1
r3?r1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5640
5640
1211
r3?r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
5640
1211 =A
1
第二章
工 程 数 学
上面最后一个矩阵
04 40 11 ???
故 r(A1)=2,从而 r(A)=2.
称为 阶梯形矩阵,易知 A1 的任一三阶子式全
为零，而可找到一个二阶子式不为零，如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
5640
1211
1A
第二章
工 程 数 学
用初等 行变换 求矩阵的秩的步骤,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
??
?
?
21
22221
11211
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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?
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0000
00
0
?
?????
?
???
??
???
行变换
右端矩阵称为阶梯型矩阵，有 r 行不全为零，则
A的秩为 r.
第二章
工 程 数 学
例 2.求
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
11011
11110
02220
21110
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
02220
11110
21110
11011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
11011
11110
02220
21110
A 的秩,
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
44000
30000
21110
11011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
21110
1101
? A的秩为 4.
第二章
工 程 数 学
例 3.已知矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2540
002
1121
tA 的秩为 2,求 t 的值,
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2540
002
1121
tA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
2540
2240
1121
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0300
2240
1121
t
t－
－
? r(A)=2 ? 3 ? t =0,即 t =3
第二章
工 程 数 学
若对阶梯形矩阵再施行 列变换,则可化为
最简形式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?????
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????
?
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000
00
0
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
00100
00010
00001
??
???????
??
???????
??
??
右端 矩阵 称为 A 的标准形，其左上角为一个
r 阶单位阵 ( r = r( A )),其余元素全为零,
第二章
工 程 数 学
由上可知, 秩为 r 的 m?n 矩阵有相同的
标准型, 且若 A 为 n 阶满秩阵 (r(A)=n,|A|?0),
则 A 的标准型为 n 阶单位阵 E.
第二章
工 程 数 学
例 4.求例 2中 A 的标准型,
解, A 行变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
21110
11011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
21110
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
44000
00010
00001
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10000
01000
00010
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
01000
00100
00010
00001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
30000
04000
00010
00001
第二章
工 程 数 学
§ 5.可逆矩阵
一、逆矩阵的定义
设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵
B,使 AB=BA=E
则称 B 为 A 的逆矩阵，此时也称 A 可逆,
由定义 1可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则
A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆的,
定义 1
第二章
工 程 数 学
若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵
是唯一的,
证,设 B,C均为 A的逆矩阵，则
C=CE=C(AB)=(CA)B=EB=B
故 A 的逆矩阵是唯一的,
由矩阵 A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的
逆矩阵为 A?1.
定理 1.
第二章
工 程 数 学
例 1.设 a11a22… ann?0,则由定义可直接验证对角
矩阵的逆矩阵
1
22
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nna
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
nna
a
a
?
第二章
工 程 数 学
例 2.若方阵 A1,A2,…,Am 均可逆，则准对角
矩阵与对角矩阵类似地有逆矩阵
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mA
A
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
mA
A
A
?
第二章
工 程 数 学
二、矩阵可逆的条件及求逆公式
设 n 阶方阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
Aij为元素 aij 的代数余子式 (i,j=1,2,…,n),
定义 2
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
?
21
32313
22212
12111
*
称为矩阵 A 的伴随矩阵,
则矩阵
第二章
工 程 数 学
例 3.求矩阵
??
?
??
??
2221
1211
aa
aaA 的伴随矩阵 A*.
解,A11=a22,A12= ?a21,A21= ?a12,A22=a11
.*
1121
1222
?
?
?
?
?
?
?
?
??
aa
aa
A
第二章
工 程 数 学
例 4.求三阶矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A 的伴随矩阵 A*.
解, A11=2,A12= ?3,A13 = 2,
A21=6,A22= ?6,A23 = 2,
A31= ?4,A32= 5,A33 = ?2,
故
.
222
563
462
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第二章
工 程 数 学
且 *
||
11 A
AA ?
?
其中 A* 为 A 的伴随矩阵,
方阵 A 可逆 ? | A |?0,
证,必要性,设 A 可逆，则 ?A?1,使
AA?1 =E,
则 | A | | A?1 |=| AA?1 |=| E |=1
故 | A |?0,
定理 2.
第二章
工 程 数 学
充分性,设 | A |?0,记 A=(aij)n?n,由 Laplace展开
定理有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
?
????
?
?
21
22221
11211
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
?
????
?
?
21
22221
11211
=| A | E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
||
||
||
A
A
A
?
第二章
工 程 数 学
=| A | E
?AA*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
||
||
||
A
A
A
?
第二章
工 程 数 学
于是
EAAAAAA ??? )|| 1()|| 1( **
从而
*1
||
1 A
AA ?
?
第二章
工 程 数 学
例 5.设
,
2221
1211 ?
?
?
??
??
aa
aaA,021122211 ?? aaaa 求 A?1.
解,?
,
2221
1211 ?
?
?
??
??
aa
aaA
,
1121
1222*
??
?
??
?
?
??
aa
aaA | A |?0,
*1
||
1 A
AA ??
? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
1121
1222
21122211
1
aa
aa
aaaa
第二章
工 程 数 学
例 6.设,
5400
3200
0052
0021
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A 求 A?1.
解,令
,52 211 ?
?
?
??
??A,
54
32
2 ??
?
??
??A
则
??
?
??
??
2
1
0
0
A
AA 为准对角矩阵,
且 | A1 |=5?4=1?0,
|| 1
*
11
1 A
AA ??,
12
25
??
?
??
?
?
??
第二章
工 程 数 学
| A2 |=10?12= ? 2?0,
|| 2
*
21
2 A
AA ??
??
?
??
?
?
???
24
35
2
1
??
?
??
?
?
??
12
2325
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
??
1
2
1
11
0
0
A
AA,
1200
232500
0012
0025
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
第二章
工 程 数 学
例 7.求例 3中 A 的逆矩阵,
解,由例 3知
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
222
563
462
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?A
第二章
工 程 数 学
02
343
122
321
|| ???A而
*1
||
1 A
AA ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
222
563
462
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
25323
231
第二章
工 程 数 学
由定理 2还可得
设 A,B均为 n 阶方程，若 AB=E(或
BA=E),则 B=A?1
证,? |A| |B | = | AB | = | E | = 1
且 A ?1=A ?1 E=A ?1 (AB)=(A ?1 A)B=B
则 |A|?0,A 可逆
推论：
第二章
工 程 数 学
三、逆矩阵的性质
矩阵的逆满足下列性质：
1) (A?1) ?1 =A ; 2);1)( 11 ?? ? AA ??
3) (AT)?1 =(A?1) T; 4) (AB)?1 =B ?1 A?1;
5)
11 ||
||
1|| ?? ?? A
A
A
6) 若 AB=AC 且 A 可逆 ?B=C
第二章
工 程 数 学
性质 4还可推广到 m 个方阵的情形，即
.)( 11121121 ??? ? AAAAAA mm ??
特别,(Am)?1=(A?1)m
第二章
工 程 数 学
四、用初等行变换求逆矩阵
若方阵 A 可逆，则存在有限个初
等矩阵 P1,P2,…,Pm,使
A=P1 P2 … Pm
定理 3.
第二章
工 程 数 学
证,?A可逆，则 r(A)=n,从而 A 的标准形为 n
阶单位矩阵 E,于是存在有限次初等变换，
使 A 化为 E ； 反之，也存在有限次初等
变换使 E 化为 A,故 ?P1,P2,…,Pm使
P1 P2 … Ps EPs+1 … Pm =A
即 A=P1P2… Pm
第二章
工 程 数 学
显然初等矩阵的行列式均不为零, 即
P1,P2,…,Pm 均可逆, 且逆矩阵仍为初等矩阵,
由
A=P1,P2,…,Pm
得 1
11211 ???? ? PPPA m ? EPPP m 11121 ???? ?
APPPAAE m 111211 ???? ?? ?
而
第二章
工 程 数 学
由上两式知,A 经过一系列初等行变换变
为 E, 则 E 经过同样的行变换变为 A?1,即
( A|E ) 初等行变换 (E | A?1)
EPPPA m 111211 ???? ? ?
APPPE m 11121 ???? ?
第二章
工 程 数 学
例 8.设
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A 求 A
?1.
解,(A|E)=
343
122
321
100
010
001
620
520
321
??
??
103
012
001
?
?
第二章
工 程 数 学
100
520
201
?
??
?
111
012
011
??
?
?
100
020
001
?
?
111
563
231
??
?
?
第二章
工 程 数 学
100
010
001
111
25323
231
?
??
?
故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
111
25323
231
1A
第二章
工 程 数 学
五、逆矩阵的应用
1) 解方程
设 n 个方程 n个未知量的线性方程组为
AX=B
其中 A=(aij)n?n,若 | A |?0,则 A?1 存在，且
X=A ?1 B
.|| 1 * BAA?
这实际上是克莱姆法则的矩阵表示，若求
出 A?1,则能得到方程组的解,
第二章
工 程 数 学
例 9.设方程组为
x1+2x2+3x3=1
2x1+2x2+x3=?1
3x1+4x2+3x3=3
解此方程组,
解,令,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
3
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??B,
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
X
原方程组为 AX=B,X=A?1 B
由于 | A |=2?0,A可逆，故
第二章
工 程 数 学
而
,
111
25323
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
2
1
x
x
x
X BA
1??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
9
8
即 x1= ?8,x2= 9,x3= ?3.
第二章
工 程 数 学
17
213
124
021
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
31
52
41
213
124
021
X
2) 解矩阵方程
例 10.设
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
31
52
41
213
124
021
1
X
?0
第二章
工 程 数 学
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
31
52
41
652
1211
245
17
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
356
3716
615
17
1
第二章
工 程 数 学
例 11.设 A,B为三阶矩阵,I 为三阶单位
阵，满足
AB+I=A2+B
又已知,
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 B.
第二章
工 程 数 学
解,由 AB+I=A2+B ? AB?B=A2?I
? (A?I)B =( A?I )( A+I )
,
001
010
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? IA? | A?I |?0,A?I 可逆,
故 B=A+I
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
201
030
102
